В феврале 2014 года я спросил у своих подписчиков их любимую математическую головоломку. Эта коллекция — результат — список головоломок, выбранных учителями и родителями! На этой странице перечислены наиболее сложные головоломки. Самые простые перечислены на этой странице.

1. Пропавшие $1

   Это известная и поистине головокружительная загадка! Это действительно обманывает вас и заставляет вас чувствовать, что что-то не так, но вам может быть трудно указать на это пальцем и найти ошибку в рассуждениях.
   

   Три человека снимают комнату за 30 долларов. Они платят по 10 долларов каждый и поднимаются в комнату. Владелец понял, что он берет слишком много, и это должно было быть всего 25 долларов. Он отправляет колокольчик с 5 долларами. У каждого из людей остается 1 доллар, и они дают посыльному 2 доллара, так как не могут их разделить. Итак, теперь каждый человек заплатил 9 долларов.за номер (всего 27 долларов), а у звонка есть 2 доллара… где еще 1 доллар???

   Нажмите здесь, чтобы найти ответ
   

   1 доллар не «пропал» — попытка сложить 27 долларов и 2 доллара является ошибкой. 2 доллара — это разница между 5 и 3 долларами — это не настоящая сдача в этой транзакции, а «сдача на сдачу».

   Люди заплатили 30 долларов. Им вернули 5 долларов в качестве сдачи, но 2 доллара из этой сдачи возвращаются обратно владельцу в качестве «сдачи на сдачу». В конце концов, люди заплатили в общей сложности 27 долларов, а владелец получает 30 долларов — 5 долларов + 2 доллара = 27 долларов, так что все совпадает.

   Посмотрите на это так: пока колокольчик спускается по лестнице, у владельца есть 25 долларов, у каждого из трех человек есть по 1 доллару (x 3 = 3 доллара), а у колокольчика 2 доллара. 2 доллара + 3 доллара + 25 долларов = 30 долларов.

   Затем, когда колокольчик возвращает владельцу 2 доллара, у владельца есть 27 долларов, а у трех человек в сумме 3 доллара.

   Или посмотрите на это так: то, что они возвращают обратно, — это доллары номерами 26, 27 и 28, а то, что они возвращают через звонок, — это № 29 и № 30.

   Еще один способ подумать над ответом на эту загадку — просто представить, что посыльный вернул людям 3 доллара (вместо того, чтобы давать им 5 долларов и получать обратно 2 доллара). Если юристы вернут 3 доллара и каждый возьмет по 1 доллару, то они потратили ровно 27 долларов. Скрыть ответ

2. Головоломка «Легко, как число Пи»

   Разрежьте греческую букву «пи» на пять частей, как показано на рисунке. Затем переставьте пять частей, чтобы получился квадрат. Есть ли более одного способа?
   

   Решение здесь.

   Головоломка Автор: Стивен Фроггатт

3. Дробные показатели

   Этот пазл Паула Тиролер (участница моего конкурса) получила от своей подруги из Праги.
   

   Используя только бумагу и карандаш (без калькулятора и логарифмических таблиц), определите, какое из следующих выражений имеет большее значение: 10 ^1/10 или 3 ^1/3 .

   Посмотреть ответ

   Решение: Если мы умножим каждое число само на себя, изменится значение, но не отношение чисел к размеру. Например, если a > b , то a ² > b ² и а ^н > б ^н . Другими словами, мы можем возвести обе части неравенства (или уравнения) в любую положительную степень, и неравенство (равенство) сохранится.

   Следовательно, если 10 ^1/10 > 3 ^1/3 , то также (10 ^1/10 ) ³⁰ > (3 ^1/3 )

   66 90 9.
   Теперь левая сторона равна (10 ^1/10 ) ³⁰ = 10 ³ = 1000.
   Правая сторона равна (3 ^1/3 ) ³⁰ = 3 ¹⁰ . Легко видеть, что это будет намного больше, чем 1000 — просто начните умножать 3 × 3 × 3 × 3… с помощью бумаги и карандаша, и это не займет много времени, чтобы получить число, превышающее 1000. . Или упростите 3 ¹⁰ как 9 ⁵ и многократно умножить 9 само на себя. Если подсчитать полностью, то получится 3 ¹⁰ = 59 049.

   Следовательно, поскольку 3 ¹⁰ > 10 ³ , то и 3 ^1/3 > 10 ^1/10 . Вы можете проверить это с помощью калькулятора: 3 ^1/3 ≈ 1,442 и 10 ^1/10 ≈ 1,258.

   Скрыть ответ

4. Вес монет

   Эта головоломка представляет собой сложный вариант простых загадок, связанных с взвешиванием монет (или шаров) на весах с равными плечами.

   У вас есть 12 монет; один весит немного меньше или немного больше, чем другие. Используя равноплечие весы и сделав только три взвешивания, определите, какое из них отличается и является ли оно немного легче или тяжелее. Тот факт, что вы не знаете, легче он или тяжелее впереди, делает эту проблему намного более сложной, чем другие подобные проблемы.

   Это очень сложная головоломка, и автор не хочет, чтобы решение было опубликовано в Интернете. Вы можете написать автору для решения. Источник: Математические загадки Стива Миллера.

5. Контейнеры для молочников
   Это поучительная головоломка, по крайней мере, в двух отношениях: помогает нотация и работа с обоих концов (данная ситуация, желаемый результат). Дайте студентам день, чтобы пожевать его. Первоначально Сэм Ллойд (со времен молочников на дом, до холодильников).

   У молочника есть две 10-галлонные бидоны молока (полные). У одной хозяйки есть трехгаллонное ведро (пустое). У одной домохозяйки есть пятигаллонное ведро (пустое). Вы можете сказать «трехквартовое» и «пятиквартовое» ведро. Не имеет значения. Каждый повар хочет два галлона (кварт) молока. У молочника нет запасных контейнеров и нет возможности пометить контейнеры. Он не хочет выливать молоко. Как он продает?

   Раствор

   Вот решение:
   (10, 10, 0, 0)
   (7, 10, 3, 0)
   (7, 5, 3, 5)
   (7, 8, 0, 5)
   (7, 8, 3, 2)
   (9, 8, 3, 0)
   (9, 8, 0, 3)
   (9, 6, 0, 5)
   (9, 6, 3, 2)
   (10,6, 2, 2)

   Обратите внимание, что векторное представление очень помогает. Затем вы можете заметить, что предпоследний шаг должен выглядеть как (n, 6, m, 2).

   Скрыть ответ

6. Делимость
   

   Учитель написал на доске большое число и попросил учеников по очереди рассказать о делителях этого числа.

   Первый ученик сказал: «Число делится на 2».
   Второй ученик сказал: «Число делится на 3».
   Третий ученик сказал: «Число делится на 4».
   .
   .
   .
   (и так далее)
   30-й ученик сказал: «Число делится на 31.

   Затем учитель заметил, что ровно два ученика, которые говорили последовательно, сказали неправильно.

   Какие два ученика сказали неправильно?

   Решение

   Ясно, что поскольку два числа идут подряд, одно из них четное, а другое нечетное. Допустим, два числа были 5 и 6. Это означало бы, что секретное число не делится ни на 5, ни на 6. Это будет , а также означает, что число НЕ может делиться на 10, 15, 20, 25 или на 12, 18. , 24 или 30. Таким образом, студенты, которые сказали бы, что оно делится на 10, на 15 и т. д., также сказали бы неправильно. Таким образом, эти два числа не могут быть 5 и 6.

   Точно так же эти два числа не могут быть, скажем, 8 и 9, потому что тогда и студенты, которые сказали, что оно делится на 16, 24, 18 и 27, были бы неправы.

   Таким образом, мы можем заключить, что эти два последовательных числа не могут иметь кратных меньше 31. Это исключает множество чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. , 14 и 15.

   Может быть, скажем, 20 и 21? Это не сработает, потому что если это секретное число делится на 4 и 10, то оно делится и на 20. Точно так же, поскольку мы знаем, что число делится на все целые числа от 2 до 15, оно также должно делиться на 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28 и 30.

   Остается следующая пара чисел: 16 и 17.

   Или вы можете думать об этом так. Все простые числа, кроме 2, нечетные. Итак, одно число должно быть нечетным простым числом, а другое должно быть максимальной степенью двойки в диапазоне.

   Таким образом, искомые два числа 2 ⁴ = 16 и 17, а два студента, которые сказали неправильно, — 15-й и 16-й.

   Скрыть ответ

7. Задача Монти Холла

   Это очень известная головоломка в виде вероятностной головоломки, основанная на американском телевизионном игровом шоу Let’s Make a Deal и названная в честь ее первого ведущего, Монти Холла. Проблема представляет собой парадокс истинного типа, потому что правильный результат настолько нелогичен, что может показаться абсурдным, но, тем не менее, доказуемо верен.

   В Википедии есть очень интересные сведения об этой проблеме.

   Играть в Монти Холл онлайн

   Предположим, вы участвуете в игровом шоу, и вам предоставляется выбор из трех дверей: за одной дверью стоит машина; позади других, козлов. Вы выбираете дверь, скажем, № 3, и хозяин, который знает, что находится за дверями, открывает другую дверь, скажем, № 1, в которой есть коза. Затем он говорит вам: «Вы хотите выбрать дверь № 2?»

   В ваших интересах изменить свой выбор?

   Раствор

   Вы должны переключиться. Имейте в виду, что ведущий всегда открывает дверь, отличную от двери, выбранной игроком, и всегда показывает козу, потому что он знает, где спрятана машина.

   У участников, которые меняются местами, шанс выиграть автомобиль составляет 2/3, а у участников, которые придерживаются своего выбора, шанс только 1/3. Один из способов увидеть это — заметить, что в 2/3 случаев первоначальный выбор игрока — это дверь, скрывающая козла. В этом случае хозяин вынужден открыть другую козлиную дверь, а оставшаяся закрытая дверь скрывает машину. «Переключение» не дает машину только тогда, когда игрок для начала выбирает «правильную» дверь (дверь, скрывающую машину). Но, конечно, это произойдет только в 1/3 случаев.

   Скрыть ответ

8. Пазл с лимончиком

   Интересная маленькая головоломка!

   У меня два стакана одинакового размера. В одном 100 мл лимонада, в другом 100 мл чернил. Я беру ложку лимонада и вмешиваю ее в чернила, а затем беру ложку этой смеси и вмешиваю обратно в лимонад. Какой стакан теперь содержит меньше всего содержимого другого?

   Решение можно найти на сайте Maths Is Fun.

9. Бюджет на выезд класса

   Эта задача требует опробования различных комбинаций, и она была отправлена ​​мне фактически в виде двух разных вариантов. В другом варианте была ярмарка животных, где стоимость быка составляла 10 долларов, стоимость коровы — 2,50 доллара, а стоимость теленка — 0,50 доллара. У человека есть 100 долларов, и он хочет купить 100 животных; как он это сделает?

   8 класс идет в планетарий. Бюджет экскурсии составляет 100 долларов, а планетарий может вместить 100 человек. Стоимость приема следующая:

   Взрослые $10
   Сопровождающие: $2,50
   Студенты: 0,50 доллара США
   

   Несколько старшеклассников идут помогать учителям. Каково оптимальное количество учителей, сопровождающих и студентов, если все 100 мест будут заполнены и все 100 долларов будут потрачены?

   Решение

   4 учителя, 6 сопровождающих, 90 учеников

   Скрыть ответ

10. Автомобиль через пустыню

    Автомобиль должен везти важного человека через пустыню. В пустыне нет заправочной станции, а в машине бензина хватает только на полпути через пустыню. Есть и другие идентичные автомобили, которые могут перекачивать свой бензин друг в друга. Как нам переправить этого важного человека через пустыню?

    Решение снова можно найти в Maths Is Fun.

11. Лжецы и правдорубы — логическая головоломка

    Опять очень известная головоломка. Решение настолько простое, что, кажется, ускользает от обычного мыслителя. Даже после того, как вы знаете ответ, может показаться, что разобраться в нем сложно, и это показывает, как мы склонны думать линейно, а не подходить к простым вещам простым образом.

    В южной части Тихого океана есть остров, который разделен на 2 территории: восточную и западную. Хотя в их внешности нет ничего, что указывало бы на различие, широко известно, что туземцы, родившиеся на восточной стороне острова, всегда говорят правду обо всем, тогда как туземцы, родившиеся на западной стороне, всегда без исключения лгут. (Утверждалось, что эта привычка быть лживым прививается в молодом возрасте как часть местной «западной» религии, но это не было подтверждено, поскольку каждый раз, когда западного жителя спрашивают об этом, они лгут).

    Однажды днем ​​в столице (которая оказалась точно в центре острова с одинаковой территорией на обеих территориях) миссионер из США сидел на скамейке в тени, расслабляясь, и заметил через дорогу туземец, прислонившийся к хижине. Будучи любопытным человеком, миссионер поинтересовался, с какой стороны острова родом этот туземец. Пока он размышлял над этим, другой проходивший мимо туземец решил передохнуть и сел на скамейку рядом с миссионером. Пока они разговаривали, миссионер выразил свое любопытство о том, где родился туземец через дорогу, поэтому туземец, с которым он разговаривал, предложил пойти и узнать для него. Туземец встал, перешел дорогу, и двое туземцев с минуту болтали. Затем туземец, перешедший дорогу, вернулся и сказал миссионеру: «Он сказал, что он с западной стороны острова».

    Вопрос: Не туземца, стоящего у хижины, а того, который перешел дорогу… правду говорил или лгал?

    Не угадаешь. Вы должны точно и логично объяснить, откуда вы знаете наверняка, говорит он правду или нет… и да, у вас есть вся необходимая информация!

    Раствор

    Он врет. Откуда нам знать? Подумайте об этом в следующих терминах: если вы спросите говорящего правду (жителя Востока), откуда он, он скажет правду и скажет, что он с «восточной стороны». С другой стороны, если вы спросите лжеца (с западной стороны), откуда он, он солжет и скажет, что он также с «восточной стороны». Итак, независимо от того, откуда был туземец у хижины, когда его спросили, он должен был ответить, что он с «восточной стороны», но туземец-посланник сказал: «Он сказал, что он с западной стороны острова». так он врал.

    Скрыть ответ

Московские загадки: 359 математических игр Вся наша семья в восторге от этой книги! Он разделен на 14 глав, каждая из которых содержит различные виды головоломок, таких как головоломки со спичками, домино и игральные кости, делимость, кросс-суммы и магические квадраты, «Семь раз отмерь, прежде чем отрезать» (головоломки на рассечение), «С алгеброй и без нее». (каверзные словесные задачи) и так далее. Головоломки и головоломки варьируются от простых забавных загадок до сложных задач, но ни одна из них не требует продвинутой математики. Они почти всегда иллюстрированы и часто представлены в виде забавных историй. Книга впервые была издана в России в 1956. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт