все правила умножения дробей, примеры c решениями, советы экспертов, как подготовиться к контрольной работе по этой теме

Как высчитать, чему равно произведение пяти восьмых и трех девятых? Или как умножить семь тринадцатых на четыре? Школьники России учатся этому, проходя одну из основных тем программы по математике – умножение дробей. Разберемся, для чего пригодится это умение, и узнаем у эксперта, как успешно подготовиться к контрольной.

Полезная информация об умножении дробей

Умножение дробей – одна из базовых тем школьной программы по математике	Согласно Федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС) 2022 года, дроби и основные действия с ними изучают в 5 классе.
Умножение дробей можно изучать на визуальных примерах	Используя счетный материал, рисунки или реальные предметы (например, отрезать две трети от половинки пиццы или четверть от трети торта).
Дроби умножать удобнее, если их предварительно сократить	При наличии такой возможности перед умножением дробей желательно их сократить (разделить числитель и знаменатель на одно и то же число).

Умножение обыкновенных дробей

Для умножения дроби на дробь необходимо умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель – на числитель. Полученные результаты составят знаменатель и числитель результата соответственно.

Полезные факты: 

1. Если числитель одной из дробей имеет общий делитель со знаменателем другой, то можно произвести сокращение произведения до выполнения умножения.
2. Если одна или обе дроби являются смешанными, то перед выполнением действия можно перевести их в неправильные, либо представить смешанную дробь в виде суммы целого числа и правильной дроби, провести умножение, а после представить результат вновь в виде смешанной дроби.

Примеры

Сначала сократим первую дробь на 5 (числитель и знаменатель поделили одновременно на 5), числа стали меньше, действия с ними уже сделать намного проще. Во втором действии мы также не умножили сразу, а сократили на тройку в числителе и тройку в знаменателе.

В этом примере подробно рассмотрено сокращение дробей, сначала на 5, а затем на 7. Здесь в результате получилась неправильная дробь. Ее, в зависимости от задания, можно либо перевести в десятичную, получится 1,5, либо перевести в смешанное число 1 1/2.

Еще один, более сложный, пример умножения правильной дроби на смешанное число путем представления смешанного числа в виде суммы целого и дроби. После получения произведения дроби на сумму приводим полученные слагаемые к единому знаменателю путем домножения первого слагаемого на три. Далее складываем и выделяем целую часть.

Данный пример вычисляется без сокращения: первым действием перемножаем числители и знаменатели дробей, вторым – выделяем целую часть неправильной дроби, превращая ее в смешанную.

Умножение дроби на натуральное число

Умножение дроби на натуральное число – пожалуй, самый простой вариант умножения дробей. Чтобы выполнить это действие, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений. После подсчета можно выделить целую часть, превратив обыкновенную дробь в смешанную.

Если число-множитель делится нацело на знаменатель дроби, то в результате получится целое число.

Примеры

В первом примере для умножения дроби на целое число проводим умножение числителя дроби на число-множитель, а знаменатель остался без изменений. Во втором примере можем сократить произведение на 4, получив в результате целое число.

Умножение смешанных дробей

Для умножения смешанных дробей необходимо перевести их обе в вид обыкновенных и далее действовать по стандартному алгоритму: произведение знаменателей станет знаменателем результата, произведение числителей – числителем.

Далее производится сокращение и перевод обратно в смешанную дробь.

Примеры

При умножении смешанной дроби на число удобно представить дробь в виде суммы целой и дробной части, произвести умножение и сложить полученные результаты.

Для перемножения двух смешанных дробей переводим обе в неправильные, затем умножаем по стандартным правилам. Вторым действием производим сокращение (делим числитель и знаменатель произведения на 7), а в полученном результате выделяем целую часть.

В данном примере не удалось провести сокращение, поэтому итоговый результат содержит четырехзначные числа. Приводим его к более простому виду, выделив целую часть.

Советы эксперта, как подготовиться к контрольной работе по умножению дробей

Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике: 

Дроби бывают обыкновенные (с дробной чертой) и десятичные (с запятой). Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить числитель одной дроби с числителем другой, а знаменатель со знаменателем. Если получится сначала сократить дроби, а потом их перемножить, то это освободит вас от действий с большими числами. Поэтому везде, где можно, сначала лучше упростить и только потом делать основное действие.

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Альбина Бабурчина

Почему умножение дробей начинают изучать в 5 классе?

Тема дробей раскрывается именно в 5 классе, так как к этому моменту ученики уже имеют в своем арсенале все необходимые для этого знания. Дроби – это азы. Без понимания этой темы дальнейшее изучение математики практически невозможно.

Зачем изучать умножение дробей?

После того как дети в школе изучают дроби, далее ни одна тема не обходится без них. По моему многолетнему опыту могу сказать, что если дроби не усвоены вовремя и на должном уровне, то все следующие темы без исключения будут «хромать». То есть без преувеличения, дроби (сначала обыкновенные, а затем и десятичные) – важнейшая тема в математике. И моя большая рекомендация для ребят в 5 классе – максимально сконцентрировано и детально изучать эту тему, уметь применять в разных ситуациях и задавать учителю все возникающие вопросы и сомнения.

Можно ли научиться умножать дроби в уме?

Все действия с дробями, разумеется, можно выполнять и в уме, все зависит от способностей конкретного ученика. А также существует много лайфхаков, которые упрощают умножение.

Обыкновенные дроби и действия с ними — что это, определение и ответ

Доля – это часть от целого.

Например, пирог разделили на 8 частей, значит каждый кусочек пирога равен одной восьмой доле пирога или просто одной восьмой пирога. Записать такую долю можно в виде дроби\(\ = \frac{1}{8}\).

Если из полученных кусочков забрать три и оставить пять, получится, что забрали три восьмые\(\ –\ \frac{3}{8}\ \)пирога и оставили пять восьмых \(–\ \frac{5}{8}.\)

Число выше черты дроби называется числителем, число ниже черты – знаменателем, а запись вида \(\frac{5}{8}\) – обыкновенной дробью.

Дробь \(\frac{1}{2}\) называется половиной, \(\frac{1}{3}\) – третью, а \(\frac{1}{4}\) – четвертью.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБЕЙ:

Если мы представим пирог, который разделили на четыре части и забрали две из них (\(\frac{2}{4}\)), мы увидим, что забрали ровно половину пирога, то есть \(\frac{1}{2}\).

Значит \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Так получается, потому что дроби можно сокращать (делить) и расширять (умножать). Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно число, то дробь останется такой же.

Например:

\(\frac{1}{2} = \frac{1 \bullet 2}{2 \bullet 2} = \frac{2}{4}\)

\(\frac{28}{77} = \frac{28 : 7}{77 : 7} = \frac{4}{11}\)

\(\frac{5}{12} = \frac{5 \bullet 4}{12 \bullet 4} = \frac{20}{48}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ:

1. Можно складывать и вычитать только те дроби, у которых одинаковый знаменатель. Тогда знаменатель суммы или разности будет такой же, как и у слагаемых, а числители складываются или вычитаются.

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Например:

\(\frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 + 4}{7} = \frac{6}{7}\)

\(\frac{8}{9}\ –\ \frac{3}{9} = \frac{8\ –\ 3}{9} = \frac{5}{9}\)

2. Если у дробей разные знаменатели, то нужно привести их к общему знаменателю.

Приведем дробь \(\frac{5}{6}\ \)к знаменателю 42. Чтобы это сделать, нужно знаменатель 6 умножить на \(42 : 6 = 7\), значит и числительно тоже нужно умножить на 7:

\(\frac{5}{7} = \frac{5 \bullet 7}{6 \bullet 7} = \frac{35}{42}\)

Таким образом, мы пришли к новому знаменателю 42 с помощью дополнительного множителя 7.

Общим знаменателем является общее кратное исходных знаменателей. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. А уже дроби с общим знаменателем можно складывать и вычитать.

АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Оно и будет новым знаменателем суммы.

2. Разделить найденный наименьший общий знаменатель на знаменатели слагаемых. Это будут дополнительные множители для дробей.

3. Умножить и числитель, и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. Получим сумму дробей с одинаковым знаменателем.

4. Складывать или вычитать дроби как обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например:

\(\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \bullet 3}{4 \bullet 3} + \frac{5 \bullet 2}{6 \bullet 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}\)

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ:

1. Обратные числа:

Любая дробь – это действие деления. Один пирог разделили на восемь частей – получили одну восьмую пирога. Если мы видим дробь с единицей в знаменателе, то эту дробь можно представить числом:

\(\frac{a}{1} = a : 1 = a\)

Например: \(\frac{4}{1} = 4\), \(\frac{27}{1} = 27\).

Если дробь «перевернуть», то есть поменять местами числитель и знаменатель, тогда получится число обратное исходному. Например, числа \(\frac{4}{11}\) и \(\frac{11}{4}\) или \(19\) и \(\frac{1}{19}\) – обратные друг другу.

2. Умножение дробей:

Представим умножение дроби на число как сумму дробей:

\(\frac{3}{5} \bullet 3 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{3 + 3 + 3}{5} = \frac{3 \bullet 3}{5} = \frac{9}{5}\)

Видим, что таким образом при умножении дроби на число перемножается число и числитель без изменения знаменателя:

\(\frac{a}{c} \bullet b = \frac{a}{c} \bullet \frac{b}{1} = \frac{a \bullet b}{c \bullet 1}\)

3. Деление дробей:

Чтобы разделить дробь на число, представим это число как дробь с единицей в знаменателе. Тогда мы делим дробь на дробь.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно вторую дробь перевернуть и перемножить соответственно числители и знаменатели получившихся дробей:

\(\frac{a}{c} : b = \frac{a}{c} : \frac{b}{1} = \frac{a}{c} \bullet \frac{1}{b} = \frac{a}{c \bullet b}\)

Таким же образом делят дроби на дроби:

\(\frac{a}{c} : \frac{b}{d} = \frac{a}{c} \bullet \frac{d}{b} = \frac{a \bullet d}{c \bullet b} = \frac{\text{ad}}{\text{cb}}\)

Умножение дробей — обучение с видом на горы

Перейти к содержимому

Конверт Facebook-f Инстаграм Pinterest-p

Поиск

Поиск

Поиск

Поиск

Мы закончили складывать и вычитать дроби прямо перед разрывом, и теперь мы переходим к умножению и делению дробей. Мы начали с умножения дробей и сделали мегаякорную диаграмму. Я преподаю ученикам TAG 4-го класса, поэтому технически я преподаю им стандарты 5-го класса, но им часто нужно пересматривать стандарты 4-го класса, поэтому мы объединили все это в один.

Вот наша большая якорная таблица умножения дробей! Мы рассмотрели умножение целых чисел на дроби, умножение дробей на дроби и умножение смешанных чисел. Вау!

Поскольку часть общего ядра требует, чтобы они использовали модели визуальной области для умножения дробей, мы немного повеселились с калькой! Каждый малыш взял по два кусочка одинаковой кальки и разорвал ее на части. Затем, когда вы наложите их друг на друга, вы увидите, где они образуют модель площади, которая совпадает с умноженными знаменателями, а перекрывающиеся цветные участки — это ваш числитель. Им это понравилось! Мы повесили их на окно, потому что вы действительно могли видеть перекрытие на кальке, когда мы делали это таким образом. (НОВИНКА! Теперь я использую прозрачные стикеры для этой части. Это здорово! Вы можете купить их по моей партнерской ссылке ЗДЕСЬ.)

Дети также копировали записи в свой математический журнал, а затем шаг за шагом показывали модели местности. Для этого они тоже использовали кальку, но они показали шаги, чтобы получить окончательную модель области. Нам было так весело практиковаться в умножении дробей! (Сегодня мой вид на горы был закрыт облаками и туманом! Я был так расстроен.)

Наконец, мы поработали над карточками с заданиями на умножение дробей. Я пишу о них пост в Уголке карточек задач, потому что они являются отличным примером того, как я формирую карточки задач, чтобы различать и удовлетворять потребности учащихся. Но вот краткий обзор на них! Если вам нужны карточки с заданиями «Умножение дробей», вы можете купить их всего за 2,25 доллара в моем магазине TpT.

Если вы ищете еще больше ресурсов для обучения операциям с дробями, загляните в мой магазин, чтобы увидеть Ultimate Fraction Operations Resource Bundle!

Просмотры сообщений: 25 238

ПредыдущаяПредыдущаяОбучение без перерывов!

NextНезависимое чтение Якорные диаграммы ответов Next

Подпишитесь, чтобы получить доступ к десяткам эксклюзивных бесплатных ресурсов.

Бесплатные занятия по морфологии

Готовы ли вы приступить к обучению префиксам и суффиксам? Этот БЕСПЛАТНЫЙ набор для изучения слов может помочь!

Имя

Электронная почта

Умножение и деление дробей с помощью Mental Math – World Mental Calculation

Умножение и деление простых дробей более просто, чем сложение и вычитание дробей. Однако при выполнении этих расчетов в уме возникают некоторые проблемы!

Дробь состоит из числа — числителя — разделенного на другое число — называемое знаменателем . Обычно оба этих числа являются положительными целыми числами  (целыми числами).

Например, в \(\frac{4}{15}\) числитель равен 4, а знаменатель равен 15.

Основное умножение на дробь

Умножение на дробь \(\frac{ a}{b}\), означает умножение на \(a\) и деление на \(b\). Результат обычно представляет собой дробь:

\(7 \times \frac{2}{15} = \frac{14}{15}\)

Базовое умножение дробей

При умножении двух или более дробей числители умножаются вместе, а знаменатели умножаются вместе:

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f} = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times е}\)

\(\frac{8}{9}\times \frac{5}{7} = \frac{8 \times 5}{9 \times 7} = \frac{40}{63}\)

Упрощенные дроби

Дробь является упрощенной , если нет простых чисел, которые делят на и числитель, и знаменатель на . Например, \(\frac{40}{60}\) — это , а не упрощенное , потому что \(2\) делится как на \(40\), так и на \(60\). На самом деле, то же самое относится и к \(5\), и даже к некоторым большим непростым числам, таким как \(20\). Если вы разделите верх и низ дроби на \(20\), дробь станет \(\frac{2}{3}\), что является упрощенной формой.

На этой странице я предполагаю, что вам нужно умножать или делить уже упрощенные дроби, что обычно для соревнований по ментальной арифметике. В противном случае обычно проще всего сначала упростить их.

Смешанные дроби

Дробь неправильная , если числитель больше знаменателя. Например, \(\frac{14}{3}\) — неправильная дробь. Неправильные дроби можно записать как смешанных дробей — с целой частью и правильной дробной частью. Например, \(\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, обычно намного проще сначала преобразовать их в неправильные дроби .

Для этого можно использовать формулу:

\(n \frac{a}{b} = \frac{b \times n + a}{b}\)

Например:

\(2 \frac{3}{4} = \frac{4 \times 2 + 3}{4} = \frac{11}{4}\)

Это верно, потому что если мы разделим целую часть — \(n\) — на \(b\) равных частей, то будет \(n \x b\) этих частей. Добавьте это к \(a\) кусочкам, которые уже были представлены дробью, и всего будет \(n \times b + a\).

В соревнованиях по устному счету вы должны давать все ответы в смешанной форме. Неправильные дроби отмечены как неправильные! Поэтому вы также должны знать, как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь .

Для этого разделите числитель на знаменатель и получите остаток. Например:

\(14 \дел 3 = 4\) остат. \(2\)

Целая часть — это результат деления — \(4\) — а остаток — \(2\) — это числитель смешанной дроби.

\(\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Полный пример:

\(2 \frac{3}{4} \times 5 \frac{6}{7} = \frac{11}{4} \times \frac{41}{7}\)

\(= \frac{11 \times 41}{4 \times 7}\)

\(= \frac{541}{28} = 16 \frac{3}{28}\)

Упрощение финальной части

В соревнованиях по устному счету вы должны давать все ответы в упрощенной форме. Неупрощенные дроби отмечены неправильно! Даже вне формальных соревнований дроби лучше представлять в упрощенном виде.

При умножении и делении дробей всегда нужно проверять, можно ли упростить результат. В примерах, которые мы уже видели, упрощение недоступно, поэтому давайте рассмотрим пример с упрощением. Вы можете выбрать два метода:

Способ 1: Упростить в конце

\(1 \frac{1}{15} \times 4 \frac{3}{8}\)

\(= \frac{16}{15} \times \frac{35}{8}\)

\(= \frac{16 \times 35}{15 \times 8}\)

\(= \frac{560}{120}\)

Числитель и знаменатель имеют разные делители, включая 10, 8 и т. д. Самый большой общий делитель равен 40, поэтому разделите обе половины дроби на 40:

\(\frac{560}{120} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Метод 2: Отмена множителей из неправильных дробей

Этот метод лучше, когда у вас есть большие числа — больше, чем 560 и 120, указанные выше, — и помогает избежать арифметических операций с этими большими числами. Однако следовать этому методу сложнее.

Начните так же, как и раньше:

\(1 \frac{1}{15} \times 4 \frac{3}{8}\)

\(= \frac{16}{15} \times \frac{35}{8}\)

Затем обратите внимание, что при их перемножении дробь будет иметь множитель 8 внизу (от второго знаменателя, 8), а также вверху дроби (от первого числителя, 16 = 8 × 2). Разделите соответствующие числа на 8:

\(= \frac{2}{15} \times \frac{35}{1}\)

Можем ли мы сделать то же самое с любыми другими числами? Фактически, в этом случае мы можем сделать то же самое снова с 5, так как 5 является множителем числителя (35) и знаменателя (15). Итак, разделите обе половины на 5, проверьте, что упрощение невозможно, и завершите:

.

\(= \frac{2}{3} \times \frac{7}{1} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Обратите внимание: если вы определите все факторы для упрощения до конца, вам гарантированно не придется упрощать окончательную дробь. Но если вы что-то пропустите, например, 5, или если вы разделили на 4, а не на 8, вам придется упростить окончательную дробь.

Также обратите внимание, что часто нет доступного упрощения. В этом случае методы 1 и 2 одинаковы, без шагов упрощения. Во время расчета вы можете столкнуться с большими числами, избежать которых невозможно.

Окончательный итог для устных вычислений (умножение)

При умножении дробей:

• Преобразование любых смешанных дробей в неправильные дроби.
• При желании на этом этапе (метод 2) можно выполнить некоторое упрощение, найдя числа, являющиеся множителями числителя и знаменателя.
• Умножьте все числители, чтобы получить новый числитель. Перемножьте все знаменатели, чтобы получить новый знаменатель.
• Если возможно, упростите ответ.
• Преобразовать в смешанную дробь.
• Помните, что не следует записывать промежуточные этапы подготовки к соревнованиям!

Деление дробей

Деление на неправильную дробь \(\frac{a}{b}\) противоположно умножению на нее.

Следовательно, это означает деление на \(a\) и умножив на \(b\).

Следовательно, \(\div \frac{a}{b}\) можно заменить на \(\times \frac{b}{a}\)

Просто переверните дробь «вверх ногами», затем продолжите, используя Что вы знаете об умножении дробей.

Пример: (с использованием метода 2 для упрощения)

\(4 \frac{5}{6} \div 1 \frac{2}{3}\)

\(= \frac{29}{6} \div \frac{5}{3}\)

\(= \frac{29}{6} \times\frac{3}{5}\)

\(= \фракция{29{2} \times\frac{1}{5}\)

\(= \фракция{29}{10}\)

\(= 2 \фрак{9}{10}\)

Помните, конечно, что если вы тренируетесь для умственного счета, вы должны быть в состоянии выполнить все эти шаги, ничего не записывая, кроме окончательного ответа!

Дополнительная литература

Вас может заинтересовать:

• Информация о международных соревнованиях по устному счету.
• Более продвинутые методы вычисления в уме.