§ Свойства сложения и вычитания
Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.
В 5 классе законы арифметики записываются с помощью буквенных выражений. Поэтому теперь мы рассмотрим эти и другие свойства в виде буквенных выражений.
Свойства сложения
Переместительное свойство сложения
Запомните!От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде свойство записывается так:
a + b = b + a
В этом равенстве буквы «a» и «b» могут принимать любые натуральные значения и значение 0.
Сочетательное свойство сложения
Запомните!Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
В буквенном виде:
(a + b) + c = a + (b + c)
Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены скобки, то скобки можно не ставить и писать просто «a + b + с».
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют сформулировать правило преображения сумм.
Запомните!При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и переставлять.
Свойство нуля при сложении
Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.
Запомните!Если к числу прибавить нуль, получится само число.
a + 0 = 0 + a = a
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Запомните!Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) − c
или
a − (b + c) = (a − с) − b
Скобки в выражении «(a − b) − c» не имеют значения и их можно опустить.
(a − b) − c = a − b − c
Свойство вычитания числа из суммы
Запомните!Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) − c = (a − c) + b (если a > c или а = с)
или
(a + b) − c = (b − c) + a (если b > c или b = с)
Свойство нуля при вычитании
Запомните!Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a − 0 = a
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a − a = 0
Cочетательное свойство умножения. Cочетательное свойство сложения и умножения.
Запишем это свойство:
\((a*b)*c=a*(b*c)\)
То есть данное свойство предоставляет право выбора выполнения действия при умножении, то есть позволяет выбирать более легкий способ решения.
Пример 1. Вычислите
- \(25*(4*237)\)
- \(125*(8*89)\)
- \(20*(5*543)\)
Решение:
- \(25*(4*237)=(25*4)*237=100*237=23\;700\)
- \(125*(8*89)=(125*8)*89=1000*89=89\:000\)
- \(20*(5*543)\)\(=(20*5)*543=100*543=54\;300\)
Данное свойсвто можно применять разложив один из множителей на множители.
Пример 2. Вычислите
- \(25*48\)
- \(125*72\)
- \(20*55\)
Решение:
- \(25*48=25*4*12=100*12=1\;200\)
- \(125*72=125*8*9=1\;000*9=9\;000\)
- \(20*55=20*5*11=100*11=1\;100\)
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявкуМГУ им. А.А.Кулешова
Проведенных занятий:
Форма обучения:Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-11 классов. Стараюсь заинтересовать ученика, показывая, где и как могут быть применены знания в жизни. Учу их рассуждать и делать верные выводы. При обучении достаточно часто использую задачи, требующие нестандартного решения.
Репетитор по математике
Абаканский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Барановичский государственный университет
Проведенных занятий:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по математике 1-4 классов. Сложной математика кажется только на первый взгляд. Немного желания и внимания — и все становится понятным, а самое главное хочется изучать дальше. Математика развивает логику и мышление, а значит помогает во всех сферах нашей жизни. Сделаю математику понятной и интересной для вашего ребенка, учитывая его индивидуальность.
Математика по Skype
- — Индивидуальные занятия
- — В любое удобное для вас время
- — Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
Записаться на бесплатный урок
50 х 15 Э | 600 : 10 О | 70 х 8 Л | 480 : 2 Г | 500 х 10 И | 800 – 70 Я | 1200 : 100 О | 377 | 60 | 560 | 12 | 240 | 5000 | 730 |
Проверочная работа «Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения»
Тема: « Переместительное и сочетательное свойства сложения и
умножения»
1 вариант
1. Сформулируй и запиши переместительное свойство сложения.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
2. Продолжи правило.
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Такое свойство называется ________________________________
________________________________________________________
3. Запишите выражения, переместительное свойство умножения.
16 х 20=______________ 2 х 500= ___________________
3215 х 7= _____________ 8 х 1340= __________________
4. Запишите выражение, равное данному, используя сочетательное
свойство сложения.
( 68 + 36 ) + 48 = _________________________________________
( 1700 + 624 ) + 3715 = ____________________________________
5. Проведи подходящие линии
а + b = b + a переместительное свойство умножения
( a*b)*с = a *( b*c) сочетательное свойство сложения
a * b = b * a переместительное свойство сложения
( a+b)+с = a +( b+c) сочетательное свойство умножения
Тема: « Переместительное и сочетательное свойства сложения и
умножения»
2 вариант
1. Сформулируй и запиши переместительное свойство умножения.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
2. Продолжи правило.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Такое свойство называется ________________________________
________________________________________________________
3. Запишите выражения, переместительное свойство сложения.
528 + 64=______________ 961+1008= ___________________
9265+ 57= _____________ 164+ 6340= __________________
4. Запишите выражение, равное данному, используя сочетательное
свойство умножения.
( 2 х 46 ) х 5 = ___________________________________________
( 30 х 9 ) х 3 = ___________________________________________
5. Проведи подходящие линии
а + b = b + a переместительное свойство умножения
( a*b)*с = a *( b*c) сочетательное свойство сложения
a * b = b * a переместительное свойство сложения
( a+b)+с = a +( b+c)
Сочетательное свойство сложения и умножения примеры. Сочетательное свойство умножения конспект урока
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель: учить упрощать выражение, содержащее только действия умножения.
Задачи (Слайд 2):
- Познакомить с сочетательным свойством умножения.
- Формировать представление о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.
- Развивать представления в возможности решения «жизненных» задач средствами предмета «математика».
- Развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.
- Развивать организационные общеучебные умения, в том числе умения самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя, находить и исправлять собственные ошибки.
Тип урока: изучение нового материала.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Устный счёт. Математическая разминка.
Строка чистописания.
3. Сообщение темы и задач урока.
4. Подготовка к изучению нового маериала.
5. Изучение нового материала.
6. Физкультминутка
7. Работа по закреплению н. м. Решение задачи.
8. Повторение пройденного материала.
9. Итог урока.
10. Рефлексия
11. Домашнее задание.
Оборудование: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.
II. Устный счёт
– Посчитаем устно:
1) «Весёлые ромашки» (Слайды 3-7 таблица умножения)
2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее» (Слайд 8)
- 485 45 864 947 670 134 (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 – двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4).
- 9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 – однозначное, 22 не делится на 9)
Строка чистописания. Прописать в тетради
числа, чередуя: 45 22
670 9
– Подчеркнуть самую аккуратную запись числа
III. Сообщение темы и задач урока. (Слайд 9)
– Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока
IV. Подготовка к изучению нового материала
а) Верно ли выражение
На доске запись:
(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7
– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)
– Какую возможность даёт сочетательное
свойство?
Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок.
43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17
– Какие свойства сложения мы применяются в данном случае?
Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок. При этом вычисления можно выполнять в любом порядке.
– В таком случае как называется ещё одно свойство сложения? (Переместительное)
– Вызывает ли это выражение затруднение? Почему?(Мы не умеем умножать двузначное число на однозначное)
V. Изучениенового материала
1) Если мы будем выполнять умножение в том порядке, в каком записаны выражения, то возникнут трудности. Что же поможет нам снять эти трудности?
(2 * 6) * 3 = 2 * 3 * 6
2) Работа по учебнику с. 70, № 305 (Выскажи своё предположение о результатах, которые получат Волк и Заяц. Проверь себя, выполнив вычисления).
3) № 305. Проверь, равны ли значения выражений. Устно.
Запись на доске:
(5 2) 3 и 5 (2 3)
(4 7) 5 и 4 (7 5)
4) Сделай вывод. Правило.
Чтобы произведение двух чисел умножить на
третье число, можно первое число умножить на
произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на
примерах
5) Коллективная работа
На доске: (8 3) 2, (6 3) 3, 2 (4 7)
VI. Физминутка
1) Игра «Зеркало». (Слайд 10)
Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.
2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».
– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов против часовой стрелки.
VII. Закрепление изученного
1)Работа по учебнику. решение задачи. (Слайд 11)
(с. 71, № 308) Прочитайте текст. Докажите, что это
задача. (Есть условие, вопрос)
– Выделите условие, вопрос.
– Назовите числовые данные. (Три, 6,
трёхлитровые)
– Что они обозначают? (Три ящика. 6 банок, в
каждой банке по 3 литра сока)
– Какая это задача по структуре? (Составная
задача, т. к. нельзя сразу ответить на вопрос
задачи или для решения требуется составление
выражения)
– Тип задачи? (Составная задача на
последовательные действия))
– Решите задачу без краткой записи составлением
выражения. Для этого используйте следующую
карточку:
Карточка-помощница
– В тетради решение задачи можно оформить следующим образом: (3 6) 3
– Можем ли мы решить задачу в таком порядке?
(3 6) 3 = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л).
3 (3 6) = (3 3) 6 = 9 6 = 54 (л)
Ответ: 54 литра сока во всех ящиках.
2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд 12)
– Поставь знаки, не вычисляя:
(15 * 2) *4 15 * (2 * 4) (–Какое свойство?)
(8 * 9) * 6 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 1 * (2 * 3)
(3 * 4) * 2 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 (4 * 2) * 3
Проверка: (Слайд 13)
(15 * 2) * 4 = 15 * (2 * 4)
(8 * 9) * 6 > 7 * (9 * 6)
(428 * 2) * 0 (3 * 4) * 2 > 3 + 4 + 2
(2 * 3) * 4 = (4 * 2) * 3
3) Самостоятельная работа (по учебнику)
(с. 71, № 307 – по вариантам)
1 в. (8 2) 2 = (6 2) 3 = (19 1) 0 =
2 в. (7 3) 3 = (9 2) 4 = (12 9) 0 =
Проверка:
1 в. (8 2) 2 = 32 (6 2) 3 = 36 (19 1) 0 = 0.
2 в. (7 3) 3 = 63 (9 2) 4 = 72 (12 9) 0 = 0
Свойства умножения: (Слайд 14).
- Переместительное свойство
- Сочетательное свойство
– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд 15).
- Чтобы быстро считать
- Выбирать рациональный способ счета
- Решать задачи
VIII. Повторение пройденного материала. «Ветряные мельницы». (Слайд 16, 17)
- Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три числовых выражения (1 вариант)
- Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три числовых выражения (2 вариант)
485
+ 38
523583
+ 38
621681
+ 38
719583
– 38
545545
– 38
507507
– 38
469
Учащиеся выполняют задания по вариантам (двое учащихся решают задания на дополнительных досках).
Взаимопроверка.
IХ. Итог урока
– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного
свойства умножения?
Х. Рефлексия
– Кто считает, что понял смысл сочетательного
свойства умножения? Кто доволен своей работой на
уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы
довольны своей работой, то поставьте руки на
локти и покажите мне ладошки. А если вы были
чем-то расстроены, то покажите мне обратную
сторону ладошки.
XI. Информация о домашнем задании
– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?
По выбору:
1. Выучить правило с. 70
2. Придумать и записать выражение на новую тему с
решением
Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.
Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .
Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).
Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
(ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .
Например, верны равенства:
abc = cba,
17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).
На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.
Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.
С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).
Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:
a(b + c) = ab + ac
Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что
ab + ac = a(b + c).
Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:
P = 2 (a + b).
Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то
a(b − c) = ab − ac
Пример 1 . Вычислите удобным способом:
1 ) 25 * 867 * 4 ;
2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .
1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:
25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .
2 ) Имеем:
329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .
Пример 2 . Упростите выражение:
1 ) 4 a * 3 b;
2 ) 18 m − 13 m.
1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:
4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.
2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:
18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.
Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.
Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:
5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .
Такое преобразование называют раскрытием скобок .
Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .
Решение. Имеем:
125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .
Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .
Решение. Имеем:
3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.
При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:
3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.
Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .
Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).
Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.
Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .
Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .
Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.
Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания.
Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.
Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .
Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .
Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.
В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.
Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел
I. Орг.момент
Учитель просит учащихся заполнить таблицу на начало урока и после выполнения каждого задания отмечать в ней результаты согласно дескрипторам.(Слайд 1)
(Приложение 1)
II. Актуализация знаний
а) Повторение ранее изученного материала: сложение, вычитание и умножение положительных и отрицательных чисел. Выполняют устные упражнения, записывают ответ на ламинированных листах, затем сверяются с правильным ответом, отмечая в тетради. (Слайды 2,3)
Дескрипторы:
Ø Выполняет сложение положительных и отрицательных чисел для каждого задания;
Ø Выполняет вычитание положительных и отрицательных чисел для каждого задания;
Ø Выполняет умножение положительных и отрицательных чисел для каждого задания.
б) Учитель даёт задание на упрощение выражений (решать не надо), т. е. организует погружение в проблему. (Слайд 4)
Затем просит учащихся определить о чем будет идти речь на уроке и какова цель урока. После обсуждения записывают в тетради тему урока и цель обучения. (Слайды 5,6)
III. Работа над новым материалом
Для изучения новой темы необходимо вспомнить материал, который изучался ранее.
Учащиеся вспоминают формулы переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, работая по презентации. (Слайд 7)
— переместительное свойство относительно сложения;
— переместительное свойство относительно умножения;
— сочетательное свойство относительно сложения;
— сочетательное свойство относительно умножения.
Для того, чтобы отработать полезные выражения для диалогов и
письма учитель предлагает выполнить в парах задание на восстановления пропущенных слов.
Задание: Вставьте пропущенные слова.
ü От перестановки мест слагаемых/множителей сумма/произведение ______________________________.
ü Чтобы к сумме двух чисел прибавить ___________ число можно к первому числу прибавить сумму ____________и третьего числа.
ü Чтобы ________________двух чисел умножить на третье число можно первое число ___________________на произведение второго и третьего чисел.
ü При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в группы и_____________________.
ü При умножении нескольких чисел можно как угодно __________________в группы и переставлять.
Теперь учащиеся готовы к пониманию новой теме, поэтому учитель возвращает их к поставленной проблеме, чтобы её разрешить.
Учитель: Многие неудачи объясняются тем, что начинают решение наугад, на авось, и, хотя решение «лежит рядом», слишком много труда и времени затрачивается на попытки, уводящие в сторону.
Отвлечемся ненадолго. Представим себе темную комнату, из которой вам (с завязанными глазами) требуется найти выход. Посмотрим, как может вести себя человек в такой ситуации.
Один будет «кидаться – из стороны в сторону наугад и вряд ли скоро найдет дверь; он может найти окно и принять его за дверь (а на каком этаже комната?). Правда, может случиться, что иногда он сразу выскочит в дверь (бывает и такое!), сам не поняв, почему он так быстро нашел выход.
Другой попытается дойти до стены и, ощупывая стену рукой, будет двигаться вдоль стены, пока не дойдет до окна (и установит, что это не дверь), а затем до самой двери. Это верный путь, хотя не самый короткий.
Третий поступит так. Он остановится и подумает, чем он располагает для отыскания выхода (осязание, движение, слух, запах). Затем он прислушается (в стороне, где слышен шум, скорее всего окно или дверь), вдохнет воздух (там, откуда ощутим воздушный поток, — окно или дверь; холодный воздух, вероятно, идет из окна, более теплый — от двери а коридор). После такой подготовки он двинется в том направлении, которое ему покажется наиболее обнадеживающим. Вы узнаете себя в одном из трех людей, когда вы решаете задачу? Так для чего изучают свойства действий с рациональными числами?
Ответ учащихся: Чтобы облегчить себе работу.
Задание для групп: Найдите значение выражения рациональным способом.(Слайд 8)
После выполненной работы, сверяются по образцу. (Слайд 9)
Ответы:
IV. Проверка изученного материала
1) Выполняют устные упражнения, записывают ответ на ламинированных листах, затем сверяются с правильным ответом, отмечая в тетради. (Слайды 10-12)
2) Индивидуальная работа с последующей проверкой (Слайды 13-17)
Задание: Найдите значение выражения рациональным способом.
Дескрипторы:
Ø Определяет свойство для рационального способа решения;
Ø Выполняет сложение или умножениедля положительных чисел;
Ø Выполняет сложение или умножениедля отрицательных чисел;
Ø Выполняет сложение или умножениедля чисел с разными знаками.
|
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? |
⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 13Следующая ⇒ | ||||||
| 33. | Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе. Переместительное свойство сложения. | УОНМ | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях. Выполнять устные вычисления, используя изученные приемы. Различать геометрические фигуры (отрезок и луч, круг и окружность, многоугольники). | Называть и формулировать переместительное свойство сложения. Выполнять арифметические действия (сложение, вычитание) с многозначными числами в пределах миллиона, используя письменные приёмы вычислений. | Адекватно оценивать результаты своей деятельности. Планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения. | Способность преодолевать трудности, доводить начатую работу до ее завершения. | |
| 34. | Переместительное свойство умножения. | УОиСЗ | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях. Отмечать точку с данными координатами в координатном углу, читать и записывать координаты точки. | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях, приводить примеры арифметических действий, обладающих общими свойствами. | Понимает причины успешной/ неуспешной учебной деятельности и конструктивно действует в условиях успеха/ неуспеха. | Высказывать собственные суждения и давать им обоснование. | |
|
Сочетательные свойства сложения и умножения
| |||||||
| 35. | Сочетательные свойства сложения. | УОНМ | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях. | Называть и формулировать переместительное свойство умножения. Вычислять значения числовых выражений, содержащих не более шести арифметических действий. | Работает в информационной среде. Выполняет учебные действия в разных формах (практические работы, работа с моделями). | Готовность использовать получаемую математическую подготовку в учебной деятельности при решении практических задач, возникающих в повседневной жизни. | |
| 36. | Сочетательные свойства умножения. | УОПУЗП | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях. Решать арифметические задачи разных видов. | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях, приводить примеры арифметических действий, обладающих общими свойствами. | Работает в информационной среде. Активно использует математическую речь для решения разнообразных коммуникативных задач. | Владение коммуникативными умениями с целью реализации возможностей успешного сотрудничества с учителем и учащимися класса при групповой работе. | |
|
Четверть | |||||||
| 37. | Сочетательные свойства сложения и умножения. План и масштаб. | УОиСЗ | Формулировать свойства арифметических действий и применять их при вычислениях. Решать арифметические задачи разных видов. | Оценивать правильность хода решения и реальность ответа на вопрос задачи. Контролировать свою деятельность: проверять правильность вычислений с многозначными числами, используя изученные приемы. | Создает модели изучаемых объектов с использованием знаково-символических средств. | Умение устанавливать, с какими учебными задачами ученик может самостоятельно успешно справиться. Высказывать собственные суждения и давать им обоснование. | |
Многогранник
| |||||||
| 38. | Геометрические пространственные формы в окружающем мире. Многогранник и его элементы: вершины, рёбра, грани. | УОНМ | Распознавать, называть и различать пространственные фигуры на пространственных моделях. Характеризовать прямоугольный параллелепипед (название, число вершин, граней, рёбер), конус (название, вершина, основание). | Соотносить развёртку пространственной фигуры с её моделью или изображением. Называть пространственную фигуру, изображённую на чертеже. Рассматривать многогранник как пространственную фигуру. | Понимает и принимает учебную задачу, ищет и находит способы ее решения. Работает в информационной среде. Делать выводы на основе анализа предъявленного банка данных. | Способность преодолевать трудности, доводить начатую работу до ее завершения. | |
| 39. | Изображение многогранников на чертежах, обозначение их буквами. Практическая работа. Ознакомление с моделями многогранников: показ и пересчитывание вершин, рёбер и граней многогранника. | Комбинированный | Распознавать, называть и различать пространственные фигуры на пространственных моделях. Характеризовать прямоугольный параллелепипед (название, число вершин, граней, рёбер), конус (название, вершина, основание). Соотносить развёртку пространственной фигуры с её моделью или изображением. | Называть пространственную фигуру, изображённую на чертеже. Находить и показывать грани, вершины, рёбра многогранника. Показывать на чертеже видимые и невидимые элементы многогранника. Обозначать многогранник буквами латинского алфавита. Изготавливать модели различных видов многогранника. Анализировать структуру составного числового выражения. | Адекватно оценивать результаты своей деятельности. Планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения. ИКТ: проектировать несложные объекты и процессы реального мира, своей собственной деятельности и деятельности группы; | Способность преодолевать трудности, доводить начатую работу до ее завершения. | |
Читайте также: |
|||||||
|
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 18; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 85.26.164.185 (0.005 с.) |
|||||||
Что такое ассоциативная собственность? — Определение, факты и примеры
Что такое ассоциативная собственность?Это свойство указывает, что при сложении (или умножении) трех или более чисел сумма (или произведение) остается одинаковой независимо от группировки слагаемых (или множимых).
Группировка означает использование скобок или квадратных скобок для группировки номеров.
Ассоциативное свойство включает 3 или более чисел.
Числа, сгруппированные в скобках или квадратных скобках, становятся одним целым.
Ассоциативное свойство может использоваться только при сложении и умножении, но не при вычитании или делении.
Пример ассоциативного свойства для добавления
Примеры ассоциативного свойства для умножения:
Приведенные выше примеры показывают, что изменение группировки не приводит к изменению ответа.
Ассоциативное свойство полезно при сложении или умножении нескольких чисел. Группируя, мы можем создавать более мелкие компоненты для решения. Это делает вычисления сложения или умножения нескольких чисел проще и быстрее.
Пример Дополнение :
17 + 5 + 3 = (17 + 3) + 5
= 20 + 5
= 25
Здесь сложение 17 и 3 дает 20. Затем сложение 5 с 20 дает 25. Группировка помогла найти ответ легко и быстро.
Пример Умножение :
3 × 4 × 25 = (25 × 4) × 3
= 100 × 3
= 300
Здесь умножение 25 на 4 дает 100. Тогда 3 можно легко умножить на 100, чтобы получить 300.
Однако мы не можем применить свойство ассоциативности к вычитанию или делению. Когда мы меняем группировку чисел при вычитании или делении, это меняет ответ, и, следовательно, это свойство неприменимо.
Пример Вычитание :
10 – (5 – 2) = 10 – 3 = 7
(10 – 5) – 2 = 5 – 2 = 3
Итак, 10 – (5 – 2) ≠ (10 – 5) – 2
Пример Раздел :
(24 ÷ 4) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3
24 ÷ (4 ÷ 2) = 24 ÷ 2 = 12
Итак, (24 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 24 ÷ (4 ÷ 2)
Интересные факты |
Ассоциативное свойство сложения — определение, факты, примеры
Ассоциативное свойство сложения — это свойство чисел, которое гласит, что способ группировки трех или более чисел не меняет суммы этих чисел.Это означает, что сумма трех или более чисел остается неизменной независимо от того, как они сгруппированы. Давайте узнаем больше об ассоциативном свойстве сложения в этой статье.
Что такое ассоциативное свойство сложения?
Ассоциативное свойство сложения — это правило, которое гласит, что при сложении трех и более чисел мы можем сгруппировать их в любую комбинацию, полученная сумма остается неизменной независимо от способа их группировки.В этом случае группировка относится к размещению скобок. Например, на приведенном ниже рисунке видно, что сумма чисел не меняется независимо от того, как сгруппированы слагаемые.
Ассоциативное свойство формулы сложения
Формула ассоциативности сложения показывает, что группировка чисел другим способом не влияет на сумму. Скобки, которые группируют числа, помогают упростить процесс сложения.Обратите внимание на следующую формулу для ассоциативного свойства сложения.
Давайте возьмем пример, чтобы понять и доказать формулу. Сгруппируем 13 + 7 + 3 двумя способами.
- Шаг 1: Мы можем сгруппировать набор чисел как (13 + 7) + 3 и 13 + (7 + 3).
- Шаг 2: Добавьте первый набор чисел, то есть (13 + 7) + 3. Далее это можно решить как 20 + 3 = 23
- Шаг 3: Теперь добавьте второй набор, то есть 13 + (7 + 3) = 13 + 10 = 23
- Шаг 4: Сумма обоих выражений равна 23.Это показывает, что как бы мы ни группировали числа с помощью скобок, сумма остается неизменной.
Ассоциативное свойство сложения и умножения
Ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению, но не существует к вычитанию и делению. Мы знаем, что ассоциативное свойство сложения говорит о том, что группировка чисел не меняет суммы данного набора чисел. Это означает, что (7 + 4) + 2 = 7 + (4 + 2) = 13. Точно так же ассоциативное свойство умножения говорит о том, что группировка чисел не меняет произведения данного набора чисел.Эта формула выражается как (a × b) × c = a × (b × c). Например, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24,
Важные примечания
- Ассоциативность применима только к сложению и умножению.
- Ассоциативные свойства соответствуют возможности связывать или группировать числа, что невозможно в случае вычитания и деления.
- Ассоциативное свойство входит в список математических свойств, полезных при работе с математическими уравнениями и их решениями.
Ссылки по теме
Ознакомьтесь со следующими статьями, посвященными ассоциативному свойству сложения.
Часто задаваемые вопросы по ассоциативному свойству дополнения
Что такое ассоциативное свойство сложения?
Ассоциативное свойство сложения гласит, что независимо от того, как набор из трех или более чисел сгруппирован вместе, сумма остается неизменной. Группировка чисел осуществляется с помощью скобок.Формула для этого свойства выражается как, a + (b + c) = (a + b) + c. Например, если мы сгруппируем числа 3 + 4 + 5 как 3 + (4 + 5) или (3 + 4) + 5, сумма, которую мы получим из обоих наборов, равна 12.
Что является примером ассоциативного свойства сложения?
Ассоциативное свойство сложения гласит, что группировка чисел не меняет их суммы. Например, (75 + 81) + 34 = 156 + 34 = 190; и 75 + (81 + 34) = 75 + 115 = 190. Сумма обеих сторон равна 190.
В чем преимущество использования ассоциативного свойства сложения?
Преимущество ассоциативного свойства сложения заключается в том, что оно помогает формировать более мелкие компоненты, что упрощает вычисление сложения. Группировка чисел с помощью скобок облегчает процесс упрощения выражения.
Как проверить ассоциативное свойство сложения?
Ассоциативность сложения легко проверить, сложив заданный набор чисел.Например, сгруппируем 6 + 7 + 8 двумя способами.
- Шаг 1: Мы можем сгруппировать данный набор чисел как (6 + 7) + 8 и 6 + (7 + 8).
- Шаг 2: Теперь давайте сложим первый набор чисел, то есть (6 + 7) + 8. Получится 13 + 8 = 21
- Шаг 3: Теперь добавим второй набор, то есть 6 + (7 + 8) = 6 + 15 = 21
- Шаг 4: Сумма обоих выражений равна 21. Это доказывает ассоциативное свойство сложения, которое показывает, что независимо от того, как мы группируем числа с помощью скобок, сумма остается неизменной.
Всегда ли ассоциативное свойство сложения включает 3 или более чисел?
Да, ассоциативное свойство сложения всегда включает 3 или более чисел, потому что правило свойств гласит, что изменение группировки слагаемых не меняет суммы, а в случае только двух чисел мы не можем создавать группы.
Какова формула ассоциативного свойства сложения?
Формула ассоциативного свойства сложения утверждает, что сумма трех или более чисел остается неизменной независимо от того, как эти числа сгруппированы.Это выражается как а + (b + с) = (а + b) + с.
В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством сложения?
Следующие пункты показывают разницу между коммутативным и ассоциативным свойством сложения.
- Переместительное свойство сложения гласит, что изменение порядка слагаемых не меняет суммы. Например, 4 + 6 = 6 + 4 = 10. Ассоциативное свойство сложения утверждает, что группировка чисел не меняет сумму.Например, 8 + (2 + 3) = (8 + 2) + 3 = 13
- Переместительное свойство сложения можно применять к двум числам, а ассоциативное свойство применимо к трем и более числам.
- В коммутативном свойстве сложения порядок слагаемых не имеет значения, а в ассоциативном свойстве сложения не имеет значения группировка слагаемых.
Как ассоциативное свойство сложения используется в повседневной жизни?
Есть много мест, где мы можем применить ассоциативное свойство сложения.Например, если мы тратим 3 доллара на кекс, 6 долларов на мороженое и 2 доллара на конфеты, мы можем сложить стоимость предметов как 3 + (6 + 2) или (3 + 6) + 2. Оба выражения дают одну и ту же сумму, то есть 11. Это показывает ассоциативное свойство сложения, которое гласит, что независимо от того, как мы группируем 3 или более чисел, сумма остается неизменной.
Ассоциативные законы (или свойства) сложения и умножения
Ассоциативные законы (или ассоциативные свойства)Ассоциативные законы гласят, что при сложении или умножении любых трех вещественные числа , группировка (или ассоциация) чисел не влияет на результат.
Ассоциативный закон сложения:
( а + б ) + с знак равно а + ( б + с )
Пример 1:
( 2 + 3 ) + 5 знак равно 5 + 5 знак равно 10 2 + ( 3 + 5 ) знак равно 2 + 8 знак равно 10
Ассоциативный закон умножения:
( а б ) с знак равно а ( б с )
Пример 2:
( 5 ⋅ 7 ) ⋅ 6 знак равно 35 ⋅ 6 знак равно 210 5 ⋅ ( 7 ⋅ 6 ) знак равно 5 ⋅ 42 знак равно 210
7.2: Коммутативные и ассоциативные свойства (часть 1)
В следующих нескольких разделах мы рассмотрим свойства действительных чисел. Многие из этих свойств будут описывать вещи, которые вы уже знаете, но это поможет дать имена свойствам и определить их формально. Таким образом, мы сможем ссылаться на них и использовать их при решении уравнений в следующей главе.
Использование коммутативных и ассоциативных свойств
Подумайте о сложении двух чисел, например, 5 и 3.
\[\begin{split} 5 &+ 3 \qquad 3 + 5 \\ &\; 8 \qquad \qquad 8 \end{split}\]
Результаты те же. 5 + 3 = 3 + 5
Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно при умножении 5 и 3.
\[\begin{split} 5 &\cdot 3 \qquad \; 3 \cdot 5 \\ & 15 \qquad \quad 15 \end{split}\]
Опять же, результаты те же! 5 • 3 = 3 • 5. Порядок умножения не имеет значения. Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.
Определение: коммутативные свойства
Коммутативное свойство сложения: если a и b — действительные числа, то a + b = b + a
Коммутативное свойство умножения: если a и b — действительные числа, то a • b = b • a
Коммутативные свойства связаны с порядком. Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.
Пример \(\PageIndex{1}\):
Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения: (a) −1 + 3 = _____ (b) 4 • 9 = _____
Раствор
(а) −1 + 3 = _____
| Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок. | -1 + 3 = 3 + (-1) |
(б) 4 • 9 = _____
| Используйте свойство перестановочности умножения, чтобы изменить порядок. | 4 • 9 = 9 • 4 |
Упражнение \(\PageIndex{1}\):
Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения: (a) −4 + 7 = _____ (b) 6 • 12 = _____
- Ответить на
\(-4+7=7+(-4)\)
- Ответ б
\(6 \cdot 12=12 \cdot 6\)
Упражнение \(\PageIndex{2}\):
Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3(-5) = _____
- Ответить на
\(14+(-2)=-2+14\)
- Ответ б
\(3(-5)=(-5) 3\)
Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли 7 — 3 тот же результат, что и 3 — 7?
\[\begin{split} 7 &- 3 \qquad 3 — 7 \\ &\; 4 \qquad \quad -4 \\ & \quad 4 \neq -4 \end{split}\]
Результаты не совпадают.7 — 3 ≠ 3 — 7
Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание не коммутативно. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы делим два числа. Является ли деление коммутативным?
\[\begin{split} 12 &\div 4 \qquad 4 \div 12 \\ & \dfrac{12}{4} \qquad \quad \dfrac{4}{12} \\ &\; 3 \qquad \qquad \dfrac{1}{3} \\ &\quad \; 3 \neq \dfrac{1}{3} \end{split}\]
Результаты не совпадают. Итак, 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12
.Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не коммутативно.
Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.
Предположим, вас попросили упростить это выражение.
\[7 + 8 + 2\]
Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?
Некоторые люди думают, что 7 + 8 равно 15, а затем 15 + 2 равно 17. Другие могут начать с 8 + 2, получится 10, а затем 7 + 10 составит 17.
Оба способа дают одинаковый результат, как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\). (Помните, что круглые скобки — это группирующие символы, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь.)
Рисунок \(\PageIndex{1}\)
При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.
Тот же принцип справедлив и для умножения. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:
.\[5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 3\]
Изменение группировки чисел дает тот же результат, как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\).
Рисунок \(\PageIndex{2}\)
При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.
Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение. Вы, вероятно, знаете это, но терминология может быть новой для вас. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .
Определение: Ассоциативные свойства
Ассоциативное свойство сложения: если a, b и c — действительные числа, то (a + b) + c = a + (b + c)
Ассоциативное свойство умножения: если a, b и c — действительные числа, то (a • b) • c = a • (b • c)
Пример \(\PageIndex{2}\):
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (3 + 0.6) + 0,4 = __________ (b) \(\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15\) = __________
Раствор
(а) (3 + 0,6) + 0,4 = __________
| Изменить группировку. | (3 + 0,6) + 0,4 = 3 + (0,6 + 0,4) |
Обратите внимание, что 0,6 + 0,4 равно 1, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.
(b) \(\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15\) = __________
| Изменить группировку. | (3 + 0,6) + 0,4 = 3 + (0,6 + 0,4) |
Обратите внимание, что \(\dfrac{2}{5} \cdot 15\) равно 6. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.
Упражнение \(\PageIndex{3}\):
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (1 + 0,7) + 0,3 = __________ (b) (−9 • 8) • \(\dfrac{3}{4}\) = __________
- Ответить на
\((1+0,7)+0,3=1+(0,7+0,3)\)
- Ответ б
\((-9 \cdot 8) \cdot \frac{3}{4}=-9\left(8 \cdot \frac{3}{4}\right)\)
Упражнение \(\PageIndex{4}\):
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (а) (4 + 0.6) + 0,4 = __________ (б) (−2 • 12) • \(\dfrac{5}{6}\) = __________
- Ответить на
\((4+0,6)+0,4=4+(0,6+0,4)\)
- Ответ б
\((-2 \cdot 12) \cdot \frac{5}{6}=-2\left(12 \cdot \frac{5}{6}\right)\)
Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.
Пример \(\PageIndex{3}\):
Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения: 6(3x).
Раствор
| Изменить группировку. | (6 • 3)х |
| Умножьте в скобках. | 18x |
Обратите внимание, что мы можем умножить 6 • 3, но мы не можем умножить 3 • x, не зная значения x.
Упражнение \(\PageIndex{5}\):
Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: 8(4x).
- Ответить
\(32x\)
Упражнение \(\PageIndex{6}\):
Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: −9(7y).
- Ответить
\(-63г\)
Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств
Коммутативные и ассоциативные свойства могут упростить вычисление некоторых алгебраических выражений.Поскольку при добавлении или умножении трех или более терминов порядок не имеет значения, мы можем изменить порядок и перегруппировать термины, чтобы упростить нашу работу, как показано в следующих нескольких примерах.
Пример \(\PageIndex{4}\):
Оценить каждое выражение, когда x = \(\dfrac{7}{8}\). (а) х + 0,37 + (- х) (б) х + (- х) + 0,37
Раствор
(а) х + 0,37 + (- х)
| Замените x на \(\dfrac{7}{8}\). | $$\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}} + 0.37 + \left(- \textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\right)$$ |
| Преобразование дробей в десятичные. | 0,875 + 0,37 + (-0,875) |
| Добавить слева направо. | 1,245 — 0,875 |
| Вычесть. | 0,37 |
(б) х + (- х) + 0,37
| Замените x на \(\dfrac{7}{8}\). | $$\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}} + \left(- \textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\right) + 0.37$$ |
| Сначала добавьте противоположности. | 0,37 |
В чем разница между частью (а) и частью (б)? Только порядок изменился. По коммутативному свойству сложения x + 0,37 + (− x) = x + (− x) + 0,37. Но разве часть (б) не была намного проще?
Упражнение \(\PageIndex{7}\):
Оцените каждое выражение при y = \(\dfrac{3}{8}\): (a) y + 0,84 + (− y) (b) y + (− y) + 0,84.
- Ответить на
\(0.84\)
- Ответ б
\(0,84\)
Упражнение \(\PageIndex{8}\):
Оцените каждое выражение, когда f = \(\dfrac{17}{20}\): (a) f + 0,975 + (− f) (b) f + (− f) + 0,975.
- Ответить на
\(0,975\)
- Ответ б
\(0,975\)
Давайте сделаем еще один, на этот раз с умножением.
Пример \(\PageIndex{5}\):
Оценить каждое выражение, когда n = 17.(a) \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)\) (b) \(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac {3}{4}\справа) п\)
Раствор
(а) \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)\)
| Замените 17 на n. | $$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} \cdot \textcolor{red}{17} \right)$$ |
| Сначала умножить в скобках. | $$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{51}{4}\right)$$ |
| Умножить еще раз. | $$17$$ |
(b) \(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)
| Замените 17 на n. | $$\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) \textcolor{red}{\cdot 17}$$ |
| Умножить. Произведение обратных величин равно 1, | .$$(1) \cdot 17$$ |
| Умножить еще раз. | $$17$$ |
В чем здесь разница между частью (а) и частью (б)? Только группировка поменялась.По ассоциативному свойству умножения \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right) = \left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3 {4}\справа) п\). Тщательно выбирая, как сгруппировать факторы, мы можем облегчить работу.
Упражнение \(\PageIndex{9}\):
Оценить каждое выражение при p = 24. (a) \(\dfrac{5}{9} \left(\dfrac{9}{5} p\right)\) (b) \(\left(\dfrac{ 5}{9} \cdot \dfrac{9}{5}\right) p\)
- Ответить на
\(24\)
- Ответ б
\(24\)
Упражнение \(\PageIndex{10}\):
Оценить каждое выражение, когда q = 15.(a) \(\dfrac{7}{11} \left(\dfrac{11}{7} q\right)\) (b) \(\left(\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac {11}{7}\справа) д\)
- Ответить на
\(15\)
- Ответ б
\(15\)
Ассоциативные и коммутативные свойства
Есть несколько математических свойств, которые используются в статистике и вероятности; два из них, коммутативное и ассоциативное свойства, обычно связаны с базовой арифметикой целых, рациональных и действительных чисел, хотя они также проявляются в более сложной математике.
Эти свойства — коммутативность и ассоциативность — очень похожи и их легко перепутать. По этой причине важно понимать разницу между ними.
Свойство коммутативности касается порядка некоторых математических операций. Для бинарной операции, включающей только два элемента, это можно показать с помощью уравнения a + b = b + a. Операция коммутативна, потому что порядок элементов не влияет на результат операции.С другой стороны, ассоциативное свойство касается группировки элементов в операции. Это можно показать уравнением (a + b) + c = a + (b + c). Группировка элементов, указанная в скобках, не влияет на результат уравнения. Обратите внимание, что при использовании коммутативного свойства элементы в уравнении переставляются . Когда используется ассоциативное свойство, элементы просто перегруппировываются .
Коммутативное свойство
Проще говоря, свойство коммутативности гласит, что факторы в уравнении можно свободно переставлять, не влияя на результат уравнения.Таким образом, свойство коммутативности связано с упорядочением операций, включая сложение и умножение действительных, целых и рациональных чисел.
Например, числа 2, 3 и 5 можно складывать вместе в любом порядке, не влияя на конечный результат:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Числа также можно умножать в любом порядке, не влияя на окончательный результат:
2 х 3 х 5 = 30
3 х 2 х 5 = 30
5 х 3 х 2 = 30
Однако вычитание и деление не являются коммутативными операциями, поскольку порядок операций важен.Три числа выше нельзя, например, вычесть в любом порядке, не влияя на конечное значение:
2 — 3 — 5 = -6
3 — 5 — 2 = -4
5 — 3 — 2 = 0
В результате свойство коммутативности может быть выражено через уравнения a + b = b + a и a x b = b x a. Независимо от порядка значений в этих уравнениях результаты всегда будут одинаковыми.
Ассоциативное свойство
Ассоциативное свойство утверждает, что группировку факторов в операции можно изменить, не влияя на результат уравнения.Это можно выразить уравнением a + (b + c) = (a + b) + c. Независимо от того, какая пара значений в уравнении добавлена первой, результат будет одинаковым.
Например, возьмем уравнение 2 + 3 + 5. Независимо от того, как сгруппированы значения, результатом уравнения будет 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Как и в случае со свойством коммутативности, примеры операций, которые являются ассоциативными, включают сложение и умножение действительных чисел, целых чисел и рациональных чисел.Однако, в отличие от коммутативного свойства, ассоциативное свойство также может применяться к умножению матриц и композиции функций.
Подобно уравнениям коммутативных свойств, уравнения ассоциативных свойств не могут содержать вычитание действительных чисел. Возьмем, к примеру, арифметическую задачу (6 – 3) – 2 = 3 – 2 = 1; если мы изменим группировку скобок, мы получим 6 – (3 – 2) = 6 – 1 = 5, что изменит окончательный результат уравнения.
В чем разница?
Мы можем определить разницу между ассоциативным и коммутативным свойством, задав вопрос: «Изменяем ли мы порядок элементов или группировку элементов?» Если элементы переупорядочиваются, применяется свойство коммутативности.Если элементы только перегруппировываются, то применяется свойство ассоциативности.
Однако обратите внимание, что наличие круглых скобок само по себе не обязательно означает, что применяется свойство ассоциативности. Например:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
Это уравнение является примером коммутативного свойства сложения действительных чисел. Однако если мы внимательно посмотрим на уравнение, то увидим, что изменился только порядок элементов, а не их группировка.Чтобы ассоциативное свойство применялось, нам также пришлось бы изменить группировку элементов:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3
Коммутативные и ассоциативные свойства — Преалгебра
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Использовать коммутативные и ассоциативные свойства
- Вычислять выражения, используя коммутативные и ассоциативные свойства
- Упростите выражения, используя коммутативные и ассоциативные свойства
Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.
- Упрощение:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Умножение:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Найти противоположность
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
В следующих нескольких разделах мы рассмотрим свойства действительных чисел. Многие из этих свойств будут описывать вещи, которые вы уже знаете, но это поможет дать имена свойствам и определить их формально. Таким образом, мы сможем ссылаться на них и использовать их при решении уравнений в следующей главе.
Использование коммутативных и ассоциативных свойств
Подумайте о добавлении двух чисел, таких как и
Результаты те же.
Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно при умножении и
Опять же, результаты те же! Порядок, в котором мы умножаем, не имеет значения.
Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.
Коммутативные свойства связаны с порядком.Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.
Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующее:
- ⓐ
- ⓑ
- ⓐ -4 + 7 = 7 + (-4)
- ⓑ 6 · 12 = 12 · 6
Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующее:
- ⓐ
- ⓑ
- ⓐ 14 + (-2) = -2 + 14
- ⓑ 3(−5) = (−5)3
Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает тот же результат, что и
Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание не коммутативно.
Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим два числа. Является ли деление коммутативным?
Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не коммутативно.
Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.
Предположим, вас попросили упростить это выражение.
Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?
Некоторые люди думают, а затем Другие могут начать с
Оба способа дают одинаковый результат, как показано на (Рисунок).(Помните, что круглые скобки — это группирующие символы, указывающие, какие операции следует выполнять в первую очередь.)
При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.
Тот же принцип справедлив и для умножения. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:
.Изменение группировки чисел дает такой же результат, как показано на (Рисунок).
При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат.Это известно как ассоциативное свойство умножения.
Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение.
Вы, вероятно, знаете это, но терминология может быть для вас новой. Эти примеры иллюстрируют ассоциативных свойств .
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ
ⓑ
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ ⓑ
- ⓐ
- ⓑ
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ ⓑ
- ⓐ
- ⓑ
Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.
Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения:
Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение:
Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение:
Упрощение выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств
Когда нам нужно упростить алгебраические выражения, мы часто можем облегчить работу, применив сначала коммутативное или ассоциативное свойство вместо автоматического следования порядку операций.Обратите внимание, что на (рисунке) часть ⓑ было легче упростить, чем часть ⓐ, потому что противоположности были рядом друг с другом, а их сумма равна В следующих нескольких примерах мы воспользуемся нашим чувством числа, чтобы найти способы применения этих свойств для облегчения нашей работы.
Упрощение:
Упрощение:
Теперь мы увидим, насколько полезно распознавать обратные связи. Прежде чем умножать слева направо, найдите обратные числа — их произведение равно
.Упрощение:
Упрощение:
В выражениях, где нам нужно сложить или вычесть три или более дроби, сначала объедините те, у которых есть общий знаменатель.
Упрощение:
Решение
Обратите внимание, что второй и третий члены имеют общий знаменатель, поэтому эта работа будет проще, если мы изменим группировку.
Упрощение:
Упрощение:
При сложении и вычитании трех или более членов, содержащих десятичные дроби, ищите члены, которые в совокупности дают целые числа.
Упрощение:
Упрощение:
Упрощение:
Что бы вы ни делали, всегда полезно подумать наперед.При упрощении выражения подумайте, какими будут ваши шаги. Следующий пример покажет вам, как использование ассоциативного свойства умножения может облегчить вашу работу, если вы планируете заранее.
Упростите выражение:
Упрощение:
Упрощение:
При упрощении выражений, содержащих переменные, мы можем использовать коммутативные и ассоциативные свойства для изменения порядка или перегруппировки терминов, как показано в следующей паре примеров.
Упрощение:
Решение
| Используйте ассоциативное свойство умножения для перегруппировки. | |
| Умножьте в скобках. |
Упрощение:
Упрощение:
В «Языке алгебры» мы научились объединять одинаковые термины, переставляя выражение так, чтобы похожие термины были вместе. Мы упростили выражение, переписав его как и затем упростив его до Мы использовали переместительное свойство сложения.
Упрощение:
Решение
Используйте переместительное свойство сложения, чтобы изменить порядок, чтобы одинаковые термины были вместе.
| Условия повторного заказа. | |
| Объедините похожие термины. |
Упрощение:
Упрощение:
Упражнение Ссылки на грамотность «У каждого апельсина было 8 долек» позволит вам по-новому взглянуть на темы, затронутые в этом разделе.
Практика делает совершенным
Использование коммутативных и ассоциативных свойств
В следующих упражнениях используйте коммутативные свойства, чтобы переписать данное выражение.
(−12)(−18) = (−18)(−12)
В следующих упражнениях используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать данное выражение.
(21 + 14) + 9 = 21 + (14 + 9)
(14 · 6) · 9 = 14(6 · 9)
(-2 + 6) + 7 = -2 + (6 + 7)
(17 + у ) + 33 = 17 + ( у + 33)
Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств
В следующих упражнениях оцените каждое выражение для заданного значения.
Упрощение выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств
В следующих упражнениях упрощайте.
Математика на каждый день
Марки Элли и Лорен нужно купить марки.Элли нужно четыре марки и девять марок. Лорен нужно восемь марок и три марки.
ⓐ Сколько будут стоить марки Элли?
ⓑ Сколько будут стоить марки Лорен?
ⓒ Какова общая стоимость марок для девочек?
ⓓ Сколько всего марок нужно девочкам? Сколько они будут стоить?
ⓔ Сколько всего марок нужно девочкам? Сколько они будут стоить?
- ⓐ ?975
- ⓑ ?700
- ⓒ ?1675
- ⓓ ?185
- ⓔ ?270
- ⓕ ?1220
Письменные упражнения
Своими словами сформулируйте коммутативное свойство сложения и объясните, почему оно полезно.
Своими словами сформулируйте ассоциативное свойство умножения и объясните, почему оно полезно.
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.
ⓑ Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в выполнении всех задач?
Разница между коммутативным и ассоциативным
Математика — это игра чисел, а числа повсюду.А правилом игры являются свойства и правила, связанные с числами. Свойства помогают быстро и легко вычислять ответы в уме. Свойства — это не что иное, как специальные правила, которым следуют числа. Есть три основных свойства чисел, которым подчиняется каждая математическая система: коммутативное, ассоциативное и распределительное свойства. Эти свойства являются особенностями четырех операций (сложение, вычитание, умножение и деление), которые всегда применяются независимо от числа, с которым вы работаете. Но в следующей статье мы обсудим только коммутативные и ассоциативные свойства.
Как коммутативные, так и ассоциативные свойства — это правила, применяемые к операциям сложения и умножения. Эти свойства — законы, используемые в алгебре для решения задач. Коммутативное свойство происходит от термина «коммутировать», что означает передвигаться, и относится к возможности переключать числа, которые вы складываете или умножаете. Ассоциативное свойство происходит от слова «ассоциировать» или «группировать» и относится к группировке трех или более чисел с использованием круглых скобок, независимо от того, как вы их группируете.Результат остается тем же, независимо от того, как вы перегруппируете числа. Давайте взглянем на два свойства, чтобы лучше понять, как они работают.
Что такое коммутативный?
Например; мы знаем, что сложение 2 и 5 дает тот же ответ, что и сложение 5 и 2. Порядок чисел в задаче на сложение можно изменить без изменения результата. То, что касается чисел и сложения, называется коммутативным свойством сложения. Таким образом, мы можем сказать, что сложение является коммутативной операцией.Точно так же умножение является коммутативной операцией.
Коммутативное свойство сложения:
а + б = б + а
3 + 4 = 7 равно 4 + 3 = 7
Результат будет одинаковым независимо от порядка чисел.
Переместительное свойство умножения:
а × б = б × а
3 × 7 = 21 равно 7 × 3 = 21
Точно так же результат будет одинаковым независимо от порядка чисел.
Что такое Ассоциативный?
Ассоциативность — это еще одно используемое нами свойство, связанное с перегруппировкой.Например, при сложении 2 + 3 + 5 мы можем либо сначала добавить 2 и 3, а затем добавить 5, либо мы можем сначала добавить 3 и 5, а затем 2. Математически это выглядит так: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5. Операции, которые ведут себя таким образом, называются ассоциативными операциями. Результат останется прежним, даже если мы изменим группировку чисел.
Ассоциативное свойство сложения:
а + (б + с) = (а + Ь) + с = а + Ь + с
1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6
Результат остается тем же, независимо от того, как вы группируете числа.
Ассоциативное свойство умножения:
а × (б × с) = (а × б) × с
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
Итак, группировка в цифрах не меняет результат.
Разница между коммутативным и ассоциативным
Значение
— Коммутативное свойство происходит от термина «коммутировать», что означает «перемещаться», и относится к возможности переключать числа, которые вы складываете или умножаете, независимо от порядка чисел.С другой стороны, ассоциативное свойство происходит от слова «ассоциировать» или «группа» и относится к группировке трех или более чисел с использованием круглых скобок, независимо от того, как вы их группируете. Результат будет одинаковым, независимо от того, как вы перегруппируете числа или переменные.
Правило
— Коммутативное правило сложения гласит: a + b = b + a, что означает, что сложение a и b дает тот же результат, что и сложение b и a. Заказы могут быть изменены без изменения результата. Это правило сложения называется коммутативным свойством сложения.Точно так же умножение является коммутативной операцией, что означает, что a × b даст тот же результат, что и b × a. С другой стороны, ассоциативное свойство — это правило, относящееся к группировке чисел. Ассоциативное правило сложения состояний a + (b + c) такое же, как (a + b) + c. Точно так же ассоциативное правило умножения говорит, что a × (b × c) равно (a × b) × c.
Пример
– Перестановочное свойство сложения: 1 + 2 = 2 + 1 = 3
Переместительное свойство умножения: 2 × 3 = 3 × 2 = 6
Ассоциативность сложения: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15
Ассоциативное свойство умножения: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40
Коммутативный vs.Ассоциативный: Сравнительная таблица
Резюме
Короче говоря, коммутативное свойство не следует путать с ассоциативным свойством. Свойство коммутативности утверждает, что можно изменять порядок чисел в операциях сложения и умножения, потому что результат будет одинаковым, независимо от порядка. Ассоциативное свойство, с другой стороны, утверждает, что результат будет одинаковым, независимо от того, как вы группируете числа или переменные в операциях сложения/умножения.
Сагар Хиллар — плодовитый автор контента/статей/блогов, работающий старшим разработчиком/писателем контента в известной фирме по обслуживанию клиентов, базирующейся в Индии. У него есть стремление исследовать разносторонние темы и разрабатывать высококачественный контент, чтобы сделать его лучше всего читаемым. Благодаря своей страсти к писательству, он имеет более 7 лет профессионального опыта в написании и редактировании на самых разных печатных и электронных платформах.
Вне своей профессиональной деятельности Сагар любит общаться с людьми из разных культур и происхождения.Можно сказать, что он любопытен по натуре. Он считает, что каждый — это опыт обучения, и это приносит определенное волнение, своего рода любопытство, чтобы продолжать идти. Поначалу это может показаться глупым, но через какое-то время это расслабит вас и вам будет легче начать разговор с совершенно незнакомыми людьми — вот что он сказал». : Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, распространите информацию. Поделитесь им с друзьями/семьей.
Cite
APA 7
Хиллар, С.(2019, 18 октября). Разница между коммутативным и ассоциативным. Разница между похожими терминами и объектами. http://www.differencebetween.net/science/mathematics-statistics/difference-between-commutative-and-associative/.
MLA 8
Хиллар, Сагар. «Разница между коммутативным и ассоциативным». Разница между похожими терминами и объектами, , 18 октября 2019 г.