Что делается в первую очередь умножение или деление: Что сперва умножение или деление

Содержание

Что сперва умножение или деление

Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский при­мер:

8 / 2(2 + 2)

Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских пра­ви­ла:

  1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во.
  2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние.
  3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умно­же­ния.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем слу­чае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скоб­ки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую заме­ну:

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скоб­ках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами 🙂

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют кри­ком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть пер­во­ис­точ­ник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло под­держ­ки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

  1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про при­о­ри­тет».
  2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не под­дер­жа­ло.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва напра­во.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

  1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
  2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

  1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
  2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 – 9 = 1

Сначала выполняем действия в скобках:
16 – 2 · 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6
2 + 5 = 7

Теперь выполняем остающиеся действия:
9 + 16 : 4 – 2 · 6 + 6 · 7 =
= 9 + 4 – 12 + 42 =
= 43

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками <>. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
8 – 6 = 2
10 – 2 · 3 = 10 – 6 = 4

действия в квадратных скобках дают:
14 – 3 · 2 = 8

выполняя остающиеся действия скобках находим:
5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29

Порядок действий:
30 – 20 = 10
35 – 10 = 25
100 – 25 = 75
75 · 2 = 150

Что делать сначала умножение или деление

Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский при­мер:

8 / 2(2 + 2)

Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских пра­ви­ла:

  1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во.
  2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние.
  3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умно­же­ния.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем слу­чае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скоб­ки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую заме­ну:

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скоб­ках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами &#128578;

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют кри­ком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть пер­во­ис­точ­ник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло под­держ­ки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

  1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про при­о­ри­тет».
  2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не под­дер­жа­ло.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва напра­во.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

  1. Все действия выполняются слева направо.
  2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 – 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания

https://a-rodionova.livejournal.com/67729.html#t592017

Месяц назад на Рамблере появилась сообщение о том, что появившийся в твиттере пример 8:2(2+2) (https://twitter.com/pjmdolI/status/1155599063242485762 ) пользователи решают по разному: одни делят 8 на 2 и умножают на (2+2), ответ: 16, другие делят 8 на произведение 2(2+2), ответ — 1. Первых — большинство. Правильный ответ — 1. Я хотела написать пост на эту тему. Пока помещаю отрывок из него, где объясняю правила порядка действий.

Почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания

Пусть выражением 20+10 =30 записано решение задачи. Слагаемыми являются известные числа, известные по условиям задачи, типа такой: вчера выкопали 20 кг моркови, сегодня — 10. Какой урожай моркови?

Теперь представим, что слагаемые неизвестны, но по условию задачи известно, что 20 — это 10*2, а 10 — это 30:3. Так и записываем сумму: 10*2+30:3=? Нам надо получить сумму двух неизвестных чисел, чтобы подсчитать урожай.

Для того, чтобы теперь найти сумму, нужно в первую очередь вычислить слагаемые, которыми здесь являются произведение и частное. На этом основании они становятся первоочередными действиями, а сложение — последним, заключительным действием, т. к. вычисляется искомая сумма.

Всё очень просто. Повторю. Т.к. невозможно вычислить сумму неизвестных чисел, записанных в виде неизвестного произведения и частного без нахождения произведения и частного, то это и является той незыблемой основой первоочередного выполнения умножения и деления, когда произведение и частное являются слагаемыми. А действие сложения в таких выражениях всегда является заключительным.

Некогда математики договорились, что для того, чтобы подобные выражения и формулы не пестрели трёхэтажными и выше скобками, не писать, а лишь подразумевать скобки для умножения и деления, т. к. произведения и частные, которые являются слагаемыми, всегда находятся в первую очередь, что всем (некогда было) ясно и без скобок (как «Волга впадает в Каспийское море»). Ставь скобки или нет, всё равно сначала будешь делить и умножать, а потом складывать и вычитать. По этим же соображениям отказались брать в скобки возведение в степень, извлечение корня и ряд других действий, которые первоочерёднее умножения и деления, когда являются неизвестными множителями, делимыми и делителями, т. е. когда неизвестно значение корня или степени, без вычисления которых нельзя совершить умножение и деление.

Вот так надо понимать, почему умножение и деление «приоритетнее» сложения и вычитания. Первоочерёдность теперь обозначается нелепым словом «приоритетность», т. е. вы должны умножение и деление делать первыми потому, что они «приоритетнее» сложения! И самим не смешно, т. к. на деле выясняется, что умножения и деление — это вспомогательные действия, которые нужно сделать, чтобы найти сумму? Как раз сложение имеет настоящую важность. Если бы не нужно было находить сумму, то умножать/делить было бы не нужно. Будем считать, что поняли, почему умножение и деление «приоритетнее» сложения. Основу первоочерёдности умножения и деления нельзя изменить. Поэтому другие «приоритеты» будут ложными. Если вы знаете основу как смысл такой очерёдности, то плевать вы хотели и на правила и на тех, кто дурит вас при помощи своих «правилотворческих актов».

Слово «приоритетность» теперь все понимают как обозначение некой таинственной важности умножения и деления, из-за которой им присвоили более «высокий» «приоритет». Сложение и вычитание становятся как бы «ущербными» действиями, имея самый низкий «приоритет» в «табеле о рангах». Эмоциональная нагрузка заменяет смысловую. Чтобы избавиться от эмоций, надо просто заменить слово «приоритетность» на, скажем, «очерёдность» (первоочерёдность, равноочерёдность), чтобы мозг не буксовал. Или восстановить прежнюю терминологию (не помню, что использовалось вместо «приоритетности»).

Почему умножение и деление «равноприоритетны»

В примере решения задачи есть действия деления и умножения. На этот случай имеется правило, что умножение и деление — равноприоритетны, т. е. их можно выполнять в произвольной последовательности.

Действительно, абсолютно неважно, какое из слагаемых вычисляется первым, какое — вторым, т. к. очерёдность вычислений слагаемых не влияет на сумму. Неважность очерёдности действий умножения и деления при вычислении слагаемых в выражении — это основа безочерёдности этих действий, что значит, произведения и частные в выражении можно вычислять в любом порядке, как удобно, не соблюдая правило «слева направо».

Понятно, что в выражении, где есть несколько слагаемых в виде произведений, частных, а также других действий, взятых в скобки, так же неважно для правильного ответа, в каком порядке вычислять слагаемые. Не обязательно начинать вычислять сначала все слагаемые в скобках, потом все частные и произведения, порядок — произвольный, как удобно. А также необязательно находить сразу все слагаемые, несмотря на «пониженную приоритетность» сложения/вычитания. Пожалуйста, можете выполнять сложение по мере вычисления неизвестных слагаемых. Особенно это пригождается, когда решаешь конкретную задачу, в которых промежуточные суммы имеют определённое смысловое значение, т. е. являются ответами, на промежуточные вопросы задачи. Это позволяет быстрее найти ошибку в постановке вопроса, формулировке действия или в вычислении какого-либо параметра. Если же найти все слагаемые оптом, а потом сложить, то я даже не знаю, как потом найти ошибку. Тупое исполнение правил мешает осмысленно относится к задаче и превращает решение задачи в муторный процесс вычислений (благо, его облегчили калькуляторы) и не позволяет накопить опыт (который, «сын ошибок трудных», потому трудных, что требуют исправления, но тяжело в учении — легко в бою) их решения. Правила превращают мозг человека в калькулятор.

Почему «равноприоритетны» сложение и вычитание (на примере выражения без умножения и деления)

Т.к. вычитание есть сложение с отрицательными числами, и от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, то вычитание и сложение могут проводиться в любой очерёдности, т. к. это одно и то же действие. Такова основа безочерёдности выполнения действий сложения и вычитания, которую в псевдоматематическом новоязе назвали равной приоритетностью сложения и вычитания. Не может одно и то же действие быть «разноприоритетным», если уж на то пошло.

Например: 10+20-10 можно посчитать в таком порядке: 10+(20-10), в таком: -10+10+20, в таком: -10+20+10, в таком 10-10+20. Во всех случаях ответ будет одинаков — 20. Порядок вычисления не влияет на сумму, поэтому у действий сложения и вычитания — произвольная очерёдность, которую устанавливает тот, кто находит значение выражения.

Сложение и вычитание не имеет очерёдности согласно переместительному свойству сложения, поэтому правило «слева направо» выполнять необязательно.

Т. к. сложение — это увеличение количества, а вычитание — уменьшение, то ребёнок не может сразу понять, почему в реальности разные действия (сложение и вычитание) формально являются одним и тем же. Поэтому самое главное, что ребёнку надо пояснить, почему разное — одинаково, так, чтобы, наоборот, не запутать его. Если он сам не поймёт, не увидит одинаковость с точки зрения именно арифметики, как бы условности исключительно для удобства счёта реальных вещей, то он просто зазубрит, мол, «что это одно и тоже», чего нельзя допускать, ибо он отчается понять, что повлечёт за собой цепь непониманий. Поэтому пояснять надо в своё время. Думаю, что одинаковость будет ясна в полной мере после понимания, что такое отрицательные числа как уяснения их назначения (практического использования) — «ниже нуля и выше нуля». До этого вычитание для ребёнка будет самостоятельным арифметическим действием, как он видит на практике, противоположностью сложения по результату. Поэтому детям сначала надо соблюдать правило «слева направо» в выражениях, где есть сложение и вычитание, чтобы получить правильный ответ. Но не делать правило догмой, а лишь подспорьем при неуверенности. Положительные слагаемые они могут складывать произвольно, они могут сложить все слагаемые, из которых потом вычитать все вычитаемые, чтобы убедиться, что сумма не меняется, и на наглядных практических примерах с теми же счётными палочками, понять — почему. В примерах, подобных 10+20-10 они могут сначала выполнить вычитание, т. е. второе действие, или сначала от 10 — 10, и всё это можно воспроизвести на практике, с помощью тех же счётных палочек. Затем в выражения можно добавлять слагаемые/вычитаемые в виде неизвестных произведений и частных. После изучения отрицательных чисел и накопления опыта действий с ними они легко могут осознать тождественность вычитания и сложения как арифметического действия, убедившись в этом на практике.

назначение правила «слева направо»

Мы выяснили, что если в выражении два и более слагаемых, неважно, простых или сложных, то сложение (вычитание) данных и найденных слагаемых можно производить в любом порядке. Зачем же в таких выражениях бывает нужно применять очерёдность вычисления «слева направо»?

Иногда порядок нахождения суммы «слева направо» имеет смысл. Любое математическое, как арифметическое, так и алгебраическое, выражение определяется и составляется исходя из условий задачи. Поэтому составление и запись выражения отражает логику решения данной задачи, последовательность ответов на предварительные вопросы, получив которые, человек может получить ответ, ради которого он решал задачу и даже ставил её. Поэтому каждый член выражения, являющийся количественной характеристикой, имеет и смысловое значение, отвечая на вопрос: «количество чего?» (только в абстрактных примерах этот вопрос не ставится, число имеет только величину, или «значение», и не имеет качественной, или смысловой, характеристики). Т. к. арифметические действия записываются в порядке осознания задачи и решения предварительных вопросов, то тем самым фиксируется смысловая нагрузка членов выражения, следовательно, фиксируется смысл действия — на какой вопрос будет получен ответ. Следовательно, очередность действий в порядке записи выражения («слева направо») позволяет решающему задачу человеку сохранять логику решения, последовательно отвечая на предварительные вопросы. Только для этой цели требуется соблюдать очерёдность «слева направо». Но и в этом случае, уверенный в себе человек, хорошо понимающий смысл задачи, может не соблюдать этого правила, если ему удобно считать (ведь считать не означает — решать) в другой последовательности, как какой-либо абстрактный пример. Для этой же цели учащиеся осваивают способы «упрощения выражений» и свойства арифметических действий. Такой человек всегда может объяснить метод своего решения, как свои допущенные на время условности. Большинство людей уверенность путают с самоуверенностью, поэтому для страховки им лучше соблюдать очерёдность действий, чтобы не запутаться в задаче и не получить абсурд в виде «полтораземлекопа». В физике адекватность составленного выражения решению задачи проверяется размерностью.

Выше я уже показала, что произвольность в очерёдности (а также хоть «справа налево») не вредит вычислению ответа, когда находятся неизвестные произведения и частные.

В выражениях, где члены НЕ являются слагаемыми, например 8:2*4, нужно выполнять действия «слева направо». И теперь уже не только ради сохранения смысла членов выражения, а потому, что другой порядок действий даст неправильный ответ. Правило «слева направо» придаёт строгую очерёдность «безочерёдным» делению и умножению. Почему?

Хотя умножение и деление имеют своими корнями сложение/вычитание, но в отличие от вычитания и сложения, они не являются одним и тем же действием. Умножение — это сложение одинаковых чисел, а деление — это разложение суммы на равные количественные доли. Как говорят — обратное действие. В данном примере 8 делится пополам. Одна часть = 4. Эта часть обратно складывается, но не 2 раза, чтобы опять получилась 8, а 4 раза, что в сумме даёт 16. Взаимосвязь, как обратимость, деления и умножения видна в примерах, где делитель равен множителю: 8:2*2=8. Мы разделили 8 на 2 части, потом часть сложили 2 раза, и получили 8. В общем, насчёт обратимости понятно: на сколько частей разобрали, столько и собрали. Не в этом дело. Но во взаимосвязь умножения и деления дети тоже должны вникнуть, выявить её на опыте (упражнениях), а не просто знать о ней, т. к. без этого не смогут владеть этими инструментами математики в полной мере.

Из примера видно, что 8 является делимым, а 2 является делителем. Делитель, как теперь называется, это — «оператор действия», т.е. это то, что делит (на определённое его величиной количество частей). Поэтому 2 не может быть одновременно множителем (точнее — умножаемым) для 4. Не должно быть «или-или», т. е. двусмысленности назначения члена выражения. Множителем (умножаемым) для 4 (здесь 4 — оператор умножения) станет частное от деления 8 на 2, т. е. тоже 4. Следовательно, последовательность записи действий слева направо определяет так сказать статус каждого члена выражения: что есть делимое, делитель, множитель. А это не просто «статус», а так сказать, «положение обязывает». Делителю — делить, умножаемому — умножаться, множителю — умножать. Значит, в порядке записи обозначен порядок действий. Сама запись есть способ обозначения порядка действий. Способ, который устраняет неоднозначность, порождаемую безочерёдностью («равноприоритетностью») умножения и деления. Это есть основание правила «слева направо». Менять этот порядок, например выполнять сначала умножение 2*4, значит — фактически решать не данный, а другой пример, в котором бывший делитель (2) становится множителем для 4, а полученное произведение — делителем 8. В первом случае мы находим произведение, во-втором, частное. Т.е. изменение порядка действий изменяет пример. Другой пример — другой ответ. Если же нам нужен именно «другой пример», то нет проблем — произведение 2*4 берётся в скобки: 8:(2*4), или знак деления заменяется на горизонтальную черту. В данном случае скобки «аннулируют» очерёдность «слева направо», т. к. меняют «статус» двойки с делителя, данный ему порядком записи, на умножаемое. Чтобы оно благополучно умножилось. В алгебраических выражениях, типа a:bc, чтобы обозначить делителем b, нужно делимое и делитель взять в скобки(а:b)c, или заменить знак деления на горизонтальный. Хотя проще всего в таких случаях поставить знак умножения между b*c. Точнее, при записи алгебраического выражения его просто не надо опускать. Но принято его опускать, поэтому скобки — в помощь.

***

Я разъяснила объективные основания «приоритетности» всех арифметических действий. Надеюсь теперь всем понятно, почему не может быть ни различных, ни других правил «приоритетности». Порядок действий не зависит от человека. От человека зависит лишь его формулировка в виде правил. При желании каждый может формулировать правила «своими словами», формулируя своё понимание очерёдности.

Повторю, что это отрывок, где я показываю смысл правил BODMAS/PEMDAS, т.к. без смысла они становятся догмой. Но весь сыр-бор разгорелся по причине того, что никто, включая решивших правильно, не понимает смысла опущенного перед скобками знака умножения. Опущенный знак умножения имеет назначение скобок, поэтому в «спорном примере» делителем 8 является произведение 2(2+2). Или, выражаясь на математическом новоязе, опущенный знак умножения делает действие умножения «приоритетнее» деления, т.к. согласно правилам, действия в скобках первичны. В данном случае опущенный знак умножения меняет порядок вычисления «слева направо» на «справа налево», определяя делителем произведение. Постараюсь дописать текст, т.к. мне надо было понять, как вообще и почему мог произойти такой «спор». Для меня это как гром с ясного неба.


Телеграмм-канал для своих, не скопипащенных, постов: t.me/warrax_news

Порядок действий в математике – правила очередности

Основные операции в математике

Базовыми формами вычисления являются:

  • Сложение +
  • Умножение х или ∗
  • Вычитание
  • Деление ÷ или /

К ним также можно отнести возведение в степень, однако с ним действуют те же законы, что и при умножении.

Итак, последовательность расчетов регулируется следующими правилами.

По умолчанию, при отсутствии дополнительных элементов, они выполняются в порядке написания.

15 — 3 + 7 = 19

При наличии скобок сначала выполняется действие, в них заключенное.

15 — (3 + 7) = 5

При появлении знаков или первыми выполняются они, лишь затем сложение или вычитание.

2 + 2 х 2 = 2 + 4 = 6

2 + 2 ÷ 2 = 2 + 1 = 3

Скобки могут частично ослабить эти правила, так как действие в них заключенное всегда выполняется в первую очередь.

(2 + 2) х 2 = 4 х 2 = 8

(2 + 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2

Если в скобки заключено сложное выражение, внутри них работают стандартные правила.

(4 + 7 — 1) + 5 = (11 — 1) + 5 = 15

(5 + 3 х 2) — 4 = (5 + 6) — 4 = 11 — 4 = 7

При появлении двух и более знаков или нужно учитывать их очередность.

5 х 2 — 8 ÷ 4 = 10 — 2 = 8

Решение  примеров с множественными скобками

Вариант 1:

5 + 8 ÷ 2 + 3 х (15 — 6 х 2 + 1) + 3 х (6 — 4) = ?

Распишем все расчеты поэтапно:

  1. 6 х 2 = 12
  2. 15 — 12 + 1 = 4
  3. 6 — 4 = 2
  4. 8 ÷ 2=4

Получаем сокращенную версию:

5 + 4 + 3 х 4 + 3 х 2 = ?

Снова расписываем:

  1. 3 х 4 = 12
  2. 3 х 2 = 6

Еще сократили:

5 + 4 + 12 + 6 = 27

Вариант 2:

3 + 2 х [10 — 3 х (6 ÷ 2)] + 1 = ?

Сокращаем:

  1. 6 ÷ 2 = 3
  2. 10 — 3 х 3 = 10 — 9 = 1

Получили:

3 + 2 х 1 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6

Вариант 3:

{50 — [11 — (5 + 2)} х 4 = ?

Сокращаем:

  1. 5 + 2 = 7
  2. 11 — 7 = 4
  3. 50 — 4 = 46
  4. 46 х 4 = 184

Ответ: 184

Законы сложения и умножения
Также описывают общие принципы проведения вычислений.

Переместительный:

a + b = a + b

Сочетательный:

(a + b) + c = a + (b + c)

a х (b х c) = (a х b) х c

Распределительный:

a х (b + c)=a х b + a х c

(a + b) х c= a х c + b х c

Законы нуля:

a + 0 = a

a х 0=0

Правило единицы:

a х 1 = a

Знание этих законов поможет проводить необходимые вычисления быстрее.

Важно! В случае замены + и х  на — и ÷ соответственно эти правила перестают действовать.

Несмотря на легкость понимания, очередность выполнения операций жизненно важна, так как все сложные формулы (логарифмы, интегралы и так далее) по сути представляют собой сокращенную форму написания длинной цепи простых вычислений. Чтобы закрепить материал статьи, рекомендуем посмотреть видео ниже.

Рекомендуем посмотреть видео о порядке дейсивий в математике

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Смотрите также:

  1. Умножение и деление дробей
  2. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
  3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
  4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
  5. Периодические десятичные дроби
  6. Задача B5: метод узлов

Математика для блондинок: Порядок выполнения математических действий

Порядок выполнения математических действий очень простой — слева направо, в том порядке, в каком эти математические действия записаны. Так выполняется сложение. Так выполняется вычитание. И умножение или деление выполняются точно также. Почему по порядку с лева на право? Что бы не запутаться.

Давайте рассмотрим пример на сложение. Сложим вместе несколько чисел и посмотрим, как нужно складывать.

1 + 3 + 5 + 6 =
= 4 + 5 + 6 =
= 9 + 6 = 15

К единице прибавляем три и получаем четыре. К четырем прибавляем пять и получаем девять. К девяти прибавляем шесть и получаем пятнадцать. В результате выполнения трех математических операций сложения четырех чисел у нас получилось одно число.

Теперь рассмотрим пример на вычитание. Поступаем точно также.

15 — 1 — 3 — 5 =
= 14 — 3 — 5 =
= 11 — 5 = 6

Из пятнадцати вычитаем один и получаем четырнадцать. Из четырнадцати вычитаем три и получаем одиннадцать. От одиннадцати отнимаем пять и получаем шесть. Такой порядок называется последовательным выполнением математических действий. Почему мы выполняем все математические действия только последовательно? У каждого из нас всего одна голова, которая может думать только одну умную мысль. Две умных мысли одновременно — это под силу только двухъядерному процессору компьютера. Мы на такие подвиги не способны.

Настал черед рассмотреть пример на умножение.

2 х 3 х 4 х 5 =
= 6 х 4 х 5 =
= 24 х 5 = 120

Сперва умножаем два на три, получается шесть. Шесть умножаем на четыре и получаем двадцать четыре. Двадцать четыре умноженное на пять дает в результате сто двадцать.

Последним рассмотрим пример на деление.

120 : 2 : 3 : 4 =
= 60 : 3: 4 =
= 20 : 4 = 5

Сто двадцать делим на два и получаем шестьдесят. Шестьдесят деленное на три дает в результате двадцать. Если двадцать разделить на четыре, то получится пять.

Подобный порядок выполнения математических действий отражает принцип всеобщего математического равенства. Все числа равны и терпеливо ждут своей очереди на выполнение математических действий. В математике нет блондинок и брюнеток, своих и чужих, избирателей и депутатов. Все становятся в одну очередь и обслуживаются в порядке живой очереди, даже короли и президенты. В наше время такое равенство можно встретить только на кладбище — там никто не вякает «Перекопайте меня в другое место, мне здесь не нравится!».

Такая идиллия в математике царила до тех пор, пока за математику не взялись мы. Как шкодливые котята перемешивают вязальные клубочки своей хозяйки, так и мы сразу же перемешали в кучу все математические действия. Наступил хаос. Принятый порядок математических действий, с лева на право в порядке очереди, часто давал неправильные результаты.

Наблюдательные блондинки очень быстро во всём разобрались. Они заметили, что если выполняется только сложение и вычитание или умножение и деление, то порядок выполнения математических действий остается прежний, с лева на право, результат получается правильный. Если смешать математические действия из разных пар — результат получается неправильный.

Очень быстро они сообразили, что если выполнять сперва одни математические действия, а потом другие — результат будет правильным. Это как исполнение желаний. Взрослые желания — это умножение и деление. Детские желания — это сложение и вычитание. Какие желания выполнять первыми? Давайте разберемся.

Что нужно детям? Дайте им мороженку, конфетку или игрушку — дети будут счастливы. Где их взять? Купить. А где взять деньги? Заработать. Нужно выполнить взрослые желания и получить за это деньги. Ведь что такое работа? Это исполнение чужих желаний. Вот и получается, что в математике, как и в жизни, сперва нужно выполнять все взрослые желания, то есть умножение и деление, а уже после этого выполнять желания детские — сложение и вычитание. Внутри возрастных групп действия выполняются так, как они записаны. Какую группу взрослых математических действий выполнять первой, если таких групп несколько? Не имеет значения. Главное правило — прежде, чем приступить к выполнению детских желаний, нужно выполнить все взрослые желания.

Рассмотрим пример на смешанные математические действия.

5 х 4 : 2 + 6 : 3 х 8 — 7 =
= 20 : 2 + 2 х 8 — 7 =
= 10 + 16 — 7 =
= 26 — 7 = 19

Сперва нужно пять умножить на четыре, получится двадцать. Двадцать делим на два и получаем десять. После этого шесть делим на три получается два. Два умножаем на восемь получаем шестнадцать. Можно сперва получить шестнадцать, а после этого получить десять. Все взрослые математические действия выполнены. После этого к десяти прибавляем шестнадцать и получаем двадцать шесть. От двадцати шести отнимаем семь и получаем девятнадцать.

Всё в математике было хорошо до тех пор, пока одна юная особа не заявила: «Как это? Я, вся такая молодая, красивая, умная, должна делать всё так же, как эта старая уродливая дура? Ну уж, нет!!!» Что она сделала? Вы прекрасно это знаете и сами пользовались этим приемчиком не раз. Правильно, она закатила истерику.

О том, как разного рода истерики обозначаются в математике, мы поговорим в следующий раз.

JS JavaScript Арифметические операторы


Арифметические операторы JavaScript

Арифметические операторы выполняют арифметические действия с числами (литералами или переменными).

Оператор Описание
+ Дополнение
Вычитание
* Умножения
/ Отдел
% Модуль (остаток)
++ Увеличение
Уменьшения

Арифметические операции

Типичная арифметическая операция работает на двух числах.

Эти два числа могут быть литералами:

Пример

var x = 100 + 50;

или переменные:

Пример

var x = a + b;

или выражений:

Пример

var x = (100 + 50) * a;



Операторы и операнды

Числа (в арифметической операции) называются операндами.

Операция (выполняемая между двумя операндами) определяется оператором.

Operand Оператор Operand
100 + 50

Добавление

Оператор сложения (+) добавляет номера:

Пример

var x = 5;
var y = 2;
var z = x + y;


Вычитание

Оператор вычитания (-) вычитает числа.

Пример

var x = 5;
var y = 2;
var z = x — y;


Умножения

Оператор умножения (*) умножает числа.

Пример

var x = 5;
var y = 2;
var z = x * y;


Разделение

Оператор деления (/) делит числа.

Пример

var x = 5;
var y = 2;
var z = x / y;


Остаток

Оператор модуля (%) возвращает остаток деления.

Пример

var x = 5;
var y = 2;
var z = x % y;

В арифметике деление двух целых чисел создает Коэффициент и остаток.
В математике результатом операции по модулю является оставшаяся часть арифметического деления.


Incrementing

The increment operator (++) increments numbers.

Пример

var x = 5;
x++;
var z = x;


Уменьшение

Оператор уменьшения (—) уменьшает число чисел.

Пример

var x = 5;
x—;
var z = x;


Приоритет оператора

Приоритет оператора описывает порядок выполнения операций в арифметическом выражении.

Пример

var x = 100 + 50 * 3;

Является результатом пример выше же, как 150 * 3, или это же, как 100 + 150?

Является ли дополнение или умножение сделано в первую очередь?

Как и в традиционной школьной математике, умножение делается в первую очередь.

Умножение (*) и деление (/) имеют более высокий приоритет , чем сложение (+) и вычитание (-).

И (как в школьной математике) приоритет может быть изменен с помощью скобок:

Пример

var x = (100 + 50) * 3;

При использовании скобок операции, находящиеся внутри скобок, рассчитываются первыми.

Когда многие операции имеют одинаковый приоритет (например, сложение и вычитание), они рассчитываются слева направо:

Пример

var x = 100 + 50 — 3;


Значения старшинства операторов JavaScript

Бледно-красные записи указывает ECMAScript 2015 (ES6) или выше.

Значение Оператор Описание Примере
20 ( ) Группирование выражений (3 + 4)
       
19 . Член person.name
19 [] Член person[«name»]
19 () Вызов функции myFunction()
19 new Создать new Date()
       
17 ++ Приращение суффикса i++
17 Уменьшение суффикса i—
       
16 ++ Приращение префикса ++i
16 Уменьшение префикса —i
16 ! Логическое не !(x==y)
16 typeof Тип typeof x
       
15 ** В возведение (ес7) 10 ** 2
       
14 * Умножения 10 * 5
14 / Division 10 / 5
14 % Остаток дивизиона 10 % 5
       
13 + Дополнение 10 + 5
13 Вычитание 10 — 5
       
12 << Сдвиг влево x <<2
12 >> Сдвиг вправо x>> 2
12 >>> Сдвиг вправо (неподписанный) x>>> 2
       
11 < Менее x <y 
11 <= Меньше или равно x <= y
11 > Больше x> y
11 >= Больше или равно x>= y
11 in Правильно в объекте «PI» in Math
11 instanceof Экземпляр объекта instanceof Array
       
10 == Равно x == y
10 === Строгий равный x === y
10 != Неравные x != y
10 !== Строгие неравные x !== y
       
9 & Побитовое и x & y
8 ^ Побитовое исключающее x ^ y
7 | Побитовое или x | y
6 && Логические и x && y
5 || Логические или x || y
4 ? : Состояние ? «Yes» : «No»
       
3 += Назначения x += y
3 += Назначения x += y
3 -= Назначения x -= y
3 *= Назначения x *= y
3 %= Назначения x %= y
3 <<= Назначения x <<= y
3 >>= Назначения x>>= y
3 >>>= Назначения x>>>= y
3 &= Назначения x &= y
3 ^= Назначения x ^= y
3 |= Назначения x |= y
       
2 yield Функция паузы yield x
1 , Запятой 5 , 6

Выражения в скобках полностью вычисляются до того, как значение используется в оставшейся части выражения.

Калькулятор длинного умножения

Добро пожаловать в калькулятор длинного умножения — отличный инструмент, который поможет вам решить умножение самостоятельно. Если вы когда-нибудь спрашивали себя: Как умножить десятичные дроби? или Как умножать большие числа? , вот правильное место, чтобы найти ответ.

Знание основного алгоритма умножения позволяет решать более сложные задачи, такие как умножение дробей или матриц. Кроме того, если вы научитесь выполнять долгое умножение вместе с делением в столбик, это сделает математические упражнения с операциями над числами такими простыми, как никогда раньше!

Как умножить десятичные дроби?

Начнем с основ — умножение — это компактный способ записи сложения повторяющихся чисел.Если мы хотим решить задачу типа 6 * 2 , это будет то же самое, как если бы нам нужно было добавить 2 шесть раз, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 . В этом смысле умножение чрезвычайно полезно, особенно для больших чисел.

Математики называют первое число при умножении множителем , а второе число — множителем . Результатом умножения будет произведение .

💡 Умножение коммутативное .Это означает, что мы можем изменить множитель и множимое на , и результат не изменится.

С самого начала обучения мы все учимся умножать числа от одного до десяти — кошмар большинства учеников, не так ли? Но на самом деле это все, что вам нужно знать о том, как умножать большие числа или как долго работает умножение на десятичные дроби!

Итак, как умножить десятичные дроби? Короче говоря, забудьте о десятичной точке и произведите умножение на целые числа.Затем складывают десятичные знаки множителя и множителя . Сумма — это количество десятичных знаков в продукте. Мы подробно описываем весь процесс в специальном разделе ниже.

Кстати, знак «умножить» можно записать несколькими способами. В физике мы используем · для скалярного произведения, × для перекрестного произведения и * для умножения чисел. В нашем случае это не имеет большого значения, поэтому мы можем использовать их как взаимозаменяемые.

Как сделать длинное умножение?

Мы можем описать алгоритм длинного умножения за несколько шагов:

  1. Установите оба числа одно под другим и выровняйте их по правому краю так, чтобы первые значащие цифры были первыми справа.

    💡 Рекомендуется устанавливать большее число в качестве множителя, а меньшее — в качестве множимого. Это не меняет продукт, но уменьшает количество шагов .

  2. Начните умножать множитель на первую цифру (справа) множимого, цифру за цифрой. Каждый раз, когда вы заканчиваете с числом больше 9, запишите цифру единиц, и перенесет цифру десятков на следующий шаг (например, 7 * 5 = 35 , поэтому напишите 5 и перенесите 3 ).

  3. Повторите эти действия для остальных цифр множителя. Каждый раз, когда у вас есть номер, добавляйте его к продукту (например,грамм. 1 * 5 и 3 , перенесенные с предыдущего шага, дают нам 8 ).

  4. Когда вы закончите с первой цифрой множимого, вы получите первый промежуточный продукт .

  5. Повторите ту же процедуру для остальных цифр множимого, каждый раз начиная с одного разряда справа (при умножении на десятки, сотни и т. Д.). Вы также можете написать нули в конце, если хотите.

    💡 Если вы видите какие-либо цифры 0 в множимом, вы можете пропустить шаг , так как произведение нуля и любого другого числа всегда равно нулю.

  6. Когда вы закончите со всеми промежуточными продуктами, сложите их .

  7. Результат — ваш конечный продукт. Теперь вы знаете, как выполнять долгое умножение!

Длинное умножение с десятичными знаками

Давайте перейдем на следующий уровень и узнаем, как умножать десятичные дроби с помощью метода длинного умножения.В качестве примера умножим 4,37 на 8,5 . Оказывается, мы можем рассматривать это как задачу умножения на 3 и 2 цифры. Чтобы получить ответ, мы можем выполнить следующие действия:

  1. Подсчитать количество десятичных цифр в обоих числах . В первом два десятичных знака, а во втором — один десятичный.

  2. Сумма десятичных цифр множителя и множимого равна трем ( 2 + 1 ). У нас также будет с тремя десятичными знаками в произведении .

  3. На этом этапе мы можем забыть о десятичных точках и выполнить умножение 437 * 85 .

  4. Произведение 437 и 5 равно 2185 .

  5. Произведение 437 и 8 равно 3496 . Не забудьте начать писать с места справа. В качестве альтернативы вы можете добавить один 0 в конце, так что продукт станет 34960 , и тогда оба числа будут выровнены по правому краю.

  6. Оцените сумму этих двух промежуточных продуктов. 2185 + 34960 = 37145 .

  7. Наконец, применяет десятичную точку в произведении . Мы знаем, что должно быть из трех десятичных цифр , поэтому наш результат равен 37,145 .

Если вы сомневаетесь, заблудились в какой-то момент или просто хотите проверить ответ, вы всегда можете воспользоваться нашим калькулятором длинного умножения!

Как умножать большие числа? Алгоритм умножения на практике

Преимущество длинного умножения в том, что оно не усложняет задачу для больших чисел.Что имеет значение, так это длина чисел , а не сами значения. Более того, может быть еще проще умножать большие числа, если какое-либо из них (или оба) оканчивается несколькими конечными нулями. Почему?

Мы можем просто пропустить конечные нули для умножения , так как любые промежуточные продукты будут равны нулю. Мы можем добавить завершающие нули как из множителя, так и из множимого и записать их рядом с произведением . Процедура очень похожа на процедуру с десятичными знаками.

Давайте применим алгоритм длинного умножения для двух больших чисел, скажем 34000 и 2870 :

  1. Подсчитать количество завершающих нулей в обоих случаях . В первом номере их три, а во втором — один ноль.

  2. Теперь наши новые значения 34 и 287 соответственно. Обратите внимание, что в этом случае первое число короче второго (в отличие от исходных чисел).Мы можем поменять местами и вычислить умножение 287 на 34 .

  3. Первый промежуточный продукт — это 1148 , а второй — 861 (помните о смещении этого числа на одну цифру влево). Суммируя их, получаем 9758 .

  4. Сейчас самое подходящее время для применить недостающие нули в конце к продукту . Всего их у нас четыре.

  5. Конечный результат длинного умножения: 97 580 000 .Мы даже можем записать его как 9,758 * 10⁷ , используя научную нотацию.

Как (и когда) использовать калькулятор длинного умножения?

Вы когда-нибудь пробовали складывать или вычитать дроби? Если да, то вы, вероятно, знакомы с концепцией поиска наименьшего общего знаменателя. Проще говоря, все дело в поиске наименьшего общего кратного двух (или нескольких) чисел. Процесс предполагает определенный навык умножения. В этой ситуации наш калькулятор длинного умножения становится удобным, особенно для дробей, содержащих десятичные дроби или большие числа.

Хорошо то, что наш инструмент довольно прост в использовании. Поскольку вы уже знаете, как выполнить длинное умножение с десятичными дробями вручную из предыдущих разделов, давайте посмотрим, как сделать то же самое с помощью калькулятора длинного умножения:

  • Введите первое число в качестве множителя, например 0,00367 .

  • Введите второе число в качестве множимого, например, 449300 .

  • И все! В результате вы получите ответ — 1648.931 . Кроме того, вы также получите объяснения и подсказки о том, как работать с умножением больших чисел и десятичных знаков.

Использование разряда для понимания умножения

Многие преподаватели сегодня согласятся до некоторой степени с тем, что в математическом образовании произошел сдвиг на многих уровнях и во всех ступенях обучения. Будучи студентом, нужно часто демонстрировать понимание математических концепций, прежде чем мозг сможет в процессе развития понять, что математика — это больше, чем процедуры или набор правил для достижения конкретного решения.Мозг младшего школьника еще формируется, он постоянно впитывает информацию вокруг себя. Таким образом, ответ ребенка на математический запрос обычно основан на его или ее текущей информации, которая также может меняться в зависимости от вида деятельности.

По моему опыту работы учителем математики в четвертом классе, большинство моих учеников испытывают сильную неприязнь ко всему, что связано с умножением. Я привыкла к стонам и стонам, а также к крикам «это слишком сложно» или «это занимает слишком много времени» от моих учеников.Я часто задаюсь вопросом, почему мои ученики так думают? Что еще более важно, как я могу помочь им почувствовать себя более уверенными в своей способности решать задачи, связанные с умножением? Что делает его слишком сложным или слишком длинным? Что вообще значит «слишком долго»? Имеются ли в виду мои ученики количество процедурных шагов, необходимых для получения продукта? На самом деле, некоторые из их чувств по поводу этих навыков могут быть связаны с их общими чувствами по поводу математики, которые могли быть испорчены негативным опытом общения с предыдущим учителем, взглядом родителей / опекунов на математику или отсутствием поддержки, или даже прошлой успеваемостью в классе математики. в младших классах.В этих чувствах также могут быть некоторые элементы заниженной самооценки и неуверенности. Четвероклассники могут быть очень впечатлительной группой, ищущей одобрения сверстников.

Когда я думаю о своем личном опыте в начальной школе, я отчетливо вспоминаю, как учитель стоял перед классом, давал указания, показывал нам шаги для решения математической задачи дня, а затем давал классу задачи для самостоятельного решения. Практически не было обучения в малых группах, передвижения по классу или использования технологий.Однако в классе была одна взрослая, которая, как я искренне верила, заботилась о моем успехе в ее классе, а также о моем общем росте в детстве. Я мог бы продолжать и говорить о важности того, как точка зрения ученика на то, что учитель думает о нем или к ней, может повлиять на успеваемость ученика в классе, но это приведет к совершенно другому разделу.

Я надеюсь, что созданная мной учебная программа уменьшит беспокойство моих будущих студентов, поскольку мы будем углубляться в то, как основные принципы расстановки ценностей могут помочь нам понять и решить проблемы умножения.Мы исследуем систему счисления с основанием 10, роль разряда в этой системе и то, как четкое и полное понимание обоих необходимо для концептуализации параметров умножения, прежде чем можно будет тщательно применить процедуры, необходимые для исследования и решения многозначных уравнений. как предусмотрено в правилах штата, демонстрируя учащимся, что умножение — это расширение навыков сложения, которыми они уже обладают. Я также продемонстрирую, как числа можно разбить на более управляемые части, чтобы прийти к искомому продукту в задаче, что поможет моим ученикам лучше визуализировать конечный результат.Я считаю, что более глубокое понимание концепций, лежащих в основе алгоритмов, повысит их общую уверенность, будет способствовать развитию мышления и повысит степень их исследования.

Когда будет заложено четкое основание, я сосредоточусь на стандартах обучения Вирджинии для третьеклассников, включая как однозначное, так и многозначное умножение. Хотя я не фокусируюсь на стандартах обучения или общих основных математических стандартах для третьеклассников, я считаю, что рассмотрение целей предыдущего года, а также более широко используемых стандартов может оказаться полезным для демонстрации того, как цели меняются от года к году. год и то, с чем ученики должны были познакомиться до поступления в четвертый класс.Эта информация дает мне основу для доступа к предыдущим знаниям учащегося, а также для оценки того, как они сохраняют знания предыдущего года.

По мере того, как мы переходим от концептуализации умножения к применению и вычислениям, я углублюсь в несколько алгоритмов умножения. Я расскажу о трех методах умножения целых чисел: модели площадей, прямоугольный метод и традиционный в США алгоритм умножения (который я обычно называю Old School в моем классе, так как он отдает дань уважения тому, как родители моих учеников и я учились умножению).Каждый из методов будет смоделирован для учащихся с акцентом на роль, которую играет значение места и что на самом деле означают цифры после того, как алгоритм будет внедрен и решен.

Поскольку я хочу, чтобы мои ученики действительно понимали, что математические связи могут быть установлены повсюду, я также планирую использовать книги с картинками по математике для ознакомления с каждым навыком. Например, книга « Два способа считать до десяти: либерийская сказка» 1 , пересказанная Руби Ди, показывает аудитории, что проще и быстрее пропустить счет, т.е.е. используйте умножение вместо счета на единицы. Я могу использовать этот текст, чтобы ответить на жалобу моих учеников на то, что «на решение задач умножения уходит слишком много времени». Многие из вопросов, основанных на запросах, которые мы будем решать в классе, будут сосредоточены на повседневных событиях, с которыми мои ученики будут сталкиваться в течение учебного года. (Примеры вопросов перечислены в разделе ресурсов)

Я иду на девятый год в качестве учителя четвертого класса в школе Title I. В течение нескольких лет, как и многие учителя начальной школы по всей стране, я преподавал все основные предметы (чтение, письмо, математику, естественные науки и общественные науки / историю) одному классу учеников в течение всего года.Три года назад моя школа перешла на ведомственную модель для четвероклассников (пятый класс уже придерживался этой модели). У нас есть три учителя четвертого класса, и каждый учитель проводит обучение по одному проверенному основному предмету для всего класса, а также по естествознанию (который не является предметом государственного тестирования в этом классе) в каждой соответствующей классной комнате. Недавно я закончил второй год обучения математике для всего класса. В прошлом учебном году я обучал около 80 учеников, которые были разделены на три класса по 23-30 учеников, каждый из которых длился около 80 минут в день.Хотя моя школа не так подвержена быстротечности (ученики, которые переходят из школы в школу), как некоторые другие школы в округе, у нас есть заметные всплески быстротечности в определенное время учебного года, которые влияют на способность учеников учиться. концепции основательно.

У меня есть несколько причин, по которым я хочу написать этот блок об использовании разряда для понимания умножения. Во-первых, я хочу, чтобы мои ученики знали, как использовать основные принципы чувства чисел, чтобы помочь им в решении более сложных задач и продемонстрировать, как это понимание является движущей силой в их общем понимании математики в их будущих курсах.Смысл числа можно определить как:

Способность человека использовать и понимать числа:

  • зная их относительные значения,
  • как использовать их для вынесения суждений,
  • как их гибко использовать при сложении, вычитании, умножении или делении
  • как разработать полезные стратегии при подсчете, измерении или оценке 2 .

Моим ученикам очень трудно со всеми аспектами восприятия чисел.Похоже, что учащиеся переходят из одного класса в другой, не имея четкого представления об основах, что только увеличивает их общий дефицит по математике. Эти недостатки включают, но не ограничиваются, вычисление с базовым сложением, вычитанием по нулям и знанием основных фактов умножения и деления. С таким дефицитом в их основе, как они могут успешно продвинуться к более сложным ожиданиям или ожиданиям на уровне своего класса? Студент может бегло читать книгу, запоминать исторический вклад в прибытие африканцев в Джеймстаунское поселение и даже выполнять шаги научного метода, но, как выражается Пол Халмос 3 , «единственный способ изучать математику. заниматься математикой.”

Во-вторых, для меня также жизненно важно, чтобы мои ученики начали чувствовать, что математика — это действительно то, чем они могут заниматься, и что мы можем немного повеселиться, делая это. За девять лет преподавания я имел удовольствие обучать, наставлять и взаимодействовать с сотнями студентов ежегодно на разных уровнях в классе и за его пределами, но я не могу вспомнить ни одного студента, который просто сказал: «Я разбираюсь в математике, мне это дается легко ». Многие студенты говорят: «Мне нравится математика, но я ее просто не понимаю.Наиболее распространенное утверждение звучит так: «Математика слишком сложна, поэтому она мне не нравится». Лично я получаю все три утверждения такими, какие они есть, и благодарен студенту за то, что он поделился со мной своей мыслью. Но при этом они знали, что я что-нибудь сделаю с информацией. Я на 100% уверен в том, что мои ученики верят, что я забочусь о них и хочу, чтобы они преуспели, и это большая честь, которой я всегда буду дорожить. Такой уровень доверия также позволяет мне доставить им дискомфорт в отношении математики.

В-третьих, слишком долго ученикам давали инструкции по математике, основанные на простом достижении решения без понимания того, как они пришли к решению, и, что более важно, что означает решение с точки зрения данной исходной задачи. В этом модуле я хочу изучить эти компоненты, чтобы довести до конца круг понимания и применения чувства чисел моими учениками.

Система счисления по основанию 10

Система счисления с основанием 10 использует цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 для образования каждого целого числа, а также расширяется для выражения десятичных и дробных чисел.Ноль в этой системе представляет собой заполнитель; например, 9 099 означает, что в этом числе нет сотен. Для правильного чтения числа необходимо вставить ноль. Сьюзан Смит 4 утверждает, что десятичная система счисления — это позиционная система, в которой единица находится справа, а следующая позиция представляет собой основание, затем основание, умноженное на основание, с продолжением чисел. Это означает, что, поскольку основание нашей системы — десять, размер увеличивается в десять раз на каждом шаге или позиции.Другой важной особенностью системы счисления является то, что «значение целого числа — это сумма его частей или значение, присвоенное каждой цифре 5 ». Когда перечисленные выше компоненты соединены, мы можем использовать систему счисления для выполнения всех основных операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Общая структура системы с основанием десяти, последовательность цифр, отношения цифр друг с другом в каждом номере обеспечивают основу для нашей работы с числами связным образом.Хоу и Эпп 6 заявляют: «Мы надеемся, что раскрытие большего количества аспектов этой структуры улучшит концептуальное понимание и улучшит вычислительную гибкость, тем самым помогая сделать обучение математике более эффективным». Кроме того, понимание десятичной системы улучшит способность учащихся понимать числовую ценность.

Значение места

Разрядное значение можно описать как задание значения цифры в зависимости от ее позиции в числе. Другими словами, разметка позволяет нам повторно использовать единую схему, которая назначает десять цифр в разных позициях в номере, чтобы определить, сколько в каждой из групп есть.Например, 3 из 369 имеет значение 300, тогда как 3 из 39 имеет значение 30. Кроме того, прежде чем углубляться в математические концепции, мои ученики должны быть в состоянии надежно понять, что, когда кто-то спрашивает значение цифра 6 в числе 369 — это не 6 и не десятки, а 60 или 6 десятков. Stein et al. 7 повторяет, что «точное чтение и написание цифр, а также сильное концептуальное понимание концепций разряда подготавливают учащихся к более сложным вычислениям и решению задач.

Howe-Reiter 8 представляет пять этапов понимания разрядов в качестве акцента, чтобы помочь учителю начальной школы посредством исчерпывающего руководства о том, как обучение учащихся основам математики приводит к более глубокому концептуальному пониманию чувства чисел, что позволяет один, чтобы в дальнейшем основываться на более строгих стандартах.

Пять ступеней размещения стоимости по Хоу и Райтеру следующие:

1. Напишите числа —

369.

2.Помните, что число представляет собой сумму «частей разряда» или строительных блоков, которые явно показывают разрядное значение каждой цифры —

369 = 300 + 60 + 9.

3. Каждая цифра представляет собой произведение цифры на основную десятку —

369 = (3 × 100) + (6 × 10) + (9 × 1).

4. Каждая единица базовой десятки является продуктом некоторых копий базовой (базовая 10):

369 = 3 × (10 × 10) + 6 × 10 + 9 × 1.

Каждая единица по основанию десять является результатом умножения предыдущей на 10.Таким образом, базовые десять единиц равны 1, 10, 10 × 10 = 100, 10 × 10 × 10 = 1000 и так далее.

5. Повторяющиеся произведения 10, которые часто называют степенями 10, могут быть удобно записаны с использованием экспонент:

369 = 3 × 10 2 + 6 × 10 1 + 9 × 10 0

Как выглядят пять этапов разложения в классе после решения задачи умножения?

Если бы я купил обед из 4 и 6 наггетсов в Chick-fil-A для каждого ученика четвертого класса, сколько наггетсов у нас было бы всего?

* количество студентов = 75 (только в демонстрационных целях)

1.Наггетс из 4 частей и наггетс из 6 частей = самородок из 10 частей; 75 студентов =

75 = 70 + 5 = 7 × 10 + 5 × 1, поэтому

75 × 10 = (7 × 10 + 5 × 1) × 10 =

(70 × 10) × 10 + (5 × 1) × 10 =

7 × (10 × 10) + 5 × 10 =

700 + 50 =

750

Остальные этапы продукта в форме замещаемой стоимости будут выглядеть так:

2. 750 = 700 + 50 + 0

3. 750 = (7 × 100) + (5 × 10) + (0 × 1)

4. 750 = 7 × (10 × 10) + 5 × 10 + 0 × 1

5.750 = 7 × 10 2 + 5 × 10 1 + 0 × 10 0

В четвертом классе мы обычно рассматриваем и расширяем этап 1, так как учащиеся должны читать, писать и определять значение чисел до девяти цифр (что является увеличением по сравнению с требованием для третьего класса в шесть цифр). Затем этот урок ведет ко второму этапу написания чисел в развернутой форме, и в большинстве классов мало что делается с этапами, выходящими за рамки этого пункта.

В моем классе много раз ученик читал число 66 как «шестьдесят шесть», но когда его просили написать число в развернутой форме, он писал «6 + 6».Еще одна ошибка, с которой я столкнулся на протяжении многих лет, заключается в том, что студент не демонстрирует понимания того, что положение цифры определяет ее значение. Это означает, что ученик пишет 6009, когда его просят написать шестьсот девять, или 60029, когда его просят написать шестьсот двадцать девять. По мере того, как мы переходим к большим числам, когда мы спрашиваем о значении цифры 4 из 430 516 802 703, студент может ответить «4» или «сто миллиардов» вместо «четырехсот миллиардов». Эти простые, но критические ошибки служат для меня тревогой.Как учитель, я знаю, что мне нужно вернуться назад и провести больше времени с этим учеником, чтобы улучшить его понимание отдельных частей с числовой стоимостью, которые составляют перечисленные выше числа. Отсутствие времени в начальных классах для закрепления этого понимания заставляет ученика еще больше упускать из виду связь между числовой стоимостью и вычислением.

Проще говоря, разрядные значения — это то, что управляет всеми остальными арифметическими операциями. Понимание свойств операций также приводит к лучшему пониманию разряда и вычислений.Моим ученикам нужно знать, почему мы объединяем эти числа, а затем разбиваем их на части и как это позволяет нам выполнять умножение. Им необходимо понимать, что единицы с основанием десять имеют разные размеры, и количество цифр говорит об этом размере, называемом порядком величины единицы 9 . Например,

9 = 9 × 1

30 = 3 × 10

300 = 3 × 100

3000 = 3 × 1000.

Из приведенной выше информации мы знаем, что 3000 означает 3 тысячи, потому что справа есть три места, заполненные нулями.Число 300 означает 300, потому что есть два знака справа, заполненные нулями, 30 означает 3 десятка или тридцать, так как справа один разряд или один ноль, а число 9 означает 9 единиц без оставшихся целых чисел для справа от цифры. 8

Если вы посмотрите на пять этапов определения разряда выше, становится довольно ясно, что каждый этап основан на предыдущем и связывает понимание разряда со всеми арифметическими операциями.

Дополнение

В начальных школах США учителя постоянно говорят ученикам, что мы должны выстраивать наши цифры, чтобы складывать правильно.Почему это важно? Проще говоря, мы должны добавить одинаковые единицы. Единицы следует складывать с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т. Д., Пока все цифровые единицы не будут суммированы. На начальном уровне начальной школы и для учащихся, обучающихся наглядно, лучше всего использовать конкретные модели (блоки Base-10 и т. Д.), Чтобы продемонстрировать это, прежде чем переходить учащихся к концептуальному пониманию. Выравнивание цифр гарантирует, что мы добавим одинаковые единицы.

Прежде чем перейти к умножению, я планирую кратко рассмотреть свойства сложения, поскольку они довольно хорошо связаны со свойствами умножения.

Коммутативное свойство сложения говорит, что изменение порядка добавления не меняет сумму.

33 + 66 = 66 + 33

Ассоциативное свойство сложения указывает, что способ группировки слагаемых не меняет суммы.

33 + (66 + 99) = (33 + 66) + 99

Свойство Identity сложения утверждает, что сумма любого заданного числа и нуля эквивалентна этому числу.

99 + 0 = 99

Помня об этих основных свойствах, давайте переместим наше внимание на звезду единицы.

Умножение

Умножение имеет свойства, аналогичные свойствам сложения.

Коммутативное свойство умножения говорит, что множители можно умножать в любом порядке, и это не повлияет на произведение.

369 × 33 = 33 × 369

Коммутативность можно проиллюстрировать с помощью прямоугольного массива. Использование прямоугольного массива позволяет учащимся увидеть, как каждое пространство сетки представляет собой одну цифру и является результатом умножения строк на столбцы.Значение 6 строк, умноженных на 7 столбцов, эквивалентно 42 ячейкам сетки. На рисунках ниже (a) представляет 7 × 6, а (b) представляет 6 × 7. Рисунок (b) является результатом поворота (a) на 90 градусов, и, тем не менее, обе иллюстрации имеют одинаковое количество пространств сетки, поэтому 6 × 7 эквивалентно 7 × 6.

Рисунок (а)

Рисунок (б)

Беннетт и др. 10 подчеркивает, что не менее важно отметить, что понимание коммутативности фактически сокращает количество базовых фактов умножения, которые студенты должны усвоить, вдвое.Предоставление студентам этой базовой информации действительно поможет им в решении более сложных задач умножения. Знание основных фактов умножения облегчает учащемуся умножение в степени десяти.

Больше важных свойств умножения

Ассоциативное свойство умножения гласит, что при умножении трех или более чисел произведение всегда одинаково, независимо от их группировки. Таким образом, например

(5 × 14) × 19 = 70 × 19 = 1330 и 5 × (14 × 19) = 5 × (266) = 1330.

Свойство идентичности умножения утверждает, что любое число, умноженное на единицу, является этим числом.

369 × 1 = 369

Свойство распределенности — важнейшее свойство арифметики, которое связывает умножение и сложение. В нем говорится, что факт умножения можно разбить на сумму двух фактов умножения. Мы можем разложить или «разбить одну из них на части, умножить каждую из частей на другой коэффициент и сложить результаты 11 ». Давайте смоделируем свойство распределения, используя базовую задачу умножения, которую мы использовали выше на рисунках (a) и (b).

7 × 6 также можно рассчитать как 7 × 3 + 7 × 3, поскольку 3 + 3 = 6.

Конечный результат поддерживает 7 групп по 6, что равняется 42. Шесть можно разбить другими способами, такими как (5 и 1) или (4 и 2). Благодаря распределительным свойствам продукт будет оставаться эквивалентным независимо от того, как распределены факторы.

Распределительное свойство можно смоделировать с помощью массива. Я снова буду использовать 7 × 6 в демонстрационных целях.

Расширенное правило распределения согласно Howe и Epp 12 гласит: «Если A и B являются суммой нескольких чисел, то произведение AB можно объединить, умножив каждое слагаемое B на каждое слагаемое A и сложив все полученные продукты. .”

Например, если A = a + b и B = c + d + e, то

AB = (a + b) (c + d + e) ​​=

ac + ad + ae + bc + bd + be

Давайте посмотрим на это правило на примере: 45 × 239

(40 + 5) (200 + 30 +9) =

(40 × 200) + (40 × 30) + (40 × 9) +

(5 × 200) + (5 × 30) + (5 × 9) =

8000 + 1200 + 360 +

1000 + 150 + 45 =

9 560 + 1,195

= 10,755

Приведенный выше пример позволяет нам связать умножение и сложение с помощью расширенного правила распределения при умножении по основанию 10.Каждая строка сетки является результатом умножения каждой отдельной размеченной части одного фактора на каждую размеченную часть другого фактора с последующим сложением всех результатов.

Свойство распределения и его более общие версии, как в приведенном выше примере, являются ключом к выполнению многозначного умножения.

Нулевое свойство умножения утверждает, что любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Это правило является следствием правила идентификации для добавления и правила распределения.

369 х 0 = 0

Ноль — это цифра, которая часто представляется студентам как не имеющая значения, но вместо этого играет роль заместителя. Это может вызвать путаницу у учащихся при выполнении более сложных вычислений умножения, таких как умножение 2-значных чисел на 2-значные числа. Ноль в этом контексте просто означает, что в этом месте ничего нет; мы рассмотрим, насколько легко это заблуждение может изменить продукт в следующем примере.

Каждое из перечисленных выше свойств предоставляет правила, помогающие решать задачи умножения, которые всегда будут применяться к этим конкретным типам уравнений.Возможность определить ситуации, в которых применяется свойство, будет полезна студенту, который только изучает основы умножения.

«Когда учащиеся изучают концепции десятичной основы, они комбинируют мультипликативное понимание (каждое место в десять раз превышает значение места справа) с позиционной системой (каждое место имеет значение) — что-то, что сложно сделать до обучения. об умножении ». 13

Не менее сложно ученикам сразу приступить к решению задач многозначного умножения, как того требуют стандарты четвертого класса в Вирджинии.Итак, прежде чем углубляться в умножение многозначных чисел, давайте рассмотрим умножение однозначных чисел. Думая о однозначном числе и любом значении разряда, мы можем легко написать: 3, 30, 300, 3000, 30 000 и т. Д., Что эквивалентно:

3 × 1 = 3

3 × 10 = 30

3 × 100 = 300

3 × 1000 = 3000

3 × 10 000 = 30 000

Эти же принципы можно использовать для умножения однозначных чисел и чисел, кратных десяти.Например:

30

4

6 × 30

6 × 4

= 180

= 24

6

180 + 24 = 204

6 × 34 = 204

В приведенном выше примере мы можем увидеть, как свойство распределения используется для умножения числа 6 на каждую из частей разряда 34, которые были записаны в развернутой форме.

По мере того, как учащиеся переходят от однозначного умножения к двузначному умножению, рекомендуется заранее подвергать их умножению, кратному 10 и 100. В Вирджинии это обычно вводится в третьем классе. Ван де Валле 14 подчеркивает, что этот фокус поддерживает важность разряда и акцент на числе, а не на отдельных цифрах. Посмотрев на число, учащийся сможет более четко видеть отдельные элементы-разряды и, таким образом, соответствующим образом разложить число при работе с большими числами, при условии, что учащийся сможет отслеживать разовое значение.

Например:

19 × 80 = 19 × (8 × 10) = (19 × 8) × 10 = 152 × 10 = 1520

Точно так же мы можем использовать значение разряда, чтобы направлять вычисление умножения с участием более высоких степеней десяти:

19 × 800 = 19 × (8 × 100) = (19 × 8) × 100 = 152 × 100 = 15 200

Опять же, в игру вступает правило распределения, когда 19 умножается на каждую цифру с разрядной стоимостью, чтобы получить произведение для данного уравнения. Когда учащийся способен визуализировать разряды десятичных чисел, вычисляемые с помощью десятичных знаков, учащийся легче усваивает и применяет эту концепцию к более реальным ситуациям.

Если посмотреть на умножение двух цифр на две цифры и роль нуля, как в приведенном ниже примере, важность понимания каждого элемента разряда возрастает при вычислении продукта. Этот пример моделирует частое заблуждение среди студентов, которые не понимают роли нуля для второго ряда частичных продуктов, а также значения «1» в «13».

Рисунок (c)

По сравнению с правильным алгоритмом:

Рисунок (d)

На рисунке (c) можно ясно видеть, что понимание того, что «1» в множителе представляет одну десятку, которая дает увеличенное значение общего продукта алгоритма, как показано на рисунке (d).Решение не идентифицировать «1» как одну десятку заставило ученика вместо этого умножить ее на другую цифру. Полное игнорирование значения места в этом примере — распространенное заблуждение среди учащихся этой возрастной группы. На рисунке (d) показано, как учащийся смог вставить «0» во второе частичное произведение, чтобы указать, что единичная цифра множителя уже была умножена на каждое число множимого.

Существует несколько типов одноэтапных задач умножения / деления в соответствии с тремя типами ситуаций, в которых используется умножение.

Равные группы

При умножении один коэффициент представляет количество равных групп, а другой коэффициент представляет количество или размер каждой группы. Результат — произведение суммы всех групп. Эта модель позволяет учащимся использовать конкретные предметы для визуализации умножения как расширения сложения; умножение здесь означает прибавление числа к самому себе несколько раз.

Массивы

Массив состоит из строки и столбцов и усиливает понимание коммутативного свойства, как указано выше (например,грамм. 7 строк и 6 столбцов образуют массив 7 x 6).

Мультипликативные сравнения

Мультипликативное сравнение сравнивает две величины, говоря, что одна из них в некоторое количество раз больше (или меньше), чем другая.

В приведенной ниже таблице представлены примеры каждого типа задачи умножения в словесной форме, с акцентом на все неизвестное, поскольку эти типы задач требуют умножения для их решения и не включают типы умножения, требующие использования других операций.Примеры словесных задач будут использоваться вместе со стратегиями обучения в демонстрационных целях.

Тип задачи умножения

Примеры

Равные группы Целые Неизвестно

На столе 12 коробок кексов. В каждой коробке 24 кекса. Сколько всего кексов?

Массив Неизвестно целиком

В национальном турнире по баскетболу принимают участие 18 баскетбольных команд.Каждая команда имеет по 12 баскетболистов, исполняющих национальный гимн. Сколько баскетболистов вместе стоят?

Мультипликативное сравнение — результат неизвестен

На прошлой неделе Халил находился в тренажерном зале 55 минут. Джеральд за ту же неделю находился в тренажерном зале в четырнадцать раз дольше Халила. Как долго Джеральд находился в тренажерном зале?

Мультипликативное сравнение — меньшая сумма неизвестна

Essence пробежал 120 миль.Она пробежала в три раза больше миль, чем Эринн. Сколько миль пробежала Эринн?

Мультипликативное сравнение — коэффициент сравнения неизвестен

Тайя проехала 420 миль на танцевальное соревнование. Моней проехал 70 миль. Во сколько раз Тайя проехала дальше, чем Монай?

Районная модель

Использование модели площади для решения задачи умножения может быть полезно учащимся при вычислении умножения 2 на 2 цифры, поскольку оно основано на компонентах разряда, поскольку каждое число разбивается на десятки и единицы.Рисуя прямоугольники как можно ближе к масштабу, ученик может понять, почему мы умножаем факторы именно так, как мы. Van de Walle 15 повторяет преимущество модели площади, заявляя: «Модель площади использует структуру строк и столбцов для автоматической организации равных групп и предлагает наглядную демонстрацию коммутативных и распределительных свойств».

Бумага с сеткой

— отличный инструмент для иллюстрации этой концепции, поскольку учащиеся могут посчитать каждую ячейку для представления факторов, поскольку каждая ячейка имеет одинаковый размер, и было бы легко очертить модель области, которая представляет, например, 12 × 24.После того, как квадраты обведены, ученик может использовать блоки Base-10, чтобы покрыть соответствующий кусок. Каждая часть Base-10 приводит к частичным продуктам, которые затем складываются вместе для вычисления продукта. При моделировании этого примера для моих студентов будет важно повторить, что каждая плоскость состоит из 10 стержней, что представляет 10×10 = 100.

Используя равные группы, целиком неизвестную проблему со словом из приведенной выше таблицы, я смоделирую шаги использования модели площади для решения задачи умножения 2-значного на 2-значное.Как и в случае с добавлением, вопросы вычисления в значительной степени не зависят от типов проблем. Учащимся необходимо понимать контекст, в котором может использоваться умножение, а также то, как его выполнять в вычислительном отношении.

Шаг 1: Запишите проблему.

12 (столбцов) × 24 (строк)

Шаг 2: Начертите сетку в масштабе и запишите каждый коэффициент в развернутой форме.

20

4

10 × 20

10 × 4

10

2 × 20

2 × 4

2

На этом этапе двузначные числа раскладываются на их компоненты разряда, и каждый компонент одного умножается на каждый компонент другого в соответствии с расширенным правилом распределения.Каждый продукт, состоящий из частей, представляющих ценность, легко вычислить, следуя приведенному выше обсуждению. Множимое 12 делится на 10 и 2, и каждый множитель умножается на каждую часть 24. Этот шаг также показывает визуальное представление расширенного правила распределения, которое было объяснено ранее. Обратите внимание, что рисование прямоугольников в масштабе является ключевой особенностью модели области.

Шаг 3: Запишите числа в развернутой форме записи.

(10 + 2) × (20 +4) =

(10 × 20) + (10 × 4) + (2 × 20) + (2 × 4) =

Важно отметить, что этот шаг иллюстрирует символьную версию Расширенного правила распределения, в которой каждая часть разовой ценности одного фактора распределяется среди всех частей разовой ценности другого фактора.

Шаг 4: Выполните все указанные в шаге 3 умножения и сложите частичные произведения.

200 + 40 + 40 + 8 = 288

Коробочный метод

Метод боксов — это абстрактная версия модели области. Учащиеся больше не рисуют пропорциональные прямоугольники для вычисления продукта, а прямоугольники равного размера, которые больше подходят для логики при умножении на более крупные числа. Было бы непрактично рисовать прямоугольники в масштабе для трехзначных чисел или больше. Кроме того, по моему опыту, студенты теряют драгоценное время, пытаясь нарисовать коробки в масштабе при работе с большими числами, а не рисовать коробки одинакового размера.

Давайте посмотрим на пример задачи с неизвестным словом результата мультипликативного сравнения из приведенной выше таблицы.

На прошлой неделе Халил находился в тренажерном зале 55 минут. Джеральд за ту же неделю находился в тренажерном зале в четырнадцать раз дольше Халила. Как долго Джеральд находился в тренажерном зале?

Так как модель области и блочный метод имеют некоторое сходство, шаги могут быть немного параллельны. Этот небольшой прогресс повысит общую уверенность студентов, поскольку они будут расширять свое прежнее понимание вычисления двузначного умножения на двузначное.Этот прогресс также будет поддерживать принципы, лежащие в основе установки на рост, позволяя учащимся увидеть, что рост — это непрерывный процесс. Кроме того, использование прямоугольного метода позволяет учащимся продолжать видеть разложение чисел на их соответствующие части с размеченными значениями.

Шаг 1: Напишите множители для умножения в развернутой форме.

Шаг 2: Нарисуйте прямоугольник с равными линиями сетки, которые соответствуют количеству слагаемых, полученных в результате записи факторов в развернутой форме.Поместите развернутую форму множителя горизонтально поперек каждого поля и развернутую форму множителя вертикально рядом с каждым квадратом.

Шаг 3: Используя сетку, умножьте каждое число множимого в верхней части поля на каждое число множителя на стороне поля.

50

5

10 × 50

10 × 5

10

500

50

4 × 50

4 × 5

200

20

4

Шаг 4: Добавьте каждый частичный продукт из коробок, чтобы получить общий продукт.

500

200

50

+ 20

——

770

Приведенный выше пример блочного метода дополнительно иллюстрирует расширенное правило распределения, которое ранее обсуждалось, поскольку каждый фактор был объединен путем умножения каждого слагаемого. Кроме того, если посмотреть на метод боксов, суммы по строкам частичных продуктов дают слагаемые Стандартного алгоритма, как показано в примере ниже. При суммировании по столбцам получаются добавления стандартного алгоритма, когда порядок факторов меняется на 14 × 55 (показано ниже).

Стандартный алгоритм США

Стандартный американский алгоритм решения умножения может быть наиболее широко используемой стратегией, и можно также подозревать, что он наименее понятен учащимся в классах во всем мире. Многие учителя склонны внедрять эту стратегию очень рано, когда учат студентов умножению, когда они все еще пытаются понять, почему они перегруппировываются и вставляют «0» каждый раз, когда приходят к новому ряду частичных продуктов.

Пример, приведенный ниже, представляет собой тот же алгоритм, который использовался для блочного метода выше, чтобы помочь в качестве наглядного изображения, чтобы показать эквивалентность частей или результирующих частичных продуктов в каждой стратегии.

Шаг 1: Умножьте единичную цифру множимого (верхнее число) на единичную цифру множителя (нижнее число). Поместите единицы на место единиц ниже равной полосы и перегруппируйте десятки над разрядами десятков в множимом.

2

5 5

× 1 4

——

0

2

1 4

× 5 5

——

0

Важно отметить, что перегруппировка происходит в результате: 5 единиц × 4 единицы = 20 единиц и 20 единиц = 2 десятки и 0 единиц.Обязательно выделите язык с основанием десяти, поскольку он указывает на количество десятков и на то, почему необходима перегруппировка.

Шаг 2: Умножьте цифру единиц множителя на цифру десятков множимого и сложите перегруппированные десятки из шага 1. Напишите сумму рядом с «0» в разряде единиц.

2

5 5

× 1 4

——

220

2

1 4

× 5 5

——

70

Обратите внимание, что результат 220 — это сумма двух сумм в нижней строке сетки, а 70 — это сумма частичных произведений столбцов в блочном методе для этого продукта.

Жизненно важно, чтобы учащиеся умножали цифры перед перегруппировкой, поскольку умножение создает новое число десятков, которое затем нужно будет добавить к ранее созданному числу десятков из шага 1. Однако многие студенты совершают ошибку, добавляя 2 к 5 перед умножение на 4. Это означает, что 5 подходов по 4 равняются 20; 20 плюс 2 десятка равняются 22 десяткам или 2 сотням и 2 десяткам. Студенты, которые перегруппируются первыми, обычно делают это, имитируя процедуру сложения, добавляя перегруппированную цифру перед добавлением оставшихся цифр в столбце разряда.

Судя по моему опыту преподавания, многим студентам сложно удерживать цифры на одной линии при использовании этого метода, что может легко исказить их конечный продукт. Чтобы ограничить это, я предлагаю студентам использовать сетку, в которой каждое число соответствует квадрату на бумаге, или студенты повернут свой блокнот вертикально, чтобы числа уже были выровнены в ряды.

Шаг 3: Вставьте «0» во вторую строку частичных произведений, так как теперь мы будем умножать на десятки множителя.

2

5 5

× 1 4

——

220

0

2

1 4

× 5 5

——

70

0

Шаг 4: Умножьте цифру десятков множителя на цифру единиц множимого и запишите цифру рядом с «0».

2

5 5

× 1 4

——

220

50

2

2

1 4

× 5 5

——

70

00

Шаг 5: Умножьте цифру десятков множителя на цифру десятков множимого.

2

5 5

× 1 4

——

220

+550

2

2

1 4

× 5 5

——

70

+700

На этом этапе процесса я хотел бы показать студентам, что второе слагаемое, 550, является суммой двух сумм в верхней строке сетки, а 700 — это сумма частичных продуктов в левом столбце для Коробочный метод.

Шаг 6: Вычислите суммы частичных продуктов, чтобы получить общий продукт.

2

5 5

× 1 4

——

220

+550

——

770

2

2

1 4

× 5 5

——

70

+700

——

770

Инструкция для всей группы / для малых групп

Одна стратегия, которую я буду использовать в своем классе, — это обучение всей группе / малой группе.В течение этого времени я буду давать прямые инструкции по дневному стандарту, используя несколько способов (интерактивные заметки, иллюстрированные книги, вопросы-ответы, создание складных документов, видео-демонстрации и т. Д.), Чтобы создать рамку урока. Это время для студентов, чтобы узнать

явных способов решения математических задач, словарного запаса и расширения их мышления за пределы того, чему их ранее учили посредством исследования в комфортной обстановке. Студенты начнут понимать, что решение математического уравнения можно вычислить несколькими способами.Жизненно важно, чтобы учащиеся учились в комфортной обстановке и понимали, что ошибки являются частью учебного процесса. Все мои групповые занятия, как и весь мой класс, сосредоточены на установке на рост, поэтому ученики создают нормы класса, которым они соглашаются следовать, чтобы помочь нам добиться успеха в математике. Эта установка на рост смоделирована в групповых инструкциях.

Think-Pair-Поделиться

Эта стратегия дает учащимся возможность подумать над задачей индивидуально, а затем объединиться с соседним сверстником, чтобы обсудить свои мысли, прежде чем поделиться со всей группой.Студентам очень нравится эта стратегия, поскольку она дает им время поделиться своими идеями с кем-то другим, сводя к минимуму фактор запугивания, прежде чем поделиться своими мыслями или ответами со всем классом. Эта стратегия также способствует активному разговору по математике, поскольку учащиеся общаются, используя конкретную лексику и математическое мышление, чтобы прийти к взаимно согласованному решению. Как учитель, я знаю, что ученики в этом возрасте легко отвлекаются и иногда отклоняются от темы в разговоре, поэтому ученикам дается определенное время, чтобы поговорить, чтобы минимизировать это.

Ученик как учитель

Еще одна стратегия, которую я использую в своем классе, состоит в том, чтобы ученик работал учителем. Я не использую эту стратегию в самом начале учебного года, поскольку ученики все еще пытаются адаптироваться к новой среде и ролям четвероклассников. Однако, когда я реализую эту стратегию, даже самый упорный студент захочет участвовать. По мере того, как ученики привыкают к потоку нашего класса, я постепенно передаю роль учителя ученику для небольшого задания.Во время этой смены ролей ученик по сути становится учителем, а я — одним из учеников. Они должны вести себя как знающие в классе и помогать ученикам понимать и выполнять поставленные задачи. Я мысленно помечаю, какие ученики могут помочь в обучении, а также играю роль испуганного ученика, который просто не понимает, что делать в сложившейся ситуации. По мере того, как мои вопросы усложняются, другие ученики в классе объединяют усилия со студентом-преподавателем, чтобы помочь мне понять концепцию.Командная работа, которая помогает мне понять концепцию, является еще одним преимуществом стратегии, потому что для меня важно, чтобы мои ученики знали, что мы семья и что мы все здесь, чтобы учиться и расти вместе.

Чтобы закрепить представленные цели содержания, ученики выполнят несколько интерактивных заданий в классе. Для меня эти действия могут служить как неформальными, так и формальными оценками. Действия также можно выполнять индивидуально или в небольшой группе. Основываясь на моем предыдущем опыте, я попрошу своих учеников выполнить первое задание, указанное ниже, в формате небольшой группы.Я ожидаю, что это поддастся большому количеству разговоров по математике, что еще больше способствует пониманию навыка.

Игрушки R Math Activity

В этом упражнении у учеников будет возможность делать покупки из рекламы магазина игрушек, созданной учителем. В рекламе будут сочетаться самые популярные и не очень популярные игрушки, которые нравятся школьникам этой возрастной группы. Студенты будут использовать умножение для завершения своих покупок, например, 2 контроллера Xbox One = 60 долларов США x 2 = 120 долларов США или 17 кубиков Zuru Fidget Cubes = 17 × 12 долларов США = 204 доллара США.Эту деятельность можно дифференцировать в зависимости от способностей учащихся. Если точно указать, сколько игрушек должен купить учащийся, его можно поддерживать с помощью строительных лесов. Я также позволю студентам использовать более открытый подход, основанный на запросах, предоставив им конкретный бюджет и проинструктируя их посмотреть, насколько близко они могут подойти, не превышая этот бюджет. Такой подход обогащает студентов, которым требуется больше внимания. Этот вариант заставляет учащихся также проверять вычитание при совершении покупок.После того, как учащиеся завершили свои покупки, они должны выписать чек на покрытие стоимости своих товаров. Эта, казалось бы, небольшая задача позволяет ученикам практиковать этот реалистичный навык в непринужденной манере, одновременно изучая, как читать, писать и определять числа как в стандартной, так и в словоформе. Написание чека также дает учащимся возможность попрактиковаться в написании своей подписи, что в нашу эпоху кажется забытым навыком. После того, как все группы завершат свои транзакции, каждая группа поделится со всем классом тем, что они приобрели, и методом, который они использовали для генерации итоговой суммы.

Если я хочу расширить это задание, включив в него стандарты проверки, я мог бы попросить студентов отсортировать общую сумму, потраченную различными группами, от наименьшей к наибольшей или наоборот. Учащиеся также могли сложить итоговые значения, полученные каждой группой, чтобы получить общее количество классов, которое затем можно было бы сравнить между тремя классами, которые я преподаю.

Что не хватает?

Это занятие представляет собой скутер. Скут-игры проводятся для всего класса одновременно, в которых учитель кладет карточки с вопросами на парту каждого ученика.Чтобы играть, ученики перемещаются по комнате, от стола к столу, решая математические задачи. По мере того, как учащиеся вращаются вокруг класса, они должны будут либо заполнить то, что отсутствует в сеточной модели, а затем решить проблему, либо найти недостающий частичный продукт, который завершает блочный метод. (Примеры игровых карточек показаны ниже.) Поскольку ученики перемещаются по классу, это будет индивидуальное занятие. Чтобы дать учащимся возможность больше говорить по математике (стратегия Think-Pair-Share), они могут работать в парах или небольших группах в зависимости от расстояния, которое ограничит количество scoot-карточек, которые раздаются на каждой парте.

Это действие, как и предыдущее, можно дифференцировать. Глядя на три типа карт ниже, можно легко увидеть, что в каждом алгоритме отсутствуют различные аспекты, или карта требует, чтобы вы выполнили все шаги метода боксов, чтобы заполнить карту. Карты могут быть отсортированы таким образом, чтобы конкретная группа или отдельные учащиеся последовательно решали только один тип задач, пока не будут достигнуты уверенность и понимание, прежде чем применять другие типы карт.

Образцы карт Scoot

Математические рассказы в коробке

В этом упражнении ученики сложат чистый лист бумаги в четыре равные коробки, как если бы они рисовали метод прямоугольников для биномов в своих интерактивных блокнотах. В каждой рамке ученик проиллюстрирует аспект самостоятельно созданной задачи мультипликативного сравнения слов. Затем ученики поменяются местами в своей небольшой группе и будут повторять упражнение, пока у каждого ученика не будет возможности поделиться своей историей.Чтобы обеспечить точность и установить связь между методом боксов и стандартным алгоритмом, учащиеся будут использовать метод боксов для решения словесной задачи и стандартный алгоритм для проверки своей работы. Учащимся нужно будет понять сумму строки и частичное соединение продукта, как показано в приведенном ниже примере. По завершении каждая группа выберет одну историю, которой поделится со всем классом. Группа должна коллективно научить класс («Студенты как стратегия учителя») тому, как решать словесную задачу, используя либо метод ящика, либо стандартный алгоритм.

9 × 4, 353 = 9 × 4000 + 9 × 300 + 9 × 50 + 9 × 3 =

Пример метода коробки:

4 000

300

50

3

4,000 × 9

= 36 000

300 × 9

= 2,700

50 × 9

= 450

3 × 9

= 27

9

36 000 + 2 700 + 450 + 27 =

30 000 + 2 000 + 400 + 20

+ 6000 + 700 +50 + 7 =

30 000 + 8 000 + 1100 + 70 + 7 =

30 000 + 9 000 + 100 + 70 + 7 = 39 177

U.S. Пример стандартного алгоритма:

3 4 2

4353

× 9

———

39 177

Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что произведение цифры и элемента с размеченной стоимостью состоит не более чем из двух частей с разрядной стоимостью: одна такой же величины, что и исходная, и одна на одну величину больше. Числа в первой строке — это частичные продукты из сеток боксового метода. Во второй строке каждое число было разложено на часть разряда той же величины, что и часть второго фактора, из которой оно происходит, и часть разряда следующей большей величины.Часть большей величины находится вверху, а меньшая — внизу. Это как если бы коробки были разделены на две части, причем кусок большего размера был помещен сверху, а меньший — снизу. Затем, чтобы получить строку 3 rd , добавляются части разряда того же порядка величины. Это похоже на добавление содержимого ящиков по диагоналям в более мелко разбитую коробку. Как указано в строке 4 -го , перед написанием окончательного ответа произошла дополнительная перегруппировка (справа в строке 4 ).

Если вы сравните это со стандартным методом, вы заметите, что суммы в верхних полях являются «переносами», числами, которые записываются в виде надстрочных индексов в стандартном методе и добавляются к продукту в следующем месте. Выполнение таких действий и сравнение может помочь учащимся понять, почему в каждом месте они должны сначала умножать, а затем прибавлять перенос к произведению, а не наоборот.

Поскольку я буду делиться со студентами иллюстрированными книжками с числовыми значениями и умножением (многоуровневый список книг, приведенный в разделе ресурсов), их создание этих мини-рассказов расширит их способность применять математику для связи чтения и письма. .Это также дает ученикам возможность проявить творческий подход к своим иллюстрациям, что иногда может быть редкостью для этого уровня, особенно по математике.

Все вышеперечисленные действия соответствуют умножению 2 на 2 цифры, поскольку это то, что стандарты требуют для моих студентов. Однако каждый пример также можно расширить в более крупном масштабе, добавив больше цифр в конце года в целях обогащения.

Алгоритм

: пошаговое решение задачи

Массив

: способ отображения объектов в равных группах

разложить: разделение числа на 2 или более частей

множителя: числа, умноженные, чтобы получить продукт

кратное: любое число, умноженное на счетное число

Умножаемое

: число, на которое умножается

Умножение

: операция, которая дает общее число при объединении равных групп

мультипликативное сравнение: сравнивает суммы, спрашивая или сообщая, во сколько раз одна сумма больше другой

Множитель

: число, на которое множимое умножается на

.
Порядок

: число, обозначающее отношение двух величин, обычно выражаемое в десятичных степенях

частичное произведение: произведение, которое вы получаете при умножении на одну цифру за раз, составляющее части общего

.

произведение: ответ в задаче умножения

Соответствующие математические книги с картинками

Книги уровня 1: иллюстрируют только математическую концепцию и не содержат прямой сюжетной линии.

Строительные блоки умножения, Джозеф Мидтун и Самуэль Хити

Лучшие времена, Грег Тан

Виноград математики, Грег Тан

Ноль — это листья на дереве, Бетси Франко

Сколько стоит миллион? Дэвид Шварц

Миллион точек , Майк Рид Эндрю Клементс

Ноль, это что-то? Это ничего? Клавдия Заславская

Большие числа, Эдвард Паккард

Теперь для моего следующего номера, Маргарет Парк

Книги уровня 2: Имейте увлекательный сюжет, который вплетен в математическую связь

Завтрак в закусочной Дэнни, Джудит Стэмпер

7 x 9 = Проблема, Клаудиа Миллс

Таинственный сосуд умножения Анно , Масаичиро и Мицумаса Анно

Слишком много дел кенгуру ! Стюарт Мерфи

Как посчитать дюжину утят? Сеон Чэ

Удивительный сон Аманды Бин, Синди Нойхвандер

В десять раз лучше, Ричард Михельсон

The Multiplication Monster, Кимберли Гросс

Zero the Hero, Joan Holub

Место для нуля, Анджелина Спарагна ЛоПрести

За пределами миллиона: удивительное математическое путешествие, Дэвид Шварц

Trouble With Monkeys, Люси Равиш

Королевские комиссары, Синди Нойхвандер

Книги уровня 3: не являются специально математическими, но могут использоваться для установления связей

Город в цифрах, Стивен Джонсон

Два способа считать до десяти, Руби Ди

Примеры вопросов для расследования

  1. Сколько тебе дней?
  2. Сколько ролей туалетной бумаги мы используем в учебном году?
  3. Сколько пакетов молока выпивает школа в месяц?
  4. Сколько миль проехал бы ваш школьный автобус до зимних каникул?
  5. Сколько тебе секунд?
  6. Как долго будут звучать утренние объявления до конца учебного года?
  7. Если у нас будут 15-минутные перерывы каждый день, сколько свободного времени вам понравится на весенних каникулах?
  8. Сколько учеников понадобится, чтобы растянуть длинный зал?
  9. Сколько пар обуви нужно, чтобы очертить периметр класса?
  10. Сколько ноутбуков нужно, чтобы достичь потолка в классе?
  11. Если мы все ученики 2-5 классов играем в Minecraft по 60 минут в неделю, сколько минут все ученики будут играть за одну неделю? Через шесть недель?

Этот учебный план разработан как руководство по обучению умножению двух цифр на 2 цифры для учеников четвертого класса.Он соответствует недавно пересмотренным стандартам обучения 2016 года, представленным в рамках учебной программы, которые характерны для штата Вирджиния.

Стандарты обучения Вирджинии (2016)

4.4 Студент

  1. демонстрируют свободное владение фактами умножения до 12 x 12 и соответствующими фактами деления;
  2. оценивает и определяет суммы, разницы и произведения целых чисел;
  3. создает и решает одношаговые и многоступенчатые практические задачи, включающие сложение, вычитание и умножение, и одношаговые практические задачи, связанные с делением целых чисел.

Стандарты обучения 2016 года были введены поэтапно в течение 2017–2018 учебного года, таким образом, учащиеся третьего класса столкнулись со следующими целями в качестве основы обучения в четвертом классе.

3.4 Студент будет

  1. представляют собой умножение и деление до 10 × 10 с использованием различных подходов и моделей;
  2. создавать и решать пошаговые практические задачи, которые включают умножение и деление до 10 x 10; и
  3. демонстрируют свободное владение фактами умножения 0, 1, 2, 5 и 10; и
  4. решает одношаговые практические задачи, связанные с умножением целых чисел, где один множитель равен 99 или меньше, а второй множитель равен 5 или меньше.

Важно знать уровень воздействия, которым подвергаются учащиеся до поступления в четвертый класс, поскольку это помогает при обучении.

Стандарты общего ядра

Вирджиния не относится к штатам с общим ядром, но к этому устройству также могут применяться приведенные ниже стандарты.

CCSS.MATH.CONTENT.3.OA.A.1. Интерпретировать произведение целых чисел, например, интерпретировать 5 × 7 как общее количество объектов в 5 группах по 7 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором общее количество объектов может быть выражено как 5 × 7.

CCSS.MATH.CONTENT.3.OA.A.3 Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения задач со словами в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например, используя рисунки и уравнения с символом для неизвестного числа представлять проблему.

CCSS.MATH.CONTENT.3.OA.A.5 Применяйте свойства операций как стратегии умножения и деления.2 Примеры: Если известно 6 × 4 = 24, то также известно 4 × 6 = 24. (Коммутативное свойство умножения.) 3 × 5 × 2 можно найти как 3 × 5 = 15, затем 15 × 2 = 30 или 5 × 2 = 10, затем 3 × 10 = 30.(Ассоциативное свойство умножения.) Зная, что 8 × 5 = 40 и 8 × 2 = 16, можно найти 8 × 7 как 8 × (5 + 2) = (8 × 5) + (8 × 2) = 40 + 16 = 56. (Распределительная собственность.)

CCSS.MATH.CONTENT.3.OA.A.7. Плавно умножайте и делите в пределах 100, используя такие стратегии, как взаимосвязь между умножением и делением (например, зная, что 8 × 5 = 40, каждый знает, что 40 ÷ 5 = 8) или свойства операций. К концу 3 класса выучить по памяти все произведения двух однозначных чисел.

CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.A.1. Интерпретируйте уравнение умножения как сравнение, например, интерпретируйте 35 = 5 × 7 как утверждение, что 35 в 5 раз больше, чем в 7, и в 7 раз больше, чем 5. Представляйте словесные утверждения. мультипликативных сравнений как уравнения умножения.

CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.A.2 Умножение или деление для решения словесных задач, включающих мультипликативное сравнение, например, используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа для представления проблемы, отличая мультипликативное сравнение от аддитивного сравнения .

CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.A.3. Решайте многоступенчатые задачи со словами, поставленные с целыми числами и имеющие целочисленные ответы, используя четыре операции, включая задачи, в которых необходимо интерпретировать остатки. Представьте эти проблемы, используя уравнения с буквой, обозначающей неизвестную величину. Оцените разумность ответов с помощью мысленных вычислений и стратегий оценки, включая округление.

CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.A.5 Умножение целого числа до четырех цифр на однозначное целое число и умножение двух двузначных чисел, используя стратегии, основанные на разрядах и свойствах операций. .Проиллюстрируйте и объясните расчет с помощью уравнений, прямоугольных массивов и / или моделей площадей.

, по состоянию на 14 июля 2018 г. https://www.mathsisfun.com/definitions/number-sense.html. Этот веб-сайт дает четкое определение математического термина «смысл числа».

По состоянию на 12 июля 2018 г. https://math.uchicago.edu/~chonoles/miscellany/quotations/. Этот веб-сайт предоставляет списки математических цитат, отсортированных по категориям.

Беннет, Альберт Б., Младший, Лори Дж. Бертон и Л. Тед Нельсон. Математика для учителей начальных классов Концептуальный подход . 8-е изд. Dubuque, IA: McGraw-Hill, 2010. 169.

.

Ди, Руби и Сьюзан Меддо. Два способа считать до десяти: либерийская сказка . Нью-Йорк: Square Fish, 2013.

.

Хоу, Роджер и Гарольд Рейтер. «Пять ступеней определения стоимости». Учителя Индии. 26 сентября 2012 г. По состоянию на 10 мая 2018 г. http://www.teachersofindia.org/en/article/five-stages-place-value.Онлайн-статья, в которой описываются пять этапов определения места ценности и то, как они позволяют производить вычисления.

Хау, Роджер. «Краткие сведения о размещаемой стоимости». Не опубликовано. Ридинг, Йельская национальная инициатива, Йельский университет, 12 июля 2018 г. Эта статья полезна тем, что объясняет основы разложения в том, что касается вычислений.

Роджер Хоу и Сюзанна Эпп, Принимая во внимание ценность серьезно: арифметика, оценка и алгебра (Коннектикут), по состоянию на 6 июня 2018 г. Расширенное правило распределения, используемое в модуле, было взято из этой статьи.

Маленький, Мариан. Взгляд на математику: визуальный подход к преподаванию математических концепций . 2012, 2013. 85.

Смит, Сьюзан Сперри. Математика для детей младшего возраста . Бостон: Пирсон, 2006. 153–154.

Стейн, Марси, Дайан Киндер, Кристен Рольф, Джерри Силберт и Дуглас В. Карнин. Прямое обучение математике . Пятое изд. NY, NY: Pearson, 2018. 39.

.

Ван Де Валле, Джон А., Карен С.Карп, Дженнифер М. Бэй-Уильямс, Джонатан А. Рэй и Элизабет Тодд Браун. Математика для начальной и средней школы: развивающее обучение . Десятое изд. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Пирсон, 2019.

  1. Ди, Руби и Сьюзан Меддо. Два способа считать до десяти: либерийская сказка .
  2. https://www.mathsisfun.com/definitions/number-sense.html
  3. https://math.uchicago.edu/~chonoles/miscellany/quotations/
  4. Смит, Сьюзан Сперри. Математика для детей младшего возраста.
  5. Смит, Сьюзан Сперри. Математика для детей младшего возраста.
  6. Роджер Хоу и Сюзанна Эпп, серьезно относящиеся к ценности.
  7. Стейн, Марси, Дайан Киндер, Кристен Рольф, Джерри Силберт и Дуглас В. Карнин. Прямое обучение математике .
  8. Хоу, Роджер и Гарольд Рейтер. «Пять ступеней определения стоимости».
  9. Хау, Роджер.«Краткие сведения о размещаемой стоимости».
  10. Беннет, Альберт Б., младший, Лори Дж. Бертон и Л. Тед Нельсон. Математика для учителей начальных классов Концептуальный подход .
  11. Маленький, Мариан. Взгляд на математику: визуальный подход к преподаванию математических концепций.
  12. Роджер Хоу и Сюзанна Эпп, серьезно относящиеся к ценности.
  13. Ван де Валле. Математика для начальной и средней школы: развивающее обучение.
  14. Ван де Валле. Математика для начальной и средней школы: развивающее обучение.
  15. Ван де Валле. Математика для начальной и средней школы: развивающее обучение.

Что такое порядок операций?

Что такое порядок действий?

В математике порядок операций — это правила, устанавливающие последовательность, в которой должны выполняться несколько операций в выражении.

Способ запоминания порядка операций — PEMDAS, где каждая буква обозначает математическую операцию.

п. Круглые скобки
E Показатель степени
М Умножение
Д Дивизион
А Дополнение
S Вычитание

Правила PEMDAS, устанавливающие порядок, в котором должны выполняться операции в выражении, следующие:

1. Круглые скобки — они имеют приоритет над всеми другими операторами. Первый шаг — выполнить все операции в скобках. Проработайте все группировки изнутри наружу. (Все, что указано в скобках, является группировкой)

2. Экспоненты — Найдите все экспоненциальные выражения.

3. Умножение и деление — Далее, двигаясь слева направо, умножаем и / или делим в зависимости от того, что наступит раньше.
4. Сложение и вычитание — Наконец, двигаясь слева направо, складывайте и / или вычитайте, в зависимости от того, что наступит раньше.

Зачем нужно соблюдать порядок действий?

Следуйте правилам порядка операций для решения выражений, чтобы все пришли к одному и тому же ответу.

Вот пример того, как мы можем получить разные ответы, если НЕ соблюдаем правильный порядок операций.

Выражение решено слева направо Выражение решено с использованием порядка операций (PEMDAS)

6 х 3 + 4 х (9 ÷ 3)

6 х 3 + 4 х (9 ÷ 3)

18 + 4 x (9 ÷ 3)

22 х (9 ÷ 3)

198 ÷ 3

= 66 ✘

6 х 3 + 4 х (9 ÷ 3)

6 X 3 + 4 x (9 ÷ 3) P

6 х 3 + 4 х 3 → М

18 + 4 x 3 → М

18 + 12 → А

= 30 ✔

Интересные факты

  • Популярная мнемоника, используемая для запоминания порядка действий. ПЕМДАС — это «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Давайте споем!

На самом деле все дело в операциях,

Решайте по порядку, иначе будет напряженность.

Начните с открытия скобок.

Прыгайте с экспонентами.

Куб или Квадрат — это все очень честно!

Далее, Умножение или Разделение — переход слева направо.

Сложение и вычитание идут последними, но они просты.

наконец-то, это так просто, как A B C D!

Давайте сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать ребенку рабочие листы, составляйте словесные задачи из реальных жизненных ситуаций. Это поможет им писать и решать выражения, а также использовать порядок операций для упрощения выражений в предалгебре и алгебре.

Например, возьмите ребенка за покупками. Попросите их выбрать 2 дюжины яиц, 3 пакета булочек для хот-догов, 2 пакета конфет и 2 коробки хлопьев.Затем попросите их положить обратно одну коробку хлопьев. Теперь спросите у ребенка количество яиц в дюжине, количество булочек в пачке, количество конфет в пачке и подсчитайте общее количество купленных предметов. Попросите их составить выражение и использовать порядок действий, чтобы найти ответ.

Сопутствующий математический словарь

Стандартный алгоритм умножения

Это полный урок с пояснениями и упражнениями по стандартному алгоритму умножения (умножения в столбцы), предназначенный для четвертого класса.Сначала в уроке объясняется (шаг за шагом), как умножить двузначное число на однозначное, а затем есть упражнения по этому поводу. Далее в уроке показано, как умножать, как умножать трех- или четырехзначное число, и есть много упражнений по этому поводу. есть также много проблем со словами, которые нужно решить.


Стандартный алгоритм умножения основан на
принцип, который вы уже знаете: умножение на части
(частичные произведения): просто умножьте единицы и десятки
отдельно и доп.

Однако стандартным образом добавляет
выполняется одновременно с умножением. Расчет выглядит более компактным
и занимает меньше места, чем изученный вами «простой способ умножения».

Стандартный способ умножения

«Легкий путь»

1
6 3
× 4

2

1
6
3
× 4

2 5 2

Умножаем единицы:
4 × 3 = 12

Поместите 2 в разряд единиц,
но напишите цифру десятков (1)
над столбцом десятков как
небольшая записка на память.
Вы перегруппируете
(или переноски).

Затем умножьте десятки,
добавив 1 десятку.
что
перегруппировались.

4 × 6 + 1 = 25

Напишите 25 перед 2.
Обратите внимание, , что 25 десятков
означает 250!

6 3
× 4

1 2
+ 2 4 0


2 5 2

«Легким способом» мы умножаем по частям, а сложение производим отдельно.

Стандартный способ умножения «Легкий путь»

3
7 5
× 7

5

3
7
5
× 7

5 2 5

Умножьте единицы:
7 × 5 = 35
Перегруппируйте 3 десятка.

Умножить и сложить десятки:
7 × 7 + 3 = 52

7 5
× 7

3 5
+ 4 9 0


5 2 5

1.Умножьте, используя оба
методы: стандартный и простой.

2. Умножьте, используя оба
методы: стандартный и простой.

3. Умножить. Будьте осторожны с
перегруппировка.

4. Решить.
Также напишите числовые предложения (сложение, вычитание, умножение) на
пустые строки.

а. Что
Стоимость покупки трех стульев по 48 долларов каждый?

_________________________________________________

А стоимость шести стульев?
____________________________

г. Вы
зарабатывайте 77 долларов в день. Сколько дней нужно работать
чтобы иметь 600 долларов и больше? Угадай и проверь.

_________________________________________________

_________________________________________________

Для трех- или четырехзначного номера необходимо
много раз перегруппировываться
.

3
2 3
8

×
4


2

1
3
2 3 8
×
4


5
2

1
3
2
3 8
×
4


9
5 2

Сначала умножьте единицы.

4 × 8 = 32

Напиши 2 в единицах
разместить и перегруппировать
3 десятка к
столбец десятков.

Затем умножьте десятки,
сложив 3 перегруппированных
десятков.

4 × 3 + 3 = 15

Запишите 5 в разряде десятков
и перегруппируем 1 сотку.

Затем умножьте сотни,

сложив перегруппированную
сотки.

4 × 2 + 1 = 9

Напишите 9 в разряде сотен.

1
7 6 5
2
×
5

0

2
1
7 6
5
2
×
5

6
0

3
2
1
7
6
5
2
×
5

2
6 0

3
2
1

7
6 5 2
×
5

3 8 2 6 0

Умножьте единицы:

5 × 2 = 10

Запишите 0 в единицах
и перегруппируйте
1 десять.

Потом десятки. Добавить
перегруппированные десять:

5 × 5 +
1 = 26

Запишите 6 в десятках
разместить и перегруппировать
2 сотки.

Умножьте
на сотни.

5 × 6 +
2 = 32

Напишите 2 в
место сотен,
и перегруппировать
3 тыс.

Умножаем тысячи:

5 × 7 +
3 = 38

Напишите 38 перед
260.

5. Умножьте, используя оба
методы: стандартный и простой.

6. Умножьте, используя стандартный метод.

7. Решите проблемы со словами.
Также напишите числовые предложения (сложение, вычитание,
умножения), чтобы показать, что вы рассчитываете.

а. В школе 304 ученика. Перейти на
музей наняли автобусы, которые могут
на каждое место по 43 пассажира.Сколько автобусов
им было нужно?
Подсказка: угадай и проверь.
г. В школе также работают 24 учителя. Сколько
места были оставлены
пусто в тех автобусах, когда все
студенты и все учителя присоединились к поездке?

Это мое старое видео ниже также объясняет, как обучать алгоритму умножения. Сначала видео проходит через алгоритм частичных произведений (умножение на части), а затем объясняет стандартный алгоритм умножения (как в уроке на этой странице).


Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Multiplication 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.


Как легко научить умножению и делению

Умножение частичных произведений

Я сам придумал несколько лучших способов умножения и деления. Надеюсь, это поможет вам в обучении.

Ваши дети борются с умножением? Вы выдергиваете волосы, когда вам нужно этому учить? Может, этот метод поможет.

Когда я учился в средней школе, я открыл другой способ умножения многозначных чисел. Честно говоря, я не могу вспомнить, какую книгу я прочитал или где я ее выучил, кроме того, что я знаю, что мои учителя математики этому не учили.

Но как только я научился этому методу, меня зацепило. Я полностью перешел на этот новый метод и больше не оглядывался.

Методы частичных произведений (хотя в то время, когда я их изучил, я понятия не имел, как они называются), улучшают традиционный метод многозначного умножения по двум основным направлениям.

  1. Сначала выполняется умножение, а в конце — сложение. Текущий метод требует, чтобы ученик переключался между умножением и сложением. Хранение каждой операции вместе предотвращает ошибки в расчетах.
  2. Работа по перепроверке — это быстро и легко , так как произведения каждой пары цифр видны в процессе решения проблемы. Это просто невозможно с текущим методом.

Мои собственные дети при умножении используют метод частичного произведения, и им нравится, что они могут перепроверять свою работу без необходимости полностью переделывать свои проблемы.Мне это также нравится, потому что, когда они делают ошибку в своей работе, я быстро вижу, где в процессе они ошиблись.

Лично я думаю, что было бы замечательно, если бы этот метод преподавался в основном потоке математического образования в качестве основного, а не альтернативного (если его вообще преподавали). Я думаю, что метод частичного произведения намного превосходит традиционный метод умножения, которому сейчас обучают, и что дети гораздо меньше пострадали бы от своих домашних заданий по математике, если бы они выучили этот метод.

Короткий дивизион

Вы заметите, что метод деления на короткое действительно не сильно отличается от метода деления на длинное, которому большинство из нас училось в школе. Однако письменная процедура отличается и, на мой взгляд, значительно упрощена, что делает процесс менее сложным. Как и метод частичных произведений, короткое деление позволяет вам проверять свою работу и обнаруживать ошибки быстрее, чем традиционный метод длинного деления.

Длинная Дивизия | Ресурсы Wyzant

При запуске деления вам может быть дано
простые задачи на деление, которые вы можете решить в уме, используя математику в уме.Эти проблемы будут выглядеть так:

Вы могли бы подумать, какое число, умноженное на 9, дает мне 27? И ваш ответ будет
быть 3. Однако со временем вы столкнетесь с более серьезными проблемами деления, которые вы не можете
использовать мысленную математику. В этих случаях вам придется использовать длинное деление.

Например, у вас может быть проблема, которая выглядит так:

Вы бы переписали задачу так, чтобы она выглядела так:

В данном случае делителем является 5 (число, на которое мы делим), и он идет на
за пределами разделительной полосы, как показано.125 — это делимое (число, которое мы делим)
и он идет внутри разделительной полосы. Частное (ответ) в конечном итоге будет
когда мы закончим, сядьте на верхнюю часть разделительной полосы. Прямо сейчас вершина дивизиона
bar должен быть пустым, потому что мы еще не начали.

Теперь мы можем начать наше деление в столбик. Есть четыре шага деления в столбик; Oни
являются: делить, умножать, вычитать и уменьшать.Каждый шаг будет объяснен и
показаны другим цветом на пошаговом изображении.

Наш первый шаг в длинном делении — разделить. На этом этапе
мы должны спросить себя, сколько раз делитель входит в первое число
дивиденд; или, в этом случае, мы спрашиваем себя, сколько раз мы можем поместить 5 в
1. Вы заметите, что мы не можем положить 5 в 1, потому что 5 больше единицы; таким образом,
наше первое деление дает 0.Мы пишем это число над полосой деления,
над числом, которое мы использовали (в данном случае 1). Ваша проблема пока выглядит так:

Наш следующий шаг в длинном делении — умножение. В этом
шаге, мы умножаем делитель (5) на ответ, который мы получили на наше деление (в этом
корпус, 0). Мы умножаем два числа вместе следующим образом: 5 x 0 = 0. Мы пишем это
число под делимым, выровняв его с числом, которое мы разделили.

Наш следующий шаг в длинном делении — вычитание. В этом
шаг, мы вычитаем наш продукт (ответ) умножением из исходного числа
в дивиденде. В этом случае наша проблема будет 1 — 0 = 1. Мы бы написали
ответ в столбце, который мы сделали (см. диаграмму ниже).

Теперь перейдем к нашему последнему шагу — сбить.Чтобы сбить, мы должны посмотреть на следующее число в дивиденде, которое
мы еще не работали; в данном случае — 2. Чтобы сбить, рисуем
стрелка от числа в делимом вниз до того места, где мы только что закончили вычитание,
и мы записываем это число (2) рядом с ответом из нашего вычитания (1), чтобы сформировать
новый номер (12). Это показано на схеме ниже.

Как только вы наберете следующее число, вы начнете весь процесс заново с деления!
На изображении ниже вы увидите следующий набор выполненных шагов, начиная с этого
вопрос деления: сколько раз мы можем сложить 5 на 12? Следуйте схемам:

Это был полный шаг (деление, умножение,
вычитание и опускание)
что мы только что прошли! Мы продолжаем повторять процесс, пока не кончатся
номера сбить.В этой задаче нам нужно пройти еще один полный шаг.
прежде чем мы получим ответ. Вот как пройти последний шаг:

Обратите внимание, когда вы пошли сбивать, других цифр после 5 не было,
так что валить было нечего. Это означает, что все готово! Ваш ответ — это число
что вы написали над полосой деления. Для этой проблемы наш ответ:
25, и это написано красным над полосой деления.

Некоторым людям нравится запоминать шаги к делению в столбик, поэтому они
придумайте поговорку, которая поможет вам запомнить порядок. Порядок такой:
D ivide, M окончательно,
S убтракт, B звонок вниз. В
говорят: «Макдоналдс продает бургеры»? Первые буквы этой поговорки совпадают
вверх с первыми буквами в порядке длинного деления: D-M-S-B.Если это вам поможет, не стесняйтесь использовать его для запоминания; если это вас смущает, то не
используйте его — просто запомните шаги для деления в столбик.

Примеры длинного деления

Прежде чем двигаться дальше, давайте рассмотрим еще один такой пример. Наш новый пример:

Давайте перепишем задачу, используя длинную полосу деления, а затем выполним следующие действия.
в столбик (разделить-умножить-вычесть-сбить).Перечитать
шаги к первой проблеме, если проблема не исчезнет. Вот проблема
сработало:

И снова наш ответ (частное) написано над полосой деления. У нас написано
в красном. Обе эти задачи имели коэффициент 25, но это не всегда будет
дело! Вы можете использовать любое число в качестве частного для задачи деления.

Когда у нас есть ответ на нашу проблему деления, легко вернуться и проверить
Это. Чтобы проверить задачу деления, вы умножаете частное (ответ) на
делитель, а ваш продукт (ответ на задачу умножения) должен быть
то же, что и дивиденд.

Вот работа для проверки последней задачи деления:

Мы видим, что наш продукт, 100, совпадает с дивидендом, поэтому мы знаем, что сделали.
наше деление правильно.

А теперь вот один, который вы должны попробовать, чтобы убедиться, что вы его повесили!

Длинные ступени дивизиона

Вот в чем проблема:

Что нам делать в первую очередь?

Правильный ответ здесь: B .

Мы всегда начинаем с деления, смотрим, сколько раз мы можем поставить делитель
в первую цифру (или первые две цифры, если она не входит в первую цифру)
деления.

Наше подразделение выглядит так:

Что мы делаем дальше?

Правильный ответ здесь: A .

Мы всегда следуем делению за умножением, умножая делитель на число
мы ставим во главу нашего деления задачу. В этом случае это будет 7 x 1, что
равно 7, поэтому мы бы написали 7 под цифрой 11.

Теперь наша задача выглядит так:

Что мы делаем дальше?

Правильный ответ здесь: D .

Мы всегда следуем умножению с вычитанием, поэтому вычитаем 11-7.

Теперь наша проблема выглядит так:

Что мы делаем дальше?

Правильный ответ здесь: C .

Мы всегда следуем вычитанию, опуская следующую цифру делимого, поэтому
мы бы сбили 2. Теперь проблема выглядит так:

Теперь мы можем начать сначала с деления, посмотрев, сколько раз мы можем сложить 7 в
42.Остальная часть подразделения показана здесь:

Таким образом, ваш окончательный ответ — 16.

Обзор основ умножения и деления с учащимися 5-х классов {Халява}

Многие из моих учеников в прошлом приходили ко мне, не имея концептуального понимания основных математических понятий, которые были представлены уже во 2-м и 3-м классах. Самая важная часть моего обучения математике — это развитие концептуального понимания, и это действительно важно, поскольку пятый класс переходит к более абстрактным математическим концепциям.Имея это в виду, это первые концептуальные уроки, которые я каждый год преподаю своим пятиклассникам. Чтобы увидеть мои таблицы по математике в начале года, которые я делаю в первые недели учебы в школе, щелкните здесь.

Примечание : Я также буду записывать любые изменения, которые я внесу, когда буду проводить урок снова в следующем году. Как учителя, мы постоянно растем и совершенствуемся так же, как мы хотим, чтобы наши ученики, и я хочу быть уверен, что делюсь с вами обоими улучшениями.

Ключевым моментом в 5-м классе является концептуальное понимание основ умножения и деления.В 5-м классе мы переходим к десятичному и дробному умножению, что требует от учеников понимания того, что умножение также включает часть целого или часть части. Однако, если они не имеют даже базовых знаний об умножении, это может быть для них очень непросто. Я делаю этот урок ОЧЕНЬ простым, но это одна из интерактивных записных книжек, к которой некоторые студенты возвращаются в течение всего года.

Просмотр умножения

Для начала поговорим о том, что такое умножение.Некоторые студенты могут наговорить «повторное добавление» или «равные группы», но я хочу, чтобы они могли приводить примеры и обсуждать это своими словами. Это одно из ключевых различий между запоминанием концепции наизусть и более глубоким пониманием.

Обсудив это, мы переходим к определению каждого числа в задаче умножения. Это приводит к обсуждению того, что при умножении целых чисел (я делаю различие со студентами, чтобы посадить семя для десятичного и дробного умножения), у вас есть группы и вы ищете общее количество чего-либо.Это удобно, когда мы переходим к задачам умножения и деления слов с большими числами. Я постоянно спрашиваю студентов: что вы ищете? Я хочу, чтобы они поняли, что если у них равные группы и они ищут общую сумму, они умножаются.

Мы также обсуждаем массивы и скорости, когда говорим об умножении. Я хочу, чтобы ученики увидели связь между оценочными задачами и равными группами.

Вот несколько снимков интерактивного шаблона, который я использовал.Обсуждалось гораздо больше, и, к сожалению, многие из них не были отражены в заметках этого конкретного студента.

Изменения в этой части урока

Вот некоторые вещи, которые я бы изменил, чтобы улучшить этот урок в следующем году:

  • Попросите учащихся нарисовать несколько представлений умножения вместо простого представления круга. Вместо этого мы будем рисовать массивы и числовые линии в дополнение к представлению круга для каждой операции.

Отдел проверки

Изучив концепцию умножения, мы сразу перейдем к рассмотрению концепции деления. Мы выполняем те же шаги, что и с умножением. Мы подробно обсуждаем, что такое деление и что оно означает. Я хочу, чтобы ученики увидели связь между умножением и делением, поэтому мы используем фразу «объединение всего чего-либо в равные группы». Это прямо связано с концепцией, что умножение определяет общую сумму в равных группах.Подразделение, с другой стороны, берет совокупное количество чего-либо, объединяя это в группы. Это язык, который я использую со студентами. Это действительно касается многих из них, которые никогда не понимали связи между ними.

После обсуждения основной концепции деления мы переходим к двум типам деления: количество неизвестных групп и неизвестный размер группы. Некоторым из моих учеников это действительно сложно. Я должен думать, что это потому, что они не знакомы с этими условиями и / или их не просят решать различные проблемы разделения.Имея это в виду, ученики заполняют две разные модели, чтобы показать оба типа деления. В дальнейшем я обязательно попросу учеников пометить каждую модель как «Размер группы неизвестен» или «Число групп неизвестно».

Я возвращаюсь к этим интерактивным математическим шаблонам в нашем модуле умножения и деления. На самом деле это первая интерактивная записная книжка года и одна из самых важных. К тому времени, когда мы перейдем к десятичному и дробному умножению, ученики будут готовы понять этот аспект умножения.

Изменения в этой части урока

Вот некоторые вещи, которые я бы изменил, чтобы улучшить этот урок в следующем году:

  • Попросите учащихся использовать термин «разбиение» в дополнение к «складыванию». Это не только более математически правильно, но и подготавливает их к делению единичных долей, когда они делят целое на дробные количества.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *