Деление «в столбик» — теперь по-русски 🙂 – Вадим Стеркин

Математика в 3 классе невозможна без поисковых технологий 🙂 Просматривая статистику посещений своего блога осенью 2008 г, я обратил внимание, что с начала сентября в него ежедневно приходят из Google несколько человек по запросу деление в столбик. Действительно, я когда-то писал о том, как делят в столбик американцы. Как ни странно, именно эта запись стояла первой в списке результатов поисковика, но она ничем не помогала бедным школьникам и их родителям.

Беглый просмотр других результатов поисковика не выявил алгоритма деления в первой десятке, и даже в русской Википедии статья еще ждала своего автора. Я решил восполнить пробел, не претендуя на полноту изложения материала или профессиональный педагогический подход.

Итак, дорогие школьники, сегодня мы будем делить 861 на 7 в столбик. Если вы еще не знаете, в любой операции деления должно быть делимое, делитель и частное. В нашем случае 861 – делимое, 7 – делитель, а результат деления – частное. Его и будем искать.

Для начала записываем рядом делимое и делитель, затем разделяем их «уголком».

Теперь нужно внимательно посмотреть на цифры делимого и, двигаясь слева направо, найти в нем наименьшее число, которое больше делителя. Чисел тут три: 8, 86 и 861. Из них наименьшим является 8. Теперь нужно ответить на главный вопрос! Сколько раз наш делитель (7) содержится в числе 8? Один раз. Поэтому смело пишем 1 под чертой – это первая цифра частного, которое мы пытаемся найти.

А где же столбик? Сейчас будет 🙂 Теперь умножаем 7 на 1 и получаем 7. Записывем полученный результат под первым числом делимого и вычитаем в столбик, то есть из 8 вычитаем 7. Получаем 1.

Если вы все сделали правильно, результат вычитания должен быть меньше делителя. Если больше, значит вы неправильно определили, сколько раз 7 содержится в 8. Поскольку результат вычитания меньше делителя, нам нужно его увеличить для продолжения нашего нелегкого труда. И делать это мы будем за счет следующей цифры делимого. Поскольку 8 мы уже использовали, берем 6 и приписываем к единице.

Теперь отвечаем на уже знакомый вопрос. Сколько раз 7 содержится в 16? Два раза. Приписываем двойку к единице под чертой — это вторая цифра частного. Умножаем 7 на 2, получаем 14 и записываем результат под 16.

Дальше идем по уже знакомому пути. Вычитаем 14 из 16, получаем 2 (2 меньше 7, значит все сделано правильно). Используем третью и последнюю цифру делимого – 1, сносим ее вниз и приписываем к двойке, получая 21.

Снова отвечаем на знакомый вопрос. Сколько раз 7 содержится в 21? Три раза. Пишем тройку под чертой. Умножаем 7 на 3, получаем 21 и записываем в столбик под 21. Вычитаем 21 из 21, получаем 0. Ура, деление выполнено без остатка! Ответ – 123.

Если вы использовали все цифры делимого, а ноль так и не получился, значит либо деление без остатка невозможно, либо вы ошиблись в арифметике. Выполните проверку… при помощи калькулятора – Пуск – Выполнить – calc.

Конец урока 🙂

Деление многочленов столбиком онлайн

Примеры решенийРанг матрицыМетод КрамераУмножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Для любых многочленов f(x) и g(x), g(x) ≠ 0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что f(x)/g(x)=q(x)+r(x)/g(x).

Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Инструкция. Для получения решения в онлайн режиме необходимо ввести числитель и знаменатель.

При оформлении в качестве переменной использовать xtzupλ

Пример деления в столбик.

Найти частное деления и остаток многочлена:

№1.

x3 -12x2-42	x -3
x3 -3x2	x2
-9x2-42

№2.

x3 -12x2-42	x -3
x3 -3x2	x2 -9x
-9x2-42
-9x2 + 27x
-27x -42

№3.

x3 -12x2-42	x -3
x3 -3x2	x2 -9x -27
-9x2-42
-9x2 + 27x
-27x -42
-27x + 81
-123

Целая часть: x² -9x ^{-27
Остаток: -123}

Таким образом, ответ можно записать как:
см. также и другие примеры решение столбиком.

Пример №1. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x⁵+3x³-x²+4x+1, Q(x)=2x²-x+1

Пример №2. Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x⁴+6x³-2x²+x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).

-x³(x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x³(x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x³(x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Математика 1010 онлайн — Длинное деление и алгоритм Евклида

Евклид Александрийский жил в третьем веке до нашей эры. Алгоритм имени дайте ему найти наибольший общий множитель двух натуральные числа или два полинома.

Многочлены можно механически разделить на длинное деление , так же, как числа можно разделить. Числа, представленные в десятичной форме, представляют собой суммы степеней 10. Полиномиальные выражения также являются суммами степеней переменная (скажем). Есть два основных отличия:

Символ обозначает остаток. Ингредиенты этого выражения имеют следующие имена:

• это дивиденд , то есть выражение, которое делится.
• это в делитель , т. е. выражение, на которое мы делим.
• это частное .
• это остаток.

Уравнение можно переписать альтернативно и эквивалентно: в качестве:

Таким образом, уравнения , и все эквивалентны.

Чтобы проиллюстрировать терминологию, давайте перепишем словами замена выражений:

Если остаток равен нулю, то говорят, что делитель делит делимое равномерно .

Учитывая делимое и делитель, частное и остаток могут быть найдено долгим делением. Например, деление на — можно записать как:

Примечания

• Для каждой степени .
• Делитель записывается слева от делимого. Это довольно произвольное соглашение, вы также можете записать делитель в право делимого, возможно, разделенное знаком деления.
• Частное записывается поверх делимого с полномочия выстраиваться в очередь. Это тоже просто условность.
• Чтобы найти отдельные члены частного, с которого вы начинаете ведущий член, и продолжайте вычитать произведение последнего члена Вы вычислили и делитель. На каждом шаге для получения нового члена частное, вы просто делите главный член того, что осталось от в делимое на старший член делителя.
• Процесс завершается, когда степень того, что осталось, меньше чем степень делителя.
• Примеры, которые вы найдете в учебниках или подобных заметках обычно будут иметь полиномы, коэффициенты которых являются небольшими целыми числами. Конечно, в принципе ничего не меняется, если коэффициенты рациональные или иррациональные действительные числа, или комплексные числа, или даже алгебраические выражения.

Вот более сложный пример. Некоторые коэффициенты делимое и частное равны нулю. Они даны здесь явно, но с практикой вы можете просто оставить эти поля пустыми.

Таким образом

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел

Допустим, мы хотим найти наибольший общий делитель двух натуральные числа а также , и предположим, что это большее из двух, т. е. .

Евклидов алгоритм действует путем деления на , с остаток, делим делитель на остаток и повторяем этот процесс до тех пор, пока остаток нуль. Наибольший общий делитель и является последним делитель. (Обратите внимание, что вы никогда не обращаете внимания на Текущий коэффициент.)

Следующие примеры иллюстрируют этот процесс. Предположим, мы хотим найти наибольший общий делитель и . У нас есть

Последний остаток равен нулю, последний делитель равен , и поэтому наибольший общий делитель 110 и 143. Действительно,

Ясно, что 11 — общий множитель, и нет большего общего множителя.

Вот еще один пример. Наибольший общий делитель и является . У нас есть:

Верно,

Есть два ингредиента, которые заставляют алгоритм Евклида работать:

• Допустим в имеет фактор. Тогда также является фактором правой части. Если это общий множитель , а также множитель остатка . Таким образом общий множитель и также является общим множителем и . В частности, наибольший общий делитель и также является коэффициент . Это свойство остается верным на протяжении всей процедуры.
• Все остатки неотрицательны и уменьшаются при каждом шаг. Таким образом, в конце концов мы должны получить остаток 0. Таким образом, последний делитель является множителем последнего делимого. Работаем в обратном направлении с помощью предыдущее наблюдение мы видим, что это также фактор и .

Конечно, мы могли бы решить проблемы именно в этих примеры, перечислив все множители участвующих чисел и нахождение самого большого. Другой метод состоит в том, чтобы найти все простые факторы и посмотрите, какие из них являются общими для чисел. Те методы отлично работают для небольших чисел. Сила Алгоритм Евклида становится очевидным, когда факторы неочевидны, т. е. когда у нас есть большие числа. Рассмотрим этот пример: пусть

Факторинг этих чисел возможен с помощью компьютера, но более крупные числа (где-то около 200 цифр) используются в безопасности коды, эффективность которых зависит от невозможности этих чисел учитывать современное компьютерное оборудование. При факторинге крупных числа, особенно произведения больших простых чисел, сложно , нахождение наибольшего общего делителя двух чисел просто !

В таком случае:

Таким образом, наибольший общий множитель а также является . На самом деле и то и другое является продуктом двух крупных простые числа. Конкретно,

Наибольший общий делитель двух многочленов

Те же аргументы, что и выше, применимы к делению многочленов с остаток. Таким образом, алгоритм Евклида может быть использован для нахождения «наибольший» общий множитель числителя и знаменателя в рациональное выражение. «Величайший» в данном контексте означает «самый высокий». возможная степень». (ненулевая) константа, умножающая такое наибольшее (полиномиальный) множитель не имеет значения, и мы можем выбрать его удобно в зависимости от приложения.

Предположим, мы хотим найти наибольший общий делитель а также .

Использование длинного деления Мы видим, что

Таким образом, общий делитель высшей степени а также .

На самом деле, используя снова длинное деление, мы видим что

Таким образом, например,

Стараться сделать такие вещи без алгоритма Евклида!

Вот еще один пример. Позволять

Каков наибольший общий делитель и ? Использование длинного деление еще раз получаем:

Таким образом, общий делитель высшей степени и равен (мы можем игнорировать постоянный множитель 7.)

Основное применение нахождения общих множителей двух многочленов состоит в том, чтобы позволить нам сократить их в отношении двух многочленов. В этом случае получаем:

Scaffolded Math and Science: шпаргалка по длинному делению

Однажды я пошутил с другим учителем, что был бы рад целый день сидеть и составлять шпаргалки по математике. Это был июнь, в здании было, наверное, 150 градусов, и мы находились в середине блока рациональных функций, который, по иронии судьбы, связан с долгим делением.

Позже, когда я подумал об этом, я понял, что, возможно, я не совсем шутил. Это не столько создание самих листов (хотя форматирование вызывает странное привыкание), сколько создание чего-то, что ребенок может использовать для снижения стресса и повышения уверенности в математике. Никакая шпаргалка никогда не заменит учителя, но иногда любая мелочь помогает, когда ребенок расстроен и находится на грани того, чтобы сдаться.

Учительница недавно спросила, могу ли я составить шпаргалку для одного из ее учеников, у которого были проблемы с алгоритмом.

Я люблю делать ссылки и мероприятия для детей младшего возраста. Я был учителем математики в средней школе так долго, что создание математических ресурсов для младших школьников может показаться немного пугающим. Последнее, что я когда-либо хотел бы делать, это создавать неправильные представления.

Умножение и деление многозначных чисел цифровая квест-комната

Но я также чувствую себя чертовски польщенным, когда мне доверяют делать задания и рекомендации для младших школьников. Это произошло снова, когда еще одна очень хорошая учительница связалась со мной и спросила, не сделаю ли я цифровую математическую квест-комнату для ее четвероклассников. Выше находится головоломка № 4 с умножением и делением многозначных чисел в цифровой математической побеге, где учащиеся умножают и делят, а затем вводят 4-значный код, чтобы разблокировать головоломку.

Головоломки с разделением

Я также сделал другой тип набора головоломок, они будут как в печатном, так и в цифровом виде. Этот набор из 3-х головоломок доступен как в формате PDF для печати, так и в цифровой форме в Google Slides. Студенты должны выяснить, как числа будут располагаться в сетке, чтобы разделить на каждую строку и столбец. 3 головоломки легко отличить, включив или удалив прилагаемые карточки-отвлекатели или отсортировав одну из карточек в головоломку, прежде чем дать учащимся для завершения.

Возвращаясь к шпаргалке по делению в двоичном формате, я уже сделал ссылку на десятичное деление в 5-м классе как часть стены слов по математике, но учителю, которая обратилась к нам, нужна была ссылка на недесятичное деление, чтобы поддержать своего ученика. У ее ученицы были проблемы со стандартным алгоритмом деления в длинную, еще до того, как десятичные дроби появились на картинке.