Тема «Математика И Искусство» может показаться странной тем, кто больше привык думать «Математика ИЛИ Искусство», но на самом деле есть много связующих звеньев, чтобы заполнить пробел.

Математика ___ Искусство и его близнец Искусство___ Математика. Действительно, множество взаимосвязей между математикой и искусством предоставляют богатый материал, из которого могут выбирать организаторы мероприятий Месяца осведомленности о математике. Список источников на веб-сайте Math Awareness — отличное место для начала. В этом кратком эссе я выделю несколько возможных способов заполнить пробелы выше. Я надеюсь, что это побудит вас исследовать многие другие.

Математика производит искусство

На самом практическом уровне математические инструменты всегда существенно использовались при создании искусства. С древних времен простой циркуль и линейка, дополненные другими простыми чертежными и ремесленными инструментами, использовались для создания красивых рисунков, воплощенных в архитектуре и убранстве дворцов, соборов и мечетей. Замысловатые мавританские мозаики из плитки, кирпича и лепнины, украшающие их здания, и столь же замысловатый узор готических окон и интерьеров являются свидетельством творческого использования древних геометрических знаний. [Р1], [Р4], [Р21]

В эпоху Возрождения несколько художников использовали простые сетки и математические устройства для точного изображения сцен на плоской поверхности в соответствии с принципами линейной перспективы. Несколько гравюр Дюрера дают представление об этих техниках. Симбиоз искусства и математики в то время, когда развивались линейная перспектива и проективная геометрия, является одним из наиболее ярких примеров почти одновременного развития искусства и математики в новых направлениях. [R7]

Сегодняшние математические инструменты более сложны, и цифровые технологии быстро становятся основным выбором. В руках художника компьютеры могут создавать произведения искусства, основанные на невидимых сложных внутренних математических процессах, обеспечивающих их магические способности. Математические преобразования обеспечивают средства, с помощью которых изображение или форма на одной поверхности или в пространстве представляются на другом. Искусство — это иллюзия, а преобразования важны для создания иллюзии. Изометрии, подобия и аффинные преобразования могут преобразовывать изображения точно или с преднамеренным искажением, проекции могут представлять трехмерные (и более) формы на двухмерных плоскостях изображения, даже криволинейных. Специальные преобразования могут искажать или расшифровывать искаженное изображение, создавая анаморфотное искусство. Все эти преобразования можно описать математически, и использование направляющих сеток для помощи в выполнении этих преобразований сегодня в значительной степени заменено компьютерным программным обеспечением. Циркули, линейки, сетки, механические устройства, клавиатура и мышь — это физические инструменты для создания искусства, но без силы математических отношений и процессов эти инструменты не имели бы большой творческой силы.

Математика порождает искусство

Узор — это фундаментальное понятие как в математике, так и в искусстве. Математические модели могут создавать художественные модели. Часто алгоритм раскраски может создавать «автоматическое искусство», которое может быть таким же удивительным или эстетически приятным, как и то, что создается рукой человека. Яркими примерами этого являются цветные версии множества Мандельброта и Жюлиа: каждое из них порождается рекурсивным уравнением z _n = z _{n -1} ² + С . В случае множества Мандельброта уравнение повторяется для каждой точки C на комплексной плоскости, где z ₀ = 0, а точка C окрашивается в соответствии с правилами, основанными на том, превышают ли итерированные значения в конечном итоге 2 и количество итераций, после которых это происходит. [P15] Другие фракталы, а также изображения на основе аттракторов также создаются путем итерации и раскраски по правилам. Сложность этих изображений, их симметрия и бесконечное (теоретически) продолжение рисунков во все меньших масштабах делают их завораживающими. [стр.10]

Гораздо более приземленные математические модели также могут стать удивительным искусством. Например, начните с массива чисел (например, большого набора данных, последовательности, таблицы модульных операций или треугольника Паскаля) и раскрасьте числа в массиве в соответствии с некоторым правилом. Часто возникают удивительные закономерности — даже искусство. Рекурсивные алгоритмы, применяемые к геометрическим фигурам, могут генерировать привлекательные самоподобные узоры. Начните с кривой, замкнутой фигуры или простой пространственной формы, примените алгоритм для изменения этой фигуры, добавляя (или вычитая) указанные части этой фигуры, затем рекурсивно повторяйте алгоритм. Многие непериодические мозаики (например, мозаики Пенроуза) также могут быть сгенерированы автоматически, начиная с небольшого участка плиток, а затем применяя рекурсивный алгоритм «раздувания».

Преобразования и симметрия также являются фундаментальными понятиями как в математике, так и в искусстве. Математики фактически определяют симметрию объектов (функций, матриц, рисунков или форм на поверхностях или в пространстве) их инвариантностью относительно группы преобразований. И наоборот, применение группы преобразований к простым рисункам или пространственным объектам автоматически создает красивые симметричные узоры и формы. В 1816 году недавно изобретенный Брюстером калейдоскоп продемонстрировал силу законов отражения в автоматическом создании привлекающих внимание розеток из нагромождения цветных осколков между двумя зеркалами. [P3] Сегодня компьютерные программы используют группы симметрии для создания розеток, бордюров, рисунков обоев [R11] и рисунков с ограничением круга в стиле Эшера, таких как плакат Месяца осведомленности о математике 2003 года. [R6] Каждый из этих рисунков начинается с небольшого фрагмента или мотива (выбранного обдуманно или случайно), трансформированные образы которого заполняют полный рисунок. Периодические мозаики, будь то геометрические или подобные Эшеру, могут быть созданы автоматически с помощью компьютерных программ [R12] или вручную, следуя рецептам, использующим изометрии.

Искусство освещает математику

Когда математические модели или процессы автоматически порождают искусство, может произойти удивительный обратный эффект: искусство часто освещает математику. Кто бы мог угадать математические самородки, которые в противном случае могли бы быть скрыты в потоке символьной или числовой информации? Процесс раскрашивания позволяет информации принять визуальную форму, обеспечивающую идентичность и узнаваемость. Кто мог угадать предельную форму или симметрию алгоритмически созданного фрактала? С визуальным представлением математик может воскликнуть: «Теперь я вижу!»

Поскольку периодические мозаики могут быть созданы группами изометрий, их можно использовать для освещения абстрактных математических понятий в теории групп, которые многим трудно понять в символической форме: генераторы, смежные классы, стабилизирующие подгруппы, нормальные подгруппы, сопряжения, орбиты и расширения групп. , назвать несколько. [Р20]

В приведенных выше примерах освещение математики является случайным результатом искусства, созданного по другим причинам. Но есть примеры, в которых главная цель художника — выразить, даже воплотить математику. Несколько гравюр М.К. Эшера являются результатом его попыток наглядно выразить такие математические понятия, как бесконечность, двойственность, размерность, рекурсия, топологическая трансформация и самоподобие. [R16] Возможно, наиболее яркими примерами искусства, освещающего математику, являются картины Крокетта Джонсона и скульптуры Геламана Фергюсона. с 19С 65 по 1975 год Джонсон создал более 100 абстрактных картин маслом, каждая из которых представляет собой представление математической теоремы. [P14] Скульптуры Фергюсона прославляют математическую форму и были названы «теоремами в бронзе и камне». Каждое из них начинается с идеи уловить суть математической теоремы или отношения и выполняется с использованием всей мощи математически управляемых и управляемых вручную инструментов. [P9]

Математика вдохновляет искусство

Узоры, узоры и формы, которые являются «автоматическим» продуктом чисто математических процессов (таких как описанные в «Математика порождает искусство»), обычно слишком точны, слишком симметричны, слишком механически или слишком повторяются, чтобы удерживать внимание зрителя. Они могут быть приятными и интересными, создавать их весело (и приносить много «хобби-искусства»), но в основном они лишены тонкости, спонтанности и отклонения от точности, которые обеспечивают художественная интуиция и творчество. В руках художника математически созданное искусство — это только начало, скелет или шаблон, к которому художник привносит воображение, обучение и личное видение, способное преобразовать математически совершенное в образ или форму, которые действительно вдохновлены.

Узоры обоев и мозаика могут быть привлекательными с декоративной точки зрения; немногие будут рассматриваться как искусство. [P24] (я чувствую, что [P20] является исключением). Эшер рассматривал свои мозаики не как искусство, а как фрагменты, которые должны быть неотъемлемой частью его сложных гравюр. Искусство Макото Накамуры также использует эту технику. [P17] Джинни Бейер, дизайнер и мастер квилтинга, использует свою художественную интуицию и чувство цвета, чтобы превратить мозаику в искусство. [P2] Калейдоскопические узоры вдохновили Паулу Надельстерн на стеганое искусство; ее использование цвета и композиции слегка нарушает математические правила. [стр.16]

Дик Термес использует фотографию и сетки, чтобы направлять свои проекции изображений на поверхность сферы, но его «Термесферы» несут его личную интерпретацию. [P23] Художники-анаморфоты Иштван Орос [P18] и Келли Хоул [P13] руководствуются математическими правилами преобразования, создавая загадочные искажения изображений на картинной плоскости, но также используют свою интуицию и воображение, сверяясь с зеркальным цилиндром как работа развивается.

Чистая математическая форма, часто с высокой симметрией, является источником вдохновения для нескольких скульпторов, создающих лирические, захватывающие дух произведения. Наметанным глазом и рукой, опираясь на свой опыт работы с деревом, камнем, бронзой и другими тактильными материалами, художники отклоняются, утрируют, вычитают, накладывают, окружают или иным образом изменяют форму во что-то новое, часто ослепительно красивое. С появлением цифровых инструментов для создания скульптур возможности экспериментирования без разрушения материала или создания иным образом невозможных форм бесконечно расширяют возможности скульптора. [P4], [P5], [P12], [P19], [стр. 21], [стр. 22]

Математика сдерживает искусство

Мы часто слышим о «художественной свободе» или «художественной лицензии», которые подразумевают отказ от правил ради свободы самовыражения. Тем не менее многие математические ограничения нельзя отвергнуть; художники, не знающие об этих ограничениях, могут трудиться над реализацией идеи только для того, чтобы обнаружить, что ее реализация действительно невозможна. Теорема Эйлера ( v + f = e + 2) и теорема Декарта (сумма дефектов вершин каждого выпуклого многогранника равна 720°) определяют геометрию многогранников. Другие теоремы регулируют топологию узлов и поверхностей, аспекты симметрии и периодичности на поверхностях и в пространстве, факты соотношения, пропорции и подобия, необходимость сходимости параллельных прямых к точке и т. д. Вместо того, чтобы ограничивать искусство или требовать, чтобы искусство соответствовало узкому набору правил, понимание основных математических ограничений позволяет художникам использовать всю свою интуицию и творчество в рамках ограничений, даже для того, чтобы раздвинуть границы этих ограничений. Ограничения не обязательно должны быть отрицательными — они могут показывать часто безграничное царство возможного.

Произвольные математические ограничения могут служить руководством для художественного творчества. Пропорция всегда была основополагающей в эстетике искусства, направляя композицию, дизайн и форму. Математически это выражается в соблюдении соотношений. Будь то каноны человеческих пропорций, архитектурный дизайн или даже символы и буквенные шрифты, пропорции соединяют части дизайна с целым и друг с другом. Повторяющиеся отношения подразумевают самоподобие, вряд ли это новая тема, несмотря на недавнее внимание математиков. Одно из самых ранних зарегистрированных упоминаний об этом находится в Предложении 30 Евклида, Книге VI, делении сегмента в крайнем и среднем отношении (также известном как золотой разрез или золотое сечение). Сегмент AB должен быть разделен внутри точкой E таким образом, чтобы отношение целого AB к части AE равнялось отношению (большей) части AE к (меньшей) части EB . [P8] Эта геометрическая задача вычисляет обыкновенное отношение AB / AE = (1 + 5)/2, известное как золотое сечение, обозначаемое как (или ). Соотношение обладает многими уникальными, почти магическими математическими свойствами (например, ² = + 1 и 1/ = — 1), и именно эти свойства, а также связь с последовательностью Фибоначчи очаровывали художников и архитекторов. , что позволяет им создавать дизайны и композиции с особыми свойствами. Другие соотношения и специальные геометрические конструкции (корневые прямоугольники, обратные прямоугольники и сетки подобных фигур) также определяют композицию и дизайн. [R10], [P11]

Искусство порождает математику

Следует ожидать, что при выполнении произведения искусства возникнут математические вопросы, на которые художник (или изготовитель) должен ответить. Это связано с территорией. Во многих случаях художники будут изо всех сил пытаться ответить на вопросы самостоятельно, чтобы получить ответ таким образом, который имеет для них смысл. Эшер сделал это, пытаясь найти ответ на вопрос: «Как я могу создать фигуру, которая будет разбивать плоскость таким образом, чтобы каждая плитка была окружена одинаковым образом?» [R15] Иногда эти вопросы требуют внимания обученных математиков, инженеров или разработчиков программного обеспечения и требуют решения интересных практических задач. Замысловатые текстильные узоры дизайнера Джейн Барнс являются результатом тесного сотрудничества с математиком Биллом Джонсом и разработчиком компьютерного программного обеспечения Даной Картрайт из Designer Software. [R14], [P1], [P6]

Также нередки случаи, когда законченные произведения искусства задают чисто математические вопросы, которые художник никогда не представлял и не должен был рассматривать. Народное искусство других времен и других культур является богатым источником для математических вопросов. Два примера — кельтские узлы и искусство африканских культур. [R5], [R8] Современные скульптуры также могут привести к математическим вопросам. [R3] Тесселяции Эшера и некоторые отпечатки стали источником нескольких математических проблем, большинство из которых еще не решены. Два из этих математических вопросов направлены на то, чтобы понять взаимосвязь между локальной и глобальной симметрией. [R9], [R19].

Самый математический художник

Я хочу закончить этот очерк еще немного о творчестве голландского художника-графика М. К. Эшера (1898-1972), который, возможно, является самым удивительным современным примером художника, чьи работы содержат множество связей между математикой и искусством. [P7] У Эшера не было математического образования, и даже в школе у ​​него были проблемы с математикой. Однако он не отвергал математику, а по-своему, используя различные (преимущественно изобразительные) источники, вычислял ту математику, которая была ему необходима для реализации своих идей и видений. Эшер прославлял математические формы: многогранники как украшения, звезды или живые структуры, полосы Мевбиуса, узлы и пространственные сетки. Он использовал (а иногда и смешивал) различные геометрии в своих работах — евклидову в своих мозаиках, гиперболическую в своей серии «Предел круга», проективную в изображении сцен в линейной перспективе, сферическую в гравюрах и резных сферах. Он использовал топологические искажения и преобразования, странные или множественные перспективы и визуальную рекурсию. Он исследовал тему симметрии и мозаики на плоскости, на сфере и в диске Пуанкари, разработав собственную «непрофессиональную теорию» классификации типов плоских периодических мозаик и их симметричной раскраски, предвосхитив более поздние исследования математиков и кристаллографов. эти темы. [R15] Он по-своему задавал и отвечал на комбинаторные геометрические вопросы. [R17] Он изобразил абстрактные математические понятия в визуальных метафорах. И хотя работа Эшера вызвала к нему восхищение математиков и ученых, он чувствовал себя изолированным как художник. Сегодня есть много художников, чьи работы прямо или косвенно вдохновлены творчеством Эшера. В то время как он оставил нам свое собственное наследие, другие продолжают исследовать некоторые пути, которые он проложил, а также отходят от них новыми путями.[R18]

Ресурсы

Три недавние книги содержат сборники эссе по математике и искусству. Иварс Петерсон [R13] демонстрирует широкий выбор современного искусства и художников, демонстрируя прочный симбиоз между искусством и математикой. Два других, [R2] и [R18], содержат вдумчивые комментарии и обсуждения, а также эссе и рисунки современных художников. Несколько книг и веб-сайтов содержат тексты, идеи, задачи и проекты для курсов, посвященных искусству и математике. Многие из них перечислены на веб-сайте Месяца осведомленности о математике 2003 года, который также содержит эссе Марка Франца и Пола Калтера, которые преподают курсы по математике, искусству и архитектуре. Есть несколько организаций, которые занимаются содействием взаимодействию между искусством, математикой и наукой. Большинство из них проводят ежегодные конференции, на которых собираются художники и математики (и многие другие), чтобы выставляться, читать лекции, обсуждать и общаться; часто материалы (печатные или электронные) публикуют презентации. Веб-сайты некоторых из них перечислены ниже в разделе «Организации».

Организации

[O1] Цифровая скульптура: http://www.intersculpt.org/

[O2] Голландское общество искусств и математики: http://www.arsetmathesis.nl (проверьте галерею)

[O3] Leonardo/ISAST: http://mitpress2.mit.edu/e-journals/Leonardo (Международное общество искусств, наук и технологий; см. галерею)

[O4] ISAMA: http://www.isama.org/ (Международное общество искусств, математики и архитектуры)

[O5] Журнал Nexus Network: http://www. nexusjournal.com/ (архитектура и математика)

[O6] Bridges: http://www.sckans.edu/~bridges (Ежегодная международная конференция по математическим связям в искусстве, музыке и науке; публикуются сборники докладов ее ежегодных конференций)

[O7] Visual Mathematics: http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath (электронный журнал ISIS-Symmetry)

[08] Эстетические вычисления http://www.cise.ufl.edu/~fishwick/aescomputing

Ссылки: Книги, статьи, программы

[R1] Бургуан, Дж., Арабский и геометрический узор и дизайн (пластины), Нью-Йорк: Дувр, 1973 (ориг. 1879).

[R2] Брутер, Клод П., изд., Математика и искусство: математическая визуализация в искусстве и образовании , Гейдельберг: Springer, 2002.
http://www.springer.de/cgi/svcat/search_book.pl?isbn=3-540-43422-4

[R3] Коксетер, HSM, «Симметричные комбинации трех или четырех полых треугольников», Math. Intelligencer , т. 16 (1994) 25-30. См. также Burgiel, H., Franzblau, D. S. и Gutschera, K.R., «The Mystery of the Linked Triangles», 9.0181 Математический журнал , т. 69 (1996) 94-102.

[R4] Кричлоу, Кейт, Исламские модели: аналитический и космологический подход , Нью-Йорк: книги Шокена, 1976. Перепечатка в мягкой обложке, Лондон: Темза и Гудзон, 1999.

[R5] Кромвель, Питер Р., «Кельтский узел: математическое искусство», Math. Intelligencer , т. 15 (1993) 36-47.

[R6] Данэм, Дуглас, «Преобразование гиперболических моделей Эшера», Visual Mathematics , т. 1, вып. 1, 1999.
http://members.tripod.com/vismath/pap.htm — n11 См. также эссе Данэма о веб-сайте Месяца осведомленности о математике 2003 года.

[R7] Филд, СП, Изобретение бесконечности: математика и искусство в эпоху Возрождения , Оксфорд: Оксфордский университет, 1997.

[R8] Гердес, Паулюс, Геометрия из Африки: математические и образовательные исследования , MAA, 1999.

[R9] Грюнбаум, Бранко, «Математические проблемы геометрии Эшера», в М. К. Эшер: Искусство и наука , HSM. Коксетер, М. Эммер, Р. Пенроуз и М.Л. Тойбер, ред., Амстердам: Северная Голландия, 1986, стр. 53–67.

[R10] Каппрафф, Джей, Связи , Геометрический мост между искусством и наукой , Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1991. Второе изд., Сингапур: World Scientific Publ. Co., 2002. http://www.nexusjournal.com/reviews_v4n4-Jablan.html.

[R11] Ли, Кевин, Калейдомания! , Key Curriculum Press.
http://www.keycollege.com/catalog/titles/kaleidomania.html

[R12] Ли, Кевин, Tessellation Exploration , Tom Snyder Productions.
http://www.tomsnyder.com/free_stuff/free_download.asp?PS=TESEXP

[R13] Петерсон, Иварс, Фрагменты бесконечности: калейдоскоп математики и искусства , Нью-Йорк: Wiley, 2001.
http://www.isama.org/book/fragments/biblio.html

[R14] Росс, Тери, Математика + Технология = Техника: Школа текстильного дизайна Джейн Барнс .
http://www.techexchange.com/thelibrary/jhanebarnes. html

[R15] Шаттшнайдер, Дорис, Видения симметрии: записные книжки, периодические рисунки и родственные работы М.К. Эшер , Нью-Йорк: WH. Фримен, 1990.

[R16] Шаттшнайдер, Дорис, «Метафоры Эшера», Scientific American , т. 271, вып. 5 (ноябрь 1994 г.) 66-71.

[R17] Шаттшнайдер, Дорис, «Комбинаторные модели Эшера», Electronic J. of Combinatorics , 4 (№ 2) (1997), # R17.
http://www.combinatorics.org/Volume_4/wilftoc.html

[R18] Шаттшнайдер, Дорис и Эммер, Мишель, ред. М.К. Наследие Эшера: Празднование столетия (с компакт-диском), Гейдельберг: Springer, 2003.
http://www.springer.de/cgi-bin/search_book.pl?isbn=3-540-42458-X

[R19] Шаттшнайдер, Дорис, и Долбилин, Николай, «Одной короны достаточно для евклидовой плоскости», В квазикристаллах и дискретной геометрии (Дж. Патера, редактор). Монографии Института Филдса, Vol. 10, AMS, Провиденс, Род-Айленд, 1998, стр. 207-246.

[R20] Сенешаль, Марджори, «Алгебраический Эшер», Structural Topology , т. 15 (1988) 31-42.

[R21] Сайкс, Мейбл, Сборник задач по геометрии , Пало-Альто: Dale Seymour Publ, 2000 (ориг. 1912).

Люди и условия

[P1] Джейн Барнс: http://www.jhanebarnes.com/

[P2] Джинни Бейер: http://www.jinnybeyer.com/(проверьте галерею Quilt)

[P3] Дэвид Брюстер: http://www.brewstersociety.com/brewster_bio.html

[P4] Пол Калтер: http://www.sover.net/~pcalter (см. эссе Калтера на веб-сайте MAM)

[P5] Брент Коллинз: http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/collins.html

[P6] Программное обеспечение Designer: http://www.weavemaker.com/

[P7] М.К. Эшер: http://www.mcescher.com/

[P8] Евклид: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

[P9] Хеламан Фергюсон: http://www.helasculpt.com/

[P10] Фрактальное искусство: Поиск в Google по запросу «фрактальное искусство» дает более 170 000 результатов. На многих сайтах есть красивые изображения.

[P11] Золотое сечение: при поиске в Google слов «золотое сечение», «золотое сечение» или «божественная пропорция» будет найдено более 360 000 результатов; много хорошего, но и много ошибочной и сфабрикованной информации на эту тему.

[P12] Джордж Харт: http://www.georgehart.com/sculpture/sculpture.html (см. эссе Харта на веб-сайте MAM)

[P13] Келли М. Хоул: http://www.kellymhoule.com/

[P14] Крокетт Джонсон: http://www.ksu.edu/english/nelp/purple/art.html

[P15] Наборы Мандельброта и Джулии: Google выдает 8000 совпадений по парным именам. http://www.geocities.com/fabioc дает элементарное обсуждение и фотографии

[P16] Паула Надельстерн: http://www.paulanadelstern.com/ (проверьте галерею лоскутных одеял)

[P17] Макото Накамура: http://www18.big.or.jp/%7Emnaka/work.html

[P18] Иштван Орос: http://www.geocities.com/SoHo/Museum/8716/index.html

[P19] Чарльз О. Перри: http://www.charlesperry.com/ (см. эссе Перри на веб-сайте MAM)

[P20] Марджори Райс: http://members.aol.com/tessellations

[P21] Джон Робинсон: http://www.johnrobinson.com/

[P22] Ринус Рулофс: http://www.rinusroelofs.nl/

[P23] Дик Термес: http://www.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт