Первая цифра — уровень:

1 — вводный
2 — основной
3 — специальный
4 — магистерский

Вторая цифра (для уровней 2—4) — шифр области знаний в ФИИТ:

0 — дискретная математика и теоретическая информатика
1 — языки и системы программирования
2 — архитектура компьютера, операционные системы, сети
3 — интерфейсы, графика
4 — алгоритмы и сложность
5 — информационные и интеллектуальные системы
6 — программная инженерия
7 — теория информации и защита информации
8 — непрерывная математика
9 — разное

Третья цифра — номер курса в рамках уровня и области.

Буква (если есть) — указывает, что курс длится несколько семестров.

Ссылка на полный список.

You are not logged in. (Log in)

Data retention summary

Get the mobile app

Элементарные операции со столбцами

Марко Табога, доктор философии

Вся теория линейных систем, которую мы обсуждали до сих пор (например, матрица форма, эквивалент системы, элементарные рядные операции, рядный эшелон форма, гауссова устранение) зависит от того выбора, который мы изначально сделали при организации уравнения системы по вертикали (одно под другим) и записывая их левая и правая части как записи двух векторов-столбцов.

Параллельная и в основном идентичная теория может быть разработана путем организации уравнения по горизонтали (одно рядом с другим) и записывая их лево- и правые части как записи двух векторов-строк. В этой параллельной теории, которая кратко изложено ниже, элементарные операции со столбцами (которые являются аналог элементарных операций со строками) играют ключевую роль. Более того, точное определение операций со столбцами имеет смысл, поскольку несколько полезных концепции линейной алгебры основаны на унифицированной обработке строк и столбцов. операции.

Содержание

1. Системы в виде строк

2. Операции с колоннами

3. Эшелонирование с колоннами

   9001 6

4. Исключение Гаусса и Жордана Гаусса

5. Решенные упражнения

   1. Упражнение 1

   2. Упражнение 2

Системы в ряд

Помните, что система линейные уравнения в неизвестные может быть представлено в матричной форме как где это матрица коэффициентов, это вектор констант и это вектор неизвестных.

Таким образом, мы имеем два векторов-столбцов по обе стороны от знака равенства :

Переставляя обе части системы, мы можем эквивалентно записать ее ассо что вектор неизвестных это вектор-строка, матрица коэффициентов это матрица и вектор констант это вектор строки.

Другими словами, у нас есть два векторов-строк по обе стороны от знака равенства :

Это то, что мы подразумевали во введении, говоря о «сопоставлении уравнений по горизонтали, один над другим».

Заметить, что:

• в системе , каждая строка представляет собой уравнение;

• в системе , каждый столбец представляет собой уравнение.

Пример Рассмотрим системаЗатем, и у нас есть два векторы по обе стороны равных знак:Каждый строка из двух векторов соответствует уравнению. К перекладывая все, мы получить и у нас есть два векторы по обе стороны равных знак:Каждый столбец двух векторов соответствует уравнению. К лучше визуализировать соответствие между столбцами, мы могли бы запись

Операции со столбцами

Когда система записывается горизонтально, мы можем получить системы, эквивалентные ей путем выполнения элементарных операций со столбцами:

1. умножение столбца на ненулевую константу;

2. добавление кратного одного столбца к другому столбцу;

3. чередование столбцов.

Эти операции полностью аналогичны элементарным операциям со строками. выполняется на системах, написанных вертикально.

Помните, что элементарно операции со строками могут выполняться двумя альтернативными способами:

1. непосредственно на ряды системы;

2. по строкам единичной матрицы; тогда система предварительно умножить на результирующую матрицу.

То же самое относится и к элементарным операциям со столбцами, которые можно выполнить:

1. непосредственно на колонках системы;

2. по столбцам единичной матрицы; тогда система умножить на результирующую матрицу.

Это легко увидеть следующим образом. Когда система расположена вертикально и матрица, полученная путем выполнения элементарных операций над строками, имеет вид , тогда эквивалентная система

Если мы переставим обе части уравнения, мы добраться куда это матрица, полученная путем выполнения операций со столбцами над единичной матрицей (перестановка преобразует операции со строками в операции со столбцами).

Пример Рассмотрим систему двух уравнений на три неизвестные можно записать в матричной форме как где Добавление первое уравнение ко второму, мы получаем эквивалентное системаэто можно записать в матричной форме какгдеМы получить тот же результат, 1) взяв личность матрица2) добавление первого столбца в второй: и 3) пост-умножение и к :

Форма эшелона колонны

Помните, что системы, расположенные вертикально, легко решать, когда они находятся в форма эшелона строки или уменьшенный рядный эшелон форма. Эти формы имеют очевидные аналоги для систем, организованных по горизонтали: система говорят, что она находится в (уменьшенной) эшелонированной форме столбца тогда и только тогда, когда система является в (уменьшенной) эшелонированной форме строки.

Эквивалентно, матрица называется эшелонированной (приведенной) столбцовой формой тогда и только тогда, когда матрица находится в (уменьшенной) ступенчатой ​​​​форме строк.

Исключение Гаусса и Гаусса Жордана

Наконец, гауссова и Гаусс Джордан устранение, два алгоритма, используемые для преобразования вертикальной системы в эквивалентная система в (уменьшенной) эшелонированной форме строки может использоваться на горизонтальная система с простыми модификациями: всякий раз, когда элементарная операция строки необходима для вертикальной системы, вместо этого мы выполняем работа колонны по горизонтальной системе.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Написать системагоризонтально.

Решение

Система

Упражнение 2

Напишите матрицу что позволяет дважды просуммировать первый столбец системы в предыдущем упражнение во вторую колонку.

Решение

Матрица получается путем выполнения элементарной операции столбца над единичная матрица:

Как цитировать

Пожалуйста, цитируйте как:

Табога, Марко (2021). «Элементарные операции со столбцами», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/elementary-column-operations.

Матрицы умножения — примеры

М. Борна

На этой странице вы можете увидеть множество примеров умножения матриц.

Вы можете перезагружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел и матриц. Вы также можете выбрать матрицы разного размера (внизу страницы).

(Если вам сначала нужна справочная информация о матрицах, вернитесь к разделу «Введение в матрицы» и «4. Умножение матриц»).

Матрицы умножения A и B .

Ответить

Чтобы сэкономить работу, мы сначала проверяем, можно ли их умножить.

У нас есть (2×2) × (2×2) и поскольку количество столбцов в A такое же, как количество строк в B (в данном случае два средних числа равны 2), мы можем продолжить и умножить эти матрицы. Нашим результатом будет матрица (2×2).

Первым шагом является запись двух матриц рядом следующим образом:

Перемножаем отдельные элементы по первой строке матрицы A с соответствующими элементами вниз по первому столбцу матрицы B и добавить результаты. Это дает нам число, которое нам нужно поместить в первую строку, позицию первого столбца в матрице ответов.

4×5 + -1×1 = 19

После этого мы умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы вниз по второму столбцу матрицы B , затем складываем результаты.