Основные арифметические действия
Сложение
Сложение – одна из основных операций, позволяющая объединить два слагаемых.
Запись сложения: 8 + 3 = 11
8 и 3 – слагаемые
11 – сумма
Вычитание
Вычитание – действие, обратное сложению.
Запись: 15–7 = 8
15 – уменьшаемое
7 – вычитаемое
8 – разность
Если разность 8, сложить с вычитаемым 7, это даст уменьшаемое 15. Операция сложения 8 + 7 = 15 является контрольной проверкой вычитания 15 – 7 = 8.
Умножение
Умножение – арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.
Запись: 12 × 5 = 60 или 12 • 5 = 60
12 – множимое
5 – множитель
60 – произведение
12 × 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12
В случае если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же.
Например:
2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
5 × 2 = 5 + 5 = 10
Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».
Деление
Деление – арифметическое действие обратное умножению.
Запись: 48 : 6 = 8 или 48 / 6 = 8
48 – делимое
6 – делитель
8 – частное
В данном случае произведение делителя 6 и частного 8, в качестве проверки, дает делимое 48
Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить дробью 3 / 5. Если частное является целым числом, в таком случае говорят, что первое из озвученных чисел нацело делится или, проще говоря, делится на второе.
Например, число 35 полностью делится на 5, ибо частное это целое число 7.
Второе число в данном случае называется делителем первого, первое же – кратным второго.
Пример 1
Число 5 является делителем чисел 25, 60, 80 и не действует в качестве делителя для чисел 4, 13, 42, 61.
Пример 2
Число 60 кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным для чисел 17, 40, 90.
В случае, когда делимое не делится полностью, иногда применяют так называемое деление с остатком. Деление с остатком, это отыскание наибольшего подходящего целого числа, которое в произведении с делителем дает нужное число, не превышающее делимое.
Такое искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, которое всегда меньше делителя.
Возведение в степень
Возведение степень – операция умножения числа на самого себя несколько (n) раз.
Основание степени называется число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.
Показателем степени называется число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.
Степенью называется число, получаемое в результате взаимодействия основания и показателя степени.
Запись: 34 = 81
3 – основание степени
4 – показатель степени
81 – степень
34 = 3 × 3 × 3 × 3
Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень – кубом. Первой степенью числа называют само это число.
Извлечение корня
Извлечение корня – арифметическое действие, обратное возведению в степень.
Запись:4√81 = 3
81 – подкоренное число
4 – показатель корня
3 – корень
З4 = 81 – возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня)
2√16 = 4 – корень второй степени называется – квадратным.
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4
3√8 = 2 – корень третьей степени называется – кубичным.
Сложение и вычитание, умножение и деление, а так же возведение в степень и извлечение корня попарно представляют собой обратными действиями.
Правила первых четырех действий регулирующие взаимодействия с целыми числами предполагаются известными. Возведение в степень выполняется повторным умножением.
Арифметические действия над числами
Советы → Полезные сведения → Арифметика → Арифметические действия
Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием. В арифметике рассматривается шесть действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.
1.
Сложение. Это действие состоит в том, что по нескольким числам, называемым слагаемыми, находится число, называемое их суммой.
Пример: 4+3=7, где 4 и 3 – слагаемые, а 7 – их сумма.
2. Вычитание – действие, посредством которого по данной сумме (уменьшаемое) и данному слагаемому (вычитаемое) находят искомое слагаемое (разность).
Это действие обратно сложению.
Пример: 7 – 3 = 4, где 7 – уменьшаемое, 3 – вычитаемое, а 4 – разность.
3. Умножение. Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) – значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе. Результат умножения называется произведением.
Пример: 2 ∙ 3 = 6, где 2 – множимое, 3 – множитель, а 6 – произведение. (2 ∙ 3 = 2 + 2+ 2 = 6)
Если множитель и множимое меняются ролями, то произведение остается тем же. Поэтому множитель и множимое также называются сомножителями.
Пример: 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2, то есть (2 + 2 + 2 = 3 + 3)
Полагают, что если множителем является 1, то a ∙ 1 = a.
Например: 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.
4. Деление. Посредством деления по данному произведению (делимое) и данному сомножителю (делитель) находят искомый сомножитель (частное).
Пример: 8 : 2 = 4, где 8 – делимое, 2 – делитель, а 4 – частное.
Проверка деления: произведение делителя 2 и частного 4 дает делимое 8. 2 ∙ 4 = 8
Деление с остатком
Если при делении целого числа на целое число в частном получается целое число, то такое деление целых чисел называется точным, или, что первое число нацело делится (или просто – делится) на второе.
Например: 35 делится (нацело) на 5, частное есть целое число 7.
Второе число при этом называется делителем первого, первое же – кратным второго.
Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое (см. признаки делимости).
Точное деление возможно далеко не всегда. В таком случае выполняют так называемое деление с остатком. В этом случае находят такое наибольшее число, которое при умножении на делитель даст произведение, не превосходящее делимого. Это число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком от деления.
Делимое равно делителю, умноженное на неполное частное, плюс остаток. Остаток всегда меньше делителя.
Пример: Неполное частное от деления числа 27 на 4 равно 6, а остаток равен 3. Очевидно, 27 = 4∙6 + 3 и 3˂4.
5. Возведение в степень. Возвести некоторое число в целую степень (во вторую, в третью и т.д.) – значит взять это число сомножителем два, три раза и т.д. Иначе говоря, возведение в степень выполняется повторным умножением.
Число, которое берётся сомножителем, называется основанием степени; число, показывающее, сколько раз повторяется основание, называется показателем степени; результат возведения числа в степень называется степенью этого числа.
Пример: 2∙2∙2 = 2³ = 8; где 2 – основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.
Вторую степень числа иначе называют квадратом, третью степень – кубом. Первой степенью числа называют само это число.
6. Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят искомое основание (корень).
Это действие обратно возведению в степень.
Пример: ³√64 = 4; где 64 – подкоренное число, 3 – показатель корня, 4 – корень.
Проверка извлечения корня: 4³=64. Возведение числа 4 в 3-ю степень даёт 64.
Корень второй степени иначе называют квадратным; корень третьей степени – кубическим.
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √36 = 6 означает ²√36 = 6.
Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике — Выгодский М.Я., «Наука», 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9—11 кл. — Шахно К. У., «Учпедгиз», 1961 г.
→ Читайте по теме: Признаки делимости
→ Арифметика
→ В раздел Советы
При полной или частичной публикации статьи в Интернете обязательно указание активной гиперссылки на источник http://programmistan.narod.ru
Отменить умножение (сложение) с делением (вычитание)
Отменить умножение (сложение) с делением (вычитание) Свойства равенства, о которых упоминалось ранее, некоторыми
учащихся, реализуется неправильно даже тогда, когда ситуация требует
их использование. Например, при решении уравнения
нравиться
требуются два шага:
и
Обратите внимание, что в выражении порядок операций диктует, что умножение на 3 предшествует добавлению 7, и «отмены» этих процессов — вычитание 7 и деление на 3 — производилось в обратном порядке.
Это не
сказать, что мы не могли бы отменить вещи в другом порядке, но
студенты, которые делают это, часто делают следующую ошибку. Деление на
3, они часто пренебрегают тем, что все термины с обеих сторон
должны быть разделены на 3. Другими словами, после деления на 3 они
писать Они слишком увлечены идеей, что будут вычитать 7 из обеим сторонам понять, что, разделив сначала на 3, это не 7, а , который нужно вычесть, давая тот же ответь как раньше. Здесь уместно еще одно замечание. Если круглые скобки появляются в уравнении, таком как
то порядок операций выгружается (вычитание внутри скобки стоят перед умножением на 3). При решении для , мы можем, конечно, распределить 3, тем самым исключив круглые скобки и сделать проблему похожей на последнюю обсуждалось. Требуется еще меньше шагов, если просто «отменить» умножение и вычитание в обратном порядке:
а потом
Теперь вернемся к уравнению
и исследуйте более красноречивые ошибки, которые дали названия UMD и UAS в этот раздел.
Некоторый
учащиеся осознают необходимость
за два шага (подобно тем, которые выполнялись, когда это уравнение было
рассмотрено выше) изолировать , но мало чувствовать
для каких операций это будет достигнуто. Для
например, понимая, что, как и в правой части
уравнение, является «не-» термином, учащийся может написать недоразумение, что она вычла 7 слева стороны, но делится на 7 на Обратная сторона. Исходное уравнение и новое больше не имеют те же решения в результате. Тот же ученик может затем признать, что ей нужно переместить на другую сторону. Так как 3 умножается на , она должна «отменить» это на деля обе стороны на 3. Но она может (ошибочно) написать
разделив слева, но вычитая справа. Снова, решение отличается от того, которое решило исходное уравнение , а именно .
Еще хуже, когда ученик думает, что может решить за один шаг.
(то есть позаботьтесь как об умножении на 3, так и о сложении
из 7 за одну операцию). Такой студент может написать что-то вроде
Опять же, ответ, который получает этот студент, , отличается чем правильный.
главных ошибок в алгебре, сделанных студентами, изучающими исчисление (полный документ)
Полный список кодов оценок
Томас Л. Скофилд 2003-09-04
Порядок действий — Бесплатная помощь по математике
Введение
Порядок операций — очень простая концепция, необходимая для правильного понимания математики. В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно решить одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, над какой частью проблемы нужно работать в первую очередь. Возьмите это уравнение в качестве примера:
$$ 4+6 \дел 2 * 11 = ? $$
Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным. Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55. К сожалению, хотя это казалось правильным, этот ответ неверен.
Правильный порядок действий
Порядок действий позволит вам правильно решить эту задачу. Порядок такой: Скобки , Экспоненты , Умножение и деление и, наконец, Сложение и вычитание . Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями степени. После этого выполните все умножение и деление слева направо, и, наконец, выполните все сложение и вычитание слева направо.
Популярным способом запоминания заказа является аббревиатура PEMDAS. Скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, например: « P аренда E извините M y D ухо A unt S союзник.» Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы очень хорошо знаете все шесть шагов порядка операций.
Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.
$$ 4+6 \дел 2 * 11 = ? $$
Шаг 1) Круглые скобки.