Сложение и вычитание смешанных чисел
Урок 12. Математика 6 класс
В этом уроке мы повторим понятие смешанного числа. Сформируем представления о сложении и вычитании смешанных чисел. Выведем правило сложения смешанных чисел и правило вычитания смешанных чисел. Закрепим полученные знания при решении примеров.
Конспект урока «Сложение и вычитание смешанных чисел»
Сегодня на уроке мы научимся складывать и вычитать смешанные числа.
Напомним, сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака «+». Такую сумму называют смешанным числом. То есть «смешали» натуральное число и правильную дробь, и назвали эту запись смешанным числом.
Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а дробь – дробной частью смешанного числа.
То есть запись является
сокращённым вариантом записи .
Складывать смешанные числа помогают
Пример
Найдём сумму чисел и .
При выполнении записи в тетрадях, не нужно записывать смешанное число как сумму натурального числа и дроби, затем подробно расписывать, как вы складываете целые и дробные части смешанных чисел.
Пример
Найдём сумму смешанных чисел и .
Таким образом, если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяют целую часть этой дроби и добавляют к уже имеющейся целой части.
Пример
Теперь найдём сумму чисел и .
Задача
На столе лежало пиццы. Если принести ещё пиццы. Сколько пицц окажется на столе?
Чтобы решить задачу, надо сложить числа и .
Чтобы найти разность смешанных чисел,
нужно найти отдельно разность целых частей и отдельно разность дробных частей .
Пример
Вычтем из дроби дробь .
Есть в вычитании «коварные» примеры.
Пример
Запомните! Не начинайте выполнять вычитание, пока не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби.
А вот если вычесть нельзя, «занимаем» у целой части уменьшаемого одну целую единицу.
Иногда в примерах нужно вычесть из натурального числа смешанную дробь.
Пример
Найдём значение выражения .
Итоги
Чтобы сложить смешанные числа, надо: привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:
привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если
дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в
неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; отдельно выполнить
вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
Предыдущий урок 11 Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Следующий урок 13 Умножение дробей
Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Математика 6 класс
Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт
Сложение и вычитание смешанных дробей – правила, примеры (5 класс, математика)
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 292.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 292.
Сложение и вычитание смешанных дробей – это не трудные операции. Они основываются в основном на простейших правилах арифметики. Главное, разобраться, как правильно работать с дробной и целой частью, после этого примеры математики от 5 класса и выше не будут представлять проблем.
Смешанная дробь.
Очень часто учителя математики говорят, что знак дроби заменяет деление. Как это объяснить? Приведем небольшой пример.
Если попытаться выполнить деление
2:3 – то целого числа не получится. На 3 можно разделить либо 3, либо 6, а вот 2 или 1 уже не получится. Но что делать, если нужно выполнять математические операции с такими числами? Округлять? Представим ситуацию, когда требуется умножить несколько таких чисел. В таком случае, округление будет тянуться до бесконечности, а значит, будет увеличиваться расхождение конечного числа с реальным ответом.
Запомните, округлять можно только конечный результат, чтобы не увеличивать расхождение.
Посмотрим на примере, как будет увеличиваться это расхождение. Поработаем все с тем же числом:
$$2:3={2\over{3}}$$
Умножим это число на такое же не поддающееся делению число:
$${2\over{3}}*{9\over{13}}={18\over{39}}=0,462$$ – округлять будем до тысячных, чтобы отследить примерное расхождение. Теперь округлим каждую из дробей и посмотрим, что будет, если перемножить округление:
0,666*0,692=0,461 – расхождение в 1 сотую. И чем больше округлений в примере, тем больше будет расхождение. Поэтому в вычислениях используют дробные числа.
Смешанные дроби.
Тогда зачем придумали смешанные дроби? Смешанная дробь – это дробь, у которой выделили целую часть, но дробный остаток еще остался. Например:
$$3 {7\over{812}}$$
Работать с громоздкими числителями не всегда удобно, поэтому целую часть выделяют и работают с ней отдельно. Например, если бы в примере не выделили целую часть, то было бы:
$${2443\over{812}}$$
Число вышло слишком громоздким. Поэтому в математике принято работать со смешанными дробями.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание смешанных дробей процесс не сложный. Важно запомнить простое правило: в первую очередь работают с целыми частями, только после этого переходя на дроби.
Рассмотрим несколько нюансов:
- Если при сложении двух смешанных дробей числитель получившейся дроби получается больше знаменателя, то из дробной части выделяется целое число и прибавляется к уже имеющейся целой части.
- Если при вычитании дробной части числителя недостаточно для выполнения операции, нужно «занять» единицу у целой части. Для этого от целой части отнимается единица, а к числителю прибавляется величина, равная величине знаменателя.
- Чтобы правильно выполнить вычитание, можно просто обе дроби перевести из смешанных в неправильные и выполнить операцию по правилам сложения и вычитания обычных дробей.
Пример
Рассмотрим небольшой пример вычитания смешанных чисел.
$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}$$
- Первым шагом выполним действие дробной частью.
$${15\over{16}}-{17\over{18}}={{15*9-17*8}\over{144}}={{135-136}\over{144}}$$ – как видно, дробной части недостаточно для вычитания. При этом целая часть уменьшаемого больше целой части вычитаемого. Значит, занимаем единицу у 3. Не забываем, что при этом целая часть уменьшается на единицу.
- То есть получим:
$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}=2 {31\over{16}}-2 {17\over{18}}$$
В дробной части:
$${31\over{16}}- {17\over{18}}={{31*9-17*8}\over{144}}={{279-136}\over{144}}={143\over{144}}$$
Целая часть:
2-2=0
- Запишем все выражение вместе с ответом:
$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}={143\over{144}}$$
Что мы узнали?
Мы поговорили о смешанных числах. Узнали, зачем они нужны в математике. Подробно рассказали о правилах сложения и вычитания смешанных дробей. Рассмотренный материал рассмотрели на примере средней сложности.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 292.
А какая ваша оценка?
Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем | Преалгебра |
Модуль 4: Дроби
Результаты обучения
- Использование модели для вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями
- Вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями двумя разными методами
Давайте снова подумаем о пицце, чтобы смоделировать вычитание смешанных чисел с общим знаменателем. Предположим, вы только что испекли целую пиццу и хотите отдать половину пиццы своему брату. Что нужно сделать с пиццей, чтобы отдать ему половину? Вы должны разрезать его как минимум на две части. Тогда вы можете дать ему половину.
Мы будем использовать дробные круги (пиццы!), чтобы визуализировать процесс.
Начните с одного целого.
Алгебраически вы бы написали:
Пример
Используйте модель для вычитания:
1−131-\frac{1}{3}1−31
.
Решение:
Попробуйте
#146391
Что, если мы начнем с более чем одного целого? Давай выясним.
Пример
Используйте модель для вычитания:
2−342-\frac{3}{4}2−43
.
Показать решение
Попробовать
#146392
В следующем примере мы вычтем более одного целого.
Пример
Используйте модель для вычитания:
2−1252 — 1\frac{2}{5}2−152
.
Показать решение
Решение:
попробовать
#146393
Что делать, если вы начинаете со смешанного числа и вам нужно вычесть дробь? Подумайте об этой ситуации: вам нужно поставить три четверти на парковочный счетчик, но у вас есть только 9.0005
$1\$1$1
купюра с четвертью. Что ты можешь сделать? Вы можете обменять долларовую купюру на
444
четвертаков. Стоимость
444
четвертаков такая же, как у одной долларовой банкноты, но
444
четвертаков более полезны для парковочного счетчика. Теперь вместо купюры
$1\$1 $1
и одной четверти у вас есть
555
четвертей, и вы можете поместить
333
четвертей в счетчик.
Это моделирует то, что происходит, когда мы вычитаем дробь из смешанного числа. Мы вычли три четверти из одного доллара и одну четверть.
Мы также можем смоделировать это с помощью дробных кругов, как мы делали для сложения смешанных чисел.
Пример
Используйте модель для вычитания:
114−341\frac{1}{4}-\frac{3}{4}141−43
Показать решение
Решение:
Перепишите по вертикали. Начните с одного целого и одной четверти. | 114\color{red}{1\frac{1}{4}}141 −−34—\frac{3}{4}−−43 | |
Поскольку дроби имеют знаменатель 4, разрежьте целое на 4 части.![]() Теперь у вас есть 44\frac{4}{4}44 и14\frac{1}{4}41 , что равно54\frac{5}{4}45 . | 54\color{red}{\frac{5}{4}}45 −−34—\frac{3}{4}−−43 | |
Убрать 34\frac{3}{4}43 .Осталось 12\frac{1}{2}21 . | 54\frac{5}{4}45 −−3424=12\frac{\color{red}{—\frac{3}{4}}}{\frac{2}{4} =\frac{1}{2}}42=21−−43 |
Попробуйте
Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.
113−231\frac{1}{3}-\frac{2}{3}131−32
Показать решение
Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.
115−451\frac{1}{5}-\frac{4}{5}151−54
Показать решение
Вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями
Теперь мы будем вычитать смешанные числа без используя модель. Но это может помочь представить модель в уме, когда вы читаете шаги.
Вычитание смешанных чисел с общими знаменателями
- Перепишите задачу в вертикальной форме.
- Сравните две дроби.
- Если верхняя фракция больше нижней, перейдите к шагу 3.
- Если нет, то в верхнем смешанном числе взять одно целое и прибавить его к дробной части, получив смешанное число с неправильной дробью.
- Вычитание дробей.
- Вычтите целые числа.
- Упростите, если возможно.
Пример
Найдите разность:
535−2455\frac{3}{5}-2\frac{4}{5}553−254
Решение:
535−2455\frac{3}{5}-2\frac{4}{5}553−254 | |
Перепишите задачу в вертикальной форме.![]() | |
Так как 35\frac{3}{5}53 меньше45\frac{4}{5}54 , возьмите 1 из 5 и добавьте его к35:(55+ 35=85)\frac{3}{5}:\left(\frac{5}{5}+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}\right)53:(55 +53=58) | |
Вычтите дроби. | |
Вычесть целые части. Результат в простейшей форме. |
Так как задача была дана со смешанными числами, мы оставляем результат как смешанные числа.
Попробуйте
#146395
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще два примера того, как вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями.
Точно так же, как мы делали со сложением, мы могли вычитать смешанные числа, преобразовывая их сначала в неправильные дроби. Мы должны записать ответ в том виде, в каком он был задан, поэтому, если нам даны смешанные числа для вычитания, мы запишем ответ как смешанное число.
Вычитание смешанных чисел с общими знаменателями как неправильных дробей
Шаг 1. Перепишите смешанные числа в виде неправильных дробей.
Шаг 2. Вычтите числители.
Шаг 3. Запишите ответ в виде смешанного числа, по возможности упростив дробную часть.
Пример
Найдите разницу, переведя в неправильные дроби:
9611−710119\frac{6}{11}-7\frac{10}{11}9116−71110
Показать решение
Решение:
9611−710119\frac{6}{11}-7\frac{10}{11}9116−71110 | |
Перепишите как неправильные дроби. | 10511−8711\frac{105}{11}-\frac{87}{11}11105−1187 |
Вычесть числители. | 1811\фрак{18}{11}1118 |
Перепишите как смешанное число.![]() | 17111\фрак{7}{11}1117 |
Попробуйте
#146395
Лицензии и атрибуты
Контент с лицензией CC, ранее опубликованный
- Пример: вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями. Автор : Джеймс Соуза (mathispower4u.com). Лицензия : CC BY: Атрибуция
Лицензионный контент CC, Конкретная атрибуция
- Преалгебра. Предоставлено : OpenStax. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии : Скачать бесплатно с http://cnx.org/contents/[email protected]
Предыдущая
Следующая
Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем
Результаты обучения
- Модель вычитание смешанных чисел с общий знаменатель
- Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем
Моделирование вычитания смешанных чисел
Давайте снова подумаем о пицце, чтобы смоделировать вычитание смешанных чисел с общим знаменателем. Предположим, вы только что испекли целую пиццу и хотите отдать половину пиццы своему брату. Что нужно сделать с пиццей, чтобы отдать ему половину? Вы должны разрезать его как минимум на две части. Тогда вы можете дать ему половину.
Мы будем использовать дробные круги (пиццы!), чтобы визуализировать процесс.
Начните с одного целого.
Алгебраически вы должны написать:
Пример
Используйте модель для вычитания: [latex]1-\Large\frac{1}{3}[/latex].
Решение:
Попробуйте
Что, если мы начнем с нескольких целых? Давай выясним.
Пример
Используйте модель для вычитания: [latex]2-\Large\frac{3}{4}[/latex].
Показать решение
Попробуйте
В следующем примере мы будем вычитать более одного целого.
Пример
Используйте модель для вычитания: [latex]2 — 1\Large\frac{2}{5}[/latex].
Показать решение
попробуй
Что делать, если вы начинаете со смешанного числа и вам нужно вычесть дробь? Подумайте о такой ситуации: вам нужно поставить три четверти в парковочный счетчик, но у вас есть только счет [латекс]1 доллар[/латекс] и одна четверть. Что ты можешь сделать? Вы можете разменять долларовую купюру на [латекс]4[/латекс] четвертака. Стоимость [latex]4[/latex] четвертаков такая же, как и одна долларовая купюра, но [latex]4[/latex] четверти более полезны для парковочного счетчика. Теперь, вместо счета [латекс]1[/латекс] и одной четверти, у вас есть [латекс]5[/латекс] четвертаков, и вы можете положить [латекс]3[/латекс] четвертаков в счетчик.
Это моделирует то, что происходит, когда мы вычитаем дробь из смешанного числа. Мы вычли три четверти из одного доллара и одну четверть.
Мы также можем смоделировать это с помощью дробных кругов, как мы делали для сложения смешанных чисел.
Пример
Используйте модель для вычитания: [latex]1\Large\frac{1}{4}-\Large\frac{3}{4}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, чтобы проиллюстрировать или смоделировать свой ответ.
[latex]1\Large\frac{1}{3}-\Large\frac{2}{3}[/latex]
Показать решение
Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.
[latex]1\Large\frac{1}{5}-\Large\frac{4}{5}[/latex]
Показать решение
Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем
Теперь вычтем смешанные числа без использования модели. Но это может помочь представить модель в уме, когда вы читаете шаги.
Вычитание смешанных чисел с общими знаменателями
- Перепишите задачу в вертикальной форме.
- Сравните две дроби.
- Если верхняя фракция больше нижней, перейдите к шагу 3.
- Если нет, то в верхнем смешанном числе взять одно целое и прибавить его к дробной части, получив смешанное число с неправильной дробью.
- Вычитание дробей.
- Вычтите целые числа.
- Упростите, если возможно.
Пример
Найдите разницу: [latex]5\Large\frac{3}{5}-\normalsize2\Large\frac{4}{5}[/latex]
Решение:
Результат в простейшей форме.
Так как задача была дана со смешанными числами, мы оставляем результат как смешанные числа.
Попробуйте
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще два примера того, как вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями.