Порядок выполнения действий | Математика | 5 класс

На уроке вы узнаете о роли скобок в выражениях и о правилах, по которым выполняются действия. А также решите несколько интересных примеров.

 

Введение

В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны.

Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (см. рис. 1).

Рис. 1. Как меняется смысл фразы от запятой

В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания – запятая, который очень сильно на этот смысл влияет.

В математическом языке тоже есть такой знак препинания, это скобки.

Пример 1

Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6: .

Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется: .

Роль скобок. Порядок операций

В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать. Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок действий. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.

Сложение и вычитание равноправны

В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.

Умножение и деление тоже равноправны

Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:

Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание

Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.

Действия в скобках раньше всего

Действия в скобках делаются в первую очередь. Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок.

Умножение идет первым, поэтому сначала умножение, потом сложение.

Но если поставить сложение в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым.

Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.

Пример 2

Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:

Порядок выполнения действий

• действия в скобках
• умножение и деление
• сложение и вычитание

Пример 3

Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках – сначала умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.

Пример 4

Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.

Пример 5

Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.

Расставим последовательность действий.

Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:

Запись можно сократить. Расставим последовательность действий. 1 и 2 действие не влияют на третье. Его можно сделать одновременно с первым. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во вторых. Действия в первых больших и последних скобках тоже можно делать одновременно.

За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.

Заканчиваем решение:

Запись получилась короче.

Заключение

Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. 14-е изд., испр. и доп. — М.: 2013. – 270 с.
2. Математика. 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. 24-е изд., испр. — М.: 2008. — 280 с.
3. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. 2-е изд., перераб. — М.: 2011; Ч. 1 — 176 с, Ч. 2 — 240 с.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

Решите примеры:

Сложение и вычитание

Перестановка слагаемых

Ещё один важный момент, который мы хотим рассмотреть в отношении сложения. Взгляните на два числовых выражения:

3 + 2 = 5

2 + 3 = 5

Мы видим, сумма в обоих случаях одинакова. Да и слагаемые одни и те же — 3 и 2, только в первом случае число 3 является первым слагаемым, а число 2 — вторым. А во втором примере: 2 — это первое слагаемое, а 3 — второе. Однако очерёдность слагаемых на результат не повлияла, из чего мы можем сделать вывод и сформулировать переместительный закон сложения, который гласит: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вот ещё примеры. Найдите суммы в каждой паре числовых выражений и сравните результаты. Доказывают ли они переместительный закон сложения?

4 + 5 = 12 + 7 = 2 + 8 = 6 + 9 =
5 + 4 = 7 + 12 = 8 + 2 = 9 + 6 =

Азы сложения изучили, теперь давайте разберёмся с действием, ему противоположным. Называется оно вычитание.

Вычитанием — это арифметическое действие, в ходе которого одно число уменьшается на количество единиц, содержащееся в вычитаемом числе.

Графический символ вычитания — знак «-» (минус). Компоненты вычитания называются:

7 — 3 = 4

7 — уменьшаемое
3 — вычитаемое
4 — разность

Так же, как и в сложении, вычитание может быть

• Без перехода через десяток

Рассматриваемый выше пример как раз таковым случаем и является:

7 — 3 = 4

Число 7 относится к первому десятку. Уменьшив его на 3 единицы, мы получили число 4, которое также стоит в числовом ряду от 0 до 10. Следовательно, перехода через десяток не было.

Или другой пример:

15 — 2 = 13

Число 15 относится ко второму десятку (от 11 до 20). Уменьшим 15 на 2 единицы, мы получили 13 и по-прежнему остались во втором десятке.

А если от 13 отнять 6, то это уже будет

• Вычитание с переходом через десяток

Ведь 13 — 6 = 7

13 — число, относящееся ко второму десятку, тогда как 7 — число первого десятка.

Если вычисление разности требует перехода через десяток, для удобства вычитаемое можно разложить по составу так, чтобы сначала дойти до круглого числа, и потом из него вычесть оставшиеся единицы. Вот таким образом:

В нашем примере 6 удобно представить в виде суммы 3 + 3. И тогда:

13 — 3 = 10

10 — 3 = 7

Закрепите на следующих примерах:

14 — 5 = 12 — 6 = 13 — 8 =
17 — 9 = 15 — 5 = 16 — 7 =

Подытоживая темы сложения и вычитания, рассмотрим примеры на сложение и вычитание в несколько действий.

8 — 2 + 7 =

Видим, что в данном числовом выражении есть сразу и вычитание, и сложение. Как такое решать? Постепенно!

1. 8 — 2 = 6
2. 6 + 7 = 13

Чтобы найти ответ, мы сначала от 8 отняли 2, а потом к полученной разности прибавили оставшееся число. Всё очень просто!

Попробуйте и убедитесь:

12 — 5 + 3 = 17 + 2 — 8 =
4 — 1 + 5 = 5 — 4 + 13 =
7 + 6 — 3 = 15 — 7 + 5 =

В одной статье мы узнали…

• Что такое сложение. Как называются компоненты сложения.
• Чем отличается сложение без перехода через десяток от сложения с переходом через десяток.
• Что такое вычитание. Вычитание без перехода через десяток и вычитание с переходом через десяток — как выполняется.
• Сложение и вычитание в одном числовом выражении — как решать примеры в несколько действий.

Ещё подробнее о каждой подтеме мы будем рассказывать в наших коротких статьях, затрагивающих узкое направление.

Экспоненты, умножение и сложение – MathFour

Рубрики: Алгебра; Будьте первым, кто поделится своими мыслями — оставьте комментарий ниже!

Это четвертая книга из серии Объяснение порядка действий.
Чтобы ознакомиться с другими статьями этой серии, нажмите здесь, чтобы перейти к введению.

Изображение из Википедии

Порядок операций можно свести к трем «настоящим» операциям.

Скобки — это просто способ сгруппировать элементы, а не настоящая операция. Поэтому они не считаются реальной операцией.

Поскольку деление — это просто умножение, перевернутое с ног на голову, нам не нужно включать его отдельно. Точно так же вычитание — это сложение на слуху. Так что его тоже выкидываем.

Теперь у нас есть только три: показатели степени, умножение и сложение.

Экспоненты — это ярлык для умножения.

В предыдущей статье о запоминании правил экспоненты я записал это видео о экспонентах:

Вы видите, что 3 x 3 x 3 x 3 равно 3 ⁴ . Экспонента — это сокращение для умножения.

Умножение — это быстрый способ сложения.

Точно так же, когда мы перегружены сложением одних и тех же чисел снова и снова, как в видео, 4 + 4 + 4 + 4 + 4, мы можем использовать умножение, чтобы сократить это: 5 x 4.

Следуйте сокращению эволюция.

Эволюция быстрого доступа выглядит следующим образом:

1. Сначала появилось дополнение.
2. Затем мы создали умножение, чтобы упростить сложение.
3. Затем мы создали показатели степени, чтобы упростить умножение.

Итак, когда вы занимаетесь арифметикой, мы должны сначала использовать «недавние» сокращения (возведение в степень), затем «старые» сокращения (умножение), а затем «обычные» арифметические действия (сложение). Помните, что вычитание — это сложение, а деление — это умножение.

И имейте в виду, что нам нужно следить за группировкой или чем-либо изолированным скобками, барами абсолютного значения или дробью. Инструменты группировки/изоляции всегда важнее других правил работы.

Изображение из Википедии

Что, если ваш ответ не совпадает с ответом на обратной стороне книги?

В некоторых учебниках умножение выполняется перед

делением. Это означает, что задача 9  3 x 2 будет показывать другой ответ (3/2) на страницах решения этого учебника, чем тот, который вы получили бы после ОоО, которое я здесь описываю (6). Эти тексты редки, но я их видел. Так что держите глаза открытыми.

Порядок операций — это набор правил, которые мы согласовали. Это означает, что пока учебник четко определяет их порядок, которому они будут следовать, они могут делать такие вещи.

Если вы не знаете, что делать первым, потребуйте скобки. (Да, вы можете это сделать.) Или поставьте круглые скобки в учебнике вашего ребенка, чтобы помочь ему.

Наборы задач должны быть там, чтобы обеспечивать, а не путать.

Что вы думаете? Это помогает или мешает тому, как вы всегда относились к порядку операций? Поделитесь своими мыслями в комментариях.

Статьи по теме

Этот пост может содержать партнерские ссылки. Когда вы используете их, вы поддерживаете нас, чтобы мы могли продолжать предоставлять бесплатный контент!

A Класс 3 Вопросы и ответы: Зачем начинать с умножения и деления?

Вопрос: Почему 3-й класс начинается с умножения/деления, а не сложения/вычитания?

Ответ: Мы часто слышим от людей, которые недоумевают, почему 3-й класс начинается с модуля умножения и деления, как это было в 1-м выпуске!, а не со сложения и вычитания. Когда мы определяли последовательность разделов в любом классе, мы учитывали множество разных вещей. Наиболее важным было развитие математического содержания внутри и между классами.

В Investigations 3 , умножение и деление являются основным направлением в 3-м классе. Мы хотели, чтобы 3-классники начали год с важной работы в классе и начали развивать концептуальное понимание умножения и деления. Кроме того, есть три модуля, ориентированные на умножение и деление; размещение одного из них на первом месте позволило нам разумно распределить их в течение года. (Другие блоки — это блоки 5 и 8.)

Понимание равных групп — отличный способ начать год, поскольку он обеспечивает равные условия игры. Представления об умножении и делении по большей части новы для всех учеников. Идеи доступны для всех, и большинство студентов с энтузиазмом начинают учебный год с изучения новых математических идей. Напротив, если год начинается со сложения и вычитания, у большинства учащихся уже есть опыт работы с этими операциями, а у некоторых он не был положительным. Другие могут понимать принципы сложения и вычитания, но начинают испытывать затруднения, когда их просят складывать и вычитать большие числа.

На самом деле, размещение 1-го модуля сложения и вычитания на 3-м месте в последовательности позволило нам включить обзор идей сложения, вычитания и расстановки значений в модулях 1 и 2, в десятиминутном математическом задании

. страницы ежедневной практики. Наша цель состояла в том, чтобы предоставить учителям возможность наблюдать за выполнением этой работы учащимися и дать им возможность определить тех, кому может потребоваться дополнительная поддержка для подготовки к Разделу 3, который предполагает, что учащиеся могут свободно складывать и вычитать в пределах 100 и использовать представления для сложения и вычитания. в пределах 1000.

Вопрос о том, почему начинается год с умножения и деления, кажется, предполагает, что третьеклассники должны работать над сложением и вычитанием перед умножением и делением. В то время как 8- и 9-летние дети, вероятно, лучше знакомы со сложением и вычитанием, нет причин, по которым они должны стоять на первом месте.

Понимание равных групп   фокусируется на значении умножения и деления. Числа небольшие, обычно меньше 100. Учащиеся используют контексты и представления, когда начинают разрабатывать стратегии решения задач на умножение и деление.