Сочетательное свойство сложения – примеры

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 98.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 98.

Свойства сложения – это первый шаг к ускорению счета. Ученик, владеющий всеми приемами быстрого сложения, имеет больше времени для сложных задач и проверки своего решения. Поэтому имеет смысл рассмотреть свойства сложения еще раз, чтобы правильно применять их на практике

Что такое сложение?

Для начала вспомним, что такое вообще сложение? Сложение это одна из первых операций, которые изучают в школе, а иногда даже в детском саду. Как правило, сложение объясняют на примере фруктов.

Если взять 3 груши и 2 яблока, сложить их в корзину, то груши это первое слагаемое, яблоки второе, а общее количество фруктов в корзине – сумма. Это определение нельзя назвать неправильным, но ученики растут, как растут и используемые числа. Сложно представить себе сложение сотен тысяч фруктов.

Поэтому в математике используют другое определение, которое гласит, что сложение это перемещение точки на числовой прямой в право.

Многие знания усложняются со временем. Так, если в начальной школе ученикам говорят, что отрицательный результат сложения это ошибка, то в 5 классе все уже знают, что такой ответ возможен. Так и с определением свойств сложения. Обычных фруктов просто не хватит для того, чтобы представить себе большие числа. Поэтому в старших классах уходят к теоретическим определениям.

Свойства сложения

Выделяют переместительное и сочетательное свойство. Переместительное свойство говорит нам о том, что от перемены мест слагаемых сумма не поменяется.

Сочетательное свойство утверждает, что в примерах, где два и более множителя, сложение может производиться в любом порядке. Главное в этом случае правильно сгруппировать слагаемые, чтобы ускорить вычисления, а не затруднить его еще сильнее. Самый простой вариант это смотреть на количество единиц в числе.

В первую очередь нужно складывать те числа, сумма единиц в которых равняется 10, например 29 и 31 в сумме дадут 60.

После этого складывают целые десятки и только потом все остальное. Это наиболее простой и быстрый путь решение примеров на сложение.

На самом деле даже не каждый профессор сможет отличить применение сочетательного свойства от переместительного. Они крайне похожи, некоторые математики считают даже, что сочетательное свойство является продолжением переместительного. По той же причине учителя редко просят отличить применение в задаче одного свойства от другого. Нужно просто уметь пользоваться обоими.

Пример

Примеры сочетательного свойства сложения найти не трудно. Практически в каждом примере используется это свойство.

15*3+5-13-17-2-16-2 – для начала выполним умножение.

45+5-13-17-2-16-2 – теперь сгруппируем члены так, чтобы вычислить результат как можно быстрее. Для этого нужно вспомнить, что разность можно представить, как сумму отрицательных чисел.

В нашем случае просто вынесем минус за знак скобок.

45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16) – теперь выполним вычисления в скобках и найдем окончательный результат

45+5-13-17-2-16-2=(45+5)-(13+17)-(2+2+16)=50-30-0=0

Вот такой ответ получился у достаточно большого примера. Не стоит пугаться простых ответов вроде 0 или 1. Иногда составители примеров таким образом путают учеников.

Что мы узнали?

Мы поговорили о сложении, выделили сочетательное и переместительное свойства сложения. Поговорили о различиях этих свойств, а также о правильном применении сочетательного свойства сложения. Решили небольшой пример, чтобы показать применение сочетательного свойства на практике.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Татьяна Семенова

  10/10

Оценка статьи

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 98.

---

А какая ваша оценка?

Сочетательное свойство умножения рациональных чисел

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Математика
  • Английский язык

• 3 класс

  • Английский язык
  • Русский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык

• 5 класс

  • Биология
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Математика

• 6 класс

  • Математика
  • Биология
  • Английский язык
  • Русский язык

• 7 класс

  • Химия
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Физика
  • Математика
  • Биология

• 8 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия
  • Математика
  • Физика
  • Русский язык

• 9 класс

  • Химия
  • Биология
  • Английский язык
  • Физика
  • Русский язык
  • Математика

• 10 класс

  • Биология
  • Математика
  • Физика
  • Химия
  • Английский язык

• 11 класс

  • Химия
  • Английский язык
  • Биология

6 КЛАСС

Сочетательное свойство умножения рациональных чисел

Частное двух чисел одного знака положительно, а частное двух чисел разных знаков отрицательно. 
Чтобы найти модуль частного, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.

Решение 4
2(3x + 5) − 3(4x − 1) = 11,8
6x + 10 − 12x + 3 = 11,8
−6x = 11,8 − 10 − 3
−6x = −1,2
x = −1,2 : (−6)
x = 0,2

Сложение — это математическое действие. Числа, которые складываются, называются слагаемыми. 

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.

Непростые натуральные числа, больше 1, называют составными числами

Вычитание — обратное сложению арифметическое действие, посредством которого от одной величины отнимается другая величина.

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго плюс куб второго числа.

Чтобы определить, делиться ли одно натуральное число на другое, можно это делимое число разложить на множители. 

Запомните: натуральные числа - те, которые используем при счете (когда нам необходимо посчитать людей или предметы).

Задача на нахождение суммы всегда решается действием сложения.
Задача на нахождение остатка решается действием вычитания. знак "-"

Разность квадратов двух чисел равно произведению суммы этих чисел и их разности.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.

Внимательно читайте условие задания.

Соседи числа — это число, которое предшествует этому числу при счете (предыдущее число), и число, которое при счёте следует за ним.

Увеличить число на несколько единиц - использовать действие сложение, знак"+" Уменьшить на несколько единиц- использовать действие вычитание, знак "-".

Вопросники:

Ассоциативное свойство сложения – определение, формула, примеры

Определение:

«Ассоциировать» означает соединить или соединить с чем-либо.

Согласно ассоциативному свойству сложения сумма трех и более чисел остается неизменной независимо от того, как эти числа сгруппированы.

Вот пример того, как сумма НЕ меняется независимо от того, как сгруппированы слагаемые.

Как видно из приведенного выше примера, группировка определяется скобками. Группируем ли мы 5 и 3 или 3 и 4 в круглых скобках, окончательная сумма равна 12. Вы можете проверить окончательный результат, проверив цветные блоки, которые остаются одинаковыми в обоих случаях.

Общий случай:

Для любых трех чисел a,b и c

a + (b + c) = (a + b) + c  

т. е. при сложении можно сгруппировать числа в любой комбинации.

Возьмем еще один пример, чтобы понять и доказать формулу.

Сгруппируем 14 + 7 + 5 двумя способами.

• Шаг 1. Мы можем сгруппировать набор чисел двумя способами: (14 + 7) + 5 или 14 + (7 + 5).
• Шаг 2: Сложите первый набор чисел, то есть (14 + 7) + 5. Далее это можно решить как 21 + 5 = 26,9.0032
• Шаг 3: Добавьте второй набор, т. е. 14 + (7 + 5) = 14 + 12 = 26.
• Шаг 4: Сумма обоих выражений равна 26. 

Это показывает, что сумма остается равной одинаково независимо от того, как мы группируем числа с помощью скобок.

Минимальные числа, требуемые для ассоциативного свойства сложения, равны 3. Однако ассоциативное свойство сложения справедливо и для более чем трех чисел.

Ассоциативное свойство наряду с другими свойствами в математике полезно при работе с уравнениями и их решениями.

• Ассоциативность сохраняется и для умножения, т.е. для любых трех чисел a, b и c a $\times$ (b $\times$ c) = (a $\times$ b) $\times$ c

Пусть a = 2, b = 3, c = 4

a $\times$ (b $\times$ c) = 2 $\times$ (3 $\times$ 4) = 2 $\times$ 12 = 24

(a $\times$ b) $\times$ c = (2 $\times$ 3) $\times$ 4 = 6 $\times$ 4 = 24

Следовательно, a $\times$ ( b $\times$ c) = (a $\times$ b) $\times$ c 

• Ассоциативность для вычитания не выполняется. Рассмотрим пример 9.0032

Пусть a = 2, b = 3, c = 4

a- (b – c) = 2 – (3 – 4) = 3

(a – b) -c = (2 – 3) – 4 = -53

Следовательно, свойство ассоциативности для вычитания не выполняется.

• Ассоциативное свойство не годится для деления. Рассмотрим пример

a $\div$ (b $\div$ c) = 2 $\div$ (3 $\div$ 4) = 2,67

(a $\div$ b) $\ div$ c = (2 $\div$ 3) $\div$ 4 = 5,97 $\neq$ 2,67

Следовательно, свойство ассоциативности для деления не выполняется.

Решенные примеры

1. Является ли (5 + 10) + 4 тем же, что и 5 + (10 + 4)?

Ответ: Да. Решим и проверим:

(5 + 10) + 4 = 15 + 4 = 19

И, 5 + (10 + 4) = 5 + 14 = 19

Если сгруппировать эти три числа по-разному, то получим те же ответы.

2. Вставьте пропущенные числа:

21 + (45 + 36) = (21 + 45) + _ = _

Ответ: Используя ассоциативное свойство сложения,

21 + (45 + 36) = (21 + 45) + 36 = 102

3. Найдите x по формуле ассоциативного свойства: (2 + 3) + x = 2 + (3 + 6)

Ответ: Дано,   (2 + 3) + x = 2 + (3 + 6)

Согласно ассоциативному свойству сложения, LHS = RHS,

Следовательно, 5 + x = 2 + 9

Или 5 + x = 11

Или x = 6

Практические задачи

1

Выберите правильный вариант, чтобы заполнить пропуск: $20 + (7 + 4) = (20 + __) + 4 $

27

11

7

4

Правильный ответ: 7
Используя ассоциативное свойство сложения,
из этих уравнений верно?

12$ + (18 + 16) = (12 + 18) + 16$

11$ — 2 + 1 = 11 — (2 + 1)$

2$ + 3 + 1 = 2 + 3 — 1$

78$ — 70 + 1 = 78 + 70 — 1$

Правильный ответ: 12$ + (18 + 16) = (12 + 18) + 16$
Ассоциативность справедлива только для сложения и умножения.
Свойство неприменимо к вычитанию, поэтому остальные уравнения неверны.

3

Что из следующего является примером ассоциативного свойства сложения?

$(2 + 3) + 5 = (2 + 3) * 5$

$(2 + 3) + 5 = 2 x (3 + 5)$

$(4 — 5) — 6 = 4 — (5 — 6)$

$(9 + 10) + 11 = 9 + (10 + 11)$

Правильный ответ: $(9 + 10) + 11 = 9 + (10 + 11)$
Ассоциативность актуальна только для сложения и умножения.
Свойство неприменимо к вычитанию, поэтому остальные уравнения неверны.

4

Какое из этих уравнений верно?

$(2 + 3) + 6 = 2 * (3 + 6)$

$(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6)$

$(7 — 10) — 15 = 7 — (10 — 15)$

$(9 ÷ 3) ÷ 3 = 9 ÷ (3 ÷ 3)$

Правильный ответ: $(2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6)$
Ассоциативность актуальна только для сложения и умножения. Это свойство неприменимо к вычитанию, поэтому остальные уравнения неверны.

Заключение

Вы родитель или учитель? Хотите превратить изучение математики в увлекательное занятие для ваших детей? Присоединяйтесь к SplashLearn, творческой и полноценной обучающей платформе бесплатно!

Часто задаваемые вопросы

Сколько чисел требуется для применения ассоциативного свойства сложения?

Для применения ассоциативного свойства дополнения требуется минимум три числа.

Применяется ли свойство ассоциативности к вычитанию?

Нет. Ассоциативность применяется только к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.

Какая польза от использования ассоциативного свойства сложения?

Ассоциативное свойство сложения помогает быстрее складывать числа. Вместо добавления списка чисел в том порядке, в котором они написаны, добавляйте их в любом удобном для вас порядке. В случае такой задачи, как 4 + 19 + 10 + 16, было бы разумно сложить 4 и 16, чтобы получить 20, затем сложить 20 и 10, чтобы получить 30, и, наконец, сложить 30 и 19.чтобы получить 49.

Есть ли какое-либо другое свойство сложения, кроме свойства ассоциативности?

Да. Есть четыре свойства, связанные с сложением. Остальные три свойства — это коммутативность сложения, аддитивная идентичность сложения и дистрибутивность умножения над сложением.

Ассоциативное свойство — определение, примеры

Ассоциативное свойство в математике утверждает, что при сложении или умножении чисел способ, которым числа сгруппированы скобками (круглыми скобками), не влияет на их сумму или произведение. Ассоциативность применима к сложению и умножению. Давайте узнаем больше об ассоциативном свойстве на нескольких решенных примерах.

1.	Что такое ассоциативное свойство?
2.	Ассоциативное свойство дополнения
3.	Ассоциативное свойство умножения
4.	Проверка ассоциативного свойства
5.	Часто задаваемые вопросы по ассоциативному свойству

Что такое ассоциативное свойство?

Согласно Ассоциативному свойству , при сложении или умножении 3 или более чисел результат (сумма или произведение) остается тем же, даже если числа сгруппированы по-разному. Здесь группировка осуществляется с помощью скобок. Это можно выразить как a × (b × c) = (a × b) × c и a + (b + c) = (a + b) + c.

Определение ассоциативного закона

Ассоциативный закон, применимый только к сложению и умножению, гласит, что сумма или произведение любых 3 или более чисел не зависит от того, как числа сгруппированы скобками.

Другими словами, если одни и те же числа сгруппировать по-разному для сложения и умножения, их результат останется тем же.

Формула ассоциативности сложения и умножения выражается так:

Рассмотрим подробно ассоциативность сложения и умножения на примерах.

Ассоциативное свойство дополнения

В соответствии с ассоциативным свойством сложения сумма трех и более чисел остается неизменной независимо от способа группировки чисел. Предположим, у нас есть три числа: a, b и c. Для них ассоциативное свойство сложения будет выражаться следующей формулой:

Ассоциативное свойство формулы сложения:

(A + B) + C = A + (B + C)

Поясним это на примере.

Пример : (1 + 7) + 3 = 1 + (7 + 3) = 11. Если мы решим левую часть, мы получим 8 + 3 = 11. Теперь, если мы решим правую- С другой стороны, мы получаем 1 + 10 = 11. Следовательно, мы можем видеть, что сумма остается той же, даже если числа сгруппированы по-другому.

Ассоциативное свойство умножения

Ассоциативное свойство умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как эти числа сгруппированы. Ассоциативное свойство умножения можно выразить с помощью следующей формулы:

Ассоциативное свойство умножения Формула:

(A × B) × C = A × (B × C)

Поясним это с помощью следующий пример.

Пример : (1 × 7) × 3 = 1 × (7 × 3) = 21. Когда мы решим левую часть, мы получим 7 × 3 = 21. Теперь, когда мы решим правую часть стороны, мы получаем 1 × 21 = 21. Следовательно, можно видеть, что произведение чисел остается одним и тем же независимо от разной группировки чисел.

Проверка ассоциативного права

Попробуем обосновать, как и почему свойство ассоциативности справедливо только для операций сложения и умножения. Мы будем применять ассоциативный закон индивидуально к четырем основным операциям.

• Для сложения : Ассоциативный закон сложения выражается как (A + B) + C = A + (B + C). Итак, давайте заменим эту формулу числами, чтобы проверить ее. Например, (1 + 4) + 2 = 1 + (4 + 2) = 7. Следовательно, к сложению применимо свойство ассоциативности.
• Для вычитания : Давайте попробуем использовать формулу ассоциативного свойства в вычитании. Это можно выразить как (A — B) — C ≠ A — (B — C). Теперь давайте проверим эту формулу, подставив в нее числа. Например, (1 — 4) — 2 ≠ 1 — (4 — 2), т. е. -5 ≠ -1. Поэтому мы говорим, что свойство ассоциативности неприменимо к вычитанию.
• Для умножения : Ассоциативный закон умножения задается как (A × B) × C = A × (B × C). Например, (1 × 4) × 2 = 1 × (4 × 2) = 8. Следовательно, можно сказать, что свойство ассоциативности применимо к умножению.
• Для деления : Теперь попробуем применить формулу ассоциативного свойства для деления. Это можно выразить как (A ÷ B) ÷ C ≠ A ÷ (B ÷ C). Например, (9 ÷ 3) ÷ 2 ≠ 9 ÷ (3 ÷ 2) = 3/2 ≠ 6. Таким образом, мы видим, что свойство ассоциативности неприменимо к делению.

☛ Связанные статьи

• Ассоциативное свойство дополнительных рабочих листов
• Распределительное свойство умножения
• Коммутативное свойство
• Распределительная собственность
• Свойство аддитивной идентификации

 

Примеры ассоциативных свойств

1. Пример 1: Если 3 × (6 × 4) = 72, то найдите произведение (3 × 6) × 4, используя свойство ассоциативности.

   Решение:

   Поскольку умножение удовлетворяет формуле ассоциативного свойства, (3 × 6) × 4 = 3 × (6 × 4) = 72

2. Пример 2: Найдите x , используя формулу ассоциативного свойства: 2 + ( x + 9) = (2 + 5) + 9

   Решение:

   Поскольку сложение удовлетворяет ассоциативному свойству, (2 + 5) + 9 = 2 + ( x + 9) = (2 + x ) + 9. Таким образом, значение x равно 5,

   .

3. Пример 3: Если 2 × (3 × 5) = 30, найдите произведение (2 × 3) × 5, используя свойство ассоциативности.

   Решение:

   Формула ассоциативного свойства выражается как (A × B) × C = A × (B × C)
   Дано = 2 × (3 × 5) = 30
   Используя формулу ассоциативного свойства, мы можем оценить (2 × 3) × 5,
   . Чтобы проверить: (2 × 3) × 5 = 30 или нет, сначала решим члены в скобках, а затем умножим их на число, указанное снаружи.
   = 6 × 5
   = 30
   Следовательно, 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5 = 30,

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по ассоциативным свойствам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по ассоциативному свойству

Что такое ассоциативное свойство в математике?

Ассоциативное свойство в математике — это свойство чисел, согласно которому сумма или произведение трех или более чисел не изменяется, если их сгруппировать другим образом. Другими словами, если мы сложим или умножим три или более чисел, мы получим один и тот же ответ независимо от порядка скобок. Ассоциативность в математике применима только к двум основным операциям, то есть к сложению и умножению.

Что такое ассоциативное свойство сложения?

Формула ассоциативного свойства сложения гласит, что сумма трех или более чисел остается неизменной независимо от способа группировки чисел. Формула ассоциативного свойства, применимая к сложению, выражается как (А + В) + С = А + (В + С).

Что такое ассоциативное свойство умножения?

Формула ассоциативного свойства для умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как эти числа сгруппированы. Формула ассоциативного свойства для умножения выражается как (A × B) × C = A × (B × C).

Что такое формула ассоциативных свойств для рациональных чисел?

Формула ассоциативного свойства для рациональных чисел может быть выражена как (A + B) + C = A + (B + C) в случае сложения, и (A × B) × C = A × (B × C) в случае умножения. Здесь значения A, B и C представлены в виде p/q, где q ≠ 0. Формула ассоциативного свойства действительна только для сложения и умножения.

Какие две операции удовлетворяют условию ассоциативности?

Две операции, удовлетворяющие условию ассоциативности, — это сложение и умножение. Это означает, что ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению.

Приведите пример ассоциативного свойства умножения.

Ассоциативность умножения можно понять на примере. Умножим любые три числа (4 × 6) × 10, получим произведение 24 × 10 = 240. Сгруппируем эти числа как 4 × (6 × 10), по-прежнему получим произведение 4 × 60 = 240. Это подтверждает ассоциативное свойство умножения, согласно которому произведение чисел остается одним и тем же, даже если они сгруппированы по-разному.

Что является примером ассоциативного закона сложения?

Ассоциативный закон сложения можно понять на примере любых трех чисел. Прибавим (4 + 2) + 10, получим сумму 6 + 10 = 16. Теперь, если мы сгруппируем эти числа как 4 + (2 + 10), мы все равно получим сумму 4 + 12 = 16. Это доказывает ассоциативное свойство сложения, которое гласит, что сумма чисел остается неизменной, даже если они сгруппированы по-разному.

Чем ассоциативное свойство отличается от коммутативного?

Ассоциативное свойство утверждает, что сумма или произведение трех или более чисел не изменяется, если они сгруппированы по-другому. Это ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению. Это выражается как (A + B) + C = A + (B + C) и (A × B) × C = A × (B × C). Коммутативное свойство утверждает, что изменение порядка операндов не меняет результат арифметической операции. Это коммутативное свойство применимо к сложению и умножению. Это выражается как A × B = B × A и A + B = B + A.

Что такое ассоциативный закон и распределительный закон?

Ассоциативный закон гласит, что независимо от того, как мы группируем числа при сложении и умножении, сумма или произведение остается одним и тем же. Например, если мы добавим (5 + 7) + 10, мы получим 22. Теперь, если мы изменим группировку чисел как 5 + (7 + 10), мы все равно получим 22. Это то, что утверждает ассоциативный закон. Согласно распределительному закону, выражение, заданное в виде A (B + C), может быть решено как A × (B + C) = AB + AC. Этот распределительный закон также применим к вычитанию и выражается как А (В — С) = АВ — АС. Это означает, что операнд А распределяется между двумя другими операндами.

Как работает ассоциативный закон?

Ассоциативный закон применим к сложению и умножению. В нем говорится, что даже если изменить группировку чисел, это не повлияет на сумму или произведение. Например, если мы умножим 5 × (2 × 3), мы получим 5 × (6) = 30. Теперь, если мы сгруппируем числа как (5 × 2) × 3, мы снова получим (10) × 3 = 30. Теперь применим этот закон к сложению. Например, если мы добавим 8 + (3 + 4), мы получим 15. Теперь, если мы изменим группировку этих чисел как (8 + 3) + 4, мы все равно получим 15.