Свойства умножения деления вычитания и сложения: Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Содержание

Свойства умножения и деления Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про свойства умножения, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
свойства умножения,свойства деления , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

. Об этом говорит сайт https://intellect.icu

свойства умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки множителей произведение не меняется.


a • b = b • a

Сочетательное свойство умножения

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.


a • (b • c) = (a • b) • c

Переместительное и сочетательное свойства умноженияпозволяют сформулировать правило преобразования произведений.

При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.


a • 0 = 0

0 • a • b • c = 0

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.


(a + b) • c = a • c + b • c

Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.


(a + b + с + d) • k = a • k + b • k + c • k + d • k

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде свойство записывается так:


(a — b) • c = a • c — b • c

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

свойства деления

  • Ни одно число нельзя делить на нуль.
  • При делении нуля на число получается нуль.

    0 : a = 0
  • При делении любого числа на 1 получается это же число.

    b : 1 = b

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.


a : b = (a • k) : (b • k), где k — любое натуральное число.

Обратите внимание, что именно свойство деления выше позволяет намсокращать дроби.

Использование всех рассмотренных выше свойств позволяет нам выполнять упрощение выражений .

Задача

У Короля есть 45 мешков с золотыми монетами, в каждом мешке по 108 золотых монет.

Он хочет разделить эти деньги поровну между своими тремя сыновьями.

Сколько золотых монет достанется каждому из принцев?

Решение 1

1)45:3=15(мешков) достанется мешков каждому принцу


2)15*108=1620(монет) достанется монет каждому принцу

Решение 2

1)45*108=4860(монет) всего монет у короля


2)4860:3=1620(монет) достанется монет каждому принцу

Решение 3

1)108:3=36(монет) каждому принцу, если делить один мешок


2)36*45=1620(монет) достанется монет каждому принцу

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про свойства умножения Надеюсь, что теперь ты понял что такое свойства умножения,свойства деления
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

Сложение, вычитание, умножение и деление. ереместительное, сочетательное свойства. Примеры решение задач.

Арифметические операции

Сложение:

Умножение:

Вычитание:

 

 Деление:

 Переместительное свойство

Это свойство относится только к двум операциям: сложение и умножение, так как только в этих операциях каждое из слагаемых или множителей имеет одинаковое значение.

Cочетательное свойство.

Следующее свойство – сочетательное. Это свойство рассматривается для сложения и умножения.

 

Переместительное и сочетательное свойства для сложения и умножения позволяют объединять слагаемые и множители в группы, менять их местами. Эти свойства позволяют считать быстрее и без ошибок.

Распределительные свойства

Следующие свойства раcпределительные. Они показывают, как можно вычислить выражение, если в нем используются операция умножение вместе со сложением или вычитанием (распределяют порядок вычисления):

 

Противоположный элемент

 

Нейтральный элемент – 0.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел:

Также обрати внимание на порядок  действий, если скобки не расставлены. Итак, у нас есть 4 операции, они выполняются в следующем порядке:

  1.  Умножение и деление – в порядке следования слева направо;
  2.  Сложение и вычитание – в порядке следования слева направо.
  3. При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

Задача 1. Вычислить  \(-55+(-7)+18+7.\)

Решение.

  1. Воспользуемся переместительным свойством для удобства вычисления: \(-7+7-55+18\)

 

  1. \(-7\) и \(7\) противоположные элементы, итого: \(-55+18=-37\)

Ответ:\(-37\)

Задача 1. Вычислить   \((-7+9)+7*2-56\).

  1. Первое действие выполняем в скобках и умножение: \(2+ 7*2\)
  2. выполняем умножение, затем сложение и вычитание: \(2+14-56=16-56=-40.\)

Ответ:\(-40.\)

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел. Конспект урока «сочетательное и распределительное свойства умножения»

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2
и 6
, а также произведение чисел 6
и 2
, и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6
и 2
равно сумме 6+6
, из таблицы сложения находим 6+6=12
. А произведение чисел 2
и 6
равно сумме 2+2+2+2+2+2
, которая равна 12
(при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6
.

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель
. То есть, a·(b·c)=(a·b)·c

, где a
, b
и c
могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2)
. По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6
, тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24
. А теперь выполним умножение (4·3)·2
. Так как 4·3=4+4+4=12
, то (4·3)·2=12·2=12+12=24
. Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2
, подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа
. Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c

(в выражении a·c+b·c
сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a
, b
и c
– произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c

.

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2
. Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14
, а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14
, следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2
верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n
, где n
– произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n
слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n
выполняется равенство 0·n=0
.

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0
для любого натурального числа n
.

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю
, то есть 0·n=0

и n·0=0

, где n
– произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45
и 0
равно нулю. Если умножить 0
на 45 970
, то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Сочетательное свойство умножения

Цели:
познакомить учащихся с сочетательным свойством умножения; научить пользоваться сочетательным свойством умножения при анализе числовых выражений; повторить свойства сложения и переместительное свойство умножения; совершенствовать вычислительные навыки; развивать умение анализировать, рассуждать.

Предметные результаты:

познакомиться с сочетательным свойством умножения, формировать представления о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.

Метапредметные результаты:

Регулятивные:
планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей, принимать и сохранять учебную задачу.

Познавательные:
использовать знаково-символические средства, модели и схемы для решения задач, ориентироваться на разнообразие способов решения задач; устанавливать аналогии.

Коммуникативные
: строить речевые высказывания в устной и письменной форме, формировать собственное мнение, задавать и отвечать на вопросы, доказывая правильность своего мнения.

Личностные
: развивать способность к самооценке, способствовать успешности в овладении материалом.

Тип урока
: изучение нового материала.

Оборудование
: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент
(эмоциональный настрой)

Долгожданный дан звонок

Начинается урок.

Отдохнуть вы все успели?

А теперь — вперед, за дело!

Ребята давайте пожелаем, друг другу на уроке быть внимательными, собранными, старательными. Поприветствуем друг друга улыбками и начнём урок.

II. Актуализация опорных знаний + Целеполагание

На доске неполная запись темы ______________________свойство умножения

Глядя на неполную запись, подумайте, чем мы будем заниматься на уроке и какова тема сегодняшнего урока. (Рассуждения детей)

Сегодня мы познакомимся с новым свойством умножения, название которого мы узнаем,выполнив задания устного счёта и заданий, внесённых в ваши листы –карты урока, научимся пользоваться новым свойством умножения при анализе числовых выражений; повторим свойства сложения и переместительное свойство умножения;; будем развивать вычислительные навыки, умение анализировать, рассуждать.

Работать мы будем дружно и творчески, в парах и самостоятельно, выполним задания и сделаем выводы.

В ваших картах после каждого задания вы должны будете оценить свою работу. Если вы справились с заданием без ошибок вы поставите себе + , если не справились, то —

А для чего нам это нужно?

Где мы сможем применять полученные знания?

Пословица

Математику учить – ум точить

Как вы понимаете смысл данной пословицы?

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

М. Ломоносов

III. Устный счёт

1.Игра «Истина – ложь». Дети показывают знак + или —

    Сумма чисел 6 и 5 равна 12

    Разность чисел 16 и 6 равна 9

    9 увеличить на 5 равно 14

    100 – это самое большое трёхзначное число

    Куб – это объёмная фигура

    Прямоугольник – это плоская фигура

На доске открывается буква С

2.Задание на смекалку

    К любимой оценке ученика прибавить количество цветов радуги.

    К количеству месяцев в году прибавить число дней в неделе.

На доске открывается буква 0

3.Задача на логику

В саду росли 2 березы, 4 яблони, 5 вишен. Сколько всего фруктовых деревьев росло в саду? На доске открывается буква Ч

4.На какие группы можно распределить следующие фигуры

На доске открывается буква Е

На доске открывается буква Т

На доске открывается буква А

7.
Можно ли утверждать, что площадь данных фигур одинаковая?

На доске открывается буква Т

8.
Работа в парах: Разбей числа на две группы.

Запиши каждую группу в порядке возрастания (Знак дружной работы) е

499 75 345 24 521 86

На доске открывается буква Е

9.
Самостоятельная работа

Заполни карточку

На доске открывается буква Л

10. Выбери нужный знак (+ или
)

Увеличить на 6

Увеличить в 3 раза

На доске открывается буква Ь

11.
,

2 · 6 … 6 + 6 + 6

5 · 6 … 6 · 4

8 · 6 … 6 · 8

На доске открывается буква Н

12. Какое числовое выражение является лишним? Почему?

(2 +7) 0 365 0

(9 2) 1 (94-26) 0

На доске открывается буква О

13.Фронтальная работа

Вставьте пропущенные числа:

– Какие свойства сложения и умножения помогли вам выполнить задание? (Переместительное и сочетательное свойства сложения; переместительное свойство умножения. )
На доске открывается буква Е

На доске открывается тема
Сочетательное

свойство умножения

Физминутка

Для начала мы
с тобой

Для начала мы с тобой

Крутим только головой.

(Вращения головой.)

Корпусом вращаем тоже.

Это мы, конечно, сможем.

(Повороты вправо и влево.)

Напоследок потянулись

Вверх и в стороны.

Прогнулись.

(Потягивания вверх и в стороны.)

III. Сообщение нового материала

1. Постановка учебной проблемы

Можно ли утверждать, что значения выражений в данном столбике одинаковы?

(Для 1 и 2 выражения применимо сочетательное свойство сложения- 2 соседних слагаемых можно заменять суммой и значения выражений будут одинаковы;

3и1 выражение- применили переместительное свойство сложения

4и2 выражение- переместительное свойство.)

-Какие же свойства применимы для вычисления данных

выражений
?

(Переместительное и сочетательное свойство)


А можно ли утверждать, что значения выражений в этом столбике одинаковы?

На этот вопрос нам и предстоит ответить.

Мы сегодня узнаем, можно ли пользоваться сочетательным свойством при умножении?)

2.Первичное усвоение новых знаний

Посчитайте разными способами число всех маленьких квадратов и запишите выражением.

1 способ
:(6*4)*2 = 24*2=48

(В одном прямоугольнике 6 квадратов, умножая 6 на 4, мы узнаем сколько квадратов в одном ряду. Умножая результат на 2, узнаем, сколько квадратиков в двух рядах).

2 способ
:
6*(4*2)= 6*8=48

(Сначала выполняем действие в скобках- 4*2, то есть узнаем, сколько всего прямоугольников в двух рядах. В одном прямоугольнике 6 квадратов. Умножив 6 на полученный результат, отвечаем на поставленный вопрос.)

Вывод: Таким образом, и то и другое выражение обозначает, сколько всего маленьких квадратиков на рисунке.

Значит: (6*4)*2=6*(4*2)- сочетательное свойство умножения

З н а к о м с т в о с ф о р м у л и р о в к о й сочетательного свойства умножения и сравнение ее с формулировкой сочетательного свойства сложения.

IV
. Первичная проверка понимания

Откройте учебник на странице 50 и найдите № 160

Объясните, что обозначают числовые равенства под каждым рисунком?

(4*3)*2= 4*(3*2)

(по 4 снежинки поместили в 3 квадрата и взяли 2 ряда или 4 снежинки поместили в 3 квадрата по 2 ряда.)

(по 6 квадратиков взяли 5 рядов и поместили в 2 больших квадрата или 6 квадратиков взяли по 5 рядов в двух больших квадратах)

Давайте прочитаем правило:

Первичное закрепление
Работа у доски

Найдите № 161 (1 столбик)

Читаем задание: (Запиши каждое выражение в виде произведения трех однозначных чисел)

Найдите № 162 (1 столбик)

Читаем задание: Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы?

Работаем самостоятельно по рядам (проверяем у доски), применяя сочетательное свойство: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Подведение итогов занятия.

Оценивание

Давайте вернемся к числовым выражениям, с которыми мы с вами встретились в начале урока. Скажите, а можно ли утверждать, что значения выражений в этом столбике одинаковы?

Какое открытие вы сегодня сделали на уроке? Где его можно применять?

(Познакомились с новым свойством умножения)Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Домашнее задание: правило с.50, № 163 *Найди пословицы или высказывания известных людей о математике

Выставление оценок.

Оценки «5» получают те, ребята, у кого нет минусов в карте.

У кого 1-2 минуса получает «4»

3-5 минусов –«3»

Более 5 минусов –«2»

Рефлексия

Закончи фразу

Сегодня на уроке я…. .

Самым сложным для меня было…..

Сегодня я понял…

Сегодня я научился…

Реши для себя

Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

Навигация по странице.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число
. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a
и 0+a=a
(это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a
– любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78
и нуля равна −78
; если к нулю прибавить целое положительное число 999
, то в результате получим число 999
.

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю
. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0
, где a
и −a
– противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901)
равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97
и 97
равна нулю.

Основные свойства умножения целых чисел

Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.

Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число
. Так 1·a=a
, где a
– любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a
, это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556
на 1
равно 556
; произведение единицы и целого отрицательного числа −78
равно −78
.

Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a
на нуль равен нулю
, то есть, a·0=0
. Также справедливо равенство 0·a=0
в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0
произведение нуля на нуль равно нулю.

Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
. В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0
, если либо a=0
, либо b=0
, либо и a
и b
равны нулю одновременно.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a
и b
равно сумме произведений a·b
и a·c
, то есть, a·(b+c)=a·b+a·c

. Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c

.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

Свойства вычитания целых чисел

Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a
, b
и c
– произвольные целые числа):

  • Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a
    .
  • Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0
    .
  • Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c
    .
  • Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c)
    .
  • Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c
    .
  • И все другие свойства вычитания целых чисел.

Свойства деления целых чисел

Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c
мы называем частным от деления целого числа a
на целое число b
, когда произведение c·b
равно a
.

Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

  • Никакое целое число нельзя делить на нуль.
  • Свойство деления нуля на произвольное целое число a
    , отличное от нуля: 0:a=0
    .
  • Свойство деления равных целых чисел: a:a=1
    , где a
    – любое целое число, отличное от нуля.
  • Свойство деления произвольного целого числа a
    на единицу: a:1=a
    .
  • В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a
    .
  • Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c
    и (a−b):c=a:c−b:c
    , где a
    , b
    , и c
    такие целые числа, что и a
    и b
    делится на c
    , и c
    отлично от нуля.
  • Свойство деления произведения двух целых чисел a
    и b
    на целое число c
    , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b
    , если a
    делится на c
    ; (a·b):c=a·(b:c)
    , если b
    делится на c
    ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c)
    , если и a
    и b
    делятся на c
    .
  • Свойство деления целого числа a
    на произведение двух целых чисел b
    и c
    (числа a
    , b
    и c
    такие, что деление a
    на b·c
    возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b
    .
  • Любые другие свойства деления целых чисел.



Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель:
учить упрощать выражение,
содержащее только действия умножения.

Задачи
(Слайд 2):

  • Познакомить с сочетательным свойством
    умножения.
  • Формировать представление о возможности
    использования изученного свойства для
    рационализации вычислений.
  • Развивать представления в возможности решения
    «жизненных» задач средствами предмета
    «математика».
  • Развивать интеллектуальные и коммуникативные
    общеучебные умения.
  • Развивать организационные общеучебные умения,
    в том числе умения самостоятельно оценивать
    результат своих действий, контролировать самого
    себя, находить и исправлять собственные ошибки.

Тип урока:
изучение нового материала.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Устный счёт. Математическая разминка.
Строка чистописания.
3. Сообщение темы и задач урока.
4. Подготовка к изучению нового маериала.
5. Изучение нового материала.
6. Физкультминутка
7. Работа по закреплению н. м. Решение задачи.
8. Повторение пройденного материала.
9. Итог урока.
10. Рефлексия
11. Домашнее задание.

Оборудование:
карточки с заданием,
наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.

II. Устный счёт

– Посчитаем устно:

1) «Весёлые ромашки» (Слайды 3-7 таблица
умножения)

2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее»
(Слайд 8)

  • 485 45
    864 947 670
    134 (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 –
    двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4).
  • 9 45
    72
    90 54
    81
    27 22 18 (9 –
    однозначное, 22 не делится на 9)

Строка чистописания. Прописать в тетради
числа, чередуя: 45 22
670 9
– Подчеркнуть самую аккуратную запись числа

III. Сообщение темы и задач урока.
(Слайд
9)


Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока

IV. Подготовка к изучению нового материала

а) Верно ли выражение

На доске запись:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)

– Какую возможность даёт сочетательное
свойство?

Сочетательное свойство даёт возможность
записывать выражения, содержащие только
сложение, без скобок.

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– Какие свойства сложения мы применяются в
данном случае?

Сочетательное свойство даёт возможность
записывать выражения, содержащие только
сложение, без скобок. При этом вычисления можно
выполнять в любом порядке.

– В таком случае как называется ещё одно
свойство сложения? (Переместительное)

– Вызывает ли это выражение затруднение?
Почему?(Мы не умеем умножать двузначное число
на однозначное)

V. Изучениенового материала

1) Если мы будем выполнять умножение в том
порядке, в каком записаны выражения, то возникнут
трудности. Что же поможет нам снять эти
трудности?

(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6

2) Работа по учебнику с. 70, № 305 (Выскажи своё
предположение о результатах, которые получат
Волк и Заяц. Проверь себя, выполнив вычисления).

3) № 305. Проверь, равны ли значения выражений.
Устно.

Запись на доске:

(5 2) 3 и 5 (2 3)
(4 7) 5 и 4 (7 5)

4) Сделай вывод. Правило.

Чтобы произведение двух чисел умножить на
третье число, можно первое число умножить на
произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на
примерах

5) Коллективная работа

На доске: (8 3) 2, (6 3)
3, 2 (4 7)

VI. Физминутка

1) Игра «Зеркало». (Слайд 10)

Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.

2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».

– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите
направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте
глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов
против часовой стрелки.

VII. Закрепление изученного

1)Работа по учебнику. решение задачи.
(Слайд 11)

(с. 71, № 308) Прочитайте текст. Докажите, что это
задача. (Есть условие, вопрос)

– Выделите условие, вопрос.
– Назовите числовые данные. (Три, 6,
трёхлитровые)

– Что они обозначают? (Три ящика. 6 банок, в
каждой банке по 3 литра сока)

– Какая это задача по структуре? (Составная
задача, т. к. нельзя сразу ответить на вопрос
задачи или для решения требуется составление
выражения)

– Тип задачи? (Составная задача на
последовательные действия))

– Решите задачу без краткой записи составлением
выражения. Для этого используйте следующую
карточку:

Карточка-помощница

– В тетради решение задачи можно оформить
следующим образом: (3 6) 3

– Можем ли мы решить задачу в таком порядке?

(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л).
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л)

Ответ: 54 литра сока во всех ящиках.

2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд 12)

– Поставь знаки, не вычисляя:

(15 * 2) *4 15 * (2 * 4)
(–Какое свойство?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3

Проверка: (Слайд 13)

(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0
(3 * 4) * 2 > 3 + 4 +
2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3

3) Самостоятельная работа (по учебнику)

(с. 71, № 307 – по вариантам)

1 в. (8 2) 2
= (6 2) 3
= (19 1) 0 =
2 в. (7 3) 3
= (9 2) 4
= (12 9) 0 =

Проверка:

1 в. (8 2) 2 = 32 (6
2) 3 = 36 (19 1)
0 = 0.
2 в. (7 3) 3 = 63 (9 2)
4 = 72 (12 9) 0 =
0

Свойства умножения:
(Слайд 14).

  • Переместительное свойство
  • Сочетательное свойство

– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд
15).

  • Чтобы быстро считать
  • Выбирать рациональный способ счета
  • Решать задачи

VIII. Повторение пройденного материала.
«Ветряные мельницы».
(Слайд 16, 17)

  • Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три
    числовых выражения (1 вариант)
  • Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три
    числовых выражения (2 вариант)
485
+ 38

523
583
+ 38

621
681
+ 38

719
583
38

545
545
38

507
507
38

469

Учащиеся выполняют задания по вариантам
(двое учащихся решают задания на дополнительных
досках).

Взаимопроверка.

IХ. Итог урока

– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного
свойства умножения?

Х. Рефлексия

– Кто считает, что понял смысл сочетательного
свойства умножения? Кто доволен своей работой на
уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы
довольны своей работой, то поставьте руки на
локти и покажите мне ладошки. А если вы были
чем-то расстроены, то покажите мне обратную
сторону ладошки.

XI. Информация о домашнем задании

– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?

По выбору:

1. Выучить правило с. 70
2. Придумать и записать выражение на новую тему с
решением

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления — Памятки по математике — Памятки ученикам

Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.

В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.

Свойства сложения

Переместительное свойство сложения

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В буквенном виде свойство записывается так:

a + b = b + a

В этом равенстве буквы a и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

Сочетательное свойство сложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

В буквенном виде:

(a + b) + c = a + (b + c)

Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто a + b + с.

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.

При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.

Свойство нуля при сложении

Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.

Если к числу прибавить нуль, получится само число.

a + 0 = 0 + a = a

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

a — (b + c) = (a — b) — c

или

a — (b + c) = (a — с) — b

Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить.

(a — b) — c = a — b — c

Свойство вычитания числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

(a + b) — c = (a — c) + b (если a > c или а = с)

или

(a + b) — c = (b — c) + a (если b > c или b = с)

Свойство нуля при вычитании

Если из числа вычесть нуль, получится само число.

a — 0 = a 

Если из числа вычесть само число, то получится нуль.

a — a = 0 

Онлайн урок: Свойства действий с рациональными числами по предмету Математика 6 класс

Свойства арифметических действий с рациональными числами — это правила, по которым можно обращаться с рациональными числами.

Часто для упрощения математических задач применяют основные свойства арифметических действий.

Все свойства действий с рациональными числами основываются на свойствах действий с целыми числами.

Мы выяснили, что рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Но также нам известно, что на множестве рациональных чисел действие вычитание задается как обратное сложению, а действие деления как обратное умножению.

Таким образом, для рациональных чисел остается два основных арифметических действия: сложение и умножение. Свойства, касающиеся вычитания и деления легко выводятся по аналогичным принципам из свойств сложения и умножения, их мы сейчас рассмотрим.

Пусть числа a, b, c, — некоторые рациональные числа.

Рассмотрим основные свойства действий с этими числами.

Свойства сложения рациональных чисел:

1. Переместительное свойство

При сложении рациональных чисел неважно в каком порядке идут слагаемые.

От перестановки слагаемых местами сумма не меняется.

Пример:

Определим значение выражения а + b, если а = 0,5, b = 2,15

Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим

а + b = 0,5 + 2,15 = 2,65

В заданном выражении а + b поменяем местами слагаемые, в результате

b+ a = 2,15 + 0,5 = 2,65.

Ответ: при перестановке слагаемых сумма выражения осталась прежней, равной 2,65.

 

2. Сочетательное свойство

Если выражение содержит только действия сложения чисел, то выполнять сложения этих чисел можно в любом порядке.

Таким образом, чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемого.

Эти правила позволяют упрощать вычисления.

Если соединить переместительное и сочетательное свойства сложения, то складывать числа и их группировать можно в любом порядке.

Пример:

Найдите значения выражения а + (+ с), если

а = 7,5

b = 1,2

с = 3,3

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

а + (b+ с) = 7,5 + (1,2 + 3,3) = 7,5 + 4,5 = 12

В заданном выражении а + (b+ с) поменяем порядок действий, заключив в скобки первое и второе слагаемые, в результате получим

(а + b) + с = (7,5 + 1,2) + 3,3 = 8,7 + 3,3 = 12

Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение суммы осталось прежнее — равное 12.

 

Свойства умножения рациональных чисел:

Умножение, как и сложение, обладает переместительным и сочетательным свойством

1. Переместительное свойство

При умножении рациональных чисел неважно в каком порядке идут множители.

От перестановки множителей местами произведение не изменяется.

Пример:

Определим значение выражения \(\mathbf{a \cdot b}\), если а = 0,5, b = 2,1

Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим

\(\mathbf{a \cdot b = 0,5 \cdot 2,1 = 1,05}\)

В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot b}\) поменяем местами множители, в результате

\(\mathbf{b \cdot a = 2,1 \cdot 0,5 = 1,05}\)

Ответ: при перестановке множителей местами произведение осталось прежним, равным 1,05

 

2. Сочетательное свойство

Если выражение содержит только действия умножения чисел, то выполнять умножение этих чисел можно в любом порядке.

Таким образом, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего множителя.

Переместительное и сочетательное свойство умножения позволяют в произведении переставлять и группировать множители в любом порядке, тем самым упрощая математическое выражение.

Пример:

Найдите значения выражения \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\), если

\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

\(\mathbf{a \cdot (b \cdot c) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{3}{16}}\)

В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\) поменяем порядок действий, заключив в скобки первый и второй множитель, в результате

\(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{16}}\)

Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение произведения осталось прежним, равным \(\mathbf{-\frac{3}{16}}\)

 

Распределительное свойство относительно сложения

Рассмотрим свойство, объединяющее сложение и умножение рациональных чисел.

Для того, чтобы умножить сумму на число, можно сначала умножить первое слагаемое на это число, потом второе слагаемое на это число, а затем полученные результаты сложить.

В буквенном выражении это правило выглядит так:

Правую часть равенства называют правилом раскрытия скобок.

Левую часть данного равенства называют правилом вынесения общего множителя за скобки.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), если

\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

\(\mathbf{(a + b) \cdot c = (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{8}}\)

Применим к данному выражению \(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c}\) распределительное свойство умножения относительно сложения.

Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), умножив первое и второе слагаемое на число с, затем, сложив полученные результаты, получаем выражение вида:

\(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{2}{8} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{5}{8}}\)

В нашем примере значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\) и значение выражения \(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c}\) равны \(\mathbf{-\frac{5}{8}}\), т.е. справедливо равенство  \(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c = -\frac{5}{8}}\)

Распределительное свойство умножения | Математика

Распределительное свойство умножения — важное правило, полезное в устном счете и при раскрытии скобок.

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так:

   

либо так:

   

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так:

   

либо так:

   

Распределительное свойство умножения верно и для большего количества чисел. Например, для трех слагаемых распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид:

   

Распределительное свойство умножения упрощает устный счет.

Примеры:

   

   

Этот пример можно решить также с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания:

   

   

   

   

или

   

   

   

   

   

С помощью распределительного свойства умножения можно раскрывать скобки.

Примеры:

   

   

   

   

(Более подробно тема раскрытия скобок рассматривается после изучения отрицательных чисел).

Распределительное свойство умножения можно применить и в обратном порядке:

   

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b плюс c».

   

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b минус c».

Более подробно вынесение общего множителя за скобки изучают в курсе алгебры 7 класса.

Цагельник Е.И. ОБ ИЗУЧЕНИИ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Теоретическая наука, которая начала изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они появились, получила название арифметика. Во второй половине ХIХ века натуральные числа стали фундаментом всей математической науки, в связи с чем возникла необходимость систематизации и логического обоснования того, что с ними связано. Это привело к разработке двух подходов: аксиоматического и теоретико-множественного. Оба рассматриваются в вузовском курсе математики. В связи с высокой степенью абстрактности материала реализовать их в полной мере в школьном курсе математики не представляется возможным, однако их знание помогает учителю организовать учебный процесс таким образом, чтобы усвоение материала учащимися было наиболее полным.

На I ступени общего среднего образования действие умножения определяется через сложение, а деление – через умножение. Поскольку объяснение строится с опорой на наглядность, то при изучении умножения можно использовать таблицу, иллюстрирующую декартово произведение двух множеств [1, с. 98].

Изучение умножения на I ступени общего среднего образования, предполагает знакомство со следующими его свойствами:

  1. Переместительное свойство умножения.
  2. Сочетательное свойство умножения.
  3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.
  4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Кроме того, рассматриваются частные случаи, связанные с умножением на нуль и на единицу.

Ознакомление с переместительным свойством умножения и особыми случаями умножения и деления служат для того, чтобы подготовить младших школьников к изучению таблицы умножения, а также опирающихся на нее соответствующих случаев деления [1, с. 100]. Суть переместительного свойства умножения заключается в том, что значение произведения при перестановке множителей не меняется. Для доказательства верности данного свойства можно использовать указанную выше демонстрационную таблицу. Иллюстрируя на ней произведения 3 ∙ 4 и 4 ∙ 3, легко убедить учащихся, что эти произведения равны, что наглядно иллюстрирует равенство площадей соответствующих прямоугольников (рис. 1).

  1 2 3 4 5 6 7
1              
2              
3              
4              
5              

Рисунок 1. Иллюстрационная таблица.

При изучении данного свойства умножения используется индуктивный метод обучения. Это вызвано тем, что сколько бы ни приводилось примеров равенств, отражающих переместительность умножения, невозможно исчерпать все случаи, так как пар натуральных чисел бесконечно много. В буквенном виде переместительное свойство записывается следующим образом: a ∙ b =b ∙ a. В данном равенстве переменные a и b принимают любые натуральные значения, а также значение 0 [2].

Сочетательное свойство умножения дается в следующей формулировке: «Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Порядок выполнения действий при нахождении произведения не влияетна конечный результат, например, 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 30. В буквенном виде: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c. Так же, как и в формуле переместительного свойства умножения, переменные a и b принимают любые натуральные значения и значение 0. Таким образом, результат умножения трёх чисел не зависит от постановки скобок, поэтому свойство можно проиллюстрировать так: 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 30.

При объединении переместительного и сочетательного свойств умножения формулируется правило преобразования произведения: «При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы» [2].

Умножение единицы на единицу, десяти на десять, нуля на нуль, а также соответствующие случаи деления рассматриваются особо.

Деление нуля и невозможность деления на нуль обосновываются с помощью определения деления и умножения нуля на число. В начальном курсе математики подход к разъяснению особых случаев умножения и деления со строгой опорой на теорию вузовского курса математики невозможен. Попытка обосновать, что a ∙ 1 = а и a ∙ 0 = 0, опираясь на определение умножения через сумму, также невозможна: непонятно, что есть «сумма», у которой только одно слагаемое, или «сумма» без слагаемых. Поэтому эти случаи умножения, а также правило «на нуль делить нельзя» учащиеся должны просто запомнить [1, с. 101]. При этом используется формулировка: «Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю». Например, 5 ∙ 0 = 0 ∙ 5 = 0. Свойство умножения единицы и на единицу заключается в том, что произведение натуральных чисел, одно из которых равно единице, равно другому числу. Например, 6 ∙ 1 = 1 ∙ 6 = 6 [2].

При изучении свойства умножения 10 на число используется понятие «десяток», с которым младшие школьники знакомятся во время изучения нумерации чисел, операций сложения и вычитания в пределах 100. Так, к примеру, 10 ∙ 2 – это 1 дес. ∙ 2, или 2 дес., т.е. 20; аналогично 10 ∙ 3 – это 30 и т.д. Наблюдая за изменением компонентов и произведений, обучающиеся самостоятельно могут прийти к правилу: «Для того чтобы умножить число на 10, надо приписать к нему справа нуль». Аналогичным образом вводится прием деления круглых десятков на однозначное число, например, 80 : 4 = 20 [1, с. 102].

Распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид: (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c. Оно запоминается в формулировке «чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты» и распространяется на любое количество слагаемых: (a + b + с + d) ∙ k = a ∙ k + b ∙ k + c ∙ k + d ∙ k. Распределительное свойство умножения отрабатывается на числовых выражениях, поэтому упражнения подбираются так, чтобы младшие школьники могли выбрать удобный способ вычислений.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания рассматривается в виде правила: «Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе». Его символическая запись:

(a – b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c. Например, (10 – 5) ∙ 3 = 10 ∙ 3 – 5 ∙ 3 [2].

При изучении арифметического действия «деление», среди иных, рассматриваются следующие свойства:

  1. Ни одно число нельзя делить на нуль.
  2. При делении нуля на число получается нуль: 0 : a = 0.
  3. При делении любого числа на 1 получается это же число: b : 1 = b.

Отдельно следует выделить правило: «Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится». Символическая запись: a : b = (a ∙ k) : (b ∙ k), где k – любое натуральное число.

С целью выявления особенностей методики, позволяющих учащимся лучше усвоить знания арифметических действий умножения и деления, нами в 2014-2015 учебном году на базе третьих классов гимназии № 9 им. Ф. П. Кириченко г. Гродно было проведено исследование. Мы выбрали два класса – 3 «А» (экспериментальный) и 3 «Д» (контрольный). Стоит отметить, что в данных классах преподают разные учителя.

На констатирующем этапе необходимо было выявить знания учащихся об арифметических действиях умножения и деления. Для этого мы разработали математический тест, состоящий из десяти заданий.

Анализ полученных результатов показал, что максимальное количество ошибок было допущено в заданиях на решение уравнений и неравенств, содержащих операции умножения и деления. Трудности у учеников возникли и при нахождении значений числовых выражений, что указывало на недостаточный уровень знаний табличных случаев умножения. Стоит отметить, что с решением текстовых задач, содержащих операции умножения и деления, младшие школьники двух классов справились, не было допущено ни одной ошибки. Вместе с тем, результаты математического теста показали, что учащиеся контрольного класса допустили меньше ошибок, чем экспериментального.

Планируя работу на формирующем этапе эксперимента, мы опирались на данные психологических исследований, в ходе которых было доказано, что зрительные анализаторы обладают более высокой пропускной способностью, чем слуховые: 90% процентов всей информации, воспринимаемой человеком, приходится именно на зрение. Глаз способен воспринимать миллионы бит в секунду, ухо – только десятки тысяч. К тому же, данные, воспринятые с помощью глаз, более осмысленны и лучше сохраняются в памяти [3]. В связи с этим мы широко использовали информационные технологии, мультимедийные презентации, содержащие как стандартные задания, так и задания занимательного характера.

Мультимедийные презентации состояли из двух блоков: теоретического и практического. Теоретический блок опирался на повторение изученного материала, а практический – на его закрепление. Поскольку многие учащиеся допустили ошибки в решении уравнений, неравенств и числовых выражений, то задания были подобраны именно на повторение компонентов умножения и деления, а также табличных случаев данных операций.

Во время уроков, на которых использовались презентации, младшие школьники проявляли повышенный интерес к заданиям, выполняли их с большим желанием, чем на обычном уроке. В связи с этим, на каждом уроке было выполнено их больше, чем запланировано. Это еще раз подтвердило, что разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности, внимания, речи, мышления учащихся. Наглядность материала повышает его усвоение, т.к. задействованы все каналы восприятия информации – зрительный, механический, слуховой и эмоциональный. Кроме того, использование информационных технологий не требует раздаточного материала, сокращает время на выполнение заданий, позволяет менять виды деятельности учеников.

На контрольном этапе исследования повторно был проведен математический тест. Структура теста была аналогична предыдущему, но задания были сложнее. Следует отметить, что на этом этапе в экспериментальном классе обучающиеся справились с работой лучше, чем в контрольном.

Проведенное нами исследование позволяет сделать вывод о том, что использование информационных технологий, в частности мультимедийных презентаций, содержащих задания как стандартного, так и занимательного характера, помогают младшим школьникам быстрее и легче усвоить учебный материал и сформировать необходимые навыки, предусмотренные программой.

Литература

  1. Методика начального обучения математике /Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Минск : Выш. школа, 1988. – 254 с.

Свойства операций — Математика для учителей начальных классов

До сих пор вы видели несколько различных моделей для операций: сложение, вычитание, умножение и деление. Но мы мало говорили о самих операциях — о том, как они соотносятся друг с другом, какими свойствами они обладают, упрощая вычисления, и как ведут себя некоторые специальные числа. Есть над чем подумать!

Цель этого раздела — использовать модели, чтобы понять, почему операции ведут себя в соответствии с правилами, которые вы усвоили еще в начальной школе.Мы будем постоянно спрашивать себя: «Почему это так работает?»

Думаю / Пара / Поделиться

Каждая из этих моделей позволяет рассматривать работу по-своему. Прежде чем мы действительно углубимся в размышления об операциях, обсудите с партнером:

  • Из моделей, которые мы обсуждали до сих пор, вы предпочитаете одну из них?
  • Насколько хорошо модели, которые мы обсуждали, соответствуют тому, как вы обычно думаете о целых числах и их действиях?
  • Какие модели подходят для вычислений? Почему?
  • Какие модели, по вашему мнению, будут полезны для объяснения того, как работают операции? Почему?

Мы определили сложение как объединение двух величин, а вычитание как «отнятие».Но на самом деле эти две операции тесно связаны друг с другом. Эти два вопроса абсолютно одинаковы:

27-13 = ____ 27 = 13 + _____.

В общем, для любых трех целых чисел a, b и c эти два уравнения выражают один и тот же факт. (Таким образом, либо оба уравнения верны, либо оба неверны. Это зависит от значений, которые вы выбираете для a, b и c!)

c — b = a c = a + b.

Другими словами, мы можем думать о каждой проблеме вычитания как о проблеме сложения «недостающего слагаемого».Попробуйте!

Задача 11

Вот странная таблица сложения. Используйте его для решения следующих проблем. Обоснуйте свои ответы. Важно: не пытайтесь присвоить номера A, B и C. Решайте проблемы, просто используя то, что вы знаете об операциях!

A + C B + C A — C C — A A — A B — C

Думаю / Пара / Поделиться

Как таблица сложения помогает решать задачи вычитания?

Мы определили умножение как повторное сложение, а деление как формирование групп равного размера.Но на самом деле эти две операции тоже связаны между собой. Эти два вопроса абсолютно одинаковы:

27 ÷ 3 = _____ 27 = _____ × 3.

В общем, для любых трех целых чисел a, b и c эти два уравнения выражают один и тот же факт. (Таким образом, либо оба уравнения верны, либо оба неверны. Это зависит от значений, которые вы выбираете для a, b и c!)

c ÷ b = a c = a · b.

Другими словами, мы можем думать о каждой проблеме деления как о проблеме умножения «недостающего фактора».Попробуйте!

Задача 12

Перепишите каждый из этих вопросов деления как вопрос умножения на «недостающий фактор». Какие из них вы можете решить, а какие нет? Объясни свои ответы.

9 ÷ 3 100 ÷ 25 0 ÷ 3 9 ÷ 0 0 ÷ 0

Думаю / Пара / Поделиться

Как таблица умножения помогает решать задачи деления (и возведения в степень)?

На протяжении всего курса мы сосредоточены на объяснении и обосновании.Как учителя, вы должны знать, что верно в математике, но вам также необходимо знать , почему это правда. И вам понадобится множество способов объяснить , почему , поскольку разные объяснения будут иметь смысл для разных студентов.

Думаю / Пара / Поделиться

Арифметический факт: a + b = c и c — b = a — это один и тот же математический факт.

Почему не является хорошим объяснением?

Сложение и вычитание: объяснение 1

Арифметический факт:

a + b = c и c — b = a — это один и тот же математический факт.

Почему это правда, объяснение 1:

Сначала воспользуемся определением операций.

Предположим, мы знаем, что c — b = a истинно. Вычитание означает «убрать». Итак

c — b = a

означает, что мы начинаем с количества c и отбираем количество b , и в итоге мы получаем количество a . Начните с этого уравнения и представьте, что к обеим сторонам прибавляется количество b .

Слева: мы начали с количества c , забрали b вещей, а затем вернули эти b вещей обратно! Поскольку мы убрали некоторое количество, а затем добавили точно такое же количество, общего изменения нет.Осталось количество c .

Справа мы будем комбинировать (добавлять) количество a с количеством b . Таким образом, мы получаем: c = a + b.

С другой стороны, предположим, что мы знаем, что уравнение a + b = c верно. Представьте себе вычитание (вычитание) количества b из обеих частей этого уравнения: a + b = c.

Слева мы начали с a вещей и объединили это с b единиц, но затем мы сразу же убрали эти b единиц.Итак, у нас осталось только наше первоначальное количество .

Справа начинаем с количества c и забираем b вещей. Это само определение c — b . Итак, у нас есть уравнение:

a = c b .

Почему это правда, объяснение 2:

Давайте воспользуемся моделью измерения, чтобы придумать другое объяснение.

Уравнение a + b = c означает, что Зед начинает с 0, идет вперед на a шага, затем идет вперед на b шагов и заканчивается на c .

Если Зед хочет вычислить c — b , он начинает с 0, проходит вперед c шагов, а затем возвращается назад на b шагов. Но мы знаем, что чтобы пройти вперед c шага, он может сначала пройти a шага, а затем пройти вперед b шага. Итак, Zed может вычислить c — b следующим образом:

  • Начать с 0.
  • Идите вперед на шага.
  • Шаг вперед b шага. (Теперь c , так как a + b = c .)
  • Назад b шага.

Последние два набора шагов компенсируют друг друга, так что Зед возвращается к на . Это означает c — b = a .

С другой стороны, уравнение c — b = a означает, что Зед начинает с 0, идет вперед c шагов, затем возвращается назад на b шагов и заканчивается на a .

Если Зед хочет вычислить a + b , он начинает с 0, проходит вперед a шагов, а затем переходит вперед b дополнительных шагов.Но мы знаем, что чтобы пройти вперед a шага, он может сначала пройти c шага, а затем вернуться назад b шага. Итак, Зед может вычислить a + b следующим образом:

  • Начать с 0.
  • Идите вперед c шага.
  • Назад b шага. (Теперь a , так как c — b = a .)
  • Шаг вперед b шага.

Последние два набора шагов компенсируют друг друга, так что Зед возвращается к c .Это означает a + b = c .

Вы, вероятно, знаете несколько свойств сложения, но, возможно, никогда не переставали задаваться вопросом: Почему это правда ?! Теперь твой шанс! В этом разделе вы воспользуетесь определением операций сложения и вычитания, а также изученными вами моделями, чтобы объяснить, почему эти свойства всегда верны.

Вот три свойства, о которых вы думаете:

  • Сложение целых чисел — , коммутативное .
  • Сложение целых чисел ассоциативно .
  • Число 0 — это идентификатор для сложения целых чисел.

Для каждого свойства мы не хотим путать эти три идеи:

  • как называется объект недвижимости и что это означает (определение),
  • несколько примеров, что демонстрируют собственности, а
  • объяснение , почему собственность удерживается.

Обратите внимание, что примеров и объяснения — это не одно и то же! Также очень важно не путать определение свойства с причиной , что это правда!

Все эти свойства являются универсальными утверждениями — утверждениями формы «для всех», «каждый раз», «всегда» и т. Д.Это означает, что чтобы показать, что они верны, вы должны либо проверить каждый случай, либо найти причину, по которой это должно быть .

Поскольку целых чисел бесконечно много, проверить каждый регистр невозможно. Вы никогда не закончите! Наша единственная надежда — поискать общих объяснений . Мы найдем объяснение первому из этих фактов, а вы поработаете над остальными.

Сложение является коммутативным

Пример: Коммутативный закон

Недвижимость:

Сложение целых чисел коммутативно.

Что это значит (словами):

Когда я складываю два целых числа, порядок их добавления не влияет на сумму.

Что это означает (символы):

Для любых двух целых чисел a и b ,

а + Ь = Ь + а .

Теперь нам нужно обоснование . Почему является коммутативным сложением целых чисел?

Почему это правда, объяснение 1:

Давайте подумаем о сложении как о соединении двух количеств точек.

  • Чтобы сложить a + b , берем a точек и b точек, и объединяем их в прямоугольник. Чтобы не усложнять задачу, давайте представим, что точки a окрашены в красный цвет, а точки b — в синий цвет. Итак, в поле у ​​нас a красных точек, b синих точек и a + b общих точек.
  • Чтобы сложить b + a , возьмем b синих точек и a красных точек и поместим их все вместе в коробку.У нас есть b синих точек, a красных точек и b + общих точки.
  • Но общее количество точек в двух квадратах одинаково! Откуда мы это знаем? Что ж, в каждой коробке и красных точки, так что мы можем сопоставить их. В каждом квадрате b синих точек, поэтому мы можем сопоставить их. Вот и все! Если мы можем сопоставить точки один к одному, их должно быть одинаковое количество!

• Это означает a + b = b + a .

Почему это правда, объяснение 2:

Мы также можем использовать модель измерения, чтобы объяснить, почему a + b = b + a , независимо от того, какие числа мы выбираем для a и b .Представьте, что вы берете отрезок длиной a и линейно комбинируете его с отрезком длиной b . Таким образом мы получаем длину a + b .

Но если мы просто повернем этот сегмент так, чтобы он перевернулся, мы увидим, что у нас есть сегмент длиной b в сочетании с сегментом длиной a , что составляет длину b + a .

Но, конечно, это тот же сегмент! Мы просто перевернули его вверх дном! Значит, длина должна быть одинаковой.То есть a + b = b + a .

Сложение ассоциативное

Твоя очередь! Вы ответите на вопрос: «Почему сложение целых чисел ассоциативно?»

Свойство: Сложение целых чисел ассоциативно.

Что это означает (слова): Когда я складываю три целых числа в заданном порядке, то, как я их группирую (складывая по два за раз), не влияет на сумму.

Что это означает (символы): Для любых трех целых чисел a , b и c ,

(a + b) + c = a + (b + c) .

Проблема 14

  1. Придумайте как минимум три примера , чтобы продемонстрировать ассоциативность сложения.
  2. Используйте наши модели сложения, чтобы придумать объяснение . Почему ассоциативность сохраняется в в каждом случае ? Примечание: в вашем объяснении не должны использоваться конкретные числа. Это не пример!

0 — идентификатор для дополнения

Свойство: Число 0 — это идентификатор для сложения целых чисел.

Что это означает (слова): Когда я добавляю любое целое число к 0 (в любом порядке), сумма — это то же самое целое число, которое я прибавил к 0.

Что это означает (символы): Для любых целых чисел n ,

n + 0 = n и 0 + n = n .

Задача 15

  1. Придумайте как минимум три примера , чтобы продемонстрировать, что 0 — это идентификатор для сложения.
  2. Используйте наши модели сложения, чтобы придумать объяснение .Почему это свойство 0 выполняется в во всех возможных случаях ?

Свойства вычитания

Поскольку сложение и вычитание так тесно связаны, естественно задаться вопросом, имеет ли вычитание те же свойства, что и сложение, например коммутативность и ассоциативность.

Пример: коммутативно ли вычитание?

Джастин спросил, коммутативна ли операция вычитания. Это означало бы, что разница двух целых чисел не зависит от порядка, в котором вы их вычитаете.

В символах: для каждого выбора целых чисел a и b у нас будет a — b = b — a .

Джаред говорит, что вычитание не коммутативное , поскольку 4 — 3 = 1, а 3 — 4 ≠ 1. (Фактически, 3 — 4 = -1.)

Поскольку утверждение «вычитание коммутативно» является универсальным утверждением , достаточно одного контрпримера, чтобы показать, что это не так. Контрпример Джареда позволяет нам с уверенностью сказать:

Вычитание не коммутативное .

Думаю / Пара / Поделиться

Можете ли вы найти примеры целых чисел a и b , где a — b = b — a верно? Поясните свой ответ.

Задача 16

Лайл спросил, ассоциативна ли операция вычитания.

  1. Укажите, что означает ассоциативность вычитания. Вы должны использовать слова и символы.
  2. Что бы вы сказали Лайлу? Решите, ассоциативно вычитание или нет.Тщательно объясните, как вы приняли решение, и , откуда вы знаете, что правы .

Проблема 17

Джесс спросила, является ли число 0 идентификатором для вычитания.

  1. Укажите, что будет означать, если 0 будет идентификатором для вычитания. Вы должны использовать слова и символы.
  2. Что бы вы сказали Джесс? Решите, является ли 0 тождеством для вычитания или нет. Тщательно объясните, как вы приняли решение, и , откуда вы знаете, что правы

Теперь мы собираемся обратить наше внимание на знакомые свойства умножения и деления, сосредоточившись по-прежнему на объяснении, почему эти свойства всегда верны.

Вот четыре свойства, о которых вы думаете:

  • Умножение целых чисел равно коммутативному .
  • Умножение целых чисел ассоциативно .
  • Умножение целых чисел делит на сложение
  • Число 1 — это идентификатор для умножения целых чисел

Для каждого объекта не забудьте держаться прямо:

  • как называется объект недвижимости и что это означает (определение),
  • несколько примеров, что демонстрируют собственности, а
  • объяснение , почему собственность удерживается.

Еще раз, важно различать примеров и объяснений . Они не то же самое! Поскольку целых чисел бесконечно много, невозможно проверить каждый случай, поэтому примеров никогда не будет достаточно, чтобы объяснить, почему эти свойства выполняются. Вы должны выяснить причин сохранения этих свойств, основываясь на том, что вы знаете об операциях.

1 — идентификатор для умножения

Мы дадим объяснение последнему из этих фактов, а вы поработаете над остальными.

Пример: 1 — идентификатор для умножения

Недвижимость:

Число 1 — это тождество умножения целых чисел.

Что это значит (словами):

Когда я умножаю число на 1 (в любом порядке), получается это число.

Что это означает (символы):

Для любого целого числа м ,

м × 1 = м и 1 × м = м.

Примеры:

1 × 5 = 5, 19 × 1 = 19 и 1 × 1 = 1.

Почему так действует число 1 при умножении?

Почему это правда, объяснение 1:

Давайте сначала подумаем об определении умножения как повторного сложения:

Почему это правда, объяснение 2:

Мы также можем использовать модель числовой линии для создания обоснования. Если Зед вычислит 1 × м , он начнет с 0 и будет смотреть в положительном направлении. Затем он сделает м шага вперед и сделает это только один раз.Таким образом, он приземляется на высоте м , что означает 1 × м = м.

Если Зед вычисляет м × 1, он начинает с 0 и смотрит в положительном направлении. Затем он делает один шаг вперед и повторяет это м раза. Итак, он приземляется на высоте м . Мы видим, что м × 1 = м.

Почему это правда, объяснение 3:

В модели площади м × 1 представляет м строк с одним квадратом в каждой строке. Итого м квадрата.Итак, м × 1 = м .

Аналогично, 1 × м представляет собой один ряд из м квадратов. Это тоже всего м квадрата. Итак, 1 × м = м.

Думаю / Пара / Поделиться

В этом примере представлено несколько различных объяснений. Как вы думаете, один из них убедительнее других? Или более понятным и понятным?

Умножение коммутативное

Свойство : Умножение целых чисел коммутативно.

Что это означает (слова): Когда я умножаю два целых числа, изменение порядка их умножения не влияет на произведение.

Что это означает (символы): Для любых двух целых чисел a и b ,

а · б = б · а.

Задача 18

  1. Придумайте как минимум три примера , чтобы продемонстрировать коммутативность умножения.
  2. Используйте наши модели умножения, чтобы придумать объяснение .Почему коммутативность сохраняется в в каждом случае ? Примечание: В вашем объяснении не должны использоваться конкретные числа. Это не пример!

Умножение ассоциативное

Свойство : Умножение целых чисел ассоциативно.

Что это означает (слова): Когда я умножаю три целых числа в заданном порядке, то, как я их группирую (умножая два за раз), не влияет на произведение.

Что это означает (символы): Для любых трех целых чисел a , b и c ,

(а · б) · с = а · (б · в).

Задача 19

  1. Придумайте как минимум три примера , чтобы продемонстрировать ассоциативность умножения.
  2. Используйте наши модели умножения, чтобы придумать объяснение . Почему ассоциативность сохраняется в в каждом случае ?

Умножение распределяется по сложению

Свойство: Умножение распределяется поверх сложения.

Что это означает: Распределительный закон для умножения над сложением немного сложно описать словами, поэтому мы сразу перейдем к символам.Для любых трех целых чисел x , y и z :

x · (y + z) = x · y + x · z .

Примеры : Мы действительно проводили вычисления, очень похожие на приведенные выше примеры, когда мы смотрели на модель площади для умножения.

8 · (23) = 8 · (20 + 3) = 8 · 20 + 8 · 3 = 160 + 24 = 184

5 · (108) = 5 · (100 + 8) = 5 · 100 + 5 · 8 = 500 + 40 = 540

Проблема 20

Какая из следующих картинок лучше всего отображает закон распределения в уравнении

Объясните свой выбор.

Задача 21

Используйте закон распределения, чтобы легко вычислить каждый из них в уме (никаких калькуляторов!). Объясните свои решения.

Думаю / Пара / Поделиться

Воспользуйтесь одной из наших моделей умножения и сложения, чтобы объяснить, почему правило распределения работает каждый раз.

Недвижимость подразделения

Естественно задаться вопросом, какие из этих свойств, если они вообще существуют, также верны для деления (поскольку вы знаете, что операции умножения и деления связаны).

Пример: ассоциативно ли разделение?

Если бы деление было ассоциативным, то для любого выбора трех целых чисел a , b и c мы получили бы

a ÷ ( b ÷ c ) = ( a ÷ b ) ÷ c .

Помните, скобки говорят вам, какие два числа делить в первую очередь.

Давайте попробуем пример a = 9, b = 3 и c = 1.Тогда имеем:

9 ÷ (3 ÷ 1) = 9 ÷ 3 = 3

и

(9 ÷ 3) ÷ 1 = 3 ÷ 1 = 3.

Так это правда? Ассоциативно ли деление? Что ж, мы не можем быть уверены. Это всего лишь один пример. Но «деление ассоциативно» — это универсальное утверждение . Если это правда, он должен работать для каждые возможных , например . Может быть, мы просто наткнулись на удачный выбор чисел, но это не всегда срабатывает.

Давайте смотреть дальше.Попробуйте a = 16, b = 4 и c = 2.

16 ÷ (4 ÷ 2) = 16 ÷ 2 = 8

и

(16 ÷ 4) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2.

Это все, что нам нужно! Один контрпример позволяет сделать вывод:

Деление не ассоциативное .

А как насчет других свойств? Теперь твоя очередь решать!

Задача 22

  1. Укажите, что означает коммутативность деления. Вы должны использовать слова и символы.
  2. Решите, является ли деление коммутативным или нет. Тщательно объясните, как вы приняли решение, и , откуда вы знаете, что правы .

Проблема 23

  1. Укажите, что будет означать для разделения распределение поверх добавления. Вы определенно захотите использовать символы!
  2. Решите, будет ли деление распределяться сверх сложения или нет. Тщательно объясните, как вы приняли решение, и , откуда вы знаете, что правы .

Проблема 24

  1. Укажите, что означает, что число 1 является идентификатором деления.Вы должны использовать слова и символы.
  2. Решите, является ли 1 идентификатором для деления или нет. Подробно объясните, как вы приняли решение, и , откуда вы знаете, что правы.

Свойство нуля для умножения и деления

Задача 25

Вы, вероятно, знаете еще одно свойство умножения, о котором еще не упоминалось:

Если я умножу любое число на 0 (в любом порядке), произведение будет 0. Это иногда называют нулевым свойством умножения.Обратите внимание, что свойство ноль сильно отличается от свойства идентичности!

1. Напишите, что означает нулевое свойство, используя слова и символы:

Для каждого целого числа n . . .

2. Приведите хотя бы три примера свойства нуля для умножения.

3. Воспользуйтесь одной из наших моделей умножения, чтобы объяснить, почему выполняется свойство нуля.

Думаю / Пара / Поделиться

  • Для каждой приведенной ниже задачи деления превратите ее в задачу умножения.Решите эти проблемы, если сможете. Если не можете, объясните, что не так.

5 ÷ 0 0 ÷ 5 7 ÷ 0 0 ÷ 7 0 ÷ 0

  • Используйте свою работу, чтобы объяснить, почему мы говорим, что деление на 0 равно undefined .
  • Воспользуйтесь одной из наших моделей деления, чтобы объяснить, почему деление на 0 равно undefined .

В начальной школе учащихся часто поощряют запоминать «четыре группы фактов», например:

2 + 3 = 5 5 — 3 = 2

3 + 2 = 5 5 — 2 = 3

Вот еще одна «группа из четырех фактов»:

2 · 3 = 6 6 ÷ 3 = 2

3 · 2 = 6 6 ÷ 2 = 3

Думаю / Пара / Поделиться

  • В каком смысле эти группы уравнений являются «семействами»?
  • Запишите как минимум еще два сложения / вычитания четырех групп фактов.
  • Используйте свойства сложения и вычитания, чтобы объяснить , почему из этих четырех семейств фактов на самом деле являются одним фактом.
  • Запишите как минимум еще два набора фактов умножения / деления на четыре группы.
  • Используйте свойства умножения и деления, чтобы объяснить , почему из этих четырех семейств фактов на самом деле являются одним фактом.

Задача 26

  1. Вот истинный факт в шестой системе счисления:. Напишите остальную часть этого семейства из четырех фактов.
  2. Вот истинный факт в базе шесть:. Напишите остальную часть этого семейства из четырех фактов.

До сих пор мы думали о разделении в так называемой котировочной модели . В котировочной модели мы хотим создавать группы одинакового размера. Нам известен размер группы , и мы спрашиваем , сколько групп . Например, мы думаем о 20 ÷ 4 как:

Сколько групп из 4 человек в группе из 20 человек?

Однако, размышляя о четырех группах фактов, мы понимаем, что можем немного изменить этот вопрос.Мы могли бы подумать о разделенной модели деления. В партитивной модели мы хотим создать равное количество групп. Мы знаем , сколько групп , и спрашиваем размер группы . В партитивной модели мы думаем о 20 ÷ 4 как:

20 — это 4 группы какого размера?

Когда мы знаем исходное количество и количество частей, мы используем дробное деление, чтобы найти размер каждой части.

Когда мы знаем исходное количество и размер каждой части, мы используем цитатное деление, чтобы найти количество частей.

Вот несколько примеров в задачах с текстом:

Думаю / Пара / Поделиться

Для каждой проблемы со словом ниже:

  • Нарисуйте картинку, чтобы показать, в чем проблема.
  • Используйте свою картинку, чтобы решить, является ли это проблемой цитатного или частичного деления.
  • Решите проблему любым способом.
  1. Давид испек 36 печенек на продажу. Он упаковал печенье в коробки по 9 штук. Сколько коробок он использовал?
  2. Дэвид приготовил 36 печенек, чтобы поделиться с друзьями за обедом.За обеденным столом сидело 12 человек (включая Дэвида). Сколько файлов cookie получил каждый человек?
  3. Лиз провела одно лето в походе по тропе Аппалачин. Она прошла 1380 миль по трассе и в среднем проезжала 15 миль в день. Сколько дней она ходила в поход тем летом?
  4. 1 апреля 2012 года Chase Norton стал первым человеком, который поднялся на всю вершину Коалау за одну поездку. (Правдивая история!) Ему потребовалось восемь дней, чтобы преодолеть все 48 миль от старта до финиша. Если он сохранял постоянный темп, сколько миль он проходил каждый день?

Думаю / Пара / Поделиться

Напишите свои собственные задачи о словах: Напишите одну задачу о частичном делении и одну задачу о цитатном делении.Тщательно выбирайте числа, чтобы получить правильный ответ. Обязательно решите свои проблемы!

Зачем думать об этих двух моделях для разделения? Вы не будете учить своих учеников словам партитив и цитатный . Но осознание двух типов проблем с разделением (и умение приводить примеры каждого из них) сделает вас лучшим учителем.

Важно, чтобы ваши ученики были знакомы с обоими способами мышления о разделении и с проблемами обоих типов.В противном случае они могут слишком узко думать о разделении и не совсем понимать, что происходит. Если вы понимаете эти два вида проблем, вам будет легче диагностировать и устранять трудности учащихся.

Большинство проблем с разделением, которые мы рассмотрели до сих пор, вышли равномерно, без остатка. Но, конечно, так бывает не всегда! Иногда целочисленный ответ имеет смысл, и контекст проблемы должен подсказать вам, какое целое число является правильным.

Задача 27

Что такое 43 ÷ 4?

  1. Напишите задачу, которая использует вычисление 43 ÷ 4 и дает 10 в качестве правильного ответа.
  2. Напишите задачу, которая использует вычисление 43 ÷ 4 и дает 11 как правильный ответ.
  3. Напишите задачу, которая использует вычисление 43 ÷ 4 и дает правильный ответ 10,75.

Мы можем думать о делении с остатком в терминах некоторых наших моделей операций. Например, мы можем вычислить, что 23 ÷ 4 = 5 R3. Мы можем представить это так:

Думаю / Пара / Поделиться

  • Объясните, как на рисунке выше показано 23 = 5 · 4 + 3.Где вы видите на картинке оставшиеся 3?
  • Объясните связь между этими двумя уравнениями.

23 ÷ 4 = 5 R3 и 23 = 5 · 4 + 3.

  • Как вы могли бы использовать модель числовой прямой, чтобы показать вычисление 23 = 5 · 4 + 3? Как выглядит «остаток» в этой модели?
  • Нарисуйте модели области для каждой из этих задач разделения. Найдите частное и остаток.

40 ÷ 12 59 ÷ 10 91 ÷ 16

Ассоциативное свойство в сложении и умножении

И сложение, и умножение используют ассоциативное свойство, а вычитание и деление — нет.Мы собираемся подробно изучить каждую ситуацию, чтобы получить лучшее представление.

Ассоциативное свойство в Дополнении ♥

Сложение действительно обладает ассоциативным свойством.

Какие бы числа ни были a, b и c, они всегда оказываются одинаковыми:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Внимательно посмотрите на следующий пример, в котором указаны реальные числа.

Предположим, что a = 3, b = 18 и c = 1. Вы уже знаете, как сначала вычислить, что находится в скобках.

(3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

(3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

Как вы видели, независимо от порядка группировки ответ не меняется.

Теперь я покажу вам более наглядный пример:

Мы собираемся сложить 3 + 2 + 1, связывая числа (объединяя фрукты вместе) двумя разными способами.

Сначала, глядя на верхнее левое поле на картинке выше, нам нужно сложить первые два числа, 3 и 2.К любому полученному числу 5 мы прибавим 1. В итоге получим 6. Всего получается 6 кусочков фруктов.

На картинке справа мы сначала складываем последние два числа, 2 и 1. 2 плюс 1 дает нам 3. После того, как мы прибавляем 3 к 3, получаем 6. Всего получается 6 кусочков фруктов; это тот же ответ.

Это еще и ассоциативное свойство: оно позволяет вам изменить порядок, который мы используем для группировки чисел, потому что это не влияет на окончательный ответ.

Ассоциативное свойство при вычитании ×

В отличие от сложения, вычитание не обладает ассоциативным свойством.

Давайте посмотрим на другой пример. Вычтем 10-5-3:

(10 — 5) — 3 = 5 — 3 = 2

10 — (5-3) = 10-2 = 8

Если мы вычтем первые два числа, 10 минус 5, получим 5. Если мы перейдем к вычитанию 3, то получим 2. Однако, если сначала вычесть два последних числа, 5 минус 3 будет 2. Если мы вычтем 2 из 10, получим 8.

Изменение способа сопоставления чисел при вычитании меняет ответ. Таким образом, вычитание не обладает ассоциативным свойством.

Ассоциативное свойство в Умножении ♥

Сначала попробуйте вычислить (2 x 3) x 4. Затем попробуйте 2 x (3 x 4). Вы получили один и тот же ответ на оба вопроса?

Если вы получили тот же ответ, хорошо, потому что умножение обладает ассоциативным свойством, и ответ не изменится, даже если порядок чисел в задаче изменится. Порядок, в котором связаны числа, не влияет на окончательный ответ.

(a x b) x c = a x (b x c) = (a x c) x b

Если a = 3, b = 5 y c = 10, остается:

(3 х 5) х 10 = 15 х 10 = 150

3 х (5 х 10) = 3 х 50 = 150

(3 х 10) х 5 = 30 х 5 = 150

Теперь давайте посмотрим, как работает это свойство, на более наглядном примере:

Подсчитаем количество кубиков, составляющих следующую картинку.Всего 24 куба.

Помимо подсчета каждого куба по одному, существует несколько способов подсчета количества кубиков.

Один из способов — сначала посчитать кубики в одном столбце.

Если мы внимательно посмотрим на первый столбец, который был окрашен в оранжевый цвет, там 3 x 2 = 6, 6 кубиков. Сколько всего столбцов? Есть 4 столбца. Итак, 6 умножить на 4 даст нам общее количество кубиков: 24 кубика.

Другой способ решения проблемы — подсчет количества кубиков в одной строке

В первом зеленом ряду 4 x 2 = 8 кубиков.Всего есть 3 строки, поэтому, чтобы вычислить общее количество кубиков, нам нужно умножить 8 на 3, что дает 24. Всего 24 куба.

Это операции, которые мы использовали:

Независимо от того, как числа сгруппированы вместе, ответ получается одинаковым.

Ассоциативное свойство в Разделе ×

Вычислим 8 ÷ 2 ÷ 2. Сначала попробуйте разделить (8 ÷ 2) ÷ 2, что у вас получилось? 8 делить на 2 равно 4, а 4 на 2 равно 2.Здорово.

А теперь попробуйте 8 ÷ (2 ÷ 2). Сначала вам нужно поработать над круглыми скобками, 2 на 2 равно 1, а 8 на 1 равно 8. Хорошо. Итак, что мы здесь видим?

Мы видим, что получили два совершенно разных ответа.

Давайте посмотрим на другой пример 18 ÷ 6 ÷ 3, снова сгруппировав числа вместе двумя разными способами, и давайте проверим, будет ли ответ таким же или нет.

Один способ дает нам 1, а другой — 9. Мы снова видим, что ответы не совпадают.

Итак, мы можем с уверенностью сказать, что деление не обладает ассоциативным свойством.

Прежде чем мы закончим, одно замечание: если в задаче нет скобок, делите ее слева направо.

Надеюсь, это помогло вам понять это важное свойство. Если вы хотите углубиться, вы можете посетить эти записи, которые мы разместили в нашем блоге:

А если вы хотите и дальше изучать математику, в Smartick мы преподаем их с помощью джаза. Присоединяйтесь к нам!

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

Умножение и деление

Четвертый класс использует то, что было изучено в третьем классе. Третий класс вводит и обучает всем фактам умножения и деления от нуля до двенадцати. Как часто говорят, ученики ИЗУЧАЮТ факты в третьем классе, чтобы они могли ИСПОЛЬЗОВАТЬ факты в четвертом и всю оставшуюся жизнь.

Мы начинаем с нуля и единицы, затем с двоек и троек. В самом начале мы узнаем, что факторы можно переключать, а не изменять продукт. Это называется коммутативным свойством . Затем мы учим пятерки и десятки, а затем четверки и девятки. После этого узнаем остальное по порядку. Причина этого двоякая. От нуля до трех вводится теория умножения. Это идея, что умножение — это «повторное сложение», а деление — это обратное умножению.Факты следуют шаблону как умножения, так и деления. Затем мы переходим к пятеркам и десяткам, потому что эти закономерности сразу распознаются как счет пропусков. Далее идут четверки, потому что они увеличивают диапазон используемых факторов. Следом идут девятки из-за уникального рисунка изделий. Студентов также учат, что, просто комбинируя уже изученные уравнения, они могут найти ответ на любое из тех, которые им еще не известны. Это распределительная собственность . Например, 3×6 плюс 4×6 дает тот же ответ, что и 7×6, без заучивания семерок. Это работает и для деления.

Мы изучаем свойства умножения, многие из которых похожи на свойства сложения. С помощью этих свойств мы можем узнать, «почему» умножение работает, и как применять уравнения для решения многих повседневных событий. Знакомя с алгеброй, например, решая неизвестное число, представленное буквой, например «х», дети узнают, что любое уравнение можно сбалансировать, просто зная две из трех переменных и какой процесс использовать.Уравнение типа 3 x X = 15 просто превращается в задачу деления 15 ÷ 3 = X.

Обзор математических свойств и порядка операций

Помните, что целые числа — это целые положительные числа плюс ноль. Сумма любых двух целых чисел является целым числом. Следовательно, сложение — это закрытая операция. Произведение любых двух целых чисел является целым числом, поэтому целые числа замыкаются при операциях сложения и умножения.

Однако вычитание целого числа из целого числа не всегда дает целое число. То же самое и с разделением. Целые числа не закрываются при операциях вычитания и деления.

Если вы посмотрите на целые числа (положительные числа, отрицательные числа и ноль), вы можете сказать, что они замкнуты в отношении сложения, умножения и вычитания, но не деления. Подразделение будет закрыто, только если включены все рациональные числа.

Если равные складываются с равными, то суммы равны согласно аддитивной аксиоме.

Если a = b и c = d, то a + c = b + d

Если a = 3 и a = b, то b = 3. Если c = 5 и c = d, то d = 5. Следовательно,

, если a = b, это означает 3 = 3, а если c = d, это означает 5 = 5, поэтому

a + c = b + d в данном случае 3 + 5 = 3 + 5

Мультипликативная аксиома утверждает, что если a = b и c = d, то ac = bd. Другими словами, если равные умножаются на равные, ответ должен быть равным.

Если a = b и c = d, то ac = bd

Рассмотрим пример.

Если a = 6 и a = b, то b = 6. А если c = 8 и c = d, то d = 8.

Следовательно, мы можем сказать a = 6 и c = 8, поэтому ac = (6) (8) или 6c = (6) (8).

Коммутативное свойство сообщает нам, что порядок, в котором складываются два числа, не влияет на их сумму.

а + Ь = Ь + а

Мы можем сложить 3 + 2, чтобы получить 5, или мы можем добавить 2 + 3 и получить 5.

Коммутативность также работает с умножением.

ab = ba

Мы можем умножить 3 x 15 и получить 45 или мы можем умножить 15 x 3 и получить 45.

Свойство ассоциативности расширяет это, говоря, что группировка чисел при сложении не влияет на их сумму.

(a + b) + c = a + (b + c)

Например, (8 + 2) + 5 = 8 + (2 + 5)

Что дает 10 + 5 = 8 + 7 (оба равны 15)

Если у нас есть строка чисел, например 4 + 6 + 3 + 4 + 2 + 1, мы могли бы сложить их по порядку: 4 + 6 = 10 + 3 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 1 = 20. .

Или мы могли бы быстро увидеть, что 4 + 6 равно 10, 3 + 2 равно 5 и 4 + 1 равно 5, а затем сложить 10 + 5 + 5, чтобы получить 20.

Распределительное свойство умножения над сложением говорит нам, что произведение числа и суммы двух чисел совпадает с суммой произведений первого числа и каждого из остальных.

a (b + c) = ab + ac

Например, 5 (3 + 8) = 5 (3) + 5 (8)

Другими словами, 5 (11) = 15 + 40

Что составляет 55 = 55

Это показывает нам, что мы можем распределить множитель, который находится вне скобок, на каждое из чисел внутри скобок.

Порядок операций, включая круглые, квадратные и фигурные скобки

Когда математическая задача включает в себя множество операций, существует определенный порядок, в котором эти операции должны выполняться.

2 + 3 [5 + (4 — 1)]

Начните с того, что указано в скобках, затем экспоненты, которые не обсуждались в этом курсе, затем умножьте и разделите в порядке, в котором операции появляются слева направо, и, наконец, сложите и вычтите в том порядке, в котором операции появляются слева направо.Скобки ([]) — это тип скобок, которые являются шагом вверх, а изогнутые скобки ({}) — это шаг вверх по сравнению с квадратными скобками.

Основы можно изучить как PBBEMDAS

Круглые скобки, квадратные скобки, экспоненты, (умножение / деление), (сложение / вычитание)

Чтобы облегчить изучение, попробуйте эту фразу:

Пожалуйста, будь красивой, извини (моя дорогая) (тетя Салли)

Давайте воспользуемся этим для решения указанной выше проблемы:

2 + 3 [5 + (4 — 1)]

Сначала очистить круглые скобки: 2 + 3 [5 + 3]

Затем очистите скобки: 2 + 3 (8)

Затем умножьте или разделите по порядку: 2 + 24

Затем сложите или вычтите в порядке: 26

Если операции не выполняются в правильном порядке, ответ может быть совсем другим.Например, если вы сначала умножили 3 x 5 и получили 15, ваш ответ был бы:

.

2 + 3 [5 + (4 — 1)]

2 + 15 + (4 — 1) = 20

Или, если бы вы сначала добавили 2 и 3, ваш ответ был бы:

2 + 3 [5 + (4 — 1)]

5 [5 + (4–1)] = 5 [5 + 3] = 5 [8] = 40

Что такое числовые свойства? — Определение, факты и примеры

Число Свойства

Четыре основных числовых свойства:

Коммутативное свойство :

Коммутативное свойство утверждает, что числа, над которыми мы выполняем операцию, можно перемещать или менять местами, не влияя на ответ.

Это свойство верно для сложения и умножения, но не для вычитания и деления.

Пример коммутативности сложения

3 + 5 = 5 + 3 = 8

Следовательно, коммутативное свойство сложения любых двух действительных чисел a и b равно:

а + Ь = Ь + а

Пример коммутативности умножения

Следовательно, коммутативное свойство умножения любых двух действительных чисел a и b равно:

a x b = b x a

Мы также можем сказать, что в свойстве коммутативности числа можно складывать или умножать друг на друга в любом порядке без изменения ответа.

Ассоциативное свойство :

Ассоциативное свойство получило свое название от слова «Associate» и относится к группировке чисел. Это свойство указывает, что при сложении (или умножении) трех или более чисел сумма (или произведение) остается неизменной независимо от группировки слагаемых (или множимых).

Например, :

(3 + 4) + 5 = (4 + 5) + 3

(4 х 7) х 5 = (4 х 5) х 7 = 150

Identity Property :

Идентификатор добавки Мультипликативная идентичность

Аддитивный идентификатор — это число, которое при добавлении к любому числу дает сумму как само число.

Это означает, что аддитивная идентичность — «0», так как добавление 0 к любому числу дает сумму как само число.

Мультипликативная идентичность — это число, которое при умножении на любое число дает произведение как само число.

Это означает, что мультипликативная идентичность равна «1», так как умножение любого числа на 1 дает произведение как само число.

Распределительная собственность:

Распределительное свойство помогает нам упростить умножение числа на сумму или разность.Как следует из названия, он передает выражение.

Например, : a x (b + c)

Используя свойство распределения, мы можем расширить выражение до:

Пример распределительной собственности с использованием сложения

Пример распределительного свойства с использованием вычитания

Интересные факты

  • Свойство аддитивной идентичности также называется нулевым свойством сложения.

  • Коммутативное свойство получило свое название от слова коммутирует, что означает перемещение.

Что такое коммутативная собственность? — Определение, факты и примеры

Коммутативное свойство

Коммутативное свойство гласит, что числа, с которыми мы работаем, можно перемещать или менять местами, не влияя на ответ. Свойство справедливо для сложения и умножения, но не для вычитания и деления.

Дополнение
Вычитание
Умножение
Отдел

Приведенные выше примеры ясно показывают, что мы можем применить свойство коммутативности к сложению и умножению. Однако мы не можем применять свойство коммутативности к вычитанию и делению.Если вы переместите положение чисел при вычитании или делении, это изменит всю проблему.

Следовательно, если a и b — два ненулевых числа, то:

Коммутативность сложения:

а + Ь = Ь + а

Коммутативность умножения:

a × b = b × a

Короче говоря, в свойстве коммутативности числа можно складывать или умножать друг на друга в любом порядке без изменения ответа.

Давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы понять коммутативность.

Пример 1: Коммутативное свойство с добавлением

У Майры 5 шариков, а у Рика 3 шарика. Сколько всего у них шариков?

Чтобы найти ответ, нам нужно сложить 5 и 3.

Следовательно, мы можем видеть, складываем ли мы 5 + 3 или 3 + 5, ответ всегда 8.

Пример 2: Коммутативное свойство с вычитанием.

У Элвина 12 яблок. Он дает сестре 8 яблок. Сколько яблок осталось у Элвина?

Здесь мы вычитаем 8 из 12 и получаем 4 яблока. Однако мы не можем вычесть 12 из 8 и получить 8 в качестве ответа.

Пример 3: Коммутативное свойство с умножением.

Сара покупает 3 упаковки булочек. В каждой пачке 4 булочки. Сколько булочек она купила?

Здесь, если мы умножим 3 на 4 или 4 на 3, в обоих случаях мы получим ответ как 12 булочек.

Итак, свойство коммутативности выполнено для умножения.

Итак, коммутативность верна для умножения.

Пример 4: Коммутативная собственность с разделением.

Если вам нужно разделить 25 ягод клубники на 5 детей, каждый ребенок получит по 5 ягод клубники. Однако если вам нужно разделить 5 ягод клубники между 25 детьми, каждый ребенок получит крошечную долю клубники. Следовательно, мы не можем применить свойство коммутативности с делением.

Интересный факт:

  • Коммутативное свойство получило свое название от слова «коммутирует», что означает «перемещаться».

Свойства сложения и вычитания

Учебные планы элементарной математики часто включают обсуждение свойств чисел, в частности свойств сложения и вычитания. Свойства сложения и вычитания упрощают работу с числами, позволяя перегруппировать их так, чтобы уравнение было легче решать.Понимание свойств сложения и вычитания может помочь вам более эффективно работать с числами.

Коммутативное свойство

Коммутативное свойство говорит о том, что положение чисел в математическом уравнении не влияет на окончательное решение. Пять плюс три — это то же самое, что три плюс пять. Это относится к сложению, независимо от того, сколько чисел вы складываете вместе. Свойство коммутативности позволяет складывать вместе большую группу чисел в любом порядке.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *