Сочетательный закон сложения – правило

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 125.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 125.

Многие ученики путают понятия сочетательного закона сложения и сочетательного свойства сложения. Насколько это допустимо и как не путаться – разберемся вместе.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Сумма чисел

Сначала вспомним, что такое сумма чисел. Если два числа разбить на единицы, а потом все эти единицы свести в одно число, то получится сумма. Примерно так объясняют сумму в младших классах, иногда приводя примеры на сложение фруктов, конфет или канцелярских принадлежностей.

Такие объяснения правильны, но они не подходят для курса средней школы. Чем старше ученик, тем более глубокое и емкое определение ему нужно знать.

Поэтому в математике старших классов используют другое определение.

Сумма это движение числа по числовой прямой вправо. На самом деле, число может двигаться и влево, при сложении отрицательных чисел. Но принято говорить «вправо», поскольку такие суммы сначала преобразовываются в разность

Законы сложения

Законов сложения всего два. Это сочетательный и переместительный. Сочетательный закон гласит, если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое. Таким образом, можно складывать сколько угодно большие выражения. Применение этого свойства основано на сочетании слагаемых, откуда и взято это название.

Переместительный закон имеет следующую формулировку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Вне зависимости от того, как расположены слагаемые в примере, итоговое значение не изменится. Если подумать, то это логично. Какая разница, высыпать в корзину 10 фруктов, а потом еще 8 или сначала 8, а потом 10.

Разве количество фруктов в корзине от этого изменится? Конечно, нет.

Свойства сложения – это проявление простейшей логики в математике. Они доказывались опытным путем еще математиками Древней Греции. На сегодняшний день кажется невозможным не использовать их, поэтому свойства нужны скорее не для использования и запоминания, а для теоретического подтверждения того, что все и так знают. Ведь всеобщее знание – это не аргумент. в математике всегда нужно ссылаться на какие-то законы, аксиомы и теоремы, чтобы доказать правильность решения. При этом свойство и закон сложения – это одно и то же. Никакой разницы между ними нет.

Сочетательный закон

Сочетательный закон интересен тем, что может значительно ускорить выполнение сложения. Рассмотрим некоторые принципы быстрого счета, основанные на сочетательном законе.

• Проще всего человеку складывать десятки. Поэтому при сложении чисел, нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее. Это значительно упростит задачу. Например:

13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75

• Есть числа, которые складывать человеку тяжело в силу особенностей мышлений. Поэтому выполнения множества примеров направлено на то, чтобы значение сумм некоторых чисел запоминалось и выдавалось на автомате, как таблица умножения. Наиболее яркие примеры:

7+8=15

5+7=12

8+3=11

5+8=13

• По аналогии с десятками, дроби нужно группировать так, чтобы получались единицы. В первую очередь складываются дроби с одинаковыми знаменателями и с знаменателями, к которым можно быстро найти НОК. После этого ищутся и группируются дроби, которые в сумме дают целое число. Это касается как обыкновенных, так и десятичных дробей:

3,72-5+5,28+17,8+9,2 – иногда проще разделить целые и дробные части дробей, чтобы ускорить счет.

3,72-5+5,28+17,8+9,2=3+0,72-5+5+0,28+17+0,8+9+0,2=(3+5-5+17+9)+(0,72+0,28)+(0,8+0,2)=(3+17+9)+1+1=20+9+2=29+2=31

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое сумма. Узнали о двух основных свойствах сложения и выделили правило сочетательного закона сложения. Привели несколько способов быстрого счета, основанных на сочетательном законе сложения. Рассмотрели несколько простых примеров.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Татьяна Ивановна

  7/10

• Данил Лазарев

  7/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 125.

---

А какая ваша оценка?

Урок математики (2 класс) «Законы сложения»

Тема урока: Переместительный и сочетательный законы сложения.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: ознакомить учащихся с законами сложения.

Задачи урока:

1. Ознакомить учащихся с переместительным и сочетательным законами сложения

2.Учить применять законы сложения для рационализации вычислений

3. Продолжить работу над решением задач на нахождение периметра прямоугольника

4.Развивать вычислительные навыки, логическое мышление, интерес к математике как к учебному предмету

5.Воспитывать чувство товарищества, умение доводить начатое до конца

Оборудование: проектор, компьютер, мультимедийное приложение к учебнику «Математика», презентация к уроку.

Ход урока:

1.Организационный момент

Проверили готовность к уроку.

2.Проверка домашнего задания

-Что было задано?

-Нужно было составить задачу по краткой записи и решить ее, также найти значение выражений.

-Каким действием решили задачу? Почему?

-Решили задачу сложением, потому что было больше, чем продали и осталось.

-Прочитайте решение, ответ. Проверим выражения.

-У кого нет ошибок при выполнении домашнего задания?

-Отступаем от домашней работы 4 клеточки и записываем число, классная работа.

По-прежнему не всем удается красиво писать цифру 8. Потренируемся в написании этой цифры.

Обведите карандашом самую красивую 8. Кто считает, что цифры получились очень хорошо?

Физминутка

3.Сообщение темы и постановка цели урока

Для того, чтобы узнать тему нашего урока мы должны расшифровать ее. Вы будете работать в группах по 4 человека. Вы получаете шифровку, расшифровав которую вы получите толь часть задания. И только когда все шифры будут расшифрованы, сложив их вместе, вы сможете узнать нашу тему.

1 группа: 12-7= 9+8= 11-3= ЗАК	2 группа 5+6= 11-4= 16-7= ОНЫ	3 группа 18-8= 15-9= 13-2= СЛО	4 группа 84-80= 37-7= 14-4= ЖЕН	5 группа 42-40= 59-9= 9+6= ИЯ.	6 группа 25-20= 9-6= 11-2= 6-5= 6+8= 10+9= 8-4=
З  А   К  О  Н  Ы   С   Л   О   Ж  Е   Н   И   Я    .					И  З  У  Ч  А     Е    М
5 17  8 11 7   9    10  6  11  4   30  7  2    50  15					5   3  9  1  14  19  4

Вы  расшифровали части шифровки, а теперь давайте сложим запись целиком. Что получили?

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ

Итак, тема нашего урока – Законы сложения

Посмотрим на доску:

1.                                          2.

5+3 = 3+5                  (3+5)+2=3+(5+2)

9+2 = 2+9                   (2+7)+3=2+(7+3)

-Чем интересны эти выражения? Что вы в них видите необычного?

-Знак равенства, одинаковые слагаемые с каждой стороны.

-Что изменяется в записях?

-Порядок слагаемых, скобки.

-Как вы думаете, что мы сегодня на уроке должны доказать, узнать? Какая задача стоит перед нами?

-Мы должны узнать почему стоит знак равенства, доказать, что складывать числа можно в любом порядке.

Давайте откроем учебник и прочитаем нашу задачу на урок. Страница 44.

Итак, что мы должны сделать на этом уроке?

-Мы должны доказать, что числа можно складывать в любом порядке.

-Мы познакомимся с законами сложения и научимся их применять при решении выражений и задач.

4.Подготовка к изучению нового материала. Актуализация знаний.

Можно ли сказать, что все записи на доске вам не знакомы, может быть, один из законов сложения вы знаете?

-Да, мы знаем 1 закон сложения.

Как он звучит?

-От перестановки слагаемых сумма не меняется.

В каких случаях и для чего его удобно применять?

-Когда первое слагаемое меньше второго. К большему числу легче прибавлять меньшее.

Давайте поупражняемся в применении этого закона. Посмотрите на выражения, запишите  их рационально, т.е. удобно и вычислите.

1+17=17+1                   4+10=10+4

2+9=9+2                       3+16=16+3

Проверка и оценка первых 3 человек, сделавших первыми.

Проверка фронтально. Один ученик читает свой вариант, класс анализирует, получилось ли вычислить рационально. Самооценка.

У кого получилось выполнить рационально?

Посмотрите на запись выражений. Что происходит со слагаемыми?

-Они меняются местами.

То есть слагаемые перемещаются, поэтому этот закон называется ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ.

5.Изучение нового материала

А теперь обратимся к выражениям второго столбика и познакомимся со вторым законом сложения.

Может быть, вы сможете объяснить, почему верны эти записи?

  2.

(3+5)+2=3+(5+2)

(2+7)+3=2+(7+3)

Посмотрите, чем отличаются эти выражения, от выражений первого столбика?

-3 слагаемых

А что происходит со слагаемыми?

-Они сгруппированы по-разному.

Может быть, кто-нибудь сможет сделать вывод?

Давайте попросим наш компьютер помочь нам сформулировать это закон.

1.Смотрим первый сюжет про шарики до конца.

4+2+3=4+2+3

Как считали мальчики?

-Петя (4+2)+3 Паша 4+(2+3).

Что они делали по-разному?

-Они по-разному группировали шарики.

Почему можно по-разному группировать шарики?

-Потому что сумма шариков остается неизменной.

Может быть, вы сможете сформулировать закон сложения?

-Слагаемые можно группировать по-разному.

Правильно слагаемые можно группировать или по-научному СОЧЕТАТЬ по-разному. Может быть,скажете как называется это закон? СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ.

2.Смотрим второй сюжет и попробуем закончить самостоятельно.

Зачитывается только условие, у вас на партах листочки с этим заданием, попробуйте сосчитать мячи по-разному, применив сочетательный закон.

На доске: 2+1+4=2+1+4

Ученик выходит и расставляет скобки в выражениях, в соответствии с сочетательным законом. Что мы с вами делали?

-Группировали или сочетали слагаемые по-разному.

Получали ли мы одинаковую сумму? –Да.

Кто может сформулировать сочетательный закон?

Слагаемые можно группировать по-разному.

Давайте проверим по компьютеру, правильно ли мы сосчитали мячи. Досматриваем сюжет до конца.

А теперь нам нужно разобраться, зачем нам нужен этот закон сложения.

Посмотрите на выражения, давайте их решим:

Запись в тетради.

9+7+1=(9+1)+7

8+9+2+1=(8+2)+(9+1)

7+1+2+9+3=(7+3)+(9+1)+2

Сначала решаем так, как написано, а затем с применением сочетательного закона. Выясняем, что при применении сочетательного закона, считать легче и быстрее. Делаем вывод: законы сложения нужны для того, чтобы легче было считать.

Давайте посмотрим, что скажет наш компьютер, и прочитаем вывод в учебнике на странице 44.

Физминутка.

6.Первичное закрепление знаний

Откройте Рабочую тетрадь стр.35 №21(2)

Запишем эти выражения в тетрадь и вычислим по-разному:

1. так как написано

2.с применением переместительного закона

3. с применением сочетательного закона

6+7+4+3=6+4+7+3=(6+4)+(7+3)

Выполняем столько выражений, сколько успеем.

Итог:

Что мы научились делать?

-Рационально, удобно считать.

С какими законами сложения познакомились?

-С переместительным и сочетательным.

Сформулируйте эти законы.

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Слагаемые можно группировать (сочетать) по-разному.

Вы будете пользоваться этими законами на протяжении всей жизни, они помогают быстро считать.

Как вы думаете, можно ли применить эти законы при решении задачи? –да.

Давайте попробуем.

7.Работа над задачей

Страница 45, №5.

Найдите периметр прямоугольника со сторонами 30 мм и 20 мм.

Что нам нужно вспомнить для решения этой задачи?

-Что такое периметр. Это сумма длин всех сторон.

Как найти периметр четырехугольника?

-Нужно сложить длины всех сторон.

Запишем решение:

30+20+30+20=

Применим законы сложения. Выберите сами, как вам удобно считать.

Проверяем, ученики читают свои решения и называют примененный закон.

Что еще нам нужно сделать?

-Выразить ответ в см. 100мм=10см

Запишем ответ: периметр равен 10 см.

8.Итог урока, домашнее задание

С какими законами познакомились?

-Переместительным и сочетательным.

Сформулируйте эти законы.

Зачем нам нужно знать законы сложения?

Где можно применять эти законы?

Дома вы выучите правила на странице 44, закончите № 21 по рабочей тетради так, как делали в классе.

9.Рефлексия.

Те ребята, кто считает, что очень хорошо поработал на уроке и все понял, поднимите красную полоску, кто считает, что еще не очень хорошо разобрался – зеленую.

Мы с вами еще будем работать с этими законами и даже если сегодня не все получилось, обязательно получится на следующих уроках.

 

Ассоциативное свойство

— определение, примеры

Ассоциативное свойство в математике утверждает, что при сложении или умножении чисел способ, которым числа сгруппированы скобками (круглыми скобками), не влияет на их сумму или произведение. Ассоциативность применима к сложению и умножению. Давайте узнаем больше об ассоциативном свойстве на нескольких решенных примерах.

1.	Что такое ассоциативное свойство?
2.	Ассоциативное свойство дополнения
3.	Ассоциативное свойство умножения
4.	Проверка ассоциативного свойства
5.	Часто задаваемые вопросы по ассоциативному свойству

Что такое ассоциативное свойство?

Согласно Ассоциативное свойство , при сложении или умножении 3 или более чисел результат (сумма или произведение) остается тем же, даже если числа сгруппированы по-другому. Здесь группировка осуществляется с помощью скобок. Это можно выразить как a × (b × c) = (a × b) × c и a + (b + c) = (a + b) + c.

Определение ассоциативного закона

Ассоциативный закон, применимый только к сложению и умножению, гласит, что сумма или произведение любых 3 или более чисел не зависит от того, как числа сгруппированы скобками. Другими словами, если одни и те же числа сгруппировать по-разному для сложения и умножения, их результат останется тем же.

Формула ассоциативности сложения и умножения выражается так:

Рассмотрим подробно ассоциативность сложения и умножения на примерах.

Ассоциативное свойство дополнения

В соответствии с ассоциативным свойством сложения сумма трех и более чисел остается неизменной независимо от способа группировки чисел. Предположим, у нас есть три числа: a, b и c. Для них ассоциативное свойство сложения будет выражаться следующей формулой:

Ассоциативное свойство формулы сложения:

(A + B) + C = A + (B + C)

Поясним это на примере.

Пример : (1 + 7) + 3 = 1 + (7 + 3) = 11. Если мы решим левую часть, мы получим 8 + 3 = 11. Теперь, если мы решим правую- С другой стороны, мы получаем 1 + 10 = 11. Следовательно, мы можем видеть, что сумма остается той же, даже если числа сгруппированы по-другому.

Ассоциативное свойство умножения

Ассоциативное свойство умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как эти числа сгруппированы. Ассоциативное свойство умножения можно выразить с помощью следующей формулы:

Ассоциативное свойство умножения Формула:

(A × B) × C = A × (B × C)

Поясним это с помощью следующий пример.

Пример : (1 × 7) × 3 = 1 × (7 × 3) = 21. Когда мы решим левую часть, мы получим 7 × 3 = 21. Теперь, когда мы решим правую часть стороны, мы получаем 1 × 21 = 21. Следовательно, можно видеть, что произведение чисел остается одним и тем же независимо от различной группировки чисел.

Проверка ассоциативного права

Попробуем обосновать, как и почему свойство ассоциативности справедливо только для операций сложения и умножения. Мы будем применять ассоциативный закон индивидуально к четырем основным операциям.

• Для сложения : Ассоциативный закон сложения выражается как (A + B) + C = A + (B + C). Итак, давайте заменим эту формулу числами, чтобы проверить ее. Например, (1 + 4) + 2 = 1 + (4 + 2) = 7. Следовательно, к сложению применимо свойство ассоциативности.
• Для вычитания : Давайте попробуем использовать формулу ассоциативного свойства в вычитании. Это можно выразить как (A — B) — C ≠ A — (B — C). Теперь давайте проверим эту формулу, подставив в нее числа. Например, (1 — 4) — 2 ≠ 1 — (4 — 2), т. е. -5 ≠ -1. Поэтому мы говорим, что свойство ассоциативности неприменимо к вычитанию.
• Для умножения : Ассоциативный закон умножения задается как (A × B) × C = A × (B × C). Например, (1 × 4) × 2 = 1 × (4 × 2) = 8. Следовательно, можно сказать, что свойство ассоциативности применимо к умножению.
• Для подразделения : Теперь давайте попробуем использовать формулу ассоциативного свойства для деления. Это можно выразить как (A ÷ B) ÷ C ≠ A ÷ (B ÷ C). Например, (9 ÷ 3) ÷ 2 ≠ 9 ÷ (3 ÷ 2) = 3/2 ≠ 6. Таким образом, мы видим, что свойство ассоциативности неприменимо к делению.

☛ Связанные статьи

• Ассоциативное свойство дополнительных рабочих листов
• Распределительное свойство умножения
• Коммутативное свойство
• Распределительная собственность
• Свойство аддитивной идентичности

 

Примеры ассоциативных свойств

1. Пример 1: Если 3 × (6 × 4) = 72, то найдите произведение (3 × 6) × 4, используя свойство ассоциативности.

   Решение:

   Поскольку умножение удовлетворяет формуле ассоциативного свойства, (3 × 6) × 4 = 3 × (6 × 4) = 72

2. Пример 2: Найдите x , используя формулу ассоциативного свойства: 2 + ( x + 9) = (2 + 5) + 9

   Решение:

   Поскольку сложение удовлетворяет ассоциативному свойству, (2 + 5) + 9 = 2 + ( х + 9) = (2 + х ) + 9. Итак, значение х равно 5,

3. Пример 3: Если 2 × (3 × 5) = 30, найдите произведение (2 × 3) × 5, используя свойство ассоциативности.

   Решение:

   Формула ассоциативного свойства выражается как (A × B) × C = A × (B × C)
   Дано = 2 × (3 × 5) = 30
   Используя формулу ассоциативного свойства, мы можем оценить (2 × 3) × 5,
   . Чтобы проверить: (2 × 3) × 5 = 30 или нет, сначала решим члены в скобках, а затем умножим их на число, указанное снаружи.
   = 6 × 5
   = 30
   Следовательно, 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5 = 30,

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по ассоциативным свойствам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по ассоциативному свойству

Что такое ассоциативное свойство в математике?

Ассоциативное свойство в математике — это свойство чисел, согласно которому сумма или произведение трех или более чисел не изменяется, если их сгруппировать другим образом. Другими словами, если мы сложим или умножим три или более чисел, мы получим один и тот же ответ независимо от порядка скобок. Ассоциативность в математике применима только к двум основным операциям, то есть к сложению и умножению.

Что такое ассоциативное свойство сложения?

Формула ассоциативного свойства сложения гласит, что сумма трех или более чисел остается неизменной независимо от способа группировки чисел. Формула ассоциативного свойства, применимая к сложению, выражается как (А + В) + С = А + (В + С).

Что такое ассоциативное свойство умножения?

Формула ассоциативного свойства для умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как эти числа сгруппированы. Формула ассоциативного свойства для умножения выражается как (A × B) × C = A × (B × C).

Что такое формула ассоциативных свойств для рациональных чисел?

Формула ассоциативного свойства для рациональных чисел может быть выражена как (A + B) + C = A + (B + C) в случае сложения, и, (A × B) × C = A × (B × C) в случае умножения. Здесь значения A, B и C представлены в виде p/q, где q ≠ 0. Формула ассоциативного свойства действительна только для сложения и умножения.

Какие две операции удовлетворяют условию ассоциативности?

Две операции, удовлетворяющие условию ассоциативности, — это сложение и умножение. Это означает, что ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению.

Приведите пример ассоциативного свойства умножения.

Ассоциативность умножения можно понять на примере. Умножим любые три числа (4 × 6) × 10, получим произведение 24 × 10 = 240. Сгруппируем эти числа как 4 × (6 × 10), по-прежнему получим произведение 4 × 60 = 240. Это подтверждает ассоциативное свойство умножения, согласно которому произведение чисел остается одним и тем же, даже если они сгруппированы по-разному.

Что является примером ассоциативного закона сложения?

Ассоциативный закон сложения можно понять на примере любых трех чисел. Прибавим (4 + 2) + 10, получим сумму 6 + 10 = 16. Теперь, если мы сгруппируем эти числа как 4 + (2 + 10), мы все равно получим сумму 4 + 12 = 16. Это доказывает ассоциативное свойство сложения, которое гласит, что сумма чисел остается неизменной, даже если они сгруппированы по-разному.

Чем ассоциативное свойство отличается от коммутативного?

Ассоциативное свойство утверждает, что сумма или произведение трех или более чисел не изменяется, если они сгруппированы по-другому. Это ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению. Это выражается как (A + B) + C = A + (B + C) и (A × B) × C = A × (B × C). Коммутативное свойство утверждает, что изменение порядка операндов не меняет результат арифметической операции. Это коммутативное свойство применимо к сложению и умножению. Это выражается как A × B = B × A и A + B = B + A.

Что такое ассоциативный закон и распределительный закон?

Ассоциативный закон гласит, что независимо от того, как мы группируем числа при сложении и умножении, сумма или произведение остается одним и тем же. Например, если мы добавим (5 + 7) + 10, мы получим 22. Теперь, если мы изменим группировку чисел как 5 + (7 + 10), мы все равно получим 22. Это то, что утверждает ассоциативный закон. Согласно распределительному закону, выражение, заданное в виде A (B + C), может быть решено как A × (B + C) = AB + AC. Этот распределительный закон также применим к вычитанию и выражается как А (В — С) = АВ — АС. Это означает, что операнд А распределяется между двумя другими операндами.

Как работает ассоциативный закон?

Ассоциативный закон применим к сложению и умножению. В нем говорится, что даже если изменить группировку чисел, это не повлияет на сумму или произведение. Например, если мы умножим 5 × (2 × 3), мы получим 5 × (6) = 30. Теперь, если мы сгруппируем числа как (5 × 2) × 3, мы снова получим (10) × 3 = 30. Теперь применим этот закон к сложению. Например, если мы добавим 8 + (3 + 4), мы получим 15. Теперь, если мы изменим группировку этих чисел как (8 + 3) + 4, мы все равно получим 15. Вот как действует ассоциативный закон на сложение и умножение.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы свойств умножения

Ассоциативное свойство сложения — определение, формула, примеры

Определение:

«Связать» означает соединить или соединить с чем-либо.

Согласно ассоциативному свойству сложения сумма трех и более чисел остается неизменной независимо от того, как эти числа сгруппированы.

Вот пример того, как сумма НЕ меняется независимо от того, как сгруппированы слагаемые.

Как видно из приведенного выше примера, группировка определяется скобками. Группируем ли мы 5 и 3 или 3 и 4 в круглых скобках, окончательная сумма равна 12. Вы можете проверить окончательный результат, проверив цветные блоки, которые остаются одинаковыми в обоих случаях.

Общий случай:

Для любых трех чисел a,b и c

a + (b + c) = (a + b) + c  

т. е. при сложении можно группировать числа в любой комбинации.

Возьмем другой пример, чтобы понять и доказать формулу.

Сгруппируем 14 + 7 + 5 двумя способами.

• Шаг 1. Мы можем сгруппировать набор чисел двумя способами: (14 + 7) + 5 или 14 + (7 + 5).
• Шаг 2: Сложите первый набор чисел, то есть (14 + 7) + 5. Далее это можно решить как 21 + 5 = 26.
• Шаг 3: Добавьте второй набор, т. е. 14 + (7 + 5) = 14 + 12 = 26.
• Шаг 4. Сумма обоих выражений равна 26. 

Это показывает, что сумма остается неизменной независимо от того, как мы группируем числа с помощью скобок.

Минимальные числа, требуемые для ассоциативного свойства сложения, равны 3. Однако ассоциативное свойство сложения справедливо и для более чем трех чисел.

Ассоциативное свойство наряду с другими свойствами в математике полезно при работе с уравнениями и их решениями.

Родственные игры

• Ассоциативность сохраняется и для умножения, т. е. для любых трех чисел a, b и c a $\times$ (b $\times$ c) = (a $\times$ b) $\ раз$ c

Пусть a = 2, b = 3, c = 4

a $\times$ (b $\times$ c) = 2 $\times$ (3 $\times$ 4) = 2 $\times$ 12 = 24

(a $\times$ b) $\times$ c = (2 $\times$ 3) $\times$ 4 = 6 $\times$ 4 = 24

Следовательно, a $\times$ ( b $\times$ c) = (a $\times$ b) $\times$ c 

• Ассоциативность для вычитания не выполняется. Давайте посмотрим на пример

Пусть a = 2, b = 3, c = 4

a- (b – c) = 2 – (3 – 4) = 3

(a – b) -c = (2 – 3) – 4 = -53

Следовательно, свойство ассоциативности для вычитания не выполняется.

• Ассоциативное свойство не подлежит разделению. Давайте посмотрим на пример

a $\div$ (b $\div$ c) = 2 $\div$ (3 $\div$ 4) = 2,67

(a $\div$ b) $\div$ c = (2 $ \div$ 3) $\div$ 4 = 5,97 $\neq$ 2,67

Следовательно, для деления свойство ассоциативности не выполняется.

Связанные рабочие листы

Решенные примеры

1. Является ли (5 + 10) + 4 таким же, как 5 + (10 + 4)?

Ответ: Да. Решим и проверим:

(5 + 10) + 4 = 15 + 4 = 19

И, 5 + (10 + 4) = 5 + 14 = 19

Если сгруппировать эти три числа по-разному, то получим те же ответы.

2. Вставьте пропущенные числа:

21 + (45 + 36) = (21 + 45) + _ = _

Ответ. (45 + 36) = (21 + 45) + 36 = 102

3. Найдите x, используя формулу ассоциативного свойства: (2 + 3) + x = 2 + (3 + 6)

Ответ: Дано,   (2 + 3) + x = 2 + (3 + 6)

По свойству ассоциативности Кроме того, LHS = RHS,

Следовательно, 5 + x = 2 + 9

Или 5 + x = 11

Или x = 6

Практические задачи

1

Выберите правильный вариант, чтобы заполнить пропуск: 20 долларов + (7 + 4) = (20 + \underline{} ) + 4$

27

11

7

4

Правильный ответ: 7
Используя ассоциативное свойство сложения,
20$ + (7 + 4) = (20 + 7) + 4$

2

Какое из этих уравнений верно?

12$ + (18 + 16) = (12 + 18) + 16$

11$ — 2 + 1 = 11 — (2 + 1)$

2$ + 3 + 1 = 2 + 3 — 1$

78$ — 70 + 1 = 78 + 70 — 1$

Правильный ответ: 12$ + (18 + 16) = (12 + 18) + 16$
Ассоциативность справедлива только для сложения и умножения.
Это свойство неприменимо к вычитанию, поэтому остальные уравнения неверны.

3

Что из следующего является примером ассоциативного свойства сложения?

$(2 + 3) + 5 = (2 + 3) * 5$

$(2 + 3) + 5 = 2 x (3 + 5)$

$(4 — 5) — 6 = 4 — (5 — 6)$

$(9 + 10) + 11 = 9 + (10 + 11)$

Правильный ответ: $(9 + 10) + 11 = 9 + (10 + 11)$
Ассоциативность актуальна только для сложения и умножения.
Это свойство неприменимо к вычитанию, поэтому остальные уравнения неверны.

4

Какое из этих уравнений верно?

$(2 + 3) + 6 = 2 * (3 + 6)$

$(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6)$

$(7 — 10) — 15 = 7 — (10 — 15)$

$(9 ÷ 3) ÷ 3 = 9 ÷ (3 ÷ 3)$

Правильный ответ: $(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6)$
Ассоциативность актуальна только для сложения и умножения. Это свойство неприменимо к вычитанию, поэтому остальные уравнения неверны.

Заключение

Вы родитель или учитель? Хотите превратить изучение математики в увлекательное занятие для ваших детей? Присоединяйтесь к SplashLearn, творческой и полноценной обучающей платформе бесплатно!

Часто задаваемые вопросы

Сколько чисел требуется для применения ассоциативного свойства сложения?

Для применения ассоциативного свойства сложения требуется минимум три числа.