Умножение в столбик | интернет проект BeginnerSchool.ru

Умножение многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик, последовательно умножая каждый разряд. Давайте разберем, как это делать. Начнем с умножения многоразрядного числа на одноразрядное число и постепенно увеличим разрядность второго множителя.

Для того чтобы умножить в столбик два числа, разместите их одно под другим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сравните два множителя и меньший разместите под большим. Затем начинайте умножать каждый разряд второго множителя на все разряды первого множителя.

Пишем однозначное число под единицами многозначного.

Умножаем 2 последовательно на все разряды первого множителя:

Умножаем на единицы:

8 × 2 = 16

6 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем. Для того, чтобы не забыть пишем 1 над десятками.

Умножаем на десятки:

3 десятка × 2 = 6 десятков + 1 десяток(запоминали) = 7 десятков. Ответ пишем под десятками.

Умножаем на сотни:

4 сотни × 2 = 8 сотен. Ответ пишем под сотнями. В результате получаем:

438 × 2 = 876

Умножим трехзначное число на двухзначное:

924 × 35

Пишем двухзначное число под трехзначным, единицы под единицами, десятки под десятками.

1 этап: находим первое неполное произведение, умножив 924 на 5.

Умножаем 5 последовательно на все разряды первого множителя.

Умножаем на единицы:

4 × 5 = 20             0 пишем под единицами второго множителя, 2 десятка запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 5 = 10 десятков + 2 десятка (запоминали) = 12 десятков, пишем 2 под десятками второго множителя, 1 запоминаем.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 5 = 45 сотен + 1 сотня (запоминали) = 46 сотен, пишем 6 под разрядом сотен, а 4 под разрядом тысяч второго множителя.

924 × 5 = 4620

2 этап: находим второе неполное произведение, умножив 924 на 3.

Умножаем 3 последовательно на все разряды первого множителя. Ответ пишем под ответом первого этапа, сдвинув его на один разряд влево.

Умножаем на единицы:

4 × 3 = 12             2 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 3 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали)  =  7 десятков, пишем 7 под разрядом сотен.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 3 = 27 сотен, 7 пишем в разряд тысяч, а 2 в разряд десятков тысяч.

3 этап: складываем оба неполных произведения.

Складываем поразрядно, учитывая сдвиг.

В результате получаем:

924 × 35 = 32340

Умножим трехзначное число на трехзначное:

Возьмем первый множитель из предыдущего примера, а второй множитель тоже из предыдущего, но больше на 8 сотен:

924 × 835

Итак, два первых этапа такие же, как в предыдущем примере.

3 этап: находим третье неполное произведение, умножив 924 на 8

Умножаем 8 последовательно на все разряды первого множителя. Результат пишем под вторым неполным произведением со сдвигом влево, в разряд сотен.

4 × 8 = 32, пишем 2 в разряд сотен, 3 запоминаем

2 × 8 = 16 + 3 (запоминали) = 19, пишем 9 в разряд тысяч, 1 запоминаем

9 × 8 = 72 + 1 (запоминали)

= 73, пишем 73 в разряды сотен и десятков тысяч соответственно.

4 этап: складываем три неполных произведения.

В результате получаем:

924 × 835 = 771540

Итак, сколько разрядов во втором множителе, столько и будет слагаемых в сумме неполных произведений.

Возьмем два множителя с одинаковой разрядностью:

3420 × 2700

При умножении двух чисел оканчивающихся нулями пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

Теперь умножаем два числа, не обращая внимания на нули:

342 × 27 = 9234

Общее количество нулей приписываем к получившемуся произведению.

В результате получаем:

3420 × 2700 = 9234000

Подведем итог. Для того чтобы письменно в столбик умножить два числа друг на друга, надо:

1. Сравнить два числа и меньшее написать под большим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если числа с нулями, то пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

2. Умножаем последовательно каждый разряд второго множителя, начиная с единиц, на все разряды первого множителя. На нули внимания не обращаем

3. Неполные произведения пишем друг под другом, сдвигая каждое неполное произведение на один разряд влево. Сколько во втором множителе значащих разрядов (не 0), столько будет неполных произведений.

4. Складываем все неполные произведения.

5. К полученному результату приписываем нули из обоих множителей.

Вот и все, спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Умножение двузначных чисел столбиком — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Как научить ребенка умножать в столбик на однозначное, двузначное и трехзначное число | В помощь родителям младшего школьника

По многим программам умножение и деление в столбик — темы, которые проходят в конце учебного года. И в 3 классе, и в 4. Так сложилось, что этот учебный год наши дети заканчивают дома. В этой статье я расскажу, как научить ребенка решать примеры на умножение в столбик. Плюс обсудим основные ошибки, которые допускают дети. 

Как научить умножать на однозначное число. 

Например, нам нужно умножить 189 на 5.

Умножаем единицы. 5 × 9= 45. 5 пишем под единицами, а 4 десятка запоминаем. Умножаем десятки. 5 × 8 = 40. Да ещё 4 запоминали. 40 + 4 = 44. 4 пишем под десятками, а 4 запоминаем. Умножаем сотни. 5 × 1 = 5, да 4 запоминали. 5 +4 = 9. Значит, если 189 умножить на 5, получится 945.

Как научить ребенка умножать в столбик на однозначное, двузначное и трехзначное число

Важно! Сначала умножаем, а потом прибавляет то число, которое запоминали. Если сначала прибавить число, которое запоминали, а потом умножить, то получится другой ответ. 

Как умножить на двузначное число

Рассмотрим пример 859 × 96. 

Сначала 859 умножаем на количество единиц. Т. е. на 6. Получилось число 5154. Это первый промежуточный ответ.

Как научить ребенка умножать в столбик на однозначное, двузначное и трехзначное число

Теперь 859 будет умножать на десятки. А результат начнем записывать под десятками. Т. е. второй промежуточный ответ сдвигается влево. Это очень важно. Может получиться ошибка. 

Как научить ребенка умножать в столбик на однозначное, двузначное и трехзначное число

859 × 9 = 7731. Это второй промежуточный ответ. А теперь оба ответа складываем. Получился ответ 82464.

Как умножать на трехзначное число. 

Умножение на трехзначное число происходит так же, как и на двузначное. Только промежуточных ответа будет три. 

Например, нам нужно умножить 1029 на 374.

Как научить ребенка умножать в столбик на однозначное, двузначное и трехзначное число

Скоро выйдут новые полезные материалы, подписывайтесь на мой канал

Урок математики.

Умножение на двухзначное число.

Тип урока: освоение нового знания

Цель: знакомство с алгоритмом письменного умножения на двухзначное число.

Задачи урока:

1. Освоить алгоритм умножения многозначного числа на двузначное, используя запись в столбик.
2. Повысить навыки решения текстовых задач.
3. Совершенствовать навыки устных и письменных вычислений.

Ожидаемые результаты: дети познакомятся с приемом умножения многозначного числа на двузначное число с помощью записи в столбик.

Формы работы: фронтальная, самостоятельная, групповая, в парах.

Оборудование: алгоритм письменного умножения на двузначное число, учебник математики Л.Г. Петерсон 3 класс 3 часть, компьютер, карточки с заданиями.

Ход урока

I. Самоопределение к деятельности.

Ребята, доброе утро! Очень рада вас сегодня видеть! Умные глазки посмотрели на меня.

Прочитайте пожалуйста все вместе это стихотворение.

Долгожданный дан звонок,
Начинается урок.
Прибавляю, отнимаю,
Умножаю и делю.
Математику я знаю
И поэтому люблю!

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности.

Устный счет.

Логика нужна нам в жизни?
Ну, давай, дерзай не кисни.

• Сколько ушей у 4 малышей? (8)
• Сколько брюшек у 8 хрюшек? (8)
• Сколько хвостов у 3 слонов? (3)
• Сколько пальчиков у 6 мальчиков? (120)
• У Сени 7 пар носков. Сколько носков на правую ногу? (7)
• У мамы семь сыновей. У каждого сына есть родная сестра. Сколько детей у мамы? (8)
• В 11 часов малыш проснулся. Когда он лег спать, если проспал 2 часа? (9)
• Через запятую в своих рабочих тетрадях записывайте только ответы.
• 736 увеличить на 30. (766)
• 314 уменьшить на одну сотню. (214)
• 32 увеличить в 3 раза. (96)
• Какое число меньше 946 на 100. (846)
• Чему равна сумма 430 и 26. (456)
• Из 530 вычесть 5 единиц. (525)
• 965 увеличить в 10 раз. (9 650)
• 50 000 увеличить на 1 405. (51 405)
• Какое число больше 1000 на 175. (1 175)

А теперь обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа и оцените. Верните тетради на место. Поднимите руки те, у кого нет ни одной ошибки. Две ошибки. Три ошибки. Больше четырёх ошибок. Молодцы!

Повторение видов умножения.

• 5 * 6 =
• 7 * 34 =
• 7 * 145 =
• 17 * 9 =
• 2467 * 4 =
• 15 * 44 =

На экране вы видите числовые выражения.

Какое задание можно выполнить с этими выражениями? (разделить на группы)

По каким признакам можно произвести деление на группы? (по первому множителю, по виду умножения)

Все ли выражения вы можете решить самостоятельно? (нет)

Попробуйте вычислить самостоятельно выражение 15 * 44 применив уже имеющиеся знания.

Что заметили? (дети в затруднении)

Почему вы не можете решить этот пример? (мы умножали только на однозначное число, а здесь двузначные числа)

Давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока. (умножение на двузначное число)

III. Открытие нового знания.

А кто-нибудь смог найти ответ этого примера 15 * 44? Объясните, как вы рассуждали, какое свойство умножения использовали? (распределительное свойство умножения, 15 * 44 = 44 * (10 + 5) = 44 * 10 + 44 * 5 = 440 + 220 = 660)

А теперь давайте решим этот пример с помощью записи в столбик. Чтобы умножить любое число на двузначное, нужно умножить это число сначала на единицы, а потом на десятки и полученные произведения сложить.

На помощь к вам пришел ваш любимый герой дядя Фёдор, посмотрите, как рассуждал он решая пример. (№4 с. 26)

Правильно ли дядя Фёдор решил и прокомментировал решение? (да)

Ещё раз проговорим алгоритм умножения на двузначное число и записи примеров в столбик. Правило на с. 25 (Чтобы умножить любое число на двузначное, нужно умножить это число сначала на единицы, а потом на десятки и полученные произведения сложить В записи суммы число десятков сдвигают на 1 разряд влево)

Физкультминутка.

Ветер дует нам в лицо. (дети машут руками на себя)

Закачалось деревцо. (дети делают наклоны)
Ветер, тише, тише, тише … (дети приседают)
Деревцо все выше, выше!.. (дети встают на носочки, тянутся вверх)

IV. Первичное закрепление.

Выполнение у доски с комментированием вслух №3.

Самостоятельное выполнение в тетрадях №5 (а), с взаимопроверкой по эталону.

У кого возникли трудности?

С чем они связаны?

У кого все получилось?

Выполнение у доски с комментированием вслух №6 и №7.

V. Самостоятельная работа.

Реши и запиши примеры в столбик:

• 912 * 56
• 7800 * 39
• 40500 * 6700
• 548 * 74
• 3900 * 49
• 70200 * 9700

Эталон решения учитель выводит на доску, учащиеся проверят друг друга и оценивают.

VI. Рефлексия учебной деятельности.

Какую цель мы перед собою ставили? Достигли вы её?

Как умножаем на двузначные числа? Повторите алгоритм умножения на двузначные числа.

Для чего надо знать умножение?

Все знания, полученные на нашем уроке, вам будут полезны в дальнейшем. Спасибо за урок!

Умножение двузначных цифр. Алгоритм перемножения двузначных чисел. Умножение в столбик в уме

С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!

Учить таблицу умножения — игра

Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.

Умножение прямо на сайте (онлайн)

*

Таблица умножения (числа от 1 до 20)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Как умножать числа столбиком (видео по математике)

Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

Как быстро умножать большие числа, как овладеть такими полезными навыками? У большинства вызывает затруднения устное перемножение двузначных чисел на однозначные. А о сложных арифметических расчетах и говорить нечего. Но при желании способности, заложенные в каждом человеке, можно развить. Регулярные тренировки, немного усилий и применение, разработанных учеными, эффективных методик позволят достичь потрясающих результатов.

Выбираем традиционные методы

Проверенные десятилетиями способы перемножения двузначных чисел не теряют своей актуальности. Простейшие приемы помогают миллионам обычных школьников, учащихся специализированных ВУЗов и лицеев, а также людям, занимающимся саморазвитием, усовершенствовать вычислительное мастерство.

Умножение с помощью разложения чисел

Наиболее легким способом, как быстро научиться умножать большие числа в уме, является перемножение десятков и единиц. Сначала умножаются десятки двух чисел, затем поочередно единицы и десятки. Четыре полученных числа суммируются. Для использования этого метода важно уметь запоминать результаты перемножения и складывать их в уме.

Например, для умножения 38 на 57 необходимо:

• разложить число на (30+8)*(50+7) ;
• 30*50 = 1500 – запомнить результат;
• 30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 – запомнить;
• (1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166

Естественно, необходимо отлично знать таблицу умножения, так как быстро умножать в уме этим способом не удастся без соответствующих умений.

Умножение в столбик в уме

Визуальное представление привычного перемножения в столбик многие используют при расчетах. Этот метод подойдет тем, кто умеет надолго запоминать вспомогательные числа и выполнять с ними арифметические действия. Но процесс значительно упрощается, если вы научились, как быстро умножать двузначные числа на однозначные. Для перемножения, например, 47*81 нужно:

• 47*1 = 47 – запомнить;
• 47*8 = 376 – запоминаем;
• 376*10 + 47 = 3807.

Запоминать промежуточные результаты поможет проговаривание их вслух с одновременным суммированием в уме. Несмотря на сложность мысленных вычислений, после непродолжительных тренировок этот метод станет вашим любимым.

Приведенные выше способы умножения универсальны. Но знание более эффективных алгоритмов для некоторых чисел намного сократит количество расчетов.

Умножение на 11

Это, пожалуй, самый простой способ, который используется для умножения любых двузначных чисел на 11.

Достаточно между цифрами множителя вставить их сумму:
13*11 = 1(1+3)3 = 143

Если в скобках получается число больше 10, то к первой цифре добавляется единица, а из суммы в скобках вычитается 10.
28*11 = 2 (2+8) 8 = 308

Умножение больших чисел

Очень удобно перемножать числа, близкие к 100 разложением их на составляющие. Например, необходимо умножить 87 на 91.

• Каждое число необходимо представить как разницу 100 и еще одного числа:
  (100 — 13)*(100 — 9)
  Ответ будет состоять из четырех цифр, две первые из которых – разница первого множителя и вычитаемого из второй скобки или наоборот – разница второго множителя и вычитаемого из первой скобки.
  87 – 9 = 78
  91 – 13 = 78
• Вторые две цифры ответа — результат перемножения вычитаемых из двух скобок.13*9 = 144
• В результате получаются числа 78 и 144. Если при записывании окончательного результата получается число из 5 цифр вторую и третью цифру суммируем. Результат: 87*91 = 7944 .

Это самые простые способы перемножения. После многократного их применения, доведения вычислений до автоматизма можно осваивать более сложные техники. И через некоторое время проблема, как быстро умножить двузначные числа перестанет вас волновать, а память и логика существенно улучшатся.

Умножение двузначных чисел | Онлайн-тренажёр

Упражнение считается выполенным после 7 правильных ответов

Норма выполнения упражнения — 3 минуты

Для успешного выполнения упражнения ознакомьтесь с теорией и проработайте предыдущие уроки

Умножение двузначных чисел | Теория

В общем случае умножение в уме двузначных чисел удобно выполнять в следующем порядке:

1. за базовое (первое или находящееся слева) число примите число с наибольшей второй цифрой;
2. умножьте базовое (первое) двузначное число на десятки другого (второго) двузначного числа;
3. умножьте базовое (первое) двузначное число на единицы другого (второго) двузначного числа;
4. сложите два результата.

Задача: 42 x 36

1) 36 x 42 (число 36 принято за базовое (первое) число, так как 6>1)

2) 36 x 40 = (30+6) x 4 x 10

30 x 4 = 120; 6 x 4 = 24; 120 + 24 = 144; 144 x 10 = 1440*

3) 36 x 2 = (30+6) x 2

30 x 2 = 60; 6 x 2 = 12; 60 + 12 = 72

4) 1440 + 72 = 1752

Задача: 47 x 52

1) 47 x 52 (число 47 принято за базовое (первое) число, так как 7>2)

2) 47 x 50 = 2350

4) 2350 + 94 = 2444

Если одно из чисел заканчивается на 9, то задачу удобнее решать в следующем порядке:

1. за второе (находящееся справа) число примите число, заканчивающееся на 9;
2. округлите второе число в большую сторону до десятков, прибавив к нему 1;
3. умножьте первое число на округлённое второе число;
4. вычтите из результата пункта 3 первое число.

Задача: 39 x 56

1) 56 x 39 (число 39 принято за второе (находящееся справа) число, так как оно заканчивается на 9)

2) 56 x 39(40-1)

3) 56 x 40 = (50+6) x 4 x 10

50 x 4 = 200; 6 x 4 = 24; 200 + 24 = 224; 224 x 10 = 2240

4) 2240 — 56 = 2184

Если одно из двузначных чисел равно 11, то решить такую задачу будет намного проще, если вы воспользуетесь методикой, изложенной в Уроке 1.

Во многих случаях решение задачи умножения двузначных чисел в уме намного упрощается, если воспользоваться методом факторизации.

Факторизация — это преобразование числа в произведение более простых чисел. Например, число 24 можно преобразовать в произведение 8 и 3 (24 = 8 x 3) или 6 и 4 (24 = 6 x 4). Число 24 также можно представить в виде произведения 12 и 2 (24 = 12 x 2), но при выполнении арифметических операций в уме удобнее иметь дело с однозначными числами.

Отдельные двузначные числа также можно представить в виде произведения трёх однозначных чисел. Например, 84 = 7 x 6 x 2 = 7 x 4 x 3.

Решим задачу умножения с помощью факторизации.

Задача: 34 x 42

Факторизация числа 24 даёт 8 и 3 или 6 и 4. Для решения задачи представим число 24 в виде произведения 6 и 4, но, если вам удобнее, вы можете выбрать произведение 8 и 3.

Умножаем первое число на 6, после чего умножаем результат на 4:

34 x 6 = 204

204 x 4 = 816

Чтобы знать, какие из двузначных чисел поддаются факторизации, необходимо тщательно изучить таблицу умножения. Можно выписать все двузначные числа, поддающиеся факторизации, с указанием возможных способов их факторизации.

Если оба из перемножаемых двузначных чисел поддаются факторизации, то в большинстве случае удобнее факторизовать меньшее число.

Задача: 36 x 72

Число 36 можно представить в виде произведения 6 и 6, а число 72 — в виде произведения 9 и 8.

Так как 36

72 x 6 = 432

432 x 6 = 2592

Пример с факторизацией на три числа.

Задача: 57 x 75

В случае, если одно из перемножаемых двузначных чисел состоит из одинаковых цифр (22, 33, 44 и т.д.), то его удобнее факторизовать на 11 и 2, 3, 4 и т.д.), так как умножение на 11 не представляет труда, как было показано в уроке 11.

Задача: 81 x 44

Если числа близки по значению с круглым числом, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.

Задача: 67 x 64

(60 + 7) x (60 + 4) = (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 = 71 x 60 + 28 = 4260 + 28 = 4288

Задача: 39 х 38

(40 — 1) x (40 — 2) = (40 — 1 — 2) x 40 + 1 x 2 = 37 x 40 + 2 = 1480 + 2 = 1482

Задача: 41 x 38

(40 + 1) x (40 – 2) = (40 + 1 – 2) x 40 + 1 x 2 = 39 x 40 — 2 = 1558

Умножение двузначных чисел, первые цифры (десятки) которых равны, а вторые цифры (единицы) дают в сумме 10, удобнее производить в следующем порядке:

1. умножьте первую цифру двузначных чисел на эту же цифру, увеличенную на единицу;
2. перемножить вторые цифры двузначных чисел;
3. поместите один за другим результаты пункта 1 и пункта 2.

Задача: 76 x 74

Не расстраивайтесь и не сдавайтесь, если на первых порах у вас возникнут трудности с умножением двузначных чисел. Для уверенного выполнения такой операции в уме необходима практика, а также творческий подход.

* Для запоминания в уме промежуточных результатов вычислений можете применять мнемотехники, основанные на ассоциации цифр с образами.

** Доказательства формул путём преобразования: (C+a)(C+b) = (C+a)C+(C+a)b = C 2 +Ca+Cb+ab = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a)C-(C-a)b = C 2 -Ca-Cb+ab = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a)C-(C+a)b = C 2 +Ca-Cb-ab = (C+a-b)C-ab.

*** Доказательство метода: согласно формуле, применяемой в предудущем методе (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; так как a+b=10, то (C+a)(C+b) = (C+10)C+ab; поскольку произведение двузначных круглых чисел С и С+10 даёт число с двумя нулями на конце, а произведение a и b даёт двузначное число, то для нахождения суммы этих двух выражений достаточно поставить произведение a и b вместо двух последних нулей первого выражения.

Существуют три общих способа: прямое умножение, метод опорного числа и метод Трахтенберга.

Освойте их все, так как каждый может быть более предпочтительным в той или иной ситуации.

Отрабатывать полученные навыки можно с помощью тренировочной таблицы.

Прямое умножение

Этот метод удобен, когда один из множителей находится в диапазоне 12-18 или заканчивается на 1, а другой значительно от него отличается.

Один из множителей мысленно разбивают на десятки и единицы. Затем умножают другой множитель на десятки, потом на единицы и складывают.

Например, 62×13 = 62×10 + 62×3 = 620 + 186 = 806.

Иногда удобно разбивать на десятки и единицы больший множитель: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

Метод опорного числа

Для освоения метода требуется небольшая практика, однако он очень удобен, когда два множителя — близкие числа. В частности, это основной способ для возведения двузначных чисел в квадрат.

Опорное число — это круглое число, близкое к обоим множителям. Оно может быть меньше обоих множителей, больше обоих множителей или находится между ними.

В качестве опорного числа следует выбирать числа, на которые легко умножать. Например, 50 или 100, если они близки к двум множителям.

В зависимости от того, как соотносятся опорное число и множители, техника умножения немного различается.

а. Опорное число меньше двух множителей. Например, нужно умножить 32 на 36.

• Опорное число — 30. Множители больше опорного числа на 2 и 6.
• Добавьте к первому множителю 6 и умножьте на опорное число: 38 × 30 = 1140.
• Добавьте произведение 2 и 6: 1140 + 2×6 = 1152.

б. Опорное число больше двух множителей. Например, нужно умножить 43 на 48.

• Опорное число — 50. Множители меньше опорного числа на 7 и 2.
• Вычтите из первого множителя 2 и умножьте на опорное число: 41 × 50 = 2050.
• Добавьте произведение 7 и 2: 2050 + 7×2 = 2064.

в. Опорное число — между множителями. Например, нужно умножить 37 на 42.

• Опорное число — 40. Первый множитель меньше на 3, второй — больше на 2.
• Добавьте к меньшему множителю 2 и умножьте на опорное число: 39 × 40 = 1560.
• Вычтите произведение 3 и 2: 1440 − 3×2 = 1554.

Метод Трахтенберга

Метод Трахтенберга — самый общий. Им удобно пользоваться всегда, когда не работают специальные приемы. Он также распространяется на умножение многозначных чисел.

Поскольку метод Трахтенберга не совсем привычен, при его освоении лучше иметь множители перед глазами. В дальнейшем практикуйтесь без записи исходных чисел.

Разберем метод на примере умножения 87 на 32.

• Представьте числа последовательно: 8732. Перемножьте два внутренних числа (7 и 3), два внешних числа (8 и 2) и сложите. Получается 37.
• Перемножьте десятки: 80×30 = 2400. Добавьте 37×10. Получается 2770.
• Добавьте произведение единиц (7 и 2). Итого 2784.

Например: 98 х 97 = 9506

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

2.9 Умножение трёхзначного числа на 999

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения » первых до 9. Например:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

2.10 Умножение на шесть (по Трахтенбергу)

Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа ».

Пример: 0622084 * 6

0622084 * 6 4 является правой цифрой этого числа и, так 4 как «соседа » у неё нет, прибавлять нечего.

06222084 * 6 Вторая цифра 8, е «сосед » — 4. Мы берём 8 04 прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.

06222084 * 6 Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней

504 половину «соседа » 8 (4), то есть 0 + 4 = 4 плюс

перенос (1).

Остальные цифры аналогичны.

Ответ: 06222084 * 6

Правило умножения на 6: является «сосед » чётным или не чётным – никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она чётная, прибавляем к ней её целую часть половины «соседа », если нечётная, то кроме половины «соседа » прибавляем еще 5.

Пример: 0443052 * 6

0443052 * 6 2 – чётная и не имеет «соседа », напишем её снизу

0443052 * 6 5 – нечётная: 5+5 и плюс половина «соседа » 2 (1)

12 будет 11. Запишем 1 и в перенос 1

0443052 * 6 половина от 5 будет 2, и прибавим перенос 1, то будет 3

0443052 * 6 3 – нечетная, 3 + 5 = 8

0443052 * 6 4 + половина от 3 (1) будет 5

0443052 * 6 4 + половина от 4 (2) будет 6

0443052 * 6 ноль + половина от 4 (2) будет 2

2658312 Ответ: 2658312.

Выводы

Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Заключение

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что эти арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.

Результаты своей работы я оформил в памятку (Приложение 2), которую предложу всем своим одноклассникам. Возможно, что с первого раза не у всех получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки.

Список использованной литературы

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. — Самара: Издательский дом «Фёдоров », 1999г.

2. Зайкин М.Н. Математический тренинг. — Москва, 1996.

3. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6.

4. Иванова Т. Устный счёт. // Начальная школа. – 1999, №7.

5. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

6. Минских Е.М. «От игры к знаниям », М., «Просвещение », 1982г.

7. Перельман Я.И. Живая математика. — Екатеринбург, Тезис, 1994.

8. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977г.

Интернет-источники

1. school.edu.ru

Решить умножения на столбиком двузначными. Умножение в столбик на двузначное число. Как умножать в столбик: основные правила

Онлайн игра-тренажёр «Умножение столбиком» помогает научиться умножать двух- и трёхзначные числа.

Эта игра ориентирована на детей от 7 до 10 лет. Умножение чисел столбиком — это программа математики за 3 класс школы. Но в этом действии нет ничего сложного, поэтому освоить умножение в столбик можно и раньше.

Как научиться умножать столбиком?

В игре представлены три уровня: умножение двузначного числа на двузначное (числа от 10 до 99), умножение трёхзначного числа на трёхзначное (числа от 100 до 999) и микс. В миксе трёхзначное число умножается на двузначное или двузначное умножается на трёхзначное.

Мы можем начать вычислять умножения столбцов. Это метод расчета умножения, который будет сопровождать детей не только в начальных школах, но и в последующие годы. Наша цель будет объяснить ученикам, как правильно запускать множители столбцов. Это руководство посвящено второстепенным темам и адресовано родителям, мастерам и всем, кто увлекается преподаванием начальной школы. Как и каждая новая вещь, умножения столбцов создадут некоторый беспорядок в классе, потому что они требуют разных фоновых знаний, включая добавление нескольких добавлений.

Чтобы правильно умножать двух- и трёхзначные числа надо хорошо знать и .

Надеюсь, ты помнишь, что числа, которые умножаются друг на друга называются множителями: первый множитель, второй множитель и так далее. Результат умножения называется произведением. Также полагаю, что тебе известно, что в числах есть разряды: единицы (самый маленький), десятки, сотни, тысячи…

Колонка умножения с цифрой на множитель

Мы идем с порядком, мы пытаемся медленно туда добраться, начиная с более простой ситуации. Начнем с самого простого случая: посмотрим, как вычислять умножения столбцов, когда множитель имеет только одну цифру. Таблица умножения выполняется следующим образом.

В первой строке мы вставим умножение, 135, во втором множитель, два числа должны быть разбиты так, чтобы единицы умножителя были ниже единиц умножения. Остерегайтесь, мы должны следовать правилам. Если произведение между двумя цифрами меньше 10, тогда мы напишем результат ниже разделительной линии.

Итак, приступим. Начать умножение в столбик надо с того, что расположить множители таким образом, чтобы друг под другом оказались числа одинаковых разрядов: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. На следующем шаге берём цифру из разряда единиц второго множителя и умножаем её по очереди на каждую цифру первого множителя. Результат умножения каждой пары цифр записываем в верхнюю строку под соответствующим разрядом.

Если произведение между двумя цифрами больше или равно 10, то мы будем писать его единицы ниже разделительной линии, в то время как десятки будут представлены и добавлены к следующему продукту. Как только мы выполним все операции, у нас будет произведение, написанное между двумя числами под разделительной линией.

Посмотрим, как мы себя ведем в примере, который мы выбрали. Мы умножим 7 на единицы числа 135. Полученное число больше 10, поэтому мы помещаем единицы ниже разделительной линии, поскольку мы сохраняем десятки в виду, то есть. Мы умножаем 7 на десятки умножений.

За каждый правильный ответ начисляется 1 балл. За неправильный — отнимается 3 балла.

Если тебе понравилась эта игра, обязательно поделись ею со своими друзьями. Ведь им она тоже может понравиться:-)

Эта игра предназначена и чрезвычайно полезна для мальчиков и девочек от 7 до 10 лет.

Мы добавляем перенос предыдущего продукта, чтобы получить. Давайте напишем единицы под разделительной линией, пока сообщаем о десятках. Мы умножаем 7 на сотни, умножая. Мы добавим перенос, то есть 2, чтобы получить. Мы сообщаем результат ниже разделительной линии.

Умножение в столбце с несколькими цифрами в множителе

Трудность этого процесса заключается в хранилище: давайте вспомним, что мы должны сначала размножить, а затем добавить возможный репортаж. Если в множителе присутствует несколько цифр, действуйте следующим образом. Эта строка напоминает нам, что под ней мы не можем писать никакие другие числа.

Разместить игру на своем сайте:

» readonly=»1″/>

Создатель сайта будет благодарен Вам, если оцените данную игру. (Это можно сделать вверху страницы.) Ну а Вашим комментариям будет рад вдвойне:-)

Инструкция

Запишите на листке два числа, которые нужно помножить. Второе число разместите под первым так, чтобы последние цифры чисел были точно друг под другом. Проведите под ними черту. Все вычисления записывайте только под чертой.

Мы напишем второй частичный продукт в соответствии с тем, который был найден на предыдущем шаге, обращая внимание на местозаполнитель! Как только мы найдем второй частичный продукт, мы нарисуем маленькую тире под его единицей. Давайте напишем третий частичный продукт ниже того, который был найден на предыдущем шаге, всегда имея в виду местозаполнитель.

Давайте продолжим этот путь до тех пор, пока цифры множителя не закончится. Как мы заметили, умножения в столбце скрывают ловушки, только потому, что механизм вычисления не является немедленным. Процесс занимает немного времени, чтобы быть правильно ассимилированным: практика и непрерывное упражнение заставят алгоритм вычисления стать автоматическим, поэтому для учащихся важно много упражняться.

Возьмите крайнюю правую цифру второго числа и умножьте ее на крайнюю правую цифру первого числа. Если получается двухзначное число, ровно под умножаемыми цифрами запишите его последнюю цифру. Рядом со столбиком на листочке отметьте оставшуюся первую цифру или запомните ее в уме.

Остановимся здесь, на следующем уроке мы увидим первое и наиболее известное свойство умножения: коммутативное свойство. Теги: метод и примеры расчета умножения столбцов для начальных школ. С выражением двухзначного деления мы подразумеваем деление столбцов, где делитель представляет собой двузначное число. Внутренняя сложность алгоритма расчета и незнание таблеток являются основными причинами, по которым ученики склонны ненавидеть эта операция и, в отражении, математика: с делениями проявляются первые симптомы митофобии, то есть страх за математику.

Умножьте опять крайнюю правую цифру второго числа на уже следующую цифру первого числа, расположенную левее. К результату умножения прибавьте сохраненную ранее цифру от предыдущего произведения. Если умножаемая цифра первого числа была последней, запишите полученный результат полностью. Если же в первом числе еще есть цифры слева, также поделите результат и запишите под умножаемыми цифрами последнюю цифру, а первую запомните.

Как рассчитать двухзначные столбцы

Это руководство посвящено трем элементарным темам и предназначено для родителей, мастеров и всех, кто увлекается преподаванием начальной школы. В примере вы уменьшаете ровно три цифры. На этом этапе вопросы, с которыми сталкиваются дети. «Опустить трехзначный дивиденд?» Полученное число составляет 269, что больше, чем разделитель, все в порядке!

Вот две возможности. Если полученный продукт меньше или равен числу, опускаемому ниже, он расположен ниже этого последнего. Если произведение больше, чем опустившееся число, то кандидат на частичный фактор в порядке. В этом случае вы берете первый из частичного кандидата и умножаете его на разделитель. Если полученный продукт меньше, чем цифры, опущенные, он ниже их, иначе проход повторяется.

Аналогичным образом умножьте оставшиеся цифры первого числа на крайнюю правую цифру второго. Далее возьмите следующую цифру второго числа, расположенную левее. И, как и крайнюю цифру, помножьте ее по очереди на все цифры первого числа. Результаты начинайте записывать точно под умножаемой цифрой второго числа и на уровень ниже, чем на предыдущем шаге.

В предлагаемом делении кандидат на частичный фактор 4 умножается на делитель в результате. Затем частичный фактор-кандидат становится 3, предыдущий из 4, который умножается на 69, дает. В предлагаемом примере частичный остаток равен 622, деленным на 69 возвратов. Остается умножить 9 на делитель, переписать его под частичный отдых и в конечном счете вычесть.

Упражнение-гид завершено: коэффициент разделения равен 39, а остальное — 1, поэтому. Говоря о умножении, для какой-то элементарной математики, на самом деле не сказано. Не у всех была возможность научиться решать их; Однако для других было потрачено столько времени, что механизмы, управляющие этими операциями, не очень хорошо запоминаются. Не бойтесь, давайте попробуем вместе. Как делают мультипликаторы? Вот простое объяснение.

Помножьте все цифры второго числа, как описано, на цифры первого числа. В итоге количество рядов цифровых записей должно получится равным количеству цифр второго числа.

Чтобы продолжить эту тему, мне нужно четко понять, как сделать сумму между несколькими номерами. Знаем ли мы, сколько это делает 3 5? Умножение числа на другое — это то, как сделать сумму числа столько раз, сколько количество, заданное другим номером. Немного скрученная речь, которая будет более понятной с легким примером.

Тогда 3 3 = 6. Результат — даже если мы инвертируем числа, т.е. добавляем от 2 до 3 раз. На практике умножение — это не что иное, как сумма одного и того же числа для себя. Но действителен только тогда, когда вы всегда добавляете один и тот же номер. Возвращаясь к примеру, прежде чем вы сможете написать обратное, давайте подумаем о чем-то практическом, повседневном.

Сложите полученные цифровые ряды. Для этого допишите нули в пустых местах рядов, чтобы можно было провести сложение. Проведите черту под всеми полученными рядами. Начните сложение с крайних правых цифр рядов. Складывайте цифры находящиеся точно друг над другом. При получении в сумме двухзначного числа также записывайте его последнюю цифру и сохраняйте старшую цифру для прибавления к последующей сумме.

Вот: У нас есть 3 друга, и мы хотим дать каждому из них 2 конфеты, сколько конфет нам нужно позаботиться? Числа называются факторами, а результат — произведением. Колонное умножение мы пишем следующим образом. При столь малых количествах сумма, казалось бы, была бы быстрой. Но как насчет больших чисел? Ну, здесь не было бы спасения, вы должны научиться делать умножение!

Давайте сначала попробуем двузначное число, а другое — цифру. В этом случае система столбцов пригодится, потому что позволяет вычислять одну часть за раз. Фактически, без прямого вычисления конечного продукта мы можем умножить первые 3 на 1, а затем на другой 1, введя частичные результаты бок о бок под панелью, как в следующем примере.

После сложения последних, самых правых цифр их результат запишите полностью. Причем старший разряд суммы, если он есть, должен быть помещен левее всех цифр ряда. Число ниже последней черты и есть произведение заданных чисел, полученное умножением в столбик.

Эта схема важна, потому что она позволяет нам вычислять число за раз, соблюдая столбцы. Прежде всего, мы умножили 2 сначала на 3, а затем на 2, точно так же, как в первом примере, получив «46» под первым баром. Однако будьте осторожны: у нас также есть 1 для умножения.

Мы выполняем ту же процедуру, но на этот раз частичный результат помещает строку под «46» и перемещает столбец влево. Следуя порядку столбца, мы вычисляем суммы. Мы обнуляем его для удобства, когда нет добавленных номеров. Однако может случиться, что, сделав частичные суммы, вы выходите за пределы. В этом случае у нас будет двузначное число.

Умножение — одна из четырех арифметических операций, изучаемых с первого класса школы. Наряду со сложением она, пожалуй, чаще всего применяется в повседневной жизни. При этом под рукой не всегда есть калькулятор или листок бумаги. Именно поэтому знание того, как умножать в уме числа, просто необходимо любому современному человеку. Тем более что эффективность устного умножения достигается путем использования всего одного правила и нескольких простых приемов.

На практике каждый номер второго фактора должен умножать его на каждое число первого фактора, перемещая частичные результаты места влево. Затем первый результат вычисляется путем умножения 6 на 3, затем на 2, затем на 1. Проблема, которая возникает впервые, заключается в том, что она дает «18» двузначное число. Но мы можем поставить только одну цифру на одну цифру.

Просто: просто напишите 8 и запишите 1 в следующее умножение, которое будет. Из равных чисел можно упростить с помощью «другой математической операции, которая берет имя умножения». Для выполнения умножений нужно хорошо знать таблицы от одного до десяти или использовать их, если они не были сохранены в лучшем случае.

Письменное умножение на двузначное число

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Составитель: учитель начальных классов МБОУ «СОШ с.Претория» Переволоцкого района Новикова Лариса Николаевна
Математика 4 класс

Слайд 2

«Всякая помощь хороша вовремя» «Кто скоро помог – тот дважды помог» «Один — за всех и все –за одного»

Слайд 3

Подготовка к ВПР
Маша, Таня, Света и Катя собираются пойти в театр. При этом девочки хотят надеть платье разных цветов. У Маши есть красные и синие платья, у Тани — красные и зелёные, у Светы -красные и жёлтые, а у Кати только зелёное платье.

Слайд 4

Подготовка к ВПР
Экскурсия началась в 16ч40мин, длилась 2ч30мин. Во сколько закончилась экскурсия? Экскурсия началась в 18ч50мин, длилась 1ч25мин. Во сколько закончилась экскурсия? Экскурсия началась в 10ч45мин, длилась 2ч40мин. Во сколько закончилась экскурсия?

Слайд 5

Тема урока: «Письменное умножение на двузначное число»
Цель урока: научиться умножать на двузначное число.

Слайд 6

Алгоритм умножения на двузначное число
Записываю выражение столбиком, число под числом. Умножаю первый множитель на число единиц. Получаю первое неполное произведение. Умножаю первый множитель на число десятков. Получаю второе неполное произведение. Начинаю подписывать его под десятками. Складываю неполные произведения. Читаю ответ.

Слайд 7

Проверь себя!
1134 3649 2550 4278 1024

Слайд 8

Задача
В первый день фермер на грузовой машине сделал 17 рейсов, вывозя с поля каждый раз по 28 ц овощей. А во второй день -12 рейсов, вывозя по 32 ц овощей. Сколько всего центнеров овощей вывезли с поля за эти два дня?

Слайд 9

Фермер – это человек, работающий в сфере производства сельскохозяйственных товаров.

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Задача №158
Два самолёта вылетели с аэродрома в одно и то же время в противоположных направлениях. Через 10 минут после вылета расстояние между ними было 270 км. Первый самолёт летел со скоростью 15 км/мин. С какой скоростью летел второй самолёт?

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Оцените себя!
Мне было всё понятно и интересно на уроке, я легко справлялся со всеми заданиями Мне было не очень понятно и не очень интересно на уроке. При выполнении некоторых заданий было немного трудно. Мне было трудно, и поэтому неинтересно на уроке. Все задания я выполнял с трудом.

Слайд 18

Рефлексия
Урок полезен. Всё понятно. 2. Лишь кое-что чуть-чуть неясно. 3. Ещё придётся потрудиться. 4. Да, трудно всё-таки учиться!

Слайд 19

http://www.liveinternet.ru/users/echka/rubric/1628721/
http://www. tvcook.ru/recipes/ovoshnie-salaty/goryachiy-salat-po-rizhski.html
http://vkusniahka.ru/zagotovki-na-zimu/vkusnye-marinovannye-ogurcy-na-zimu/
http://www.hqoboi.com/food_037_preserves.html
http://pozdravitel.ru/smajliki/smile/smiles-sport-491.html

http://www.hallgames.ru//lusana.ru/files/mp3/6519.mp3
http://allforchildren.ru/pictures/avatar_smeshariki.php?page=2&rows

Умножение натуральных чисел в столбик: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом можно умножать столбиком натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные).

Правила умножения в столбик

Чтобы найти произведение двух натуральных чисел с любым количеством разрядов можно выполнить умножение в столбик. Для этого:

1. Пишем первый множитель (начинаем с того, у которого больше разрядов).
2. Под ним записываем второй множитель (с новой строки). При этом важно, чтобы одинаковые разряды обоих чисел были расположены строго друг под другом (десятки под десятками, сотни под сотнями и т. д.)
3. Под сомножителями чертим горизонтальную линию, которая будет отделять их от результата.
4. Начинаем выполнять умножение:
   • Крайнюю правую цифру второго множителя (разряд – единицы) поочередно умножаем на каждую цифру первого числа (справа налево). При этом если ответ оказался двузначным, в текущем разряде оставляем последнюю цифру, а первую переносим в следующий, сложив со значением, полученным в результате умножения. Иногда в результате такого переноса в ответе появляется новый разряд.
   • Затем переходим к следующей цифре второго множителя (десятки) и выполняем аналогичные действия, записывая результат со сдвигом на один разряд влево.
5. Получившиеся числа складываем и получаем ответ. Правила и примеры сложения чисел в столбик мы рассмотрели в отдельной публикации.

Примеры умножения в столбик

Пример 1

Умножим двузначное число на однозначное, например 32 на 7.

Пояснение:

В данном случае второй множитель состоит только из одного разряда – единицы. Поочередно умножаем 7 на каждую цифру первого множителя. При этом произведение чисел 7 и 2 равняется 14, следовательно, в ответе цифру 4 оставляем в текущем разряде (единицы), а один прибавляем к результату умножения 7 на 3 (7⋅3+1=22).

Пример 2

Найдем произведение двузначного и трехзначного чисел: 416 и 23.

Пояснение:

• Записываем множители друг под другом (в верхней строке – 416).
• Поочередно умножаем цифру 3 числа 23 на каждый разряд числа 416, получаем – 1248.
• Теперь умножаем 2 на каждую цифру 416, и полученный результат (832) записываем под числом 1248 со смещением на один разряд влево.
• Остается только сложить числа 832 и 1248, чтобы получить ответ, который равняется 9568.

Устное деление двузначного числа на однозначное. Внетабличное деление. Устный счет

☝ Кстати, приготовила для вас еще несколько видео по этой теме. Посмотрите их, я очень хочу, чтобы вы лучшее ее усвоили 😉

📺 Как делить числа с остатком? Деление на двузначное число с остатком.

📺 Как устно делить числа? Устное деление двузначного на двузначное. Как быстро решать примеры в уме?

📺 Умножение двузначных чисел в уме. Умножение двузначного числа на однозначное. Умножение на 11 в уме.

📺 Умножение в столбик. Как правильно умножать в столбик? Как объяснить умножение в столбик?

=============================================

Здравствуйте, друзья! Вы на канале Просто о сложном Начальная школа. И тема сегодняшнего видео: устное деление двузначного числа на однозначное. Или, говоря другими словами, деление двузначного числа на однозначное в строчку. Если вас интересует как легко делить двузначные числа на однозначные, внетабличное деление или как устно разделить двузначное число, то этот ролик может заинтересовать вас. Сегодня я расскажу как решать примеры с усиками, используя устный счет. После просмотра вы узнаете как быстро решать примеры в уме, а также как разделить двузначное число на однозначное без табличного деления. Если это видео о том, как устно делить числа было вам полезно, то не забудьте поставить лайк и подписаться на канал. Я покажу вам как научиться делить в уме. Теперь, внетабличное деление двузначного числа на однозначное не станет для вас проблемой и вы будете быстро решать такие примеры.

=============================================

👩‍🏫 Видео было полезным?

✅ Тогда жмите на ссылочку и подписывайтесь на канал, чтобы получать новые видео —

👍 Поставьте лайк этому видео. Так я буду знать, что интересно именно вам и с удовольствием раскрою больше секретов ☀

📢 Мои хорошие, поделитесь этим видео со своими друзьями. Давайте вместе сделаем этот мир счастливее. 🙂

=============================================

Подписывайтесь на меня в социальных сетях. Там будет новый материал, которого нет на канале. Пишите мне комментарии, я буду рада ответить на ваши вопросы 😊

💜 Будьте со мной Вконтакте —

💜 Рада видеть вас на Facebook —

Видеоурок: Умножение двузначных чисел: метод столбцов

Стенограмма видеозаписи

Умножение двузначных чисел: Столбец Метод

В этом видео мы узнаем как использовать стандартный письменный метод или алгоритм для умножения двузначного числа другим двузначным числом. И куда нам нужно, мы идем чтобы перегруппироваться, чтобы помочь нам найти ответ.

Представим, что мы хотим умножаем вместе 35 и 24. Теперь мы знаем, что можем разделить 35 в 30 и пять. И если бы мы захотели умножить 35 на однозначное число, например четыре, нам просто нужно убедиться, что оба части были умножены в четыре раза: пять раз по четыре, а затем 30 раз по четыре. Теперь с вопросом, который у нас есть попали сюда, мы не умножаем 35 на однозначное число. Нам нужно умножить его на двузначное число.И так же, как мы можем думать о 35 как о 30 и пять, мы можем разделить число, которое мы умножаем на 24, на 20 и четыре. Так же как и убедиться, что мы умножаем пять на четыре и 30 на четыре, нам нужно убедиться, что мы также умножаем обе части тоже по 35 на 20.

Другими словами, нам нужно узнать то, что пять умножить на 20, а также то, что 30 умножить на 20. Теперь эта диаграмма не такая, как мы найти ответ.Мы только что нарисовали его здесь, потому что это полезный способ показать нам, что нам нужно делать. Чтобы найти ответ, нам нужно умножьте каждую часть числа 35 на каждую часть числа 24. Надеюсь, вы увидите наши четыре стрелки, которые нам нужно сделать четыре умножения. Так что именно к этому мы и собираемся делать сейчас, как мы используем метод столбца. Это потребует тренировки ответы на четыре отдельных умножения, а затем сложение произведений на конец, чтобы найти общую сумму.И поскольку это столбец метод, первое, что мы можем сделать, это записать наш расчет в столбцы.

В качестве первого примера давайте используйте эти цветные заголовки столбцов, а также мы будем использовать разные цвета для наших цифры. Итак, 35 — это три десятки и пять единицы. И мы хотим умножить это на 24 это две десятки и четыре единицы. Теперь, как мы сказали в начале, нам нужно умножить обе части 35 на обе части 24.Итак, нам нужно сделать четыре умножения. А для начала умножим все четыре из 24. Итак, во-первых, сколько пять раз четыре? Мой простой для начала с: пять умножить на четыре равно 20. И мы можем написать число 20, тогда под знаком равенства как первое из наших четырех умножений. И просто чтобы мы помнили, что у нас есть готово, мы можем отметить произведенное нами умножение, которое было пять раз по четыре.

Теперь вы видите, что нам еще нужно? умножить на четыре части 24? Нам нужно умножить эту цифру здесь на четыре тоже. Теперь было бы очень легко посмотреть при этом и подумать про себя, сколько будет трижды четыре, потому что вы можете видеть цифра три. Нам нужно умножить его на четыре. Но нужно помнить, что это цифра три находится в разряде десятков. Нам нужно найти ответ на 30 раза четыре.Теперь мы можем использовать идею хотя бы из трех четверок, чтобы помочь нам. Мы знаем, что три четверки 12. Итак, три десятки, умноженные на четыре. будет таким же, как 12 10, то есть 120. Теперь, если мы остановимся на Момент, ты видишь, что мы уже сделали? Мы умножили все в число 35, то есть пять и 30, на цифру четыре из 24.

Затем нам нужно умножить все по десяткам 24. И начнем с пяти раз 20. Теперь снова, если мы посмотрим на эти цифр, может показаться, что мы умножаем пять на два. Но мы видим, что наша цифра два находится в разряде десятков. Это пять умноженных на две десятки. Но опять же, мы можем использовать факты, которые мы уже знаю, чтобы помочь нам. Пять умножить на два равно 10, поэтому пять лотов из двух 10 должно быть 10 10, что равно 100. Пять умножить на 20 равно 100. Итак, после умножения пяти на 20, последнее, что нам нужно сделать, это умножить 30 на 20.

Теперь из четырех разных умножения, которые мы делаем, когда используем умножение столбцов, последнее наверное, самый хитрый. Это не потому, что они особенно большие числа или что-то в этом роде. Просто потому, что это, вероятно, самый простой, с которым можно ошибиться. Мы могли бы просто посмотреть на троих и два и подумайте, что три, умноженные на два, дают шесть, но мы должны помнить, что оба эти цифры находятся в разряде десятков.Это 30 умноженное на 20. Но мы все равно можем использовать этот факт. трижды два — шесть, чтобы помочь нам здесь. Если трижды два равно шесть, то три десятки, умноженные на два, будут равны шести десяткам или 60, а три десятки умноженное на две десятки снова будет в 10 раз больше. Это будет то же самое, что 60 10 или 600.

Вы видите узор там в наши вопросы и ответы? Итак, 30, умноженное на 20, равняется 600.Итак, мы умножили обе части 35 на четыре в 24. И затем мы умножили обе части из 35 на 20 из 24. Теперь все, что нам нужно сделать, это найти из того, что такое общий продукт. В нашем столбце у нас есть только эти нули, поэтому мы можем поставить ноль вместо единиц. Если сложить десятки, получится два и два, а затем два нуля, так что всего четыре десятки. И если мы сложим сотни, мы получим получил один плюс один плюс шесть.Итак, это восемь сотен. Итак, мы можем сказать, что продукт 35 и 24 — это 840. Давайте попробуем попрактиковаться в этом. column метод теперь с некоторыми вопросами.

Рассчитайте следующее: 29 умножить на 64 равно чему.

В этом вопросе нам дается пару двузначных чисел, которые нужно перемножить, и мы получаем действительно важную подсказку, как как это сделать, потому что этот расчет проводится написав оба числа друг над другом.Это означает, что цифры в столбцы. Один из способов описать это как колоночный метод. И написав числа вроде это помогает нам разделить их на десятки и единицы. Обе части числа 29 нужно умножить на обе части числа 64. Давайте составим план всех умножения, которые нам нужно будет сделать.

Итак, для начала мы собираемся нужно умножить каждую часть числа 29 на четыре из 64, чтобы получилось девять раз по четыре, а затем по 20 раз по четыре.Таким образом, мы умножили 29 на всего четыре, не так ли? Затем нам нужно умножить каждую часть числа 29 на шесть десятков в 64. Итак, мы начнем с тренировки девять умножить на 60, а затем, наконец, 20 умножить на 60. Затем мы также умножим все части 29 на 60. И если мы тогда сможем объединить все наши части вместе, мы можем найти ответ. Итак, для начала умножим на наши четыре.Теперь мы знаем, что умножение на четыре — это то же, что и удвоение, а затем снова удвоение. Итак, найти девять раз четыре — это то же самое, что удвоить девять, чтобы получить 18, а затем удвоить 18. 18 удвоить 36, так что мы знаем девять умножить на четыре равно 36.

Затем нам нужно умножить 20 на четыре. Помните, что эта цифра два не имеют значение два. Это десятки разрядов. Оно стоит 20. Опять же, мы можем использовать удвоение, чтобы помочь нас.20 удвоенных — 40, а затем 40 удвоить — 80. Итак, мы знаем, что 20 умножить на четыре — это 80. Теперь нам нужно все умножить. на шесть десятков в 64. Итак, сколько девять умножить на 60? Что ж, мы можем использовать наши знания о цените, чтобы помочь нам здесь. Девять шестерок — 54. Итак, девять лотов по шесть десяток равняются 54. 10s, что совпадает с 540. Наконец, нам нужно умножить 20 на 60. Теперь, чтобы помочь нам, мы можем вспомнить, что два 60-х, а это 120.Итак, пытаясь выяснить, что 20 лотов по 60 ар, наш первый коэффициент увеличился в 10 раз. Вместо двух умноженных на 60 мы на самом деле ищем 20 раз 60.

Тогда наш ответ будет 10 раз больше. И мы знаем, что найти номер это в 10 раз больше, чем другое, мы просто сдвигаем цифру на одну позицию в слева, поэтому 120 становится 1200. Итак, теперь мы перемножили каждую часть числа 29 сначала на единицы, а затем на десятки числа 64.Чтобы найти общий ответ, мы просто нужно сложить эти частичные продукты вместе. Итак, для начала, если мы добавим наши единица, мы видим, что цифра равна шести, а все остальные цифры равны нулю. Итак, у нас их шесть. В столбце десятков у нас есть несколько больше думать. У нас есть три десятки плюс восемь десятков плюс еще четыре десятки.

Теперь, как бы вы добавили эти быстро? Возможно, мы могли бы поставить тройку и четыре вместе, чтобы сделать семь десятков.И мы знаем, что восемь десятков плюс восемь десятков будут 16 десяток. Итак, если мы добавим восемь десятков к семи 10 с, это будет 15 10 с. Итак, нам нужно будет обменять 10 из наших 15 десятков на 100, а затем пять десятков. Складывая сотни, мы получаем пять сотен плюс еще две сотни. Это семь сотен. Не забывая о том, что мы только что обменяли, всего восемь соток. А в нашем столбец тысяч.Итак, в этом вопросе мы умножили пару двузначных чисел методом столбца. Это помогает нам убедиться, что каждая часть числа 29 умножается на каждую часть числа 64. 29, умноженное на 64, равняется 1,856.

На какой номер можно заменить вопросительный знак в этом расчете? Завершите расчет, чтобы решить Это.

Расчет, указанный в вопрос вот в чем.Похоже, что метод столбца имеет использовался для умножения пары двузначных чисел. 33 умножить на 30. О! Здесь отсутствует цифра. Знак вопроса. И первая часть этой проблемы спрашивает, какое число может заменить этот вопросительный знак. Теперь мы могли посмотреть на это расчет и говорим себе: «Есть много возможных ответов. Отсутствующая цифра может быть чем угодно с нуля до девяти ». Но вы знаете, это неправда потому что нам дали еще одну информацию.Мы видим, что кто-то уже начали разрабатывать ответ на это умножение, и они уже нашли частичный продукт 132.

Теперь, когда мы используем столбец метод вроде этого, обычно первое, что мы делаем, это умножаем все на единицы во втором номере. Итак, для начала мы умножим три из 33 единицами во втором номере; тогда мы умножим 30 на 33 на те, что во втором номере.Затем мы делаем то же самое, это умножив время на десятки во втором числе, получилось бы четыре умножения в целом. Но вы видите, как это расчет выставляется? Есть место только для двух частичных продукты. Другими словами, человек, который разработка ответа умножит 33 всего за один присест. Итак, это 33, умноженное на единицы, которых мы, конечно, пока не знаем, а затем 33, умноженные на десятки.Это 33 умноженное на 30.

Теперь, когда мы знаем, что происходит в этой работе мы можем использовать его, чтобы найти наше недостающее число: в 33 раза больше, чем дает нам ответ 132. Теперь важная цифра, которую нам нужно подумайте вот о цифре два. На какую цифру можно умножить нашу три из них дадут нам ответ, который заканчивается двумя? Ну, очевидно, два меньше, чем три. Оно не кратно трем, поэтому мы нужно подумать о двузначном числе, которое заканчивается на два.И мы знаем, что трижды по четыре равно 12, а 12 заканчивается двойкой. Посмотрим, получится ли 33 умножить на четыре. верный. Как мы уже говорили, три раза по четыре 12. Это то же самое, что один 10 и два единицы. И поскольку трижды четыре равно 12, мы знаем, что три десятки умножить на четыре должны быть 12 десятками. У нас есть еще одна 10 внизу нам нужно не забыть включить, так что получается 13 10. А вот и наш номер 132.

Расчет явно 33 раза 34, а наша недостающая цифра — четыре.Наконец, нас просто просят завершите расчет, чтобы решить эту проблему. Что 33 умножить на 34? Что ж, мы разработали первый частичный продукт, так что теперь нам просто нужно проработать второй. Нам нужно 33 умножить на десятки цифра в 34. Другими словами, 33 умножить на 30. Теперь, когда мы знаем это число, мы умножение на 30 дает всего 10 лотов из трех. Так почему бы нам не умножить 33 на три, а затем использовать это, чтобы помочь? Трижды три — девять, и три десятки умножить на девять — это девять десятков или 90. Итак, если 33 умножить на три будет 99, тогда 33 умножение на три десятки будет таким же, как 99 десятков, то есть 990.

Итак, мы умножили 33 на четыре. Затем мы умножили 33 на 30. Теперь нам просто нужно сложить эти два частичные продукты вместе. Две единицы плюс ноль — это два единицы. Три десятки плюс девять десятков равняются 12 10s, что совпадает с 100 и двумя. Тогда 100 плюс девять сотен — это 10 сотен. плюс тот, который мы обменяли, равняется 11 сотням, что равняется 1100.И мы можем просто написать, что 1000 прямо в место тысяч. Это был интересный вопрос потому что, помимо использования метода столбца, мы должны были использовать то, что мы знали об этом, чтобы помогите найти недостающую цифру. Число, заменяющее вопросительный знак в расчете — четыре, а 33 умноженные на 34 — 1,122.

Эти вопросы дали нам действительно хорошая практика там. Но прежде чем мы закончим это видео, Давайте посмотрим на одну ошибку, которую нам действительно нужно избегать.Это довольно легко сделать как хорошо. Здесь мы видим, что эта девушка пытается умножить 26 на 14, и в итоге она получила 40. Но это выглядит неправильно ее. 26 умножить на 14 будет 40? Здесь она ошиблась, и это сделать ошибку очень легко. Вы можете определить, что это такое? Если мы начнем с конца и будем работать наоборот, мы видим, что она действительно добавила эти цифры правильно. Четыре плюс восемь плюс шесть плюс два равно 20.А затем две десятки плюс две десятки что ее обменяли — 40, значит, она выполнила эту часть сложения правильно.

Проблема должна быть в умножение в начале. Первый частичный продукт, который у нее есть 24 года. И мы можем увидеть, откуда она взяла это. из. Она начала с умножения на единиц, а шесть умножить на четыре — 24. Затем она умножает эту цифру два на четыре. И ты видишь, что она Выполнено? Она присвоила этой цифре значение два.Дважды четыре — восемь, но мы знайте, что эта цифра два не стоит двух. Стоит 20. Оно в разряде десятков.

Значит, она должна была размножаться 20 на четыре, что дает ответ 80. Теперь очень легко ошибиться сделать, и эта девушка продолжила свой путь до конца. Но это то, что нам нужно избегать. Вместо шести раз по одному она должна была рассчитать шесть раз по 10. И вместо двух раз по единице она должны были найти ответ на 20 умножить на 10, что дает нам совсем другое результат.Всегда будь осторожен со своим местом значение.

Итак, что мы узнали из этого видео? Мы научились использовать стандартный письменный метод умножения пары двузначных чисел.

Стандартный алгоритм умножения с двузначным умножителем

Вы научились считать умножения типа 67 × 54 по частям. Вы сделали два умножения и затем добавил. Потребовалось три отдельных вычисления. Обычным традиционным способом размножения есть также три отдельных вычисления. Но на этот раз ВСЕ три расчеты появляются вместе. Исследование 67 × 54 ниже.
2 5 4 × 6 7 3 7 8 3 2 5 4 × 6 7 3 7 8 3 2 4 0 5 4 × 6 7 3 7 8 + 3 2 4 0 3 6 1 8 Тогда доп. Сначала умножьте 7 × 54 . Притворись 6 из 67 — это , а не . Затем умножьте 60 × 54 , но положите результат под 378. Помните ноль. Представьте, что 7 из 67 — это , а не !
Изучите и эти примеры. Обратите внимание на лишний ноль необходим в единицах на второй строке!
5 × 34 20 × 34 Доп. 2 3 4 × 2 5 1 7 0 3 4 × 2 5 1 7 0 6 8 0 3 4 × 2 5 1 7 0 + 6 8 0 8 5 0	4 × 63 90 × 63 Доп. 1 6 3 × 9 4 2 5 2 2 6 3 × 9 4 2 5 2 5 6 7 0 6 3 × 9 4 2 5 2 + 5 6 7 0 5 9 2 2

1.Введите недостающие цифры и заполните расчеты.

2. Умножить.

3. Умножить. Но сначала оцените результат! Сравните свой окончательный ответ с ваша оценка. Если есть большой
разница, у вас может быть где-то ошибка.

а. Смета: ______ × ______ = __________

г. Смета: ______ × ______ = __________

г. Смета: ______ × ______ = __________

5. Решите проблемы со словами. Напишите числовое предложение для каждого из них.

а. Сколько яиц в 15 дюжинах? ___________________________________ Оценка: ___________________________	г. Сколько минут там через 21 час? ___________________________________ Оценка: ___________________________
с. 455 учеников школы собираются в зоопарк автобусом. Один автобус вмещает 39 пассажиров. Являются 11 автобусов хватит, чтобы взять их все? ___________________________________ Оценка: ___________________________	г. Каждый месяц Бренда зарабатывает 21 доллар на полив соседи цветы. Сколько она зарабатывает в год? ___________________________________ Оценка: ___________________________

6. Умножить. Оцените ответ на линии.

а. 51 × 19 ≈ _________

г. 45 × 28 ≈ _________

г. 12 × 18 ≈ _________

г. 84 × 95 ≈ _________

7. Решить. Оцените, прежде чем рассчитывать.

а. Найдите сдачу, если учитель покупает 15 рубашек по 17 долларов каждая и платит 300 долларов. Оценка:
г. В одном году 52 недели. Салли платит 98 долларов в неделю в аренду. Сколько она заплатит в год? Оценка:

8. Рассчитывайте в правильном порядке.

а. 60 × (10 + 20) × 2 = _________ 30 × (40-40) × 2 = _________

г. 8 × (200 — 100) — 500 = _________ (800 — 200) × 20 + 100 = _________

---

Этот урок взят из книги Марии Миллер «Math Mammoth Multiplication 2», размещенной на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

---

Умножение двузначного числа на однозначное — математический класс [видео 2021 года]

Использование традиционного умножения

Традиционное умножение — это способ умножения чисел большинством людей. Этот метод заключается в том, чтобы записать числа по вертикали и выровнять их по разряду (числа должны быть в одном столбце, десятки — в одном столбце и т. Д.).Давайте воспользуемся традиционным умножением, чтобы найти ответ на нашу проблему с мармеладным мишкой.

Начните с написания задачи по вертикали:

Теперь умножьте цифры в столбце единиц. Итак, умножим 3 единицы на 7 единиц. Так как это равно 21 единице, 1 идет в столбец единиц, а 2 переносится — поместите его над столбцом десятков, чтобы добавить позже (точно так же, как перенос при добавлении!):

Затем умножьте 1 на 7, чтобы получить произведение 7.Не забудьте добавить перенесенные 2, чтобы получить сумму 9. Напишите 9 в разделе ответов рядом с 1:

Вы только что нашли свой продукт: 91.

Использование модели области

Если у вас проблемы с традиционным методом, существует другой способ найти произведение двузначного числа и единицы -цифровой номер. Модель области использует поля, чтобы помочь нам визуализировать каждый этап проблемы и увидеть, как числа влияют на продукт.(Его еще называют коробчатым методом!)

Начните с рисования рамки модели области. Поскольку наше наибольшее число состоит из двух цифр, нам нужно будет разделить его на два столбца. Разделите его на раздел десятков (который должен быть больше, чтобы соответствовать большему продукту) и раздел единиц. Поскольку второе число в задаче — это одна цифра, нам нужна только одна строка.

Далее мы разбиваем двузначное число на десятки и единицы. Например, число 24 будет 20 плюс 4.Число 17 будет 10 плюс 7. Понятно?

Для этого примера давайте снова воспользуемся нашей задачей с мармеладным мишкой: 13 x 7. Двухзначное число разделено и написано сверху. Рядом написано однозначное число:

Затем мы умножаем десятки и единицы двузначного числа на однозначное число. Когда мы используем модель площади, не имеет значения, начинаем ли мы сначала с десятков или единиц.

Чтобы получить окончательный ответ, складываем два произведения: 70 + 21 = 91.Это означает, что 13 x 7 = 91. Это тот же ответ, который мы получили, используя традиционный метод!

Краткое содержание урока

Существует два основных метода умножения для нахождения произведения или ответа двузначного числа и однозначного числа. Традиционный метод умножения включает в себя запись чисел по вертикали и их выравнивание по разрядам. Модель области (метод ячеек) использует ящики, чтобы помочь нам визуализировать каждый шаг проблемы и увидеть, как числа влияют на продукт.

Рабочий лист 2-значного умножения

Добро пожаловать на нашу страницу рабочих листов для двузначного умножения.

У нас есть множество рабочих листов на этой странице, которые помогут вам попрактиковаться в умножении двузначных чисел. на 1 или 2 цифры.

Мы разделили рабочие листы на этой странице на два раздела:

• 2-значное умножение на 1 разряд (3-й класс)
• 2-значное умножение на 2-значное (4-й класс)

Каждый раздел заканчивается более сложными листами заданий для более способных учеников.

В каждом разделе листы тщательно сортируются, сначала выбираются самые простые.

Эти листы предназначены для учащихся 3-х классов.

Листы с 1 по 4 состоит из 15 задач; листы 5 и 6 состоят из 20 задач.

Листы 1 и 2 включают умножение двухзначных чисел на 2, 3, 4 или 5.

Листы с 3 по 6 включают умножение двузначного числа на однозначное и поиск возрастающих более сложных продуктов.

Эти двухзначные рабочие листы умножения были разработаны для более способных учеников, которым нужна эта дополнительная задача!

Эти листы предназначены для учеников 4-х классов.

Лист 1 включает 2-значное умножение на 2-значное с меньшими числами и ответами до 1000.

На листах 2–4 сложнее перемножить двузначные числа и ответы, которые обычно больше 1000.

Эти двухзначные рабочие листы умножения были разработаны для более способных учеников, которым нужна эта дополнительная задача!

У нас есть больше рабочих листов для 2-значного умножения, включая задачи умножения 2 x 3 цифры на этой странице.

Взгляните на еще несколько наших рабочих листов, похожих на эти.

Вам нужно быстро и легко создавать свои собственные длинные или короткие таблицы умножения?

Наш генератор рабочих таблиц умножения позволит вам создать свой собственный рабочие листы для распечатки с ответами.

Здесь вы найдете ряд таблиц умножения, которые помогут вам стать более плавным и точным с таблицами.

Использование этих листов поможет вашему ребенку:

• узнать свои таблицы умножения до 10 х 10;
• понимают и используют разные модели умножения;
• решает ряд задач умножения.

Все бесплатные рабочие листы по математике для 3-го класса в этом разделе Контрольные показатели по элементарной математике для 3-го класса.

Здесь вы найдете ряд бесплатных печатных игр на умножение. чтобы помочь детям узнать их факты умножения.

Использование этих игр поможет вашему ребенку научиться умножать факты до 5х5 или 10х10, а также для развития их памяти и навыки стратегического мышления.

Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы.

Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле для комментариев Facebook внизу каждой страницы.

РАЗ МОДУЛЬ M9 — Умножение целых чисел

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

вернуться к индексу

Предполагаемые знания

• Понимание разряда применительно к целым числам (см. Модуль «Подсчет и разметка»).
• Понимание того, что сложение может быть смоделировано путем комбинирования наборов объектов, а также может быть смоделировано на числовой прямой.
• Понимание и свободное владение счетом пропусков.
• Понимание и свободное владение сложением двух однозначных чисел.
• Знакомство с использованием массивов для моделирования умножения.
• Использование символа умножения для обозначения «групп из».
• Знание простых фактов умножения и деления.

Мотивация

Примеры использования умножения включают расчет стоимости шести предметов
стоимостью 25 центов каждый.Намного быстрее вычислить 6 × 25 умножением
, чем повторным сложением.

Умножение отвечает на такие вопросы, как:

1 Джуди купила 15 коробок конфет. В каждой коробке было 24 шоколадных конфеты. Сколько конфет было у Джуди?

2 У Генри 16 мотков проволоки. Каждый рулон имеет длину 18 м. Какова общая длина провода у Генри?

Естественная геометрическая модель умножения в виде прямоугольной области находит применение в измерениях.Таким образом, умножение обеспечивает раннюю связь между арифметикой и геометрией.

Свободное владение с умножением снижает когнитивное напряжение при изучении более поздних тем, таких как
, как деление. Развитие твердого понимания арифметики необходимо для всей дальнейшей математики.

Содержимое

Введение в умножение

Для целых чисел умножение эквивалентно повторному сложению.

Моделирование умножения массивами

Использование массивов для моделирования умножения имеет важное значение.Например, 3 × 5 обозначается цифрой

.

Мы называем 15 произведением 3 и 5, а 3 и 5 множителями 15.

Глядя на строки массива, мы видим, что

3 × 5 = 5 + 5 + 5

Глядя на столбцы массива, мы также видим, что

5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

Это иллюстрирует 3 × 5 = 5 × 3. Мы говорим, что умножение коммутативно.

Моделирование умножения путем подсчета пропусков

Подсчет пропусков, например, чтение 3, 6, 9, 12, 15 ,…, является одним из первых введений в повторное сложение и, следовательно, умножение. Это можно проиллюстрировать числовой прямой, как показано ниже для 3 × 5 = 15.

3 × 5 = 15

На числовой прямой тот факт, что 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5, не так очевиден; на приведенной выше диаграмме показано 5 + 5 + 5, тогда как 3 + 3 + 3 + 3 + 3 на числовой прямой выглядит совершенно иначе.

Счетчик пропусков важен, потому что он помогает детям выучить свои таблицы умножения.

Моделирование умножения по площади

Замена объектов в массиве единичными квадратами или квадратами 1 × 1 вводит площадную модель умножения. Это показано ниже для 3 × 5.

На этом этапе мы используем единичные квадраты вместо счетчиков или звездочек. Мы также можем использовать модель умножения площади для умножения дробей.

Изучение таблицы умножения

Свободное владение таблицами умножения необходимо для дальнейшего изучения математики и повседневной жизни.

Если учащиеся могут добавить однозначное число к двузначному числу, они смогут по крайней мере восстановить таблицу умножения, даже если они еще не развили беглость речи. Поэтому важно убедиться, что учащиеся могут плавно добавлять.

Мы настоятельно рекомендуем учащимся выучить факты умножения до 12 × 12. Это в первую очередь потому, что таблица умножения на 12 очень важна для расчета времени — в году 12 месяцев, 24 часа в день и 60 минут в час. .Знакомство с десятками полезно в повседневной жизни, потому что упаковка в массивы 3 × 4 намного удобнее, чем в массивы 2 × 5. Кроме того, в таблице 12 × 12 есть множество шаблонов, которые можно конструктивно использовать в упражнениях по предалгебре.

Простой подход к изучению таблиц состоит в том, чтобы читать каждую строку наизусть или путем подсчета пропусков. Однако учащиеся также должны уметь вспоминать отдельные факты, не обращаясь ко всей таблице.

При взгляде на таблицу умножения 12 × 12 создается впечатление, что необходимо усвоить 144 факта.

Однако есть несколько приемов, которые можно использовать для уменьшения количества фактов, которые необходимо усвоить.

• Коммутативность умножения немедленно уменьшает 144 до 78.
• Таблицы умножения на 1 и 10 просты, и их мастерство сокращает количество
  фактов, которые необходимо выучить, до 55.

• Таблицы умножения на 2 и 5 также легко выучить, а их усвоение еще больше сокращает количество фактов, которые нужно выучить, до 36.

• Таблицы умножения на 9 и 11 являются следующими, которые легче всего пропустить, поскольку 9 и 11 отличаются от 10 на 1. Это сокращает количество фактов до 21.

• Квадраты полезны, и их можно выучить так же, как выучить таблицу умножения.

Это сокращает количество выученных терминов до 15.

Какие бы техники не использовались, целью должно быть свободное владение языком.

Свойства умножения

Коммутативность

Одним из преимуществ подхода массива и площади является то, что свойства умножения более очевидны.

Как обсуждалось выше, поворот массива 3 × 5 на бок показывает, что 3 × 5 = 5 × 3, потому что площадь не изменяется.

3 × 5 = 5 × 3

Мы видели это раньше, рассматривая строки и столбцы по отдельности, но мы также можем сделать это, повернув прямоугольник на бок, то есть вращением.

3 × 5 = 5 × 3

Собственность произвольной формы

Еще одно важное свойство умножения — ассоциативность, согласно которой

a × (b × c) = (a × b) × c для всех чисел.

Ассоциативность умножения гарантирует, что выражение a × b × c однозначно. Обычно мы не учим ассоциативности умножения в 4-7 лет.Вместо этого мы обучаем свойству умножения произвольного порядка, которое является следствием коммутативных и ассоциативных свойств.

Свойство умножения произвольного порядка

Список чисел можно перемножить в любом порядке, чтобы получить произведение чисел.

Свойство умножения произвольного порядка аналогично свойству сложения произвольного порядка. И ассоциативность, и коммутативность — нетривиальные наблюдения; обратите внимание, что вычитание и деление не коммутативны и не ассоциативны.Когда мы знакомы с арифметическими операциями, мы склонны принимать как ассоциативность, так и коммутативность умножения как должное, как и в случае сложения. Время от времени стоит задумываться о том, что коммутативность и ассоциативность объединяются, чтобы дать важные и мощные свойства произвольного порядка.

Умножение трех целых чисел геометрически соответствует вычислению количества единичных кубов в прямоугольной призме (или ее объема). Свойство умножения произвольного порядка означает, что мы можем вычислить этот объем, умножив длины сторон в любом порядке.Порядок расчета соответствует разному увеличению громкости.

Дистрибутивность умножения по сложению и вычитанию.

Уравнение 3 × (2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4) является примером дистрибутивности
умножения над сложением. Для массивов это соответствует следующей диаграмме
.

=

По площади соответствует диаграмме ниже.

Площадь = 3 × 6

Умножение также является распределительным по сравнению с вычитанием.
Например, 7 × (10 — 2) = 7 × 10 — 7 × 2. Это можно проиллюстрировать с помощью модели площади.

Ментальные стратегии

Свойство умножения произвольного порядка и закон распределения для умножения позволяют решать некоторые задачи умножения без сложных вычислений.

Использование свойства произвольного порядка

Мы используем свойство произвольного порядка умножения, чтобы упростить вычисления, изменяя
порядок, в котором мы выполняем умножение.Например,

1	2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5)
2	2 × 17 × 5 = 10 × 17
3	25 × 7 × 4 = 25 × 4 × 7 = 100 × 7.

Иногда это переупорядочивание происходит после того, как мы разложим один из факторов,
, например, когда мы дважды удваиваем, чтобы умножить на четыре, как в

17 × 4 = (17 × 2) × 2 = 34 × 2 = 68.

Этот метод перемещения множителя от одного числа к другому в порядке
для упрощения вычислений имеет применения, выходящие за рамки повторного удвоения, как в

.

36 × 5 = 18 × (2 × 5) = 180.

Иногда это называют «вдвое и вдвое».

УПРАЖНЕНИЕ 1

Используйте свойство произвольного порядка для выполнения следующих умножений.

Использование распределительного свойства

Мы используем оба дистрибутивных свойства, чтобы упростить некоторые задачи умножения.Например,

7 × 101 = 7 × (100 + 1) = 700 + 7 = 707,

7 × 99 = 7 × (100-1) = 700-7 = 693,

7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714,

и

7 × 98 = 7 × (100 — 2) = 700 — 14 = 686.

Некоторые примеры такого рода могут быть использованы для разработки концепций, необходимых для формального алгоритма.Такие наблюдения, как 14 × 60 = 14 × 6 × 10 и 14 × 600 = 14 × 6 × 100, являются фундаментальными для понимания алгоритма умножения.

Вычисления, такие как

21 × 7 = 20 × 7 + 1 × 7 = 140 + 7 = 147

можно сначала сделать как мысленную стратегию, а затем использовать в качестве первых примеров в формальном алгоритме. Другие умственные стратегии, связанные с алгоритмом, включают наблюдения, такие как

200 × 81 = 2 × 81 × 100 = 162 × 100 = 16 200

, где умножение на однозначные кратные степени десяти на самом деле не сложнее, чем умножение на однозначное число и отслеживание разряда.

УПРАЖНЕНИЕ 2

Используйте закон распределения, чтобы выполнить следующие умножения.

УПРАЖНЕНИЕ 3

Тождество (a — b) (a + b) = a2 — b2 также полезно для мысленных вычислений.

Например: 49 × 51 = (50 — 1) × (50 + 1) = 2500 — 1 = 2499

Выполните каждое из следующих умножений, используя этот идентификатор.

Письменные стратегии

Алгоритм работает наиболее эффективно, если он использует небольшое количество шагов, применимых в
во всех ситуациях.Таким образом, алгоритмы не прибегают к таким методам, как использование почти двойников, которые эффективны в некоторых случаях, но в большинстве случаев бесполезны.

Стандартный алгоритм не поможет вам умножить два однозначных числа. Важно, чтобы студенты свободно владели умножением двух однозначных чисел, прежде чем приступить к любому формальному алгоритму.

Стандартные алгоритмы

Свойство распределения лежит в основе нашего алгоритма умножения, потому что оно позволяет нам вычислять продукты по одному столбцу за раз, а затем складывать результаты вместе.Его следует усилить арифметически, геометрически и алгоритмически. Например, арифметически мы имеем 6 × 14 = 6 × 10 + 6 × 4, геометрически мы видим то же явление,

и алгоритмически реализуем это в следующем расчете.

Как только этот процесс и схема будут поняты, мы можем перейти к согласованному алгоритму.

Умножение на одну цифру

Сначала мы сокращаем расчет, отслеживая цифры переноса и добавляя их по мере продвижения.Предыдущий расчет сокращается до

.

в зависимости от того, где записаны цифры переноса.

Следует проявлять осторожность даже на этой ранней стадии из-за смеси умножения и сложения. Также обратите внимание, что точное расположение и размер цифры переноса не важны для процесса и варьируются в зависимости от культуры. Когда мы выполняем длинное умножение, в каждом столбце может появиться несколько цифр переноса, и их запись в макете может быть скорее помехой, чем помощью.Поэтому желательно развить достаточную беглость умножения на однозначное число, чтобы учащийся мог выполнять такие вычисления, как

без необходимости явно записывать цифры переноса. Если студенту действительно необходимо записать цифры переноса, мы рекомендуем разместить их над соответствующим столбцом и вычеркнуть их по мере включения в решение.

Умножение на однозначное число, кратное степени десяти

Следующее наблюдение заключается в том, что умножение на однозначное число, кратное десяти, не сложнее, чем умножение на однозначное число, при условии, что мы отслеживаем разряды.Итак, чтобы найти количество секунд в 14 минутах, мы вычисляем

14 × 60 = 14 × 6 × 10 = 840

и реализовать его в макете, таком как

Точно так же мы можем отслеживать более высокие степени десяти, используя числовое значение в наших интересах. Итак

14 × 600 = 14 × 6 × 100 = 8400

становится

Для студентов, которые выполнили основное наблюдение в рамках своих мысленных арифметических упражнений, единственное новшество на данном этапе состоит в том, как планировать эти вычисления.

Умножение на двузначное число

Следующий когнитивный скачок происходит, когда мы используем распределительность для умножения двух двузначных чисел. Это реализовано в виде двух продуктов упомянутых выше типов. Например,

74 × 63 = 74 × (60 + 3) = 74 × 60 + 74 × 3

используется в двухэтапном вычислении ниже.

Это соответствует разложению по площади, показанному ниже.

На ранних этапах стоит одновременно развивать арифметические, геометрические и алгоритмические аспекты, проиллюстрированные выше.

Распаковка каждой строки в вычислении длинного умножения с явным использованием дистрибутивности,
как в

Это 74 × 63 = (70 + 4) (60 + 3)

Это также соответствует разложению области

Это расширенное длинное умножение неэффективно, но его можно использовать, чтобы подчеркнуть многократное использование распределенности в процессе.Иллюстрация модели площади, используемая в этом случае, позже появится снова как геометрическая интерпретация вычислений в алгебре.

Умножение многозначных чисел

Чем больше цифр в числах, которые мы умножаем, тем больше раз нам нужно применить свойство распределения и тем больше строк будет в нашем вычислении, как показано ниже.

Этот пример соответствует: 5974 × 3 + 5974 × 60 + 5974 × 200 + 5974 × 1000

Кроме того, умножение целых чисел никогда не станет более сложным.

Ссылки вперед

Первое применение умножения, с которым, вероятно, столкнутся учащиеся, — это деление. При вычислении деления мы постоянно вычисляем кратные делителю, и отсутствие беглости при умножении является существенным препятствием в этом процессе. Материал этого модуля закладывает основу для умножения, а затем деления дробей и десятичных знаков.

Другие приложения умножения, которые встречаются раньше, включают проценты и потребительскую арифметику.Например, мы рассчитываем цену товара с учетом налога на товары и услуги, рассчитывая в 1,1 раза больше его стоимости до налога на товары и услуги.

Знакомство с умножением и выражением чисел как произведений множителей открывает путь к одной из основных теорем математики.

Основная теорема арифметики: Каждое целое число больше 1 может быть записано как произведение простых чисел, и такое выражение уникально до порядка, в котором написаны множители. Например, 24 = 23 × 3 и 20 = 22 × 5.

Фундаментальная теорема арифметики имеет далеко идущие последствия и может применяться в информатике, кодировании и криптографии с открытым ключом.

И последнее, но не менее важное: хорошее знание арифметики готовит ученика к успеху в алгебре.

Использование таблицы умножения как источника шаблонов

Способность определять закономерности и решать открытые задачи являются важными математическими навыками. Таблицу умножения можно использовать как источник действий для обоих.

Аудиторная деятельность

Нарисуйте сетку 10 × 10 и выделите на ней числа, кратные 9. Какой геометрический узор образуют в таблице числа, кратные 9, и почему он возникает? Какова арифметическая последовательность цифр чисел в таблице умножения на 9 и почему она возникает?

Аудиторная деятельность

Нарисуйте сетку 12 × 12 с написанными на ней числами от 1 до 144. Выберите запись, которая находится не на краю таблицы. Как числа непосредственно над ним и непосредственно под ним связаны с числом в выбранном вами поле? Что вы можете сказать о числах слева и справа от выбранного вами числа?

История

Произведение двух чисел одинаково, независимо от того, как вы его вычисляете или как пишете свой ответ. Подобно тому, как история числа на самом деле связана с развитием числительных, история умножения — это в основном история процессов, которые люди использовали для выполнения вычислений. Развитие индо-арабской системы обозначений разностей позволило реализовать эффективные алгоритмы арифметики и, вероятно, было главной причиной популярности и быстрого принятия этой записи.

Египетское дублирование

Одним из методов, который сильно отличается от стандартного алгоритма, является египетское дублирование и датируется до 1850 г.Это сводит вычисления к серии удвоений с последним сложением.

Предположим, вы хотите умножить 63 на 22. Сначала напишите

, затем удвойте оба числа и запишите их ниже, чтобы получить

Продолжайте удваивать, пока число в левом столбце не станет настолько большим, насколько может быть, но не больше 22. Итак, мы пишем

		1		63
		2		126
		4		252
		8		504
		16		1008

и остановитесь, потому что 32 больше 22.

Теперь мы идем в обратном направлении и начинаем с отметки 16; традиционно это делалось, помещая линию слева от числа, как показано ниже.

Добавление 8 к 16 дает число больше 22, поэтому мы не отмечаем строку выше.

Поскольку 16 + 4 ≤ 22, мы отмечаем строку цифрой 4 в левом столбце.

Поскольку 16 + 4 + 2 = 22, мы отмечаем строку цифрой 2 в левом столбце,

, а так как 16 + 4 + 2 + 1> 22 мы не отмечаем верхнюю строку.Остается

		1		63
/		2		126
/		4		252
		8		504
/		16		1008

Если сложить числа в правом столбце отмеченных строк, получится

1008 + 252 + 126 = 1386,

, который является произведением 22 × 63.Это работает, потому что

22 × 63 = (16 + 4 + 2) × 63 = 1008 + 252 + 126 = 1386.

Египетское дублирование основано на распределенности и на том факте, что каждое число может быть записано как сумма степеней 2.

УПРАЖНЕНИЕ 4

Выполните следующее, используя египетское дублирование.

а

34 × 56

б 57 × 34

Русский крестьянский метод

Как и египетское дублирование, метод русского крестьянина работает, потому что каждое число имеет уникальное выражение в базе 2.Метод русского крестьянина сводит вычисления к последовательности удвоений и делений пополам с последним сложением.

В качестве алгоритма Русский крестьянский метод работает следующим образом.

• Поместите два числа, которые вы хотите умножить, вверху двух столбцов.
• Создайте еще одну строку из двух чисел, удвоив число в первом столбце
  и уменьшив вдвое число во втором столбце, игнорируя любые остатки в процессе деления
  вдвое.
• Повторяйте предыдущий шаг, пока число в столбце деления пополам не станет равным 1.
• Вычеркните все строки, в которых число в столбце деления пополам четное.
• Сложите все числа в столбце удвоения, которые не были зачеркнуты.
• Эта сумма равна произведению двух исходных чисел. Например, используя его для вычисления 63 × 22, мы пишем

63		22
126		11
252		5
504		2
1008		1

, затем вычислите 126 + 252 + 1008 = 1386 и сделайте вывод, что 63 × 22 = 1386.
Эта процедура работает всегда, но почему?

Предположим, мы хотим умножить 63 на 16. Мы начинаем с записи 63 и 16 в верхней части двух столбцов
, а под каждым мы записываем числа, которые мы получаем удвоением одного и
, делением другого вдвое.

63		16
126		8
252		4
504		2
1008		1

В этом случае произведение двух чисел в каждой строке идентично произведению чисел непосредственно выше. Например, 126 × 8 = 63 × 16. Следуя цепочке произведений, мы заключаем, что 63 × 16 = 1008 × 1 = 1008. Это работает особенно легко, потому что 16 — это степень 2.

Предположим, вместо этого мы хотим умножить 63 на 14.

63		14
126		7
252		3
504		1

Поскольку в первом делении нет остатков, 126 × 7 = 63 × 14, и первым шагом было просто переформулировать произведение по-другому.Мы можем смело вычеркнуть 63 × 14 и представить, что его никогда не было. Однако на втором этапе мы проигнорировали остаток, поэтому между двумя строками есть разница; в частности, 126 × 7 = 252 × 3 + 126 × 1. Обратите внимание, что разница между продуктом в двух строках составляет 126, число в верхней строке в столбце удвоения. Так как остаток от деления на 2 может быть только 0 или 1, на каждом шаге мы либо точно переформулируем задачу, либо на одну копию числа в столбце удвоения. В этом вычислении мы проигнорировали одну копию 126 и одну копию 252, прежде чем прийти к нашему выражению 504 × 1. Таким образом, наш исходный продукт, 63 × 14, должен быть равен 504 + 252 + 126.

В общем, может быть несколько строк, в которых у нас нет остатка, и несколько строк, в которых мы игнорируем остатки. Мы вычеркиваем те строки, для которых деление на 2 привело к точному пересчету продукта в предыдущей строке; это точно соответствует строкам с четными номерами в столбце, уменьшенном вдвое.Цифры, которые не были зачеркнуты в столбце удвоения, соответствуют остаткам, и их сумма равна исходному произведению.

Итальянский или решетчатый

Другой метод, известный как итальянский метод или метод решеток, по сути, является реализацией расширенной версии стандартного алгоритма, но в другой компоновке. Этот метод очень старый и мог бы быть общепринятым, если бы его не было трудно печатать. Впервые он появился в Индии, но вскоре появился в работах китайцев и арабов.От арабов он попал в Италию, и его можно найти во многих итальянских рукописях 14-15 веков.

Здесь показано умножение 34 × 27.

34 × 27 = 918

В правом верхнем прямоугольнике вычисляется 4 × 2. Цифра 8 помещается в нижний треугольник, а 0 — в верхний.

Затем вычисляется 3 × 2 и вводится результат, как показано.

В правом нижнем прямоугольнике вычислено 4 × 7.Цифра 8 находится в нижнем треугольнике, а цифра 2 — в верхнем треугольнике. Таким же образом записывается и результат 3 × 7.

Зеленая диагональ содержит единицы.

Синяя диагональ содержит десятки.

Коричневая диагональ содержит сотни.

Теперь цифры суммируются по каждой диагонали, начиная справа, и каждый результат
записывается, как показано. Обратите внимание, что существует «перенос» от «десятков по диагонали» к «сотням по диагонали»

.

УПРАЖНЕНИЕ 5

Используйте метод решетки для выполнения каждого из следующих умножений

а

35 × 73

б

67 × 87

с

453 × 235

Список литературы

История математики: Введение, 3-е издание, Виктор Дж. Кац, Эддисон-Уэсли, (2008)

История математики, Д. Э. Смит, Дуврские публикации, Нью-Йорк, (1958)

https://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication

Ответы на упражнения

Упражнение 1

УПРАЖНЕНИЕ 2

УПРАЖНЕНИЕ 3

УПРАЖНЕНИЕ 4

УПРАЖНЕНИЕ 5

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений австралийского правительства.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3. 0 Непортированная лицензия.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Умножение

: целые числа

Умножение можно рассматривать как повторное сложение. Итак, если умножить число а по другому номеру б , это то же самое, что добавить число а снова и снова б раз. (Или добавив б снова и снова а раз).Например:

3 × 5 знак равно 5 + 5 + 5 знак равно 15 3 × 5 знак равно 3 + 3 + 3 + 3 + 3 знак равно 15

Другой способ думать об умножении целых чисел а × б визуализировать объекты, расположенные в прямоугольнике, с а ряды и б столбцы.

3 × 5

Обратите внимание, что есть 15 точки на рисунке.

Стандартный алгоритм

Чтобы умножить многозначное число на однозначное число с помощью стандартного алгоритма, напишите два числа друг над другом, выровняв единичные цифры по вертикали и многозначное число сверху.

127 × 3 _

Умножьте единичную цифру верхнего числа на нижнее число.Запишите единичную цифру результата. Если результат больше чем 10 перенесите цифру десятков, как и при сложении.

Здесь, 7 × 3 знак равно 21 год , так

1 2 2 7 × 3 _ 1

Теперь умножьте цифру десятков верхнего числа на нижнее число и добавьте полученную цифру к результату.Здесь, 2 × 3 знак равно 6 , а затем добавляем 2 получить 8 . С 8 меньше чем 10 , на этот раз нам не нужно нести.

1 2 2 7 × 3 _ 8 1

Наконец, умножьте цифру сотен верхнего числа на нижнее число.Здесь, 3 × 1 знак равно 3 .

1 2 2 7 × 3 _ 3 8 1

Так, 127 × 3 знак равно 381 .

Чтобы умножить два многозначных числа , напишите число, состоящее из большего количества цифр вверху. Например, чтобы умножить 29 от 543 , мы пишем

543 × 29 _

Сначала умножьте верхнее число на единицу нижнего числа, как описано выше. 3 × 9 знак равно 27 , так что запишите 7 и нести 2 :

5 4 2 3 × 2 9 _ 7

4 × 9 36 лет, плюс 2 является 38 , так что запишите 8 и несите 3 :

5 3 4 2 3 × 2 9 _ 8 7

5 × 9 является 45 , плюс 3 является 48 .Нет больше цифр для переноса, поэтому запишите 48 .

5 2 4 2 3 × 2 9 _ 4 8 8 7

Затем нам нужно умножить верхнее число на цифра десятков нижнего числа.Поскольку мы фактически умножаем на 20 , а не 2 , запишем 0 как заполнитель.

5 4 3 × 29 _ 4887 0

3 × 2 является 6 , так что запишите 6 .

5 4 3 × 2 9 _ 4887 6 0

4 × 2 является 8 , так что запишите 8 .

5 4 3 × 2 9 _ 4887 8 6 0

5 × 2 является 10 , и больше нет цифр для переноса, поэтому запишите 10 .

5 4 3 × 2 9 _ 4887 10 860

Последний шаг — сложить два результата.

5 4 3 × 29 _ 4887 + 10 860 _ 13947

Так, 543 × 29 знак равно 13947 .

Как и сложение, умножение коммутативный для действительных чисел (то есть а × б знак равно б × а ; порядок не имеет значения) и ассоциативный (это, ( а × б ) × c знак равно а × ( б × c ) ; группировка не имеет значения.) См. Свойства умножения для большего.

Умножьте целое число до четырех цифр на однозначное целое число и умножьте два двузначных числа, используя стратегии, основанные на разрядах и свойствах операций.Проиллюстрируйте и объясните расчет с помощью уравнений, прямоугольных массивов и / или моделей площадей.

Четвертый оценщик:

В этом упражнении учащиеся играют в игру «соедини четыре», но для того, чтобы поместить фишку на доску, они должны правильно оценить задачу на сложение, умножение или процентное соотношение. Студенты могут регулировать сложность задач, а также то, насколько близка должна быть оценка к фактическому результату. Это упражнение позволяет студентам попрактиковаться в вычислении сложения, умножения и процентов больших чисел (100). Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с java-апплетом.

Тип: обучающая игра

Оценщик викторины:

В этом упражнении учащимся задают вопрос об их способности оценивать суммы, продукты и проценты.Учащийся может регулировать сложность задач и то, насколько они должны быть близки к фактическому ответу. Это упражнение позволяет студентам попрактиковаться в вычислении сложения, умножения или процентов больших чисел. Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с java-апплетом.

Тип: обучающая игра

Арифметическая тренировка:

Этот интерактивный флэш-апплет предлагает учащимся три способа попрактиковаться в базовых навыках работы с фактами, связанных с умножением и делением. Пользователи управляют уровнем сложности, выбирая размер пустой сетки умножения, отображаемой апплетом. В режиме умножения пользователи вводят произведение, которое завершает предложение умножения. В факторном режиме пользователи щелкают ячейку сетки, соответствующую данному продукту. В режиме разделения пользователи вводят недостающий коэффициент в отображаемом предложении умножения. Звуковой эффект и функция синхронизации не являются обязательными.

Тип: обучающая игра

Кто хочет стать матионером ?:

Эта онлайн-игра повторяет популярную игру «Кто хочет стать миллионером?». формат, используя факты умножения.Это интересный способ для детей попрактиковаться в умножении!

Тип: обучающая игра

Арифметическая викторина:

В этом упражнении учащиеся решают арифметические задачи, включающие целые числа, целые числа, сложение, вычитание, умножение и деление.Это упражнение позволяет учащимся отслеживать свой прогресс в обучении арифметике целых и целых чисел. Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с java-апплетом.

Тип: Образовательное программное обеспечение / инструмент

Магазин продукции:

Учащимся предлагается умножить пару двузначных чисел, используя стратегию, основанную на разрядах.

Тип: Формирующее оценивание

Чтение:

Учащимся предлагается умножить четырехзначное число на однозначное число, используя стратегию, основанную на разряде.

Тип: Формирующее оценивание

Частичные продукты:

Студентам предлагается решить две задачи умножения, используя стратегию частичных произведений.

Тип: Формирующее оценивание

Проект детской площадки:

Студенты с удовольствием спроектируют игровую площадку своей «мечты», применяя математические и естественные науки на этом сложном уроке инженерного проектирования. Студенты найдут площадь и периметр своих игровых площадок. Они также будут использовать бюджетную ведомость, чтобы принять решение о том, что включить на свою игровую площадку, учитывая физические свойства материалов, которые они «покупают».

Тип: План урока

Умножение модели:

Это практическое занятие, основанное на концепции, предназначено для того, чтобы помочь вам оценить, насколько хорошо ваши ученики могут использовать различные стратегии и представления двузначного умножения.

Тип: План урока

Моделирование умножения для мастерства:

На этом уроке учащиеся будут работать над умножением многозначных чисел, используя различные стратегии. Студенты будут использовать массивы, рамки массивов с базовыми десятью блоками и модели площадей для изучения и обоснования своих решений.

Тип: План урока

Ой! Что я сделал ?:

В этом уроке используется метод открытия для изучения различных ошибок в различных стратегиях умножения. Студенты будут использовать стандарты математической практики, когда они критикуют и анализируют математические решения и объясняют свои собственные решения.

Тип: План урока

Умножение вокруг блока:

Учащиеся будут развивать свое понимание системы разрядов и умножения с использованием моделей с десятичным основанием, чтобы развить понимание умножения двузначных чисел на двузначные числа с использованием моделей площадей.Они будут работать с партнерами в процессе обучения, чтобы помочь им развить использование математического языка при объяснении своих мыслей и расчетов другим.

Тип: План урока

Задача Аарона и Ани в лоскутном одеяле: решение проблем и интерпретация остатков:

В этой ситуационной истории Аарон и Аня находят большой кусок яркой ткани.Они решают разрезать его на квадраты, чтобы сделать лоскутное одеяло. Студенты найдут площадь ткани, умножив две цифры на две. Они изучат факторы, определив самый большой квадрат лоскутного одеяла, который можно разрезать для 25 учеников. Остается ткань; учащиеся должны будут определить и обосновать остатки на основе нескольких различных сценариев. Наконец, учащиеся создадут свой собственный квадрат для квилтинга, используя сетку.

Тип: План урока

Престижность для ударов ногами — MEA:

В этом MEA студенты будут работать в совместных группах для решения многошаговых задач с целыми и десятичными числами, используя различные математические операции сложения, вычитания и умножения.Студентов попросят помочь владельцу дисконтного обувного магазина, который планирует однодневную распродажу, выбрать кроссовки известного бренда для однодневной распродажи. Студенты определят, какой из них привлечет больше клиентов, а также принесет наибольшую прибыль. Студентам нужно будет прочитать таблицу данных, расположить кроссовки известных брендов от 1 до 6, рассчитать общую маржу прибыли на пару и общую потенциальную прибыль от продаж, определяемую количеством кроссовок на складе. Изюминка проблемы добавляется, когда добавляются дополнительные запасы товаров, плюс удаляется один из брендов и добавляются два новых бренда.

Тип: План урока

2-значное умножение массива:

В этом уроке исследуется концептуальный подход к умножению двух двузначных чисел. Учащиеся будут создавать, исследовать, описывать и записывать массивы, построенные из элементов с числовой стоимостью.Урок дает понимание, которое упростит умножение многозначных чисел.

Тип: План урока

Удивительные массивы 3X1 или 1X3:

Этот урок — третий урок в разделе, начинающемся с Удивительных массивов и Удивительных массивов 2X1.

На этом уроке учащиеся решают задачу умножения, рисуя массивы и сегментируя области несколькими способами, чтобы решить задачу. Студенты также будут применять свойство распределенности, изучать вращение моделей площадей, чтобы продемонстрировать коммутативное свойство умножения, и сопоставлять задачу со словом с ее массивом.

Тип: План урока

Случайный продукт:

Вы пытаетесь углубить понимание учащимися умножения двузначного числа на двузначное? Тогда эта игра для вас. Эта игра позволяет учащимся продемонстрировать свои способности в умножении и рассуждении. Студенты будут размещать числа, нарисованные на листе записи, чтобы создать максимально большой продукт.

Тип: План урока

Аренда ноутбуков:

Это увлекательное мероприятие MEA знакомит студентов с компанией под названием «Аренда ноутбуков», которая нуждается в их помощи в выборе лучших ноутбуков для школьных занятий.

Тип: План урока

Уроки тенниса:

Этот MEA просит студентов взять на себя работу профессионального теннисиста и решить, какие факторы являются наиболее важными при выборе заведения для занятий теннисом. Учащиеся выполнят математические вычисления, создадут таблицу из двух столбцов для часов и минут, разработают процедуру ранжирования объектов и предоставят письменную обратную связь через письма родителю, чей ребенок нуждается в групповых уроках тенниса, и напишут письма, чтобы попросить совета. Они будут ранжировать свой выбор от «лучших к худшим» для занятий теннисом. Студенты предоставят подробное письменное объяснение того, как они решили ранжировать факторы и свое решение для оценки помещений для уроков тенниса.

Тип: План урока

Боксерская математика — Использование модели площади для умножения:

Распространенная ошибка, которую делают ученики, когда учатся умножать, — это относиться к умножению как к сложению и умножать единицы на единицы и десятки на десятки.На этом уроке ваши ученики избежат этой ошибки, поскольку они научатся использовать модель площади для двузначного умножения. После групповой практики студентов учат игре, чтобы закрепить их знания.

Тип: План урока

Отели: Где остановиться:

Этот MEA позволяет студентам изучить создание модели для ранжирования отелей.Студентам предоставляется первая часть проблемы и данные, которые включают стоимость, питание, возможность размещения с домашними животными и близость к автомагистрали. Они определят, какой отель получит самую высокую рекомендацию. Вторая часть задачи добавляет две гостиницы и дополнительные данные, связанные со скидками. Студентам необходимо применить и протестировать свою модель и внести необходимые изменения. Все выводы отправляются клиенту в письменной форме. Студенты могут использовать эту информацию, чтобы спланировать семейный отпуск, выясняя, в каких отелях они могли бы остановиться во время путешествия.

Тип: План урока

Удивительные массивы 2X1:

Это практический урок по расширению и отработке рисования массивов с использованием моделей площадей, которые показывают двузначное число, умноженное на однозначное число. Студенты также должны использовать свойство распределения умножения и уравнения, которые они представляют.

Тип: План урока

Массив на благотворительность !:

Ученики будут использовать фреймы массивов, чтобы узнать, сколько пенни собрал каждый класс в своей школе для благотворительной акции. Студенты продемонстрируют и объяснят структуру массива, а также определят, сколько пенни пойдет каждой из семи благотворительных организаций, для которых они собрали пенни.

Тип: План урока

Праздничные развлечения:

В этом MEA студенты будут решать, какого артиста должен нанять владелец развлекательной компании. Они будут основывать свои решения на информации, представленной в резюме.Студенты рассчитают стоимость найма артиста (умножение целых чисел), а также сравнят статистику своих конкурсов талантов и посещаемость (сравнение дробных чисел). Студенты будут писать письма владельцу развлекательной компании, оценивая артистов и предоставляя объяснения и обоснование своей стратегии для этого.

Тип: План урока

Модели области многозначного умножения: Часть 2:

В этом интерактивном руководстве вы узнаете о магической силе моделей площади при умножении многозначных чисел.

Это второй учебник из серии из трех частей. Щелкните ниже, чтобы открыть другие руководства из этой серии.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Магия многозначного умножения, часть 1: Массивы:

Модели с площадями — эффективные инструменты для многозначного умножения, посмотрите, насколько они волшебны, в этом интерактивном руководстве!

Это первое руководство из серии из трех частей.Щелкните ниже, чтобы открыть другие руководства из этой серии.

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Умножение: как использовать модель площади:

В этом видеоуроке от Khan Academy просмотрите демонстрацию того, как настроить модель площади для умножения двузначного числа на двузначное число на диаграмме или сетке, а затем свяжите это со стандартным алгоритмом.

Тип: Учебное пособие

Умножение: 4 цифры на 1 цифру (в развернутой форме):

В этом видеоуроке Khan Academy рассмотрите пример умножения 4-значного числа на 1-значное число путем расширения 4-значного числа и умножения на каждую цифру индивидуально в модели области. Это видео поможет понять, прежде чем обучать стандартному алгоритму. Умножение на 4-значный коэффициент больше, чем в некоторых стандартах, которые ограничивают коэффициенты до 3-х знаков.

Тип: Учебное пособие

.

Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Умножение в столбик | интернет проект BeginnerSchool.ru

Умножение многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик, последовательно умножая каждый разряд. Давайте разберем, как это делать. Начнем с умножения многоразрядного числа на одноразрядное число и постепенно увеличим разрядность второго множителя.

Для того чтобы умножить в столбик два числа, разместите их одно под другим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сравните два множителя и меньший разместите под большим. Затем начинайте умножать каждый разряд второго множителя на все разряды первого множителя.

Пишем однозначное число под единицами многозначного.

Умножаем 2 последовательно на все разряды первого множителя:

Умножаем на единицы:

8 × 2 = 16

6 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем. Для того, чтобы не забыть пишем 1 над десятками.

Умножаем на десятки:

3 десятка × 2 = 6 десятков + 1 десяток(запоминали) = 7 десятков. Ответ пишем под десятками.

Умножаем на сотни:

4 сотни × 2 = 8 сотен. Ответ пишем под сотнями. В результате получаем:

438 × 2 = 876

Умножим трехзначное число на двухзначное:

924 × 35

Пишем двухзначное число под трехзначным, единицы под единицами, десятки под десятками.

1 этап: находим первое неполное произведение, умножив 924 на 5.

Умножаем 5 последовательно на все разряды первого множителя.

Умножаем на единицы:

4 × 5 = 20             0 пишем под единицами второго множителя, 2 десятка запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 5 = 10 десятков + 2 десятка (запоминали) = 12 десятков, пишем 2 под десятками второго множителя, 1 запоминаем.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 5 = 45 сотен + 1 сотня (запоминали) = 46 сотен, пишем 6 под разрядом сотен, а 4 под разрядом тысяч второго множителя.

924 × 5 = 4620

2 этап: находим второе неполное произведение, умножив 924 на 3.

Умножаем 3 последовательно на все разряды первого множителя. Ответ пишем под ответом первого этапа, сдвинув его на один разряд влево.

Умножаем на единицы:

4 × 3 = 12             2 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 3 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали)  =  7 десятков, пишем 7 под разрядом сотен.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 3 = 27 сотен, 7 пишем в разряд тысяч, а 2 в разряд десятков тысяч.

3 этап: складываем оба неполных произведения.

Складываем поразрядно, учитывая сдвиг.

В результате получаем:

924 × 35 = 32340

Умножим трехзначное число на трехзначное:

Возьмем первый множитель из предыдущего примера, а второй множитель тоже из предыдущего, но больше на 8 сотен:

924 × 835

Итак, два первых этапа такие же, как в предыдущем примере.

3 этап: находим третье неполное произведение, умножив 924 на 8

Умножаем 8 последовательно на все разряды первого множителя. Результат пишем под вторым неполным произведением со сдвигом влево, в разряд сотен.

4 × 8 = 32, пишем 2 в разряд сотен, 3 запоминаем

2 × 8 = 16 + 3 (запоминали) = 19, пишем 9 в разряд тысяч, 1 запоминаем

9 × 8 = 72 + 1 (запоминали) = 73, пишем 73 в разряды сотен и десятков тысяч соответственно.

4 этап: складываем три неполных произведения.

В результате получаем:

924 × 835 = 771540

Итак, сколько разрядов во втором множителе, столько и будет слагаемых в сумме неполных произведений.

Возьмем два множителя с одинаковой разрядностью:

3420 × 2700

При умножении двух чисел оканчивающихся нулями пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

Теперь умножаем два числа, не обращая внимания на нули:

342 × 27 = 9234

Общее количество нулей приписываем к получившемуся произведению.

В результате получаем:

3420 × 2700 = 9234000

Подведем итог. Для того чтобы письменно в столбик умножить два числа друг на друга, надо:

1. Сравнить два числа и меньшее написать под большим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если числа с нулями, то пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

2. Умножаем последовательно каждый разряд второго множителя, начиная с единиц, на все разряды первого множителя. На нули внимания не обращаем

3. Неполные произведения пишем друг под другом, сдвигая каждое неполное произведение на один разряд влево. Сколько во втором множителе значащих разрядов (не 0), столько будет неполных произведений.

4. Складываем все неполные произведения.

5. К полученному результату приписываем нули из обоих множителей.

Вот и все, спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями.

1.

Мотивация.    (самоопределе ние к учебной деятельности).   Цель: Мотивация учащихся к учебной деятельности на личностно-значимом уровне

Создаёт условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность. У: Добрый день ребята! Садитесь. Я приглашаю вас на урок «Математики». Ребята, для того, чтобы вы поверили в свои силы и вам легко работалось на уроке, повторите за мной следующие слова: Я на уроке математики Я все знаю Я все умею У: Повернитесь лицом к соседу, скажите ему: Я желаю тебе добра Если тебе будет трудно, я помогу.   Cегодняшний урок я хочу начать словами французского философа Ж. Ж. Руссо.  «Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению. ..» Я желаю вам уже сегодня на уроке убедиться в этих словах. Вы готовы к работе? Тогда в путь.

Включаются в учебную деятельность. Слушают учителя.     Садятся за парты.         Хором повторяют.                                       Поддерживают диалог.

Личностные УУД: самоопределение

2.

Актуализация знаний. Цель: Готовность мышления и осознания потребности к построению нового способа действий.

Ведёт подводящий диалог. ( Активизирует у учащихся мыслительные операции, внимание, память) 1. Проверка домашнего задания. — С домашним заданием все справились?   2. – Откройте тетради. Запишите число. Классная работа. Минутка чистописания. У вас на столах листы самоконтроля. По мере выполнения заданий вы будете себя оценивать.   3. Устный счет. Работа в парах. Заполните таблицу.   υ t S ? 4ч 120км 6м/с 10с ? 70 м/мин ? 560 м  Проверка. Слайд 1 -Как найти скорость? -Как найти расстояние? -Как найти время?     — Посмотрите внимательно на экран и предложите работу, которую мы можем выполнить.   Исследуйте первое выражение.  -Какую закономерность вы установили.   -Предлагаю, прежде чем вы назовёте произведение, объяснить приём умножения. 1)6·9= 54     2) 26·3                   3) 139·0 4) 264·10   5) 92· 100    6) 532·300 ( По мере поступления ответов на экране появляются результаты рассуждения) (Слайд 2)

Участвуют в диалоге.                 Все правильно выполнено — +; Одна ошибка – V; Больше ошибок — —.         Во время проверки таблицы вспоминают взаимосвязь между величинами: скорость, расстояние, время.                   — Можно  посчитать треугольники. — Можно выявить закономерность.       Вспомнить название чисел при умножении. 1) табличное умножение 2) внетабличное умножение       ( разбиваем на разрядные слагаемые) 3) умножение на нуль 4) увеличение числа в 10 раз,  приём умножения  на 10 5) приём умножения на 100 6) затрудняются

Познавательные УУД: — Общеучебные; — Логические;   Коммуникативные УУД: — умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

3.

Постановка учебной задачи. Создание проблемной ситуации. Цель: Выявление места и причины затруднения, постановка цели урока.

1. Ведёт побуждающий диалог. — Почему вы затрудняетесь назвать произведение в 6 треугольнике? Побуждает к осознанию темы и цели урока.   — Как вы думаете, какова же тема нашего урока?   — Я предлагаю вам два  варианта решения данной проблемы. 2. Стимулирует к деятельности. — Первый: Сама покажу вам приём умножения.    Второй – на основе ранее полученных знаний попробуете решить сами. — Какой вариант выберете вы и почему?

Участвуют в диалоге. — Не можем, так как с этим приёмом умножения ещё не знакомы (умножение на числа, оканчивающееся нулями) Формулируют тему  урока. —Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями.                 Дети предпочитают « открывать» новое знание сами.

Познавательные УУД: — постановка и формулирование проблемы — поиск и выделение необходимой информации   Регулятивные УУД: — целеполагание; Коммуникативные: — умение выражать свои мысли;

4

« Открытие» детьми нового знания. Цель: Построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению.

1. Организует деятельность. (Слайд 3) — Великий Сократ говорил о том, что научиться играть на флейте можно только, играя самому. —Так и вы можете научиться умножать такие числа, думая только своей головой и пытаясь решить самостоятельно. — У кого есть предположения, как можно его вычислить?  Хорошо, если вычислим на калькуляторе, получим готовый ответ, мы пополним копилку наших знаний?   — Вы предложили устно выполнить вычисления. Как именно? — Какой закон математики вы применили?             ( Слайд 4) — Всегда ли устно можно быстро и правильно выполнить умножение многозначного числа, учитывая то, что числа могут быть большими? — Какой способ мы можем ещё использовать? — Умеем мы это правильно делать? — Дайте более точную формулировку темы нашего урока. ( Слайд 5)     — Какую учебную задачу вы поставите перед собой?       2.- Запишите пример столбиком и самостоятельно решите его.   — Где мы можем проверить правильность наших рассуждений? — Откройте учебники на стр.13, внимательно рассмотрите образец и сравните со своим решением. — Я прошу поднять руку тех ребят, которые выполнили умножение так, как показано в учебнике. — Молодцы. Значит, вы умеете применять ранее полученные знания. — Открытые вами знания позволили найти произведение в 6 треугоьнике? ( Слайд 6)   — Сейчас объясним приём умножения на доске. 3. Вызывает к доске ученика, верно решившего пример.     — У кого другая запись?   4. Организует работу в парах по составлению алгоритма умножения. — Чтобы правильно решать такие примеры, нужно знать алгоритм решения. — Что такое алгоритм? — Сейчас мы его составим. У вас на партах конверты с карточками, на которых напечатаны действия алгоритма. Работая и обсуждая в парах, вы разложите карточки в нужном порядке.   Выводит алгоритм на экран. (Слайд 7)

Выдвигают гипотезы: — устно — на калькуляторе — столбиком. -Нет.     Объясняют приём умножения. 532·300= 532·(3·100)= 532·3·100=159600 — Сочетательный закон.   — Не всегда.     — Решение столбиком. -Нет. Дети формулируют тему и учебную задачу урока. — Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями. — Мы должны научиться письменно умножать многозначные числа /в столбик/ на числа, которые оканчиваются нулями.   Пытаются решить пример самостоятельно.   — В учебнике.   Дети открывают учебники и сравнивают своё решение с образцом.               Называют произведение в треугольнике.   Объясняют приём умножения. — Выполняем умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписываем столько нулей, сколько содержится во втором множителе.               — Пошаговое выполнение действий.   Открывают конверты. Располагают карточки в нужном порядке. Одна пара зачитывает. 1. Второй множитель записываю так, чтобы нули остались в стороне. 2.Умножаю многозначное число на число, не обращая внимания на нули. 3.К полученному результату приписываю нули. 4.Читаю ответ.

Познавательные УУД: — построение логической цепи рассуждений; — самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера; Коммуникативные УУД: — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации со сверстниками и учителем;

5.

Первичное закрепление с проговарива- нием. Цель: Зафиксировать способ письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями.

1.Организует работу по закреплению нового знания. — Закрепим полученные знания, выполнив письменное умножение с объяснением на доске.     ( с.13 №40 – 1 строчка) (К доске вызывает сначала                                      « сильного» ученика, затем «слабого».) — Понятен ли вам этот вычислительный приём? — Как проверить, что вы его усвоили?   (Учитель даёт инструктаж по выполнению задания.) -Давайте проверим. — У каждого из вас имеется карточка. На ней записаны примеры.                                                                            ( 735 ·500    6307 · 40) Предлагаю спрогнозировать предполагаемый результат:  в верхнем углу карточки вы видите круг. Закрасьте его зелёным цветом, если вы уверены в своих силах. Жёлтым цветом – если сомневаетесь. Красным цветом – если вам нужна помощь. Кому нужна помощь, обращайтесь к алгоритму.  А теперь приступим. — Передайте карточку соседу. Выводит ответы к заданию  на экран. ( Слайд 8) — Если  нет ошибок, закрасьте нижний круг зелёным цветом, если есть ошибки – жёлтым. — Верните карточку владельцу. — Совпал ли ваш прогноз с результатом?

Два ученика работают у доски, остальные в тетради.     — Решить примеры самостоятельно.               Прогнозируют результат и выполняют задание.                                       Взаимопроверка по готовым ответам с доски.   — Ответы детей / Мой прогноз совпал с результатом, был уверен и правильно выполнил. — Мой прогноз не совпал с результатом, я был уверен, что справлюсь, но допустил ошибку./

КоммуникативныеУУД: Умение выражать свои мысли;  Регулятивные УУД: Овладение алгоритмом умножения;

8.

Включение нового  в систему знаний и повторения.    Цель: — закрепить умение решать текстовые задачи; — применение нового способа действия; — создание ситуации успеха.

Организует  индивидуальную работу с последующей проверкой в группе и самопроверкой по эталону.   1.                                Внимание на экран. ( Слайд 9)                                           Перед вами 4 задания.   — Какое из них далеко от темы нашего урока?   А) 736·300    6 324· 50 Б) 6 895+ 72 456 + 658 В) 784 · 600 + 2 907 · 30 Г) х· 4= 432·30             Осталось 3 задания. — Выберите себе то, которое для вас  более интересно и которое вы можете выполнить. Выполните его. / Учитель проходит по классу, наблюдает, какой уровень выбрал каждый из учащихся и кладёт рядом с его работой фишку (цвет фишки – уровень сложности выбранного задания)/ — А теперь, ребята, попрошу вас собраться в группы в соответствии с выполненным заданием. Проверьте своё решение с решением товарищей. — Садитесь на свои места, посмотрите внимательно на экран и сверьте свою работу с образцом. (слайд 10-12)

Анализируют и делают вывод, что лишнее задание Б. — Лишнее задание Б, так как оно не подходит к теме нашего урока. Оно подошло бы к теме – сложение многозначных чисел. Формулируют уровень сложности заданий  и конкретизируют их. А – выполнить умножение столбиком В- вспомнить порядок действий и вычислить. Г- решить уравнение.   Выбирают и выполняют задание.               Собираются в группы по цвету фишек с целью взаимопроверки.   Сверяют решение с образцом на слайдах. Исправляют ошибки и фиксируют затруднения.

Познавательные УУД: — анализ с целью выделения главных признаков; — умение осознанно строить речевое высказывание  в устной форме; — выделение и поиск необходимой информации;   Коммуникативные УУД: — умение достаточно полно и чётко выражать мысли;   -интегрирование в группы и продуктивное взаимодействие.   Регулятивные УУД: — планирование; — контроль; — коррекция; — самооценка.

9.

Рефлексия учебной деятельности. Цель: — Оценить результаты собственной деятельности;   — Осознание метода построения границ применения нового знания.

Благодарит ребят за работу. Вы все очень постарались. — Огромное трудолюбие и ваша тяга к знаниям помогла нам сделать на уроке открытие. Эта удача приблизила ещё на один шаг каждого из вас к успеху. — Какая тема нашего урока?     — Какую учебную задачу мы ставили перед собой?   — Чему новому научились?     — Достигли мы успеха? На память о нашем уроке, чтобы вы ничего не забыли: домашнее задание, запишите в дневник. (Слайд 14) Проводит инструктаж домашнего задания. стр.13 № 40 (нижняя строчка)– обязательное для всех № 42 – предлагаю тем, кто не боится трудностей. Оценивание работы учащихся ВЫСТАВЛЕНИЕ ОЦЕНОК (по листу самоконтроля) — Где и в каких случаях знания, полученные на уроке, могут пригодиться в жизни?

Дети вспоминают тему и учебную задачу урока.  — Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями. — Научиться письменно умножать на числа, оканчивающиеся нулями.   — Научились письменно умножать на числа, оканчивающиеся нулями.   -Достигли.         Записывают задание в дневники.         Тот, кто поднялся, анализирует и оценивает свою работу на уроке.

Регулятивные: — оценка того, что усвоено, осознание качества и уровня усвоения. Познавательные: — умение структурировать знания;   Коммуникативные УУД: — аргументировать свои высказывания;

Письменное умножение многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями

Класс: 4 Предметная область: математика, УМК « Школа России» Составила учитель начальных классов: Завалищина Т. Ю.

Чкаловская школа – интернат московской области

Тип урока: урок «открытия» новых знаний. Первый урок в изучении темы.

Тема: «Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями».

Цели: формировать у учащихся умения овладеть письменным приёмом умножения на числа, оканчивающиеся нулями; использовать данный прием в системе ране изученных знаний; совершенствовать вычислительные навыки, умение решать задачи.

Учебные задачи, направленные на достижение личностных результатов обучения:

— принятие и освоение социальной роли обучающегося, развитие мотивов учебной деятельности и формирование личностного смысла учения.

Учебные задачи, направленные на достижение метапредметных результатов обучения:

— овладение способностью принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, поиска средств её осуществления;

— готовность анализировать, сравнивать, делать выводы, составлять алгоритм решения и пользоваться им; слушать собеседника и вести диалог; готовность признавать возможность существования различных точек зрения, излагать своё мнение и аргументировать свою точку зрения; готовность оценить свою работу.

Учебные задачи, направленные на достижение предметных результатов обучения:

— Формирование умения выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями; составлять краткую запись и рассуждать по ней; решать текстовые задачи, уравнения, определять части круга, переводить одни единицы времени (длины) в другие; выполнять и строить алгоритм; представлять, анализировать данные.

Оборудование урока: ПК, презентация к уроку, раздаточный материал (карточки с заданиями, алгоритм  умножения на карточках). Учеб

ник: М.И.Моро « Математика» 4 класс, часть 2.

Прогнозируемые результаты:        

Предметные. В конце урока ученики должны знать: 1. Алгоритм письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями.

2.Уметь письменно умножать на числа, которые оканчиваются нулями.

Метапредметные

1.Умеют ставить учебную задачу и самостоятельно формулировать выводы.

2.Умеют слушать собеседника, излагать своё мнение и аргументировать свою точку зрения.

Личностные. Должны уметь сотрудничать с учителем и сверстниками

№ п./п

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые УУД (называть виды с расшифровкой)

I.

Организационный

момент (1 мин)

Цель:

мотивация учащихся к учебной деятельности на личностно-значимом уровне

Создаю условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность.

Прозвенел звонок – начинается урок.  

Чтоб урок прошёл прекрасно,              

Хорошо, отлично, классно                    

Наберитесь вы терпенья,

Лень отбросьте  и тогда, все получится, друзья!

Хором дополняют реплику учителя.

Садятся за парты

Личностные УУД:

Самоорганизация на учебную деятельность.

II

Этап подготовки

к активному, сознательному усвоению знаний.

/5 мин./

1.Устный счет: 9000 х 7; 2500 х 3; 4700 х 2

2.Проверка домашнего задания (Вычислить результаты удобным способом. № 36(с. 12))

— Проверим первый и четвертый примеры.

12 х (5 х7)

— Назовите значение выражения.

— Какой способ вам помог найти результат?

— Поднимите руку, кто выбрал такой же способ?

17 х (4 х 10)

— Почему?

— Каким свойством пользовались при вычислениях?

9 сот. х 7 = 63 сот. = 6300

Объясняют свой выбор

(420) (Ученик: «Я считаю, что удобно (12х5) х7, т. к. в первом действии получаю круглые десятки, а их легко умножить на 7)

(Все)

17 х (4 х 10) – способ выбрал 1 ребенок

(17х4)х10 – остальные ребята

Это удобнее, т.к. двузначное число легче умножать на однозначное нежели на трехзначное

-Применяли свойство умножения числа на произведение.

Актуализировать знания для проведения простейших математических вычислений

Развитие навыков формулировки личной оценки, аргументирования своего мнения

Познавательные УУД:

— Общеучебные;

— Логические;

III.

Постановка темы и задач урока

(3мин)

1.)Самоопределение к деятельности.  

Коммуникативные УУД:

— умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

Создание проблемной ситуации. 

/Цели:

выявление места и причины затруднения, постановка цели урока;

.

 

6·9=

26·3 139·0

    264·10   

92· 100

532·300

Веду подводящий диалог.

— Посмотрите внимательно на экран и предложите работу, которую мы можем выполнить.

-Предлагаю, прежде чем вы назовёте произведение, объяснить приём умножения.

( По мере поступления ответов на экране появляются результаты рассуждения)

(Слайд 3)

Участвуют в диалоге, объясняют приемы умножения.  

— Можно  посчитать фигуры. (Считают)

— Можно назвать доли круга. (Называют)

— Можно найти значения выражений.

1) табличное умножение

2) внетабличное умножение       

( разбиваем на разрядные слагаемые)

3) умножение на нуль.

4) умножение на 10 (умножить на 1 и добавить 0)

5) умножение на 100 (приписать к 92 два нуля)

6) В ¼ круга — такие примеры не решали

Цель:

активизировать у учащихся мыслительные операции, внимание, память и побудить к осознанию темы

2. Постановка темы и учебной задачи

Ведёт побуждающий диалог.

— Почему вы затруднились назвать произведение в 1/4 круга?

Побуждаю к осознанию темы и цели урока.

— Как вы думаете, какова же тема нашего урока? 

Какие варианты   решения данной проблемы вы можете предложить?

Используйте ранее полученные знания, попробуете решить сами. 

— Какой вариант выберете и почему?

Участвуют в диалоге.

— Потому что с этим приёмом умножения ещё не знакомы (умножение на числа, оканчивающееся нулями, где первая цифра частного больше единицы)

Формулируют тему  урока.

-Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями.

Дети предпочитают « открывать» новое знание сами.

Познавательные УУД:

— постановка и формулирование проблемы

— поиск и выделение необходимой информации

Регулятивные УУД:

— целеполагание;

Коммуникативные:

— умение выражать свои мысли;

IV

.

«Работа по теме»

(Всего 15 мин)

1. « Открытие» детьми нового знания. 

/5 мин./

Цель:

построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению

2. Составление алгоритма письменного умножения многозначного числа на число, которое оканчивается нулями (3 мин)

1. Организует деятельность.

— У кого есть предположения, как можно его вычислить?

— Вы предложили устно выполнить вычисления. Как именно?

— Какой закон математики вы применили?             ( Слайд 4)

— Хорошо, если вычислим на калькуляторе, получим готовый ответ, мы пополним копилку наших знаний?

— Всегда ли устно можно быстро и правильно выполнить умножение многозначного числа, учитывая то, что числа могут быть достаточно большими?

— Какой способ мы можем ещё использовать?

— Умеем мы это правильно делать?

— Дайте более точную формулировку темы нашего урока. 

— Какую учебную задачу вы поставите перед собой? ( Слайд 5)

2.Предлагаю записать пример столбиком самостоятельно и решить его.

— Где мы можем проверить правильность наших рассуждений?

— Откройте учебники на стр.13, внимательно рассмотрите образец и сравните со своим решением.

— Я прошу поднять руку тех ребят, которые выполнили умножение так, как показано в учебнике.

— Молодцы. Значит, вы умеете применять ранее полученные знания. 

— Сейчас объясним приём умножения на доске.

3. Вызывает к доске ученика, верно решившего пример.

— Сделаем вывод

— Открытые вами знания позволят сформулировать алгоритм письменного умножения многозначного числа на числа, оканчивающиеся нулями.

4. Организую работу в парах по составлению алгоритма умножения.

— Чтобы правильно решать такие примеры, нужно знать алгоритм решения.

— Что такое алгоритм?

— Сейчас мы его составим. 

У вас на партах карточки, на которых напечатаны действия алгоритма. Работая и обсуждая в парах, вы разложите карточки в нужном порядке.

        

Вывожу алгоритм на экран. (Слайд 6)

Выдвигают гипотезы:

1- устно 532 х (3 х 100) =(532 х 3) х100

— Сочетательный закон

2 — на калькуляторе

-Нет. ( Представьте, что нет источника питания)

3 — столбиком.

Дети формулируют тему и учебную задачу урока.

— Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями.

— Мы должны научиться письменно умножать многозначные числа

/в столбик /на числа, которые оканчиваются нулями.

Пытаются решить пример самостоятельно.

— В учебнике.

Дети открывают учебники и сравнивают своё решение с образцом.

(8 человек решили так:

_х 532

300

159600

2 человека решили так:

_х 532

300

159600

Называют произведение в ¼ круга.

Объясняют приём умножения.

— 532 х 300

3х100, значит (опираясь на свойства умножения)

я сначала _х532

3_

и получу 1596, а затем

умножу на 100, (умножу на 1 и добавлю 00)

и получу 159600

— Выполняем умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписываем столько нулей, сколько содержится во втором множителе.

— Пошаговое выполнение действий.

Открывают конверты. Располагают карточки в нужном порядке.

Одна пара зачитывает. 

1.Второй множитель записываю так, чтобы нули остались в стороне.

2.Умножаю многозначное число на число, не обращая внимания на нули.

3.К полученному результату приписываю нули.

4.Читаю ответ.

Познавательные УУД:

— построение логической цепи рассуждений;

— самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера;

Коммуникативные УУД:

— инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации со сверстниками и учителем;

Познавательные УУД:

— построение логической цепи рассуждений;

— самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера;

Умение сравнивать, анализировать, давать оценку своим действиям

Создание алгоритма деятельности при решении проблемы.

V.

3. Первичное закрепление с проговарива-

нием. 

/4 мин./

Цель:

Зафиксировать способ письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями в решении примеров.

4. Самостоятельная работа (3мин)

Включение нового  в систему знаний и повторения.    

/Всего13 мин./

1.Работа по карточками с прогнозированием результатов.

Закрепление новых знаний и повторение (3 мин)

Задачи перед детьми: прогнозировать свои результаты; сравнивать прогноз и результат; объяснять причину ошибки

Организую работу по закреплению нового знания.

1)Фронтальная работа с проговариванием вслух.

— Закрепим полученные знания, выполнив письменное умножение с объяснением на доске.     ( С.13 №40 – 1 строчка)

 

— Понятен ли вам этот вычислительный приём?

— Как проверить, что вы его усвоили?

2) Самостоятельная работа (с.13 №40 – 2 строчка)

Даёт инструктаж по выполнению задания.

1)Работа с карточкой

— У каждого из вас имеется карточка. На ней записаны 2 задания: первое в виде теста, а второе — задача                                                                            

1. Укажи произведение чисел 154 х 500

7700 77000 77200

2*. Пол в коридоре нужно покрыть прямоугольным куском линолеума длина которого 2м , а ширина 8 дм 5 см. Какова его площадь?

Предлагаю спрогнозировать предполагаемый результат:  в верхнем углу карточки и около второго задания вы видите овалы.

— Закрасьте их зелёным цветом, если вы уверены в своих силах. Жёлтым цветом – если сомневаетесь. Красным цветом – если вам нужна помощь.

— Кому нужна помощь, обращайтесь к алгоритму. ( А тем, кто запутался с задачей предлагаю карточку с частичным планом решения)

 — Критерий оценки – правильность счёта, безошибочность. А теперь приступим.

— Передайте карточку соседу.

Вывожу ответы к заданию  на экран.

 ( Слайд 7)

— Если  нет ошибок, закрасьте нижний треугольник зелёным цветом, если есть ошибки – жёлтым.

— Верните карточку владельцу.

— Совпал ли ваш прогноз с результатом?

Два ученика работают у доски, остальные в тетради.

— Решить примеры самостоятельно.

Решают. Выполняют взаимопроверку и, если понадобится, оказываю помощь друг другу.

Прогнозируют результат и выполняют задание.

        

Взаимопроверка по готовым ответам с со слайда.

— Ответы детей / Мой прогноз совпал с результатом, был уверен и правильно выполнил.

— Мой прогноз не совпал с результатом, я был уверен, что справлюсь, но допустил ошибку./

Решают.

Проверяют и сравнивают, закрашивают.

Делают вывод и, если надо, исправляют ошибки.

КоммуникативныеУУД:

Умение выражать свои мысли;

 Регулятивные УУД:

Овладение алгоритмом умножения;

Регулятивные УУД:

Самоконтроль;

Коррекция

Взаимопроверка

Прогнозирование результатов.

Сравнение прогноза и результата

Коммуникативные УУД:

Учебное сотрудничество;

Физминутка

(2 мин) 

Музыкальная пауза

;

2.Какое из заданий не отвечает теме нашего урока?

/5 мин. /

Цель: учить анализировать с целью выделения новогоприема умножения среди материала для повторения..

Тренировать способность к самоконтролю по эталону и самооценке.

Учить работать в группах и четко выражать свои мысли.

3. Работа над задачей в учебнике

(5 мин)

Цель: создать условия для индивидуального рассуждения над ходом решения задачи, используя совместно составленную таблицу.

1) Организую  индивидуальную работу с последующей проверкой в группе и самопроверкой по эталону.

-Внимание на доску. Перед вами 4 задания. 

— Какое из данных заданий не отвечает теме нашего урока?

— обычное

а) 6 324· 50 — 736·300  

б) х : 4= 432·200  — сложное

в)6 895+ (72 456 — 658)

г) 2сут. =_______мин — самое сложное

Осталось 3 задания. 

— Выберите себе то, которое для вас  более интересно и которое вы в силах выполнить.

— Выполните его.

/ Прохожу по классу, наблюдаю, какой уровень выбрал каждый из учащихся и кладу рядом с его работой фишку (цвет фишки – уровень сложности выбранного задания)/

— Ребята, попрошу вас собраться в группы в соответствии с выполненным заданием. Проверьте своё решение с решением товарищей.

— Посмотрите внимательно на доску и сверьте свою работу с образцом.

2) Организую работу над задачей.

— Вернёмся к учебнику. Задача № 43 (с. 13)

— Прочитайте задачу.

— О чём говорится в задаче?

— Что известно?

— Как звучит вопрос задачи?

— Как удобнее записать условие задачи?

— Правильно, в виде таблицы.

/В ходе работы составляется таблица/                                                      

— Обведите главный вопрос задачи.

— Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?

-. Каких данных не хватает во второй строчке, чтобы ответить на этот вопрос?

— Что еще необходимо знать, чтобы найти количество фломастеров, если известно общее количество предметов?

— Какая строчка таблицы поможет найти число карандашей?

-Кто может провести свое рассуждение по таблице?

— Кто может рассказать ход решения задачи?

— Кто затрудняется? (Индивидуальный подход)

Предлагаю решить задачу в тетрадях.

Ответ обсуждаем всем классом.

Взаимоконтроль с проверкой по эталону. 

/3 мин./

Цель:

-Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.

— Проверить способность к умножению многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями.

Анализируют и делают вывод, что лишнее задание в).

— Лишнее задание в), так как оно не подходит к теме нашего урока. Оно подошло бы к теме – сложение многозначных чисел и порядок действий.

Формулируют уровень сложности заданий  и конкретизируют их.

а) – обозначить порядок действий, выполнить умножение и сложение столбиком

в)- решить уравнение

г) – перевести одни единицы времени в другие

Выбирают и выполняют задание.

Собираются в группы по цвету фишек с целью взаимопроверки.

Сверяют решение с образцом на доске

Исправляют ошибки.

    

Дети отвечают на вопросы учителя по содержанию задачи.

Кол-во в 1 кор.

Кол-во кор.

Всего штук

карандаши

12шт.

40 к.

?

560

   

фломастеры

? шт.

10 к.

?

1 ученик  записывает решение задачи на доске.

(Количество фломастеров в одной ко-ке)

(- Нет)

(- Количество фломастеров в 10 кор-ках)

(- Надо знать количество карандашей в 40 коробках)

(- Первая)

Один из учеников рассказывает ход решения задачи.

Рассуждение начинают так: -Из первой строки таблицы могу найти количество карандашей в 40 коробках (40 х 12) – эту сумму вычту из 560 и найду недостающее число в 3 столбике, т. е. общее число фломастеров. Осталось ответить на главный вопрос.

( Решают.) Оценивают свою работу

Познавательные УУД:

— анализ с целью выделения главных признаков;

— умение осознанно строить речевое высказывание  в устной форме;

— выделение и поиск необходимой информации.

Коммуникативные УУД:

— умение достаточно полно и чётко выражать мысли;

-интегрирование в группы и продуктивное взаимодействие.

Регулятивные УУД:

— планирование;

— контроль;

— коррекция;

— самооценка.

10.

11.

12

Итог урока

1 мин

Рефлексия учебной деятельности.

/ 2 мин./

Цель:

— Оценить результаты собственной деятельности.

Домашнее задание

(1 мин)

— Какая тема нашего урока?

— Какую учебную задачу мы ставили перед собой?

— Что надо помнить, выполняя умножение чисел, оканчивающихся нулями, столбиком?

— Поднимите руку кто уверен в том, что понял новое правило письменного умножения?

— Какой этап урока вам больше понравился? Оцените свою работу на уроке.

Провожу инструктаж домашнего задания.

С. 14 № 47

Дети вспоминают поставленную цель и учебную задачу урока.

 — Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями.

— Научиться письменно умножать на числа, оканчивающиеся нулями.

— Выполнять умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписывать столько нулей, сколько содержится во втором множителе.

Ответы детей

Анализируют и оценивают свою работу на уроке.

 .

Записывают задание в дневники.

Регулятивные: 

— оценка того, что усвоено, осознание качества и уровня усвоения.

Познавательные: 

— умение структурировать знания;

Коммуникативные УУД:

— аргументировать свои высказывания;

                                             

Цель:

— закрепить умение решать текстовые задачи;

— применение нового способа действия;

— создание ситуации успеха.

Б) Умножение на числа, оканчивающиеся нулями — Мегаобучалка

Следует отметить, что при изучении умножения, многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями, вычисления обязательно опираются на случаи умножения и деления на числа 10, 100,1000. Эти случаи умножения и деления уже рассматривались с детьми при изучении еще нуме­рации многозначных чисел. Теперь к этим случаям умножения и деле­ния обязательно следует вернуться. Причем их не целесообразно разде­лять, как это предлагают авторы учебников.

Теоретической основой вычислительного приема, используемого при умножении на числа, оканчивающиеся нулями, является правило умно­жения числа на произведение. Это правило является для детей новым. Его рассмотрению следует уделить внимание. Однако, по сравнению с другими правилами, при раскрытии его сути достаточно использовать только числовой материал.

Приведем вариант разговора с детьми, который может быть таким.

Учитель. Прочитайте выражение и вычислите его значение 2 • (3 • 4)

Дети. Число 2 умножить на произведение чисел 3 и 4. Чтобы вычис­лить значение, надо найти произведение (выполнить действие в скоб­ках), получаем 12, а затем 2 умножить на 12, получим 24.

Учитель. Давайте запишем.

2 •(3•4) = 2 • 12=24.

А теперь давайте попробуем умножить число 2 на произведение чисел 3 и 4 по-другому. Умножим вначале число 2 на первый множитель 3. А затем, что надо сделать?

Дети. Полученный результат умножить на второй множитель 4.

Учитель. Верно, то есть, 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4 = 6 • 4 = 24.

Ответ мы получили один и тот же. О чем это говорит?

Дети. Рассуждения ведем верно.

Учитель. А теперь давайте попробуем число 2 умножить на второй множитель:

2 • (3 • 4) = (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24.

Видим, что результат один, значит, рассуждали верно. Давайте обоб­щим и сделаем вывод, как можно умножать число на произведение.

Дальнейшая работа над правилом продолжается в том же плане, как и для всех других:

— формируем умение применять все три способа вычислений;

— учим выделять удобный способ;

— учим применять правило для вычислений.

Затем переходим к рассмотрению случаев умножения многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями. Начинаем с устного приема, чтобы показать ход рассуждений. Например:

12 • 40 = 12 • (4 • 10) = (12 • 4) • 10 = 48 • 10 = 480.

Подводим детей к выводу, что фактически умножаем 12 на 4 и при­писываем столько нулей, сколькоих во втором множителе. Затем дается задание объяснить решение примера:

306 • 90 = 306 • (9 • 10) = (306 • 9) • 10 = 2754 • 10 = 27 540.

После этого переходим к рассмотрению письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями, т.е. к записи в столбик.

Предлагаем решить пример. 583 • 70. Выясняем, что устно решить трудно, Надо записать столбиком. Как это сделать? Это покажет ход рассуждений. 583 • 70 = 583 • (7 • 10) = (583 • 7) • 10 = 4081 • 10 = 40810.

Значит, 583 будем умножать на 7, а полученный результат умножим на 10. Отсюда запись: второй множитель 70 пишем так, чтобы цифра 7 стояла под цифрой 3.

583 583

Х х

7 70

4 081 41 810

Рассуждения: 583 умножим на 7, получим 4081 и приписываем ноль, получаем 40 810.

Отдельно выделяется и рассматривается случай, когда оба множителя оканчиваются нулями. Начинаем опять с устного приема, чтобы уяснить ход рассуждений.

30 • 50 = 3 дес. • (5 • 10) = (3 дес. • 5) • 10 = 150 дес. = 1500.

800 • 60 = 8 сот. • (6 • 10) = 48 сот. • 10 = 48 000.

2600 • 60 и т.д.

Подмечаем с детьми, что практически надо перемножить значащие час­ти чисел и приписать столько нулей, сколько их в двух множителях вместе.

Такие примеры записываются в строчку и решаются устно. При пись­менном умножении запись делается в столбик, причем эта запись долж­на отражать ход рассуждений.

2600 4250 1860

^х 80 ^х 70 х 300

208000 297500 558000

Следует обратить внимание на тот факт, что после ознакомления с новым приемом вычисления, где надо один из множителей представлять в виде произведения, учащиеся начинают путать этот прием умножения числа на произведение с приемом умножения числа на сумму.

1. Чтобы предупредить такие ошибки надо предлагать учащимся упраж­нение на сравнение соответствующих приемов вычисления. Например:

15 • 60= 15•(б • 10) = (15 •6) • 10 = 90 •10=900.

15 • 14 =15•(10+4)== 15• 10 + 15 • 4 = 150 + 60 = 210.

В) Умножение на двузначное и трехзначное число

Теоретическая основа вычислительных приемов, используемых при рассмотрении этих случаев умножения — правило умножения числа на 4 сумму, которое предварительно изучается.

Рассмотрение случаев умножения на двузначное число полезно на­чать с устного приема, чтобы показать ход рассуждений:

14•13 =14•(10+3)= 14 • 10 + 14 • 3 = 140 + 42 = 182.

Затем целесообразно усложнить задание. 67 • 45 = 67 • (40 + 5) = 67 • 40 + 67 • 5 = 2680 + 335 =3015.

Устно выполнить трудно, можно предложить сделать вычисления письменно.

67 67 2680

х х +

40 5 335

2680 335 3015

В ходе этих рассуждений подводим детей к выводу, что надо найти два неполных произведения и их сложить, то есть данное число умножа­ем на число десятков второго множителя; затем это число умножаем на число единиц второго множителя. Полученные результаты складываем. Если устно умножать трудно, лучше записать столбиком. Умножать на­чинаем с единиц. Показываем ход рассуждений при этом.

Х 45

+2680

Умножаем 67 на 5, получим 335 единиц. Теперь умножим 67 на 40. Для этого умножаем 67 на 4 и полученное число умножим на 10, получаем 2680. Обращаем внимание, что 335 и 2680 — это неполные произведения. Число 3015 — полное произведение, или окончательный результат.

Обращаем внимание учащихся на то, что второе неполное произведение — это результат умножения на круглые десятки, поэтому всегда в нем на месте единиц стоит 0, его обычно не пишут. Это неполное произведение указывает на количество десятков в нем, его и начинают записывать под десятками пер­вого неполного произведения.

Таким образом, рассуждения ведем так: 67 умножим на 5 единиц, получаем 335 единиц — первое неполное произведение. Теперь 67 умно­жим на 4 десятка, получаем 268 десятков — второе неполное произведе­ние. Складываем.

При умножении на трехзначное число следует подвести детей к вы­воду, что рассуждения в принципе те же, только здесь будет добавляться только третье неполное произведение, а значит, третье слагаемое — ка­кое-то количество сотен. Третье неполное произведение начинаем записывать под сотнями первого неполного произведения.

Практика показывает, что для того чтобы выработать прочные навыки безошибочных вычислений, нужно прорешать значительно количество упражнений и необходима достаточная тренировка. Кроме того, успех зависит и от того, насколько прочны знания учащихся таб­лицы умножения и как уверенно дети овладели навыками сложения двух-трех чисел.

После того как рассмотрены общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число, рассматриваются частные случаи умножения, а имен­но случаи умножения чисел с нулями в середине второго множителя, Фактически здесь учащиеся встречаются с тем же самым приемами вы­числений, но с некоторыми особенностями.

Например, 829 • 703. Для первого такого примера целесообразно пока­зать детям более подробную запись:

829

х

703

+

После обсуждения дети подводятся к выводу, что второе неполное произведение здесь можно убрать. Отсюда приходим к записи:

Х 703

+5803

Такой подход позволит предупредить возникновение у детей ошибок в записи второго неполного произведения для аналогичных случаев.

Умножение на числа, выходящие за пределы трехзначных (4-хзначные, 5-значные и др.) по существу не отличаются от умножения на трехзнач­ное число. Поэтому, овладев навыками умножения на трехзначное число, ученики смогут овладеть умением умножать многозначные числа на лю­бое число.

И опять после рассмотрения всех случаев умножения многозначных чисел вводится умножение составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах. Здесь умножение целесообразно выполнять одним способом: составное именованное число заменяется простым, выполня­ют действие над отвлеченными числами, а затем полученное простое име­нованное число заменяют составным.

7 м 85 см·18 = 141 м 30 см 4 ц 90 кг • 26 = 127ц 40 кг

 

Х 18

+785

См)

При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо до­биться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных навыков. А для этого надо своевремен­но и разумно сокращать объяснение решения и переходить к кратким пояснениям. Большее значение в этом имеет тщательно подобранная си­стема тренировочных упражнений.

Умножение чисел,запись которых оканчивается нулями.

2.

Актуализация знаний . /5 мин./ Цель: Готовность мышления и осознания потребности к построению нового способа действий.

Веду подводящий диалог. ( Активизирую у учащихся мыслительные операции, внимание, память) — Посмотрите внимательно на экран. Перед вами числовые выражения. -Какую закономерность вы установили, исследуя первое выражение. ? -Предлагаю, прежде чем вы назовёте произведение, объяснить приём умножения. 1)6·9= 54 2) 26·3 3) 139·0 4) 264·10 5) 92· 100 6) 500·5 ( По мере поступления ответов на экране появляются результаты рассуждения)

Участвуют в диалоге. — Можно выявить закономерность. 1) табличное умножение 2) внетабличное умножение ( разбиваем на разрядные слагаемые) 3) умножение на нуль 4) увеличение числа в 10 раз, приём умножения на 10 5) приём умножения на 100 6) затрудняются

Познавательные УУД: — Общеучебные; — Логические; Коммуникативные УУД: — умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

3.

Постановка учебной задачи. Создание проблемной ситуации. /5 мин/ Цель: Выявление места и причины затруднения, постановка цели урока.

1. Веду побуждающий диалог. — Почему вы затруднились назвать произведение в 6 снежинке? Побуждаю к осознанию темы и цели урока. — Как вы думаете, какова же тема нашего урока? — Я предлагаю вам два варианта решения данной проблемы. 2. Стимулирую к деятельности. Предлагаю два варианта: — Первый : Сама покажу вам приём умножения. Второй – на основе ранее полученных знаний попробуете решить сами. — Какой вариант выберете вы и почему

Участвуют в диалоге. — Не можем, так как с этим приёмом умножения ещё не знакомы (умножение числа, оканчивающегося нулями) Формулируют тему урока. -Умножение чисел, запись которых оканчивается нулями. Дети предпочитают « открывать» новое знание сами.

Познавательные УУД: — постановка и формулирование проблемы — поиск и выделение необходимой информации Регулятивные УУД: — целеполагание; Коммуникативные: — умение выражать свои мысли;

4

. « Открытие» детьми нового знания. /9 мин./ Цель: Построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению.

1. Организую деятельность. — Великий Сократ говорил о том, что научиться играть на флейте можно только, играя самому. -Так и вы можете научиться умножать такие числа, думая только своей головой и пытаясь решить самостоятельно. — У кого есть предположения, как можно его вычислить? — Хорошо, если вычислим на калькуляторе, получим готовый ответ, мы пополним копилку наших знаний? Как будем выполнять? — Вы предложили устно выполнить вычисления. Как именно? Может кто-то из вас сможет объяснить, как можно умножить 500 на 5? 5 сот. · 5 = 25 сот. = 2500 18000* 3 =18 тыс. * 3 = 54 тыс.= 54 000 Сколько нулей в первом и втором множителях? (2) А в произведении?(2) Какой вывод можно сделать? — Всегда ли устно можно быстро и правильно выполнить умножение многозначного числа, учитывая то, что числа могут быть достаточно большими? — Какой способ мы можем ещё использовать? — Умеем мы это правильно делать? — Дайте более точную формулировку темы нашего урока. — Какую учебную задачу вы поставите перед собой? 2.Предлагаю записать пример столбиком самостоятельно и решить его. А сейчас научимся записывать столбиком. Обратите внимание на запись. Что вы заметили? Где пишем второй множитель? 380 .9 8400 .7 69000 . 4 380 8400 69000 9 7 4 3420 58800 276000 Многозначное число, в записи которого есть нули, мы умножаем также как и без нулей. Только в конце решения сносим столько нулей, сколько их в множителе. — Сейчас объясним приём умножения на доске. 3. Вызываю к доске ученика, верно решившего пример. 8400 * 7 — У кого другая запись? 4. Организую работу в парах по составлению алгоритма умножения. — Чтобы правильно решать такие примеры, нужно знать алгоритм решения. — Что такое алгоритм? — Сейчас мы его составим. У вас на партах карточки, на которых напечатаны действия алгоритма. Работая и обсуждая в парах, вы разложите карточки в нужном порядке. Вывожу алгоритм на экран.

Выдвигают гипотезы: — устно — на калькуляторе — столбиком. -Нет. -устно. Объясняют приём умножения. Умножаем числа без нулей, а потом их приписываем. — Не всегда. — Решение столбиком. Дети формулируют тему и учебную задачу урока. — Письменное умножение чисел, запись которых оканчивается нулями. — Мы должны научиться письменно умножать многозначные числа /в столбик Пытаются решить пример самостоятельно. Под первой цифрой справа отличной от нуля. Объясняют приём умножения. — Выполняем умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписываем столько нулей, сколько содержится в множителе. — Пошаговое выполнение действий. Располагают карточки в нужном порядке. Одна пара зачитывает. 1.Второй множитель подписываю под первой цифрой справа, чтобы нули остались в стороне. 2.Умножаю многозначное число на число, не обращая внимания на нули. 3.К полученному результату приписываю столько нулей, сколько их на конце первого множителя. 4.Читаю ответ.

Познавательные УУД: — построение логической цепи рассуждений; — самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера; Коммуникативные УУД: — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации со сверстниками и учителем;

Конспект урока «Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями»

Тема урока «Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями»

1. Орг. момент

— На этом уроке мы рассмотрим письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями. Узнаем, как правильно умножать подобные числа в столбик, как можно использовать правило умножения числа на произведение чисел для облегчения умножения. Решим несколько примеров обеими способами. Пример 1

Рассмотрим выражение: . Воспользуемся правилом умножения числа на произведение чисел, для этого заменим число 20 на произведение чисел 2 и 10, получим:

Удобно сначала умножить 134 на первый множитель, а затем получившийся результат умножить на второй множитель, ведь второй множитель – круглое число.

Умножение данного выражения можно записать столбиком. Для этого число 20 запишем таким образом, чтобы цифра 2 оказалась под единицами первого множителя:

Число 20 – это 2, умноженное на 10, умножим сначала число 134 на 2, не обращая внимания на ноль. 4 единицы умножить на 2 – 8 единиц, 3 десятка умножить на 2 – 6 десятков, и 1 сотня умножить на 2 – 2 сотни, получаем результат:

Умножим его теперь на второй множитель 10 и получим ответ:

Ответ: 2680.

Пример 2

Рассмотрим выражение: . Воспользуемся правилом умножения числа на произведение чисел, для этого заменим число 400 произведением чисел 4 и 100:

При умножении числа на произведение чисел можно умножить сначала число на первый множитель, а затем получившийся результат умножить на второй множитель.

При записи вычислений в столбик запишем число 400 так, чтобы цифра 4 была под цифрами единиц первого множителя.

Умножим 316 на 4, не обращая внимания на нули.

, 4 записываем, 2 десятка запоминаем.

Далее, , и еще два запоминали, записываем .

И сотни: .

Теперь умножим результат на второй множитель 100, для этого достаточно приписать два нуля:

Ответ: 126 400.

Пример 3

Рассмотрим частный случай умножения, когда оба множителя заканчиваются нулями.

530 – это 53 десятка. Заменим число 300 на произведение чисел 3 и 100:

Умножим 53 десятка на первый множитель 3, а затем получившийся результат умножим на второй множитель 100, получим:

При записи умножения в столбик запишем число 300 таким способом, чтобы цифра 3 оказалась под цифрой десятков первого множителя.

Умножим 53 на 3, не обращая внимания на нули.  – это единицы,  – это десятки.

То есть, 53 дес. умножили на 3 и получили 159 дес. Теперь умножим на второй множитель 100. Для этого припишем два нуля.

Получили 15 900 дес. Перенесем один ноль, получим 159 000:

Ответ: 159 000.

Заключение

Мы сегодня учились выполнять письменное умножение чисел, оканчивающихся нулями.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).

2. Myshared.ru (Источник).

3. Infourok.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Выполните умножение в столбик:

Познакомимся с письменным приёмом умножения на числа, оканчивающиеся нулями

Познакомимся с письменным
приёмом умножения на числа,
оканчивающиеся нулями.
Открой учебник на стр. 115.
Рассмотри решение примеров нового вида.
Обрати внимание на запись цифры 0.
Какой пример верный у меня?
423·300=12
423·30=12 690
690
Запишите и самостоятельно реши данное выражение столбиком.
423·30= 423
× 30
Проверь себя!
423
× 30
12690
Запишите и самостоятельно реши данное выражение столбиком.
423·300=423
× 300
Проверь себя!
423
× 300
126900
Алгоритм записи и решения
умножения на однозначное число.:
1) Записываем первый множитель.
2) Второй множитель записываем так, чтобы нули
остались в стороне.
3) Умножаем многозначное число на число, не
обращая внимания на нули.
4) К полученному результату приписываем нули.
5) Читаем ответ.
Самостоятельно реши числовые выражения,
записывая в тетрадь вычисления столбиком.
585·70=
1)
2)
3)
4)
5)
646·30=
Записываем первый множитель.
Второй множитель записываем так, чтобы нули остались в стороне.
Умножаем многозначное число на число, не обращая внимания на нули.
К полученному результату приписываем нули.
Читаем ответ.
Проверь себя .
585·70=40 950 646·30=19380
585
646
× 70
× 30
40950
19380
Проверь себя .
585·70=40 950 646·30=19380
585
646
× 70
× 30
40950
19380
718·300=
718
× 300
1)
2)
3)
4)
5)
2406·30=
2406
×
30
Записываем первый множитель.
Второй множитель записываем так, чтобы нули остались в стороне.
Умножаем многозначное число на число, не обращая внимания на нули.
К полученному результату приписываем нули.
Читаем ответ.
Приготовься самостоятельно
Записывать решения задач в тетрадь.
Вычисления делай столбиком.
Скорость моторной лодки 15 км/ч.
Сколько времени ей понадобится,
чтобы преодолеть расстояние в 90 км?
Запиши решение задачи в свою тетрадь.
Для записи ответа переведите часы в минуты.
Такой получился ответ?
240 мин
МОЛОДЕЦ!
А что нам помогло справиться
с трудностями?
Что было легко?
Как умножали на число
оканчивающееся нулями?

Умножение чисел с нулями

В сегодняшнем посте мы узнаем, как умножить чисел, после которых идут нули.

Вы можете перемножить их, как любое другое число, но у нас есть способ научить вас, и этому легко научиться!

Самое важное, когда вы изучаете трюк, — это помнить, почему он работает именно так; Итак, давайте начнем, и вы увидите, что вы узнаете это в кратчайшие сроки и запомните навсегда.

Пример # 1:

Первая задача умножения, которую мы рассмотрим, это…

Давайте решим задачу, как обычно, поместив числа в столбцы:

Посмотрите на проблему.После того, как вы хорошо его рассмотрите, продолжайте читать.

А теперь перейдем к чему-нибудь посложнее:

Если мы разместим числа в столбцах, мы увидим, что:

Подумайте, что происходит с нулями? Давайте попробуем поставить нули после 3…

Еще раз введем числа в столбцы:

Внимательно посмотрите на все решенные нами задачи умножения.Что случилось с нулями? Нули из 5 и 3 «перескочили» к окончательному ответу, верно? Теперь убери все нули из задач. Какие числа действительно нужно умножать?

Тогда вам просто нужно посчитать количество нулей и прибавить их к 15!

Давайте посмотрим на другие примеры:

Подводя итог, чтобы перемножить числа, после которых идут нули…

Здесь у нас есть задача умножения с числами, за которыми следуют нули:

Давайте выполним следующие шаги:

1. Определите нули и сосчитайте их:

В этом примере у нас пять нулей, два позади 6 и три позади 8 .

2. Умножение ненулевых чисел:
3. Окончательным ответом будет число, полученное на шаге 2, за которым следуют нули, которые мы подсчитали на шаге 1:

Итак, осталось:

Что вы думаете? Это просто!

Нам нужно знать , как умножить , чтобы выполнить шаг 2, поэтому мы подготовили несколько ссылок, которые могут вам помочь:

Также не стесняйтесь зарегистрироваться в Smartick, чтобы продолжить изучение математики !!

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создавать максимально качественные математические материалы.

Что означает ноль при многозначном умножении?

В течение последних двух недель я требовал от своих учеников проходить проверку вычислений каждый день, потому что, даже если они, возможно, усвоили навык, они плохо владеют ни одной из 4 операций. Каждый день ученики решают 4 вычислительных задачи, относящиеся к одной из 4 операций.Первая задача — это всегда вычитание с нулями, вторая задача — умножение двух цифр на две цифры, третья задача — деление, а последняя задача — вычитание с нулем в середине. Я ежедневно оцениваю задачи, чтобы ученики могли сразу же получить обратную связь, которая побудит их сделать лучше на следующий день.

С тех пор, как я выполнял проверку вычислений каждый день, я заметил, что некоторые из моих учеников более высокого уровня, которые очень хорошо решают задачи, испытывают трудности с вычислениями.Это стало настоящим открытием для меня, а также для этих студентов, потому что я стараюсь не обращать на них такого пристального внимания, потому что они не требуют такого внимания, как другие студенты. Что ж, этот один конкретный студент боролся с вычислениями до такой степени, что он постоянно получал 50 за каждый день. Итак, я решил привести его в свой класс вместе с другими учениками для репетиторства. Когда я обучаю двухзначному умножению на двузначное, я учу своих учеников видеть проблему как две отдельные задачи, потому что им легче увидеть ее таким образом; это помогает им разделить проблему на части вместо того, чтобы рассматривать ее как одну гигантскую проблему, состоящую из множества частей.Пока мы работали над проблемой, указанной ниже, студент спросил: «Могу ли я переставить 2?» Я ответил: «Вы можете переместить 2, но вам нужно добавить ноль, потому что 2 находится в разряде десятков, а вы фактически умножаете на 2 десятки, что составляет 20.»

Этот вопрос заставил меня понять, почему он был так сбит с толку, потому что я обучал каждому навыку в контексте значения места, но когда я обучал этому навыку, я не делал связи для студентов, явно говоря, что 2 в разряде десятков — это 2 десятки, что на самом деле 20.

На следующий день в классе я спросил студентов, почему мы ставим ноль на единицу, когда умножаем на десятки? Руки начали подниматься, но прежде, чем я позвал ученика, я сказал классу, что ответ был не ноль, а место. По всей комнате можно было видеть, как руки медленно опускаются. Это заставило меня понять, что многих моих студентов учили, что ноль — это заполнитель, и поэтому он НЕ имеет значения в системе счисления. Я не думаю, что учителя начальной школы понимают, что когда ученика учат, что ноль — это заполнитель, он посылает ученикам сообщение о том, что ноль всегда занимает место, и не укрепляет понимание того, что если ноль находится в числе, в этом нет ничего место.

Мой подход к обучению операциям с числами, имеющими ноль, изменился, потому что теперь я понимаю, что многие из моих учеников должны усвоить, что ноль имеет значение, даже если значение нуля — ничто.

Умножение на целые десятки и сотни

Это полный урок с инструкциями и упражнениями для четвертого класса об умножении на целые десятки и сотни. В уроке объясняется, как работает ярлык, а также объясняется, почему он работает.Он содержит множество упражнений для студентов, в том числе словесную задачу. Мы изучили ЯРЛЫКИ для умножения любого числа на 10, 100 или 1000: Чтобы умножить любое число на 10 , просто тег ОДИН ноль на конце. Умножить любое число на 100 , всего помечают ДВА нуля на конце. Чтобы умножить любое число на 1000 , просто тег ТРИ нуля на конце. 10 × 481 = 4,810 100 × 47 = 4700 1000 × 578 = 578 000 Обратите особое внимание на то, что происходит, когда число, которое вы умножаете, уже заканчивается на ноль или нули. Правило работает так же; вам все равно нужно пометить ноль или нули. 10 × 800 = 8000 100 × 6,600 = 660,000 1000 × 40 = 40 000 1.Умножить. а. 10 × 315 = _______ 3,560 × 10 = _______ 35 × 100 = _______ г. 100 × 6200 = _______ 10 × 1200 = _______ 100 × 130 = _______ г. 1000 × 250 = _______ 38 × 1000 = _______ 10 × 5000 = _______ SHORTCUT для умножения на 20 или 200 (Вы наверно догадываюсь!) Что такое 20 × 14? Представьте себе проблему без нуля. Тогда получается 2 × 14 = 28. Затем просто отметьте цифрой ноль 28, которые у вас есть, и получится 280. Так, 20 × 14 = 280. Что такое 200 × 31? Представьте себе проблему без нулей. Тогда это будет 2 × 31 = 62. Затем просто отметьте двумя нулями к полученному результату, так что вы получите получить 6200. Другими словами, 200 × 31 = 6200. 2.А теперь попробуйте! Умножьте на 20 и 200. а. 20 × 8 = _______ 4 × 20 = _______ 20 × 5 = _______ б. 200 × 7 = ________ 5 × 200 = ________ 11 × 200 = ________ г. 20 × 12 = _______ 35 × 20 = _______ 200 × 9 = _______ г. 20 × 16 = _________ 42 × 200 = ________ 54 × 20 = _________ Почему работает ярлык? Он основан на том, что умножать можно в любом порядке. При умножении на 20 мы можем заменить 20 на 10 × 2. Например: 20 × 14 = 10 × 2 × 14 В этой задаче сначала умножьте 2 × 14 = 28. Тогда задача принимает вид 10 × 28, что, как мы знаем, равно 280. 20 × 14 = 10 × 2 × 14 = 10 × 28 = 280 Вот и все! Попробуем то же самое с 200. Например, 200 × 31 = 100 × 2 × 31 В этой задаче сначала умножьте 2 × 31 = 62. Теперь задача принимает вид 100 × 62, что составляет 6200: . 100 × 2 × 31 = 100 × 62 = 6200 3.Попробуй сам! Заполните. а. 20 × 7 = ______ × 2 × 7 = 10 × ______ = ________ г. 20 × 5 = ______ × 2 × 5 = 10 × ______ = ________ г. 200 × 8 = ______ × 2 × 8 = 100 × ______ = ________ г. 200 × 25 = ______ × 2 × 25 = 100 × ______ = ________ 4. Сарай Марка имеет размеры 20 на 15 футов. Какова его площадь? Напишите число приговор. «А» означает площадь. А = __________________________________ 5. Напишите числовое предложение и найдите область подъездной дороги Марка. А = __________________________________ 6.Марку сказали, что ему нужно четыре грузовика гравия, чтобы покрыть подъездную дорожку. Один грузовик стоит 5 × 20 долларов плюс 30 долларов за доставку. Как много будет стоило ему засыпать подъездную дорожку гравием? КОРОБКА для умножения на целые десятки и целые сотни Тот же принцип работает, если умножить на целые десятки (30, 40, 50, 60, 70, 80 или 90): просто умножьте 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, а затем поставьте ноль в конечный результат. Аналогично, если умножить на какое-то целое сто, ПЕРВЫЙ умножить без эти два нулей, а затем пометьте два нуля к конечному результату. 50 × 8 = 400 90 × 11 = 990 300 × 8 = 2400 12 × 800 = 9 600 7. Умножить. а. 40 × 3 = ______ 8 × 20 = ______ г. 70 × 6 = _______ 50 × 11 = ______ г. 80 × 9 = _______ 30 × 15 = _______ г. 60 × 11 = _______ 12 × 40 = _______ эл. 200 × 9 = ______ 7 × 400 = ______ ф. 700 × 6 = ______ 600 × 11 = ______ г. 200 × 12 = ______ 15 × 300 = ______ ч. 3 × 1100 = ______ 8 × 900 = ______ и. 11 × 120 = ______ 8 × 300 = ______ Это даже работает так: Чтобы умножить 40 × 70, просто умножьте 4 × 7 и отметьте результат двумя нулями: 40 × 70 = 2 800 Чтобы умножить 600 × 40, просто умножьте 6 × 4, и отметьте результат тремя нулями: 600 × 40 = 24 000 Чтобы умножить 700 × 800, просто умножьте 7 × 8 и отметьте четыре нуля результат. 700 × 800 = 560 000 8. Умножение. а. 20 × 90 = _________ 70 × 300 = ________ г. 60 × 80 = ________ 30 × 900 = ________ г. 400 × 50 = ________ 200 × 200 = ________ г. 80 × 800 = ________ 200 × 500 = ________ эл. 100 × 100 = _______ 40 × 30 = ________ ф. 800 × 300 = ________ 90 × 1100 = ________ Напишите числовое предложение для каждого вопроса. 9.В одном часе ______ минут. Сколько минут в 12 часах? Сколько минуты в 24 часах? 10. В одном часе ______ минут, а в одном в минуте ______ секунд. Сколько секунд в часе? 11. Эд зарабатывает 30 долларов в час. а. Сколько он будет зарабатывать за 8-часовой рабочий день? г. Сколько он будет зарабатывать за 40-часовую рабочую неделю? г. Сколько дней ему нужно будет работать, чтобы заработать больше 1000 долларов? 12. Найдите недостающий фактор. Думайте «задом наперед»! Сколько нулей тебе нужно? а. _______ × 3 = 360 _______ × 50 = 450 г. 40 × _______ = 320 5 × ________ = 600 г. ________ × 40 = 400 ________ × 2 = 180 г. _______ × 30 = 4800 _______ × 200 = 1,800 эл. 40 × ________ = 2,000 6 × _________ = 4200 ф. ______ × 800 = 56 000 _______ × 20 = 12 000 Джон хотел доказать, что 40 × 70 — это действительно 2800 на . разбивая умножение на более мелкие части.Он написал 40 как 4 × 10 и 70 как 7 × 10, а затем умноженные в другом порядке: 40 × 70 = 4 × 10 × 7 × 10 = 10 × 10 × 90 238 (4 × 7) = 100 × 28 = 2,800. Вы делаете то же самое, и докажите, что 600 × 50 действительно 30 000. Этот урок взят из книги Марии Миллер «Math Mammoth Multiplication 2», размещенной на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Если умножить на 10, просто прибавишь ноль? Ужасы!?!

Мы спрашиваем, мы слушаем, мы учимся — одна из первых моих статей в блоге. (Я разместил его 5 января 2015 года.) Пост включает интервью нескольких студентов, ответивших на вопрос: Сколько будет 12,6 x 10?

В одном из видеоклипов Маллика Скотт берет интервью у Наташи, которая объясняет, как она решила дать неправильный ответ — 12. 60. Наташа объясняет: «Любое число, умноженное на 10, вы можете добавить ноль в конце».

Несмотря на то, что я написал блог более трех лет назад, Уэстли Янг недавно опубликовал комментарий, который частично касается стратегии «добавить ноль»:

Уэстли (который пишет в Твиттере как @Cukalu) поднял вопросы, которые давно меня беспокоят. Одной из проблем является мое беспокойство по поводу того, что ученики начальных классов замечают шаблон для умножения целых чисел на 10, а затем ошибочно применяют этот шаблон к десятичным, как это сделала Наташа.

Моя вторая проблема — это мои затруднения с тем, что делать со своими проблемами.

В элементарной математике учащиеся имеют опыт поиска закономерностей. Это может быть хорошо. Они изучают алгоритмы. Это тоже может быть хорошо. Их язык часто неточен. Это не так уж и хорошо, но они в процессе обучения, и обучение идет беспорядочно. Обучение тоже беспорядочное.

Многие мысли проносятся в моей голове, когда я размышляю над этим видеоклипом Наташи и над комментарием Уэстли. Что я должен делать как учитель? Как я могу помочь Наташе и похожим на нее ученикам передумать?

Моя первая мысль
Что, если бы я сказал что-то вроде этого Наташе:

Если Наташа ответила «да», я бы хотел услышать, почему она думала, что это правда.(Я думаю, что важно попросить студентов объяснить свои рассуждения, даже если они верны. Может быть, даже особенно, когда они правы.) Затем я мог бы сказать что-то вроде: «Интересно, как я могу умножить число на 10 и перевернуть и получите такой же ответ, как и число до того, как я умножил «. Может ли это помочь? Куда это могло привести?

Моя вторая мысль
Что, если бы я сказал Наташе что-то вроде этого:

Ура, тогда я попал бы в семантическую дыру, которая больше стимулирует закатывание глаз у студентов, чем глубокое математическое мышление. Наташа добавляла ноль не в том смысле, что она выполняла операцию сложения; вместо этого она писала / прикрепляла / добавляла (или как бы вы это описали) ноль к числу. Для 8 x 10 она сделает это и получит 80. Для 12,6 она сделала это и получила 12,60.

Моя третья мысль
Что, если бы я сказал что-то вроде этого Наташе:
Это идея, которую я хотел бы, чтобы студенты поняли, как указал Уэстли в своем комментарии. В классной обстановке, возможно, я напишу это на доске, предложу ученикам сначала поговорить с партнером, а затем попросить учеников поделиться своими идеями с классом о том, почему то, что я сказал, является математически верным.Думаю, они согласятся.

Что ж, предположим, студенты согласны со всеми этими утверждениями. Поможет ли это им по-другому подумать об умножении на 10? Я не уверен. Судя по моему опыту преподавания, обучение через рассказ часто неэффективно. Мои утверждения могут быть мне понятны, но подобные утверждения слишком часто являются математическим бла-бла для студентов.

Когда я прочитал это, я сказал себе: «Да!»

Роль контекстов
Хорошо, еще одна мысль. Марк Чабб (который пишет как @ MarkChubb3) написал блог под названием The Importance of Contexts and Visuals .В разделе об использовании контекстов он написал:

Когда я прочитал это, я сказал себе: «Да!»

И тут мне вспомнился еще один клип из того же интервью с Малликой и Наташей. Через несколько вопросов после того, как Наташа решила 12,6 x 10, Маллика попросила ее решить задачу со словами: Одна ручка стоит 1,39 доллара. Сколько стоят десять ручек?

Здесь Наташа снова сталкивается с умножением на 10. Она повторяет то, что она сказала при умножении 12,6 x 10: «Каждый раз, когда вы умножаете число на 10, вы просто добавляете ноль в конец.Но здесь, в контексте покупки ручек, она получает правильный ответ — 13,90 доллара. Подумав о том, что написал Марк, контекст проблемы побудил Наташу дать разумный ответ, а не то, что она сделала с проблемой голого числа. Взглянуть.

Где мои мысли?
Я все еще думаю. Как писал Марк, при умножении десятичных чисел на 10, если мы обосновываем опыт учащихся в контексте, у них будет больше шансов применить рассуждения, чтобы придать смысл, чем применять шаблон, который они выучили для целых чисел.(Было бы интересно поговорить со студентами о том, почему «закрепка на нуле» работает с целыми числами, а не с десятичными. Но это будет позже.)

Кроме того, в ответ на комментарий Уэстли о важности того, что на самом деле происходит с математической точки зрения, когда мы умножаем целые числа на 10, я думаю, что мне нужно признать, что учащиеся узнают шаблон, но продолжать помогать им понять шаблон математически. Слишком многие ученики считают умножение на 10 чистой удачей, особенно когда им не так легко умножать на другие числа.

Я знаю, что не касался другой части комментария Уэстли о том, что студенты «перемещают десятичную точку» как стратегию умножения десятичных чисел на 10. Я тоже слышал это объяснение и согласен с тем, что десятичная дробь на самом деле не перемещается. Может еще один блог?

Я все еще думаю. Приветствую твои мысли.

Постскриптум
Я понимаю, что один пример мало что доказывает. Вот видеоклипы двух других студентов, Дженнифер и Серджио, которые отвечают на те же два вопроса, что и Наташа.Для 12,6 x 10 Серхио попросил пропустить его, заявив, что не может понять ответ без бумаги и карандаша, в то время как Дженнифер дала неправильный ответ — 120,6. На контекстную проблему покупки 10 ручек по 1,39 доллара каждая Серхио и Дженнифер получают правильный ответ, каждый из которых рассуждает по-своему.

Стратегии умножения — Метод коробки

Когда я перешла в 3/4 класс, мне на колени оказался совершенно новый мир учебной программы. Поскольку я никогда раньше не учил умножению двойных и тройных цифр, я, естественно, начал учить своих учеников делать это именно так, как я научился. В методе алгоритма определенно нет ничего плохого, но со временем я обнаружил, что очень полезно изучить несколько других методов решения этих проблем. Этот пост посвящен моему новому фавориту…. Коробочный метод!

Первый шаг метода коробки — нарисовать коробку. Если вы умножаете две цифры на две цифры, ваше поле должно состоять из двух строк на два столбца. Для задачи три цифры на две цифры потребуются три строки и два столбца или две строки на три столбца (в любом случае работает из-за свойства коммутативности).

Затем вы расширяете каждый из факторов в соответствии с числовой стоимостью. Таким образом, 24 становится 20 + 4, а 35 становится 30 + 5. Каждая часть расширенной записи написана либо сверху, либо сбоку поля.

Шаг третий — умножить числа в сетке. Это похоже на магический квадрат. Умножьте верхнее число на число сбоку и поместите ответ в поле, где пересекаются строка и столбец. На этом этапе я учу детей умножать числа, оканчивающиеся на ноль.Я заставляю их полностью игнорировать нули для начала. Поэтому вместо того, чтобы беспокоиться о 20 x 30, они просто работают с 2 x 3. После того, как они написали 6, они подсчитывают, сколько нулей они проигнорировали в первую очередь (2), и складывают их, получая 600. Это действительно дает смысл для них, и он охватывает еще один математический стандарт в процессе!

Последний шаг — сложить все числа в поле.

Вот и все! Как только дети поймут, как установить коробку, они отлично справятся с этой стратегией.При обучении методу ящика я сначала позволяю детям использовать таблицу умножения, чтобы помочь им. Меня больше беспокоит их понимание процесса умножения двух или трех цифр. Как только они получают процесс, я даю им задачи обойтись без диаграммы, но я придерживаюсь цифр от 0 до 5 во всех местах. Они лучше пропускают счет с меньшими числами и, как правило, знают эти таблицы с меньшим умножением. Последний «уровень» — это ввести в места более крупные цифры. Как только они смогут решать задачи типа 89 x 76, я знаю, что они понимают процесс и хорошо разбираются в своих таблицах умножения.

Вот еще несколько полных примеров:

Я планирую посвятить несколько постов другим стратегиям умножения и деления, которые я изучил за последние пару лет. Следующим будет…. Частичные продукты!

Определение нулевой матрицы

Нулевая матрица

Что такое нулевая матрица?

Вспомните из нашего урока по записи матриц, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Для нулевой матрицы все упрощается, поскольку вам действительно не нужно беспокоиться о числах, содержащихся в прямоугольном массиве этой нотации, как и говорит название, есть только одно число, которое может содержаться внутри этих матриц, поскольку все его записи.

Таким образом, нулевая матрица — это матрица любых размеров, в которой все элементы ее элементов равны нулю. Математически нулевую матрицу можно представить выражением:

Уравнение 1: Математическое выражение для нулевой матрицы размеров mxn

Где m представляет количество строк, а n количество столбцов, содержащихся в матрице. Следовательно, если мы должны записать нулевые матрицы разных размеров, нам просто нужно определить m и n в каждом случае и заполнить все записи внутри скобок матриц нулями.

Примеры нулевых матриц можно увидеть ниже:

Уравнение 2: Примеры нулевых матриц различных размеров

Из приведенных выше примеров записи нулевой матрицы обратите внимание, что эти матрицы могут иметь любой размер и комбинацию измерений, и они не обязательно являются квадратными матрицами. Таким образом, вы можете иметь нулевую матрицу с любым количеством строк или столбцов, но помните, что для любого заданного размера можно получить только одну нулевую матрицу (что имеет смысл, поскольку есть только один способ иметь все нули в качестве записей в матрица определенного размера или размерной комбинации).

Не путайте нулевую матрицу с тем, что люди могут назвать «нулевой диагональной матрицей». Такая нулевая диагональная матрица обычно относится к полой матрице, где все диагональные элементы внутри нее равны нулю, а остальные ее элементы могут быть любым числом. Сходство между обычной нулевой матрицей и пустой матрицей происходит от их следа (сложения элементов на их диагоналях), поскольку у обоих есть все нулевые элементы, которые нужно добавить, чтобы получить след, равный нулю. Таким образом, оба этих типа матриц представляют собой то, что мы называем матрицей нулевого следа.

Важные замечания о нулевой матрице

После того, как мы изучили определение нулевой матрицы, давайте поговорим о некоторых особых характеристиках этой матрицы.

• Каков ранг нулевой матрицы?
  Помните, что ранг матрицы соответствует максимальному количеству линейно независимых столбцов внутри матрицы. Мы можем определить ранг матрицы, вычислив ее форму эшелона строк, а затем подсчитав левые ненулевые строки, цель которых состоит в том, чтобы найти размерность векторного пространства для рассматриваемой матрицы.
  Итак, если мы говорим о разрешимой системе линейных уравнений, преобразованной в матричную запись, определение ранга такой матрицы позволяет нам увидеть максимальное количество независимых переменных и, таким образом, размерные плоскости, для которых система может быть представлена ​​графически.
  Как же тогда получить это для нулевой матрицы? Для этого нам сначала нужно спросить себя, являются ли векторы внутри нулевой матрицы линейно независимыми друг от друга? Не совсем, все они одинаковые, и все они нулевые векторы.Так случилось ли, что они представляют собой какую-либо плоскость измерения? Нет. Можете ли вы на самом деле свести его к форме эшелона строк? Нет. Таким образом, если задуматься, нулевая матрица содержит нулевое количество линейно независимых столбцов и нулевое количество ненулевых строк, поэтому наш окончательный вывод состоит в том, что ранг нулевой матрицы должен быть равен нулю.
  Если вы подумаете об этой идее более глубоко, вы поймете, что любая ненулевая матрица не может иметь ранг меньше единицы, другими словами, чтобы любая матрица имела ранг нуля, она должна содержать все нулевые элементы внутри, Итак, мы пришли к выводу, что только нулевые матрицы имеют нулевой ранг.
• Обратима ли нулевая матрица?
  Для практических целей мы оставим полное объяснение того, как узнать, является ли матрица обратимой или нет, и как инвертировать те, которые для наших следующих уроков будут говорить об обратимой матрице 2×2. А пока прямо скажем, что нулевая матрица необратима.
  Есть несколько правил, которые могут доказать это, например, ее определитель равен нулю, а если матрица квадратная, то ее ранг меньше, чем ее размерность. Опять же, мы поговорим об этом немного больше в наших следующих уроках об инвертировании матриц.Но давайте задумаемся над этой идеей на минуту: если мы упомянули ранее, что для любой матрицы определенного размера или размеров существует только одна конфигурация, в которой все ее элементы равны нулю, поэтому не может быть другого способа, которым вы можете переставить нули, чтобы получить обратную матрицу тех же размеров. Если все записи одинаковы, матрица будет точно такой же, нет «обратного» или «противоположного» от этого.
• Можно ли диагонализовать нулевую матрицу?
  Мы все еще немного далеки от нашего урока по диагонализации, но пока мы можем сказать, что да, нулевая матрица диагонализуема, поскольку ее нулевые элементы могут легко содержать линейно независимые собственные векторы. Подробнее о диагонализации в последующих уроках.

Пустое пространство нулевой матрицы

Поскольку нулевая матрица сама по себе является небольшой и конкретной концепцией, которую можно использовать во многих наших уроках линейной алгебры, теперь мы вынуждены еще раз вернуться к теме следующего урока: нулевое пространство матрицы.

Давайте еще раз упростим и скажем, что для того, чтобы вектор был частью нулевого пространства матрицы, умножение такой матрицы на упомянутый вектор должно приводить к нулевому вектору, таким образом давая «нулевой» результат.
Если рассматриваемая матрица представляет собой матрицу с именем A, которая умножается на вектор u, мы говорим, что u находится в нулевом пространстве A, если выполняется следующее условие:
Уравнение 3: Условие для того, чтобы вектор u был частью нулевого пространства A

Если мы возьмем то, что мы знаем из наших уроков о представлении линейной системы в виде матрицы и матричного уравнения Ax = b, мы можем заметить, что при таком умножении умножаемый вектор фактически представляет собой набор решений, заданных однородной системой.

Теперь, как это можно применить к нулевой матрице?
Ну, любая нулевая матрица, умноженная на вектор, будет иметь в результате нулевой вектор. То есть, если размеры матрицы и вектора соответствуют правилам умножения матриц, другими словами, если умножение может быть определено, то результатом обязательно будет нулевой вектор.
Причина этого в том, что, учитывая, что нулевая матрица содержит только нулевые элементы, любая запись, умноженная на любой элемент в векторе, приведет к нулевому компоненту, который будет частью результирующего вектора.Итак, условие для нулевого пространства выполнено, и это приводит нас к чему-то важному, о котором мы до сих пор не упоминали: нулевая матрица — это то, что мы называем нулевой матрицей, и это можно ясно увидеть, следуя процессу, описанному выше, поскольку нет независимо от того, какой вектор к нему умножается, результат всегда будет содержать только нулевые элементы.

Сложение, вычитание и скалярное умножение нулевой матрицы

В этом разделе мы сосредоточимся на демонстрации примеров операций либо с нулевыми матрицами внутри, над которыми работают, либо с проблемами, приводящими к решениям с нулевыми матрицами. Для этого давайте сразу перейдем к примерам упражнений:

Пример 1

Начнем с добавления, содержащего нулевую матрицу. Это довольно простая операция, поэтому давайте начнем с добавления следующего вида:

Уравнение 4: сложение с нулевой матрицей Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем все соответствующие элементы в обе матрицы, чтобы получить результирующую матрицу (которая имеет те же размеры, что и те, из которых она была получена). Итак, результат выглядит так: Уравнение 5: Решение сложения с нулевой матрицей Этот первый пример задачи показывает нам важное свойство нулевой матрицы: когда нулевая матрица либо добавляется, либо вычитается из другой матрицы с такими же размерами, эта матрица остается неизменной и равна результату операции.
Пример 2
Чтобы продолжить наш следующий пример, мы работаем над вычитанием матриц, где нулевая матрица вычитается из другой матрицы равного размера. Уравнение 6: вычитание с нулевой матрицей Операция следует тем же принципам, что и сложение в примере 1. Таким образом, решая эту операцию, мы получаем: Уравнение 7: Решение вычитания с нулевой матрицей Как мы уже упоминали в нашем уроке о сложении и вычитании матриц, хотя сложение матриц является коммутативным (вы можете изменить порядок матриц, и результат не изменится), вычитания матриц нет, и это хорошо видно на этом примере.
Если бы у вас была нулевая матрица справа от знака минус в уравнении 6, то результат был бы равен другой матрице, участвующей в операции. Но поскольку нулевая матрица была первой, результат операции оказывается отрицательным по сравнению с ненулевой матрицей.
Пример 3
В этом примере мы добавляем следующие две следующие матрицы: Уравнение 8: сложение противоположных матриц Заметили что-то особенное из приведенных выше матриц? Они представляют собой отрицательные матрицы друг друга, или, другими словами, если вы возьмете первую матрицу и умножите ее на отрицательную, вы получите вторую матрицу.Следовательно, эта конкретная операция эквивалентна вычитанию матрицы из самой себя. Чтобы показать это, давайте определим первую матрицу как A: Уравнение 9: Матрица A Затем мы записываем эквивалентную операцию, которую мы объяснили минуту назад: Уравнение 10: Преобразование сложения матриц в вычитание Обратите внимание, что скалярное умножение минус один на A было упрощено, чтобы просто записать его как вычитание двух матриц, которые к настоящему времени являются A, и поэтому то, что мы имеем в уравнении 10, можно просто записать как: что, очевидно, имеет нулевой результат.Но поскольку здесь речь идет не только о числах, а о матрицах, нулевой результат должен быть массивом тех же размеров, что и A, и поэтому: Уравнение 11: вычитание самой матрицы Обратите внимание, что субиндексы в правой части уравнения обозначают размеры нулевой матрицы, что означает, что результирующая нулевая матрица должна иметь «m из A» (такое же количество строк, что и A) и «N из A». «(такое же количество столбцов, как у A). Давайте получим результат двумя разными способами: добавлением исходной матрицы, показанным в уравнении 8, и вычитанием матрицы, найденным в конце уравнения 10, чтобы показать, как мы получим тот же результат: нулевую матрицу, чтобы доказать уравнение 11. Уравнение 12: Окончательное решение, полученное двумя разными способами Вывод из этой проблемы состоит в том, что всякий раз, когда вы вычитаете матрицу из самой себя, вы получаете нулевую матрицу с теми же размерами, что и ваши исходные матрицы. Пример 4
В этом примере мы увидим вычитание двух равных матриц, которые оказываются векторами-столбцами. Уравнение 13: вычитание двух равных векторов-столбцов Здесь снова используется принцип, объясненный в предыдущем упражнении: при вычитании двух равных матриц (которые в данном случае оказываются двумя векторами-столбцами, поскольку каждая из матриц состоит только из одного столбца), результатом является нулевая матрица того же размера. как оригинальные: Уравнение 14: Решение вычитания двух равных векторов-столбцов Пример 5
Вычислите следующее скалярное умножение матрицы: Уравнение 15: Скалярное умножение матрицы на ноль В этом конкретном случае должно быть ясно, что результат будет равен нулю, поскольку все, что вы умножаете на ноль, приведет к нулю. Интересная часть здесь связана с тем фактом, что вы умножаете матрицу, и поэтому каждый элемент будет умножен на скаляр снаружи, в данном случае ноль, и что произойдет, вместо того, чтобы получить просто ноль в результате, это умножение даст матрицу, в которой все ее элементы равны нулю, и, таким образом, результатом будет нулевая матрица: Уравнение 16: Результат скалярного умножения матрицы на ноль Что также можно записать как: Уравнение 17: нулевая матрица с размерами 3 x 2 Пример 6
Вычислить следующее скалярное умножение, содержащее нулевую матрицу Уравнение 18: Скалярное умножение нулевой матрицы Как и в случае с прошлыми проблемами, мы можем интуитивно записать ответ в виде нулевой матрицы, поскольку каждый элемент в матрице равен нулю, не имеет значения, умножаете ли вы на них любой другой скаляр, результат всегда будет равен нулю в каждом дело.Чтобы расширить операцию, вот как это происходит: Уравнение 19: Результат скалярного умножения нулевой матрицы Пример 7
Давайте изменим режим наших задач, теперь вам даны матрицы, показанные ниже: Уравнение 20: матрицы B и 0 Имея это в виду, верны ли следующие матричные уравнения? Если нет, поправьте их.

1. B + 0 = B
   Этот случай соответствует тому, что мы видели в примере 1: наличие двух матриц с одинаковыми размерами, одна из которых является нулевой матрицей, а другая — ненулевой матрицей, когда вы складываете их вместе, результат равна ненулевой матрице, поскольку нулевая матрица ничего не вносит при добавлении каждого соответствующего элемента в две матрицы, участвующие в операции.Следовательно, это выражение ПРАВИЛЬНО.
2. 0 — B = B
   В этом случае мы можем взглянуть на пример 2 и понять, что это выражение НЕПРАВИЛЬНО. При вычитании матрицы из нулевой матрицы той же размерности результат равен отрицательному значению ненулевой матрицы.
   Следовательно, правильным выражением будет 0 — B = -B
3. B — B = 0
   Это выражение ПРАВИЛЬНО и соответствует тому, что мы видели в примерах 3 и 4: если вы вычитаете матрицу сама по себе, это приводит к записи путем вычитания записи самого числа, и, таким образом, результирующей матрицы в котором все его входные элементы будут равны нулю (нулевая матрица 0).
4. 0 + 0 = B
   Вышеприведенное выражение НЕПРАВИЛЬНО. При добавлении нуля плюс ноль результат всегда равен нулю. Это случай для каждого элемента результирующей матрицы при добавлении нулевой матрицы и другой равной нулевой матрицы, результатом будет равная нулевая матрица. Таким образом, правильное выражение: 0 + 0 = 0.
5. 0 ⋅ \ cdot⋅ B = 0
   Это выражение ПРАВИЛЬНО. Результатом умножения каждого элемента на элемент в результате этой операции будет ноль, в результате чего получится матрица с нулевыми элементами, то есть нулевая матрица 0.
6. B ⋅ \ cdot⋅ 0 = 0
   Как и в случае e), это выражение ПРАВИЛЬНО, поскольку каждый соответствующий элемент из ненулевой матрицы будет умножен на ноль из нулевой матрицы.

Случаи e) и f) приводят к важному выводу: умножение матриц не коммутативно, если одна из двух матриц не является нулевой матрицей. Независимо от того, в каком порядке вы умножаете элементы каждой матрицы, одна из них имеет все нулевые элементы, производящие умножения, которые все приводят к нулю.
Как упоминалось ранее, нулевая матрица — это очень конкретная концепция, поэтому на этом уроке действительно нечего сказать о ней, но это не значит, что она не будет использоваться во многих областях линейной алгебры. Так же, как число ноль в математике, нулевая матрица предоставляет нам представление нулевого пространства, которое мы все еще можем характеризовать, другими словами, она может содержать нулевые элементы, но ее качества остаются там, чтобы мы могли использовать их по своему усмотрению с другими матрицами.
Чтобы завершить наш урок, мы просто предоставим две дополнительные ссылки на случай, если вы захотите посетить их и посмотреть, как они определяют нулевую матрицу, и предоставим простой пример добавления с нулевой матрицей.На сегодня все, до встречи на следующем уроке!

macos — умножение AWK дает ноль

Я немного новичок в использовании awk. Моя цель — создать функцию bash формы:

 значение столбца файла myfunction
  

Берет заданный номер столбца в файле, умножает его на значение и перезаписывает файл. А пока я написал следующее:

 function multiply_column {
 файл = $ 1
 столбец = 2 доллара США
 значение = 3 доллара США
 awk -F "" '{print $ col * mul}' col = $ column mul = $ value $ file
}
  

Мой файл выглядит так:

 0.400000E + 15 0,168933E + 00 -0,180294E-44 0,168933E + 00
   0,401000E + 15 0,167689E + 00 -0,181383E-44 0,167689E + 00
   0,402000E + 15 0,166502E + 00 -0,182475E-44 0,166502E + 00
   0,403000E + 15 0,165371E + 00 -0,183569E-44 0,165371E + 00
   0,404000E + 15 0,164298E + 00 -0,184666E-44 0,164298E + 00
   0,405000E + 15 0,163284E + 00 -0,185766E-44 0,163284E + 00
   0,406000E + 15 0,162328E + 00 -0,186868E-44 0,162328E + 00
   0,407000E + 15 0,161431E + 00 -0,187972E-44 0,161431E + 00
   0.408000E + 15 0,160593E + 00 -0,189080E-44 0,160593E + 00
   0,409000E + 15 0,159816E + 00 -0,1E-44 0,159816E + 00
   0,410000E + 15 0,159099E + 00 -0,191302E-44 0,159099E + 00
   0,411000E + 15 0,158442E + 00 -0,192416E-44 0,158442E + 00
   0,412000E + 15 0,157847E + 00 -0,193534E-44 0,157847E + 00
   0,413000E + 15 0,157312E + 00 -0,194653E-44 0,157312E + 00
   0,414000E + 15 0,156840E + 00 -0,195775E-44 0,156840E + 00
   0,415000E + 15 0,156429E + 00 -0,196899E-44 0,156429E + 00
   0. 416000E + 15 0,156081E + 00 -0,198026E-44 0,156081E + 00
   0,417000E + 15 0,155796E + 00 -0,199154E-44 0,155796E + 00
   0,418000E + 15 0,155573E + 00-0,200285E-44 0,155573E + 00
   0,419000E + 15 0,155413E + 00 -0.201418E-44 0,155413E + 00
   0,420000E + 15 0,155318E + 00 -0,202554E-44 0,155318E + 00
   0.421000E + 15 0.155285E + 00 -0.203691E-44 0.155285E + 00
   0,422000E + 15 0,155318E + 00 -0,204831E-44 0,155318E + 00
   0,423000E + 15 0,155414E + 00 -0,205973E-44 0,155414E + 00
   0.424000E + 15 0,155575E + 00 -0,207116E-44 0,155575E + 00
   0,425000E + 15 0,155802E + 00 -0,208262E-44 0,155802E + 00
  

Мне удалось просто напечатать первый столбец, но когда я умножаю его на свое значение, awk дает мне 0. Я пробовал свою функцию с другими файлами, где данные были отформатированы по-другому, и она работала отлично. Я тоже пытался совместить это с bc, безуспешно.

Кто-нибудь понимает, почему в этом случае awk дает 0?

Заранее спасибо!

######### РЕДАКТИРОВАТЬ

Я только что узнал, что если в моем файле данных используются запятые, а не точки (т.

правила и алгоритм умножения в столбик. Как объяснить ребенку умножение столбиком? Примеры умножения многозначных чисел в столбик

Если вы уже запамятовали, как умножать цифры в столбик, то прочитайте статью. Тут вы найдете всю информацию об этом математическом действии.

Содержание статьи

• Правила и алгоритм умножения в столбик
• Как правильно умножать в столбик трехзначные числа на однозначные, двузначные, трехзначные
• Как правильно умножать в столбик числа с нулями?
• Как объяснить ребенку умножение столбиком?
• Видео: Примеры умножения многозначных чисел в столбик с пояснениями

Даже некоторые взрослые не освоили в школе, как можно умножать числа в столбик. А ведь это умение может и пригодиться в жизни, если не будет под рукой калькулятора или мобильного телефона.

Тем более, что это совсем не трудно, если вы знаете таблицу умножения и поняли, как правильно располагать цифры при данном процессе. Умножение в столбик всегда начинают изучать с умножения многозначного числа на однозначное, чтобы понять правила данного действия. Далее подробней.

Правила и алгоритм умножения в столбик

Математические занятия многим детям даются не с первого раза. Это непростая наука, требующая особого внимания, понимания. И ученикам в начальных классах в обязательном порядке необходима помощь мамы и папы в решении сложных примеров, задач. В частности нельзя все оставлять на самотеке, если ваше чадо не поняло, что такое умножение, деление чисел и т.п. Надо помочь разобраться в теме и выучить таблицу умножения, чтобы потом не получать плохие оценки, и не расстраиваться.

Освоить умножение в столбик будет легко, если:

• Школьник отлично знает таблицу умножения. Не путается в значениях произведения.
• Уяснил, в какой последовательности следует перемножать цифры многозначного числа.
• Ребенок понял, где их правильно писать. И умеет производить сложение многочленов в столбик.

Нужно знать, правило, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Точнее, если умножить 56 ⋅ 2 = 112 и 2 ⋅ 56 = 112 — произведение будет 112.

Рекомендации по умножению в столбик

ВАЖНО: Когда перемножают цифры в столбик. Под низом пишут то число, которое имеет меньше цифр в своем составе.

Как правильно умножать в столбик трехзначные числа на однозначные, двузначные, трехзначные

Любое умножение — это сложение одинаковых цифр необходимое количество раз. Точнее 725 ⋅ 2 = 725 + 725 = 1450. Но такой пример можно сделать устно, если второе число — 2,3,4. А если это — 8, то перемножать уже лучше в столбик. Для этого:

1. Вверху нужно написать цифру 725, а внизу под цифрой — 5 написать число — 8.
2. Теперь нужно поочередно, начиная с 5, все значения трёхзначного числа перемножить на 8.
3. Точнее: 5 ⋅ 8 = 40 (ноль пишем ниже под восьмеркой и пятеркой, а — 4 запоминаем).
4. Далее умножаем: 2 ⋅ 8 = 16 (к 16 прибавляем — 4 = 20, опять 0 пишем, только уже под двойкой, а — 2 запоминаем).
5. Остается умножить: 7 ⋅ 8 = 56 (к 56 прибавляем — 2 = 58, восьмерку пишем под семеркой, а пять впереди).
6. В результате такого умножения (725 ⋅ 8) получатся — 5800. И этот расчет получен вручную, без каких-либо машинок, калькуляторов.

Умножение в столбик — трехзначное на трехзначное

Умножить многочлен на многочлен несколько сложнее. Однако, если вы уже в первом примере уяснили, как происходит процесс, то вам не составит труда перемножить и трехзначные числа, а потом сложить в столбик, получившиеся значения.

Рассмотрим в подробностях, как умножить 125 на 32

1. Вверху на листке напишите трехзначное число 125, под ним 32, причем расположите его следующим образом: тройку под двойкой первого числа, а двойку второго под пятеркой первого числа — это очень важно.
2. Начните перемножать с конца. То есть: перемножьте все цифры трехзначного числа (125) вначале на двойку.
3. У вас получится 250, ноль напишите под двойкой, остальные цифры впереди.
4. Далее перемножайте 125 на три. И располагайте на листике значение произведения (375), начиная с цифры — 3.
5. Теперь остается сложить 250 и 375(0), получится 250 + 3750 = 4000.

ВАЖНО: Как перемножить трёхзначные числа наглядно можно увидеть на рисунке выше. Цифры перемножаются в строгой последовательности, начиная с конца, а потом все получившиеся значения складываются.

Как правильно умножать в столбик числа с нулями?

Уже из математики начальных классов любой ученик знает, что, если умножить любое число на ноль, то произведение будет тоже 0. Именно поэтому, когда производится умножение в столбик, то на цифру ноль умножение не производится, его выносят за рамки, а в произведении приписывают ноль или несколько нулей — смотрите на изображении ниже.

Умножение с нулями

Как объяснить ребенку умножение столбиком?

• Если вы дома решили провести урок по математике, изучить, как производить умножение в столбик, то превратите ваше занятие в игру.
• Постепенно, терпеливо объясняя, как это делается. Отвечайте на все вопросы школьника, чтобы ему было понятно, что и за чем делать.
• Дайте вначале для примеров несложные примеры, а потом уже выбирайте задания потруднее.

Умножение для детей

ВАЖНО: Уделяйте больше времени своим детям, не игнорируйте их просьбы о помощи. В школе учитель соблюдает программные требования. На закрепление материала дается не много времени. Поэтому не все школьники успевают освоить программу, тем более в таком сложном деле, как умножение, деление в столбик.

Видео: Примеры умножения многозначных чисел в столбик с пояснениями

правила, примеры, решения, как умножать десятичные дроби

В этой статье мы рассмотрим такое действие, как умножение десятичных дробей. Начнем с формулировки общих принципов, далее покажем, как умножить одну десятичную дробь на другую и рассмотрим метод умножения столбиком. Все определения будут проиллюстрированы примерами. Потом мы разберем, как правильно умножить десятичные дроби на обыкновенные, а также на смешанные и натуральные числа (в том числе 100, 10 и др.)

В рамках этого материала мы коснемся только правил умножения положительных дробей. Случаи с отрицательными разобраны отдельно в статьях об умножении рациональных и действительных чисел.

Умножение десятичных дробей: общие принципы

Сформулируем общие принципы, которых надо придерживаться при решении задач на умножение десятичных дробей.

Вспомним для начала, что десятичные дроби есть не что иное, как особая форма записи обыкновенных дробей, следовательно, процесс их умножения можно свести к аналогичному для дробей обыкновенных. Это правило работает и для конечных, и для бесконечных дробей: после их перевода в обыкновенные с ними легко выполнять умножение по уже изученным нами правилам.

Посмотрим, как решаются такие задачи.

Пример 1

Вычислите произведение 1,5 и 0,75.

Решение: для начала заменим десятичные дроби на обыкновенные. Мы знаем, что 0,75 – это 75/100, а 1,5 – это 1510. Мы можем сократить дробь и произвести выделение целой части. Полученный результат 1251000 мы запишем как 1,125.

Ответ: 1,125.

Мы можем использовать метод подсчета столбиком, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Умножьте одну периодическую дробь 0,(3) на другую 2,(36).

Решение

Для начала приведем исходные дроби к обыкновенным. У нас получится:

0,(3)=0,3+0,03+0,003+0,003+…=0,31-0,1=0,39=39=132,(36)=2+0,36+0,0036+…=2+0,361-0,01=2+3699=2+411=2411=2611

Следовательно, 0,(3)·2,(36)=13·2611=2633.

Полученную в итоге обыкновенную дробь можно привести к десятичному виду, разделив числитель на знаменатель в столбик:

Ответ: 0,(3)·2,(36)=0,(78).

Если у нас в условии задачи стоят бесконечные непериодические дроби, то нужно выполнить их предварительное округление (см. статью об округлении чисел, если вы забыли, как это делается). После этого можно производить действие умножения с уже округленными десятичными дробями. Приведем пример.

Пример 3

Вычислите произведение 5,382… и 0,2.

Решение

У нас в задаче есть бесконечная дробь, которую нужно предварительно округлить до сотых. Получится, что 5,382…≈5,38. Второй множитель округлять до сотых смысла не имеет. Теперь можно подсчитать нужное произведение и записать ответ: 5,38·0,2=538100·210=1 0761000=1,076.

Ответ: 5,382…·0,2≈1,076. 

Как умножать десятичные дроби столбиком

Метод подсчета столбиком можно применять не только для натуральных чисел. Если у нас есть десятичные дроби, мы можем умножить их точно таким же образом. Выведем правило:

Определение 1

Умножение десятичных дробей столбиком выполняется в 2 шага:

1. Выполняем умножение столбиком, не обращая внимание на запятые.

2. Ставим в итоговом числе десятичную запятую, отделяя ей столько цифр с правой стороны, сколько оба множителя содержат десятичных знаков вместе. Если в результате не хватает для этого цифр, дописываем слева нули.

Разберем примеры таких расчетов на практике.

Пример 4

Умножьте десятичные дроби 63,37 и 0,12 столбиком.

Решение

Первым делом выполним умножение чисел, игнорируя десятичные запятые.

Теперь нам надо поставить запятую на нужное место. Она будет отделять четыре цифры с правой стороны, поскольку сумма десятичных знаков в обоих множителях равна 4. Дописывать нули не придется, т.к. знаков достаточно:

Ответ: 3,37·0,12=7,6044.

Пример 5

Подсчитайте, сколько будет 3,2601 умножить на 0,0254.

Решение 

Считаем без учета запятых. Получаем следующее число:

Мы будем ставить запятую, отделяющую 8 цифр с правой стороны, ведь исходные дроби вместе имеют 8 знаков после запятой. Но в нашем результате всего семь цифр, и нам не обойтись без дополнительных нулей:

Ответ: 3,2601·0,0254=0,08280654.

Как умножить десятичную дробь на 0,001, 0,01, 01, и т.д

Умножать десятичные дроби на такие числа приходится часто, поэтому важно уметь делать это быстро и точно. Запишем особое правило, которым мы будем пользоваться при таком умножении:

Определение 2

Если мы умножим десятичную дробь на 0,1, 0,01 и т.д., в итоге получится число, похожее на исходную дробь, запятая которого перенесена влево на нужное количество знаков. При нехватке цифр для переноса нужно дописывать нули слева.

Так, для умножения 45,34 на 0,1 надо перенести в исходной десятичной дроби запятую на один знак. У нас получится в итоге 4,534.

Пример 6

Умножьте 9,4 на 0,0001.

Решение

Нам придется переносить запятую на четыре знака по количеству нулей во втором множителе, но цифр в первом для этого не хватит. Приписываем необходимые нули и получаем, что 9,4·0,0001=0,00094.

Ответ: 0,00094.

Для бесконечных десятичных дробей мы пользуемся тем же правилом. Так, к примеру, 0,(18)·0,01=0,00(18) или 94,938…·0,1=9,4938…. и др.

Как перемножить десятичную дробь с натуральным числом

Процесс такого умножения ничем не отличается то действия умножения двух десятичных дробей. Удобно пользоваться методом умножения в столбик, если в условии задачи стоит конечная десятичная дробь. При этом надо учитывать все те правила, о которых мы рассказывали в предыдущем пункте.

Пример 7

Подсчитайте, сколько будет 15·2,27.

Решение

Умножим столбиком исходные числа и отделим два знака запятой.

Ответ: 15·2,27=34,05.

Если мы выполняем умножение периодической десятичной дроби на натуральное число, надо сначала поменять десятичную дробь на обыкновенную.

Пример 8

Вычислите произведение 0,(42) и 22.

Решение

Приведем периодическую дробь к виду обыкновенной.

0,(42)=0,42+0,0042+0,000042+…=0,421-0,01=0,420,99=4299=1433

Далее умножаем:

0,42·22=1433·22=14·223=283=913

Итоговый результат можем записать в виде периодической десятичной дроби как 9,(3).

Ответ: 0,(42)·22=9,(3).

Бесконечные дроби перед подсчетами надо предварительно округлить.

Пример 9

Вычислите, сколько будет 4·2,145….

Решение

Округлим до сотых исходную бесконечную десятичную дробь. После этого мы придем к умножению натурального числа и конечной десятичной дроби:

4·2,145…≈4·2,15=8,60. 

Ответ: 4·2,145…≈8,60.

Как умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др

Умножение десятичной дроби на 10, 100 и др. часто встречается в задачах, поэтому мы разберем этот случай отдельно. Основное правило умножения звучит так:

Определение 3

Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, 100, 10 и др., нужно перенести ее запятую на 3, 2,1 цифры в зависимости от множителя и отбросить слева лишние нули. Если цифр для переноса запятой недостаточно, дописываем справа столько нулей, сколько нам нужно.

Покажем на примере, как именно это делать.

Пример 10

Выполните умножение 100 и 0,0783.

Решение

Для этого нам надо перенести в десятичной дроби запятую на 2 цифры в правую сторону. Мы получим в итоге 007,83​​​​​Нули, стоящие слева, можно отбросить и записать результат как 7,38.

Ответ: 0,0783·100=7,83.

Пример 11

Умножьте 0,02 на 10 тысяч.

Решение: мы будем переносить запятую на четыре цифры вправо. В исходной десятичной дроби нам не хватит для этого знаков, поэтому придется дописывать нули. В этом случае будет достаточно трех 0. В итоге получилось 0,02000,перенесем запятую и получим 00200,0. Игнорируя нули слева, можем записать ответ как 200.

Ответ: 0,02·10 000=200.

Приведенное нами правило будет работать так же и в случае с бесконечными десятичными дробями, но здесь следует быть очень внимательным к периоду итоговой дроби, так как в нем легко допустить ошибку.

Пример 12

Вычислите произведение 5,32(672) на 1 000.

Решение: первым делом мы запишем периодическую дробь как 5,32672672672…, так вероятность ошибиться будет меньше. После этого можем переносить запятую на нужное количество знаков (на три). В итоге получится 5326,726726… Заключим период в скобки и запишем ответ как 5 326,(726).

Ответ: 5,32(672)·1 000=5 326,(726).

Если в условиях задачи стоят бесконечные непериодические дроби, которые надо умножать на десять, сто, тысячу и др., не забываем округлить их перед умножением.

Как перемножить десятичную дробь с обыкновенной или со смешанным числом

Чтобы выполнить умножение такого типа, нужно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и далее действовать по уже знакомым правилам.

Пример 13

Умножьте 0,4 на 356

Решение

​Cначала переведем десятичную дробь в обыкновенную. Имеем: 0,4=410=25.

Далее считаем: 0,4·356=25·236=2315=1815.

Мы получили ответ в виде смешанного числа. Можно записать его как периодическую дробь 1,5(3).

Ответ: 1,5(3).

Если в расчете участвует бесконечная непериодическая дробь, нужно округлить ее до некоторой цифры и уже потом умножать.

Пример 14

Вычислите произведение 3,5678…·23

Решение 

Второй множитель мы можем представить как 23=0,6666…. Далее округлим до тысячного разряда оба множителя. После этого нам будет нужно вычислить произведение двух конечных десятичных дробей 3,568 и 0,667. Посчитаем столбиком и получим ответ:

Итоговый результат нужно округлить до тысячных долей, так как именно до этого разряда мы округляли исходные числа. У нас получается, что 2,379856≈2,380.

Ответ: 3,5678…·23≈2,380

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Урок математики. Умножение на двухзначное число.

• Степанова Полина Денисовна

Разделы: Математика, Начальная школа, Инклюзивное образование, Мастер-класс

Класс: 3

Ключевые слова: математика, умножение

---

Тип урока: освоение нового знания

Цель: знакомство с алгоритмом письменного умножения на двухзначное число.

Задачи урока:

1. Освоить алгоритм умножения многозначного числа на двузначное, используя запись в столбик.
2. Повысить навыки решения текстовых задач.
3. Совершенствовать навыки устных и письменных вычислений.

Ожидаемые результаты: дети познакомятся с приемом умножения многозначного числа на двузначное число с помощью записи в столбик.

Формы работы: фронтальная, самостоятельная, групповая, в парах.

Оборудование: алгоритм письменного умножения на двузначное число, учебник математики Л.Г. Петерсон 3 класс 3 часть, компьютер, карточки с заданиями.

Ход урока

I. Самоопределение к деятельности.

Ребята, доброе утро! Очень рада вас сегодня видеть! Умные глазки посмотрели на меня. Прочитайте пожалуйста все вместе это стихотворение.

Долгожданный дан звонок,
Начинается урок.
Прибавляю, отнимаю,
Умножаю и делю.
Математику я знаю
И поэтому люблю!

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности.

Устный счет.

Логика нужна нам в жизни?
Ну, давай, дерзай не кисни.

• Сколько ушей у 4 малышей? (8)
• Сколько брюшек у 8 хрюшек? (8)
• Сколько хвостов у 3 слонов? (3)
• Сколько пальчиков у 6 мальчиков? (120)
• У Сени 7 пар носков. Сколько носков на правую ногу? (7)
• У мамы семь сыновей. У каждого сына есть родная сестра. Сколько детей у мамы? (8)
• В 11 часов малыш проснулся. Когда он лег спать, если проспал 2 часа? (9)
• Через запятую в своих рабочих тетрадях записывайте только ответы.
• 736 увеличить на 30. (766)
• 314 уменьшить на одну сотню. (214)
• 32 увеличить в 3 раза. (96)
• Какое число меньше 946 на 100. (846)
• Чему равна сумма 430 и 26. (456)
• Из 530 вычесть 5 единиц. (525)
• 965 увеличить в 10 раз. (9 650)
• 50 000 увеличить на 1 405. (51 405)
• Какое число больше 1000 на 175. (1 175)

А теперь обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа и оцените. Верните тетради на место. Поднимите руки те, у кого нет ни одной ошибки. Две ошибки. Три ошибки. Больше четырёх ошибок. Молодцы!

Повторение видов умножения.

• 5 * 6 =
• 7 * 34 =
• 7 * 145 =
• 17 * 9 =
• 2467 * 4 =
• 15 * 44 =

На экране вы видите числовые выражения.

Какое задание можно выполнить с этими выражениями? (разделить на группы)

По каким признакам можно произвести деление на группы? (по первому множителю, по виду умножения)

Все ли выражения вы можете решить самостоятельно? (нет)

Попробуйте вычислить самостоятельно выражение 15 * 44 применив уже имеющиеся знания.

Что заметили? (дети в затруднении)

Почему вы не можете решить этот пример? (мы умножали только на однозначное число, а здесь двузначные числа)

Давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока. (умножение на двузначное число)

III. Открытие нового знания.

А кто-нибудь смог найти ответ этого примера 15 * 44? Объясните, как вы рассуждали, какое свойство умножения использовали? (распределительное свойство умножения, 15 * 44 = 44 * (10 + 5) = 44 * 10 + 44 * 5 = 440 + 220 = 660)

А теперь давайте решим этот пример с помощью записи в столбик. Чтобы умножить любое число на двузначное, нужно умножить это число сначала на единицы, а потом на десятки и полученные произведения сложить.

На помощь к вам пришел ваш любимый герой дядя Фёдор, посмотрите, как рассуждал он решая пример. (№4 с. 26)

Правильно ли дядя Фёдор решил и прокомментировал решение? (да)

Ещё раз проговорим алгоритм умножения на двузначное число и записи примеров в столбик. Правило на с. 25 (Чтобы умножить любое число на двузначное, нужно умножить это число сначала на единицы, а потом на десятки и полученные произведения сложить В записи суммы число десятков сдвигают на 1 разряд влево)

Физкультминутка.

Ветер дует нам в лицо. (дети машут руками на себя)
Закачалось деревцо. (дети делают наклоны)
Ветер, тише, тише, тише … (дети приседают)
Деревцо все выше, выше!.. (дети встают на носочки, тянутся вверх)

IV. Первичное закрепление.

Выполнение у доски с комментированием вслух №3.

Самостоятельное выполнение в тетрадях №5 (а), с взаимопроверкой по эталону.

У кого возникли трудности?

С чем они связаны?

У кого все получилось?

Выполнение у доски с комментированием вслух №6 и №7.

V. Самостоятельная работа.

Реши и запиши примеры в столбик:

• 912 * 56
• 7800 * 39
• 40500 * 6700
• 548 * 74
• 3900 * 49
• 70200 * 9700

Эталон решения учитель выводит на доску, учащиеся проверят друг друга и оценивают.

VI. Рефлексия учебной деятельности.

Какую цель мы перед собою ставили? Достигли вы её?

Как умножаем на двузначные числа? Повторите алгоритм умножения на двузначные числа.

Для чего надо знать умножение?

Все знания, полученные на нашем уроке, вам будут полезны в дальнейшем. Спасибо за урок!

17.06.2020

3 способа понять умножение матриц | by Glenn Henshaw

Развивайте свою интуицию в матричном умножении с нуля

Photo by Markus Spiske на Unsplash

Когда я впервые узнал о матричном умножении, я был удивлен тем, как трудно мне было развить интуицию в отношении этой операции. Обычное определение матричного умножения скрывает множество интересных фактов, которые легче распознать, если посмотреть с разных точек зрения. В этом посте я опишу умножение матриц с трех точек зрения: столбцы, строки и их комбинации. Я также расскажу о некоторых простых фактах, которые помогут проверить вашу интуицию. Мы надеемся, что после прочтения вы получите более глубокое представление об умножении матриц, строках и столбцах. Этот пост был вдохновлен курсом линейной алгебры, который вел великий Гилберт Странг (MIT) .

В этом посте перечислены три способа интерпретации умножения матриц. Для каждой из этих интерпретаций мы обсудим следующее.

1. Интерпретация: Что это значит?
2. Почему это работает?: Как эта интерпретация возникает из определения умножения матриц?
3. Проверьте свою интуицию: Список фактов, которые вы можете использовать, чтобы проверить свою интуицию для интерпретации, которую мы рассматриваем.

Иногда я упоминаю понятия линейной комбинации , линейной зависимости, линейной независимости, скалярного произведения . Если вы хотите быстро освежить свою память по этим темам, посмотрите мою статью 3 основных понятия в линейной алгебре.

Пример. Допустим, у нас есть три завсегдатая: Ларс, Фатима и Джорджия. На вечеринке Ларс купил 2 пива и 1 коктейль, Фатима купила 1 пиво и 2 коктейля, а у Джорджии было 4 пива и никаких коктейлей. Пиво стоит 7 долларов, а коктейли — 10 долларов. Мы можем смоделировать их расходы на ночь с помощью матричного умножения.

Как были вычислены числа справа?

Наша цель — понять свойства матричного умножения в более общем виде, поэтому в этом посте мы будем рассматривать произведение матрицы 3×3 A и матрицы 3×2 B . Результатом будет матрица 3×2 C .

Жак Филипп Мари Бине … признан первым, кто вывел правило умножения матриц в 1812 году. — Оливер Книлл

Обычный способ определить умножение матриц — это суммирование или, более компактно, скалярное произведение строк A и столбцов B. Скалярное произведение строки 1 A и столбца 1 B даст первую запись C.

В общем случае ij-я запись C представляет собой i-ю строку A , разделенную точками с j-м столбцом B .

Пример. Найдите третью строку и второй столбец произведения C .

Ответ: (1)(1)+(2)(2) +(3)(1) = 8. Попробуйте использовать определение, чтобы найти остальные элементы С .

Интерпретация: Запись C является скалярным произведением строки A и столбца B . Нулевые записи в C соответствуют строке A и столбцу B , которые ортогональны (под прямым углом друг к другу).

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

• Количество столбцов A должно равняться количеству строк B . В противном случае суммы в определении не будут определены.
• Произведение AB будет матрицей с тем же количеством столбцов, что и A , и тем же количеством строк, что и B.
• соответствует ряду A и столбец B ортогональны. Ортогональные векторы линейно независимы . Но не все пары линейно независимых векторов ортогональны.

Первое, на что следует обратить внимание относительно AB = C , это то, что столбцы матрицы C связаны со столбцами матрицы A важным образом.

Интерпретация Каждый из столбцов C является матрицей A , умноженный на колонку B. Влияние этого заключается в том, что Колонны C являются линейными сочетаниями из колонн A с весами, принесенные весами из колонн A с весами. столбцы B.

Почему это работает? Чтобы понять, почему столбцы C являются линейными комбинациями столбцов A , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первый столбец C.

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

• Матрица, умноженная на вектор, Ax , представляет собой просто линейную комбинацию столбцов a с элементами x. Таким образом, столбцы A линейно независимы тогда и только тогда, когда уравнение Ax = 0 имеет только нулевое решение.
• Мы можем просмотреть столбцы C как результат применения линейного преобразования, определенного B , к столбцам A .
• Предположим, что столбцы A линейно независимы. Тогда, если C имеет столбец нулей, B также должен иметь столбец нулей.
• Если столбцы C линейно зависимы и столбцы B линейно независимы, тогда столбцы A зависимы. Это следует из того факта, что если x является нетривиальным решением Cx = 0 , затем BX -нетривиальное решение из AX = 0,
• Если уравнение Ax = b не имеет решения, то уравнение ABx = Cx = b не имеет решения. Ведь столбцы C — это просто комбинации столбцов A .
• Пролет колонн C содержится в пролете колонн A . Следовательно, ранг(AB) ≤ ранг(A) .
• Если B обратим с обратным B’ , то столбцы A и AB имеют одинаковый диапазон. Мы можем доказать это из предыдущего факта, ранг(AB) ≤ ранг(A) в сочетании с тем фактом, что ранг(A) = ранг(AI) = ранг(ABB’) ≤ ранг(AB).

Итак, умножение матриц с точки зрения столбцов. Теперь перейдем к рядам?

Интерпретация Строки C являются строками A , умноженными на матрицу B . Следовательно, строки C являются линейными комбинациями строк B с весами, указанными в строках A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему строки C являются линейными комбинациями строк B , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первую строку C , используя определение умножения матриц.

Проверьте свою интуицию: Еще раз перечислим некоторые факты о строках, которые выводятся из этой интерпретации умножения матриц.

• Для AB = C , если строки C линейно независимы, то строки B линейно независимы. Предупреждение: обратное не обязательно верно.
• Если A имеет ряд нулей, то AB имеет ряд нулей.
• Диапазон строк B содержит диапазон строк C .
• Если Е — обратимая матрица n×n , а B — любая матрица n×m . Тогда EB имеет то же место в строке, что и E . В частности, элементарные операции со строками сохраняют пространство строк.

Мы можем использовать интерпретацию строки и столбца, чтобы помочь набросать доказательство интересного результата о размерности пространства строки и пространства столбца m×n матрица. Размерность размаха столбцов матрицы называется ее рангом . Размер промежутка строк называется rowrank .

Претензия: Ранг и Rowrank из M × N Матрица C — равны.

Есть много m×r матриц A и r×n матрицы B такие, что C = AB. Выберите A и B так, чтобы r было минимальным. The R Колонны из A SPAN The Column Пространство C. R 9005 C. R 9005 C. 9005 R 9005 C. 9005 R 9005 C. 9005 R c.0043 строк B охватывают пространство строк C. Поскольку мы выбрали r как наименьшее такое число, rank(C) = rowrank(C) = r.

Претензия: , если A и B — квадратные матрицы, а AB = I , затем BA = I. Следовательно, B — это обратно A.

Мы имеем . АВ = I . Поэтому столбцы A линейно независимы. Следовательно, уравнение Ax = 0 имеет только тривиальное решение. умножьте первое уравнение справа на A , чтобы получить ABA = A . Тогда АВА-А = А(ВА-I)=0 . Следовательно, ВА = I .

Наша последняя интерпретация дает нам способ разложить произведение двух матриц на сумму матриц.

Интерпретация Матрица C представляет собой сумму матриц, состоящих из столбцов A , умноженных на строки B. Матрицы, составляющие сумму, имеют столбцы, скалярно кратные столбцу A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему это так, рассмотрим, что происходит, когда вы записываете матрицу A как сумму матриц и вычисляете AB путем распределения B .

Проверь свою интуицию:

• Каждая из матриц в слагаемом имеет одномерные столбцы.
• Вы можете поменять местами два столбца A и получить тот же продукт AB , если вы поменяете местами соответствующие строки B .

Мы говорили о трех разных способах понимания умножения матриц.

1. Матрица, умноженная на столбцы
2. Строки, умноженная на матрицы
3. И столбцы, умноженные на строки

Мы использовали эти различные интерпретации для обзора некоторых основных фактов о матричном умножении, независимости и интервале.

Умножение матриц — 2×2, 3×3

Умножение матриц или умножение матриц — одна из операций, которые можно выполнять над матрицами в линейной алгебре. Умножение матрицы A на матрицу B возможно, когда обе заданные матрицы A и B совместимы. Умножение матриц — это бинарная операция, которая дает матрицу из двух заданных матриц.

Умножение матриц было впервые введено в 1812 году французским математиком Жаком-Филиппом-Мари Бине для представления линейных карт с использованием матриц. Давайте разберемся с правилом умножения матриц в следующих разделах.

1.	Что такое умножение матриц?
2.	Как умножать матрицы?
3.	Правила умножения матриц
4.	Формула умножения матриц 2×2
5.	Формула умножения матриц 3×3
6.	Свойства умножения матриц
7.	Часто задаваемые вопросы по умножению матриц

Что такое умножение матриц?

Умножение матриц — это бинарная операция, результатом которой также является матрица при перемножении двух матриц. В линейной алгебре умножение матриц возможно только тогда, когда матрицы совместимы. В общем случае умножение матриц, в отличие от арифметического, не является коммутативным, а это означает, что умножение матриц A и B, заданных как AB, не может быть равно BA, т. е. AB ≠ BA. Поэтому порядок умножения для умножения матриц важен.

Две матрицы A и B называются совместимыми, если количество столбцов в A равно количеству строк в B. Это означает, что если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n× p, то можно сказать, что матрицы A и B совместимы.

Предположим, у нас есть две матрицы A и B, произведение матрицы A на матрицу B можно представить как (AB). Это означает, что результирующая матрица для умножения любой матрицы m × n «A» на матрицу «B» размера n × p может быть представлена ​​как матрица «C» порядка m × p. Давайте разберемся с этой концепцией подробно в следующем разделе.

Как умножать матрицы?

Мы можем понять общий процесс умножения матриц с помощью метода: «Первые строки умножаются на столбцы (элемент за элементом), а затем строки заполняются». Умножение матриц можно выполнить с помощью следующих шагов:

• Шаг 1: Убедитесь, что количество столбцов в матрице 1 ^st равно количеству строк в матрице 2 ^nd (совместимость матриц ).
• Шаг 2: Умножьте элементы строки i ^th первой матрицы на элементы столбца j ^th второй матрицы и сложите произведения. Это будет элемент, который находится в i ^-я -я строка и j ^-й -й столбец результирующей матрицы.
• Шаг 3: Разместите добавленные товары на соответствующие позиции.

Давайте лучше разберем эти шаги для умножения матриц на примере.

Пример: Умножьте приведенные ниже матрицы, чтобы найти их произведение \( \begin{pmatrix}
1 и 2 \\
3 и 4 \ 5 и 1 \
\end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}
\).

Решение: Даны матрицы порядка 3×2 и 2×1 . Итак, t Данные матрицы совместимы, мы можем выполнить умножение матриц, и матрица произведения будет порядка 3×1.

\(\begin{pmatrix}
1 и 2 \\
3 и 4 \ 5 и 1 \
\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
2\\
4\
\end{pmatrix}\\\\
= \begin{pmatrix}
(1\times2)+(2\times4) \\
(3\times2)+(4\times4) \\ (5\times2)+(1\times4) \\
\end{pmatrix} \\\\ = \begin{pmatrix}
2+8 \\
6+16\10+4\
\end{pmatrix}
\\\\
= \begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}\)

Следовательно, матрица произведения равна \(\begin{pmatrix}
10\
22\14\
\end{pmatrix}
\)

В результирующей матрице мы видим, что первый элемент первой строки получается путем умножения элементов первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и последующего сложения. т.е., вообще говоря, чтобы найти элемент в i ^-й -й строке и j ^-м -м столбце в матрице произведения,

• Возьмем элементы i ^-й -й строки первой матрицы.
• Возьми элементы j ^th столбец второй матрицы.
• Умножьте соответствующие элементы.
• Добавить все продукты.

Правила умножения матриц

Как мы изучили, две матрицы можно перемножать только тогда, когда они совместимы, а это означает, что для существования умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице, в приведенном выше случай ‘н’. Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок произведения матриц равен m×p.

Примеры:

a) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 3 × 4 верно и дает матрицу порядка 4 × 4

b) Матрица 7 × 1 и матрицы 1 × 2 совместимый; произведение дает матрицу 7 × 2.

c) Умножение матрицы 4 × 3 на матрицу 2 × 3 НЕВОЗМОЖНО.

Формула умножения матриц 2×2

Процесс одинаков для матрицы любого порядка. Умножаем элементы каждой строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы (поэлементно), как показано на рисунке. Наконец, мы добавляем продукты. Результатом произведения двух матриц 2×2 снова является матрица 2×2.

Формула умножения матриц 3×3

Матрица 3×3 Умножение можно выполнить с помощью формулы умножения матриц, так как любые две матрицы 3×3 совместимы. Процесс точно такой же для матрицы любого порядка. Результатом произведения двух матриц 3×3 снова является матрица 3×3.

Здесь матрицы имеют одинаковые размеры, поэтому результирующая матрица также имеет одинаковую размерность 3×3.

Пример:

\(\left(\begin{array}{rrr}
1&2&-1\
3 & 2 & 0 \
-4 и 0 и 2
\end{массив}\right)\) \(\left(\begin{массив}{rrr}
3 и 4 и 2 \\
0 & 1 & 0 \
-2 и 0 и 1
\end{массив}\right)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
1(3)+2(0)+(-1)(-2) и 1(4)+2(1)+(-1)0 и 1(2)+2(0)+(-1)( 1)\
3(3)+2(0)+(0)(-2) и 3(4)+2(1)+(0)0 и 3(2)+2(0)+(0)(1) \ \
-4(3)+0(0)+(2)(-2) и -4(4)+0(1)+(2)0 и -4(2)+0(0)+(2)( 1)\
\end{массив}\right)\)

= \(\left(\begin{массив}{rrr}
5 и 6 и 1 \
9 и 14 и 6 \
-16&-16&-6\
\конец{массив}\справа)\)

Свойства умножения матриц

Существуют определенные свойства операции умножения матриц в линейной алгебре в математике. Эти свойства приведены ниже,

• Некоммутативный: Умножение матриц является некоммутативным, т. е. для умножения двух матриц A и B AB ≠ BA.
• Дистрибутивность: Свойство дистрибутивности можно применять при перемножении матриц, т. е. A(B + C) = AB + BC, учитывая, что A, B и C совместимы.
• Произведение со скаляром: Если произведение матриц A и B, AB определено, то c(AB) = (cA)B = A(Bc), так что c является скаляром.
• Транспонирование: Транспонирование произведения матриц A и B может быть задано как (AB) ^T = B ^T A ^T , где ^T обозначает транспонирование.
• Комплексное сопряжение: Если A и B комплексные записи, то (AB) ^* = B ^* A ^*
• Ассоциативность: Умножение матриц является ассоциативным. Для трех матриц A, B и C, произведения (AB)C и A(BC) определены, тогда (AB)C = A(BC).
• Определитель:  Определитель произведения матриц есть не что иное, как произведение определителей отдельных матриц. т. е. det (AB) = det A × det B,

Нестандартное мышление:

• Используя приведенные ниже матрицы, проверьте, является ли умножение матриц коммутативным или нет.
  \( \begin{pmatrix}
  1&0\\
  2 и 4 \
  \end{pmatrix} \text{and}\begin{pmatrix}
  6 и 8 \\\
  4 и 3 \
  \end{pmatrix}
  \)
• Является ли умножение матриц ассоциативным?

Важные замечания по умножению матриц:

• Для умножения матриц данные матрицы должны быть совместимы.
• Порядок матрицы произведения можно получить по следующему правилу:
  Если A — матрица порядка m×n, а B — матрица порядка n×p, то порядок матрицы произведения равен m×p.
• Умножение матриц указывает на умножение строк на столбцы.

☛ Связанные темы:

• Калькулятор умножения матриц
• Матричный калькулятор
• Калькулятор сложения матриц

Часто задаваемые вопросы по умножению матриц

Что такое умножение матриц в линейной алгебре?

Умножение матриц — одна из бинарных операций, которые можно применять к матрицам в линейной алгебре. Чтобы умножить две матрицы A и B, количество столбцов в матрице A должно быть равно количеству строк в матрице B. ⇒AB существует.

Как перемножать матрицы 3×3?

Матрицы 3×3 по математике можно перемножать, умножая строки первой матрицы на столбцы второй матрицы, чтобы получить соответствующие элементы матрицы произведения.

Что такое формула умножения матриц?

Формула умножения матриц используется для выполнения умножения матриц в целом. Например, для матриц 3×3 формула выглядит следующим образом:

Можете ли вы перемножить матрицы порядка 2×3 и 2×2?

Нет, мы не можем умножать матрицы 2×3 и 2×2, потому что для умножая матрицы, две матрицы должны быть совместимы. Поскольку количество столбцов в первой матрице (3) не равно количеству строк во второй матрице (2), мы не можем выполнить умножение матриц для этого случая.

Какова цель умножения матриц?

Умножение матриц важно для облегчения вычислений в линейной алгебре и используется для представления линейных карт. Это важный инструмент во многих областях математики, а также в прикладной математике, статистике, физике, экономике и технике.

Чему равно произведение матриц порядков 2×1 и 2×2?

Нет, их нельзя перемножить, так как эти матрицы несовместимы. Количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы.

Когда возможно умножение матриц?

Умножение матриц возможно, только если матрицы совместимы, т. е. умножение матриц допустимо только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Всегда ли умножение матриц коммутативно?

Умножение матриц, в отличие от арифметического умножения, не является коммутативным. Это означает, что порядок умножения матриц имеет значение.

Всегда ли определено умножение матриц?

Умножение матриц возможно только в том случае, если матрицы совместимы. Чтобы существовало умножение матриц, количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице

6.

2 — Операции с матрицами 6.2 — Операции с матрицами

Равенство

Две матрицы равны тогда и только тогда, когда

• Порядок матриц тот же
• Соответствующие элементы матриц совпадают

Дополнение

• Порядок матриц должен быть одинаковым
• Сложить вместе соответствующие элементы
• Сложение матриц коммутативно
• Сложение матриц ассоциативно

Вычитание

• Порядок матриц должен быть одинаковым
• Вычесть соответствующие элементы
• Вычитание матриц не является коммутативным (как и вычитание действительных чисел)
• Вычитание матриц не является ассоциативным (как и вычитание действительных чисел)

Скалярное умножение

Скаляр — это число, а не матрица.

• Матрица может быть любого порядка
• Умножить все элементы матрицы на скаляр
• Скалярное умножение коммутативно
• Скалярное умножение ассоциативно

Нулевая матрица

• Матрица любого порядка
• Состоит из всех нулей
• Обозначается заглавной буквой O
• Аддитивная идентичность для матриц
• Любая матрица плюс нулевая матрица является исходной матрицей

Умножение матриц

A _m×n × B _n×p = C _m×p

• Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количество строк во второй матрице. То есть внутренние размеры должны быть одинаковыми.
• Порядок произведения равен количеству строк в первой матрице на количество столбцов в вторая матрица. То есть размеры изделия – это наружные габариты.
• Так как количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрица, вы можете спаривать записи.
• Каждый элемент в строке i из первой матрицы соединяется с элементом в столбце j из вторая матрица.
• Элемент в строке i столбца j произведения образован путем умножения этих парных элементов и их суммирование.
• Каждый элемент произведения представляет собой сумму произведений элементов из строка i первой матрицы и столбец j второй матрицы.
• Будет n произведения, которые суммируются для каждого элемента произведения.

См. полный пример умножения матриц.

Умножение матриц не является коммутативным

• Умножение действительных чисел.
• Внутренние размеры могут не совпадать при изменении порядка матриц.

Не перемножайте соответствующие элементы

• Поскольку порядок (размеры) матриц не обязательно должен быть одинаковым, может не быть соответствующие элементы, чтобы умножить вместе.
• Умножить строки первого на столбцы второго и сложить.

Нет деления матрицы

• Не существует определенного процесса деления матрицы на другую матрицу.
• Матрица может быть разделена на скаляр.

Идентификационная матрица

• Квадратная матрица
• Единицы по главной диагонали
• Нули везде
• Обозначается I. Если индекс включен, это порядок единичной матрицы.
• I — мультипликативная идентичность для матриц
• Любая матрица, умноженная на единичную матрицу, является исходной матрицей.
• Умножение на единичную матрицу является коммутативным, хотя порядок изменить

Идентификационная матрица размера 2

I 2 =		1	0
		0	1

Идентификационная матрица размера 3

I 3 =		1	0	0
		0	1	0
		0	0	1

Свойства матриц 907:40

Собственность	Пример
Коммутативность сложения	А + В = В + А
Ассоциативность сложения	А + (В + С) = (А + В) + С
Ассоциативность скалярного умножения	(кд) А = с (дА)
Скалярная идентичность	1А = А(1) = А
Распределительный	с (А + В) = сА + сВ
Распределительный	(с + г) А = сА + дА
Аддитивный идентификатор	А + О = О + А = А
Ассоциативность умножения	А (ВС) = (АВ) С
Распределитель левый	А (В + С) = АВ + АС
Правый распределитель	( А + В ) С = АС + ВС
Скалярная ассоциативность/коммутативность	с (АВ) = (сА) В = А (сВ) = (АВ) с
Мультипликативная идентичность	ИА = АИ = А

Свойства действительных чисел, которые не являются свойствами матриц

Коммутативность умножения

• Вы не можете изменить порядок задачи на умножение и ожидать чтобы получить то же самое товар. АБ≠БА
• Вы должны быть осторожны при факторизации общих факторов, чтобы убедиться, что они находятся на такой же сторона. AX+BX = (A+B)X и XA+XB = X(A+B), но AX+XB не учитывается.

Свойство нулевого продукта

• Тот факт, что произведение двух матриц является нулевой матрицей, не означает, что одна из им была нулевая матрица.

Мультипликативное свойство равенства

• Если A=B, то AC = BC. Это свойство остается верным, но обратное не обязательно верно. То, что AC = BC, не означает, что A = B.
• Поскольку умножение матриц не является коммутативным, вы должны предварительно умножить или постумножить на обеих сторонах уравнения. То есть, если A=B, тогда AC = BC или CA = CB, но AC≠CB.

Нет деления матрицы

• Вы должны умножить на обратную матрицу

Вычисление функции с использованием матрицы

Рассмотрим функцию f(x) = x ² — 4x + 3 и матрицу A

А =		1	2
		3	4

Первоначальная попытка вычислить f(A) состояла бы в замене каждого x с A, чтобы получить f(A) = A ² — 4А+3. Есть одно небольшое проблема однако. Константа 3 не матрица, и сложить нельзя матрицы и скаляры вместе. Итак, мы умножаем постоянная по матрице идентичности.

f(A) = A ² — 4A + 3I.

Вычислите каждый член функции, а затем сложите их вместе.

А 2 =		1	2		*		1	2		=		7	10
		3	4				3	4				15	22

-4 А = -4		1	2		=		-4	-8
		3	4				-12	-16

3И = 3		1	0		=		3	0
		0	1				0	3

ф(А) =		7	10		+		-4	-8		+		3	0		=		6	2
		15	22				-12	-16				0	3				3	9

Факторинг выражений

Показаны некоторые примеры факторинга. Упрощайте и решайте как обычно, но помните эта матрица умножение не коммутативно и нет матричного деления.

2Х + 3Х = 5Х

АХ + ВХ = (А+В)Х

ХА + ХВ = Х(А+В)

АХ + 5Х = (А+5I)Х

AX+XB не учитывает

Решение уравнений

Систему линейных уравнений можно записать в виде AX=B, где A — коэффициент матрица, X — вектор-столбец, содержащий переменные, а B — правая часть сторона. В следующем разделе мы научимся решать это уравнение.

Если имеется более одной системы линейных уравнений с одинаковым коэффициентом матрицу, то вы можете расширить матрицу B, чтобы иметь более одного столбца. Помещать каждую правую часть в свой столбец.

Умножение матриц

Умножение матриц включает суммирование произведения. Уместно там, где вы нужно умножить вещи вместе, а затем добавлять. Например, умножение количества единиц на стоимость единицы будет дать общее Стоимость.

Найдены единицы товара путем проведения модульного анализа на матрицы. Этикетки для товара – это этикетки строк первого матрица и метки столбцов вторая матрица.

Умножение матриц и векторов — Math Insight

Произведение матриц и векторов

Для определения умножения между матрицей $A$ и вектором $\vc{x}$ (т. е. произведение матрицы на вектор), нам нужно просмотреть вектор как матрица-столбец. Определим матрично-векторное произведение только для случая, когда число столбцов в $A$ равно количеству строк в $\vc{x}$. Итак, если $A$ матрица $m \times n$ (т.е. с $n$ столбцами), то произведение $A \vc{x}$ определено для $n \times 1$ векторов-столбцов $\vc{x}$. Если мы пусть $A \vc{x} = \vc{b}$, тогда $\vc{b}$ — столбец $m \times 1$ вектор. Другими словами, количество строк в $A$ (которое может быть что угодно) определяет количество строк в произведении $\vc{b}$.

Общая формула для матрично-векторного произведения: \начать{выравнивать*} А\ВК{х}= \оставил[ \begin{массив}{cccc} а_{11} и а_{12} и \ldots и а_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} х_1\\ х_2\\ \vdots\\ х_n \конец{массив} \Правильно] знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn} x_n\\ \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*} Хотя поначалу это может показаться запутанным, процесс матрично-векторного умножение на самом деле очень просто. Берется скалярное произведение $\vc{x}$ с каждой строкой $A$. (Вот почему число столбцов в $A$ должно быть равно количеству компонентов в $\vc{x}$.) первый компонент матрично-векторного произведения является скалярным произведением $\vc{x}$ с первой строкой $A$ и т. д. На самом деле, если $A$ имеет только один row, произведение матрицы на вектор на самом деле является замаскированным точечным произведением.

Например, если \начать{выравнивать*} А = \ влево[ \начать{массив}{ррр} 1 и -1 и 2\\ 0 и -3 и 1 \конец{массив} \Правильно] \конец{выравнивание*} и $\vc{x} = (2,1,0)$, то \начать{выравнивать*} A \vc{x} &= \left[ \начать{массив}{ррр} 1 и -1 и 2\\ 0 и -3 и 1 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{л} 2\\1\\0 \конец{массив} \Правильно]\\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{г} 2 \cdot 1 — 1\cdot 1 + 0 \cdot 2\\ 2 \cdot 0 — 1 \cdot 3 +0 \cdot 1 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{г} 1\\ -3 \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*}

Произведение матрицы на матрицу

Поскольку мы рассматриваем векторы как матрицы-столбцы, произведение матрицы на вектор равно просто частный случай матрично-матричного произведения (т. е. произведение между двумя матрицами). Так же, как и для матрично-векторного произведения, Произведение $AB$ между матрицами $A$ и $B$ определено, только если количество столбцов в $A$ равно количеству строк в $B$. Говоря математическим языком, мы говорим, что можем умножить матрицу $m \times n$ $A$ на $n \times p$-матрицу $B$. (Если $p$ равно 1, то $B$ будет вектор-столбец $n\times 1$, и мы вернемся к матрично-векторное произведение.)

Произведение $AB$ представляет собой матрицу $m \x p$, которую мы будем называть $C$, т.е. $АВ=С$. Чтобы вычислить произведение $B$, мы рассматриваем $B$ как группу из $n \times 1$ векторов-столбцов, выстроенных рядом друг с другом: \начать{выравнивать*} \оставил[ \begin{массив}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{np} \конец{массив} \Правильно] знак равно \оставил[ \оставил[ \начать{массив}{с} б_{11}\\ б_{21}\\ \vdots\\ b_{n1}\\ \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} б_{12}\\ б_{22}\\ \vdots\\ b_{n2}\\ \конец{массив} \Правильно] \cdots \оставил[ \начать{массив}{с} б_{1п}\\ б_{2п}\\ \vdots\\ b_{np}\\ \конец{массив} \Правильно] \Правильно] \конец{выравнивание*} Тогда каждый столбец таблицы $C$ является векторным произведением матрицы $A$ с соответствующий столбец $B$. Другими словами, компонент в $i$th строка и $j$-й столбец $C$ — это скалярное произведение между $i$-й строкой $A$ и $j$-й столбец $B$. В математике мы пишем этот компонент $C$ как $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$.

Пример справки делает процесс понятным. Пусть $A$ будет $2 \times 3$ матрица \начать{выравнивать*} А=\влево[ \начать{массив}{ррр} 0 и 4 и -2\\ -4 и -3 и 0 \конец{массив} \Правильно] \конец{выравнивание*} и $B$ — матрица $3 \times 2$ \начать{выравнивать*} B= \влево[ \begin{массив}{rr} 0 &1\\ 1 и -1\\ 2 и 3 \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*} Затем, \начать{выравнивать*} АБ &=\влево[ \начать{массив}{ррр} 0 и 4 и -2\\ -4 и -3 и 0 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \begin{массив}{rr} 0 &1\\ 1 и -1\\ 2 и 3 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{ррр} 0 \cdot 0+4 \cdot 1-2\cdot 2 && 0 \cdot 1 +4 \cdot (-1) -2\cdot 3\\ -4 \cdot 0-3\cdot 1 + 0 \cdot 2 && -4 \cdot 1 -3 \cdot (-1) + 0\cdot 3 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{ррр} 0+4-4 && 0-4-6\\ 0-3+0 && -4 +3 +0 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \begin{массив}{rr} 0 и -10\\ -3 и -1 \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*}

Хотите больше примеров?

Умножение матриц – объяснение и примеры

Есть $ 3 $ общих операций над матрицами. Это:

• Сложение матриц
• Вычитание матриц
• Умножение матриц

Сложение матриц и вычитание матриц являются простыми операциями. Подробнее о сложении матриц можно прочитать здесь, а о вычитании матриц здесь.

Умножение матриц типа $ 2 $:

• Скалярное умножение
• Матричное умножение

Скалярное умножение не очень сложное и простое. Тем не менее, умножение матриц может быть поначалу немного пугающим. После прочтения этого урока он станет таким же простым, как и другие операции с матрицами.

Давайте посмотрим на определение умножения матриц:

Умножение матриц — это операция, которая включает умножение матрицы на скаляр или умножение двух матриц вместе (после выполнения определенных условий).

Этот урок покажет, как умножать матрицы, умножать матрицы $ 2 \times 2 $, умножать матрицы $ 3 \times 3 $, умножать другие матрицы, и смотреть, определено ли умножение матриц, и некоторые свойства умножения матриц.

Как перемножать матрицы

Чтобы перемножить две матрицы вместе, нам сначала нужно убедиться, что количество столбцов 1-й матрицы равно количеству строк 2-й матрицы. Если они не равны , тогда умножение матрицы равно undefined .

Если они равны, мы можем перемножить матрицы $2$ вместе. Полученная матрица будет иметь размерность, равную количеству строк 1-й матрицы и количеству столбцов 2-й матрицы.

Если первая матрица имеет размерность $ a \times b $, а размерность второй матрицы равна $ m \times n $, то для умножения матриц определено , количество столбцов первой матрицы ($ б $) должно равняться количеству строк второй матрицы ($m$). Результирующая матрица будет иметь размеры $a\times n$.

Чтобы умножить двухдолларовые матрицы, нам нужно понять скалярное произведение . Рассмотрим две матрицы $ 1 \times 3 $, показанные ниже:

$  \begin{bmatrix} { 1 }  & { 2 } & 1  \end {bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} { 2 }  & { 0 } & 4  \end {bmatrix} $

Чтобы взять его скалярное произведение, мы умножаем каждый соответствующий элемент матриц $ 2 $ друг на друга и получаем сумму. Показано ниже:

$ = (1)(2) + (2)(0) + (1)(4) = 2 + 0 + 4 = 6 $

Обратите внимание, что скалярное произведение — это только число! Помните, что для существования скалярного произведения обе матрицы должны иметь одинаковое количество элементов! Следовательно, количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы, когда мы перемножаем $2$-матрицы. Мы увидим это в ближайшее время.

Действия по умножению двух матриц

1. Проверить, равно ли количество столбцов первой матрицы количеству строк второй матрицы . Если это так, мы можем выполнить умножение матриц. Если нет, операция undefined . Обратите внимание, что результирующая матрица будет иметь размерность, равную номеру строки первой матрицы и номеру столбца второй матрицы.
2. Возьмем скалярное произведение первой строки первой матрицы на первый столбец второй матрицы. Поместите ответ в первую строку, заполнитель первого столбца результирующей матрицы.
3. Возьмем скалярное произведение 9{th} $ столбец результирующей матрицы.

Как умножать матрицы 2 x 2

Рассмотрим матрицы $ A $ и $ B $, показанные ниже:

$  A = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } \\ 1 & { – 2 }  \end {bmatrix} $

$  B = \begin{bmatrix} { 0 }  & { – 3 } \\ 1 & { 1 }  \end {bmatrix} $

Обе матрицы $ A $ и $ B $ $ 2 \times 2 $ матрицы. Мы будем следовать описанным выше шагам, чтобы выполнить умножение между матрицей $A$ и матрицей $B$. Так как номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, мы можем продолжить и выполнить умножение. Процесс показан ниже:

$ A \times B = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } \\ 1 & { – 2 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 0 } & { – 3 } \\ 1 & { 1 }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (1)(0) + (3)(1) }  & { (1)(-3 ) + (3)(1) } \\ { (1)(0) + (- 2 )(1)} & { (1)(-3) + (-2)(1) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { 3 }  & { 0 } \\ { – 2 } & { – 5 }  \end {bmatrix} $

Таким образом,

$ A \times B =\begin{bmatrix} { 3 }  & { 0 } \\ { – 2 } & { – 5 }  \end {bmatrix} $

Процесс умножения матриц $ 3 \times 3 $ аналогичен. Мы рассмотрим это ниже.

Как умножать матрицы 3 x 3

Рассмотрим матрицы $ A $ и $ B $, показанные ниже:

$  A = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } & { – 1 } \\ 1 & { – 2 } & 0 \\ 1 & { – 1 } & 2  \end {bmatrix} $

$  B = \begin{bmatrix} { – 2 }  & { 6 } & { 0 } \\ 1 & { – 5 } & 1 \\ 0 & { – 1 } & { – 4 }  \end {bmatrix} $

Обе матрицы $A$ и $B$ являются матрицами размера $3\times 3$. Мы будем следовать описанным выше шагам, чтобы выполнить умножение между матрицей $A$ и матрицей $B$. Поскольку номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, мы можем продолжить и выполнить умножение. Процесс показан ниже:

$ A \times B = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 3 } & { – 1 } \\ 1 & { – 2 } & 0 \\ 1 & { – 1 } & 2  \ end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { – 2 }  & { 6 } & { 0 } \\ 1 & { – 5 } & 1 \\ 0 & { – 1 } & { – 4 }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (1)(-2) + (3)(1) + (-1)(0) }  & { (1)(6) + (3)(-5) + (- 1)(-1) } & { (1)(0) + (3)(1) + (-1)(-4) } \\ { (1)(-2) + (-2)(1) + (0)(0) } & { (1)(6) + (-2)(-5) + (0)(-1) } & { (1)(0) + (-2)(1) + (0)(-4) } \\ {(1)(-2) + (-1)(1) + (2)(0)} & { (1)(6) + (-1)(- 5) + (2)(-1) } & {(1)(0) + (-1)(1) + (2)(-4) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { 1 }  & { – 8 } & { 7 } \\ { – 4 } & { 16 } & { – 2 } \\ { – 3 } & {9} & { – 9 }  \end {bmatrix} $

Таким образом,

$ A \times B =\begin{bmatrix} { 1 }  & { – 8 } & { 7 } \\ { – 4 } & { 16 } & { – 2 } \\ { – 3 } & {9} & { – 9 }  \end {bmatrix} $

Умножение матриц разной размерности

матрица $2\times 2$ и матрица $3\times 3$ с еще одной матрицей $3\times 3$).

Что, если обе перемножаемые матрицы имеют разный порядок?

Не проблема! Просто проверьте , если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы . Если они есть, мы следуем шагам, описанным выше, и умножаем матрицы $2$. Также помните, что результирующая размерность матрицы будет равна $a\times n$, где $a$ — количество строк первой матрицы, а $n$ — количество столбцов второй матрицы . Мы рассмотрим пример позже.

Правила умножения матриц

Мы рассмотрим $ 5 $ свойства умножения матриц. Они приведены в таблице, приведенной ниже ($A$ и $B$ — матрицы $n\times n$, $I$ — единичная матрица $n\times n$, а $0$ — $n\times n$ $ нулевая матрица):

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить наше понимание умножения матриц.

Пример 1

Прокомментируйте, можно ли перемножать следующие матрицы. Если да, то какова будет размерность результирующей матрицы?

1. Матрица $2\times 2$ с другой матрицей $2\times 2$
2. Матрица $1\times 4$ с матрицей $4\times 1$
3. Матрица $3\times 3$ с матрицей $2 \times 3 $ matrix

Решение

Напомним, что если номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, то две матрицы можно перемножить. Результирующая матрица будет иметь размерность $a\timesb$, где $a$ — количество строк первой матрицы, а $b$ — количество столбцов второй матрицы.

1. Да, обе матрицы можно перемножать, и результирующая матрица будет иметь размерность $ 2 \times 2 $.
2. Да, обе эти матрицы можно перемножить, и результирующая матрица будет иметь порядок 1. Это будет матрица $ 1 \times 1$.
3. Нет, эти две матрицы нельзя перемножить, так как количество столбцов первой матрицы ($3$) не равно количеству строк второй матрицы ($2$). Умножение матриц между этими $2$ матрицами не определено.

Пример 2

Умножьте матрицу $ A $ и матрицу $ B $, показанную ниже:

$  A = \begin{bmatrix} { 0 }  & { – 3 } \\ 2 & { 0 }  \ end {bmatrix} $

$  B = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 1 } \\ 5 & { – 2 }  \end {bmatrix} $

Решение

Обе матрицы $ A $ и $ B $ являются $ 2 \times 2 $ матрицами. Поскольку номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, мы можем продолжить и выполнить умножение. Процесс показан ниже:

$ A \times B = \begin{bmatrix} { 0 }  & { – 3 } \\ 2 & { 0 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 1 } & { 1 } \\ 5 & { – 2 }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (0)(1) + (-3)(5) }  & { (0)(1 ) + (-3)(-2) } \\ { (2)(1) + (0 )(5)} & { (2)(1) + (0)(-2) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { -15 }  & { 6 } \\ { 2 } & { 2 }  \end {bmatrix} $

Пример 3

Умножьте матрицу $ \begin{bmatrix} { 3 }  & { 2 } \\ { 1 } & { -4 }  \end {bmatrix} $ на единичную матрицу $ 2 \times 2 $. Какое свойство матричного умножения он иллюстрирует?

Решение

Выполним указанное умножение, используя правила умножения матриц:

$  \begin{bmatrix} { 3 }  & { 2 } \\ { 1 } & { -4 }  \end {bmatrix} \times \begin{ bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 0 & 1  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { (3)(1) + (2)(0) }  & { (3)( 0) + (2)(1) } \\ { (1)(1) + (-4)(0)} & { (1)(0) + (-4)(1) }  \end {bmatrix} $

$ =\begin{bmatrix} { 3}  & { 2 } \\ { 1 } & {-4 }  \end {bmatrix} $

Результирующая матрица равна исходной матрице. Эта задача иллюстрирует мультипликативную идентичность умножения матриц.

Теперь ваша очередь решить несколько задач.

Практические вопросы

1. Прокомментируйте, можно ли умножать следующие матрицы. Если да, то какова будет размерность результирующей матрицы?

   1. Матрица $3\times 1$ с матрицей $1\times 4$
   2. Матрица $4\times 4$ с другой матрицей $4\times 4$
   3. Матрица $2\times 4$ с матрицей $3 \times 4 $ matrix
2. Для двух матриц, показанных ниже, $ AB = BA $ ?

   $  A = \begin{bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 3 & { 0 }  \end {bmatrix} $

   $  B = \begin{bmatrix} { 1 }  & {-1 } \\ 0 & { 1 }  \end {bmatrix} $

3. Умножить матрицу $C$ и матрицу $D$, показанную ниже:

   $  C = \begin{bmatrix} { 1 }  & { – 4 } & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -1  \end {bmatrix} $

   $  D = \begin{ bmatrix} { 0 }  & 1 & 7\\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & { 0 } & 2  \end {bmatrix} $

1.  

Ответы

1. Напомним, что если номер столбца первой матрицы равен номеру строки второй матрицы, две матрицы можно перемножить. Результирующая матрица будет иметь размерность $a\timesb$, где $a$ — количество строк первой матрицы, а $b$ — количество столбцов второй матрицы.

   1. Да, обе матрицы можно перемножать, и результирующая матрица будет иметь размерность $ 3 \times 4 $.
   2. Да, обе эти матрицы можно перемножить, и результирующая матрица будет иметь порядок 4. Это будет матрица $ 4 \times 4$.
   3. Нет, эти две матрицы нельзя перемножить, так как количество столбцов первой матрицы ($4$) не равно количеству строк второй матрицы ($3$). Умножение матриц между этими $2$ матрицами не определено.
2. Сначала найдем $ AB $:

   $  \begin{bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 3 & { 0 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 1 }  & { -1 } \\ 0 & { 1 }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} { (1)(1) + (0)(0) }  & { (1)(-1) + (0)(1) } \\ { (3)(1) + (0)(0)} & { (3)(-1) + (0)(1) }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} {1}  & {-1} \\ {3} & {-3}  \end {bmatrix} $

   Следовательно,
   $ A \times B =\begin{bmatrix} {1}  & {-1} \\ {3} & {-3}  \end {bmatrix} $

   Теперь найдем $ BA $:

   $  \begin{bmatrix} { 1 }  & { -1 } \\ 0 & { 1 }  \end {bmatrix} \times \begin{bmatrix} { 1 }  & { 0 } \\ 3 & { 0 }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} { (1)(1) + (-1)(3) }  & { (1)(0) + ( -1)(0) } \\ { (0)(1) + (1)(3)} & { (0)(0) + (1)(0) }  \end {bmatrix} $

   $ = \begin{bmatrix} {-2}  & {0} \\ {3} & {0}  \end {bmatrix} $

   Следовательно,
   $ B \times A =\begin{bmatrix} {-2}  & { 0} \\ {3} & {0}  \end {bmatrix} $

   Таким образом, мы видим, что $ AB \neq BA $. Умножение матриц не коммутативно!

    

3. Перемножим две матрицы $ 3 \times 3 $, следуя шагам умножения матриц. Показано ниже:

   $ C \times D = \begin{bmatrix} { 1 }  & { – 4 } & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & -1  \end {bmatrix} \times \begin {bmatrix} { 0 }  & 1 & 7\\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & { 0 } & 2  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} { (1)(0) + (-4)(1) + (1)(1) }  & { (1)(1) + (-4)(-1) + (1)(0) } & { (1)(7) + (-4)(-1) + (1)(2) } \\ { (1)(0) + (2)(1) + (3)(1) } & { (1)(1) + ( 2)(-1) + (3)(0)} & { (1)(7) + (2)(-1) + (3)(2)} \\ {(-1)(0) + ( 2)(1) + (-1)(1)} & {(-1)(1) + (2)(-1) + (-1)(0)} & {(-1)(7) + (2)(-1) + (-1)(2) }  \end {bmatrix} $

   $ =\begin{bmatrix} {-3}  & {5} & 13 \\ 5 & {-1} & {11} \\ 1 & {-3} & {-11}  \end {bmatrix} $

   Таким образом,

   $ C \times D =\begin{bmatrix} {-3}  & {5} & 13 \\ 5 & {-1} & {11} \\ 1 & {-3} & {- 11}  \end {bmatrix} $

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Умножение матриц

Цели

1. Понимать композиции преобразований.
2. Понимать взаимосвязь между матричными произведениями и композициями матричных преобразований.
3. Освойте основы алгебры с использованием матриц.
4. Рецепт: умножение матриц (два способа).
5. Фото: композиция трансформаций.
6. Словарное слово: состав .

В этом разделе мы изучаем композиции преобразований. Как мы увидим, композиция — это способ объединения трансформаций в цепочку. Композиция матричных преобразований соответствует понятию умножение двух матриц вместе. Мы также обсуждаем сложение и скалярное умножение преобразований и матриц.

Композиция означает то же самое в линейной алгебре, что и в исчислении. Вот определение.

Определение

Пусть T:Rn→Rm и U:Rp→Rn — преобразования. Их композиция представляет собой преобразование T◦U:Rp→Rm, определяемое

(Т◦U)(х)=Т(U(х)).

Составление двух преобразований означает объединение их в цепочку: T◦U — это преобразование, которое сначала применяет U, а затем применяет T (обратите внимание на порядок операций). Точнее, чтобы оценить T◦U на входном векторе x, сначала вы оцениваете U(x), затем берете этот выходной вектор U и используете его в качестве входного вектора T: то есть (T◦U)(x )=Т(U(x)). Конечно, это имеет смысл только тогда, когда выходы U являются действительными входами T, то есть когда диапазон U содержится в домене T.

RpxRnU(x)RmT◦U(x)UTT◦U

Вот изображение композиции T◦U как «машины», которая сначала запускает U, затем получает его выходные данные и передает их в T; аналогичная картина есть в этом подразделе раздела 3.1.

T◦UUTRpxRmT◦U(x)U(x)Rn

Домен и домен композиции

• Чтобы можно было определить T◦U, кодовый домен U должен совпадать с доменом T.
• Домен T◦U является доменом U.
• Кодовый домен T◦U является кодовым доменом T.

Пример (функции одной переменной)

Интерактив: композиция матричных преобразований

Interactive: преобразование, определенное в шагах

.

Interactive: преобразование, определенное в шагах

.

Напомним из этого определения в Разделе 3.1, что преобразование тождества — это преобразование IdRn:Rn→Rn, определенное как IdRn(x)=x для каждого вектора x.

Окончательное свойство называется ассоциативностью . Разворачивая обе стороны, он говорит:

S◦(T◦U)(x)=S(T◦U(x))=S(T(U(x))=S◦T(U(x))=(S◦T)◦U (Икс).

Другими словами, как S◦(T◦U), так и (S◦T)◦U являются преобразованием, определяемым сначала применением U, затем T, затем S.

Композиция преобразований не коммутативна вообще. То есть, вообще говоря, T◦UB=U◦T, даже когда определены обе композиции.

Пример (функции одной переменной)

Пример (Некоммутативная композиция преобразований)

В этом подразделе мы вводим кажущуюся несвязанной операцию над матрицами, а именно матричное умножение. Как мы увидим в следующем подразделе, умножение матриц в точности соответствует композиции соответствующих линейных преобразований. Сначала нам понадобится терминология.

Обозначение

Пусть A — матрица размера m × n. Обычно мы будем писать aij для записи в i-й строке и j-м столбце. Он называется i,j записью матрицы.

a11···a1j···a1n………ai1···aij···ain………am1···amj···amnEIIIGFJJJHjthcolumnithrow

Определение (умножение матриц)

Пусть A — матрица размера m×n, а B — матрица размера n×p. Обозначим столбцы матрицы B через v1,v2,…,vp:

.

B=C|||v1v2···vp|||D.

Продукт AB — матрица m×p со столбцами Av1, Av2,…, Avp:

AB=C|||Av1Av2···Avp|||D.

Другими словами, умножение матриц определяется столбец за столбцом или «распределяется по столбцам B».

Пример

Чтобы векторы Av1, Av2,…, Avp были определены, количество строк B должно быть равно количеству столбцов A.

Размеры матриц в матричном произведении

• Для определения AB количество строк B должно равняться количеству столбцов A.
• Произведение матрицы m×n и матрицы n×p является матрицей m×p.

Если B имеет только один столбец, то AB также имеет один столбец. Матрица с одним столбцом — это то же самое, что и вектор, поэтому определение произведения матриц обобщает определение произведения матриц на вектор из этого определения в разделе 2.3.

Если А — квадратная матрица, то мы можем умножить ее саму на себя; мы определяем его степени как

А2=ААА3=АААи т.д.

Правило строки-столбца для умножения матриц

Напомним из этого определения в Разделе 2.3, что произведение вектора-строки и вектор-столбца есть скаляр

Aa1a2···anBEIIGx1x2…xnFJJH=a1x1+a2x2+···+anxn.

Следующая процедура нахождения матричного произведения гораздо лучше приспособлена для ручных вычислений; предыдущее определение больше подходит для доказательства теорем, таких как эта теорема ниже.

Рецепт: Правило строки-столбца для умножения матриц

Пусть A — матрица размера m×n, пусть B — матрица размера n×p, и пусть C=AB. Тогда ij-й элемент C — это i-я строка A, умноженная на j-й столбец B:

cij=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbnj.

Вот схема:

a11···a1k···a1n………ai1···aik···ain………am1···amk···amnEIIIGFJJJHithrowb11···b1j· ··b1p………bk1···bkj···bkp………bn1···bnj···bnpEIIIIGFJJJJHjthcolumn=c11···c1j···c1p. ……..ci1···cij···cip………cm1···cmj···cmpEIIIGFJJJHijentry

Пример

Хотя умножение матриц удовлетворяет многим ожидаемым свойствам (см. конец раздела), нужно быть осторожным при выполнении матричных арифметических действий, так как есть несколько свойств, которые в общем случае не выполняются.

Предостережения по умножению матриц

• Умножение матриц не является коммутативным: AB обычно не равно BA, даже если оба произведения определены и имеют одинаковый размер. См. этот пример.
• Умножение матриц не удовлетворяет закону сокращения: из AB=AC не следует B=C, даже если AB=0. Например,

  К1000ЛК1234Л=К1200Л=К1000ЛК1256Л.

• Возможно при AB=0, даже если AB=0 и BB=0. Например,

  К1010ЛК0011Л=К0000Л.

Хотя умножение матриц вообще не является коммутативным, существуют примеры матриц A и B с AB=BA. Например, это всегда работает, когда A является нулевой матрицей или когда A=B. Читателю предлагается найти другие примеры.

Пример (некоммутативное умножение матриц)

Порядок действий

Цель этого подраздела — показать, что умножение матриц соответствует композиции преобразований, то есть стандартная матрица для T◦U является произведением стандартных матриц для T и для U. Это должно быть трудно поверить, что наша сложная формула для умножения матриц на самом деле означает что-то интуитивное, например, «связывание двух преобразований вместе»!

Теорема

Пусть T:Rn→Rm и U:Rp→Rn — линейные преобразования, а A и B — их стандартные матрицы соответственно, так что A — матрица размера m × n, а B — матрица размера n × p. Тогда T◦U:Rp→Rm — линейное преобразование, а его стандартная матрица — произведение AB.

Доказательство

Сначала проверим линейность T◦U. Пусть u,v — векторы в Rp. Затем

T◦U(u+v)=T(U(u+v))=T(U(u)+U(v))=T(U(u))+T(U(v))=T ◦U(u)+T◦U(v).

Если c скаляр, то

T◦U(cv)=T(U(cv))=T(cU(v))=cT(U(v))=cT◦U(v).

Поскольку T◦U удовлетворяет двум определяющим свойствам в разделе 3.3, это линейное преобразование.

Теперь, когда мы знаем, что T◦U является линейным, имеет смысл вычислить его стандартную матрицу. Пусть C — стандартная матрица T◦U, поэтому T(x)=Ax,U(x)=Bx и T◦U(x)=Cx. По этой теореме в разделе 3.3 первый столбец C — это Ce1, а первый столбец B — Be1. У нас есть

T◦U(e1)=T(U(e1))=T(Be1)=A(Be1).

По определению, первый столбец произведения AB является произведением A на первый столбец B, то есть Be1, поэтому

Ce1=T◦U(e1)=A(Be1)=(AB)e1.

Отсюда следует, что C имеет тот же первый столбец, что и AB. Тот же аргумент, примененный к i-му стандартному вектору координат ei, показывает, что C и AB имеют один и тот же i-й столбец; поскольку у них одинаковые столбцы, это одна и та же матрица.

Теорема оправдывает наш выбор определения произведения матриц. Это единственная причина, по которой матричные произведения определяются таким образом. Перефразируя:

Продукты и композиции

Матрица композиции двух линейных преобразований есть произведение матриц преобразований.

Пример (Композиция вращений)

Интерактив: композиция матричных преобразований

Interactive: преобразование, определенное в шагах

.

Напомним из этого определения в разделе 3.3, что единичная матрица — это матрица n × n, столбцы которой являются стандартными векторами координат в Rn. Единичная матрица является стандартной матрицей преобразования идентичности: то есть x=IdRn(x)=Inx для всех векторов x в Rn. Для любого линейного преобразования T:Rn→Rm имеем

ИКм◦T=T

, и по тому же признаку мы имеем для любой m × n матрицы A мы имеем

ИмА=А.

Аналогично имеем T◦IRn=T и AIn=A.

В этом подразделе мы опишем еще две операции, которые можно выполнять над преобразованиями: сложение и скалярное умножение. Затем мы переводим эти операции на язык матриц. Это аналогично тому, что мы сделали для композиции линейных преобразований, но гораздо менее тонко.

Определение

• Пусть T,U:Rn→Rm — два преобразования. Их сумма есть преобразование T+U:Rn→Rm, определяемое формулой

  (Т+У)(х)=Т(х)+У(х).

  Обратите внимание, что добавление преобразований определяется только в том случае, если оба преобразования имеют один и тот же домен и кодовый домен.
• Пусть T:Rn→Rm — преобразование, а c — скаляр. Скалярное произведение числа c на T представляет собой преобразование cT:Rn→Rm, определяемое формулой

  (сТ)(х)=с·Т(х).

Чтобы подчеркнуть, сумма двух преобразований T,U:Rn→Rm представляет собой еще одно преобразование, называемое T+U; его значение на входном векторе x является суммой выходов T и U. Точно так же произведение T на скаляр c является другим преобразованием, называемым cT; его значением на входном векторе x является вектор c·T(x).

Пример (функции одной переменной)

В одном из приведенных выше свойств мы использовали 0 для обозначения преобразования Rn→Rm, которое равно нулю для каждого входного вектора: 0(x)=0 для всех x. Это называется нулевым преобразованием .

Приведем теперь аналогичные операции для матриц.

Определение

• Сумма двух матриц размера m×n представляет собой матрицу, полученную суммированием элементов A и B по отдельности:

  Ka11a12a13a21a22a23L+Kb11b12b13b21b22b23L=Ka11+b11a12+b12a13+b13a21+b21a22+b22a23+b23L

  Другими словами, элемент i,j матрицы A+B является суммой элементов i,j матрицы A и B. Обратите внимание, что сложение матриц определяется только тогда, когда обе матрицы имеют одинаковый размер.
• Скалярное произведение скаляра c на матрицу A получается масштабированием всех элементов матрицы A на c:

  cKa11a12a13a21a22a23L=Kca11ca12ca13ca21ca22ca23L Другими словами, i,j элемент cA в c раз больше i,j элемента A.

Факт

Пусть T,U:Rn→Rm — линейные преобразования со стандартными матрицами A, B соответственно, и пусть c — скаляр.

• Стандартной матрицей для T+U является A+B.
• Стандартной матрицей для cT является cA.

Ввиду вышеизложенного следующие свойства являются следствием соответствующих свойств преобразований. Они также легко проверяются непосредственно из определений.

В одном из приведенных выше свойств мы использовали 0 для обозначения матрицы размера m × n, все элементы которой равны нулю. Это стандартная матрица нулевого преобразования, она называется нулевой матрицей 9.0043 .

Мы также можем комбинировать сложение и скалярное умножение матриц с умножением матриц. Поскольку умножение матриц соответствует композиции преобразований (теорема), следующие свойства являются следствием соответствующих свойств преобразований.

Большинство приведенных выше свойств легко проверить непосредственно из определений.