Объяснение:

 Ассоциативное свойство сложения гласит, что для сложения трех чисел сначала можно сложить любые два, а затем прибавить сумму к третьему. Из приведенных утверждений только

демонстрируют это свойство, так что это правильный выбор.

Сообщить об ошибке

Что из следующего отображает ассоциативное свойство сложения?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Свойство ассоциативности добавления гласит, что вы можете группировать или «связывать» дополнительные термины в любом порядке и получать одинаковый ответ. Здесь  как раз это и делается: независимо от того, добавляете ли вы сначала, а затем добавляете, или добавляете сначала, а затем , пока вы добавляете эти три термина, вы получите один и тот же ответ.

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Pre-Algebra

11 Диагностические тесты 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Математика, 7 класс, Работа с рациональными числами, Обзор свойств сложения#GoOpenNC

Обзор

Учащиеся рассматривают свойства сложения и пишут примеры для каждого из них. Затем они применяют свойства для упрощения числовых выражений.

Свойства сложения:

• Коммутативное свойство сложения: Изменение порядка слагаемых не меняет сумму. Для любых чисел a и b , a + b = b + a .
• Ассоциативное свойство сложения: изменение группировки слагаемых не меняет сумму.
  Для любых чисел a , b и c , ( a + b ) + c = а + ( б + с ).
• Аддитивное свойство идентичности 0: сумма 0 и любого числа является этим числом. Для любого числа a , a + 0 = 0 + a = a .
• Существование аддитивных инверсий: Сумма любого числа и его аддитивной инверсии (противоположности) равна 0. Для любого числа a , a + (− a ) = (− a ) + a = 0.

Эти свойства позволяют нам манипулировать выражениями, чтобы с ними было легче работать. Например, ассоциативное свойство сложения говорит нам, что мы можем перегруппировать выражение (311+49)+59 как 311+(49 +59), что упрощает упрощение.

Учащиеся должны соблюдать осторожность и применять коммутативные и ассоциативные свойства только к выражениям сложения. Например, мы не можем поменять местами -7 и 8 в выражении -7 — 8, чтобы получить 8 — (-7).

• Понять свойства сложения.
• Применение свойств сложения для упрощения числовых выражений.

Просмотрите свойства вместе с учащимися или попросите их прочитать и обсудить их с партнером. Попросите учащихся работать в парах, чтобы написать по одному числовому примеру каждого свойства. Предложите учащимся включить в свои примеры отрицательные числа. Обсудите некоторые примеры в классе.

Эл.: Как и на других уроках, когда академический язык повторяется (или вводится, если уж на то пошло), покажите его в письменном виде и оставьте на видном месте, чтобы все учащиеся могли на него ссылаться. Убедитесь, что учащиеся копируют академический язык в свои записные книжки.

Учащиеся знают коммутативные и ассоциативные свойства из предыдущих классов. Существование аддитивных инверсий является новым. В нем говорится, что сумма любого числа и его аддитивной обратной (противоположной) равна 0. Убедитесь, что учащиеся понимают, что эти свойства применимы ко всем числам, включая отрицательные числа.

Открытие

Обсудите следующее со своими одноклассниками.

• Просмотр свойств операций.

Обсудить математическую миссию. Студенты будут использовать свойства операций для оценки числовых выражений с отрицательными числами.

Открытие

Используйте свойства операций для вычисления числовых выражений с отрицательными числами.

Предложите учащимся индивидуально поработать над задачами, а затем сравните ответы с партнером.

Выберите несколько разных способов объяснить, что b − a является противоположностью a − b для студентов, чтобы поделиться ими во время Ways of Thinking.

• Ответы будут разными. Любые два разных числа послужат контрпримером. Например, -3 — 1 = -4, а 1 — (-3) = 4.
• -4,5 — 2,5 = -7
  2,5 — (-4,5) = 7
  Утверждение верно для этих конкретных значений.
• Да. Объяснения будут разными. Возможное объяснение: измените вычитание на сложение, так как вычитание складывает наоборот:
  a − b = b + (− b )
  b − a = b + (− a)
  чтобы получить 0, сложите их вместе: ( a + (− b )) + ( b + (− a )).
  Примените ассоциативное свойство сложения: = a + (− b + b ) + (− a )
  b и − b являются аддитивными инверсиями, а аддитивные инверсии добавляют к 0: = a + 0 + (− a )
  Применим свойство аддитивной идентичности 0: = a + (− a )
  a и − a являются аддитивными инверсиями, поэтому они складываются до 0 : =0
  Поскольку ( a − b ) + ( b − a ) = 0, b − a противоположно a − .

Рабочее время

• Приведите пример, показывающий, что вычитание не является коммутативным. То есть найти два числа a и b такие, что a − b ≠ b − a .
• Студент утверждал, что b − a противоположно a − b . Проверьте, верно ли это утверждение для a = −4,5 и b = 2,5.
• Верно ли утверждение « b − a противоположно a − b » для всех значений a и b ? Объяснять.

Учащиеся должны работать индивидуально, а затем сравнить ответы с партнером.

[распространенная ошибка] Следите за учащимися, которые пытаются поменять порядок чисел по обе стороны от знака минус. Напомните им, что последнее задание показало, что вычитание не является коммутативным. Студенты должны переписать вычитание как сложение, прежде чем они смогут применить это свойство.

Математическая практика 2: Рассуждать абстрактно и количественно.

Учащиеся должны понимать и применять свойства сложения к задачам.

Математическая практика 6: внимание к точности.

Учащиеся должны тщательно применять правила сложения и вычитания и свойства. В способах мышления они должны быть в состоянии объяснить и обосновать свои шаги другим ученикам.

Студент меняет порядок чисел по обе стороны от знака минус.

• О чем говорит нам свойство коммутативности сложения?
• Применяется ли это свойство к вычитанию?
• Как записать вычитание как эквивалентное сложение?

4.36+1,85–4,36	Начальное выражение
= 4,36+1.85+(4.36)	= 4,36+1.85+(4.36)	.
=4,36+(−4,36)+1,85	Применим свойство коммутативности сложения.
=0+1,85	Применение аддитивного обратного свойства.
=1,85	Применить свойство аддитивной идентичности 0.

Рабочее время

Обоснуйте каждый шаг для вычисления этого числового выражения, используя одно из свойств операций.

Предложите учащимся работать индивидуально, а затем сравните ответы с партнером.

Математическая практика 6: внимание к точности.

Учащиеся должны тщательно применять правила сложения и вычитания и свойства. В способах мышления они должны быть в состоянии объяснить и обосновать свои шаги другим ученикам.

Студент делает ошибки в вычислениях.

• Вы записали все свои шаги?
• Давайте упростим шаг за шагом. Что мы должны сделать в первую очередь?
• Свойства применимы только к сложению. Возможно, будет проще работать с выражением, если вы сначала измените все вычитания на сложения.
• Какие числа в выражении было бы легко объединить? Как вы можете использовать свойства для перемещения этих чисел вместе?

Шаги могут отличаться. Возможная последовательность и обоснования:

−338+(456+138)−(−16)	Начальное выражение.
=−338+(456+138)+16	Замените вычитание на сложение, поскольку вычитание — это то же самое, что и сложение в обратном порядке.
=−338+(138+456)+16	Применим свойство коммутативности.
=(−338+138)+(456+16)	Применить ассоциативное свойство.
= −2 + 5	Завершите сложение.
= 3

Рабочее время

Вычислите выражение, объединив термины. Обоснуйте свои действия, используя одно из свойств операций.

• −338+(456+138)−(−16)

Подсказка:

Числа с одинаковым знаменателем легко объединяются. Можно ли использовать свойства операций, чтобы изменить выражение так, чтобы члены с одинаковыми знаменателями были вместе?

Предложите учащимся работать индивидуально, а затем сравните ответы с партнером.

SWD: При участии в общеклассном обсуждении «Пути мышления» могут пугать учащихся с языковыми слабостями в обучении и/или проблемами в обучении. Предложите учащимся поработать над навыками говорения и аудирования, присущими этой части урока. Помощь учащимся во время этой части урока включает:

• В небольших группах или с партнерами дайте учащимся несколько минут для обсуждения своих идей, поставленных вопросов и того, что произошло во время урока.
• Конференция с отдельными учащимися перед обсуждением, чтобы выяснить, какой вклад они могут внести в обсуждение. Студенты должны отрепетировать свой вклад и/или написать для себя заметки, чтобы обращаться к ним, когда они говорят. Это поможет учащимся с трудностями в выражении речи и/или учащимся, которые беспокоятся или не хотят участвовать в обсуждениях в классе.

Математическая практика 3: Создание жизнеспособных аргументов и критика рассуждений других.

В задаче Кевина учащиеся должны найти и исправить ошибку.

• Кевин попытался применить свойство ассоциативности, чтобы перегруппировать выражение с помощью вычитания. Он должен был сначала переписать вычитания как сложения, поскольку свойство ассоциативности применимо только к сложению.
  (14 − 27) − 27= [14 + (−27)] + (−27)
  Теперь Кевин может применить свойство ассоциативности.
  = 14 + [(−27) + (−27)] = 14 + (−54) = 14 − 54 = −40

Время работы

Вот как Кевин оценил выражение из своей домашней работы.

(14 − 27) − 27 = 14 − (27 − 27) = 14 − 0 = 14

Его ответ неверен.

• Найдите его ошибку и исправьте ее.

Подсказка:

Похоже, Кевин пытался использовать ассоциативное свойство сложения. Просмотрите недвижимость. Кевин использовал его правильно?

Выберите учащихся, которые продемонстрируют свойства операций при оценке выражений, представленных в разделе «Способы мышления». В презентациях учащихся должны быть установлены четкие связи между их работой по оценке выражений и свойствами операций, используемых для обоснования каждого шага.

Ответы

• −6★4=−6+|4|=−6+4=−25★−1=5+|−1|=5+1=6
• Нет. Например, 5★ −1=5+|−1|=5+1=6 , но −1★5=−1+|5|=−1+5=4 .
• Нет, только числа, меньшие или равные 0, имеют инверсию. Если a положительно, то a★b=a+|b| будет больше или равно a, потому что |b| не может быть отрицательным. Следовательно, a★b никогда не может быть 0 независимо от того, что такое b.

Рабочее время

Объясните, как свойства операций помогают вычислять выражения. Используйте свою работу, чтобы поддержать свое объяснение.

Предположим, что существует новая операция ★, такая, что для любых чисел a и b

a★b=a+|b|

Например, 3★−7=3+|−7|=10 .

• Найти −6★4 и 5★−1 .
• Является ли ★ коммутативной операцией? То есть, является ли a★b=b★a для любых чисел a и b? Объяснять.
• Для операции ★ каждое число a имеет обратное? То есть для любого числа a существует такое число b, что a★b=0 ? Объяснять.

Ведущие должны обосновать свои шаги свойствами или правилами и объяснить, как они решили, что делать. Выберите презентации, демонстрирующие применение свойств различными способами, и предложите учащимся обсудить, эквивалентны ли эти методы. Обсудите ошибку Кевина и попросите одного из учащихся показать, как правильно упростить выражение.

Предложите учащимся, решившим задачу-вызов, также представить и объяснить свои решения во время «Способов мышления».

Задача производительности

Делайте заметки о том, как ваши одноклассники использовали свойства операций для упрощения выражений с отрицательными числами.

Подсказка:

В присутствии одноклассников задавайте вопросы, например:

• Можете ли вы еще раз объяснить этот последний шаг?
• Почему вы заменили все вычитания на сложения?
• Почему вы поменяли порядок 4 5 6 и 1 3 8

Коммутативное свойство сложения говорит о том, что вы можете изменить порядок слагаемых чисел, не меняя суммы. Ассоциативное свойство сложения говорит о том, что вы можете изменить способ группировки добавляемых чисел, не изменяя сумму. Обратное свойство сложения говорит, что сумма любого числа и его противоположности равна 0. Аддитивное свойство тождества говорит, что сумма 0 и любого числа является этим числом.

Дополнительные свойства можно использовать для упрощения выражений. Например, вы можете использовать коммутативные и ассоциативные свойства, чтобы перемещать термины, которые легко комбинировать вместе, а затем добавлять их. Свойство аддитивной инверсии позволяет комбинировать противоположные термины, чтобы получить 0. Вы должны быть осторожны, применяя эти свойства только к добавляемым терминам. Если в выражении есть вычитания, перед применением этих свойств необходимо заменить все вычитания на сложения.

Формативная оценка

Напишите краткий обзор того, как использовать свойства операций для упрощения выражений с отрицательными числами.

Подсказка:

Проверьте свое резюме.

• Опишите ли вы каждое из дополнительных свойств операций?
• Обсуждаете ли вы, как можно использовать свойства для перезаписи и оценки выражения?
• Объясните, как свойства сложения операций работают с отрицательными числами?

Это задание позволяет оценить работу учащихся и определить, какие трудности у них возникают. Результаты самопроверки помогут вам определить, какие учащиеся должны работать с галереей, а какие учащиеся получат пользу от проверки перед оцениванием. Предложите учащимся поработать над самопроверкой индивидуально.

SWD: Предоставляйте учащимся четкую обратную связь, когда они пытаются решить проблемы или сформулировать концепции. Этот тип обратной связи явно направляет учащихся по мере того, как они развивают свое мышление о математике.

Попросите учащихся представить вам свои работы. Делайте заметки о том, что их работа говорит об их текущем уровне понимания и различных подходах к решению проблем.

Не оценивайте работу учащихся. Исследования показывают, что выставление оценок контрпродуктивно, поскольку побуждает учащихся сравнивать свои оценки и отвлекает их от поиска того, что они могут сделать, чтобы улучшить свое понимание математики.

Поделитесь с каждым учащимся наиболее подходящими интервенциями, чтобы направлять их мыслительный процесс. Также отметьте студентов с определенной проблемой, чтобы вы могли работать с ними на следующем уроке «Собери все вместе».

Студент не может начать работу.

• Выберите любое отрицательное число и представьте его на числовой прямой. Как вы перемещаетесь по числовой прямой, когда добавляете положительное число?
• Выберите любое число и представьте его на числовой прямой. Как далеко вы должны двигаться, чтобы добраться до 6?

Студент не объясняет, почему написать уравнение невозможно.

• Откуда вы знаете, что уравнение написать невозможно?
• Можете ли вы использовать правило вычитания, чтобы объяснить, почему уравнение невозможно написать?
• Можете ли вы обратиться к числовой прямой, чтобы объяснить, почему уравнение невозможно написать?

Ученик не умеет писать сложения и вычитания.

• Можете ли вы представить, как вы движетесь по числовой прямой для задачи такого типа?
• В каком направлении вы двигаетесь за первым номером? В каком направлении вы двигаетесь за вторым номером? Как выбрать два числа так, чтобы конец второй стрелки заканчивался на 6?

Студент считает, что сложение всегда дает больший результат, чем вычитание.

• Существуют ли числа, которыми можно заменить x и y так, чтобы x + y было отрицательным? Каково значение x − y в этом случае?

Обратите внимание: учащиеся могут использовать положительные/отрицательные дроби и/или десятичные дроби для решения уравнений.

Ответы будут разными. Возможные ответы:

1. −3 + 9 = 6
2. Невозможно. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
3. 10 − 4 = 6
4. −3 − (−9) = 6
5. Невозможно. Вычитание положительного числа равносильно добавлению отрицательного, а сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
6. 5 — (-1) = 6

Формирующее оценивание

Выполните эту самопроверку самостоятельно.

Напишите уравнение в заданной форме. Если такое уравнение написать невозможно, объясните, почему.

1. отрицательный + положительный = 6
2. отрицательный + отрицательный = 6
3. положительный — положительный = 6
4. отрицательный — отрицательный = 6
5. отрицательный — положительный = 6
6. положительный — отрицательный = 6

Пусть каждый учащийся напишет краткое размышление перед окончанием урока.