Умножение смешанных дробей правило: Умножение дробей.

Содержание

Умножение дробей | Математика

Умножение дробей — тема, включающая в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся умножения обыкновенных дробей, смешанных и натуральных чисел.

1. Умножение обыкновенных дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель.

Произведение числителей записывают в числитель, знаменателей — в знаменатель. Если возможно, дроби следует сократить. Проще сокращать множители, чем результат.

Примеры умножения обыкновенных дробей:

2. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же.

Если возможно, дробь следует сократить. Если в результате получили неправильную дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

3. Умножение смешанных чисел.

Чтобы умножить смешанные числа, надо перевести их в неправильные дроби и применить правило умножения обыкновенных дробей.

Примеры умножения смешанных чисел:

Примеры умножения смешанного числа и обыкновенной дроби:

4. Умножение смешанного числа на натуральное число.

1) Чтобы смешанное число умножить на натуральное, можно смешанное число перевести в неправильную дробь и применить правило умножения дроби на натуральное число.

Примеры умножения смешанного числа на натуральное число по первому правилу:

2) Чтобы умножить смешанное число на натуральное, можно отдельно умножить на это число целую часть, отдельно — дробную, и полученные произведения сложить.

Примеры умножения смешанного и натурального чисел по второму правилу:

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся умножения десятичных дробей.

Умножение дробей

На этом уроке мы разберёмся, как умножают обыкновенные дроби. Выведем правила умножения обыкновенных дробей на натуральные числа, умножения обыкновенных дробей на обыкновенные дроби и умножения смешанных чисел.

Задача

Котёнок Васька съел на завтрак сосиски, на обед ещё сосиски и на ужин — сосиски. Сколько сосисок съел Васька за день?

Решение:

Из этой записи нетрудно заметить, что числитель дроби умножили на натуральное число, а знаменатель оставили таким же.

Запишем правило умножения обыкновенных дробей на натуральное число

Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Примеры

Задача

Длина прямоугольника , а его ширина . Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

А теперь попробуем вывести правило умножения обыкновенных дробей. Смотрите, как получили числитель и знаменатель. Видно, что числитель первой дроби умножили на числитель второй дроби, аналогично и со знаменателями. Знаменатель одной дроби умножили на знаменатель второй дроби.

Следовательно, отсюда правило умножения обыкновенных дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем

Или короче можно сказать так: чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель умножить на знаменатель.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Примеры

Мы научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Осталось разобраться, как умножают смешанные числа.

Примеры

Следовательно, запишем правило умножения смешанных чисел:

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить умножение дробей.

Умножение дробей имеет переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство относительно сложения и вычитания.

Справедливы также свойства нуля и единицы при умножении

Итоги

Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби.

Презентация «Умножение дробей» — математика, презентации

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Тема урока «Умножение дробей» Выполнила: Учитель математики школы№24 г Березники. Зеленова Анастасия Андреевна

Номер слайда 2

Тип урока: Урок «открытия» новых знаний Форма проведения урока: фронтальная, индивидуальная, групповая. Цели: образовательные: рассмотреть правило умножения обыкновенных дробей и показать применение правила на практике.воспитательные: повышение коммуникативной активности учащихся, создание благоприятных условий для проявления индивидуальности, выбора своей позиции, формирование умения аргументировано отстаивать свою точку зрения.развивающие: — Регулятивные УУД: — понимать, принимать и сохранять учебную задачу; адекватно оценивать свои действия; осознавать возникшие трудности, стремиться к их преодолению, пользоваться различными видами помощи; Коммуникативные УУД: -участвовать в диалоге, в общей беседе; вступать в учебное сотрудничество с учениками и учителем; допускать возможность различных точек зрения. Познавательные УУД: -выполнять логические действия с учебным материалом; понимать информацию, представленную в различных формах.11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №242

Номер слайда 3

Вспомним! Как происходит сложение дробей с одинаковыми знаменателями? Как происходит сложение дробей с разными знаменателями? Как происходит сложение смешанных чисел? Как превратить смешанное число в неправильную дробь? Как превратить неправильную дробь в смешанное число? Что значит сократить дробь?11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №243

Номер слайда 4

Задача В кувшин налили 𝟑𝟒 л молока. Сколько молока будет а) в 3 таких кувшинах? б) в 5 таких кувшинах?в) в 25 таких кувшинах? 11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №244 Как же умножить дробь на число?

Номер слайда 5

Решение Нам необходимо количество молока в одном кувшине взять 5 раз…34+34+34+34+34 ==3+3+3+3+34==3∗54=154= ? Сформулируйте ответ 334 11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №245 Рассмотрим пример под буквой «б»𝟑𝟒 ∗𝟓=?

Номер слайда 6

Правило Давайте попробуем теперь сформулировать правило: «Умножение дроби на натуральное число»11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №246

Номер слайда 7

Запишем правило: Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №247style.text. Decoration. Underline

Номер слайда 8

Закрепим! 314∗7=? 613∗2=? 25∗5=? 117∗17=? 29∗4=? 1213 2 112 89 1 Проверим себя11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №248

Номер слайда 9

Задача №2 Длина прямоугольника равна𝟐𝟕 дм, а его ширина равна 𝟒𝟗 дм. Найдите S прямоугольника. 11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №249

Номер слайда 10

Решение. Давайте вспомним, как найти площадь прямоугольника?Следовательно, нам необходимо …? S = a * b𝟐𝟕∗𝟒𝟗 11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2410

Номер слайда 11

Решение умножим дробь 𝟐𝟕 на 𝟒𝟗,𝟐∗𝟒𝟕∗𝟗= 𝟖𝟔𝟑 дм𝟐 Числа 8 и 63 являются взаимно простыми, а значит мы получили конечный ответ. Ответ: площадь прямоугольника равна 𝟖𝟔𝟑 дм𝟐 11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2411 Прокомментируйте решение, сформулируйте правило «умножение обыкновенных дробей»

Номер слайда 12

Запишем !чтобы умножить дробь на дробь, надо: найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2412style.text. Decoration. Underline

Номер слайда 13

43∗613=? 𝟒𝟑∗𝟔𝟏𝟑= 𝟒 ∗𝟔 𝟑∗𝟏𝟑= 𝟒∗𝟐𝟏∗𝟏𝟑= Закрепим!517∗511=? 35∗611=? 27∗35=? 79∗23=? Проверим себя1855 635 25187 𝟖𝟏𝟑 𝟏𝟒𝟐𝟕 Рассмотрим решение последнего примера подробнее𝟖𝟏𝟑 21 Прокомментируйте решение, назовите ответ11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2413

Номер слайда 14

Задача №3 Туристы были в пути 𝟑𝟑𝟒 часа, двигаясь со скоростью 5𝟔𝟕 км/ч. Найдите расстояние, которое преодолели туристы? Какие знания помогут нам в решении данной задачи ?11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2414

Номер слайда 15

Решение Итак, чтобынайти расстояние необходимо…? Следовательно, нам нужно 334*567 = 154∗417 15 ∗414∗761528 S = v * t Переводим смешанное число, в неправильную дробь… Вспоминаем, как умножается дробь на дробь? ==Превращаем неправильную дробь в смешанное число==212728 =Сформулируйте ответ, запишите в тетрадь 11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2415 Возникла проблема. Как вы думаете, как можно перемножить смешанные числа, используя ранее рассмотренные правила? ? (

Номер слайда 16

Запишем! Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Все правила разобранные сегодня, необходимо выучить к следующему уроку!11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2416style.text. Decoration. Underline

Номер слайда 17

Закрепим!8117∗0=? 114∗127 427∗119 2225∗1916 629∗1=? 11728 449 0 629 314 Проверим себя11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2417 Какие свойства помоги нам решить последние 2 примера?

Номер слайда 18

Итоги урока Какова тема пройдённого нами урока? Чему мы научились сегодня?Расскажите правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число?Расскажите правило умножение смешанных чисел?Расскажите правило умножение обыкновенных дробей?11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2418

Номер слайда 19

Запишем домашнее задание Прочитать пункт 13 Выучить правила Выполнить №427,479,482 (а)11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2419

Номер слайда 20

Список используемых источников Математика. 6 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений/Н. Я Виленкин, В. И Жохов, и др, — 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.- 288с.:ил. Шаблон с сайта: http://pedsovet.su/load/412 Статьи: http://pedsovet.su/index/0-39?searchid=1034006&text=умножение+дробей+http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=umnozenie_drobei. Иллюстрации: режим доступа:http://www.bappli.com/user-data/publish/files/Images_Personnalisation/logiciel_de_gestion_adaptable_evolutif_personnalisable. PNGhttp://parvdar.ru/User. Files/image/glavna/Chelovechki/podgotovka_materiala.jpghttp://www.ismoke.md/wp-content/uploads/2014/12/чел.jpghttp://komp-r.ucoz.ru/_ph/15/839964763.jpghttp://www.matematika-na.ru/6class/mat_6_13.php11/16/2020 Зеленова Анастасия Андреевна Учитель математики МАОУ СОШ №2420

Умножение обыкновенных дробей. Модульный урок. 6 класс

1. Модульный урок

Умножение обыкновенных дробей
6 класс
Учитель математики
ГБОУ СОШ №297
Г.Санкт-Петербурга
Халупо И. А.
Мой дорогой друг!
Сегодня тебе предстоит самому изучить новый материал,
а также применить
полученные знания при решении различных упражнений и задач.
Желаю удачи!

3. Содержание урока

• Интегрирующая дидактическая цель
• Правило умножения обыкновенных
дробей
• Умножение дроби на натуральное число
• Умножение смешанных чисел
• Закрепление новых знаний при решении
различных упражнений и задач
• Обобщение
Конец урока

4. Интегрирующая дидактическая цель

В процессе работы учащиеся должны овладеть
следующими знаниями:
1. Умножение обыкновенных дробей.
2. Умножение дроби на натуральное число.
3. Умножение смешанных чисел.
Умение и навыки:
1. Уметь умножать обыкновенные дроби
2. Уметь умножать обыкновенную дробь на
натуральное число
3. Уметь умножать смешанные числа
К содержанию
далее

5. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 1.
а) Найти площадь прямоугольника длиной
a=5 см и шириной b=3 см.
б) Вырази полученную площадь в
квадратных дециметрах. Результат
запиши в виде обыкновенной дроби.
Используй полученный результат в
следующем задании.
К содержанию
далее
S=?

6. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 2.
Вырази длины сторон прямоугольника
из задания 1 в дециметрах (дм).
Результаты запиши в виде обыкновенных
дробей. Запиши выражения для
нахождения площади с полученными
данными. Запиши ответ получившегося
выражения. Проверь свою запись с
помощью рисунка.
К содержанию
далее

7. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 3.
Запиши выражение из задания 2 без
наименований .
1. Каким действием можно получить числитель 3
произведения?
2. Каким действием можно получить знаменатель
20 произведения? Сделай соответствующую
запись.
1 3
П
3
Попробуй сформулировать 2 10 П 20
правило умножения обыкновенных дробей.
К содержанию
далее

8. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 4.
Внимательно прочитай и запомни: чт обы
умножит ь дробь на дробь, надо:
1) найти произведение числителей и
произведение знаменателей этих
дробей;
2) первое произведение записать
числителем, а второе — знаменателем
результата.
К содержанию
далее

9. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 5
Рассмотри пример
3 1 25
5 3 7
По правилу умножения дробей имеем:
3 1 25 3 1 25 5
5 3 7
5 3 7 7
Как следует выполнять умножение
обыкновенных дробей?
К содержанию
далее

10. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 6
Внимательно прочитай и запомни:
обычно вначале обозначают произведение числит елей
и произведение знаменат елей, зат ем, если возможно,
производят сокращение и т олько пот ом умножение. В
от вет е, если эт о возможно, из дроби исключают
целую част ь.
Контроль.
Выполни умножение:
а)
б)
3 4
4 14
7 15
;
8 15
К содержанию
.

11. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Задание 1.
а) Представь 15 в виде обыкновенной
дроби со знаменателем 1.
б) Попробуй догадаться, как можно
умножить обыкновенную дробь на
натуральное число.
в) Попробуй сформулировать правило
умножения дроби на натуральное число.
К содержанию
далее

12. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Задание 2.
Внимательно прочитай и запомни:
так как любое нат уральное число
можно предст авит ь в виде дроби со
знаменат елем 1, т о умножение дроби
на нат уральное число выполняет ся по
правилу умножения дроби на дробь.
К содержанию
далее

13. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Задание 3.
Покажи на примерах, как
выполняется этоправило.
а) 5 4;
б) 10 3 .
12
20
Контроль.Выполни умножение:
а) 21 9 ;
б) 5 12.
70
48
К содержанию

14. Умножение смешанных чисел

Задание 1.
а) Запиши смешанное число в виде
2
неправильной дроби 3
7
б) Попробуй догадаться, как можно
выполнить умножение смешанных
чисел . 4 1 2 4
7
5
К содержанию
далее

15. Умножение смешанных чисел

Задание 2.
Внимательно прочитай и запомни:
для т ого чт обы выполнит ь умножение
смешанных чисел, надо записат ь их в
виде неправильных дробей, а зат ем
воспользоват ься правилом умножения
дробей.
К содержанию
далее

16. Умножение смешанных чисел

Задание 3.
Покажи на примере, как
выполняется это правило
4 7
3
22
а) 1 ;
б) 2 1 .
9 11
11 21
Контроль.
Выполни умножение:
3 5
.
а) 1 4 1 7 ;
б) 7 113 2 19
40
К содержанию

17. Закрепление новых знаний

Задание 1.
Выполни действие. Изучи образец.
3 3 3 3 9
4 4 4 4 16
Принята более короткая запись:
2
9
3
.
16
4
К содержанию
далее

18. Закрепление новых знаний

Задание 2.
Выполни действия, используя
образец задания 1:
1
4
а) ;
б) .
3
2
6
5
К содержанию
далее

19. Закрепление новых знаний

Задание 3.
Реши задачу. Сколько километров
проедет велосипедист за 4 12 ч., если
1
9
будет двигаться со скоростью 2
км/ч.
К содержанию
далее

20. Закрепление новых знаний

Задание 4.
Найти значение выражения:
1 3 1 5
5 3 12
а) 12 8 19 ;
б) 312 2 4 1 6 12 .
в) 2 9 5 2 1 ;
3 16
24 5
6
К содержанию
далее

21. Закрепление новых знаний

Контроль.
1) Возведи в степень:
а) 72 ;
б) 5 .
9
2) Представь второй множитель в
виде обыкновенной дроби и
выполни умножение: 1
3
2
5
К содержанию
0, 4

22. Обобщение

1. Сформулируй правило умножения обыкновенных дробей.
2. Запиши данное правило с помощью букв a, b, c, d натуральные числа.
3. Сформулируй правило умножения обыкновенной дроби на
натуральное число.
4. Запиши данное правило с помощью букв a, b, c, d натуральные числа.
5. Сформулируй правило умножения смешанных чисел.
6. Запиши данное правило с помощью букв a, b, c, d натуральные числа.
7. Достиг ли ты поставленной цели?
К содержанию

Смешанные числа умножение и деление смешанных чисел. Конспект урока «умножение и деление смешанных дробей». Умножение смешанных дробей

Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

Отработать новое правило на выполнении заданий.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

Метапредметные и личностные результаты :

Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

Коммуникативные УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Ход урока:

I .Проблемная ситуация и актуализация знаний

1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

II .Совместное открытие знаний.

1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

III .Самостоятельное применение знаний

1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

2/ Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

IV. Итог урока

Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

Оценивание работы учащихся.

Задание для домашней работы.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

Запишем правило умножения смешанных чисел :

Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Решение.

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

Запишем все решение в одну строку: .

Ответ:

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

Пример.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

Решение.

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Пример.

Вычислите произведение .

Урок математики в 6 классе по теме «Умножение смешанных чисел»

Этапы урока

Формируемые УУД

Деятельность учителя

Деятельность учащегося

Самоопределение к деятельности

Цели:

– психологический настрой уч-ся на работу;
– создать условия для возникновения у учеников внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Личностные: осмысление внутренней позиции ученика на уровне положительного отношения к уроку.

Регулятивные: самоорганизация и организация своего рабочего места.

– Девиз нашего сегодняшнего урока такой: «О, сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух». (На доске )
– Значит, чему будет посвящён наш урок?
– А были ли открытия в вашей жизни? Как вы думаете, что такое открытие?

А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”?

Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие.

На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

Проявляют психологическую готовность к познавательной деятельности.

– Открытию нового знания.

Ребята с места отвечают на вопросы

Актуализация знаний

Цель: повторение изученного материала необходимого для «открытия нового знания» и выявление затруднений.

Личностные: осознание своих эмоций, интереса к изучению математике.

Познавательные: актуализация изученных способов действий, развитие мыслительных операций; умение из предложенной информации выделять главное.

Регулятивные: учатся работать по предложенному учителем плану; мотивация к учебной деятельности.

Коммуникативныеуметь выслушивать и понимать речь других.

Фронтальный опрос:

Индивидуальное задание (Спиридонова, Черепанова, Кудрявцев). К данному заданию вернуться после обсуждения устных заданий.

— Перед вами — магический круг. Вы должны догадаться, как связаны между собой числа в нем и найти пропущенное число.

— Какое действие с дробями содержит данные задания?

— Какие правила применяли при решении данных заданий?

Вычислите.

В тетради можете сразу записывать ответы, но не забываем о сокращении результата. Рядом с ответом поставьте букву с ленты ответов.

; ; ; ; ; ; .


Л	М	У	О	Р	Д	И	Ц	К	Е

(Учитель проверяет, как выполняют примеры в тетради, если нужна помощь, помогает.). Ребята, какое слово получилось. (МОЛОДЕЦ) Вот вы сами себя и оценили.

С места называют ответы.

Рассказывают правила

Решают самостоятельно

Лист самооценки

Постановка учебной проблемы
Цель: выявить место затруднения, зафиксировать во внешней речи причину затруднения.

Познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний; отличать новое от уже известного с помощью учителя.

Регулятивные:умение разбивать на группы, подготовка к самостоятельной формулировки темы урока.

Коммуникативные: формирование способности сохранять доброжелательное отношение друг к другу в учебной деятельности.

Подготовительная работа:

— на какие группы можно разбить данные числа

— представьте смешанные числа в виде неправильных дробей

;

Запишите условие с помощью таблицы

	v км/ч	t ч	S км
На машине	80	½
На поезде	92 1/2	4 2/5

Выслушивать друг друга, не перебивая.
Рассуждать спокойно, не мешая другим.
Помнить пословицу: «Умеешь сам – научи другого».

(Скорость умножить на время)

-Что мы знаем по условию задачи?

— Зная скорость и время движения на каждом транспортном средстве, что можно найти?

Зная расстояние, которое проедет на машине и отдельно на поезде, что можно найти?

Возникла проблема. Почему задание вызвало затруднение?

– Как называется числа?

– Как вы думаете, какова тема нашего сегодняшнего урока?

– Какие цели на сегодняшний урок вы перед собой ставите?

– расстояние

Мы еще не умеем умножать такие примеры.

– Смешанными.

– Умножение смешанных чисел.

Формулируют цели урока

Открытие уч-ся нового знания

Цель: организовать устранение и фиксирование преодоления затруднения.

Познавательные: активизация мыслительной деятельности через проблемное задание;
добывать новые знания извлекать информацию, представленную в разных формах;
ориентирование в условных обозначениях.

Регулятивные:
осмысление выделенных педагогом ориентиров действия в новом учебном материале;
участвовать в оценке и обсуждении полученного результата.

Коммуникативные: оформление своих мыслей согласно заданным рамкам обсуждения, аргументация своих суждений;
участвовать в обсуждениях, работая в паре.

Личностные: понимать свои желания и цели по отношению к общим учебным задачам.

–- Как вы думаете, как можно перемножить смешанные числа? ( Все варианты решений выслушиваются, среди них выбирается самый рациональный, делаем вывод.) Итак, ребята кто скажет алгоритм по которому мы сможем решать такие примеры.

Найдите и прочитайте в учебнике правило умножения смешанных чисел.

– Попробуйте составить алгоритм умножения смешанных чисел?

Параллельно ответам появляется алгоритм на доске, каждому учащемуся раздается памятка – «Алгоритм умножения смешанных чисел».

Закончите решение задачи.

Решение:

= 40 (км) проехал на машине.

= 407 (км) проехал на поезде.

Ответ: 447 км

Обсуждают, высказывают свои гипотезы

Перевести смешанные числа в неправильную дробь
2.Выполнить умножение по правилу умножения дробей
3. Сократить полученное произведение
4. Выделить целую часть

Решают в парах.

Первичное закрепление

Цель: зафиксировать новое знание в речи и знаках; уточнить тему урока.

Познавательные: умение следовать образцу и правилу.

Регулятивные: проявление самостоятельности и инициативы в разных видах деятельности.

Коммуникативные: умение вести диалог,

Давайте на практики попробуем применить данный алгоритм для этого решим следующие примеры.

Работаем по цепочки с проговариванием алгоритма.

Физкультминутка

Личностные: умение применять правила охраны своего здоровья.

Проводит физкультминутку. Называются числа, если правильная дробь – руки вверх.

Если неправильная дробь – руки вперед.

Если смешанное число – хлопают в ладоши.

Самостоятельная работа с таблицей ответов

Цель: организовать выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание;
– организовать самопроверку по эталону.

Познавательные: понимание смысла задания;
возможность применить первоначальные способы поиска информации.

Коммуникативные: осуществление взаимоконтроля по ходу выполнения задания.

– А сейчас, ребята вы будете работать самостоятельно в парах, проговаривая решение каждого задания друг другу

«Однажды в английском графстве Камберленд разразилась гроза. Сильный ветер вырвал деревья с корнями, образуя воронки. В одной из таких воронок жители обнаружили какое-то черное вещество. Название этого вещества зашифровано примерами. Оно присутствует у каждого на столе.

Ответы примера замените буквами, используя соответствие «число-буква».

За правильный и быстрый ответ учащиеся получает по 3 балла.

«Правильно, ребята, это вещество было графит!

Дома историческая справка «Открытие графита»

Работают в паре проговаривая решение по очереди.

Найди ошибку

Включение нового знания в систему знаний и повторение

Цель: включить новое знание в систему уже имеющихся.

Если останется время

Познавательные: находить ответы на вопросы используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке. Находить и формулировать решение задачи с помощью простейшей модели(рисунка).

Коммуникативные: слушать и понимать речь других.

– А сейчас откроем учебник стр.73 № 450. Что нам нужно сделать?

– Прочитайте задачу.

– Решить задачу

– Как двигались два велосипедиста?

– В одном направлении

– Зная скорость первого велосипедиста и то, что скорость второго в 1 раза больше, что можно найти?

– Скорость второго велосипедиста

– Как найти скорость второго велосипедиста?

– Скорость первого велосипедиста умножить на 1

– Зная скорости двух велосипедистов, что можно найти?

– Скорость удаления

– Как найти скорость удаления?

– Из большей скорости вычесть меньшую скорость

– Зная скорость удаления и время, что можно найти?

– Расстояние которое будет между двумя велосипедистами через 1

– Оформите решение задачи самостоятельно.

Домашнее задание,

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

Комментирует содержание домашнего задания, выясняет, у кого могут возникнуть проблемы при его выполнении

П.14,№№472(к-п),476,482(б)

Записывают домашнее задание

Рефлексия

Цели:
– зафиксировать содержание урока;
– организовать рефлексию собственной учебной деятельности.

Регулятивные: формирование умения адекватно оценивать свою деятельность.

Личностные: оценивание разного вида деятельности на уроке.

– Итак, каждый ставил перед собой цель, поднимите руки, кто достиг ее.
– Что помогало, что мешало вашей успешной работе?
– Скажите, пожалуйста люди какой профессии сталкиваются со смешанными числами и применяют алгоритм умножения смешанных чисел?
– Итак, повара, продавцы, бухгалтера применяют в своей работе алгоритм умножения смешанных чисел.
– Повторите алгоритм умножения смешанных чисел.
– Спасибо, дети за урок, сегодня мы сделали еще одно открытие в изучении математики. Вы все просто МОЛОДЦЫ!

Ответы учеников

Деление одной дроби. Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями. Умножение дробей с разными знаменателями

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Вконтакте

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

правильные;
неправильные;
смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.

Как разделить простую дробь на натуральное число?
Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.

Для этого мы должны выполнить ряд действий:
Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:

Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.

Как разделить десятичную дробь на целое число?
Десятичная дробь — это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.

Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.

Подводя итоги, остановимся на двух основных моментах, которые важны при выполнении операции деления десятичных дробей на целое число:

для разделения десятичной дроби на натуральное число применяют деление в столбик;
запятая ставится в частном тогда, когда закончено деление целой части делимого.

Применяя эти простые правила, всегда можно без особого труда разделить любую десятичную или простую дроби на целое число.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби a b на c d , тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель c d , это даст в итоге делимое a b . Получим число и запишем его a b · d c , где d c является обратным c d числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b , где выражение a b · d c является частным от деления a b на c d .

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь a b на c d , необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: a b: c d = a b · d c

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 9 7 на 5 3 . Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 5 3 – это обратная дробь 3 5 . Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35 .

Ответ: 9 7: 5 3 = 27 35 .

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 8 15: 24 65 . Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 8 15: 24 65 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8 · 65 15 · 24 = 2 · 2 · 2 · 5 · 13 3 · 5 · 2 · 2 · 2 · 3 = 13 3 · 3 = 13 9

Выделяем целую часть и получаем 13 9 = 1 4 9 .

Ответ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число:чтобы разделить a b на натуральное число n , необходимо умножить только знаменатель на n . Отсюда получим выражение: a b: n = a b · n .

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 16 45 на число 12 .

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 16 45: 12 = 16 45 · 12 .

Произведем сокращение дроби. Получим 16 45 · 12 = 2 · 2 · 2 · 2 (3 · 3 · 5) · (2 · 2 · 3) = 2 · 2 3 · 3 · 3 · 5 = 4 135 .

Ответ: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную a b , необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби a b .

Исходя из правила, имеем n: a b = n · b a , а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n: a b = n · b a . Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 15 28 .

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15 . Сократим дробь и получим результат в виде дроби 46 2 3 .

Ответ: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное числолегко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 35 16 на 3 1 8 .

Решение

Так как 3 1 8 — смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 3 1 8 = 3 · 8 + 1 8 = 25 8 . Теперь произведем деление дробей. Получим 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 · 8 25 = 35 · 8 16 · 25 = 5 · 7 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · (5 · 5) = 7 10

Ответ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение смешанных чисел — методы и примеры

Смешанное число — это число, состоящее из целого числа и дроби, например 2 ½ — смешанное число.

Как умножать смешанные числа?

Смешанные числа можно умножать, предварительно преобразовав их в неправильные дроби. Например, 2 ½ можно преобразовать в 5/2 перед процессом умножения. Ниже приведены общие правила умножения смешанных чисел:

Сначала преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.
Умножьте числители каждой дроби друг на друга и поместите произведение вверху.
Умножьте знаменатели каждой дроби друг на друга (числа внизу). Произведение является знаменателем новой дроби.
Упростите или сократите окончательный ответ до минимально возможных терминов.

Умножение смешанных дробей и смешанных чисел

Один из методов умножения смешанных дробей — преобразовать их в неправильные дроби.

Пример 1

3 ¹/₈ x 2 ²/₃

Решение

Преобразование каждой дроби в неправильную дробь,

3 ¹ / ₈ = {(3 x 8) +} / 8 = 25/8
2 ²/₃ = {(2 x 3) + 2} / 3 = 8/3

Умножьте числитель и знаменатели,

25/8 x 8/3 = (25 x 8) / (8 x 3)

В этом случае общие множители находятся вверху и внизу, поэтому можно упростить отменой,

= 25/3

Преобразование окончательного ответа в смешанные дроби,

25/3 = 8 ¹/₃

Пример 2

1 ⁴/₅ x 5 ³/₈

Решение

Сначала замените смешанные числа на неправильные дроби

1 ⁴/₅ = (1 x 5 + 4) / 5 = 9/5

5 ³/₈ = (8 x 5 +3) / 8 = 43/8

9/5 x 43/8 = 387/40

Вы либо ответите как неправильную дробь, либо преобразуете его в смешанное число

387/40 = 9 ²⁷/₄₀

Метод модели площади

Умножение смешанных чисел также можно выполнить с помощью другого метода, называемого моделью площади.Этот метод проиллюстрирован ниже:

Пример 3

2 ²/₅ x 3 ¹/₄

Решение

Нарисуйте модель с областью для обоих целое и дробное число

Умножение каждой строки на каждый столбец

X	2	2/5
3	2 x 3 = 6	3 x 2/5 = 6/5
¼	1/4 x 2 = 1/2	1/4 x 2/5 = 2/20 = 1/10

Добавьте все продукты в таблицу.

6 + 1/2 + 6/5 + 1/10

The L.C.M. из 2, 5 и 10 = 10

Следовательно, 1/2 + 6/5 + 1/10 = 5/10 + 12/10 + 1/10

Сложите только числители, сохраняя знаменатель

( 5 + 12 + 1) / 10

= 18/10 = 1 ⁸/₁₀

= 7 ⁸/₁₀

Упростите дробь до самых низких значений.

= 7 ⁴/₅

Практический вопрос

Женщина раздала ананас своим 6 дочерям.Если каждому человеку досталось по 1/9 ананаса. Подсчитайте общую долю ананаса, которую раздала женщина.
Эдвин и Энн купили на свадьбу 15 кг сладостей и раздали 3/4 из них посетителям. Сколько сладостей они раздали?
Мой вес был 60 кг, прежде чем я потерял 1/10 веса за последние 3 месяца. Насколько я похудел?
У Джейсона на банковском счете было 3140 долларов. 2/5 из них он потратил на продукты питания. Сколько денег он потратил?
У Стеллы было 15 литров молока в емкости.Если она выпила 3/4 молока. Сколько литров молока было выпито?
Мальчик проходит 3 ¹/₂ километров в день. Какое общее расстояние преодолевается за одну неделю?
Ахмед прочитал 2/3 своего сборника рассказов на 420 страницах. Если Майк прочитал 3/4 той же книги рассказов, найдите, кто прочитал много страниц и сколько их было?
Прямоугольный школьный сад имеет длину 6 4/5 метра и ширину 1 3/8 метра. Рассчитайте площадь сада.
Для изготовления платья требуется 5/6 ярдов шерсти.Сколько ярдов шерсти нужно, чтобы сшить 8 одинаковых платьев?
Велопробег в пятницу проехал 4 ³/₇ километров. Если в субботу он проехал 8 раз, чем в пятницу. Сколько километров было пройдено за субботу? Запишите финал в виде смешанной дроби.
Портному нужно достаточно ткани, чтобы сшить три с половиной шляпы. Если для изготовления одной шляпы требуется одна и две седьмых, сколько ткани потребуется для изготовления трех с половиной шляп?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей — предалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Умножение и деление смешанных чисел
Перевести фразы в выражения с дробями
Упростить сложные дроби
Упростите выражения, написанные дробной чертой

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Разделите и сократите, если возможно:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Преобразовать в неправильную дробь.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Умножение и деление смешанных чисел

В предыдущем разделе вы узнали, как умножать и делить дроби. Во всех примерах использовались правильные или неправильные дроби.Что происходит, когда вас просят умножить или разделить смешанные числа? Помните, что мы можем преобразовать смешанное число в неправильную дробь. И вы узнали, как это сделать в Visualize Fractions.

Умножить:

Решение

Обратите внимание, что мы оставили ответ как неправильную дробь и не преобразовали его в смешанное число. В алгебре предпочтительнее записывать ответы в виде неправильных дробей, а не смешанных чисел. Это позволяет избежать путаницы между и

Умножьте и запишите свой ответ в упрощенном виде:

Умножайте или делите смешанные числа.

Преобразует смешанные числа в неправильные дроби.
Следуйте правилам умножения или деления дробей.
Упростите, если возможно.

Умножьте и запишите свой ответ в упрощенном виде:

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде.

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде:

Разделить:

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде:

Упростите сложные дроби

Наша работа с дробями до сих пор включала правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа.Другой вид дроби называется комплексной дробью, которая представляет собой дробь, в числителе или знаменателе которой содержится дробь.

Примеры сложных дробей:

Чтобы упростить сложную дробь, помните, что черта дроби означает деление. Таким образом, комплексная дробь может быть записана как

Упростить:

Упростите сложную дробь.

Перепишем сложную дробь как задачу деления.
Соблюдайте правила деления дробей.
Упростите, если возможно.

Упростить:

Ключевые понятия

Умножайте или делите смешанные числа.
1. Преобразует смешанные числа в неправильные дроби.
2. Следуйте правилам умножения или деления дробей.
3. Упростите, если возможно.
Упростите сложную дробь.
1. Перепишем сложную дробь как задачу деления.
2. Соблюдайте правила деления дробей.
3. Упростите, если возможно.
Знак минус в дроби.
- Для любых положительных чисел и,.
Упростите выражение дробной чертой.
1. Упростим числитель.
2. Упростим знаменатель.
3. Упростите дробь.

Практика ведет к совершенству

Умножение и деление смешанных чисел

В следующих упражнениях умножьте и запишите ответ в упрощенной форме.

В следующих упражнениях разделите и запишите свой ответ в упрощенной форме.

Преобразование фраз в выражения с дробями

В следующих упражнениях переведите каждую английскую фразу в алгебраическое выражение.

частное от

частное и сумма и

частное и разница и

Упростите сложные дроби

В следующих упражнениях упростите сложную дробь.

Упростите выражения с помощью дроби

В следующих упражнениях найдите эквивалентные дроби.

Какая из следующих дробей эквивалентна

Упростите следующие упражнения.

Повседневная математика

Выпечка Рецепт шоколадного печенья требует чашки муки.Грасиела хочет удвоить рецепт.

ⓐ Сколько муки понадобится Грасиеле? Покажи свой расчет. Запишите результат в виде неправильной дроби и смешанного числа.
ⓑ Мерные стаканы обычно идут в комплекте с стаканчиками для стакана. Нарисуйте диаграмму, чтобы показать два разных способа, которыми Грасиела могла отмерить муку, необходимую для удвоения рецепта.

Письменные упражнения

Объясните, как найти величину, обратную смешанному числу.

Объясните, как умножать смешанные числа.

Рэнди думает, что это так. Объясните, что не так с мыслями Рэнди.

Объясните, почему и эквивалентны.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Глоссарий

сложная фракция: Комплексная дробь — это дробь, в числителе или знаменателе которой содержится дробь.

Калькулятор умножения смешанных чисел

Как найти произведение двух смешанных чисел?

Смешанное число $ A \ frac ab $ или иногда называемое \ underline {смешанная дробь} представляет собой сумму ненулевого целого числа $ A $ и правильной дроби $ \ frac ab $. Числитель $ a $ и знаменатель $ b $ правильной дроби должны быть натуральными числами. В обозначении смешанных чисел в сумме явно не используется оператор плюс. Например, две пиццы и одна треть другой пиццы обозначаются как $ 2 \ frac 13 $ вместо $ 2 + \ frac 13 $.Отрицательное смешанное число, например $ -2 \ frac 13 $, представляет собой сумму $ — (2+ \ frac 13) $. Смешанные числа также можно записывать в виде десятичных знаков, например, $ 2 \ frac 12 = 2,5 $.
Неправильные дроби — это рациональные числа, у которых числитель больше знаменателя. Неправильные дроби можно переписать как смешанное число следующим образом:

Разделим числитель на знаменатель;
Целая часть частного представляет собой целое число смешанного числа;
Напоминание — новый числитель правильной дроби;
Знаменатель правильной дроби равен знаменателю неправильной дроби.

Точнее, несобственная дробь $ \ frac {a} {b}, a> b, $ может быть переписана как смешанное число следующим образом $$ \ frac {a} {b} = \ Big [\ frac ab \ Big] \ frac {a- \ Big [\ frac ab \ Big] \ times b} {b}, \ quad \ mbox {for} \ ; b \ ne0, $$ где квадратные скобки $ [\; ] $ означает округление до ближайшего целого числа. Например, $ \ frac 8 5 $ равно $ 1 \ frac 35 $.
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, выполните следующие действия:

Умножьте знаменатель правильной дроби на целое число смешанного числа и прибавьте его к числителю;
Знаменатель неправильной дроби равен знаменателю правильной дроби смешанного числа.

Это означает, что смешанное число $ A \ frac {a} {b} $ для $ a, b> 0 $ можно переписать как неправильную дробь следующим образом $$ A \ frac {a} {b} = \ frac {A \ times b + a} {b}, \ quad \ mbox {for} \; a, b> 0 $$ Например, $$ 10 \ frac 35 = \ frac {10 \ times5 + 3} {5} = \ frac {53} 5 $$ Умножение смешанных чисел или переменных может обозначаться знаком умножения $ \ times $ между двумя числами, точкой между двумя числами или круглыми скобками вокруг одного или обоих чисел. Например, $$ 2 \ frac {1} {3} \ times 3 \ frac {1} {2}, \ quad 2 \ frac {1} {3} \ cdot3 \ frac {1} {2}, \ quad \ Big (2 \ frac {1} {3} \ Big) 3 \ frac {1} {2}, \ quad2 \ frac {1} {3} \ Big (3 \ frac {1} {2} \ Big), \ quad \ Большой (2 \ frac {1} {3} \ Big) \ Big (3 \ frac {1} {2} \ Big) $$ Чтобы умножить смешанные числа, преобразуйте их в неправильные дроби, а затем умножьте дроби.Произведение двух смешанных чисел $ A \ frac {a} {b} $ и $ B \ frac {c} {d} $ может быть выражено формулой $$ A \ frac {a} {b} \ times B \ frac {c} {d} = \ Big (\ frac {A \ times b + a} {b} \ Big) \ times \ Big (\ frac { B \ times d + c} {d} \ Big) = \ frac {(A \ times b + a) \ times (B \ times d + c)} {b \ times d}, \ quad \ mbox {for} \; a, b, c, d> 0 $$ Например, перемножим дроби $ 7 \ frac {1} {6} $ и $ 2 \ frac {1} {3} $. Преобразовав эти числа в неправильные дроби, получим $$ 7 \ frac {1} {6} = \ frac {1 \ times 6 + 1} {6} = \ frac {43} {6} \; \ mbox {and} \; 2 \ frac {1} {3 } = \ frac {2 \ times 3 + 1} {6} = \ frac {7} {6} $$ Таким образом, умножение двух смешанных чисел эквивалентно умножению одной дроби на другую дробь.Напомним, умножение одной дроби на другую дробь определяется следующими шагами:

Умножаем числители;
Умножаем знаменатели;
При необходимости упростите продукт.

Итак,
$$ 7 \ frac {1} {6} \ times 2 \ frac {1} {3} = \ frac {43} {6} \ times \ frac {7} {6} = \ frac {43 \ times7} {6 \ times6} = \ frac {301} {18} $$ Чтобы записать продукт как смешанное число, мы используем вышеупомянутое преобразование неправильной дроби в смешанное число: $$ \ frac {301} {18} = 16 \ frac {13} {18} $$ Работа по умножению смешанных чисел с шагами показывает полное пошаговое вычисление для нахождения произведения двух смешанных чисел $ 7 \ frac {1} {6} $ и $ 2 \ frac {1} {3} $ с использованием умножения смешанных чисел. правило.Для любых других смешанных чисел просто укажите два смешанных числа в виде целого числа и правильной дроби и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор умножения смешанных чисел для создания работы, проверки результатов умножения чисел, полученных вручную, или для эффективного выполнения домашних заданий.

Умножение дробей

Умножение дробей можно выполнить, выполнив несколько относительно простых шагов. В отличие от сложения или вычитания дробей нам не нужен общий знаменатель.Мы можем сразу же умножить любые две или более дроби, следуя этим правилам:

Умножить все числители каждой умножаемой дроби
Умножьте все знаменатели каждой умножаемой дроби (порядок шагов 1 и 2 можно поменять местами)
Запишите произведение числителей и знаменателей в числителе и знаменателе новой дроби, соответственно.
При необходимости упростите результат

Примеры

Решить:

Сначала умножаем числители:

2 × 4 = 8

Далее умножаем знаменатели:

5 × 7 = 35

Итак,

У чисел 8 и 35 нет делителей, поэтому дробь уже упрощена.

В следующем примере нам нужно будет упростить:

Вышеупомянутая дробь еще не упрощена, потому что 10 и 54 делят множитель 2. Итак, мы делим 10 на 2 и 54 на 2, чтобы получить:

Это эквивалентные дроби.

Умножение дробей и целых чисел

Процесс умножения дробей и целых чисел практически одинаков. Нам просто нужно записать целое число в виде дроби, чтобы умножить его. Целое число в форме дроби может быть представлено так называемой неправильной дробью.Просто неправильная дробь — это дробь, в которой значение дроби больше 1.

Чтобы представить целое число в форме дроби, мы можем просто рассматривать целое число как числитель дроби, помещая 1 в знаменатель, поскольку 5 ÷ 1 по-прежнему равно 5. Это то же число, но позволяет нам видеть целое число 5 в виде дроби.

Примеры

Решить:

Записываем сначала 12 как целое число, затем умножаем дроби:

Если вы освоите целые числа и дроби, нет необходимости записывать целое число в дробной форме.1, умноженная на что-либо в знаменателе, сохранит знаменатель неизменным, поэтому нам просто нужно умножить целое число на числитель, а затем упростить дробь.

Умножение смешанных дробей

Умножение смешанных дробей в основном требует, чтобы мы преобразовали смешанную дробь в неправильную дробь перед умножением.

Пример

Решить:

Сначала посмотрим на смешанное число,. Чтобы преобразовать это в неправильную дробь, мы умножаем знаменатель, 4, на 2, а затем добавляем числитель.Это дает нам числитель неправильной дроби, в то время как знаменатель неправильной дроби остается прежним. Итак:

2 × 4 + 3 = 11, поэтому

Чтобы понять почему, мы можем рассматривать это как задачу сложения дробей. Мы знаем, что нам нужен общий знаменатель, чтобы можно было складывать дроби. Цифра 2 в эквивалентных дробях — это. Мы могли бы взглянуть на это по-другому: 2 = 1 + 1, а 1 с общим знаменателем эквивалентно. Независимо от того, как мы представляем 2 в дробях, когда мы добавляем его к, мы получаем:

, что мы и получили, когда конвертировали описанным выше методом.

Теперь мы можем закончить задачу умножения:

Это уже упрощено, но если бы мы хотели, мы могли бы также представить его в смешанных дробях, изменив шаги, показанные выше.

77 делит 36 дважды, в результате остается 5, поэтому:

Смешанные числа и неправильные дроби

Смешанное число представляет собой комбинацию целого числа и дроби. Например, если у вас есть два целых яблока и одно половинное яблоко, вы можете описать это как 2 + ¹/2 яблока или 2 ¹/2 яблока.

Запись смешанных чисел в виде дробей

Это смешанное число также можно выразить дробью. Каждое целое яблоко содержит две половинки яблока. Ваши два целых яблока — это также четыре половинных яблока. Четыре половинки яблока плюс одна половина яблока — это пять половинных яблок. Итак, у вас есть ⁵/2 яблока.

Другими словами: , чтобы превратить смешанное число в дробь, умножьте целое число на знаменатель (нижняя часть) и прибавьте результат к числителю (верхняя часть).

2 ¹/2 =?
Умножьте целое число на знаменатель.
Целое число равно 2.
Знаменатель 2.
2 x 2 = 4.
Добавьте результат в числитель:
В числителе 1.
4 + 1 = 5
В числителе 5. В знаменателе останется 2
2 ¹/2 = ⁵/2

Другой пример

Давайте попробуем другой пример:

5 ²/3 =?
Умножьте целое число на знаменатель.
Целое число равно 5.
Знаменатель 3.
5 x 3 = 15.
Добавьте результат в числитель:
В числителе 2.
15 + 2 = 17
В числителе 17. В знаменателе останется 3
5 ²/3 = ¹⁷/3

Правильные и неправильные дроби

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, например ¹/3 или ²/5, называется правильная дробь. Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, например ⁵/2, ¹⁷/3 или ⁶/6, называется неправильной дробью . (Другими словами, дробь со значением меньше 1 является правильной дробью. Дробь со значением больше или равным 1 является неправильной дробью.)

Как мы показали выше, смешанные числа могут быть записываются в виде неправильных дробей. Точно так же неправильные дроби могут быть записаны как смешанные числа.

Запись неправильных дробей как смешанных чисел

Чтобы записать неправильную дробь как смешанное число, разделите числитель (верхняя часть) на знаменатель (нижняя часть).Частное — это целое число, а остаток — это числитель.

Как бы вы выразили ¹⁷/4 смешанным числом?
Разделите числитель на знаменатель:
17 ÷ 4 = 4, с остатком 1
Частное, 4, является целым числом. Остаток 1 — числитель. В знаменателе остается 4.
¹⁷/4 = 4 ¹/4

Еще два примера

Давайте попробуем еще пару примеров:

¹⁴/9 =?
Разделите числитель на знаменатель:
14 ÷ 9 = 1, с остатком 5
Частное 1 — это целое число.Остаток 5 — числитель. Знаменатель остается 9.
¹⁴/9 = 1 ⁵/9

Если нет остатка, просто возьмите частное как целое число:

²⁰/5 =?
Разделите числитель на знаменатель:
20 ÷ 5 = 4
Частное 4 представляет собой целое число. Остатка нет.
²⁰/5 = 4

Наименьшее общее умножение дробей и смешанных чисел

.com / ipa / 0/9/3/3/4/5 / A0933459.html

Умножение дробей — Math28

Contenido

Что такое умножение дробей?

Умножение дробей — одна из основных операций, которая позволяет получить третью дробь, которая будет произведением предыдущих, известная как «Продукт» или «Результат умножения».

Узнать больше о: « Умножение » →

Знак или знак умножения дробей

Умножение дробей представлено символом креста или «х», оно также может быть представлено средней точкой, символ умножения известен как «на».

Подробнее о: « Операции с дробями » →

Как умножать дроби?

Чтобы получить числовое значение в виде дробей, существует только одна процедура умножения дробей с разным знаменателем или одним и тем же знаменателем.

При умножении дробей числители дробей умножаются, а знаменатели отделяются.

В следующем примере дроби 1/3 и 2/6 умножаются, числители обеих дробей, соответствующих 1 и 2, идентифицируются, умножаются, и результат помещается в числитель. Теперь определите знаменатели обеих дробей, соответствующих 3 и 6, умножьте и поместите результат в знаменатель.

1 / 3

2 / 6

1 х 2 / 3 х 6

2 / 18

Результат 2/18 можно упростить, поскольку числитель и знаменатель можно уменьшить вдвое.Таким образом, половина от 2 равна 1, а половина от 18 равна 9.

Примечание : Дроби 2/18 и 1/9 эквивалентны, поскольку представляют собой одинаковую сумму.

Пример:

2 / 3

4 / 3

2 х 4 / 3 х 3

8 / 9

5 / 2

6 / 2

5 х 6 / 2 х 2

30 / 4

5 / 6

4 / 3

5 х 4 / 6 х 3

20 / 18

8 / 3

2 / 4

8 х 2 / 3 х 4

16 / 12

Из предыдущих примеров вы можете упростить 30/4 = 15/2, 20/18 = 10/9 и 16/12 = 4/3.

Задание:

Умножение трех и более дробей

Процедура аналогична вычислению двух дробей, умножение производится в строке числитель с числителем и знаменатель со знаменателем.

4 / 2

5 / 3

3 / 2

4 х 5 х 3 / 2 х 3 х 2

60 / 12

10 / 2

= 5

Пример:

3 / 2

4 / 2

8 / 2

3 х 4 х 8 / 2 х 2 х 2

96 / 8

3 / 4

5 / 4

10 / 4

3 х 5 х 10 / 4 х 4 х 4

150 / 64

2 / 3

4 / 2

4 / 6

2 х 4 х 4 / 3 х 2 х 6

32 / 36

5 / 4

4 / 8

3 / 2

5 х 4 х 3 / 4 х 8 х 2

60 / 64

Из предыдущих примеров вы можете упростить 96/8 = 12, 32/36 = 8/9 и 60/64 = 15/18.

Задание:

А)

4 / 3

7 / 2

3 / 2

= ? Б)

4 / 2

5 / 2

3 / 4

= ? C)

3 / 2

7 / 2

3 / 2

= ? D)

6 / 6

7 / 6

2 / 6

= ? Посмотреть результат

Умножение смешанных дробей

При умножении смешанных дробей необходимо, чтобы целая часть была выражена дробью, имеющей тот же знаменатель, что и дробная часть, которая ее сопровождает.Например, чтобы выполнить следующее смешанное умножение:

1.- Вся часть умножается на знаменатель соответствующей дроби. 4 х 5 = 20 3 х 8 = 24

2.- Результат умножения складывается с числителем соответствующей дроби.

22 / 5

28 год / 8

22 х 28 / 5 х 8

616 / 40

Подробнее о: « Смешанные фракции » →

4.3 Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей — Предалгебра 2e

Задачи обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Умножение и деление смешанных чисел
Перевести фразы в выражения с дробями
Упростить сложные дроби
Упростите выражения, написанные дробной чертой

Будьте готовы 4.6

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Разделите и уменьшите, если возможно: (4 + 5) ÷ (10−7).(4 + 5) ÷ (10-7).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 3.21.

Будьте готовы 4,7

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: 18 · 2318 · 23.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 4.25.

Будьте готовы 4.8

Преобразуйте 235235 в неправильную дробь.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 4.11.

Умножение и деление смешанных чисел

В предыдущем разделе вы узнали, как умножать и делить дроби.Во всех примерах использовались правильные или неправильные дроби. Что происходит, когда вас просят умножить или разделить смешанные числа? Помните, что мы можем преобразовать смешанное число в неправильную дробь. И вы узнали, как это сделать в Visualize Fractions.

Пример 4.37

Решение

	313 · 58313 · 58
Преобразуйте 313313 в неправильную дробь.	103 · 58103 · 58
Умножить.	10 · 53 · 810 · 53 · 8
Найдите общие множители.	2̸ · 5 · 53 · 2̸ · 42̸ · 5 · 53 · 2̸ · 4
Удалите общие множители.	5 · 53 · 45 · 53 · 4
Упростить.	25122512

Обратите внимание, что мы оставили ответ как неправильную дробь, 2512,2512, и не преобразовали его в смешанное число. В алгебре предпочтительнее записывать ответы в виде неправильных дробей, а не смешанных чисел.Это позволяет избежать путаницы между 21122112 и 2 · 112,2 · 112.

Попробуйте 4.73

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: 523 · 617,523 · 617.

Попробуйте 4.74

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: 37 · 514,37 · 514.

Как сделать

Умножайте или делите смешанные числа.

Шаг 1. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.
Шаг 2. Следуйте правилам умножения или деления дробей.
Шаг 3. По возможности упростите.

Пример 4.38

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: 245 (−178). 245 (−178).

Решение

	245 (−178) 245 (−178)
Преобразует смешанные числа в неправильные дроби.	145 (−158) 145 (−158)
Умножить.	— 14 · 155 · 8 — 14 · 155 · 8
Найдите общие факторы.	— 2̸ · 7 · 5̸ · 35̸ · 2̸ · 4 — 2̸ · 7 · 5̸ · 35̸ · 2̸ · 4
Удалите общие множители.	— 7 · 34 — 7 · 34
Упростить.	— 214 — 214

Попробуйте 4.75

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде. 557 (-258), 557 (-258).

Попробуйте 4.76

Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде. −325 · 416. − 325 · 416.

Пример 4.39

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде: 347 ÷ 5.347 ÷ 5.

Решение

	347 ÷ 5347 ÷ 5
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби.	257 ÷ 51257 ÷ 51
Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	257 · 15257 · 15
Умножить.	25 · 17 · 525 · 17 · 5
Найдите общие множители.	5̸ · 5 · 17 · 5̸5̸ · 5 · 17 · 5̸
Удалите общие множители.	5 · 175 · 17
Упростить.	5757

Попробуйте 4.77

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде: 438 ÷ 7,438 ÷ 7.

Попробуйте 4.78

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде: 258 ÷ 3,258 ÷ 3.

Пример 4,40

Деление: 212 ÷ 114. 212 ÷ 114.

Решение

	212 ÷ 114212 ÷ 114
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби.	52 ÷ 5452 ÷ 54
Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	52 · 4552 · 45
Умножить.	5 · 42 · 55 · 42 · 5
Найдите общие факторы.	5̸ · 2̸ · 22̸ · 1 · 5̸5̸ · 2̸ · 22̸ · 1 · 5̸
Удалите общие множители.	2121
Упростить.	22

Попробуйте 4.79

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде: 223 ÷ 113.223 ÷ 113.

Попробовать 4.80

Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде: 334 ÷ 112.334 ÷ 112.

Перевести фразы в выражения с дробями

Слова частное и отношение часто используются для описания дробей. В разделе «Вычитание целых чисел» мы определили частное как результат деления. Частное от aandbaandb — это результат деления abyb, abyb или ab.ab. Давайте попрактикуемся в переводе некоторых фраз в алгебраические выражения, используя эти термины.

Пример 4.41

Переведите фразу в алгебраическое выражение: «частное 3x3x и 8.» 8 ».

Решение

Ключевое слово , частное ; он говорит нам, что это деление. Найдите слова из и и , чтобы найти числа, которые нужно разделить.

Частное 3x и 8. Частное 3x и 8.

Это говорит нам о том, что нам нужно разделить 3x3x на 8,8. 3x83x8

Попробуйте 4.81

Переведите фразу в алгебраическое выражение: частное 9s9s и 14.14.

Попробуйте 4.82

Переведите фразу в алгебраическое выражение: частное 5y5y и 6,6.

Пример 4.42

Переведите фразу в алгебраическое выражение: частное от разницы mm и n, n и p.p.

Решение

Мы ищем частное от разницы мм и , и p.p. Это означает, что мы хотим разделить разницу в мм, и nn на p.п.

Попробуйте 4.83

Переведите фразу в алгебраическое выражение: частное от разницы aa и b, b и cd.cd.

Попробуйте 4.84

Переведите фразу в алгебраическое выражение: частное от суммы pp и q, q и r.r.

Упростите сложные дроби

Наша работа с дробями до сих пор включала правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа. Другой вид дроби называется комплексной дробью, которая представляет собой дробь, в числителе или знаменателе которой содержится дробь.

Примеры сложных дробей:

Чтобы упростить сложную дробь, помните, что черта дроби означает деление. Таким образом, комплексная дробь 34583458 может быть записана как 34 ÷ 58,34 ÷ 58.

Пример 4.43

Решение

	34583458
Перепишите как деление.	34 ÷ 5834 ÷ 58
Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	34 · 8534 · 85
Умножить.	3 · 84 · 53 · 84 · 5
Найдите общие факторы.	3 · 4̸ · 24̸ · 53 · 4̸ · 24̸ · 5
Удалите общие множители и упростите.	6565

How To

Упростите сложную дробь.

Шаг 1. Перепишите сложную дробь как задачу деления.
Шаг 2. Соблюдайте правила деления дробей.
Шаг 3.Если возможно, упростите.

Пример 4.44

Решение

	−673−673
Перепишите как деление.	−67 ÷ 3−67 ÷ 3
Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	−67 · 13−67 · 13
Умножить; продукт будет отрицательным.	−6 · 17 · 3−6 · 17 · 3
Найдите общие множители.	−3̸ · 2 · 17 · 3̸ − 3̸ · 2 · 17 · 3̸
Удалите общие множители и упростите.	−27−27

Попробуйте 4.88

Упростить: −3910. − 3910.

Пример 4.45

Решение

	x2xy6x2xy6
Перепишите как разделение.	x2 ÷ xy6x2 ÷ xy6
Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	x2 · 6xyx2 · 6xy
Умножить.	x · 62 · xyx · 62 · xy
Найдите общие множители.	x̸ · 3 · 2̸2̸ · x̸ · yx̸ · 3 · 2̸2̸ · x̸ · y
Удалите общие множители и упростите.	3y3y

Пример 4.46

Решение

	2341823418
Перепишите как разделение.	234 ÷ 18234 ÷ 18
Заменить смешанное число на неправильную дробь.	114 ÷ 18114 ÷ 18
Умножьте первую дробь на обратную величину второй.	114 · 81114 · 81
Умножить.	11 · 84 · 111 · 84 · 1
Найдите общие множители.	11 · 4̸ · 24̸ · 111 · 4̸ · 24̸ · 1
Удалите общие множители и упростите.	2222

Упростите выражения с помощью дроби

Где идет знак минус в дроби? Обычно перед дробью ставится знак минус, но иногда можно увидеть дробь с отрицательным числителем или знаменателем.Помните, что дроби представляют собой деление. Дробь −13−13 может быть результатом деления −13, −13, отрицательного числа на положительное или деления 1−3,1−3, положительного числа на отрицательное. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательное.

Если и числитель и знаменатель отрицательны, тогда сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное на отрицательное.

−1−3 = 13 отрицательный отрицательный = положительный − 1−3 = 13 отрицательный отрицательный = положительный

Знак минус в дроби

Для любых положительных чисел aandb, aandb,

−ab = a − b = −ab − ab = a − b = −ab

Пример 4.47

Какая из следующих дробей эквивалентна 7-8? 7-8?

−7−8, −78,78, −78−7−8, −78,78, −78

Решение

Частное положительного и отрицательного отрицательного, поэтому 7−87−8 отрицательное. Из перечисленных фракций -78, -78-78 и -78 также отрицательны.

Попробовать 4.93

Какая из следующих дробей эквивалентна −35? −35?

−3−5,35, −35,3−5−3−5,35, −35,3−5

Попробовать 4.94

Какая из следующих дробей эквивалентна −27? −27?

−2−7, −27,27,2−7−2−7, −27,27,2−7

Полоски дроби действуют как символы группировки.Выражения над и под дробной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки. Например, 4 + 85−34 + 85−3 означает (4 + 8) ÷ (5−3). (4 + 8) ÷ (5−3). Порядок операций говорит нам сначала упростить числитель и знаменатель — как если бы были круглые скобки — перед тем, как делить.

Мы добавим дробные черты к нашему набору символов группировки из раздела «Использование языка алгебры», чтобы получить здесь более полный набор.

Группировка символов

Как сделать

Упростите выражение с помощью дробной черты.

Шаг 1. Упростим числитель.
Шаг 2. Упростим знаменатель.
Шаг 3. Упростим дробь.

Пример 4.48

Упростить: 4 + 85−3,4 + 85−3.

Решение

	4 + 85-34 + 85-3
Упростите выражение в числителе.	125−3125−3
Упростим выражение в знаменателе.	122122
Упростим дробь.	6

Попробовать 4.95

Упростить: 4 + 611−2,4 + 611−2.

Попробовать 4.96

Упростить: 3 + 518−2,3 + 518−2.

Пример 4.49

Упростить: 4−2 (3) 22 + 2,4−2 (3) 22 + 2.

Решение

	4−2 (3) 22 + 24−2 (3) 22 + 2
Используйте порядок операций. Умножьте в числителе и используйте показатель степени в знаменателе.	4−64 + 24−64 + 2
Упростим числитель и знаменатель.	−26−26
Упростим дробь.	-13-13

Попробовать 4.97

Упростить: 6−3 (5) 32 + 3,6−3 (5) 32 + 3.

Попробовать 4.98

Упростить: 4−4 (6) 33 + 3,4−4 (6) 33 + 3.

Пример 4,50

Упростите: (8-4) 282-42. (8-4) 282-42.

Решение

	(8-4) 282-42 (8-4) 282-42
Используйте порядок операций (сначала скобки, затем показатели).	(4) 264-16 (4) 264-16
Упростим числитель и знаменатель.	16481648
Упростим дробь.	1313

Попробовать 4,99

Упростите: (11-7) 2112-72. (11-7) 2112-72.

Попробуй 4.100

Упростить: (6 + 2) 262 + 22. (6 + 2) 262 + 22.

Пример 4.51

Упростить: 4 (−3) +6 (−2) −3 (2) −2,4 (−3) +6 (−2) −3 (2) −2.

Решение

	4 (−3) +6 (−2) −3 (2) −24 (−3) +6 (−2) −3 (2) −2
Умножить.	−12 + (- 12) −6−2−12 + (- 12) −6−2
Упростить.	−24−8−24−8
Разделить.	33

Попробуйте 4.101

Упростить: 8 (−2) +4 (−3) −5 (2) +3,8 (−2) +4 (−3) −5 (2) +3.

Попробуйте 4.102

Упростить: 7 (−1) +9 (−3) −5 (3) −2,7 (−1) +9 (−3) −5 (3) −2.

Раздел 4.3 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Умножение и деление смешанных чисел

В следующих упражнениях умножьте и запишите ответ в упрощенной форме.

182.

−449 · 51316−449 · 51316

183.

−1720 · 21112−1720 · 21112

В следующих упражнениях разделите и запишите свой ответ в упрощенной форме.

190.

−935 ÷ (−135) −935 ÷ (−135)

191.

−1834 ÷ (−334) −1834 ÷ (−334)

Переводите фразы в выражения с дробями

В следующих упражнениях переводите каждую английскую фразу в алгебраическое выражение.

192.

частное 5u5u и 1111

193.

частное 7v7v и 1313

194.

частное пп и qq

195.

частное aa и bb

196.

частное rr и суммы ss и 1010

197.

частное AA и разница 33 и BB

Упростите сложные дроби

В следующих упражнениях упростите сложные дроби.

Упростите выражения с помощью шкалы дробей

В следующих упражнениях определите эквивалентные дроби.

214.

Какая из следующих дробей эквивалентна 5-11? 5-11?
−5−11, −511,511, −511−5−11, −511,511, −511

215.

Какая из следующих дробей эквивалентна −49? −49?
−4−9, −49,49, −49−4−9, −49,49, −49

216.

Какая из следующих дробей эквивалентна −113? −113?
−113,113, −11−3,11−3−113,113, −11−3,11−3

217.

Какая из следующих дробей эквивалентна −136? −136?
136,13-6, -13-6, -136136,13-6, -13-6, -136

Упростите следующие упражнения.

226.

22−1419−1322−1419−13

234.

8⋅3 + 2⋅914 + 38⋅3 + 2⋅914 + 3

235.

9⋅6−4⋅722 + 39⋅6−4⋅722 + 3

236.

15⋅5-522⋅1015⋅5-522⋅10

237.

12⋅9-323⋅1812⋅9-323⋅18

238.

5⋅6−3⋅44⋅5−2⋅35⋅6−3⋅44⋅5−2⋅3

239.

8⋅9−7⋅65⋅6−9⋅28⋅9−7⋅65⋅6−9⋅2

242.

2 + 4 (3) −3−222 + 4 (3) −3−22

243.

7 + 3 (5) −2−327 + 3 (5) −2−32

244.

7⋅4−2 (8−5) 9⋅3−3⋅57⋅4−2 (8−5) 9⋅3−3⋅5

245.

9⋅7−3 (12−8) 8⋅7−6⋅69⋅7−3 (12−8) 8⋅7−6⋅6

246.

9 (8−2) −3 (15−7) 6 (7−1) −3 (17−9) 9 (8−2) −3 (15−7) 6 (7−1) −3 (17 −9)

247.

8 (9−2) −4 (14−9) 7 (8−3) −3 (16−9) 8 (9−2) −4 (14−9) 7 (8−3) −3 (16 −9)

Повседневная математика

248.

Выпечка Рецепт шоколадного печенья требует 214214 стаканов муки. Грасиела хочет удвоить рецепт.

ⓐ Сколько муки понадобится Грасиеле? Покажи свой расчет. Запишите результат в виде неправильной дроби и смешанного числа.
ⓑ Мерные стаканы обычно поставляются в наборах с стаканами на 18, 14, 13, 12 и 118, 14, 13, 12 и 1 стакан. Нарисуйте диаграмму, чтобы показать два разных способа, которыми Грасиела могла отмерить муку, необходимую для удвоения рецепта.

249.

Выпечка В киоске на окружной ярмарке продают помадку фунтами. Их отмеченная наградами помадка «Шоколадная передозировка» содержит 223223 чашки шоколадной стружки на фунт.

ⓐ Сколько чашек шоколадной стружки в полфунта помадки?
ⓑ Владельцы киоска делают помадку партиями по 1010 фунтов.Сколько шоколадных чипсов им нужно, чтобы приготовить партию весом 1010 фунтов? Запишите результаты в виде неправильных дробей и смешанных чисел.

Письменные упражнения

250.

Объясните, как найти величину, обратную смешанному числу.

251.

Объясните, как умножать смешанные числа.

252.

Рэнди считает, что 312 · 514312 · 514 — это 1518,1518. Объясните, что не так с мыслями Рэнди.

253.

Объясните, почему −12, −12, −12, −12 и 1-21−2 эквивалентны.