Свойства сложения и вычитания. Переместительное и сочетательное

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

• 2 — это первое слагаемое,
• 5 — второе слагаемое,
• 7 — это сумма.

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства сложения Переместительное свойство сложения От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. a + b = b + a Сочетательное свойство сложения Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа. (a + b) + c = a + (b + c) Свойство нуля при сложении Если к числу прибавить нуль, получится само число. a + 0 = 0 + a = a

На заметку!

При сложении нескольких чисел, их можно объединять в группы и переставлять в любом порядке. Например: a + b + с = (a + b) + c = a + (b + c).

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:

9 — это уменьшаемое,

4 — вычитаемое,

5 — разность.

При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.

Свойства вычитания Свойство нуля при вычитании Если из числа вычесть нуль, получится само число. a — 0 = a Если из числа вычесть само число, то получится нуль. a — a = 0 Свойство вычитания суммы из числа Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое. a — (b + c) = a — b — c Свойство вычитания числа из суммы Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое. (a + b) — c = (a — c) + b (если a > c или а = с) (a + b) — c = (b — c) + a (если b > c или b = с)

На заметку!

Есть случаи, когда скобки не имеют значения при вычитании, и их можно опустить. Например: (a — b) — c = a — b — c.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8

б) 9 + 11 + 2

в) 30 + 0 + 13

Как решаем:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

а) 25 — 0 — 2

б) 18 — 1 — 4

в) 55 — 55

Как решаем:

а) 25 — 0 — 2 = 25 — 2 = 23

б) 18 — (1 + 4) = 18 — 1 — 4 = 17 — 4 = 13

в) 55 — 55 = 0

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9

б) 16 + (4 — 3) + 7

в) 0 + 2 + 4 — 0

Как решаем:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

б) 16 — (4 + 3) + 7 = 16 — 4 — 3 + 7 = (16 — 4) — 3 + 7 = 12 — 3 + 7 = 9 + 7 = 16

в) 0 + 2 + 4 — 0 = 2 + 4 = 6

Чтобы запомнить свойства сложения и вычитания, нужно чаще решать примеры. Сделать это легко — в современной школе Skysmart! Обучение проходит в интерактивном формате, в любое комфортное время и с учетом индивидуальных целей ученика.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок по математике: попрактикуемся, наметим учебную программу и поддержим в любом вопросе.

Контрольная работа №3 по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000. Сочетательное свойство сложения и умножения».

Контрольная работа №3 по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000. Сочетательное свойство сложения и умножения».

№ 1 Примени переместительное свойство

(22 * 5) * 6 = 72 + 52 = 25 + (13 + 8) =

Примени сочетательное свойство

21 * (5 * 6) = (38 + 47) + 3 =

№ 2 Вставь пропущенные числа

424 + ….. = 732 …….+ 152 = 651 …. — 341 = 470 566 — …. = 247

№ 3 Вычисли удобным способом

153 + 274 + 47 = 341 + 453 + 67 + 151 = 4 * 3 * 2 =

№ 4 На пути от дома до школы Олег прошёл 424 метра, после чего ему осталось идти на 131 метр меньше, чем прошёл. Найди расстояние от школы до дома.

№ 5 Реши задачу записав решение выражением.

В каждый из 7 ящиков поставили 4 двухлитровые бутылки яблочного сока. Сколько литров сока во всех ящиках?

Контрольная работа №3 по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000. Сочетательное свойство сложения и умножения».

№ 1 Примени переместительное свойство

(22 * 5) * 6 = 72 + 52 = 25 + (13 + 8) =

Примени сочетательное свойство

21 * (5 * 6) = (38 + 47) + 3 = 17 + (11 + 6) =

№ 2 Вставь пропущенные числа

424 + ….. = 732 …….+ 152 = 651 …. — 341 = 470 566 — …. = 247

№ 3 Вычисли удобным способом

153 + 274 + 47 = 341 + 453 + 67 + 151 = 4 * 3 * 2 =

№ 4 На пути от дома до школы Олег прошёл 424 метра, после чего ему осталось идти на 131 метр меньше, чем прошёл. Найди расстояние от школы до дома.

№ 5 Реши задачу записав решение выражением.

В каждый из 7 ящиков поставили 4 двухлитровые бутылки яблочного сока. Сколько литров сока во всех ящиках?

Контрольная работа №3 по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000. Сочетательное свойство сложения и умножения».

№ 1 Примени переместительное свойство

(22 * 5) * 6 = 72 + 52 =

Примени сочетательное свойство

21 * (5 * 6) = (38 + 47) + 3 =

№ 2 Вставь пропущенные числа

424 + ….. = 732 …….+ 152 = 651 …. — 341 = 470 566 — …. = 247

№ 3 Вычисли удобным способом

153 + 274 + 47 = 341 + 453 + 67 + 151 = 4 * 3 * 2 =

№ 4 На пути от дома до школы Олег прошёл 424 метра, после чего ему осталось идти на 131 метр меньше, чем прошёл. Найди расстояние от школы до дома.

Контрольная работа №3

по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000. Сочетательное свойство сложения и умножения».

№ 1 Примени переместительное свойство

(22 * 5) * 6 = 72 + 52 = 25 + (13 + 8) =

Примени сочетательное свойство

21 * (5 * 6) = (38 + 47) + 3 = 17 + (11 + 6) =

№ 2 Вставь пропущенные числа

424 + ….. = 732 …….+ 152 = 651 …. — 341 = 470 566 — …. = 247

№ 3 Вычисли удобным способом

153 + 274 + 47 = 341 + 453 + 67 + 151 = 4 * 3 * 2 =

№ 4 На пути от дома до школы Олег прошёл 424 метра, после чего ему осталось идти на 131 метр меньше, чем прошёл. Найди расстояние от школы до дома.

№ 5 Реши задачу записав решение выражением.

В каждый из 7 ящиков поставили 4 двухлитровые бутылки яблочного сока. Сколько литров сока во всех ящиках?

Проверочная работа по математике 4 класс по теме «Свойства сложения и умножения» | Материал по математике (4 класс) на тему:

Проверочная работа 1 вариант

1. Используя переместительное свойство сложения или умножения, запишите выражение, равное данному:

372 + у______________                             а + 46 002_______________

60 * x  ______________                             m *  189_________________  

2. Используя сочетательное свойство сложения или умножения, запишите выражение, равное данному:

(15 * b) * 7__________________________________

(12 + x) + 56 _________________________________

75 + ( 35 + c) _________________________________

100 * ( x * 71) ________________________________

3. Выполните действия, используя сочетательное свойство сложения или умножения:

(753 + 27) + 73 = ____________________________________

1 700 + (300 + 709) = _________________________________

(9 * 4) * 25 =________________________________________

50 * (6 * 7) = _______________________________________

____________________________________________________________

 Проверочная работа 2 вариант

1. Используя переместительное свойство сложения или умножения, запишите выражение, равное данному:

721 + х______________                             12 078 + с_______________

у * 90  ______________                             534 *  m_________________  

2. Используя сочетательное свойство сложения или умножения, запишите выражение, равное данному:

(18 * a) * 6__________________________________

(13 + c) + 104 _________________________________

71 + ( 52 + b) _________________________________

200 * ( x * 81) ________________________________

3. Выполните действия, используя сочетательное свойство сложения или умножения:

(524 + 48) + 52 = ____________________________________

1 800 + (200 + 940) = _________________________________

(9 * 50) * 2 =________________________________________

50 * (8 * 9) = _______________________________________

                   

Дидактический материал по математике «Свойства сложения и вычитания»

7+(49+23) 1+(99+452) (914-58)-42

(18+19)+1                     12+14+16+18                     128-(28+4)                     

(256+198)+2 (90+53)+(47+10) 949-(5+49)

(14+67)+3 87-(7+15) 215-97-3

7+(49+23) 1+(99+452) (914-58)-42

(18+19)+1                     12+14+16+18                     128-(28+4)                     

(256+198)+2 (90+53)+(47+10) 949-(5+49)

(14+67)+3 87-(7+15) 215-97-3

7+(49+23) 1+(99+452) (914-58)-42

(18+19)+1                     12+14+16+18                     128-(28+4)                     

(256+198)+2 (90+53)+(47+10) 949-(5+49)

(14+67)+3 87-(7+15) 215-97-3

7+(49+23) 1+(99+452) (914-58)-42

(18+19)+1                     12+14+16+18                     128-(28+4)                     

(256+198)+2 (90+53)+(47+10) 949-(5+49)

(14+67)+3 87-(7+15) 215-97-3

7+(49+23) 1+(99+452) (914-58)-42

(18+19)+1                     12+14+16+18                     128-(28+4)                     

(256+198)+2 (90+53)+(47+10) 949-(5+49)

(14+67)+3 87-(7+15) 215-97-3

7+(49+23) 1+(99+452) (914-58)-42

(18+19)+1                     12+14+16+18                     128-(28+4)                     

(256+198)+2 (90+53)+(47+10) 949-(5+49)

(14+67)+3 87-(7+15) 215-97-3

Переместительное свойство сложения

От перестановки слагаемых сумма не меняется. a + b = b + a

Сочетательное свойство сложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

______________________________________________________

Переместительное свойство сложения

От перестановки слагаемых сумма не меняется. a + b = b + a

Сочетательное свойство сложения

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

a — (b + c) = (a — b) — c a — (b + c) = (a — с) — b

(a — b) — c = a — b — c

Свойство вычитания числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

(a + b) — c = (a — c) + b (если a c или а = с)

(a + b) — c = (b — c) + a (если b c или b = с)

__________________________________________

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и затем из результата вычесть другое слагаемое.

a — (b + c) = (a — b) — c a — (b + c) = (a — с) — b

(a — b) — c = a — b — c

Свойство вычитания числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.

(a + b) — c = (a — c) + b (если a c или а = с)

(a + b) — c = (b — c) + a (если b c или b = с)

Пример распределительный закон умножения относительно сложения. Сочетательное и распределительное свойства умножения

Цели урока:

1. Получить равенства, выражающие распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания.
2. Научить учащихся применять это свойство слева направо.
3. Показать важное практическое значение этого свойства.
4. Развивать у учащихся логическое мышление. Закрепить навыки работы на компьютере.

Оборудование: компьютеры, плакаты со свойствами умножения, с изображениями машин и яблок, карточки.

Ход урока

1. Вступительное слово учителя.

Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одно свойство умножения, которое имеет важное практическое значение, помогает быстро производить умножение многозначных чисел. Повторим ранее изученные свойства умножения. По ходу изучения новой темы проверим домашнее задание.

2. Решение устных упражнений.

I . На доске запись:

1 – понедельник
2 – вторник
3 – среда
4 – четверг
5 – пятница
6 – суббота
7 – воскресенье

Задание. Задумайте день недели. Умножить номер задуманного дня на 2. Прибавить к произведению 5. Умножить сумму на 5. Увеличить произведение в 10 раз. Назвать результат. Вы загадали… день.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II . Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №8. Экспресс-контроль. Заполните пустые клетки в цепочке. Вариант 1.

III . На доске:

• a + b
• (a + b) * c
• m – n
• m * c – n * c

2) Упростить:

• 5 * x * 6 * y
• 3 * 2 * а
• а * 8 * 7
• 3 * а * b

3) При каких значениях x равенство обращается в верное:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Почему?

Какие свойства умножения применялись?

3. Изучение нового материала.

На доске плакат с изображениями машин.

Рисунок 1.

Задание для 1 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Записать выражения.

1. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых?
2. Сколько грузовых машин во 2-ом ряду? Сколько легковых?
3. Сколько машин всего в гараже?
4. Сколько грузовых машин в 1-ом ряду? Сколько грузовых машин в двух рядах?
5. Сколько легковых машин в 1-ом ряду? Сколько легковых машин в двух рядах?
6. Сколько всего машин в гараже?

Найти значения выражений 3 и 6. Сравнить эти значения. Записать выражения в тетрадь. Прочитать равенство.

Задание для 2 группы учащихся (мальчиков).

В гараже в 2-х рядах стоят грузовые и легковые машины. Что означают выражения:

• 4 – 3
• 4 * 2
• 3 * 2
• (4 – 3) * 2
• 4 * 2 – 3 * 2

Найти значения двух последних выражений.

Значит, между этими выражениями можно поставить знак =.

Прочитаем равенство: (4 – 3) * 2 = 4 * 2 – 3 * 2.

Плакат с изображениями красных и зелёных яблок.

Рисунок 2.

Задание для 3 группы учащихся (девочек).

Составить выражения.

1. Какова масса одного красного и одного зелёного яблока вместе?
2. Какова масса всех яблок вместе?
3. Какова масса всех красных яблок вместе?
4. Какова масса всех зелёных яблок вместе?
5. Какова масса всех яблок?

Найти значения выражений 2 и 5 и сравнить их. Записать это выражение в тетрадь. Прочитать.

Задание для 4 группы учащихся (девочек).

Масса одного красного яблока 100 г, одного зелёного 80 г.

Составить выражения.

1. На сколько г масса одного красного яблока больше, чем зелёного?
2. Какова масса всех красных яблок?
3. Какова масса всех зелёных яблок?
4. На сколько г масса всех красных яблок больше, чем зелёных?

Найти значения выражений 2 и 5.Сравнить их. Прочитать равенство. Только ли для этих чисел верны равенства?

4. Проверка домашнего задания.

Задание. По краткой записи условия задачи поставить главный вопрос, составить выражение и найти его значение при данных значениях переменных.

1 группа

Найти значение выражения при а = 82,b = 21, c = 2.

2 группа

Найти значение выражения при а = 82, b = 21, с= 2.

3 группа

Найти значение выражения при а = 60, b = 40, с = 3.

4 группа

Найти значение выражения при а = 60, b =40, с = 3.

Работа в классе.

Сравнить значения выражений.

Для 1 и 2 групп:(а + b) * с и а * с + b * с

Для 3 и 4 групп:(а – b) * с и а * с – b * с

(а + b) * с = а * с + b * с
(а – b) * с = а * с – b * с

Итак, для любых чисел а, b, с верно:

• При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.
• При умножении разности на число можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
• При умножении суммы или разности на число умножение распределяется на каждое число, заключённое в скобках. Поэтому это свойство умножения называется распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.

Прочитаем формулировку свойства по учебнику.

5. Закрепление нового материала.

Выполнить №548. Примените распределительное свойство умножения.

• (68 + а) * 2
• 17 * (14 – x)
• (b – 7) * 5
• 13 * (2 + y)

1) Выбирай задания на оценку.

Задания на оценку «5».

Пример 1. Найдём значение произведения 42 * 50. Представим число 42 в виде суммы чисел 40 и 2.

Получим: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Теперь применим распределительное свойство:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Аналогично решить №546:

а) 91 * 8
в) 6 * 52
д) 202 * 3
ж) 24 * 11
з) 35 * 12
и) 4 * 505

Представить числа 91,52, 202, 11, 12, 505 в виде суммы десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Пример 2. Найдём значение произведения 39 * 80.

Представим число 39 в виде разности 40 и 1.

Получим: 39 * 80 = (40 – 1) = 40 * 80 – 1 * 80 = 3 200 – 80 = 3 120.

Решить из №546:

б) 7 * 59
е) 397 * 5
г) 198 * 4
к) 25 * 399

Представить числа 59, 397, 198, 399 в виде разности десятков и единиц и применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «4».

Решить из №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить из № 546 (б, г, е, к). Применить распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Задания на оценку «3».

Решить №546 (а, в, д, ж, з, и). Применить распределительное свойство умножения относительно сложения.

Решить №546 (б, г, е, к).

Для решения задачи №552 составить выражение и выполнить рисунок.

Расстояние между двумя сёлами 18 км. Из них выехали в разные стороны два велосипедиста. Один проезжает в час m км, а другой n км. Какое расстояние будет между ними через 4 ч?

(Устно. Примеры записаны на обратной стороне доски.)

Вместо поставьте пропущенные цифры:

Задание из электронного учебника «Математика 5-11кл. Новые возможности для усвоения курса математики. Практикум». ООО «Дрофа» 2004, ООО «ДОС» 2004, CD – ROM, НФПК». Раздел «Математика. Натуральные числа». Задание №7. Экспресс-контроль. Восстановите пропавшие цифры.

6. Подведение итогов урока.

Итак, мы рассмотрели распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Повторим формулировку свойства, прочитаем равенства, выражающие свойство. Применение распределительного свойства умножения слева направо можно выразить условием «раскрыть скобки», т. к. в левой части равенства выражение было заключено в скобки, а в правой скобок нет. При решении устных упражнений на отгадывание дня недели мы тоже использовали распределительное свойство умножения относительно сложения.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * № + 250, а затем решали уравнение вида:
100 * № + 250 = а

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).

Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2 (a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Вычислите удобным способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2 ) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Упростите выражение:

1 ) 4 a * 3 b;

2 ) 18 m − 13 m.

1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Такое преобразование называют раскрытием скобок .

Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.

Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.

Навигация по странице.

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число . Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю . Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Основные свойства умножения целых чисел

Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.

Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число . Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .

Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю , то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.

Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю . В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения

Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.

Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .

Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.

Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.

Свойства вычитания целых чисел

Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a , b и c – произвольные целые числа):

• Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
• Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
• Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
• И все другие свойства вычитания целых чисел.

Свойства деления целых чисел

Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .

Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:

• Никакое целое число нельзя делить на нуль.
• Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
• Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
• Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
• В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
• Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
• Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
• Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
• Любые другие свойства деления целых чисел.

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Операции над числами

Свойства сложения:

a + b = b + a — переместительное свойство

(a + b) +c = a + (b + c) — сочетательное свойство

a + 0 = a — свойство нуля

a + (-a) = 0 — сумма противоположных чисел

Свойства вычитания:

a — (b + c) = a — b — c вычитание суммы чисел от числа

(a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c) — вычитание числа от суммы

a — 0 = a — свойство нуля

0 — a = -a — свойство нуля

Свойства умножения:

a· b = b· a — переместительное свойство

(a · b)· c = a· (b · c) -сочетательное свойство

(a — b)· c = a · c — b · c — распределительное свойство

(a + b)· c = a · c + b · c — распределительное свойство

a · 1 = a — свойство единицы

a · 0 = 0 — свойство нуля

\( a \cdot \frac{1}{a} = 1,\quad a \ne 0 \) — свойство обратных чисел

Свойства деления:

(a · b) : c = a · (b : c) = (a : c) · b — деления произведения на число

(a + b) : c = a : c + b : c — деление суммы на число

(a — b) : c = a : c — b : c — деление разности на число

a : (b ·c) = (a: b) :c = (a : c) : b — деление числа на произведение

a : 1 = a; 0 : a = 0 ; a : a = 1, \(a \ne 0\)- свойство единицы и нуля

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsbox

Свойства сложения. Законы сложения

Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 6+3=9. Это выражение означает, что к шести единицам добавили три единицы и в итоге получили девять единиц. Или, если рассмотреть числовой отрезок: сначала по нему передвинулись на 6 единиц, а затем на 3, и оказались в точке 9. Числа 6 и 3, которые мы сложили, называются слагаемыми. А результат сложения — число 9 —  называется суммой. В виде буквенного выражения этот пример будет выглядеть так: a+b=c, где a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 6 единиц, то в результате сложения получим тот же результат, он будет равен 9. Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые, ответ остается неизменным: 6+3=3+6=9

Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения.

Переместительный (коммуникативный) закон сложения:

a + b = b + a.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Примеры:

55 + 21 = 21 + 55 = 76
108 + 2 = 2 + 108 = 110

Если же мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 6 и выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом прибавим к получившейся сумме 6, то получим выражение: (1+2)+6=9
Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+6, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так: 1+(2+6)=9
Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод: (1+2)+6=1+(2+6)

Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:

a + b + c = a + (b + c).

Сумма не меняется, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Пример:

197 + 23 + 77 = 197 + (23 + 77) = 197 + 100 = 297.

 

Примечание от 7 гуру: оба закона справедливы для любого количества слагаемых. Переместительный и сочетательный законы сложения работают для всех неотрицательных чисел.

Переместительное и сочетательное свойства используются для удобства и упрощения вычислений при сложении.

Пример:

Нужно найти сумму 23 + 9 + 7
Пользуясь переместительным законом, поменяем местами слагаемые 9 и 7, получим 23 + 7 + 9,
теперь, пользуясь сочетательным свойством, объединяем 23 и 7, так как они дают круглое число: (23 + 7) + 9,
Сначала складываем 23 и 7, их сумма равна 30.
Затем прибавляем девять:       30 + 9 = 39.
Итак:  23 + 9 + 7 = (23 + 7) + 9 = 36

Свойство сложения с нулем.

Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа: a + 0 = 0 + a = 0.

Пример:

99 + 0 = 0 + 99 = 99

 

Свойства операций сложения и вычитания Факты и рабочие таблицы

Не готовы приобрести подписку? Нажмите, чтобы загрузить бесплатный образец. Загрузить образец

Загрузить этот образец

Этот образец предназначен исключительно для участников KidsKonnect!
Чтобы загрузить этот рабочий лист, нажмите кнопку ниже, чтобы зарегистрироваться бесплатно (это займет всего минуту), и вы вернетесь на эту страницу, чтобы начать загрузку!

Зарегистрируйтесь

Уже зарегистрировались? Авторизуйтесь, чтобы скачать.

Сложение — это объединение величин, а вычитание — «отнимание». Но на самом деле сложение и вычитание связаны вместе. Уравнения сложения можно решить вычитанием, а уравнения вычитания — сложением.

См. Файл фактов ниже для получения дополнительной информации о свойствах операций сложения и вычитания или, в качестве альтернативы, вы можете загрузить нашу 31-страничную рабочую таблицу Свойства операций в сложении и вычитании для использования в классе или домашней среде.

Основные факты и информация

СОБСТВЕННОСТЬ ДОПОЛНЕНИЯ: КОММУТАТИВНАЯ СОБСТВЕННОСТЬ

• Коммутативная собственность утверждает, что числа можно добавлять в любом порядке, и вы все равно получите тот же ответ.
• Помните, что сложение — это просто подсчет объектов или объединение объектов или чисел, что является применимым свойством коммутативности.
• Например, есть две группы. В одной группе есть одна (1) кнопка, а в другой — две (2) кнопки.
• Делая сложение, мы получим всего три (3) кнопки.
• А что, если бы мы изменили дистрибутивы. Скажем, в группе 1 теперь есть две (2) кнопки, а в группе 2 теперь только одна (1) кнопка. Сколько всего будет?
• Итого все равно будет три (3).
• Следуя свойству коммутативности сложения, независимо от того, в какой группе есть две (2) желтые кнопки и одна (1) красная кнопка, общее количество по-прежнему будет составлять три (3) кнопки.
• Применение этого свойства в уравнении.

СОБСТВЕННОСТЬ ДОБАВЛЕНИЯ: АССОЦИАТИВНАЯ СОБСТВЕННОСТЬ

• Еще одним свойством сложения является ассоциативное свойство.
• Ассоциативное свойство указывает, что независимо от того, как числа или объекты сгруппированы вместе, общая сумма будет одинаковой.
• Следуя (A + B) + C, мы собираемся добавить количество машин Тома и Сэма.
• У Тома две (2) машины, в то время как у Сэма одна (1) машина, тогда у них всего три (3) машины. Затем мы добавим количество машин Криса, которое составляет три (3).Общее количество автомобилей тогда равно шести (6).
• Теперь попробуем применить свойство ассоциативности.
• После A + (B + C) мы собираемся добавить количество машин Сэма и Криса, у нас будет четыре (4) машины.
• Затем добавьте количество машин Тома, которое составляет две (2), общее количество
  будет равно шести (6).
• Общее количество автомобилей равно шести (6) независимо от того, добавили ли мы количество машин Тома и Сэма, а затем добавили количество машин Криса, или если мы сначала добавили количество машин Сэма и Криса, а затем добавили Машины Тома, это связано с ассоциативным свойством.

СОБСТВЕННОСТЬ ДОБАВЛЕНИЯ: СОБСТВЕННОСТЬ ДОБАВИТЕЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

• Еще одно свойство сложения — это свойство аддитивной идентичности, которое гласит, что сумма любого числа и нуля является самим числом.
• Например, есть двое детей. У одного ребенка 3 конфеты, а у другого нет конфет, поэтому ноль (0). Какое общее количество конфет есть у них обоих?
• Следуя свойству аддитивной идентичности сложения, если мы сложим три (3) и ноль (0), мы получим три (3).

СОБСТВЕННОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ: ВЫЧИТАЮЩЕЕ СОБСТВЕННОСТЬ НУЛЯ

• Коммутативное свойство и ассоциативное свойство не применимы к вычитанию, но вычитание имеет свойство, называемое вычитающим свойством, равным нулю.
• Свойство вычитания утверждает, что если мы вычтем ноль (0) из любого числа, ответ или разница будет ненулевым числом.
• Например, у человека, которого мы назовем Томом, есть 3 бутылки с водой.
• Друг, которого мы назовем Сэмом, попросил у Тома одну бутылку с водой, но Том решил не давать ему никакой.
• Каков будет ответ, следуя свойству вычитания нуля?
• Ответ — три (3). Согласно свойству, этим числом считается любое число минус ноль. Следовательно, три (3) минус ноль (0) равно трем (3).

ДОБАВЛЕНИЕ КАК ВЫЧИТАНИЕ

• Уравнение сложения также может быть выражено как уравнение вычитания.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КАК ДОБАВЛЕНИЕ

• Точно так же, как уравнения сложения могут быть выражены как уравнения вычитания, уравнения вычитания также могут быть выражены как уравнения сложения.

Свойства операций в таблицах сложения и вычитания

Это фантастический комплект, который включает все, что вам нужно знать о свойствах операций, а также операции сложения и вычитания на 31 странице с подробным описанием. Это готовых к использованию рабочих листов свойств операций сложения и вычитания, которые идеально подходят для обучения студентов сложению, которое подразумевает объединение величин, в то время как вычитание — это «убирание».Но на самом деле сложение и вычитание связаны вместе. Уравнения сложения можно решить вычитанием, а уравнения вычитания — сложением.

Полный список включенных рабочих листов

• План урока
• Свойства операций сложения и вычитания
• Добавьте их
• Плюс к минусу
• Коммутативный
• Ассоциативный
• Вычтите
• Минус плюс
• Ноль
• Решить все
• Время раскраски
• Ответ

Ссылка / цитирование этой страницы

Если вы ссылаетесь на какой-либо контент на этой странице на своем собственном веб-сайте, используйте приведенный ниже код, чтобы указать эту страницу в качестве исходного источника.

Свойства операций сложения и вычитания. Факты и рабочие листы: https://kidskonnect.com — KidsKonnect, 28 апреля 2020 г.

Ссылка появится в виде свойств операций в фактах и ​​рабочих таблицах сложения и вычитания: https://kidskonnect.com — KidsKonnect, 28 апреля 2020 г.

Использование с любой учебной программой

Эти рабочие листы были специально разработаны для использования в любой международной учебной программе.Вы можете использовать эти рабочие листы как есть или редактировать их с помощью Google Slides, чтобы сделать их более конкретными в соответствии с вашими уровнями способностей учащихся и стандартами учебной программы.

Решайте уравнения, используя свойства равенства и сложения — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Проверить решение уравнения
• Решите уравнения, используя свойства равенства для вычитания и сложения
• Решите уравнения, требующие упрощения
• Переведите в уравнение и решите
• Перевод и решение приложений

Проверить решение уравнения

Решение уравнения похоже на поиск ответа на загадку.Цель решения уравнения состоит в том, чтобы найти значение или значения переменной, которые делают каждую часть уравнения одинаковой, чтобы мы получили истинное утверждение. Любое значение переменной, которое делает уравнение истинным, называется решением уравнения. Это ответ на загадку!

Решение уравнения

Решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

Чтобы определить, является ли число решением уравнения.

1. Подставьте число вместо переменной в уравнении.
2. Упростите выражения с обеих сторон уравнения.
3. Определите, истинно ли полученное уравнение (левая часть равна правой части)
   • Если это правда, число является решением.
   • Если это не так, число не является решением.

Есть решение?

Есть решение?

Решение уравнений с использованием свойств равенства и сложения

Мы собираемся использовать модель, чтобы прояснить процесс решения уравнения.Конверт представляет переменную — поскольку ее содержимое неизвестно — и каждый счетчик представляет собой единицу. Мы разместим один конверт и несколько счетчиков на нашей рабочей области, как показано на (Рисунок). Обе стороны рабочей области имеют одинаковое количество счетчиков, но некоторые счетчики «спрятаны» в конверте. Вы можете сказать, сколько фишек в конверте?

На иллюстрации показана модель уравнения с одной переменной. В левой части рабочей области находится неизвестное (конверт) и три счетчика, а в правой части рабочей области — восемь счетчиков.

О чем ты думаешь? Какие шаги вы предпринимаете, чтобы выяснить, сколько фишек в конверте?

Возможно, вы думаете: «Мне нужно удалить 3 фишки внизу слева, чтобы получить конверт сам по себе. 3 фишки слева можно сопоставить с 3 фишками справа, так что я могу убрать их с обеих сторон. Остается пять справа — значит, в конверте должно быть 5 фишек ». См. (Рисунок) для иллюстрации этого процесса.

На иллюстрации показана модель решения уравнения с одной переменной.С обеих сторон рабочей области удалите три фишки, оставив только неизвестное (конверт) и пять фишек с правой стороны. Неизвестное равно пяти фишкам.

Какое алгебраическое уравнение подходит для этой ситуации? На (Рис.) Каждая сторона рабочей области представляет собой выражение, а центральная линия заменяет знак равенства. Назовем содержимое конверта.

На иллюстрации показана модель уравнения.

Давайте алгебраически запишем шаги, которые мы предприняли, чтобы узнать, сколько счетчиков было в конверте:

Сначала мы сняли по три с каждой стороны.
Потом осталось пятеро.

Чек:

Пять в конверте плюс еще три равняются восьми!

Наша модель дала нам представление о том, что нам нужно сделать, чтобы решить один вид уравнения. Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную отдельно от одной стороны уравнения. Чтобы решить такие уравнения математически, мы используем свойство равенства вычитания.

Свойство равенства вычитания

Для любых номеров a , b и c ,

Если вы вычтете одно и то же количество из обеих частей уравнения, вы все равно получите равенство.

Выполнение задания по манипуляции математикой «Свойство вычитания равенства» поможет вам лучше понять, как решать уравнения с помощью свойства равенства вычитания.

Давайте посмотрим, как использовать это свойство для решения уравнения. Помните, что цель состоит в том, чтобы изолировать переменную с одной стороны уравнения. И мы проверяем наши решения, подставляя значение в уравнение, чтобы убедиться, что у нас есть верное утверждение.

Решить:

Решение

Чтобы получить y отдельно, мы отменим сложение 37, используя свойство равенства вычитания.

Так как утверждение верно, у нас есть решение этого уравнения.

Решить:.

Решить:.

Что происходит, когда в уравнении вычитается число из переменной, как в уравнении? Мы используем другое свойство уравнений для решения уравнений, в которых число вычитается из переменной. Мы хотим изолировать переменную, поэтому, чтобы «отменить» вычитание, мы добавим число к обеим сторонам. Мы используем аддитивное свойство равенства.

Дополнительное свойство равенства

Для любых номеров a , b и c ,

Когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство.

На (рисунок) 37 было добавлено к и , поэтому мы вычли 37, чтобы «отменить» сложение. На (Рисунок) нам нужно будет «отменить» вычитание, используя свойство сложения равенства.

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Следующим примером будет уравнение с десятичными знаками.

Решить:

Решить:

Решить:

Решите уравнения, требующие упрощения

В предыдущих примерах нам удалось выделить переменную всего за одну операцию. Большинство уравнений, с которыми мы сталкиваемся в алгебре, требует дополнительных действий для решения. Обычно нам нужно упростить одну или обе стороны уравнения, прежде чем использовать свойства равенства вычитания или сложения.

Вы всегда должны максимально упростить, прежде чем пытаться изолировать переменную.Помните, что упрощение выражения означает выполнение всех операций в выражении. Упрощайте одну сторону уравнения за раз. Обратите внимание, что упрощение отличается от процесса, используемого для решения уравнения, в котором мы применяем операцию к обеим сторонам.

Как решать уравнения, требующие упрощения

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Мы максимально упрощаем обе части уравнения, прежде чем пытаться изолировать переменную.

Решить:

Решить:

Решить:

Решение

Мы упрощаем обе части уравнения, прежде чем изолировать переменную.

Решить:

Решить:

Перевести в уравнение и решить

Чтобы решать приложения алгебраически, мы начнем с перевода английских предложений в уравнения. Нашим первым шагом будет поиск слова (или слов), которое переводится как знак равенства.(Рисунок) показывает нам некоторые из часто используемых слов.

Равно =
равно равно то же самое, что результат дает было будет

Шаги, которые мы используем для преобразования предложения в уравнение, перечислены ниже.

Переведите английское предложение в алгебраическое уравнение.

1. Найдите слово (слова) «равно». Переведите на знак равенства (=).
2. Переведите слова слева от слова (слов) «равно» в алгебраическое выражение.
3. Переведите слова справа от слова (слов) «равно» в алгебраическое выражение.

Переведите и решите: Одиннадцать больше, чем x равно 54.

Решение

Перевести.
Вычтите 11 с обеих сторон.
Упростить.
Проверить: 54 одиннадцать больше, чем 43?

Переведите и решите: Десять больше x равно 41.

Переведите и решите: Двенадцать меньше 90 247 x 90 248 равно 51.

Переведите и решите: разница между и равна 14.

Перевести и решить: разница и есть.

Переводчик и решение приложений

В большинстве случаев вопрос, требующий алгебраического решения, возникает из вопроса реальной жизни. Для начала этот вопрос задается на английском (или на языке человека, задающего вопрос), а не математическими символами.Поэтому очень важно уметь переводить повседневную ситуацию на алгебраический язык.

Мы начнем с переформулирования проблемы в одном предложении, присвоим переменную, а затем переведем предложение в уравнение, которое нужно решить. При присвоении переменной выберите букву, которая напоминает вам о том, что вы ищете. Например, вы можете использовать q для количества кварталов, если вы решаете проблему с монетами.

Как решать, переводить и решать приложения

Семья Макинтайров перерабатывала газеты в течение двух месяцев.Всего за два месяца газеты весили 57 фунтов. Второй месяц газеты весили 28 фунтов. Сколько весили газеты в первый месяц?

Переведите в алгебраическое уравнение и решите:

В семье Паппас есть две кошки, Зевс и Афина. Вместе они весят 23 фунта. Зевс весит 16 фунтов. Сколько весит Афина?

Переведите в алгебраическое уравнение и решите:

Сэм и Генри — соседи по комнате. Вместе у них 68 книг.У Сэма 26 книг. Сколько книг у Генри?

Решите заявку.

1. Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
2. Укажите , что мы ищем.
3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменную для представления этого количества.
4. Переведите в уравнение. Может быть полезно переформулировать проблему одним предложением с важной информацией.
5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
6. Отметьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Рэнделл заплатил за свою новую машину 28 675 фунтов стерлингов. Это было на 875 фунтов меньше рекомендованной цены. Какая была цена автомобиля по наклейке?

Решение

.

Шаг 1. Прочтите о проблеме.
Шаг 2.Определите , что мы ищем.	«Какова была цена автомобиля по наклейке?»
Шаг 3. Назовите то, что мы ищем. Выберите переменную для представления этого количества.	Давай наклейка с ценой на машину.
Шаг 4. Переведите в уравнение. Переформулируйте проблему одним предложением.	? 28 675 — это на 875 евро меньше рекомендованной цены
Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Отметьте ответ. Является ли? 875 меньше, чем? 29 550, равным? 28 675?
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.	Наклейочная цена автомобиля составляла 29 550 фунтов стерлингов.

Переведите в алгебраическое уравнение и решите:

Эдди заплатил за свою новую машину 19875 фунтов стерлингов. Это было на 1025 фунтов меньше рекомендованной цены. Какая была цена автомобиля по наклейке?

Переведите в алгебраическое уравнение и решите:

Стоимость посещения кино в дневное время составляет 7 евро.75. Это на 3,25 фунта меньше цены в ночное время. Сколько стоит фильм ночью?

Ключевые концепции

• Чтобы определить, является ли число решением уравнения
  1. Подставьте число вместо переменной в уравнении.
  2. Упростите выражения в обеих частях уравнения.
  3. Определите, истинно ли полученное утверждение.
     • Если это правда, число является решением.
     • Если это не так, число не является решением.
• Дополнительное свойство равенства
  • Для любых чисел a , b и c , если, то.
• Свойство равенства вычитания
  • Для любых чисел a , b и c , если, то.
• Преобразование предложения в уравнение
  1. Найдите слово (слова) «равно».Переведите на знак равенства (=).
  2. Переведите слова слева от слова (слов) «равно» в алгебраическое выражение.
  3. Переведите слова справа от слова (слов) «равно» в алгебраическое выражение.
• Для решения приложения
  1. Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
  2. Определите, что мы ищем.
  3. Назовите то, что мы ищем. Выберите переменную для представления этого количества.
  4. Перевести в уравнение. Может быть полезно переформулировать проблему одним предложением с важной информацией.
  5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Практика ведет к совершенству

Проверить решение уравнения

В следующих упражнениях определите, является ли данное значение решением уравнения.

Это решение
?

Это решение
?

Это решение
?

Это решение
?

Решение уравнений с использованием свойств равенства равенства

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойства равенства вычитания и сложения.

Решение уравнений, требующих упрощения

В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

Перевести в уравнение и решить

В следующих упражнениях переведите уравнение, а затем решите его.

Девять больше, чем равно 52.

Сумма x и равна 23.

Десятка менее м сот.

Три меньше y ед.

Сумма y и 40.

Двенадцать больше р равно 67.

Разница составляет 107.

Разница составляет 602.

Разница и есть.

Разница и есть.

Переводчик и решение приложений

В следующих упражнениях переведите в уравнение и решите.

Расстояние Аврил проехала на велосипеде 18 миль от дома до библиотеки, а затем до пляжа. Расстояние от дома Аврил до библиотеки составляет 11,2 км. Какое расстояние от библиотеки до пляжа?

Чтение Джефф прочитал в общей сложности 54 страницы в своих учебниках истории и социологии.Он прочитал 41 страницу в своем учебнике истории. Сколько страниц он прочитал в своем учебнике социологии?

Возраст Дочь Евы на 15 лет младше сына. Сыну Евы 22 года. Сколько лет ее дочери?

Возраст Отец Пабло на 3 года старше своей матери. Матери Пабло 42 года. Сколько лет его отцу?

Бакалея На семейный ужин в честь дня рождения Селеста купила индейку, которая весила на 5 фунтов меньше, чем та, которую она купила на День Благодарения.Именинная индейка весила 16 фунтов. Сколько весила индейка на День Благодарения?

Вес Элли весит на 8 фунтов меньше, чем ее сестра-близнец Лорри. Элли весит 124 фунта. Сколько весит Лорри?

Здоровье Температура Коннора сегодня утром была на 0,7 градуса выше, чем прошлой ночью. Его температура сегодня утром была 101,2 градуса. Какая у него была температура прошлой ночью?

Здоровье Медсестра сообщила, что дочь Триши поправилась на 4.2 фунта с момента ее последнего осмотра и сейчас весит 31,6 фунта. Сколько весила дочь Триши на последнем обследовании?

Зарплата Зарплата Рона на этой неделе была на 17,43 евро меньше, чем на прошлой неделе. Его зарплата на этой неделе составляла 103,76 фунтов стерлингов. Сколько была зарплата Рона на прошлой неделе?

Учебники Учебник по математике для Мелиссы стоил на 22,85 евро меньше, чем ее книга по искусству. Ее учебник по математике стоил 93,75 фунтов стерлингов. Сколько стоил ее артбук?

Повседневная математика

Выпечка Келси нужна чашка сахара для рецепта печенья, которое она хочет приготовить.У нее есть только чашка сахара, а остальное она одолжит у соседки. Дайте равное количество сахара, которое она одолжит. Решите уравнение, чтобы найти количество сахара, которое она должна попросить одолжить.

Письменные упражнения

Это решение уравнения? Откуда вы знаете?

Нет. Обоснования могут быть разными.

Каков первый шаг в вашем решении уравнения?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Если бы большинство ваших чеков было:

… уверенно. Поздравляем! Вы достигли своих целей в этом разделе! Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным!

… с некоторой помощью. Эту проблему нужно решать быстро, поскольку темы, которые вы не осваиваете, становятся ухабами на вашем пути к успеху. Математика последовательна — каждая тема основывается на предыдущей работе.Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, не понимаю! Это очень важно, и вы не должны игнорировать его. Вам нужно немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

Глоссарий

решение уравнения

Решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

Свойства равенств (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Два уравнения, которые имеют одно и то же решение, называются эквивалентными уравнениями, например 5 +3 = 2 + 6. И это, как мы узнали в предыдущем разделе, обозначается знаком равенства =. Обратная операция — это две операции, которые отменяют друг друга. E.грамм. сложение и вычитание или умножение и деление. Вы можете выполнить ту же обратную операцию с каждой стороной эквивалентного уравнения, не меняя равенства.

$$ 5 + 3 \, {\ color {green} {- \, 2}} = 6 + 2 \, {\ color {green} {- \, 2}} $$

Это дает нам несколько свойств, которые верны для всех уравнений.

Свойство сложения равенства говорит нам, что добавление одного и того же числа к каждой стороне уравнения дает нам эквивалентное уравнение

$$, если \: ab = c, то \: ab \, {\ color {green} {+ \, b}} = c \, {\ color {green} {+ \, b}} или \: a = c + b $$

То же самое и со свойством вычитания равенства .

$$ если \: a + b = c, то \: a + b \, {\ color {green} {- \, b}} = c \, {\ color {green} {- \, b}} , или \: a = cb $$

Так же, как и свойство умножения равенства . Если вы умножите каждую сторону уравнения на одно и то же ненулевое число, вы получите эквивалентное уравнение.

$$, если \: \ frac {a} {b} = c и \: b \ neq 0, то \: \ frac {a} {b} \, \ cdot {\ color {green} b} = c \ cdot \, {\ color {green} b} или \: a = cb $$

И, естественно, это относится и к разделу , равному .Вы можете разделить каждую часть уравнения на одно и то же ненулевое число, чтобы получить эквивалентное уравнение

$$, если \: a \ cdot b = c и \: b \ neq 0, то \: \ frac {a \ cdot b} {{\ color {green} b}} \, = \ frac {c} {{\ color {green} b}} или \: a = \ frac {c} {b} $$

Это дает нам возможность изменить уравнение по своему усмотрению. Приемлемо все, что угодно, если вы делаете одно и то же с обеих сторон.

Есть еще пара других свойств уравнений, которые тоже полезно знать.

---

Пример

Джордж срубил дуб высотой 60 футов.Теперь он хочет разрезать его на более мелкие кусочки. Сначала он разрезает его на две части, каждая по 30 футов. А затем он продолжает делать десять деталей длиной 6 футов, прежде чем погрузить их в свой грузовик.

Глядя на разные куски дерева, мы можем видеть, что верно следующее.

$$ 60 = 30 + 30 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 $$

Это называется рефлексивным свойством равенства и говорит нам, что любое количество равно самому себе

$$ a = a $$

Мы также можем использовать этот пример с кусками дерева, чтобы объяснить свойство симметрии равенства .Это свойство гласит, что если количество a равно количеству b, то b равно a.

$$, если \: a = b, \: then \: b = a $$

Или, если использовать наш пример

$$ если \: 60 = 30 + 30, \: то \: 30 + 30 = 60 $$

Еще одно свойство, которое можно объяснить этим, — это переходное свойство равенства . Он говорит нам, что если количество a равно количеству b, а b равно количеству c, то a и c также равны.

$$ if \: a = b \: and \: b = c, \: then \: a = c $$

Или в числах взятых из примера дуба

$$ if \: 60 = 30 + 30 $$

$$ и \: 30 + 30 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 $$

$$, тогда \: 60 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 $$

Поскольку мы знаем, что 30 + 30 = 20 + 40 и что 30 + 30 = 60, мы можем заменить 30 + 30 на 20 + 40 и получить 60 = 20 + 40.Это называется свойством замещения равенства .

Если a = b, то a можно заменить на b в любом выражении.

---

Видеоурок

Решите эти уравнения, используя обратные операции

$$ x + 8 = 10 $$

$$ x — 4 = 22 $$

$$ x \ div 3 = 6 $$

$$ 7x = 28 $$

1.2: Объединение целых чисел — сложение и вычитание с целыми числами

В выражении 3 + 4, которое показывает сумму двух целых чисел, целые числа 3 и 4 называются , складывает или членов .Мы можем использовать визуальный подход, чтобы найти сумму 3 и 4. Сначала постройте числовую линию, как показано на рисунке 1.2.

Чтобы сложить 3 и 4, действуйте следующим образом.

Коммутативное свойство Дополнения

Давайте изменим порядок, в котором мы складываем целые числа 3 и 4. То есть давайте вместо этого найдем сумму 4 + 3.

Рисунок 1.3: Сложение коммутативно; т.е. порядок не имеет значения.

Как вы можете видеть на рисунке 1.3, мы начинаем с нуля, затем рисуем стрелку длиной четыре, за которой следует стрелка длиной три.Однако результат тот же; т.е. 4 + 3 = 7.

Таким образом, порядок, в котором мы складываем три и четыре, не имеет значения; то есть

3 + 4 = 4 + 3.

Это свойство сложения целых чисел известно как коммутативное свойство сложения.

Коммутативная собственность Дополнения

Пусть a и b представляют два целых числа. Затем

a + b = b + a .

Группировка символов

В математике мы используем , группируя символов , чтобы влиять на порядок, в котором вычисляется выражение. Независимо от того, используем ли мы круглые скобки, квадратные скобки или фигурные скобки, выражение внутри любой пары группирующих символов должно быть вычислено в первую очередь. Например, обратите внимание, как мы сначала вычисляем сумму в скобках в следующем вычислении.

(3 + 4) + 5 = 7 + 5

= 12

Правило простое: сначала оценивается все, что указано в круглых скобках.

Письмо по математике

При написании математических утверждений следуйте мантре:

Один знак равенства в строке.

Мы можем использовать квадратные скобки вместо скобок.

5 + [7 + 9] = 5 + 16

= 21

Снова обратите внимание на то, как сначала вычисляется выражение в скобках.

Мы также можем использовать фигурные скобки вместо круглых или квадратных скобок.

{2 + 3} + 4 = 5 + 4

= 9

Снова обратите внимание на то, как сначала вычисляется выражение внутри фигурных скобок.

Если символы группировки вложены, мы сначала оцениваем самые внутренние круглые скобки.

Например,

2 + [3 + (4 + 5)] = 2 + [3 + 9]

= 2 + 12

= 14.

Обозначения группировки

Используйте круглые, квадратные или фигурные скобки, чтобы ограничить часть выражения, которую вы хотите вычислить в первую очередь. Если символы группировки вложены друг в друга, сначала оцените выражение в самой внутренней паре символов группировки.

Ассоциативное свойство сложения

Рассмотрим вычисление выражения (2 + 3) +4.Сначала мы оцениваем выражение в круглых скобках.

(2 + 3) + 4 = 5 + 4

= 9

Теперь предположим, что мы изменили порядок сложения на 2 + (3 + 4). Затем

2 + (3 + 4) = 2 + 7

= 9.

Хотя группировка изменилась, результат тот же. То есть

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).

Это свойство сложения целых чисел называется ассоциированным свойством сложения.

Ассоциированная собственность Дополнения

Пусть a , b и c представляют собой целые числа.Затем

( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Из-за связанного свойства сложения при представлении суммы трех чисел, независимо от того, начинаете ли вы складывать первые два числа или два последних числа, результирующая сумма будет одинаковой.

Идентичность добавки

Представьте себе числовую линейную визуализацию суммы четырех и нуля; т.е. 4 + 0.

На рисунке 1.4, мы начинаем с нуля, затем рисуем стрелку величины (длины) четыре, указывающую вправо. Теперь на конце этой стрелки прикрепите вторую стрелку нулевой длины. Конечно, это означает, что мы остаемся там, где мы есть, на 4. Следовательно, заштрихованная точка на 4 — это сумма. То есть 4 + 0 = 4.

Рисунок 1.4: Добавление нуля к четырем.

Свойство аддитивной идентичности

Целое число ноль называется аддитивным тождеством. Если a — любое целое число,

а + 0 = а.

Число ноль называется аддитивным тождеством, потому что если вы добавите ноль к любому числу, вы получите то же самое число обратно.

Сложение больших целых чисел

Для полноты мы включили два примера сложения больших целых чисел. Надеюсь, алгоритм знаком по предыдущим курсовым работам.

Пример 1

Упростить: 1, 234 + 498.

Решение

Выровняйте числа по вертикали, затем сложите, начиная с самого дальнего столбца справа.Сложите цифры в столбце единиц, 4 + 8 = 12. Запишите 2, затем перенесите 1 в столбец десятков. Затем сложите цифры в столбце десятков, 3 + 9 = 12, добавьте перенос, чтобы получить 13, затем запишите 3 и перенесите 1 в столбец сотен. Продолжайте в том же порядке, работая справа налево

\ (\ begin {array} {r} {11} \\ {1234} \\ {+ \ quad 498} \\ \ hline 1732 \ end {array} \)

Следовательно, 1, 234 + 498 = 1, 732

Упражнение

Упростить: 1,286 + 349.

Ответ

1635

Таким же образом сложите три или более чисел.

Пример 2

Упростить: 256 + 322 + 418.

Решение

Выровняйте числа по вертикали, затем сложите, начиная с самого дальнего столбца справа. Сложите цифры в столбце единиц, 6 + 2 + 8 = 16. Запишите 6, затем перенесите 1 в столбец десятков. Продолжайте таким же образом, работая справа налево.

\ (\ begin {array} {r} {256} \\ {322} \\ {+418} \\ \ hline 996 \ end {array} \)

Следовательно, 256 + 322 + 418 = 996.

Упражнение

Упростить: 256 + 342 + 283

Ответ

881

Вычитание целых чисел

Основная идея заключается в следующем: Вычитание противоположно сложению .Например, рассмотрим разницу 7–4, изображенную на числовой прямой на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5: Вычитание означает, что складывает противоположное .

Если бы мы складывали 7 и 4, мы сначала рисуем стрелку, начинающуюся с нуля, указывающую вправо с величиной (длиной) семь. Затем, чтобы добавить 4, мы нарисуем вторую стрелку величины (длины) 4, прикрепленную к концу первой стрелки и указывающую вправо.

Однако, поскольку вычитание — это напротив сложения, как показано на рисунке 1.5 мы прикрепляем стрелку величины (длины) четыре к концу первой стрелки, но , указывающую в противоположном направлении (слева). Обратите внимание, что эта последняя стрелка заканчивается ответом, который представляет собой заштрихованную точку на числовой строке с номером 3. То есть 7 — 4 = 3.

Обратите внимание, что вычитание не коммутативное ; то есть нет смысла говорить, что 7-5 — это то же самое, что 5-7.

Вычитание неассоциативное . Это не тот случай, когда (9-5) — 2 то же самое, что 9 — (5-2).С одной стороны,

(9–5) — 2 = 4–2

= 2,

но

9 — (5 — 2) = 9 — 3

= 6.

Вычитание больших целых чисел

Так же, как мы это делали с добавлением больших целых чисел, чтобы вычесть два больших целых числа, выровняйте их по вертикали, а затем вычтите, работая справа налево. Возможно, вам придется «одолжить», чтобы завершить вычитание на любом этапе.

Пример 3

Упростить: 1, 755 — 328.

Решение

Выровняйте числа по вертикали, затем вычтите, начиная с столбца единиц, затем работая справа налево.В столбце единиц мы не можем вычесть 8 из 5, поэтому мы заимствуем из предыдущего столбца. Теперь 8 из 15 равно 7. Продолжайте таким же образом, работая справа налево.

Следовательно, 1 755 — 328 = 1 427.

Упражнение

Упростить: 5,635 — 288.

Ответ

5 347

Порядок действий

При отсутствии символов группировки важно понимать, что сложение не имеет приоритета над вычитанием, и наоборот.

Выполните все сложения и вычитания в указанном порядке, двигаясь слева направо.

Давайте посмотрим на пример.

Пример 4

Упростим выражение \ (15-8 + 4 \).

Решение

Этот пример может быть сложнее, чем кажется. Однако, если мы будем следовать правилу (выполнять все сложения и вычитания в указанном порядке, двигаясь слева направо), у нас не должно возникнуть проблем. Сначала идет пятнадцать минус восемь, то есть семь.Тогда семь плюс четыре — одиннадцать.

\ [\ begin {align *} 15-8 + 4 & = 7 + 4 \\ [4pt] & = 11. \ end {align *} \]

Упражнение

Упростить: \ (25-10 + 8 \).

Ответ

23

Внимание! Впереди неправильный ответ!

Обратите внимание, что можно прийти к другому (но неверному) ответу, если в примере 4 мы предпочтем сложение, а не вычитание. Если мы сначала сложим восемь и четыре, то 15-8 + 4 превратится в 15-12, что равно 3.Однако обратите внимание, что — это неправильный , потому что он нарушает правило «выполнять все сложения и вычитания в указанном порядке, двигаясь слева направо».

Приложения — Геометрия

Существует любое количество приложений, требующих вычисления суммы или разности целых чисел. Давайте рассмотрим несколько примеров из мира геометрии.

Периметр многоугольника

В геометрии многоугольник — это плоская фигура, состоящая из замкнутого пути конечной последовательности сегментов.Сегменты называются ребрами или сторонами многоугольника, а точки, где встречаются два ребра, называются вершинами многоугольника. периметр любого многоугольника — это сумма длин его сторон.

Пример 5

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами. Найдите периметр четырехугольника, показанного ниже, стороны которого измерены ниже.

Решение

Чтобы найти периметр четырехугольника, найдите сумму длин сторон.

Периметр = 3 + 3 + 4 + 5 = 15

Следовательно, периметр четырехугольника равен 15 ярдам.

Упражнение

У четырехугольника стороны размером 4 дюйма, 3 дюйма, 5 дюймов и 5 дюймов. Найдите периметр.

Ответ

17 дюймов

Пример 6

Четырехугольник (четыре стороны) является прямоугольником, если все четыре его угла прямые. Можно показать, что противоположные стороны прямоугольника должны быть равны.Найдите периметр прямоугольника, показанного ниже, стороны которого измеряются в метрах.

Решение

Чтобы найти периметр прямоугольника, найдите сумму четырех сторон. Поскольку противоположные стороны имеют одинаковую длину, у нас есть две стороны длиной 5 метров и две стороны длиной 3 метра. Следовательно,

Периметр = 5 + 3 + 5 + 3 = 16.

Таким образом, периметр прямоугольника равен 16 метрам.

Упражнение

Прямоугольник имеет длину 12 метров и ширину 8 метров.Найдите его периметр.

Ответ

40 метров

Пример 7

Четырехугольник (четыре стороны) — это квадрат , если все четыре его стороны составляют 18 сантиметров. Найдите его периметр. равны, и все четыре его угла прямые. На фото ниже квадрат со стороной 12 футов. Найдите периметр квадрата.

Решение

Поскольку четырехугольник — квадрат, все четыре стороны имеют одинаковую длину, а именно 12 футов.Чтобы найти периметр квадрата, найдите сумму четырех сторон. Периметр = 12 + 12 + 12 + 12 = 48

Следовательно, периметр квадрата составляет 48 футов.

Упражнение

У квадрата длина стороны 18 сантиметров. Найдите его периметр.

Ответ

72 см

Применение — Альтернативные виды топлива

Количество автомобилей, работающих на альтернативных видах топлива (кроме бензина), за последние годы увеличилось в Соединенных Штатах.

Пример 8

Таблица 1.2 показывает количество автомобилей (в тысячах), работающих на компримированном природном газе, по сравнению с годом. Создайте гистограмму, показывающую количество автомобилей, работающих на сжатом природном газе, по сравнению с годом.

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Номер	23	32	4`	50	60	73	78	89	101

Таблица 1.2: Количество автомобилей (в тысячах), работающих на сжатом природном газе.

Решение

Разместите годы на горизонтальной оси. Каждый год нарисуйте полосу, высота которой равна количеству автомобилей в этом году, которые работают на сжатом природном газе. Масштабируйте вертикальную ось в тысячах.

Упражнение

В следующей таблице показано количество гибридных автомобилей (в тысячах) по странам.

Страна	Номер
U.С.	279
Япония	77
Канада	17
Великобритания	14
Нидерланды	11

Создайте гистограмму, показывающую количество автомобилей в зависимости от страны использования.

Пример 9

Используя данные таблицы 1.2, согните таблицу, в которой показаны различия в последовательных годах, затем создайте линейный график результата. В какие годы подряд в Соединенных Штатах наблюдался наибольший рост количества автомобилей, работающих на сжатом природном газе?

Решение

Таблица 1.3 показывает разницу в последовательные годы.

Затем создайте линейный график. Разместите последовательные годы на горизонтальной оси. Для каждой пары следующих друг за другом лет нанесите точку на высоте, равной разнице в транспортных средствах на альтернативном топливе.Соедините точки отрезками прямых линий.

Обратите внимание на то, как линейный график полностью проясняет, что наибольший рост числа автомобилей, работающих на сжатом природном газе, произошел в последующие годы 1996-1997 годов, то есть на 13 000 автомобилей.

Упражнение

В следующей таблице показаны процентные оценки Альфонсо на экзаменах по математике.

Экзамен	В процентах
Экзамен № 1	52
Экзамен № 2	45
Экзамен № 3	72
Экзамен № 4	889
Экзамен № 5	76

Постройте график зависимости результатов экзамена Альфонсо от номера экзамена.

Упражнения

1. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 3 + 2, как показано на Рисунке 1.2 в описании этого раздела.

2. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 3 + 5, как показано на Рисунке 1.2 в описании этого раздела.

3. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 3 + 4, как показано на Рисунке 1.2 в описательной части этого раздела.

4. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую сумму 2 + 4, как показано на рисунке 1.2 в описании этого раздела.

5. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую сумму 4 + 2, как показано на Рисунке 1.2 в описательной части этого раздела.

6. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 4 + 3, как показано на Рисунке 1.2 в описательной части этого раздела.

7. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 2 + 5, как показано на Рисунке 1.2 в описании этого раздела.

8. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 4 + 5, как показано на рисунке 1.2 в описании этого раздела.

9. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 4 + 4, как показано на Рисунке 1.2 в описании этого раздела.

10. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую сумму 3 + 3, как показано на Рисунке 1.2 в описательной части этого раздела.

---

В упражнениях 11-28 определите, какое свойство сложения отображается данным идентификатором

11. 28 + 0 = 28

12. 53 + 0 = 53

13. 24 + 0 = 24

14.93 + 0 = 93

15. (51 + 66) + 88 = 51 + (66 + 88)

16. (90 + 96) + 4 = 90 + (96 + 4)

17. 64 + 39 = 39 + 64

18. 68 + 73 = 73 + 68

19. (70 + 27) + 52 = 70 + (27 + 52)

20. (8 + 53) + 81 = 8 + (53 + 81)

21. 79 + 0 = 79

22. 42 + 0 = 42

23. 10 + 94 = 94 + 10

24. 55 + 86 = 86 + 55

25. 47 + 26 = 26 + 47

26. 62 + 26 = 26 + 62

27.(61 + 53) + 29 = 61 + (53 + 29)

28. (29 + 96) + 61 = 29 + (96 + 61)

---

29. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 8-2, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

30. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую разницу 8-4, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

31. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 7-2, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

32.Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 9-5, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

33. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую разницу 7-4, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

34. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 6-4, как показано на Рисунке 1.5 в описательной части этого раздела.

35. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 9-4, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

36. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 6–5, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

37. Нарисуйте числовую линейную диаграмму, изображающую разницу 8-5, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

38. Нарисуйте числовую диаграмму, изображающую разницу 9-3, как показано на Рисунке 1.5 в описании этого раздела.

---

В упражнениях 39-50 упростите данное выражение.

39. 16 — 8 + 2

40.17 — 3 + 5

41. 20 — 5 + 14

42. 14 — 5 + 6

43. 15 — 2 + 5

44. 13 — 4 + 2

45. 12 — 5 + 4

46. 19 — 4 + 13

47. 12 — 6 + 4

48. 13 — 4 + 18

49. 15 — 5 + 8

50. 13 — 3 + 11

---

В упражнениях 51-58 даны ширина W и длина L прямоугольника. Найдите периметр P прямоугольника.

51. W = 7 дюймов, L = 9 дюймов

52. W = 4 дюйма, L = 6 дюймов

53.W = 8 дюймов, L = 9 дюймов

54. W = 5 дюймов, L = 9 дюймов

55. Ш = 4 см, Д = 6 см

56. W = 5 дюймов, L = 8 дюймов

57. Ш = 4 см, Д = 7 см

58. W = 4 дюйма, L = 9 дюймов

---

В упражнениях 59–66 дается длина стороны квадрата s. Найдите периметр P квадрата.

59. s = 25 см

60. s = 21 дюйм

61. s = 16 см

62. s = 10 дюймов

63. s = 18 дюймов

64. s = 7 дюймов

65.s = 3 в

66. s = 20 дюймов

---

Найдите сумму в упражнениях 67–86.

67. 3005 + 5217

68. 1870 + 5021

69. 575 + 354 + 759

70. 140 + 962 + 817

71. 472 + (520 + 575)

72. 318 + (397 + 437)

73,274 + (764 + 690)

74. 638 + (310 + 447)

75. 8583 + 592

76. 5357 + 9936

77. 899 + 528 + 116

78. 841 + 368 + 919

79.(466 + 744) + 517

80. (899 + 996) + 295

81. 563 + 298 + 611 + 828

82. 789 + 328 + 887 + 729

83. 607 + 29 + 270 + 245

84. 738 + 471 + 876 + 469

85. (86 + 557) + 80

86. (435 + 124) + 132

---

Найдите разницу в упражнениях 87–104.

87. 3493 — 2034 — 227

88. 3950 — 1530 — 2363

89. 8338 — 7366

90. 2157 — 1224

91.2974–2374

92. 881 — 606

93. 3838 — (777 — 241)

94. 8695 — (6290 — 4233)

95. 5846 — 541 — 4577

96. 5738 — 280 — 4280

97. 3084 — (2882 — 614)

98. 1841 — (217 — 28)

99 2103 — (1265 — 251)

100. 1471 — (640 — 50)

101. 9764 — 4837 — 150

102. 9626 — 8363 — 1052

103. 7095 — 226

104. 4826 — 1199

---

105. Субсидии на воду . С начала засухи в 2007 году калифорнийские фермы получили 79 миллионов долларов в виде субсидий на воду. Калифорнийские фермеры, выращивающие хлопок и рис, получили дополнительно 439 миллионов долларов. Какой общий объем субсидий на воду получили фермеры? Associated Press Times-Standard 15.04.09

106. Военный бюджет . В федеральном бюджете на 2010 год выделяется 534 миллиарда долларов на базовые программы Министерства обороны и еще 130 миллиардов долларов на две войны страны.Сколько всего получит министерство обороны? Associated Press Times-Standard 8.05.09

107. Сан Фрост . В Аркате, Калифорния, находится компания Sun Frost, производитель высокоэффективных холодильников и морозильников. Холодильник / морозильник модели AC RF12 стоит 2279 долларов, а холодильник / морозильник модели R16 стоит 3017 долларов. Насколько дороже стоит модель R16? Источник: www.sunfrost.com/retail pricelist.html

108. Шаттл-орбита . Космический шаттл обычно вращается на высоте 250 миль над поверхностью Земли.Для обслуживания космического телескопа Хаббла шаттл должен был подняться на высоту 350 миль над поверхностью. Насколько выше шаттл должен был выйти на орбиту?

109. Орбита Земли . Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу. Когда Земля находится наиболее близко к Солнцу, называемому перигелием , расстояние до Земли составляет около 147 миллионов километров. Когда Земля находится в самой дальней точке от Солнца, называемой афелием , Земля находится примерно в 152 миллионах километров от Солнца. Какая разница в миллионах километров между афелием и перигелием?

110. Орбита Плутона . Орбита Плутона очень эксцентрична. Найдите разницу между наиболее близким приближением Плутона к Солнцу и наибольшим расстоянием Плутона от Солнца, если перигелий Плутона (ближайшая точка на его орбите вокруг Солнца) составляет около 7 миллиардов километров, а его афелий (самая дальняя точка на его орбите вокруг Солнца) составляет около 30 миллиардов километров.

111. Температура солнечных пятен . Поверхность Солнца составляет около 10 000 градусов по Фаренгейту. Солнечные пятна — это более темные области на поверхности Солнца с относительно более низкой температурой — 6300 градусов по Фаренгейту.На сколько градусов холоднее солнечные пятна?

112. Вакансии . Times-Standard сообщает, что в течение следующего года компания Humboldt Merchant Services, занимающаяся обработкой кредитных и дебетовых карт, планирует сократить 36 из 80 своих рабочих мест, но затем развернется и наймет еще 21. Сколько человек тогда будет работать в компании? Times-Standard 06.05.09

113. Дикие тигры . На диаграмме показана расчетная популяция диких тигров по регионам. Согласно этой диаграмме, какова общая популяция диких тигров во всем мире? Associated Press-Times-Standard 24.01.10 Опоры давления для спасения тигра .

Регион	Популяция тигров
Индия, Непал и Бутан	1650
Китай и Россия	450
Бангладеш	250
Суматра (Индонезия)	400
Малайзия	500
прочие страны Юго-Восточной Азии	350

114. Пиратские атаки . Следующая гистограмма отслеживает нападения пиратов у побережья Сомали.

Источник: Международное морское бюро ICC, AP Times-Standard, 15.04.2009

a) Сколько пиратских атак было совершено в 2003, 2004 и 2005 годах вместе взятых?

б) Сколько пиратских атак было совершено в 2006, 2007 и 2008 годах вместе взятых?

c) На сколько пиратских нападений было больше в 2008 году, чем в 2007 году?

115. Эмили показывает улучшения на каждом последующем экзамене в течение семестра.Результаты ее экзаменов занесены в следующую таблицу.

Экзамен	Оценка
Экзамен № 1	48
Экзамен № 2	51
Экзамен № 3	54
Экзамен № 4	59
Экзамен № 5	67
Экзамен № 6	70

a) Создайте гистограмму для оценок Эмили на экзамене.Поместите номера обследований на горизонтальную ось в том же порядке, что и в таблице выше.

б) Создайте таблицу, которая показывает последовательные различия в оценках экзаменов. Постройте линейный график этих различий. Между какими двумя экзаменами Эмили показала наибольшее улучшение?

116. Джейсон показывает улучшения на каждом последующем экзамене в течение семестра. Его экзаменационные баллы записаны в следующей таблице.

Экзамен	Оценка
Экзамен № 1	34
Экзамен № 2	42
Экзамен № 3	45
Экзамен № 4	50
Экзамен № 5	57
Экзамен № 6	62

a) Создайте гистограмму для оценок Джейсона на экзамене.Поместите номера обследований на горизонтальную ось в том же порядке, что и в таблице выше.

б) Создайте таблицу, которая показывает последовательные различия в оценках экзаменов. Постройте линейный график этих различий. Между какими двумя экзаменами Джейсон показал наибольшее улучшение?

Распределительное свойство — определение и примеры

Среди всех свойств в математике довольно часто используется распределительное свойство . Это связано с тем, что любой метод умножения чисел на другое число использует свойство распределения.Это свойство было введено в начале 18^{-го и} -го века, когда математики начали анализировать абстракции и свойства чисел.

Слово «распределительный» происходит от слова « распространять », что означает, что вы делите что-то на части. Это свойство распределяет или разбивает выражения на сложение или вычитание двух чисел.

Что такое распределительная собственность?

Распределительное свойство — это свойство умножения, используемое при сложении и вычитании.Это свойство указывает, что два или более терминов в сложении или вычитании с числом равны сложению или вычитанию произведения каждого члена с этим номером.

Распределительное свойство умножения

Согласно распределительному свойству умножения, произведение числа на сложение равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых. Свойство распределения умножения также верно для вычитания, где вы можете либо сначала вычесть числа и умножить их, либо сначала умножить числа, а затем вычесть.

Рассмотрим три числа a , b и c , сумма a и b , умноженная на c , равна сумме каждого сложения, умноженной на c , то есть

( a + b ) × c = ac + bc

Точно так же вы можете записать свойство распределения умножения для вычитания,

( a — b ) × c = ac — bc

Распределительное свойство с переменными

Как было сказано ранее, распределительное свойство довольно часто используется в математике.Следовательно, это действительно полезно для упрощения алгебраических уравнений.

Чтобы найти неизвестное значение в уравнении, мы можем выполнить следующие шаги:

• Найдите произведение числа с другими числами в круглых скобках.
• Расположите члены так, чтобы постоянный член (ы) и переменный член (ы) находились на противоположной стороне уравнения.
• Решите уравнение.

Пример приведен в последнем разделе.

Свойство распределения с показателями

Свойство распределения также полезно в уравнениях с показателями.Показатель степени означает, сколько раз число умножается само на себя. Если вместо числа используется уравнение, свойство также остается в силе.

Вам необходимо выполнить следующие шаги, чтобы решить проблему экспоненты, используя свойство распределения:

• Разверните данное уравнение.
• Найти все продукты.
• Добавьте или вычтите похожие термины.
• Решите или упростите уравнение.

Пример приведен в последнем разделе.

Распределительное свойство с дробями

Применение распределительного свойства к уравнениям с дробями немного сложнее, чем применение этого свойства к любой другой форме уравнения.

Используйте следующие шаги для решения уравнений с дробями, используя свойство распределения:

• Определите дроби.
• Преобразуйте дробь в целые числа, используя свойство распределения. Для этого умножьте обе части уравнений на НОК.
• Найдите продукты.
• Выделите термины с переменными и члены с константами.
• Решите или упростите уравнение.

Пример приведен в последнем разделе.

Примеры

Чтобы решить проблемы распределения слов, вам всегда нужно вычислять числовое выражение вместо того, чтобы искать ответы. Прежде чем решать задачи со словами, мы рассмотрим несколько основных задач.

Пример 1

Решите следующее уравнение, используя свойство распределения.

9 ( x — 5) = 81

Решение

• Шаг 1. Найдите произведение числа с другими числами в скобках.

9 ( x ) — 9 (5) = 81

9x — 45 = 81

• Шаг 2: Расположите термины таким образом, чтобы постоянный член (ы) и переменный член (ы) в противоположность уравнению.

9 x — 45 + 45 = 81 + 45

9 x = 126

• Шаг 3. Решите уравнение.

9 x = 126

x = 126/9

x = 14

Пример 2

Решите следующее уравнение, используя свойство распределения.

(7 x + 4) ²

Решение

• Шаг 1. Разверните уравнение.

(7 x + 4) ² = (7 x + 4) (7 x + 4)

• Шаг 2: Найдите все продукты.

(7 x + 4) (7 x + 4) = 49 x ² + 28 x + 28 x + 16

• Шаг 3: Добавить подобное термины.

49 x ² + 56 x + 16

Пример 3

Решите следующее уравнение, используя свойство распределения.

x — 5 = x /5 + 1/10

Решение

• Шаг 1. Определите дроби.

С правой стороны две дроби.

• Шаг 2: Найдите НОК 5, 10, что равно 10.

Умножьте НОК на обе стороны.

10 ( x — 5) = 10 ( x /5 + 1/10)

10 x — 50 = 2 x + 1

• Шаг 4: Изолировать члены с помощью переменных и условия с константами.

10 x — 2 x = 1 + 50

8 x = 51

x = 51/8

Пример 4

У вас два друга, Майк и Сэм, родившиеся в один день.Вам нужно подарить им такой же комплект рубашек и брюк на день рождения. Если рубашка стоит 12 долларов, а брюки — 20 долларов, каковы общие расходы на покупку подарков?

Решение

Есть два способа решить эту проблему.

Метод 1:

• Шаг 1. Найдите общую стоимость каждого набора.

12 долларов + 20 долларов = 32 доллара

• Шаг 2: Так как есть два друга, умножьте общую стоимость на 2.

$ 32 × 2

• Шаг 3: Найдите общую стоимость.

32 доллара × 2 = 64 доллара

Метод 2:

• Шаг 1: Так как есть 2 друга, удвойте стоимость рубашки.

12 долларов × 2 = 24

• Шаг 2: Так как есть 2 друга, удвойте стоимость брюк.

20 долларов × 2 = 40 долларов

• Шаг 3: Найдите общую стоимость.

24 доллара + 40 долларов = 64 доллара

Пример 5

У трех друзей по два десятицентовика, три никеля и десять пенни у каждого.Сколько у них всего денег?

Решение

Опять же, есть два способа решить эту проблему.

Метод 1:

• Шаг 1: Найдите общую стоимость каждого типа монет.

Даймы:

2 × 10 ¢ = 20 ¢

Никели:

3 × 5 ¢ = 15 ¢

Пенни:

10 × 1 ¢ = 10 ¢

• Шаг 2: Есть три друга, умножьте каждый тип монеты на 3 .

Даймы:

3 × 20 ¢ = 60 ¢

Никели:

3 × 15 ¢ = 45 ¢

Пенни:

3 × 10 ¢ = 30 ¢

• Шаг 3: Найти сумму количество денег.

60 ¢ + 45 ¢ + 30 ¢ = 135 ¢

Шаг 4: конвертировать в доллары.

135/100 = 1,35 доллара США

Метод 2:

• Шаг 1. У каждого человека есть два десятицентовика, три никеля и десять пенни.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢

• Шаг 2: Общая сумма денег, имеющихся у каждого человека.

2 × 10 ¢ + 3 × 5 ¢ + 1 × 10 ¢ = 45 ¢

• Шаг 3: Общая сумма денег у трех человек.

45 ¢ + 45 ¢ + 45 ¢ = 135 ¢

• Шаг 4: конвертировать в доллары.

135/100 = 1,35 доллара США

Пример 6

Длина прямоугольника на 3 больше, чем его ширина. Если площадь прямоугольника составляет 18 квадратных единиц, найдите длину и ширину прямоугольника.

Решение

• Шаг 1. Определите длину и ширину прямоугольника.

Длина представлена ​​как x .

Следовательно, ширина = x + 3

• Шаг 2: Площадь прямоугольника составляет 18 квадратных единиц.

Площадь = длина × ширина

x ( x + 3) = 18

• Шаг 3. Используйте свойство распределения.

x ² + 3 x = 18

• Шаг 4: Перепишите в виде квадратного уравнения.

x ² + 3 x — 18 = 0

• Шаг 5. Разложите на множители и решите.

x ² + 6 x — 3 x — 18 = 0

x ( x + 6) — 3 ( x + 6) = 0

( x — 3) ( x + 6) = 0

x = 3, −6

• Шаг 6. Сформулируйте ответ.

Длина не может быть отрицательной. Следовательно, длина = x = 3, а ширина = x + 3 = 6

Практические задачи

1) Вы вместе с 5 друзьями идете в кафе. Вы и ваши друзья узнали, что сэндвич стоит 5,50 доллара, картофель фри — 1,50 доллара, а клубничный коктейль — 2,75 доллара. Если каждый из вас заказал бутерброд, картофель фри и клубничный коктейль, напишите числовое выражение и рассчитайте общий счет, который вы платите ресторану.

Ответ: 5 (5,5 + 1,5 + 2,75) = 48,75 $

2) В классе 5 рядов для девочек и 8 рядов для мальчиков. Предположим, что в каждой строке по 12 учеников. Определите общее количество учеников в классе.

Ответ: 12 (5 + 8) = 156

3) Чтобы построить схему регулятора, нужно купить плату за 8 долларов, резисторы за 2 доллара, микроконтроллер за 5 долларов, транзистор за 1,50 доллара, и диод за 2,50 доллара. Сколько стоит построить 8 цепей для этого регулятора?

Ответ: 152 $

4) Две прямоугольные пластины имеют одинаковую ширину, но длина одной пластины в два раза больше, чем длина другой пластины.Если ширина пластин составляет 20 единиц, а длина более короткой пластины составляет 8 единиц, какова общая площадь двух пластин вместе?

Ответ: 20 × 8 + 20 × 16 = 20 (8 + 16) = 20 × 24 = 480 квадратных единиц.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Ассоциативные и коммутативные свойства

Есть несколько математических свойств, которые используются в статистике и вероятности; два из них, коммутативные и ассоциативные свойства, обычно связаны с базовой арифметикой целых, рациональных и действительных чисел, хотя они также проявляются в более продвинутой математике.

Эти свойства — коммутативное и ассоциативное — очень похожи, и их легко перепутать. По этой причине важно понимать разницу между ними.

Коммутативность касается порядка некоторых математических операций. Для бинарной операции — той, которая включает только два элемента — это может быть показано уравнением a + b = b + a. Операция коммутативна, потому что порядок элементов не влияет на результат операции.С другой стороны, ассоциативное свойство касается группировки элементов в операции. Это может быть показано уравнением (a + b) + c = a + (b + c). Группировка элементов, указанная в скобках, не влияет на результат уравнения. Обратите внимание, что когда используется свойство коммутативности, элементы в уравнении переупорядочиваются на . При использовании ассоциативного свойства элементы просто перегруппированы .

Коммутационная собственность

Проще говоря, свойство коммутативности утверждает, что факторы в уравнении можно свободно переставлять, не влияя на результат уравнения.Следовательно, свойство коммутативности касается упорядочивания операций, включая сложение и умножение действительных чисел, целых и рациональных чисел.

Например, числа 2, 3 и 5 можно сложить в любом порядке, не влияя на конечный результат:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Числа также можно умножать в любом порядке, не влияя на конечный результат:

2 х 3 х 5 = 30

3 х 2 х 5 = 30

5 х 3 х 2 = 30

Однако вычитание и деление не являются операциями, которые могут быть коммутативными, потому что порядок операций важен.Например, три числа выше нельзя вычесть из числа в любом порядке, не влияя на окончательное значение:

2-3-5 = -6

3-5-2 = -4

5 — 3 — 2 = 0

В результате коммутативность может быть выражена через уравнения a + b = b + a и a x b = b x a. Независимо от порядка значений в этих уравнениях, результаты всегда будут одинаковыми.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство утверждает, что группировку факторов в операции можно изменить, не влияя на результат уравнения.Это можно выразить через уравнение a + (b + c) = (a + b) + c. Независимо от того, какая пара значений в уравнении добавляется первой, результат будет одинаковым.

Например, возьмите уравнение 2 + 3 + 5. Независимо от того, как значения сгруппированы, результатом уравнения будет 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Как и в случае со свойством коммутативности, примеры ассоциативных операций включают сложение и умножение действительных чисел, целых и рациональных чисел.Однако, в отличие от свойства коммутативности, свойство ассоциативности также может применяться к умножению матриц и композиции функций.

Как и уравнения коммутативных свойств, уравнения ассоциативных свойств не могут содержать вычитание действительных чисел. Возьмем, например, арифметическую задачу (6 — 3) — 2 = 3 — 2 = 1; если мы изменим группировку скобок, мы получим 6 — (3 — 2) = 6 — 1 = 5, что изменит окончательный результат уравнения.

В чем разница?

Мы можем определить разницу между ассоциативным и коммутативным свойством, задав вопрос: «Изменяем ли мы порядок элементов или меняем группировку элементов?» Если элементы переупорядочиваются, применяется свойство коммутативности.Если элементы только перегруппировываются, применяется свойство ассоциативности.

Однако обратите внимание, что наличие круглых скобок само по себе не обязательно означает, что применимо свойство ассоциативности. Например:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Это уравнение является примером коммутативного свойства сложения действительных чисел. Однако если мы внимательно рассмотрим уравнение, то увидим, что изменился только порядок элементов, а не группировка.Чтобы применить свойство ассоциативности, нам также необходимо изменить группировку элементов:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3

Свойства законов сложения и умножения Рона Куртуса

SfC Home> Арифметика> Алгебра>

Рона Куртуса (отредактировано 17 августа 2012 г.)

Есть три основных свойств или законов, касающихся сложения или умножения выражений.

Коммутативное свойство говорит, что порядок сложения и умножения не имеет значения.Ассоциативное свойство утверждает, что место группировки не имеет значения. Распределительное свойство показывает, как происходит умножение сумм.

Хотя эти свойства или законы могут показаться очевидными, они являются основами операций алгебры.

Вопросы, которые могут у вас возникнуть:

• Что такое коммутативное свойство?
• Что такое ассоциативное свойство?
• Что такое распределительное свойство?

Этот урок ответит на эти вопросы.

---

---

Коммутативная собственность

Коммутативное свойство указывает, что выражения можно складывать или умножать в любом порядке.

х + у = у + х

xy = yx

Это очевидно с числами, так как 23 + 7 = 7 + 23 и 5 × 8 = 8 × 5 .

Большое количество выражений

Закон может быть расширен на большее количество выражений, а также на комбинации сложения и умножения:

uvw + x + y + z =

х + wvu + y + z =

г + х + vwu + у

Сгруппированные выражения

Это также относится к сгруппированным выражениям:

(x / 2 + 4) (3y — 7) + z + 2 =

z + (3y — 7) (x / 2 + 4) + 2

Вычитание и деление

Хотя вы можете включить вычитание и деление в группы или круглые скобки, порядок вычитания и деления — , а не коммутативный.

х — у ≠ у — х

Примечание : Думайте о x — y как о x + (−y) . Тогда вы можете увидеть, что x — y = x + (−y) = −y + x .

Аналогично,

х / у ≠ у / х

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство указывает, что при сложении или умножении трех или более выражений они могут быть сгруппированы, не влияя на ответ.Коммутативное свойство применяется в рамках ассоциативного свойства.

(х + y) + z = x + (y + z)

(ху) z = х (yz)

Этот закон применяется к большему количеству выражений, а также к сгруппированным выражениям.

(x + xy) + 3z + 5xz / 2 =

x + (xy + 3z) + 5xz / 2 =

х + (ху + 3z + 5xz / 2)

Опять же, вы должны думать о вычитании как о сложении отрицательного числа.

Распределительная собственность

Свойство распределения утверждает, что умножение выражения на сумму выражений аналогично умножению выражения на каждый элемент в сумме.

x (y + z) = xy + xz

Более сложный пример распределительного свойства:

(x — 3y) (z +5) =

z (x — 3y) + 5 (x — 3y) =

xz — 3yz + 5x — 15y

Умножение на отрицательное число

Свойство распределения хорошо работает при умножении на отрицательное число.

−2x (y + 3) =

−2xy + (−2x) 3 =

−2xy — 6x

Также,

−3x (y — 1) =

Изменить г — 1 на г + (- 1)

−3x [y + (−1)] =

−3xy + (−3x) (- 1) =

−3xy + 3x

Факторы

Обратный закон распределения: разложение на множители : x и (y + z) — множители xy + xz .

(x — 3y) и (z +5) — множители выражения xz — 3yz + 5x — 15y .

Сводка

Три основных свойства или закона при сложении или умножении выражений — это коммутативное, ассоциативное и распределительное свойство. Коммутативность говорит о том, что порядок сложения и умножения не имеет значения. В ассоциативном свойстве указано, что место группировки не имеет значения. Свойство распределения показывает, как происходит умножение сумм.

---

Соблюдать закон

---

Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Сайтов

Ресурсы по алгебре

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)

Книги по алгебре с самым высоким рейтингом

---

Вопросы и комментарии

Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.