Свойства умножения. Законы умножения

ГДЗ 1 класс

ГДЗ 10 класс

  

Категория: Математика

Поговорим о свойствах, или законах умножения.

Переместительный (коммуникативный) закон умножения:

а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Пример:

569 · 17 = 17 · 569

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:

а · b · c = а · (b · c).

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.

Пример:

39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

(а + b + c) · d = аd + bd + cd.

Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.

Пример:

(150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948

Как на практике применяется это свойство умножения? К примеру, у нас есть прямоугольник , разбитый на 2 других прямоугольника. Требуется найти его площадь.

Можно сначала найти длину его стороны, а затем перемножить длину и ширину, получится 
S = (a + b) * c
А можно найти площади маленьких прямоугольников и сложить их
S = (a * c) + (b * c)
А поскольку мы искали площадь одного и того же прямоугольника, то 
(a + b) * c = (a * c) + (b * c)

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания:

(а — b) · c = аc — bc.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Пример:

(125 – 42) · 8 = 125 · 8 — 42 · 8 = 1000 – 336 = 664

Умножение числа на единицу:

а · 1 = 1 · а = а

При умножении числа на единицу получаем само число.

Пример:

45 · 1 = 1 · 45 = 45

Умножение числа на ноль:

а · 0 = 0 · а = 0.

При умножении числа на нуль получаем нуль.

Пример:

6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.

Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

• Назад
• Вперед

 
умножить наподелить на

 

• Уроки
• Математика

Вам может пригодиться:

3. Умножение и деление натуральных чисел

п1.

Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число m на натуральное число n  — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями

.

Свойства умножения: 

1. Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей: a · b = b · а
2. Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: a · (b · с) = (а · b) · c.
3. Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 · n = n.
4. Свойство умножения на ноль: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю: 0 · n = 0.

Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х, или а · b = ab, или a · (b + с) = a(b + с)

п2. Деление

Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением. 

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

На нуль делить нельзя!

Свойства деления: 

1. При делении любого числа на 1 получается это же число: а : 1 = а.
2. При делении числа на это же число, получается единица: а : а = 1.
3. При делении нуля на число получается нуль: 0 : а = 0.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель. 5х = 45 х  = 45 : 5 х = 9 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

  х : 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

48 : х = 4 х = 48 : 4

х = 12

п3. Деление с остатком

Остаток всегда меньше делителя.

Здесь число 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное и 3 – остаток.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное  с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d.  а = с · b + d

п4. Упрощение выражений

Свойства умножения:

1. Распределительное свойство    умножения относительно      сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения: (а + b)с = ас + bc.
2. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (а — b)с = ас — bc.

3а + 7а = (3 + 7)а = 10а

Решить уравнение: 

3у + 7у + 25 = 85

(3 + 7)у + 25 = 85

10у + 25 = 85

10у  = 85 – 25

10у = 60

у = 60 : 10

у = 6

п5. Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Правила порядка выполнения действий:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

 

п6. Квадрат и куб

Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче: 

а · а · а · а · а · а = а⁶

Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение  а⁶ — называют степенью.

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n² (эн в квадрате):  n² = n · n

Таблица квадратов:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

 

n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n2	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400
Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (эн в кубе):  n3 = n · n · n Таблица кубов:
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

 

Первая степень числа равна самому числу.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

Ассоциативное свойство сложения и умножения

Сложение и умножение используют ассоциативное свойство, а вычитание и деление — нет. Мы собираемся подробно рассмотреть каждую ситуацию, чтобы получить лучшее представление.

Ассоциативность сложения ♥

Сложение действительно обладает ассоциативным свойством.

Какими бы ни были числа a, b и c, они всегда заканчиваются одним и тем же:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Внимательно посмотрите на следующий пример, в котором используются реальные числа.

Предположим, что a=3, b= 18 и c=1. Вы уже знаете, что нужно сначала вычислить, что находится между скобками.

(3 + 18) + 1 = 21 + 1 = 22

3 + (18 + 1) = 3 + 19 = 22

(3 + 1) + 18 = 4 + 18 = 22 видел, независимо от порядка группировки, ответ не меняется.

Теперь я покажу вам более наглядный пример:

Мы собираемся сложить 3 + 2 + 1, связывая числа (группируя фрукты вместе) двумя разными способами.

Во-первых, взглянув на верхний левый квадрат на картинке выше, нам нужно добавить первые два числа, 3 и 2. К любому полученному числу, 5, мы затем добавим 1. Мы в итоге 6. Всего 6 кусочков фруктов.

На картинке справа мы сначала складываем два последних числа, 2 и 1. 2 плюс 1 дает нам 3. После того, как мы прибавляем 3 к 3, получаем 6. Всего 6 кусочков фруктов. ; это тот же ответ.

Кроме того, это ассоциативное свойство: оно позволяет вам изменить порядок, который мы используем для группировки чисел, потому что это не влияет на окончательный ответ.

Ассоциативность в вычитании ×

В отличие от сложения, вычитание не обладает ассоциативностью.

Давайте посмотрим на другой пример. Вычтем 10 – 5 – 3:

(10 – 5) – 3 = 5 – 3 = 2

10 – (5 – 3) = 10 – 2 = 8

Если вычесть первые два числа, 10 минус 5, это дает нам 5. Если мы перейдем к вычитанию 3, это даст нам 2. Однако, если мы вычтем сначала два последних числа, 5 минус 3 будет 2. Если мы вычтем 2 из 10, мы получим 8.

Изменение способа связывания чисел при вычитании меняет ответ. Таким образом, вычитание не обладает свойством ассоциативности.

Ассоциативное свойство в умножении ♥

Сначала попробуйте вычислить (2 x 3) x 4. После этого попробуйте 2 x (3 x 4). Вы получили одинаковый ответ для обоих из них?

Если вы получили тот же ответ, вы молодец, потому что умножение обладает ассоциативным свойством, и ответ не изменится, даже если порядок чисел в задаче изменится. Порядок, в котором связаны числа, не влияет на окончательный ответ.

(a x b) x c = a x (b x c) = (a x c) x b

Если a = 3, b = 5 y c = 10, у нас останется:

(3 x 5) x 10 = 15 x 10 = 150

3 x (5 x 10) = 3 x 50 = 150

(3 x 10) x 5 = 30 x 5 = 150

Теперь давайте посмотрим, как это свойство работает, на более наглядном примере:

Мы собираемся подсчитать количество кубиков, составляющих следующую картинку. Всего 24 кубика.

Помимо подсчета каждого кубика по одному, существует несколько способов подсчета количества кубиков.

Один из способов — сначала подсчитать кубики в одном столбце.

Если внимательно посмотреть на первую колонку, окрашенную в оранжевый цвет, там 3 x 2 = 6, 6 кубиков. Сколько всего столбцов? Есть 4 колонки. Таким образом, 6 умножить на 4 даст нам общее количество кубиков: 24 кубика.

Еще один способ решить задачу — подсчитать количество кубиков в одном ряду

В первом ряду зеленого цвета 4 x 2 = 8 кубиков. Всего имеется 3 ряда, поэтому, чтобы подсчитать общее количество кубиков, нам нужно умножить 8 x 3, что даст 24. Всего 24 кубика.

Вот операции, которые мы использовали:

Независимо от того, как сгруппированы числа, ответ получается одинаковым.

Ассоциативное свойство в Деление ×

Вычислим 8÷2÷2. Сначала попробуйте разделить (8÷2)÷2, что у вас получилось? 8 разделить на 2 — это 4, а 4 на 2 — это 2. Круто.

А теперь попробуйте 8 ÷ (2÷2). Сначала вам нужно поработать над скобками, 2 на 2 — это 1, а 8 на 1 — это 8. Хорошо. Итак, что мы здесь видим?

Мы видим, что получили два совершенно разных ответа.

Давайте посмотрим на другой пример 18 ÷ 6 ÷ 3, снова сгруппировав числа двумя разными способами, и проверим, совпадает ли ответ или нет.

Один способ дает нам 1, а другой дает нам 9. Мы снова видим, что ответы не совпадают.

Итак, мы можем уверенно сказать, что деление не обладает свойством ассоциативности.

Прежде чем мы закончим, кое-что еще: если в задаче нет скобок, вы делите слева направо.

Надеюсь, это помогло вам понять это важное свойство. Если вы хотите углубиться, вы можете посетить эти записи, которые мы разместили в нашем блоге:

И если вы хотите продолжать изучать математику, в Smartick мы учим их с помощью джаза. Присоединяйтесь к нам!

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения Smartick (посмотреть все)

Свойства сложения и вычитания

••• BananaStock/BananaStock/Getty Images

Обновлено 24 апреля 2017 г. числовые свойства, в частности свойства сложения и вычитания. Свойства сложения и вычитания облегчают работу с числами, позволяя перегруппировать их, чтобы упростить решение уравнения. Понимание свойств сложения и вычитания поможет вам более эффективно работать с числами.

Свойство коммутативности

Свойство коммутативности говорит о том, что положения чисел в математическом уравнении не влияют на окончательное решение. Пять плюс три равно три плюс пять. Это относится к сложению, независимо от того, сколько чисел вы складываете вместе. Свойство коммутативности позволяет складывать вместе большие группы чисел в любом порядке. Свойство коммутативности не применяется к вычитанию. Пять минус три это не то же самое, что три минус пять.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство применяется к более сложным уравнениям, в которых для разделения групп чисел используются скобки или квадратные скобки. Ассоциативное свойство говорит о том, что числа, которые вы складываете вместе, могут быть сгруппированы в любом порядке. Когда вы складываете числа вместе, вы можете перемещать круглые скобки. Например, (3 + 4) + 2 = 3 + (4 + 2). Ассоциативность также не распространяется на вычитание, так как (3 — 4) — 2 не равно 3 — (4 — 2). Это означает, что если вы работаете над уравнением вычитания, вы не можете перемещать скобки.

Свойство идентичности

Свойство идентичности говорит, что любое число плюс ноль равно самому себе. Например, 3 + 0 = 3. Свойство идентичности также применимо к вычитанию, поскольку 3 — 0 = 3. Ноль известен как идентичное число, потому что кроме сложения и вычитания он не влияет на другие числа. Когда ребенок складывает или вычитает большие группы чисел, напомните ему, что число ноль не влияет на другие числа в уравнении.

Обратные операции

Помимо свойств, влияющих на сложение и вычитание по отдельности, сложение и вычитание также связаны друг с другом. Это обратные операции, что похоже на утверждение, что сложение и вычитание противоположны друг другу. Например, пять плюс три минус три равно пяти, потому что сложение и вычитание троек аннулирует их оба. Поощряйте вашего ребенка искать числа, которые компенсируют друг друга, когда он складывает и вычитает группы чисел.

Статьи по теме

Ссылки

• Онлайн-обучение математике: свойства чисел
• Математика AAA: свойства сложения
• MathSteps: что это такое: сложение и вычитание различные интернет-издания. Она учитель и специалист по развитию с опытом преподавания в первом классе, специального образования и работы с детьми в возрасте от 0 до 3 лет.