Бвойства умноТСния дСлСния слоТСния ΠΈ вычитания: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл: основныС свойства

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Бвойства умноТСния. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ умноТСния

Π“Π”Π— 1 класс

Π“Π”Π— 10 класс

Β Β 


ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ свойствах, ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… умноТСния.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния:


Π° Β· b = b Β· Π°.

ΠžΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ мСст ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ мСняСтся.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

569 Β· 17 = 17 Β· 569

Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (ассоциативный) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния:


Π° Β· b Β· c = Π° Β· (b Β· c).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ измСнится, Ссли ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ рядом стоящих ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

39 Β· 25 Β· 4 = 39 Β· (25 Β· 4) = 39 Β· 100 = 3900

Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (дистрибутивный) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ слоТСния:


(Π° + b + c) Β· d = Π°d + bd + cd.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… чисСл Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого Π½Π° это число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

(150 + 75 + 12) Β· 4 = 150 Β· 4 + 75 Β· 4 + 12 Β· 4 = 600 + 300 + 48 = 948

Как Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ примСняСтся это свойство умноТСния? К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ , Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚Ρ‹ΠΉ Π½Π° 2 Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ.

МоТно сначала Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΅Π³ΠΎ стороны, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ, получится 
S = (a + b) * c
А ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…
S = (a * c) + (b * c)
А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ искали ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎΒ 
(a + b) * c =Β (a * c) + (b * c)

Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (дистрибутивный) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ вычитания:


(Π° — b) Β· c = Π°c — bc.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° число, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° это число ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

(125 – 42) Β· 8 = 125 Β· 8 — 42 Β· 8 = 1000 – 336 = 664

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ:


Π° Β· 1 = 1 Β· Π° = Π°

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ числа Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ само число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

45 Β· 1 = 1 Β· 45 = 45

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа Π½Π° ноль:


Π° Β· 0 = 0 Β· Π° = 0.

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ числа Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

6999 Β· 0 = 0 Β· 6999 = 0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Если Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

  • Назад
  • Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄

Β 
ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°

Β 

  • Π£Ρ€ΠΎΠΊΠΈ
  • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Π’Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ:

3. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

ΠΏ1.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число m Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число nΒ  — Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму n слагаСмых, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ m.

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ mΒ·n ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого выраТСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ чисСл mΒ ΠΈ n. Числа m ΠΈ n Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ мноТитСлями

.

Бвойства умноТСния:Β 

  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Π½Π΅ измСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ пСрСстановкС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ: a Β· b = b Β· Π°
  2. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сначала ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ: a Β· (b Β· с) = (Π° Β· b) Β· c.
  3. Бвойство умноТСния Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ: Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° n слагаСмых, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1, Ρ€Π°Π²Π½Π° n: 1 Β· n = n.
  4. Бвойство умноТСния Π½Π° ноль: Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° n слагаСмых, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ: 0 Β· n = 0.

Π—Π½Π°ΠΊ умноТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ: 8 Β· Ρ… = 8Ρ…, ΠΈΠ»ΠΈ Π° Β· b = ab, ΠΈΠ»ΠΈ a Β· (b + с) = a(b + с)

ΠΏ2. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ДСйствиС, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ находят Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.Β 

Число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ дСлят, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ; число, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ дСлят, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ дСлСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ частным.

ЧастноС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π²ΠΎ сколько Ρ€Π°Π· Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

На Π½ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя!

Бвойства дСлСния:Β 

  1. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ любого числа Π½Π° 1 получаСтся это ΠΆΠ΅ число: Π° : 1 = Π°.
  2. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ числа Π½Π° это ΠΆΠ΅ число, получаСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°: Π° : Π° = 1.
  3. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ нуля Π½Π° число получаСтся Π½ΡƒΠ»ΡŒ: 0 : Π° = 0.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСизвСстный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. 5Ρ… = 45 Ρ…Β  = 45 : 5 Ρ… = 9 Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСизвСстноС Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅, Π½Π°Π΄ΠΎ частноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

Β  Ρ… : 15 = 3 Ρ… = 3 Β· 15 Ρ… = 45

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ нСизвСстный Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°Π΄ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° частноС.

48 : Ρ… = 4 Ρ… = 48 : 4

Ρ… = 12

ΠΏ3. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с остатком

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ всСгда мСньшС дСлитСля.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ число 23 – Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅, 4 – Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, 5 – Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ частноС ΠΈ 3 – остаток.

Если остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ дСлится Π½Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π±Π΅Π· остатка ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ a ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ с остатком, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ частноС  с Π½Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ b ΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ остаток d.Β  Π° = с Β· b + d

ΠΏ4. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Бвойства умноТСния:

  1. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство Β Β  умноТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Β Β Β Β  слоТСния: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π½Π° число, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° это число ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ слагаСмоС ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ произвСдСния: (Π° + b)с = ас + bc.
  2. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ вычитания: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° число, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° это число ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅: (Π° — b)с = ас — bc.

3Π° + 7Π° = (3 + 7)Π° = 10Π°

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:Β 

3Ρƒ + 7Ρƒ + 25 = 85

(3 + 7)Ρƒ + 25 = 85

10Ρƒ + 25 = 85

10ΡƒΒ  = 85 – 25

10Ρƒ = 60

Ρƒ = 60 : 10

Ρƒ = 6

ΠΏ5. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ выполнСния дСйствий

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ чисСл Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ дСйствиями ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ступСни, Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл – дСйствиями Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ступСни.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° порядка выполнСния дСйствий:

  1. Если Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ скобок ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ содСрТит дСйствия Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ступСни, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ порядку слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.
  2. Если Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ содСрТит дСйствия ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ступСни ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΌ Π½Π΅Ρ‚ скобок, Ρ‚ΠΎ сначала Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ дСйствия Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ступСни, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ – дСйствия ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ступСни.
  3. Если Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ скобки, Ρ‚ΠΎ сначала Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ дСйствия Π² скобках (учитывая ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 1 ΠΈ 2).

КаТдоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ своСго вычислСния. Она состоит ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄.

Β 

ΠΏ6. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΊΡƒΠ±

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ всС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅:Β 

Π° Β· Π° Β· Π° Β· Π° Β· Π° Β· Π° = Π°6

Π§ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚: Π° Π² ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни. Число Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ основаниСм стСпСни, число 6 – ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни, Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β  Π°6 — Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ n ΠΈ n Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ числа n ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ n2 (эн Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅):Β  n2 = n Β· n

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Β 

n

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n2

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ n Β· n Β· n Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ числа n ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ n3 (эн Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅):Β  n3 = n Β· n Β· n

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

Β 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

Β 

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ числа Ρ€Π°Π²Π½Π° самому числу.

Если Π² числовоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ входят стСпСни чисСл, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… значСния Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ Π΄ΠΎ выполнСния ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… дСйствий.

АссоциативноС свойство слоТСния ΠΈ умноТСния

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ассоциативноС свойство, Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” Π½Π΅Ρ‚. ΠœΡ‹ собираСмся ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ прСдставлСниС.

ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния β™₯

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ассоциативным свойством.

Какими Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ числа a, b ΠΈ c, ΠΎΠ½ΠΈ всСгда Π·Π°ΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ посмотритС Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a=3, b= 18 ΠΈ c=1. Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ сначала Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ скобками.

(3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

(3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22 Π²ΠΈΠ΄Π΅Π», нСзависимо ΠΎΡ‚ порядка Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ мСняСтся.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ я ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡƒ Π²Π°ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ наглядный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠœΡ‹ собираСмся ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 3 + 2 + 1, связывая числа (группируя Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹ вмСстС) двумя Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, взглянув Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° числа, 3 ΠΈ 2. К Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ числу, 5, ΠΌΡ‹ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 1. ΠœΡ‹ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ 6. ВсСго 6 кусочков Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ².

На ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ справа ΠΌΡ‹ сначала складываСм Π΄Π²Π° послСдних числа, 2 ΠΈ 1. 2 плюс 1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ 3. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ прибавляСм 3 ΠΊ 3, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 6. ВсСго 6 кусочков Ρ„Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ². ; это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, это ассоциативноС свойство: ΠΎΠ½ΠΎ позволяСт Π²Π°ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ порядок, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ для Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ чисСл, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ влияСт Π½Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈΒ Γ—

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ слоТСния, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ 10 – 5 – 3:

(10 – 5) – 3 = 5 – 3 = 2

10 – (5 – 3) = 10 – 2 = 8

Если Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° числа, 10 минус 5, это Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ 5. Если ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ 3, это даст Π½Π°ΠΌ 2. Однако, Ссли ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ сначала Π΄Π²Π° послСдних числа, 5 минус 3 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2. Если ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ 2 ΠΈΠ· 10, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 8.

ИзмСнСниС способа связывания чисСл ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ мСняСт ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ свойством ассоциативности.

АссоциативноС свойство Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ β™₯

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒΒ (2 x 3) x 4. ПослС этого ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅Β 2 x (3 x 4). Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ для ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…?

Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π΅Ρ†, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ассоциативным свойством, ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ измСнится, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли порядок чисСл Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ измСнится. ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ связаны числа, Π½Π΅ влияСт Π½Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

(a x b) x c = a x (b x c) = (a x c) x b

Если a = 3, b = 5 y c = 10, Ρƒ нас останСтся:

(3 x 5) x 10 =Β 15Β x 10 = 150

3 x (5 x 10) = 3 x 50 = 150

(3 x 10) x 5 = 30 x 5 = 150

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ это свойство Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ наглядном ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:

ΠœΡ‹ собираСмся ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ количСство ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ. ВсСго 24 ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ°.

Помимо подсчСта ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ, сущСствуСт нСсколько способов подсчСта количСства ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ².

Один ΠΈΠ· способов β€” сначала ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ столбцС.

Если Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΡƒ, ΠΎΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²Ρ‹ΠΉ Ρ†Π²Π΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΌ 3 x 2 = 6, 6 ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ². Бколько всСго столбцов? Π•ΡΡ‚ΡŒ 4 ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 6 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 4 даст Π½Π°ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ²: 24 ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ°.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ β€” ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ количСство ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ряду

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ряду Π·Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° 4 x 2 = 8 ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ². ВсСго имССтся 3 ряда, поэтому, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ², Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 8 x 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎ даст 24. ВсСго 24 ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ°.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ использовали:

НСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ сгруппированы числа, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ получаСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ.

АссоциативноС свойство Π² Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Γ—

Вычислим 8Γ·2Γ·2. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ (8Γ·2)Γ·2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ? 8 Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 β€” это 4, Π° 4 Π½Π° 2 β€” это 2. ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΠΎ.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ 8 Γ· (2Γ·2). Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ скобками, 2 Π½Π° 2 β€” это 1, Π° 8 Π½Π° 1 β€” это 8. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ здСсь Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ?

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 18 Γ· 6 Γ· 3, снова сгруппировав числа двумя Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, совпадаСт Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚.

Один способ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ 1, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ 9. ΠœΡ‹ снова Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ свойством ассоциативности.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΌ, ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅: Ссли Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π½Π΅Ρ‚ скобок, Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.

НадСюсь, это ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство. Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ эти записи, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ размСстили Π² нашСм Π±Π»ΠΎΠ³Π΅:

И Ссли Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, Π² Smartick ΠΌΡ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΆΠ°Π·Π°. ΠŸΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ Π½Π°ΠΌ!

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅:

  • Автор
  • ПослСдниС сообщСния

Smartick

Команда создания ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π°.
ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠ΄ΠΈΡΡ†ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π°, состоящая ΠΈΠ· ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, профСссоров ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… спСциалистов Π² области образования!
Они стрСмятся ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ матСматичСский ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚.

ПослСдниС сообщСния Smartick (ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ всС)

Бвойства слоТСния ΠΈ вычитания

β€’β€’β€’ BananaStock/BananaStock/Getty Images

ОбновлСно 24 апрСля 2017 Π³. числовыС свойства, Π² частности свойства слоТСния ΠΈ вычитания. Бвойства слоТСния ΠΈ вычитания ΠΎΠ±Π»Π΅Π³Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ с числами, позволяя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния. ПониманиС свойств слоТСния ΠΈ вычитания ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ эффСктивно Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с числами.

Бвойство коммутативности

Бвойство коммутативности Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ полоТСния чисСл Π² матСматичСском ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΡΡ‚ΡŒ плюс Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ плюс ΠΏΡΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ относится ΠΊ слоТСнию, нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сколько чисСл Π²Ρ‹ складываСтС вмСстС. Бвойство коммутативности позволяСт ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ вмСстС большиС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ чисСл Π² любом порядкС. Бвойство коммутативности Π½Π΅ примСняСтся ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ. ΠŸΡΡ‚ΡŒ минус Ρ‚Ρ€ΠΈ это Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ минус ΠΏΡΡ‚ΡŒ.

АссоциативноС свойство

АссоциативноС свойство примСняСтся ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным уравнСниям, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… для раздСлСния Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ чисСл ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ скобки ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ скобки. АссоциативноС свойство Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ складываСтС вмСстС, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сгруппированы Π² любом порядкС. Когда Π²Ρ‹ складываСтС числа вмСстС, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Π΅ скобки. НапримСр, (3 + 4) + 2 = 3 + (4 + 2). ΠΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ распространяСтся Π½Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ (3 — 4) — 2 Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 — (4 — 2). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ вычитания, Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ скобки.

Бвойство идСнтичности

Бвойство идСнтичности Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС число плюс ноль Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ самому сСбС. НапримСр, 3 + 0 = 3. Бвойство идСнтичности Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 3 — 0 = 3. Ноль извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ слоТСния ΠΈ вычитания ΠΎΠ½ Π½Π΅ влияСт Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ числа. Когда Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΎΠΊ складываСт ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ большиС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ чисСл, Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число ноль Π½Π΅ влияСт Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ числа Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Помимо свойств, Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ связаны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. НапримСр, ΠΏΡΡ‚ΡŒ плюс Ρ‚Ρ€ΠΈ минус Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ пяти, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ΠΊ Π°Π½Π½ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡ… ΠΎΠ±Π°. ΠŸΠΎΠΎΡ‰Ρ€ΡΠΉΡ‚Π΅ вашСго Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ складываСт ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ чисСл.

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

Бсылки

  • Онлайн-ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅: свойства чисСл
  • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° AAA: свойства слоТСния
  • MathSteps: Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅: слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-издания. Она ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ спСциалист ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΡŽ с ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠΌ прСподавания Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ классС, ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ образования ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π΄Π΅Ρ‚ΡŒΠΌΠΈ Π² возрастС ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 3 Π»Π΅Ρ‚.

admin

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *