Смешанные дроби и действия с ними — что это, определение и ответ
Смешанные дроби – это дроби, в записи которых есть целые числа. Любую смешанную дробь можно представить неправильной дробью.
Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. В таком случае у дроби выделяется целая часть и её можно записать в виде смешанной.
Например,
\(\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}\)
1 – целая часть, а \(\frac{3}{4}\) – дробная часть смешанного числа \(1\frac{3}{4}\).
АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:
Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.
Неполное частное будет целой частью.
Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель — знаменателем.
Например,
Переведем неправильную дробь \(\frac{48}{9}\) в смешанную:
Неполное частное \(= 5\), остаток \(= 3,\) делитель \(= 9\), тогда эту неправильную дробь можно записать как: \(5\frac{3}{9}\).
АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:
Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.
К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Например,
Переведем смешанную дробь \(4\frac{5}{7}\) в неправильную:
Числитель неправильной дроби будет равен
\((4 \bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33\).
Знаменатель останется прежний и будет равен 7.
Получим: \(4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}\)
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:
При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.
Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.
Например:
\(5\frac{3}{8} + 2\frac{6}{8} = (5 + 2) + (\frac{3}{8} + \frac{6}{8}) = 7 + \frac{9}{8} = 7 + 1\frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}\)
Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:
\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = (7 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1\frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + \frac{8}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5}\)
Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной.
Теперь можно считать разность:
\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5} = (6\ –\ 2) + (\frac{8}{5}\ –\ \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)
Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.
Например:
\(3\ –\ 1\frac{2}{6} = (2 + \frac{6}{6})\ –\ 1\frac{2}{6} = (2\ –\ 1) + (\frac{6}{6}\ –\ \frac{2}{6}) = 1\frac{4}{6}\)
Сложение ⭐ и вычитание смешанных чисел с разными и одинаковыми знаменателями
Определение и примеры смешанных чисел
ОпределениеСмешанное число является таким числом, которое включает в себя натуральное число и обыкновенную дробь.
Общий вид смешанного числа:
Пример 1Примеры смешанных чисел для закрепления понятия:
Заметим, что каждое из перечисленных смешанных чисел имеет целую и дробную части.
Рассмотрим виды дробей:
- Правильная дробь имеет числитель, который в любом случае меньше, чем знаменатель, например,
- Неправильная дробь, в которой числитель больше по сравнению со знаменателем, либо равен ему, например,
- Смешанная дробь, или смешанное число, состоящее из целой части в виде натурального числа и дробной части, как
Со смешанными числами можно производить разные вычисления при решении задач по математике в средних классах школы.
Такие числа вычитают, складывают, умножают и делят.
Правила сложения смешанных чисел
Перед тем как перейти к теме сложения смешанных чисел, следует изучить принципы сложения натурального числа и дроби. Разберем пример:
Здесь задача заключается в том, чтобы записать дробную часть рядом с натуральным числом:
В том случае, когда дробь больше единицы, то есть является неправильной, по итогу сложения требуется выделить целую часть. Объяснение действий:
- разделить нацело числитель на знаменатель;
- суммировать частное от деления с целой частью;
- переписать остаток в виде дробной части.
Разберем простой пример:
Вычислим сумму дробных частей:
С помощью рассмотренных практических примеров составим алгоритм действий при сложении смешанных чисел:
- Сложение целых частей заданных чисел.
- Сложение дробных частей заданных чисел.
- Сложение итоговых результатов этих сумм.
- Приведение полученного числа в вид правильной дроби при необходимости с помощью сокращения дроби.
Разберем несколько типичных примеров:
Далее познакомимся с процедурой сложения смешанного числа и дроби. Порядок действий следующий:
- так как одно из чисел не имеет целой части, следует суммировать дробные части заданных чисел;
- полученный результат суммы нужно сложить с целой частью того числа, у которого она в наличии.
Попробуем найти сумму:
Сложим дробные части:
Определим сумму полученного результата сложения дробей и существующей целой части:
Рассмотрим несколько примеров:
Алгоритм сложения смешанного и натурального чисел:
- Разбить смешанное число, чтобы получилась численная часть и дробная часть.
- Определить сумму целой части и натурального числа.
- Полученный результат нужно сложить с дробной частью от смешанного числа.
В качестве примера рассмотрим такую сумму:
Правила вычитания смешанных чисел
Нередко в процессе решения задач требуется выполнить вычитание смешанных чисел.
При этом возможно два варианта:
- дробная часть уменьшаемого больше или равна дробной части вычитаемого;
- дробная часть уменьшаемого меньше, чем дробная часть вычитаемого.
Рассмотрим вычитание двух смешанных чисел:
Аналогично сложению, здесь нужно выполнять действия отдельно с целыми частями и отдельно с дробными частями смешанных чисел.
Отнимем от целой части первого смешанного числа, то есть 6, целую часть второго смешанного числа, то есть 2. В результате получается число 4.
Затем найдем разность дробных частей
Определим наименьшее кратное для знаменателей. Таковым является число 12.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на число 3, которое играет роль дополнительного множителя. Для второй дроби таким числом является 4.
На следующем этапе требуется выполнить вычитание числителя второй дроби из числителя первой дроби. В результате получается
Суммируем полученные числа:
Второй случай вычитания смешанных чисел, когда дробная часть первого числа меньше по сравнению с дробной частью второго числа, предусматривает предварительное действие.
Нужно занять для дробной части первого числа единицу от целой части. Далее можно действовать по стандартному алгоритму.
Рассмотрим пример вычитания двух смешанных чисел:
В первую очередь следует уменьшить целую часть первого числа на 1. Числитель нужно сложить со знаменателем. Получим:
Дальнейшие действия типичны для вычитания смешанных чисел:
- вычитание целой части второго числа из целой части первого числа;
- вычитание дробной части второго числа из дробной части первого числа;
- сложение полученных результатов.
Применительно к нашему примеру, получим:
Сформулируем алгоритм действий при вычитании смешанных чисел:
- Когда дробная часть первого числа меньше по сравнению с дробной частью второго числа, нужно занять единицу из первого слагаемого.
- Вычитание целых частей смешанных чисел.
- Вычитание дробных частей смешанных чисел.
- Сложение полученных результатов.
- При необходимости сокращение дробной части путем выделения целой части из дробной.
Запишем несколько примеров:
В первом примере потребовалось занять единицу в уменьшаемом. Заметим, что при получении одинаковых целых частей после вычитания результат не имеет целой части. Второй пример наглядно демонстрирует необходимость в упрощении дробей перед тем, как приступить к вычитанию.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1На одной тарелке пирога с клубничной начинкой. На второй тарелке пирога с черничной начинкой. Нужно вычислить общее количество пирогов на обеих тарелках в сумме.
Решение
Найдем отдельно сумму целых частей смешанных чисел и отдельно дробных частей смешанных чисел:
Задача 2На тарелке было пирога с ягодами. Затем от пирога съели. Вычислите количество оставшегося пирога.
Решение
Запишем вычитание:
Задача 3На тарелке было клюквенного пирога. Затем съели этого пирога. Нужно посчитать количество оставшегося пирога.
Решение:
Задача 4
Вычислить:
Решение
Ответ: 3
Задача 5Найти разность смешанных чисел:
Решение
Ответ:
Задача 6Выполнить сложение смешанных чисел:
Решение
Ответ: 7
Задача 7Вычислить:
Решение
Ответ:
Задача 8Сложить смешанные числа:
Решение
Ответ: 5
Задача 9Вычислить:
Решение
Ответ:
Задача 10Найти сумму смешанных чисел:
Решение
Ответ:
Задача 11Сложить смешанные числа:
Решение
Ответ:
Задача 12Вычислить:
Решение
Ответ:
Калькуляторы дробей
Научитесь складывать, вычитать, умножать и делить дроби.
Сократите дроби до минимума, упростите, сравните и упорядочите дроби. Преобразовывайте дроби в десятичные и проценты, работайте со смешанными числами и неправильными дробями и находите X в уравнениях дробей с помощью онлайн-калькуляторов дробей CalculatorSoup ® .
Дробные операции и манипуляции
Калькулятор дробей
Действия над правильными и неправильными дробями. Включает формулы для сложения, вычитания, умножения и деления дробей.
Сложение и вычитание дробей.
Сложите или вычтите до 10 дробей за раз и посмотрите работу по поиску ответа.
Смешанные номера
Смешанные числа, целые числа и дроби
Смешанные фракции
(То же, что и смешанные номера)
Упрощение дробей
Преобразование неправильных дробей в смешанные числа. Упростите правильные и неправильные дроби, показав произведение и ответ в виде дроби или смешанного числа.
Упрощение калькулятора сложных дробей
Упростить дроби по числителям и знаменателям любых двух смешанных чисел (смешанных дробей), правильных дробей, неправильных дробей или целых чисел.
Калькулятор сложных дробей
Сложение, вычитание, умножение и деление сложных дробей, содержащих смешанные числа, дроби или целые числа.
Десятичная дробь
Преобразование десятичной дроби в дробь.
Дробь к десятичной
Преобразование дроби в десятичную.
Дробь в процент
Преобразование дроби в проценты.
Проценты в дроби
Преобразование процентов в дроби.
Наименьший общий знаменатель ( LCD )
Находит LCD дробей, целых и смешанных чисел. Показывает дроби и эквивалентные дроби с
Наименее распространенное кратное ( ЛКМ )
Находит LCM целых и целых чисел.
Наибольший общий делитель ( GCF )
Находит GCF набора чисел, показывающих работу с использованием факторизации, простой факторизации и алгоритма Евклида.
Калькулятор соотношения
Решите задачи на отношение и пропорцию для отсутствующего значения отношения в форме A:B = C:D (или эквивалентной A/B = C/D). Сравните два отношения эквивалентности, ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Калькулятор отношения к дроби
Преобразование пропорций в дроби. Введите отношение части к части или части к целому и найдите дробные эквиваленты.
Упрощение отношения
Упростить и уменьшить соотношение в виде A : B. Показана работа с шагами.
Золотое сечение
Введите одно значение в формулу золотого сечения (A+B : A = A : B), и другие значения будут сгенерированы с геометрическим представлением.
Эквивалентные дроби
Создать набор дробей, эквивалентных заданной дроби, смешанному числу или целому числу.
Неправильные дроби в смешанных числах
Преобразуйте неправильные дроби в смешанные числа и посмотрите, сколько работы потребуется для преобразования. Упростите дроби и приведите к наименьшим терминам.
Смешанные числа в неправильные дроби
Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби и посмотрите, сколько работы потребуется для преобразования.
Смешанные числа в десятичные
Преобразуйте смешанные числа, дроби или целые числа в десятичные числа и проследите за работой, связанной с преобразованием.
Смешанные числа в процентах
Преобразуйте смешанные числа, дроби или целые числа в проценты и посмотрите, сколько работы потребуется для преобразования.
Порядок дробей
Упорядочивание и сортировка дробей, целых и смешанных чисел, чтобы определить, равны ли они, больше или меньше друг друга ( = или > или < ).
Показывает затраченную работу и преобразует входные данные в эквивалентные дроби с ЖК-дисплей .
Сравнение дробей
Сравнение дробей, целых и смешанных чисел для демонстрации равенства или неравенства ( = или < или > ). Показывает входные данные, преобразованные в эквивалентные дроби с ЖК-дисплей .
Решение для X в дробях
Найдите неизвестные 
Оценка сумм и разностей
Оценка сумм и разностей для положительных правильных дробей, n/d, где n ≤ d и 0 ≤ n/d ≤ 1. Включает таблицу дробей порядка половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых с их десятичными эквивалентами.
Усреднение дробей
Вычислить среднее значение набора дробей. Находит среднее положительных и отрицательных, правильных и неправильных дробей, целых и смешанных чисел. Включает возможность показать работу, связанную с вычислением результата.
Таблица фракций
Дроби в порядке от 0 до 1 для половин до шестнадцатых. Включает десятичные эквиваленты дробей.
Число дробей Строка
Дробные части размером от шестнадцатых долей.
Преобразование дробей, десятичных знаков и процентов
Конвертер десятичных дробей в дроби
Конвертер десятичных чисел в проценты
Конвертер дробей в десятичную
Конвертер дробей в проценты
Конвертер процентов в десятичные числа
Конвертер процентов в дроби
Конвертер смешанных чисел в десятичные числа
Конвертер смешанных чисел в проценты
Смешанные числа в неправильные дроби
Неправильные дроби в смешанных числах
Вычитание дробей — Math28
Содержание
Что такое вычитание дробей? Вычитание дробей — одна из основных операций, позволяющая получить разность между двумя дробями в эквивалентной дроби, которая известна как «разность» или «вычитание».
Узнать больше о: « Вычитание » →
Символ или знак вычитания дробейВычитание дробей представлено символом тире или промежуточной чертой «-», которая известна как «минус».
Узнать больше о: » Операции с дробями » →
Как мы вычитаем дроби?
Чтобы получить числовое значение в виде дроби, вы должны сначала определить, имеет ли вычитание дробей один и тот же знаменатель или разные знаменатели, поэтому есть две процедуры:
1) Вычитание дробей с одинаковым знаменателемВычитание дробей с одинаковым знаменателем или также известное как вычитание однородных дробей является наиболее упрощенной и простой процедурой, так как процедура вычитания основана на вычитании числителей, а знаменатель остается прежним.
3 / 4
—
1 / 4
=
2 / 4
3/4
1/4
2/4
Пример:
5 / 3
—
4 / 3
=
5 — 4 /
=
1 / 3
8 / 2
—
6 / 2
=
8 — 6 /
=
2 /
9 / 6
—
2 / 6
=
9 — 2 /
=
7 /
5 / 3
—
2 / 3
=
5 — 2 /
=
3 /
Из предыдущих примеров можно упростить 2/2 = 1 и 3/3 = 1.
Упражнение:
А)
5 / 3
—
3 / 3
= ?
Б)
9/ 2
—
5 / 2
= ?
С)
6 / 5
—
4 / 5
= ?
Д)
6 / 8
—
2 / 8
= ?
Для вычитания дробей с разными знаменателями или также известного как вычитание разнородных дробей рекомендуется знать, как получить наименьшее общее кратное (lcm), так как мы можем упростить уравнения.
Узнать больше о: « Наименьшее общее кратное » →
3 / 4
—
1 / 2
=
1 / 4
3/4
1/2
1/4
Рассмотрены два разных метода вычитания дробей с разными знаменателями, в данном случае первый метод соответствует прямой форме, так как мы не можем получить наименьшее общее кратное знаменателя, а второй метод соответствует получению наименьшего общего кратного.
Примечание : рекомендуется работать с ранее упрощенными дробями.
Примеры:
3 / 2
—
4 / 3
=
9 — 8 /
=
1 / 6
5 / 2
—
3 / 4
=
10 — 3 /
=
7 /
7 / 2
—
4 / 8
=
28 — 4 /
=
24 /
8 / 5
—
2 / 3
=
24 — 10 /
=
14 /
Из предыдущих примеров можно упростить 24/8 = 3.
Упражнение:
А)
7 / 2
—
5 / 3
= ?
Б)
3 / 2
—
5 / 4
= ?
902:30 С)3 / 4
—
3 / 5
= ?
Д)
6 / 6
—
2 / 2
= ?
Вычитание смешанных дробей
При вычитании смешанных дробей необходимо, чтобы вся часть выражалась в виде дроби с тем же знаменателем, что и в сопровождающей ее дробной части. Например, чтобы выполнить следующее смешанное вычитание:
4
2 / 5
— 3
4 / 8
- 1.
