Вычитание смешанных дробей: Сложение и вычитание смешанных чисел (разные знаменатели) — урок. Математика, 5 класс.

admin

Содержание

Сложение и вычитание смешанных чисел

Урок 12. Математика 6 класс

В этом уроке мы повторим понятие смешанного числа. Сформируем представления о сложении и вычитании смешанных чисел. Выведем правило сложения смешанных чисел и правило вычитания смешанных чисел. Закрепим полученные знания при решении примеров.


Конспект урока «Сложение и вычитание смешанных чисел»

Сегодня на уроке мы научимся складывать и вычитать смешанные числа.

Напомним, сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака «+». Такую сумму называют смешанным числом. То есть «смешали» натуральное число и правильную дробь, и назвали эту запись смешанным числом.

Натуральное число называют целой частью смешанного числа, а дробь – дробной частью смешанного числа.

То есть запись  является сокращённым вариантом записи .

Складывать смешанные числа помогают

свойства сложения: переместительное и сочетательное.

Пример

Найдём сумму чисел  и .

При выполнении записи в тетрадях, не нужно записывать смешанное число как сумму натурального числа и дроби, затем подробно расписывать, как вы складываете целые и дробные части смешанных чисел.

Пример

Найдём сумму смешанных чисел  и .

Таким образом, если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяют целую часть этой дроби и добавляют к уже имеющейся целой части.

Пример

Теперь найдём сумму чисел  и .

Задача

На столе лежало  пиццы. Если принести ещё  пиццы. Сколько пицц окажется на столе?

Чтобы решить задачу, надо сложить числа  и .

Чтобы найти разность смешанных чисел, нужно найти отдельно разность целых частей и отдельно разность дробных частей

.

Пример

Вычтем из дроби  дробь .

Есть в вычитании «коварные» примеры.

Пример

Запомните! Не начинайте выполнять вычитание, пока не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби.

А вот если вычесть нельзя, «занимаем» у целой части уменьшаемого одну целую единицу.

Иногда в примерах нужно вычесть из натурального числа смешанную дробь.

Пример

Найдём значение выражения .

Итоги

Чтобы сложить смешанные числа, надо: привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Предыдущий урок 11 Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Следующий урок 13 Умножение дробей


Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Математика 6 класс

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Сложение и вычитание смешанных дробей – правила, примеры (5 класс, математика)

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 292.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 292.

Сложение и вычитание смешанных дробей – это не трудные операции. Они основываются в основном на простейших правилах арифметики. Главное, разобраться, как правильно работать с дробной и целой частью, после этого примеры математики от 5 класса и выше не будут представлять проблем.

Смешанная дробь.

Очень часто учителя математики говорят, что знак дроби заменяет деление. Как это объяснить? Приведем небольшой пример.

Если попытаться выполнить деление

2:3 – то целого числа не получится. На 3 можно разделить либо 3, либо 6, а вот 2 или 1 уже не получится. Но что делать, если нужно выполнять математические операции с такими числами? Округлять? Представим ситуацию, когда требуется умножить несколько таких чисел. В таком случае, округление будет тянуться до бесконечности, а значит, будет увеличиваться расхождение конечного числа с реальным ответом.

Запомните, округлять можно только конечный результат, чтобы не увеличивать расхождение.

Посмотрим на примере, как будет увеличиваться это расхождение. Поработаем все с тем же числом:

$$2:3={2\over{3}}$$

Умножим это число на такое же не поддающееся делению число:

$${2\over{3}}*{9\over{13}}={18\over{39}}=0,462$$ – округлять будем до тысячных, чтобы отследить примерное расхождение. Теперь округлим каждую из дробей и посмотрим, что будет, если перемножить округление:

0,666*0,692=0,461 – расхождение в 1 сотую. И чем больше округлений в примере, тем больше будет расхождение. Поэтому в вычислениях используют дробные числа.

Смешанные дроби.

Тогда зачем придумали смешанные дроби? Смешанная дробь – это дробь, у которой выделили целую часть, но дробный остаток еще остался. Например:

$$3 {7\over{812}}$$

Работать с громоздкими числителями не всегда удобно, поэтому целую часть выделяют и работают с ней отдельно. Например, если бы в примере не выделили целую часть, то было бы:

$${2443\over{812}}$$

Число вышло слишком громоздким. Поэтому в математике принято работать со смешанными дробями.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание смешанных дробей процесс не сложный. Важно запомнить простое правило: в первую очередь работают с целыми частями, только после этого переходя на дроби.

Рассмотрим несколько нюансов:

  • Если при сложении двух смешанных дробей числитель получившейся дроби получается больше знаменателя, то из дробной части выделяется целое число и прибавляется к уже имеющейся целой части.
    Дробный остаток так же записывается рядом. Вполне может получится, что при таком сложении дробная часть полостью перейдет в целую.
  • Если при вычитании дробной части числителя недостаточно для выполнения операции, нужно «занять» единицу у целой части. Для этого от целой части отнимается единица, а к числителю прибавляется величина, равная величине знаменателя.
  • Чтобы правильно выполнить вычитание, можно просто обе дроби перевести из смешанных в неправильные и выполнить операцию по правилам сложения и вычитания обычных дробей.

Пример

Рассмотрим небольшой пример вычитания смешанных чисел.

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}$$

  • Первым шагом выполним действие дробной частью.

$${15\over{16}}-{17\over{18}}={{15*9-17*8}\over{144}}={{135-136}\over{144}}$$ – как видно, дробной части недостаточно для вычитания. При этом целая часть уменьшаемого больше целой части вычитаемого. Значит, занимаем единицу у 3. Не забываем, что при этом целая часть уменьшается на единицу.

  • То есть получим:

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}=2 {31\over{16}}-2 {17\over{18}}$$

В дробной части:

$${31\over{16}}- {17\over{18}}={{31*9-17*8}\over{144}}={{279-136}\over{144}}={143\over{144}}$$

Целая часть:

2-2=0

  • Запишем все выражение вместе с ответом:

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}={143\over{144}}$$

Что мы узнали?

Мы поговорили о смешанных числах. Узнали, зачем они нужны в математике. Подробно рассказали о правилах сложения и вычитания смешанных дробей. Рассмотренный материал рассмотрели на примере средней сложности.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 292.

А какая ваша оценка?

Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем | Преалгебра |

Модуль 4: Дроби

Результаты обучения

  • Использование модели для вычитания смешанных чисел с одинаковыми знаменателями
  • Вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями двумя разными методами

Давайте снова подумаем о пицце, чтобы смоделировать вычитание смешанных чисел с общим знаменателем. Предположим, вы только что испекли целую пиццу и хотите отдать половину пиццы своему брату. Что нужно сделать с пиццей, чтобы отдать ему половину? Вы должны разрезать его как минимум на две части. Тогда вы можете дать ему половину.

Мы будем использовать дробные круги (пиццы!), чтобы визуализировать процесс.

Начните с одного целого.

Алгебраически вы бы написали:

Пример

Используйте модель для вычитания:

1−131-\frac{1}{3}1−31​

.

Решение:

Попробуйте

#146391

Что, если мы начнем с более чем одного целого? Давай выясним.

Пример

Используйте модель для вычитания:

2−342-\frac{3}{4}2−43​

.

Показать решение

Решение:

Попробовать

#146392

В следующем примере мы вычтем более одного целого.

Пример

Используйте модель для вычитания:

2−1252 — 1\frac{2}{5}2−152​

.

Показать решение

Решение:

попробовать

#146393

Что делать, если вы начинаете со смешанного числа и вам нужно вычесть дробь? Подумайте об этой ситуации: вам нужно поставить три четверти на парковочный счетчик, но у вас есть только 9.0005

$1\$1$1

купюра с четвертью. Что ты можешь сделать? Вы можете обменять долларовую купюру на

444

четвертаков. Стоимость

444

четвертаков такая же, как у одной долларовой банкноты, но

444

четвертаков более полезны для парковочного счетчика. Теперь вместо купюры

$1\$1 $1

и одной четверти у вас есть

555

четвертей, и вы можете поместить

333

четвертей в счетчик.

Это моделирует то, что происходит, когда мы вычитаем дробь из смешанного числа. Мы вычли три четверти из одного доллара и одну четверть.

Мы также можем смоделировать это с помощью дробных кругов, как мы делали для сложения смешанных чисел.

Пример

Используйте модель для вычитания:

114−341\frac{1}{4}-\frac{3}{4}141​−43​

Показать решение

Решение:

Перепишите по вертикали. Начните с одного целого и одной четверти.

114\color{red}{1\frac{1}{4}}141​

−−34—\frac{3}{4}−−43​

Поскольку дроби имеют знаменатель 4, разрежьте целое на 4 части.

Теперь у вас есть

44\frac{4}{4}44​

и

14\frac{1}{4}41​

, что равно

54\frac{5}{4}45​

.

54\color{red}{\frac{5}{4}}45​

−−34—\frac{3}{4}−−43​

Убрать

34\frac{3}{4}43​

.

Осталось

12\frac{1}{2}21​

.

54\frac{5}{4}45​

−−3424=12\frac{\color{red}{—\frac{3}{4}}}{\frac{2}{4} =\frac{1}{2}}42​=21​−−43​​

Попробуйте

Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.

113−231\frac{1}{3}-\frac{2}{3}131−32​

Показать решение

Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.

115−451\frac{1}{5}-\frac{4}{5}151​−54​

Показать решение

Вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями

Теперь мы будем вычитать смешанные числа без используя модель. Но это может помочь представить модель в уме, когда вы читаете шаги.

Вычитание смешанных чисел с общими знаменателями

  1. Перепишите задачу в вертикальной форме.
  2. Сравните две дроби.
    • Если верхняя фракция больше нижней, перейдите к шагу 3.
    • Если нет, то в верхнем смешанном числе взять одно целое и прибавить его к дробной части, получив смешанное число с неправильной дробью.
  3. Вычитание дробей.
  4. Вычтите целые числа.
  5. Упростите, если возможно.

Пример

Найдите разность:

535−2455\frac{3}{5}-2\frac{4}{5}553​−254​

Решение:

535−2455\frac{3}{5}-2\frac{4}{5}553​−254​

Перепишите задачу в вертикальной форме.
Так как

35\frac{3}{5}53​

меньше

45\frac{4}{5}54​

, возьмите 1 из 5 и добавьте его к

35:(55+ 35=85)\frac{3}{5}:\left(\frac{5}{5}+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}\right)53​:(55 ​+53​=58​)

Вычтите дроби.
Вычесть целые части.

Результат в простейшей форме.

Так как задача была дана со смешанными числами, мы оставляем результат как смешанные числа.

Попробуйте

#146395

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще два примера того, как вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями.

Точно так же, как мы делали со сложением, мы могли вычитать смешанные числа, преобразовывая их сначала в неправильные дроби. Мы должны записать ответ в том виде, в каком он был задан, поэтому, если нам даны смешанные числа для вычитания, мы запишем ответ как смешанное число.

Вычитание смешанных чисел с общими знаменателями как неправильных дробей

Шаг 1. Перепишите смешанные числа в виде неправильных дробей.

Шаг 2. Вычтите числители.

Шаг 3. Запишите ответ в виде смешанного числа, по возможности упростив дробную часть.

Пример

Найдите разницу, переведя в неправильные дроби:

9611−710119\frac{6}{11}-7\frac{10}{11}9116​−71110​

Показать решение

Решение:

9611−710119\frac{6}{11}-7\frac{10}{11}9116​−71110​

Перепишите как неправильные дроби.

10511−8711\frac{105}{11}-\frac{87}{11}11105​−1187​

Вычесть числители.

1811\фрак{18}{11}1118​

Перепишите как смешанное число.

17111\фрак{7}{11}1117​

Попробуйте

#146395

Лицензии и атрибуты

Контент с лицензией CC, ранее опубликованный
  • Пример: вычитание смешанных чисел с одинаковыми знаменателями. Автор : Джеймс Соуза (mathispower4u.com). Лицензия : CC BY: Атрибуция
Лицензионный контент CC, Конкретная атрибуция
  • Преалгебра. Предоставлено : OpenStax. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии : Скачать бесплатно с http://cnx.org/contents/[email protected]

Предыдущая

Следующая

Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем

Результаты обучения

  • Модель вычитание смешанных чисел с общий знаменатель
  • Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем

Моделирование вычитания смешанных чисел

Давайте снова подумаем о пицце, чтобы смоделировать вычитание смешанных чисел с общим знаменателем. Предположим, вы только что испекли целую пиццу и хотите отдать половину пиццы своему брату. Что нужно сделать с пиццей, чтобы отдать ему половину? Вы должны разрезать его как минимум на две части. Тогда вы можете дать ему половину.

Мы будем использовать дробные круги (пиццы!), чтобы визуализировать процесс.

Начните с одного целого.


Алгебраически вы должны написать:

Пример

Используйте модель для вычитания: [latex]1-\Large\frac{1}{3}[/latex].

Решение:

 

Попробуйте

Что, если мы начнем с нескольких целых? Давай выясним.

Пример

Используйте модель для вычитания: [latex]2-\Large\frac{3}{4}[/latex].

Показать решение

Попробуйте

В следующем примере мы будем вычитать более одного целого.

Пример

Используйте модель для вычитания: [latex]2 — 1\Large\frac{2}{5}[/latex].

Показать решение

попробуй

Что делать, если вы начинаете со смешанного числа и вам нужно вычесть дробь? Подумайте о такой ситуации: вам нужно поставить три четверти в парковочный счетчик, но у вас есть только счет [латекс]1 доллар[/латекс] и одна четверть. Что ты можешь сделать? Вы можете разменять долларовую купюру на [латекс]4[/латекс] четвертака. Стоимость [latex]4[/latex] четвертаков такая же, как и одна долларовая купюра, но [latex]4[/latex] четверти более полезны для парковочного счетчика. Теперь, вместо счета [латекс]1[/латекс] и одной четверти, у вас есть [латекс]5[/латекс] четвертаков, и вы можете положить [латекс]3[/латекс] четвертаков в счетчик.

Это моделирует то, что происходит, когда мы вычитаем дробь из смешанного числа. Мы вычли три четверти из одного доллара и одну четверть.

Мы также можем смоделировать это с помощью дробных кругов, как мы делали для сложения смешанных чисел.

Пример

Используйте модель для вычитания: [latex]1\Large\frac{1}{4}-\Large\frac{3}{4}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, чтобы проиллюстрировать или смоделировать свой ответ.

[latex]1\Large\frac{1}{3}-\Large\frac{2}{3}[/latex]

Показать решение

 

Используйте модель для вычитания. Нарисуйте картинку, иллюстрирующую вашу модель.
[latex]1\Large\frac{1}{5}-\Large\frac{4}{5}[/latex]

Показать решение

Вычитание смешанных чисел с общим знаменателем

Теперь вычтем смешанные числа без использования модели. Но это может помочь представить модель в уме, когда вы читаете шаги.

Вычитание смешанных чисел с общими знаменателями

  1. Перепишите задачу в вертикальной форме.
  2. Сравните две дроби.
    • Если верхняя фракция больше нижней, перейдите к шагу 3.
    • Если нет, то в верхнем смешанном числе взять одно целое и прибавить его к дробной части, получив смешанное число с неправильной дробью.
  3. Вычитание дробей.
  4. Вычтите целые числа.
  5. Упростите, если возможно.

Пример

Найдите разницу: [latex]5\Large\frac{3}{5}-\normalsize2\Large\frac{4}{5}[/latex]

Решение:

The next line says to rewrite the problem in vertical form and shows 5 and 3 fifths above 2 and 4 fifths. The next line says, «>
[латекс]5\Большой\фракция{3}{5}-\нормальный размер2\Большой\фракция{4}{5}[/латекс]
Перепишите задачу в вертикальной форме.
Так как [latex]\Large\frac{3}{5}[/latex] меньше, чем [latex]\Large\frac{4}{5}[/latex] , возьмите 1 из 5 и добавьте его в [латекс]\Large\frac{3}{5}:\left(\Large\frac{5}{5}+\Large\frac{3}{5}=\Large\frac{8}{5 }\справа)[/латекс]
Вычесть дроби.
Вычесть целые части.

Результат в простейшей форме.

Так как задача была дана со смешанными числами, мы оставляем результат как смешанные числа.

Попробуйте

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще два примера того, как вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями.