В этом равенстве буквы a и b могут принимать любые натуральные значения и значение 0.

Сочетательное свойство сложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

В буквенном виде:

Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто a + b + с.

Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.

При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.

Свойство нуля при сложении

Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.

Если к числу прибавить нуль, получится само число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

или

a — (b + c) = (a — с) — b

Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить.

Свойство вычитания числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

или

(a + b) — c = (b — c) + a (если b > c или b = с)

Свойство нуля при вычитании

Если из числа вычесть нуль, получится само число.

Если из числа вычесть само число, то получится нуль.

Онлайн урок: Свойства действий с рациональными числами по предмету Математика 6 класс

Свойства арифметических действий с рациональными числами — это правила, по которым можно обращаться с рациональными числами.

Часто для упрощения математических задач применяют основные свойства арифметических действий.

Все свойства действий с рациональными числами основываются на свойствах действий с целыми числами.

Мы выяснили, что рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Но также нам известно, что на множестве рациональных чисел действие вычитание задается как обратное сложению, а действие деления как обратное умножению.

Таким образом, для рациональных чисел остается два основных арифметических действия: сложение и умножение. Свойства, касающиеся вычитания и деления легко выводятся по аналогичным принципам из свойств сложения и умножения, их мы сейчас рассмотрим.

Пусть числа a, b, c, d — некоторые рациональные числа.

Рассмотрим основные свойства действий с этими числами.

Свойства сложения рациональных чисел:

1. Переместительное свойство

При сложении рациональных чисел неважно в каком порядке идут слагаемые.

От перестановки слагаемых местами сумма не меняется.

Пример:

Определим значение выражения а + b, если а = 0,5, b = 2,15

Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим

а + b = 0,5 + 2,15 = 2,65

В заданном выражении а + b поменяем местами слагаемые, в результате

b+ a = 2,15 + 0,5 = 2,65.

Ответ: при перестановке слагаемых сумма выражения осталась прежней, равной 2,65.

2. Сочетательное свойство

Если выражение содержит только действия сложения чисел, то выполнять сложения этих чисел можно в любом порядке.

Таким образом, чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемого.

Эти правила позволяют упрощать вычисления.

Если соединить переместительное и сочетательное свойства сложения, то складывать числа и их группировать можно в любом порядке.

Пример:

Найдите значения выражения а + (b + с), если

а = 7,5

b = 1,2

с = 3,3

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

а + (b+ с) = 7,5 + (1,2 + 3,3) = 7,5 + 4,5 = 12

В заданном выражении а + (b+ с) поменяем порядок действий, заключив в скобки первое и второе слагаемые, в результате получим

(а + b) + с = (7,5 + 1,2) + 3,3 = 8,7 + 3,3 = 12

Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение суммы осталось прежнее — равное 12.

Свойства умножения рациональных чисел:

Умножение, как и сложение, обладает переместительным и сочетательным свойством

1. Переместительное свойство

При умножении рациональных чисел неважно в каком порядке идут множители.

От перестановки множителей местами произведение не изменяется.

Пример:

Определим значение выражения \(\mathbf{a \cdot b}\), если а = 0,5, b = 2,1

Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим

\(\mathbf{a \cdot b = 0,5 \cdot 2,1 = 1,05}\)

В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot b}\) поменяем местами множители, в результате

\(\mathbf{b \cdot a = 2,1 \cdot 0,5 = 1,05}\)

Ответ: при перестановке множителей местами произведение осталось прежним, равным 1,05

2. Сочетательное свойство

Если выражение содержит только действия умножения чисел, то выполнять умножение этих чисел можно в любом порядке.

Таким образом, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего множителя.

Переместительное и сочетательное свойство умножения позволяют в произведении переставлять и группировать множители в любом порядке, тем самым упрощая математическое выражение.

Пример:

Найдите значения выражения \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\), если

\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

\(\mathbf{a \cdot (b \cdot c) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{3}{16}}\)

В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\) поменяем порядок действий, заключив в скобки первый и второй множитель, в результате

\(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{16}}\)

Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение произведения осталось прежним, равным \(\mathbf{-\frac{3}{16}}\)

Распределительное свойство относительно сложения

Рассмотрим свойство, объединяющее сложение и умножение рациональных чисел.

Для того, чтобы умножить сумму на число, можно сначала умножить первое слагаемое на это число, потом второе слагаемое на это число, а затем полученные результаты сложить.

В буквенном выражении это правило выглядит так:

Правую часть равенства называют правилом раскрытия скобок.

Левую часть данного равенства называют правилом вынесения общего множителя за скобки.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), если

\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

\(\mathbf{(a + b) \cdot c = (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{8}}\)

Применим к данному выражению \(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c}\) распределительное свойство умножения относительно сложения.

Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), умножив первое и второе слагаемое на число с, затем, сложив полученные результаты, получаем выражение вида:

\(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{2}{8} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{5}{8}}\)

В нашем примере значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\) и значение выражения \(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c}\) равны \(\mathbf{-\frac{5}{8}}\), т.е. справедливо равенство  \(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c = -\frac{5}{8}}\)

Распределительное свойство умножения | Математика

Распределительное свойство умножения — важное правило, полезное в устном счете и при раскрытии скобок.

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так:

либо так:

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так:

либо так:

Распределительное свойство умножения верно и для большего количества чисел. Например, для трех слагаемых распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид:

Распределительное свойство умножения упрощает устный счет.

Примеры:

Этот пример можно решить также с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания:

или

С помощью распределительного свойства умножения можно раскрывать скобки.

Примеры:

(Более подробно тема раскрытия скобок рассматривается после изучения отрицательных чисел).

Распределительное свойство умножения можно применить и в обратном порядке:

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b плюс c».

Говорят: «Общий множитель a выносим за скобки. В скобках остается b минус c».

Более подробно вынесение общего множителя за скобки изучают в курсе алгебры 7 класса.

Цагельник Е.И. ОБ ИЗУЧЕНИИ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Теоретическая наука, которая начала изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они появились, получила название арифметика. Во второй половине ХIХ века натуральные числа стали фундаментом всей математической науки, в связи с чем возникла необходимость систематизации и логического обоснования того, что с ними связано. Это привело к разработке двух подходов: аксиоматического и теоретико-множественного. Оба рассматриваются в вузовском курсе математики. В связи с высокой степенью абстрактности материала реализовать их в полной мере в школьном курсе математики не представляется возможным, однако их знание помогает учителю организовать учебный процесс таким образом, чтобы усвоение материала учащимися было наиболее полным.

На I ступени общего среднего образования действие умножения определяется через сложение, а деление – через умножение. Поскольку объяснение строится с опорой на наглядность, то при изучении умножения можно использовать таблицу, иллюстрирующую декартово произведение двух множеств [1, с. 98].

Изучение умножения на I ступени общего среднего образования, предполагает знакомство со следующими его свойствами:

1. Переместительное свойство умножения.
2. Сочетательное свойство умножения.
3. Распределительное свойство умножения относительно сложения.
4. Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Кроме того, рассматриваются частные случаи, связанные с умножением на нуль и на единицу.

Ознакомление с переместительным свойством умножения и особыми случаями умножения и деления служат для того, чтобы подготовить младших школьников к изучению таблицы умножения, а также опирающихся на нее соответствующих случаев деления [1, с. 100]. Суть переместительного свойства умножения заключается в том, что значение произведения при перестановке множителей не меняется. Для доказательства верности данного свойства можно использовать указанную выше демонстрационную таблицу. Иллюстрируя на ней произведения 3 ∙ 4 и 4 ∙ 3, легко убедить учащихся, что эти произведения равны, что наглядно иллюстрирует равенство площадей соответствующих прямоугольников (рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрационная таблица.

При изучении данного свойства умножения используется индуктивный метод обучения. Это вызвано тем, что сколько бы ни приводилось примеров равенств, отражающих переместительность умножения, невозможно исчерпать все случаи, так как пар натуральных чисел бесконечно много. В буквенном виде переместительное свойство записывается следующим образом: a ∙ b =b ∙ a. В данном равенстве переменные a и b принимают любые натуральные значения, а также значение 0 [2].

Сочетательное свойство умножения дается в следующей формулировке: «Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Порядок выполнения действий при нахождении произведения не влияетна конечный результат, например, 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 30. В буквенном виде: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c. Так же, как и в формуле переместительного свойства умножения, переменные a и b принимают любые натуральные значения и значение 0. Таким образом, результат умножения трёх чисел не зависит от постановки скобок, поэтому свойство можно проиллюстрировать так: 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 30.

При объединении переместительного и сочетательного свойств умножения формулируется правило преобразования произведения: «При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы» [2].

Умножение единицы на единицу, десяти на десять, нуля на нуль, а также соответствующие случаи деления рассматриваются особо.

Деление нуля и невозможность деления на нуль обосновываются с помощью определения деления и умножения нуля на число. В начальном курсе математики подход к разъяснению особых случаев умножения и деления со строгой опорой на теорию вузовского курса математики невозможен. Попытка обосновать, что a ∙ 1 = а и a ∙ 0 = 0, опираясь на определение умножения через сумму, также невозможна: непонятно, что есть «сумма», у которой только одно слагаемое, или «сумма» без слагаемых. Поэтому эти случаи умножения, а также правило «на нуль делить нельзя» учащиеся должны просто запомнить [1, с. 101]. При этом используется формулировка: «Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю». Например, 5 ∙ 0 = 0 ∙ 5 = 0. Свойство умножения единицы и на единицу заключается в том, что произведение натуральных чисел, одно из которых равно единице, равно другому числу. Например, 6 ∙ 1 = 1 ∙ 6 = 6 [2].

При изучении свойства умножения 10 на число используется понятие «десяток», с которым младшие школьники знакомятся во время изучения нумерации чисел, операций сложения и вычитания в пределах 100. Так, к примеру, 10 ∙ 2 – это 1 дес. ∙ 2, или 2 дес., т.е. 20; аналогично 10 ∙ 3 – это 30 и т.д. Наблюдая за изменением компонентов и произведений, обучающиеся самостоятельно могут прийти к правилу: «Для того чтобы умножить число на 10, надо приписать к нему справа нуль». Аналогичным образом вводится прием деления круглых десятков на однозначное число, например, 80 : 4 = 20 [1, с. 102].

Распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид: (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c. Оно запоминается в формулировке «чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты» и распространяется на любое количество слагаемых: (a + b + с + d) ∙ k = a ∙ k + b ∙ k + c ∙ k + d ∙ k. Распределительное свойство умножения отрабатывается на числовых выражениях, поэтому упражнения подбираются так, чтобы младшие школьники могли выбрать удобный способ вычислений.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания рассматривается в виде правила: «Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе». Его символическая запись:

(a – b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c. Например, (10 – 5) ∙ 3 = 10 ∙ 3 – 5 ∙ 3 [2].

При изучении арифметического действия «деление», среди иных, рассматриваются следующие свойства:

1. Ни одно число нельзя делить на нуль.
2. При делении нуля на число получается нуль: 0 : a = 0.
3. При делении любого числа на 1 получается это же число: b : 1 = b.

Отдельно следует выделить правило: «Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится». Символическая запись: a : b = (a ∙ k) : (b ∙ k), где k – любое натуральное число.

С целью выявления особенностей методики, позволяющих учащимся лучше усвоить знания арифметических действий умножения и деления, нами в 2014-2015 учебном году на базе третьих классов гимназии № 9 им. Ф. П. Кириченко г. Гродно было проведено исследование. Мы выбрали два класса – 3 «А» (экспериментальный) и 3 «Д» (контрольный). Стоит отметить, что в данных классах преподают разные учителя.

На констатирующем этапе необходимо было выявить знания учащихся об арифметических действиях умножения и деления. Для этого мы разработали математический тест, состоящий из десяти заданий.

Анализ полученных результатов показал, что максимальное количество ошибок было допущено в заданиях на решение уравнений и неравенств, содержащих операции умножения и деления. Трудности у учеников возникли и при нахождении значений числовых выражений, что указывало на недостаточный уровень знаний табличных случаев умножения. Стоит отметить, что с решением текстовых задач, содержащих операции умножения и деления, младшие школьники двух классов справились, не было допущено ни одной ошибки. Вместе с тем, результаты математического теста показали, что учащиеся контрольного класса допустили меньше ошибок, чем экспериментального.

Планируя работу на формирующем этапе эксперимента, мы опирались на данные психологических исследований, в ходе которых было доказано, что зрительные анализаторы обладают более высокой пропускной способностью, чем слуховые: 90% процентов всей информации, воспринимаемой человеком, приходится именно на зрение. Глаз способен воспринимать миллионы бит в секунду, ухо – только десятки тысяч. К тому же, данные, воспринятые с помощью глаз, более осмысленны и лучше сохраняются в памяти [3]. В связи с этим мы широко использовали информационные технологии, мультимедийные презентации, содержащие как стандартные задания, так и задания занимательного характера.

Мультимедийные презентации состояли из двух блоков: теоретического и практического. Теоретический блок опирался на повторение изученного материала, а практический – на его закрепление. Поскольку многие учащиеся допустили ошибки в решении уравнений, неравенств и числовых выражений, то задания были подобраны именно на повторение компонентов умножения и деления, а также табличных случаев данных операций.

Во время уроков, на которых использовались презентации, младшие школьники проявляли повышенный интерес к заданиям, выполняли их с большим желанием, чем на обычном уроке. В связи с этим, на каждом уроке было выполнено их больше, чем запланировано. Это еще раз подтвердило, что разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности, внимания, речи, мышления учащихся. Наглядность материала повышает его усвоение, т.к. задействованы все каналы восприятия информации – зрительный, механический, слуховой и эмоциональный. Кроме того, использование информационных технологий не требует раздаточного материала, сокращает время на выполнение заданий, позволяет менять виды деятельности учеников.

На контрольном этапе исследования повторно был проведен математический тест. Структура теста была аналогична предыдущему, но задания были сложнее. Следует отметить, что на этом этапе в экспериментальном классе обучающиеся справились с работой лучше, чем в контрольном.

Проведенное нами исследование позволяет сделать вывод о том, что использование информационных технологий, в частности мультимедийных презентаций, содержащих задания как стандартного, так и занимательного характера, помогают младшим школьникам быстрее и легче усвоить учебный материал и сформировать необходимые навыки, предусмотренные программой.

Литература

1. Методика начального обучения математике /Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Минск : Выш. школа, 1988. – 254 с.

Свойства операций — Математика для учителей начальных классов

До сих пор вы видели несколько различных моделей для операций: сложение, вычитание, умножение и деление. Но мы мало говорили о самих операциях — о том, как они соотносятся друг с другом, какими свойствами они обладают, упрощая вычисления, и как ведут себя некоторые специальные числа. Есть над чем подумать!

Цель этого раздела — использовать модели, чтобы понять, почему операции ведут себя в соответствии с правилами, которые вы усвоили еще в начальной школе.Мы будем постоянно спрашивать себя: «Почему это так работает?»

Думаю / Пара / Поделиться

Каждая из этих моделей позволяет рассматривать работу по-своему. Прежде чем мы действительно углубимся в размышления об операциях, обсудите с партнером:

• Из моделей, которые мы обсуждали до сих пор, вы предпочитаете одну из них?
• Насколько хорошо модели, которые мы обсуждали, соответствуют тому, как вы обычно думаете о целых числах и их действиях?
• Какие модели подходят для вычислений? Почему?
• Какие модели, по вашему мнению, будут полезны для объяснения того, как работают операции? Почему?

Мы определили сложение как объединение двух величин, а вычитание как «отнятие».Но на самом деле эти две операции тесно связаны друг с другом. Эти два вопроса абсолютно одинаковы:

27-13 = ____ 27 = 13 + _____.

В общем, для любых трех целых чисел a, b и c эти два уравнения выражают один и тот же факт. (Таким образом, либо оба уравнения верны, либо оба неверны. Это зависит от значений, которые вы выбираете для a, b и c!)

c — b = a c = a + b.

Другими словами, мы можем думать о каждой проблеме вычитания как о проблеме сложения «недостающего слагаемого».Попробуйте!

Задача 11

Вот странная таблица сложения. Используйте его для решения следующих проблем. Обоснуйте свои ответы. Важно: не пытайтесь присвоить номера A, B и C. Решайте проблемы, просто используя то, что вы знаете об операциях!

A + C B + C A — C C — A A — A B — C

Думаю / Пара / Поделиться

Как таблица сложения помогает решать задачи вычитания?

Мы определили умножение как повторное сложение, а деление как формирование групп равного размера.Но на самом деле эти две операции тоже связаны между собой. Эти два вопроса абсолютно одинаковы:

27 ÷ 3 = _____ 27 = _____ × 3.

В общем, для любых трех целых чисел a, b и c эти два уравнения выражают один и тот же факт. (Таким образом, либо оба уравнения верны, либо оба неверны. Это зависит от значений, которые вы выбираете для a, b и c!)

c ÷ b = a c = a · b.

Другими словами, мы можем думать о каждой проблеме деления как о проблеме умножения «недостающего фактора».Попробуйте!

Задача 12

Перепишите каждый из этих вопросов деления как вопрос умножения на «недостающий фактор». Какие из них вы можете решить, а какие нет? Объясни свои ответы.

9 ÷ 3 100 ÷ 25 0 ÷ 3 9 ÷ 0 0 ÷ 0

Думаю / Пара / Поделиться

Как таблица умножения помогает решать задачи деления (и возведения в степень)?

На протяжении всего курса мы сосредоточены на объяснении и обосновании.Как учителя, вы должны знать, что верно в математике, но вам также необходимо знать , почему это правда. И вам понадобится множество способов объяснить , почему , поскольку разные объяснения будут иметь смысл для разных студентов.

Думаю / Пара / Поделиться

Арифметический факт: a + b = c и c — b = a — это один и тот же математический факт.

Почему не является хорошим объяснением?

Сложение и вычитание: объяснение 1

Арифметический факт:

a + b = c и c — b = a — это один и тот же математический факт.

Почему это правда, объяснение 1:

Сначала воспользуемся определением операций.

Предположим, мы знаем, что c — b = a истинно. Вычитание означает «убрать». Итак

c — b = a

означает, что мы начинаем с количества c и отбираем количество b , и в итоге мы получаем количество a . Начните с этого уравнения и представьте, что к обеим сторонам прибавляется количество b .

Слева: мы начали с количества c , забрали b вещей, а затем вернули эти b вещей обратно! Поскольку мы убрали некоторое количество, а затем добавили точно такое же количество, общего изменения нет.Осталось количество c .

Справа мы будем комбинировать (добавлять) количество a с количеством b . Таким образом, мы получаем: c = a + b.

С другой стороны, предположим, что мы знаем, что уравнение a + b = c верно. Представьте себе вычитание (вычитание) количества b из обеих частей этого уравнения: a + b = c.

Слева мы начали с a вещей и объединили это с b единиц, но затем мы сразу же убрали эти b единиц.Итак, у нас осталось только наше первоначальное количество –.

Справа начинаем с количества c и забираем b вещей. Это само определение c — b . Итак, у нас есть уравнение:

a = c — b .

Почему это правда, объяснение 2:

Давайте воспользуемся моделью измерения, чтобы придумать другое объяснение.

Уравнение a + b = c означает, что Зед начинает с 0, идет вперед на a шага, затем идет вперед на b шагов и заканчивается на c .

Если Зед хочет вычислить c — b , он начинает с 0, проходит вперед c шагов, а затем возвращается назад на b шагов. Но мы знаем, что чтобы пройти вперед c шага, он может сначала пройти a шага, а затем пройти вперед b шага. Итак, Zed может вычислить c — b следующим образом:

• Начать с 0.
• Идите вперед на шага.
• Шаг вперед b шага. (Теперь c , так как a + b = c .)
• Назад b шага.

Последние два набора шагов компенсируют друг друга, так что Зед возвращается к на . Это означает c — b = a .

С другой стороны, уравнение c — b = a означает, что Зед начинает с 0, идет вперед c шагов, затем возвращается назад на b шагов и заканчивается на a .

Если Зед хочет вычислить a + b , он начинает с 0, проходит вперед a шагов, а затем переходит вперед b дополнительных шагов.Но мы знаем, что чтобы пройти вперед a шага, он может сначала пройти c шага, а затем вернуться назад b шага. Итак, Зед может вычислить a + b следующим образом:

• Начать с 0.
• Идите вперед c шага.
• Назад b шага. (Теперь a , так как c — b = a .)
• Шаг вперед b шага.

Последние два набора шагов компенсируют друг друга, так что Зед возвращается к c .Это означает a + b = c .

Вы, вероятно, знаете несколько свойств сложения, но, возможно, никогда не переставали задаваться вопросом: Почему это правда ?! Теперь твой шанс! В этом разделе вы воспользуетесь определением операций сложения и вычитания, а также изученными вами моделями, чтобы объяснить, почему эти свойства всегда верны.

Вот три свойства, о которых вы думаете:

• Сложение целых чисел — , коммутативное .
• Сложение целых чисел ассоциативно .
• Число 0 — это идентификатор для сложения целых чисел.

Для каждого свойства мы не хотим путать эти три идеи:

• как называется объект недвижимости и что это означает (определение),
• несколько примеров, что демонстрируют собственности, а
• объяснение , почему собственность удерживается.

Обратите внимание, что примеров и объяснения — это не одно и то же! Также очень важно не путать определение свойства с причиной , что это правда!

Все эти свойства являются универсальными утверждениями — утверждениями формы «для всех», «каждый раз», «всегда» и т. Д.Это означает, что чтобы показать, что они верны, вы должны либо проверить каждый случай, либо найти причину, по которой это должно быть .

Поскольку целых чисел бесконечно много, проверить каждый регистр невозможно. Вы никогда не закончите! Наша единственная надежда — поискать общих объяснений . Мы найдем объяснение первому из этих фактов, а вы поработаете над остальными.

Сложение является коммутативным

Пример: Коммутативный закон

Недвижимость:

Сложение целых чисел коммутативно.

Что это значит (словами):

Когда я складываю два целых числа, порядок их добавления не влияет на сумму.

Если я умножу любое число на 0 (в любом порядке), произведение будет 0. Это иногда называют нулевым свойством умножения.Обратите внимание, что свойство ноль сильно отличается от свойства идентичности!

1. Напишите, что означает нулевое свойство, используя слова и символы:

Для каждого целого числа n . . .

2. Приведите хотя бы три примера свойства нуля для умножения.

3. Воспользуйтесь одной из наших моделей умножения, чтобы объяснить, почему выполняется свойство нуля.

Думаю / Пара / Поделиться

• Для каждой приведенной ниже задачи деления превратите ее в задачу умножения.Решите эти проблемы, если сможете. Если не можете, объясните, что не так.

5 ÷ 0 0 ÷ 5 7 ÷ 0 0 ÷ 7 0 ÷ 0

• Используйте свою работу, чтобы объяснить, почему мы говорим, что деление на 0 равно undefined .

• Воспользуйтесь одной из наших моделей деления, чтобы объяснить, почему деление на 0 равно undefined .

В начальной школе учащихся часто поощряют запоминать «четыре группы фактов», например:

2 + 3 = 5 5 — 3 = 2

3 + 2 = 5 5 — 2 = 3

Вот еще одна «группа из четырех фактов»:

2 · 3 = 6 6 ÷ 3 = 2

3 · 2 = 6 6 ÷ 2 = 3

Думаю / Пара / Поделиться

• В каком смысле эти группы уравнений являются «семействами»?
• Запишите как минимум еще два сложения / вычитания четырех групп фактов.
• Используйте свойства сложения и вычитания, чтобы объяснить , почему из этих четырех семейств фактов на самом деле являются одним фактом.
• Запишите как минимум еще два набора фактов умножения / деления на четыре группы.
• Используйте свойства умножения и деления, чтобы объяснить , почему из этих четырех семейств фактов на самом деле являются одним фактом.

Задача 26

1. Вот истинный факт в шестой системе счисления:. Напишите остальную часть этого семейства из четырех фактов.
2. Вот истинный факт в базе шесть:. Напишите остальную часть этого семейства из четырех фактов.

До сих пор мы думали о разделении в так называемой котировочной модели . В котировочной модели мы хотим создавать группы одинакового размера. Нам известен размер группы , и мы спрашиваем , сколько групп . Например, мы думаем о 20 ÷ 4 как:

Сколько групп из 4 человек в группе из 20 человек?

Однако, размышляя о четырех группах фактов, мы понимаем, что можем немного изменить этот вопрос.Мы могли бы подумать о разделенной модели деления. В партитивной модели мы хотим создать равное количество групп. Мы знаем , сколько групп , и спрашиваем размер группы . В партитивной модели мы думаем о 20 ÷ 4 как:

20 — это 4 группы какого размера?

Когда мы знаем исходное количество и количество частей, мы используем дробное деление, чтобы найти размер каждой части.

Когда мы знаем исходное количество и размер каждой части, мы используем цитатное деление, чтобы найти количество частей.

Вот несколько примеров в задачах с текстом:

Думаю / Пара / Поделиться

Для каждой проблемы со словом ниже:

• Нарисуйте картинку, чтобы показать, в чем проблема.
• Используйте свою картинку, чтобы решить, является ли это проблемой цитатного или частичного деления.
• Решите проблему любым способом.

1. Давид испек 36 печенек на продажу. Он упаковал печенье в коробки по 9 штук. Сколько коробок он использовал?
2. Дэвид приготовил 36 печенек, чтобы поделиться с друзьями за обедом.За обеденным столом сидело 12 человек (включая Дэвида). Сколько файлов cookie получил каждый человек?
3. Лиз провела одно лето в походе по тропе Аппалачин. Она прошла 1380 миль по трассе и в среднем проезжала 15 миль в день. Сколько дней она ходила в поход тем летом?
4. 1 апреля 2012 года Chase Norton стал первым человеком, который поднялся на всю вершину Коалау за одну поездку. (Правдивая история!) Ему потребовалось восемь дней, чтобы преодолеть все 48 миль от старта до финиша. Если он сохранял постоянный темп, сколько миль он проходил каждый день?

Думаю / Пара / Поделиться

Напишите свои собственные задачи о словах: Напишите одну задачу о частичном делении и одну задачу о цитатном делении.Тщательно выбирайте числа, чтобы получить правильный ответ. Обязательно решите свои проблемы!

Зачем думать об этих двух моделях для разделения? Вы не будете учить своих учеников словам партитив и цитатный . Но осознание двух типов проблем с разделением (и умение приводить примеры каждого из них) сделает вас лучшим учителем.

Важно, чтобы ваши ученики были знакомы с обоими способами мышления о разделении и с проблемами обоих типов.В противном случае они могут слишком узко думать о разделении и не совсем понимать, что происходит. Если вы понимаете эти два вида проблем, вам будет легче диагностировать и устранять трудности учащихся.

Большинство проблем с разделением, которые мы рассмотрели до сих пор, вышли равномерно, без остатка. Но, конечно, так бывает не всегда! Иногда целочисленный ответ имеет смысл, и контекст проблемы должен подсказать вам, какое целое число является правильным.

Задача 27

Что такое 43 ÷ 4?

1. Напишите задачу, которая использует вычисление 43 ÷ 4 и дает 10 в качестве правильного ответа.
2. Напишите задачу, которая использует вычисление 43 ÷ 4 и дает 11 как правильный ответ.
3. Напишите задачу, которая использует вычисление 43 ÷ 4 и дает правильный ответ 10,75.

Мы можем думать о делении с остатком в терминах некоторых наших моделей операций. Например, мы можем вычислить, что 23 ÷ 4 = 5 R3. Мы можем представить это так:

Думаю / Пара / Поделиться

• Объясните, как на рисунке выше показано 23 = 5 · 4 + 3.Где вы видите на картинке оставшиеся 3?

• Объясните связь между этими двумя уравнениями.

23 ÷ 4 = 5 R3 и 23 = 5 · 4 + 3.

• Как вы могли бы использовать модель числовой прямой, чтобы показать вычисление 23 = 5 · 4 + 3? Как выглядит «остаток» в этой модели?

• Нарисуйте модели области для каждой из этих задач разделения. Найдите частное и остаток.

40 ÷ 12 59 ÷ 10 91 ÷ 16

Ассоциативное свойство в сложении и умножении

И сложение, и умножение используют ассоциативное свойство, а вычитание и деление — нет.Мы собираемся подробно изучить каждую ситуацию, чтобы получить лучшее представление.

Ассоциативное свойство в Дополнении ♥

Сложение действительно обладает ассоциативным свойством.

Какие бы числа ни были a, b и c, они всегда оказываются одинаковыми:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Внимательно посмотрите на следующий пример, в котором указаны реальные числа.

Предположим, что a = 3, b = 18 и c = 1. Вы уже знаете, как сначала вычислить, что находится в скобках.

(3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

(3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22

Как вы видели, независимо от порядка группировки ответ не меняется.

Теперь я покажу вам более наглядный пример:

Мы собираемся сложить 3 + 2 + 1, связывая числа (объединяя фрукты вместе) двумя разными способами.

Сначала, глядя на верхнее левое поле на картинке выше, нам нужно сложить первые два числа, 3 и 2.К любому полученному числу 5 мы прибавим 1. В итоге получим 6. Всего получается 6 кусочков фруктов.

На картинке справа мы сначала складываем последние два числа, 2 и 1. 2 плюс 1 дает нам 3. После того, как мы прибавляем 3 к 3, получаем 6. Всего получается 6 кусочков фруктов; это тот же ответ.

Это еще и ассоциативное свойство: оно позволяет вам изменить порядок, который мы используем для группировки чисел, потому что это не влияет на окончательный ответ.

Ассоциативное свойство при вычитании ×

В отличие от сложения, вычитание не обладает ассоциативным свойством.

Давайте посмотрим на другой пример. Вычтем 10-5-3:

(10 — 5) — 3 = 5 — 3 = 2

10 — (5-3) = 10-2 = 8

Если мы вычтем первые два числа, 10 минус 5, получим 5. Если мы перейдем к вычитанию 3, то получим 2. Однако, если сначала вычесть два последних числа, 5 минус 3 будет 2. Если мы вычтем 2 из 10, получим 8.

Изменение способа сопоставления чисел при вычитании меняет ответ. Таким образом, вычитание не обладает ассоциативным свойством.

Ассоциативное свойство в Умножении ♥

Сначала попробуйте вычислить (2 x 3) x 4. Затем попробуйте 2 x (3 x 4). Вы получили один и тот же ответ на оба вопроса?

Если вы получили тот же ответ, хорошо, потому что умножение обладает ассоциативным свойством, и ответ не изменится, даже если порядок чисел в задаче изменится. Порядок, в котором связаны числа, не влияет на окончательный ответ.

(a x b) x c = a x (b x c) = (a x c) x b

Если a = 3, b = 5 y c = 10, остается:

(3 х 5) х 10 = 15 х 10 = 150

3 х (5 х 10) = 3 х 50 = 150

(3 х 10) х 5 = 30 х 5 = 150

Теперь давайте посмотрим, как работает это свойство, на более наглядном примере:

Подсчитаем количество кубиков, составляющих следующую картинку.Всего 24 куба.

Помимо подсчета каждого куба по одному, существует несколько способов подсчета количества кубиков.

Один из способов — сначала посчитать кубики в одном столбце.

Если мы внимательно посмотрим на первый столбец, который был окрашен в оранжевый цвет, там 3 x 2 = 6, 6 кубиков. Сколько всего столбцов? Есть 4 столбца. Итак, 6 умножить на 4 даст нам общее количество кубиков: 24 кубика.

Другой способ решения проблемы — подсчет количества кубиков в одной строке

В первом зеленом ряду 4 x 2 = 8 кубиков.Всего есть 3 строки, поэтому, чтобы вычислить общее количество кубиков, нам нужно умножить 8 на 3, что дает 24. Всего 24 куба.

Это операции, которые мы использовали:

Независимо от того, как числа сгруппированы вместе, ответ получается одинаковым.

Ассоциативное свойство в Разделе ×

Вычислим 8 ÷ 2 ÷ 2. Сначала попробуйте разделить (8 ÷ 2) ÷ 2, что у вас получилось? 8 делить на 2 равно 4, а 4 на 2 равно 2.Здорово.

А теперь попробуйте 8 ÷ (2 ÷ 2). Сначала вам нужно поработать над круглыми скобками, 2 на 2 равно 1, а 8 на 1 равно 8. Хорошо. Итак, что мы здесь видим?

Мы видим, что получили два совершенно разных ответа.

Давайте посмотрим на другой пример 18 ÷ 6 ÷ 3, снова сгруппировав числа вместе двумя разными способами, и давайте проверим, будет ли ответ таким же или нет.

Один способ дает нам 1, а другой — 9. Мы снова видим, что ответы не совпадают.

Итак, мы можем с уверенностью сказать, что деление не обладает ассоциативным свойством.

Прежде чем мы закончим, одно замечание: если в задаче нет скобок, делите ее слева направо.

Надеюсь, это помогло вам понять это важное свойство. Если вы хотите углубиться, вы можете посетить эти записи, которые мы разместили в нашем блоге:

А если вы хотите и дальше изучать математику, в Smartick мы преподаем их с помощью джаза. Присоединяйтесь к нам!

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

Умножение и деление

Четвертый класс использует то, что было изучено в третьем классе. Третий класс вводит и обучает всем фактам умножения и деления от нуля до двенадцати. Как часто говорят, ученики ИЗУЧАЮТ факты в третьем классе, чтобы они могли ИСПОЛЬЗОВАТЬ факты в четвертом и всю оставшуюся жизнь.

Мы начинаем с нуля и единицы, затем с двоек и троек. В самом начале мы узнаем, что факторы можно переключать, а не изменять продукт. Это называется коммутативным свойством . Затем мы учим пятерки и десятки, а затем четверки и девятки. После этого узнаем остальное по порядку. Причина этого двоякая. От нуля до трех вводится теория умножения. Это идея, что умножение — это «повторное сложение», а деление — это обратное умножению.Факты следуют шаблону как умножения, так и деления. Затем мы переходим к пятеркам и десяткам, потому что эти закономерности сразу распознаются как счет пропусков. Далее идут четверки, потому что они увеличивают диапазон используемых факторов. Следом идут девятки из-за уникального рисунка изделий. Студентов также учат, что, просто комбинируя уже изученные уравнения, они могут найти ответ на любое из тех, которые им еще не известны. Это распределительная собственность . Например, 3×6 плюс 4×6 дает тот же ответ, что и 7×6, без заучивания семерок. Это работает и для деления.

Мы изучаем свойства умножения, многие из которых похожи на свойства сложения. С помощью этих свойств мы можем узнать, «почему» умножение работает, и как применять уравнения для решения многих повседневных событий. Знакомя с алгеброй, например, решая неизвестное число, представленное буквой, например «х», дети узнают, что любое уравнение можно сбалансировать, просто зная две из трех переменных и какой процесс использовать.Уравнение типа 3 x X = 15 просто превращается в задачу деления 15 ÷ 3 = X.

Обзор математических свойств и порядка операций

Помните, что целые числа — это целые положительные числа плюс ноль. Сумма любых двух целых чисел является целым числом. Следовательно, сложение — это закрытая операция. Произведение любых двух целых чисел является целым числом, поэтому целые числа замыкаются при операциях сложения и умножения.

Однако вычитание целого числа из целого числа не всегда дает целое число. То же самое и с разделением. Целые числа не закрываются при операциях вычитания и деления.

Если вы посмотрите на целые числа (положительные числа, отрицательные числа и ноль), вы можете сказать, что они замкнуты в отношении сложения, умножения и вычитания, но не деления. Подразделение будет закрыто, только если включены все рациональные числа.