Деление дробей с разными знаменателями – примеры и правила (5 класс, математика)

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 286.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 286.

Дроби неприятны тем, что большое воздействие на действия с ними оказывают знаменатели. Часто ученики 5 класса приходят в ступор при виде дробей с разными знаменателями, начиная выполнять, лишние действия и терять время. А ведь не для всех действий с дробями требуется наличие одинакового знаменателя, поговорим подробнее о данном вопросе.

Действия с дробями

Необходимость приведения к одному знаменателю зависит от выполняемых действий. Разобьем возможные действия на группы и разберемся с каждой из групп в отдельности.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание дробей основано на вынесении общего множителя. Рассмотрим на примере, как выглядит сложение дробей в подробности:

$${3\over{13}}+{5\over{13}}={1\over{13}}*(3+5)={8\over{13}}$$

Это значит, что сложение и вычитание дробей возможно только при условии наличия одинакового знаменателя.

Если знаменатели у дробей разные, то необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Если не привести дроби к одному знаменателю, то общий множитель просто не получится вынести, а принцип сложение осуществить не получится. Поэтому вычитание или сложение дробей с разными знаменателями невозможно. Это непреложное правило.

Умножение

Умножение дробей не требовательно к знаменателю. Здесь используется совершенно иной принцип. Дело в том, что дробную черту можно заменить знаком деления. Тогда:

${3\over{5}}*{2\over{3}}=3:5*2:3=(3*2):(5*3)={6\over{15}}$ – для того, чтобы перемножить две дроби нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Получившаяся дробь будет результатом умножения.

Деление

Деление использует те же принципы, что и умножение:

${3\over{5}}:{2\over{3}}=(3:5):(2:3)=3:5*3:2=9:10={9\over{10}}$ – для того, чтобы разделить одну дробь на другую необходимо перевернуть дробь-делитель. Для этого числитель меняется на знаменатель, а знаменатель на числитель.

После этого делимое и перевернутый делитель необходимо перемножить. Результат умножение будет результатом деления изначальных чисел.

Одинаковый знаменатель ни для деления, ни для умножения дробей не требуется. Помните, что каждое действие в математике имеет свое основание.

Основанием для сложения и умножения является общий множитель. Значит нужно, чтобы этот общий множитель был. Поэтому требуется одинаковый знаменатель у двух дробей. Основание для деления и умножения – математический смысл дроби.

Этот принцип работает вне зависимости от значения знаменателя, поэтому деление дробей с разными знаменателями и деление дробей с одинаковым знаменателем не отличается. Последовательность действий при решении примеров деления дробей с разными знаменателями одна и та же.

Что мы узнали?

Мы поговорили о действиях с дробями. Выделили отдельные группы действий с дробями. Привели обоснование каждому из действий. Объяснили, когда необходимо наличие одинакового знаменателя, а когда нет. Отдельно рассмотрели деление дробей с разными знаменателями и сказали, что это действие возможно с любыми знаменателями дробей.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 286.

---

А какая ваша оценка?

Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень 8 класс онлайн-подготовка на

113. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень.

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

27+37=2+37=57.

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

ac+bc=a+bc,

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

ac-bc=a-bc.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби:

3a-7b15ab+2a+2b15ab=3a-7b+2a+2b15ab=5a-5b15ab=5(a-b)15ab=a-b3ab.

Пример 2. Вычтем дроби:

a2+95a-15-6a5a-15=a2+9-6a5a-15=a-325a-3=a-35.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 3. Сложим дроби x4a3b+56ab4.

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а³b⁴. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b

3и 2a².

Имеем

x4a3b+56ab4=x∙3b3+5∙2a212a3b4=3b3x+10a212a3b4.

Пример 4. Преобразуем разность a+3a2+ab-b-3ab+b2.

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

a+3a2+ab-b-3ab+b2=a+3a(a+b)-b-3b(a+b).

Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a+b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем:

a+3a(a+b)-b-3ba+b=a+3b-b-3aaba+b=ab+3b-ab+3aaba+b=3a+baba+b=3ab.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 5. Упростим выражение a-1-a2-3a+1

Представим выражение a-1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

a-1-a2-3a+1=a-11-a2-3a+1=a-1a+1-a2-3a+1=a2-1-a2+3a+1=2a+1.

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень.

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например: 23∙45=2∙43∙5=815.

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

ab∙cd=acbd,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 6. Умножим дроби a34b2∙6ba2.

Воспользуемся правилом умножения дробей:

a34b2∙6ba2=a3∙6b4b2∙a2=6a3b4a2b2=3a2b.

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

ab∙cd∙mn=acbd∙mn=acmbdn.

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение abn, являющейся n-й степенью рациональной дроби ab и докажем, что

abn=anbn.

По определению степени имеем

abn=ab·ab∙…∙ab (n раз).

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

ab·ab∙…∙ab=a∙a∙…∙ab∙b∙…∙b=anbn.

Следовательно, abn=anbn.

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 7. Возведем дробь 2a2b4 в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

2a2b43=(2a2)3(b4)3=8a6b12.

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например: 38:25=38∙52=1516.

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

ab:cd=ab∙dc=adbc,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 8. Разделим дроби 7a2b3:14ab.

Воспользуемся правилом деления дробей:

7a2b3:14ab=7a2b3·b14a=7a2b14ab3=a2b2.

Как умножать дроби — чайники

Авторы: Марк Зегарелли и

Обновлено: 26 марта 2016

Math For Real Life For Dummies

Исследовать книгу Купить на Amazon

Почему нельзя все в жизнь так же проста, как умножение дробей? Чтобы умножить две дроби, просто сделайте следующее: Умножьте два числителя

на (верхние числа), чтобы получить числитель ответа; умножьте два знаменателя на (нижние числа), чтобы получить знаменатель ответа.

Когда вы умножаете две правильные дроби, ответ всегда будет правильной дробью, поэтому вам не нужно будет превращать его в смешанное число, но, возможно, вам придется уменьшить его.

Перед умножением проверьте, сможете ли вы исключить общие множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе. (Этот процесс подобен уменьшению дроби.) Когда вы убираете все общие множители перед умножением, вы получаете ответ, который уже сокращен до самых низких членов.

Примеры вопросов

1. Умножьте 2/5 на 4/9.

   Умножьте два числителя (верхние числа), чтобы получить числитель ответа. Затем умножьте два знаменателя (нижние числа), чтобы получить знаменатель ответа:

   В этом случае можно не уменьшать ответ.

2. Найти

   Перед умножением обратите внимание, что числитель 4 и знаменатель 8 четны. Итак, разделите оба этих числа на 2 так же, как при сокращении дроби:

   Теперь числитель 2 и знаменатель 4 четные, поэтому повторите этот процесс:

   На данный момент ни один числитель не имеет общего делителя ни с одним из знаменателей, так что вы готовы к умножению. Умножьте два числителя, чтобы получить числитель ответа. Затем умножьте два знаменателя, чтобы получить знаменатель ответа:

   .

   Поскольку вы отменили все общие множители перед умножением, этот ответ будет самым низким.

Практические вопросы

1. Умножьте 2/3 на 7/9.

2. Найти

3. Умножить 2/9 на 3/10.

4. Разобраться

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

2. Умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:

   Числитель и знаменатель четные, поэтому их можно уменьшить в 2 раза:

3. Начните с исключения общих множителей. Числитель 2 и знаменатель 10 оба четные, поэтому разделите оба на 2:

   Далее, числитель 3 и знаменатель 9 делятся на 3, поэтому разделите оба на 3:

   Теперь умножьте прямо:

   Поскольку перед умножением вы убрали все общие множители, этот ответ уже уменьшен.

4. Начните с исключения общих множителей. Числа 14 и 8 делятся и на 2, и на 9.а 15 делятся на 3:

   Теперь умножьте:

Об этой статье

Эту статью можно найти в категории:

• Базовая математика,

Операции над дробями | College Algebra Corequisite

Результаты обучения

• Сложение и вычитание дробей.
• Упростить дроби.
• Умножение дробей.
• Разделить дроби.

Студенты-математики и работающие взрослые часто обнаруживают, что их знания о том, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби, заржавели от неиспользования. Мы склонны полагаться на калькуляторы, которые делают за нас большую часть работы с дробями. Тем не менее, студенческая алгебра создает некоторые важные методы работы с выражениями и уравнениями, основанные на операциях над дробями. Поэтому важно заново освоить эти навыки. Этот раздел напомнит вам, как выполнять действия над дробями. По мере прохождения оставшейся части курса вы можете возвращаться к этому разделу по мере необходимости для быстрого напоминания об операциях с дробями.

Прежде чем мы начнем, давайте определимся с терминологией.

• произведение: результат умножения
• фактор: что-то умножается — для  [латекс]3 \cdot 2 = 6[/латекс] , и [латекс]3[/латекс] и [латекс]2[/латекс] являются множителями [латекс]6[ /латекс]
• числитель: верхняя часть дроби – числитель дроби [латекс]\крупный\фрак{2}{3}[/латекс] равен [латекс]2[/латекс]
• знаменатель: нижняя часть дроби — знаменатель дроби [латекс]\большой\фракция{2}{3}[/латекс] равен [латекс]3[/латекс]

Примечание об инструкциях

Определенные слова используются в учебниках по математике и учителями, чтобы предоставить учащимся инструкции о том, что делать с данной задачей. Например, вы можете увидеть такие инструкции, как найти или упростить.  Важно понимать, что означают эти слова, чтобы успешно решать задачи этого курса. Вот краткий список некоторых инструкций по решению проблем вместе с их описаниями, поскольку они будут использоваться в этом модуле.

Инструкция	Интерпретация
Найти	Выполнить указанные математические операции, которые могут включать сложение, вычитание, умножение, деление (позже использование слова найти будет расширено до решения уравнений, как в найти значение переменной).
Упростить	1) Выполнять указанные математические действия, включая сложение, вычитание, умножение, деление 2) Напишите математическую формулировку в наименьших выражениях, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями и порядком операций
Оценка	1) Выполнять указанные математические действия, включая сложение, вычитание, умножение, деление 2) Подставить заданное значение переменной в выражение и затем выполнить указанные математические операции
Уменьшить	Напишите математическое выражение в наименьших или минимальных выражениях, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями или делением

Сложение дробей

Когда вам нужно складывать или вычитать дроби, сначала нужно убедиться, что дроби имеют одинаковый знаменатель. Знаменатель говорит вам, на сколько частей разбито целое, а числитель говорит вам, сколько из этих частей вы используете.

Концепция «части целого» может быть смоделирована с помощью пиццы и кусочков пиццы. Например, представьте, что пицца разрезана на [латекс]4[/латекс] куска, и кто-то берет [латекс]1[/латекс] кусок. Теперь [latex]\Large\frac{1}{4}[/latex] из пиццы исчезает, а [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] остается. Обратите внимание, что обе эти дроби имеют знаменатель [латекс]4[/латекс], который относится к количеству ломтиков, на которые была разрезана вся пицца. Что, если у вас есть еще одна пицца, разрезанная на [латекс]8[/латекс] равных частей, и [латекс]3[/латекс] из этих частей исчезли, оставив [латекс]\большой\фрак{5}{8} [/латекс]?

Как можно описать общее количество оставшейся пиццы одним числом, а не двумя разными дробями? Вам нужен общий знаменатель, технически называемый наименьшим общим кратным 90 127. Помните, что если число кратно другому, вы можете разделить их и не получить остатка.

Один из способов найти наименьшее общее кратное двух или более чисел — сначала умножить каждое из них на [латекс]1, 2, 3, 4[/латекс] и т. д. Например, найти наименьшее общее кратное [латекс] 2[/латекс] и [латекс]5[/латекс].

Сначала перечислите все кратные [латекс]2[/латекс]:	Затем перечислите все числа, кратные 5:
[латекс]2\cdot 1 = 2[/латекс]	[латекс]5\cdot 1 = 5[/латекс]
[латекс]2\cdot 2 = 4[/латекс]	[латекс]5\cdot 2 = 10[/латекс]
[латекс]2\cdot 3 = 6[/латекс]	[латекс]5\cdot 3 = 15[/латекс]
[латекс]2\cdot 4 = 8[/латекс]	[латекс]5\cdot 4 = 20[/латекс]
[латекс]2\cdot 5 = 10[/латекс]	[латекс]5\cdot 5 = 25[/латекс]

Наименьшее их общее кратное будет общим знаменателем, используемым для преобразования каждой дроби в эквивалентные дроби. См. пример ниже для демонстрации нашей задачи о пицце.

Пример

В одной пицце, разрезанной на четыре ломтика, один отсутствует. Другая пицца того же размера была разрезана на восемь частей, три из которых были удалены. Опишите общее количество пиццы, оставшейся в двух пиццах, используя общие термины.

Показать решение

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала перепишите их с одинаковыми знаменателями. Затем добавьте или вычтите числители над общим знаменателем.

Сложение дробей с разными знаменателями

1. Найдите общий знаменатель.
2. Перепишите каждую дробь в виде эквивалентной дроби, используя общий знаменатель.
3. Теперь, когда дроби имеют общий знаменатель, можно сложить числители.
4. Упростите, убрав все общие множители в числителе и знаменателе.

Упростить дробь

В математике принято представлять дроби в наименьшем выражении. Мы называем эту практику упрощением или сокращением дроби, и это может быть достигнуто путем сокращения (деления) общих множителей в числителе и знаменателе дроби. Мы можем сделать это, потому что дробь представляет собой деление, и для любого числа [latex]a[/latex], [latex]\dfrac{a}{a}=1[/latex].

Например, чтобы упростить [латекс]\dfrac{6}{9}[/latex] вы можете переписать [latex]6[/latex] и [latex]9[/latex] , используя наименьшие возможные множители следующим образом:

[latex]\dfrac{6}{9}=\dfrac{ 2\cdot3}{3\cdot3}[/latex]

Поскольку [latex]3[/latex] есть и в числителе, и в знаменателе, а дроби можно считать делением, мы можем разделить [latex]3[ /latex] вверху и [latex]3[/latex] внизу, чтобы сократить до [latex]1[/latex].

[латекс]\dfrac{6}{9}=\dfrac{2\cdot\cancel{3}}{3\cdot\cancel{3}}=\dfrac{2\cdot1}{3}=\dfrac {2}{3}[/латекс]

В следующем примере показано, как сложить две дроби с разными знаменателями, а затем упростить ответ.

Пример

Добавить [латекс]\Большой\фракция{2}{3}+\Большой\фракция{1}{5}[/латекс]. Упростите ответ.

Показать решение

Вы можете найти общий знаменатель, найдя общие кратные знаменателей. Наименьшее общее кратное является самым простым в использовании.

Пример

Добавить [латекс]\крупный\фрак{3}{7}+\крупный\фрак{2}{21}[/латекс]. Упростите ответ.

Показать решение

В следующем видео вы увидите пример сложения двух дробей с разными знаменателями.

Вы также можете сложить более двух дробей, если сначала найдете для них общий знаменатель. Пример суммы трех дробей показан ниже. В этом примере вы будете использовать метод простой факторизации, чтобы найти LCM.

Подумай об этом

Добавить [латекс]\Большой\фрак{3}{4}+\Большой\фрак{1}{6}+\Большой\фрак{5}{8}[/латекс]. Упростите ответ и запишите в виде смешанного числа.

Чем этот пример отличается от предыдущих? В поле ниже напишите несколько мыслей о том, как сложить вместе три дроби с разными знаменателями.

Показать решение

Вычитание дробей

Вычитание дробей выполняется так же, как и сложение. Сначала определите, одинаковы ли знаменатели. Если нет, перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь с одинаковым знаменателем. Ниже приведены примеры вычитания дробей, знаменатели которых не совпадают.

В приведенном ниже примере показано, как использовать кратные, чтобы найти наименьшее общее кратное, которое будет являться наименьшим общим знаменателем.

Пример

Вычесть [латекс]\крупный\фрак{5}{6}-\крупный\фрак{1}{4}[/латекс]. Упростите ответ.

Показать решение

В следующем видео вы увидите пример вычитания дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей

Точно так же, как сложение, вычитание, умножение и деление при работе с целыми числами, вы также используете эти операции при работе с дробями. Есть много случаев, когда необходимо умножить дроби. Модель может помочь вам понять умножение дробей.

Когда вы умножаете дробь на дробь, вы получаете «долю дроби». Предположим, у вас есть [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] конфеты, и вы хотите найти [latex]\Large\frac{1}{2}[/latex] из [latex ]\Large\frac{3}{4}[/latex]:

Разделив каждую четверть пополам, вы можете разделить шоколадный батончик на восьмые части.

Затем выберите половину из них, чтобы получить [latex]\Large\frac{3}{8}[/latex].

В обоих вышеперечисленных случаях, чтобы найти ответ, вы можете перемножить числители вместе и знаменатели вместе.

Умножение двух дробей

[latex]\Large\frac{a}{b}\cdot\Large\frac{c}{d}=\Large\frac{a\cdot c}{b\cdot d}= \Large\frac{\text{произведение числителей}}{\text{произведение знаменателей}}[/latex]

Умножение более двух дробей

[латекс]\Large\frac{a}{b} \cdot\Large\frac{c}{d}\cdot\Large\frac{e}{f}=\Large\frac{a\cdot c\cdot e}{b\cdot d\cdot f}[/latex ]

Пример

Умножить [latex]\Large\frac{2}{3}\cdot\Large\frac{4}{5}[/latex]

Показать решение

Повторим: если у дроби есть общие делители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к ее упрощенной форме, удалив общие делители.

Например,

• Учитывая [латекс]\большой\фрак{8}{15}[/латекс], множители [латекс]8[/латекс] следующие: [латекс]1, 2, 4, 8 [/latex] и коэффициенты [latex]15[/latex]: [latex]1, 3, 5, 15[/latex]. [latex]\Large\frac{8}{15}[/latex] упрощен, потому что нет общих множителей для [latex]8[/latex] и [latex]15[/latex].
• Учитывая [латекс]\большой\фрак{10}{15}[/латекс], множители [латекс]10[/латекс] следующие: [латекс]1, 2, 5, 10[/латекс] и множители из [латекс]15[/латекс]: [латекс]1, 3, 5, 15[/латекс]. [latex]\Large\frac{10}{15}[/latex] не упрощается, поскольку [latex]5[/latex] является общим делителем [latex]10[/latex] и [latex]15[/latex]. ].

Прежде чем умножать две дроби, вы можете упростить, чтобы облегчить себе работу. Это позволяет вам работать с меньшими числами при умножении.

В следующем видео вы увидите пример того, как умножить две дроби, а затем упростить ответ.

Подумай об этом

Умножить [латекс]\Большой\фракция{2}{3}\cdot\Большой\фракция{1}{4}\cdot\Большой\фракция{3}{5}[/латекс ]. Упростите ответ.

Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы умножили три дроби.

Показать решение

Разделение дробей

Бывают случаи, когда вам нужно использовать деление для решения проблемы. Например, если для покраски одного слоя краски на стенах комнаты требуется [латекс]3[/латекс] литра краски, и у вас есть ведро, содержащее [латекс]6[/латекс] кварт краски, сколько слоев краски краской можно красить стены? Вы делите [латекс]6[/латекс] на [латекс]3[/латекс] для ответа [латекс]2[/латекс] слоев. Также будут случаи, когда вам нужно разделить на дробь. Предположим, что для покраски шкафа в один слой требуется всего [латекс]\большой\фрак{1}{2}[/латекс] литр краски. Сколько слоев можно нанести 6 литрами краски? Чтобы найти ответ, вам нужно разделить [латекс]2[/латекс] на дробь [латекс]\большой\фракция{1}{2}[/латекс].

Прежде чем мы начнем делить дроби, давайте рассмотрим некоторые важные термины.

• обратные: две дроби являются обратными, если их произведение равно [латекс]1[/латекс] (не волнуйтесь, мы покажем вам примеры того, что это значит.)
• частное: результат деления

Для деления дробей необходимо использовать обратное число или дробь. Если вы умножаете два числа вместе и получаете в результате [латекс]1[/латекс], тогда эти два числа являются обратными. Вот несколько примеров взаимного обмена:

Исходный номер	Обратный	Продукт
[латекс]\большой\фрак{3}{4}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{4}{3}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{3}{4}\cdot\Large\frac{4}{3}=\Large\frac{3\cdot 4}{4\cdot 3}=\Large\frac{12 {12}=1[/латекс]
[латекс]\большой\фрак{1}{2}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{2}{1}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{1}{2}\cdot\Large\frac{2}{1}=\Large\frac{1\cdot2}{2\cdot1}=\Large\frac{2}{ 2}=1[/латекс]
[латекс] 3=\большой\фрак{3}{1}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{1}{3}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{3}{1}\cdot\Large\frac{1}{3}=\Large\frac{3\cdot 1}{1\cdot 3}=\Large\frac{3 {3}=1[/латекс]
[латекс]2\Большой\фракция{1}{3}=\Большой\фракция{7}{3}[/латекс]	[латекс]\большой\фрак{3}{7}[/латекс]	[латекс]\Large\frac{7}{3}\cdot\Large\frac{3}{7}=\Large\frac{7\cdot3}{3\cdot7}=\Large\frac{21}{ 21}=\нормальный размер 1[/латекс]

Иногда мы называем обратное «отражением» другого числа: переверните [латекс]\большой\фрак{2}{5}[/латекс], чтобы получить обратное [латекс]\большое\фракция{5}{ 2}[/латекс].

Деление на ноль

Вы знаете, что значит делить на [латекс]2[/латекс] или делить на [латекс]10[/латекс], но что значит делить количество на [латекс]0[ /латекс]? Это вообще возможно? Можете ли вы разделить [латекс]0[/латекс] на число? Рассмотрим дробь

[латекс]\большой\фрак{0}{8}[/латекс]

Мы можем прочитать это как «ноль разделить на восемь». Поскольку умножение обратно делению, мы могли бы переписать это как задачу на умножение.

[латекс]\текст{?}\cdot{8}=0[/латекс].

Мы можем сделать вывод, что неизвестное должно быть [латекс]0[/латекс], так как это единственное число, которое даст результат [латекс]0[/латекс] при умножении на [латекс]8[/латекс]. ].

Теперь рассмотрим обратное значение [латекс]\большой\фрак{0}{8}[/латекс], которое будет [латекс]\большой\фрак{8}{0}[/латекс]. Если мы перепишем это как задачу на умножение, у нас будет

[латекс]\текст{?}\cdot{0}=8[/латекс].

Это не имеет никакого смысла. Не существует чисел, которые можно умножить на ноль, чтобы получить результат 8. Обратная величина [латекс]\большой\фрак{8}{0}[/латекс] не определена, и фактически любое деление на ноль не определено. .

Внимание! Деление на ноль не определено, как и обратная величина любой дроби с нулем в числителе. Для любого действительного числа a [латекс]\большой\фрак{а}{0}[/латекс] не определен. Кроме того, обратная величина [latex]\Large\frac{0}{a}[/latex] всегда будет неопределенной.

Деление дроби на целое число

При делении на целое число вы умножаете его на обратное. В примере покраски, где вам нужно [латекс]3[/латекс] кварты краски для слоя и у вас есть [латекс]6[/латекс] кварты краски, вы можете найти общее количество слоев, которые можно покрасить, разделив [ латекс]6[/латекс] от [латекс]3[/латекс], [латекс]6\div3=2[/латекс]. Вы также можете умножить [латекс]6[/латекс] на обратную величину [латекс]3[/латекс], которая равна [латекс]\большой\фрак{1}{3}[/латекс], поэтому задача умножения становится

[latex]\Large\frac{6}{1}\cdot\Large\frac{1}{3}=\Large\frac{6}{3}=\normalsize2[/latex]

Деление равно умножению по обратному

Для всех делений вы можете превратить операцию в умножение с помощью обратного. Деление равносильно умножению на обратное.

Та же идея будет работать, когда делитель (вещь, которую делят) является дробью. Если у вас есть [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] шоколадного батончика и вам нужно разделить его между [latex]5[/latex] людьми, каждый человек получает [latex]\Large\frac {1}{5}[/latex] доступных конфет:

[латекс]\Large\frac{1}{5}\normalsize\text{ of }\Large\frac{3}{4}=\Large\frac{1}{5}\cdot\Large\frac{ 3}{4}=\Large\frac{3}{20}[/latex]

Каждый человек получает [latex]\Large\frac{3}{20}[/latex] целого батончика.

Если у вас есть рецепт, который нужно разделить пополам, вы можете разделить каждый ингредиент на [латекс]2[/латекс] или умножить каждый ингредиент на [латекс]\большой\фрак{1}{2} [/latex], чтобы найти новую сумму.

Например, деление на [латекс]6[/латекс] равносильно умножению на обратную величину [латекс]6[/латекс], которая равна [латекс]\большой\фрак{1}{6}[/ латекс]. Посмотрите на схему двух пицц ниже. Как можно справедливо разделить то, что осталось (область, заштрихованная красным), между [латекс]6[/латекс] людьми?

Каждый человек получает один кусок, поэтому каждый человек получает [latex]\Large\frac{1}{4}[/latex] пиццы.

Деление дроби на целое — это то же самое, что и умножение на обратную, поэтому вы всегда можете использовать умножение дробей для решения задач на деление.

Пример

Найти [latex]\Large\frac{2}{3}\div \normalsize 4[/latex]

Показать решение

Пример

Разделить. [latex] 9\div\Large\frac{1}{2}[/latex]

Показать решение

Разделить дробь на дробь

Иногда вам нужно решить задачу, требующую деления на дробь. Предположим, у вас есть пицца, которая уже нарезана на [латекс]4[/латекс] ломтика. Сколько существует фрагментов [latex]\Large\frac{1}{2}[/latex]?

Есть [латекс]8[/латекс] срезов. Вы можете видеть, что деление [латекс]4[/латекс] на [латекс]\большой\фрак{1}{2}[/латекс] дает тот же результат, что и умножение [латекс]4[/латекс] на [латекс]2. [/латекс].

Что произойдет, если вам потребуется разделить каждый срез на три части?

У вас будет [латекс]12[/латекс] срезов, что равносильно умножению [латекс]4[/латекс] на [латекс]3[/латекс].

Деление дробями

1. Найдите обратную величину числа, следующего за символом деления.
2. Умножьте первое число (то, что перед знаком деления) на величину, обратную второму числу (после знака деления).

Самый простой способ запомнить, как делить дроби, — это фраза «сохранить, изменить, перевернуть». Это значит до СОХРАНИТЬ первое число, ЗАМЕНИТЬ знак деления на умножение, а затем ПЕРЕВЕРНУТЬ (использовать обратное) второго числа.

Пример

Разделить [latex]\Large\frac{2}{3}\div\Large\frac{1}{6}[/latex]

Показать решение

Пример

Разделить [latex]\Large\frac{3}{5}\div\Large\frac{2}{3}[/latex]

Показать решение

При решении задачи на деление путем умножения на обратное число помните, что все целые числа и смешанные числа следует записывать в виде неправильных дробей.