Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет — это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются — как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети — ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды — ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета — простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем — единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел — это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247 

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения — это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения — с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

• умножить на 4 — это дважды умножить на 2;

• умножить на 6 — это значит умножить на 2, а потом на 3;

• умножить на 8 — это трижды умножить на 2;

• умножить на 9 — это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

• разделить на 4 — это дважды разделить на 2;

• разделить на 6 — это сначала разделить на 2, а потом на 3;

• разделить на 8 — это трижды разделить на 2;

• разделить на 9 — это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 — это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример:

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 — 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко — это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9.  А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения?  Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь. 

Устный счёт на автомате

• Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

• Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

• В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Решение примеров со скобками

Метки

Математика Мозг Ум Цифры Школа

Решение примеров со скобками дети проходят уже во втором классе. И хотя все эти знания впоследствии многократно закрепляются при решении всё более сложных примеров, но иногда ощутимого результата это не дает. И ребенок так и не усваивает главные принципы решения.

А потому и во взрослом возрасте не может с такими заданиями совладать.

Сегодня редакция «Так Просто!» предлагает решить несколько примеров со скобками. Попутно вспомним, каких правил в этом деле следует придерживаться. Да и в целом такая небольшая математическая разминка довольно полезна для ума. А потому советуем регулярно решать интересные задачки и примеры как взрослым, так и детям.

© Depositphotos

1. Первое задание кажется довольно простым. Однако скобки способны запутать даже признанных хорошистов, не говоря уже о троечниках, тем более двоечниках. Постарайся пошагово решить этот пример, не сделав ни единой ошибки.

2. Во втором задании снова-таки есть и скобки, и деление, и умножение. Однако похоже, что выполнять математические операции придется в другом порядке. Попробуй вспомнить необходимые правила, которых нужно придерживаться в этой ситуации. И помни, что правильный ответ только один.

3. Третий пример выглядит более сложным. Но если знать, какие действия в каком порядке выполнять, то и здесь легко найти правильный ответ. Также не забудь свериться с нашими объяснениями и ответами во второй части статьи.

Объяснения и ответы

В первую очередь напомним простые правила, о которых многие взрослые люди уже вполне могли забыть. Если в примере отсутствуют скобки, то все математические операции выполняются слева направо. Но при этом деление и умножение выполняем сразу, а сложение и вычитание позже.

В примерах со скобками всё чуть сложнее, но не намного. Тут сперва выполняем всё в скобках (как описано выше), а затем выполняем все математические операции слева направо, учитывая, что деление и умножение снова-таки имеют более высокий приоритет.

© Depositphotos

1. Учитывая описанные алгоритмы, в первом задании сначала выполняем действия в скобках, потом делим, а только в самом конце умножаем. Таким образом получаем: 10 ÷ 5 × 2 = 2 × 2 = 4.
2. Во втором примере сначала выполняем действия в скобках, потом умножаем, а только напоследок делим. В итоге наш пример приобретает следующий вид: 10 × 4 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20.
3. Теперь последний пример наверняка уже не кажется читателю таким страшным, как прежде. Сперва высчитываем, что в скобках у нас 10 – 2 × 3 = 10 – 6 = 4. Тогда весь пример решается так: 4 + 2 × 4 = 4 + 8 = 12.
   © Depositphotos

Надеемся, что теперь решение примеров со скобками не будет представлять для тебя трудную задачку. А если же эти задания считаешь слишком простыми, то попробуй решить более сложные примеры, которые мы публиковали совсем недавно. Сможешь не наделать ошибок? Не забудь поделиться своими решениями в комментариях.

Поделиться

Когда дети изучают умножение и деление

Из всех математических операций умножение и деление могут быть самыми трудными для изучения детьми. Овладение этими навыками — логичный следующий шаг после сложения и вычитания. Но на самом деле это скорее скачок для большинства детей. Узнайте, когда дети учатся умножать и делить.

Когда дети обычно изучают умножение

Обучение умножению можно начинать уже во втором классе. Дети обычно начинают с объединения равных групп (3 + 3 + 3 = 9)., что соответствует 3 × 3 = 9). Это называется повторным добавлением.

Вот как и когда дети учатся умножать:

• Во втором классе дети учатся визуализировать повторяющееся сложение. (Это как нарисовать квадрат с пятью строками и пятью столбцами, чтобы представить 5 × 5 = 25.)
• В третьем классе детей начинают понимать связь между умножением и делением. (Это как знать, что 3 × 4 = 12, а 12 ÷ 4 = 3.)
• В четвертом классе, дети начинают умножать двузначные числа на двузначные числа.

Чтобы научиться умножению, дети используют практические материалы и визуальные модели, чтобы разбить числа и построить концепцию.

К концу пятого класса большинство детей знают, как использовать распространенную процедуру умножения больших чисел. Некоторым нужно немного больше времени и практики, чтобы полностью понять концепцию.

Когда дети обычно изучают деление

Деление обычно является самым сложным математическим понятием для детей. Уравнение деления состоит из трех частей:

• Делимое — это число, которое нужно разделить (первое число в задаче).
• Делитель — это число, на которое делится делимое (второе число в задаче).

Обучение делению начинается в третьем классе. Дети знакомятся с понятием, выполняя многократное вычитание. (Например, 20 – 5, затем еще 5, и еще 5, и еще один 5. Это то же самое, что 20 ÷ 4.)

Вот как и когда дети учатся делить:

• В третьем классе детей начинают делить путем многократного вычитания. Они учатся делить две цифры на однозначные числа с решениями больше 10.
• В четвертом классе детей начинают учиться делить четырехзначные числа на однозначные числа. (Например, 4000 ÷ 2. )
• В пятом классе детей начинают делить четырехзначные числа на четырехзначные числа. (Например, 8 000 ÷ 4 000.) Кроме того, большинство детей знакомятся с десятичными дробями в пятом классе.

Дети должны полностью понять, как умножать и делить, прежде чем перейти в среднюю школу. Но это не значит, что каждый ребенок это поймет. Некоторым детям нужно больше времени и практики.

Почему у некоторых детей возникают проблемы с умножением и делением

У детей нередко возникают проблемы с математикой, особенно с умножением и делением. Для этого есть много причин и много способов помочь. Поддержка, такая как отдельное обучение или обучение в небольшой группе, может со временем иметь большое значение.

Например, у некоторых детей возникают проблемы с пониманием основных математических понятий, известных как чувство числа. Проблемы с концентрацией внимания или памятью могут повлиять на изучение математики. Так может тревога.

Узнайте больше о том, почему у детей проблемы с математикой.

Основные выводы

• Дети должны понимать, как умножать и делить до поступления в среднюю школу.

• У детей, у которых есть проблемы с пониманием чисел или пониманием основных математических понятий, могут возникнуть проблемы с умножением и делением.

• С дополнительной поддержкой и практикой дети могут улучшить навыки умножения и деления.

Связанные темы

IEEE-754 с плавающей запятой: сначала делить или сначала умножать для максимальной точности?

спросил 7 лет, 9 месяцев назад

Изменено 2 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 721 раз

Что лучше, если я хочу сохранить как можно большую точность в вычислениях со значениями с плавающей запятой IEEE-754:

 a = b * c / d
 

или

 а = б / г * в
 

Есть ли разница? Если да, зависит ли это от величины входных значений? И если величина имеет значение, как определить наилучший порядок, когда известны общие величины значений?

• IEEE-754

1

Зависит от величины значений. Очевидно, что при делении на ноль все ставки аннулируются, но если в результате умножения или деления получается денормальных , последующие операции могут потерять точность.

Возможно, вам будет полезно изучить основополагающую статью Голдберга «Что должен знать каждый компьютерный ученый об арифметике с плавающей запятой», которая объяснит все гораздо лучше, чем любой ответ, который вы, вероятно, получите здесь. (Голдберг был одним из первых авторов IEEE-754.) 9156 входов), но если и есть разница в средней ошибке, то она мизерная. Я мог бы попробовать с низкой точностью с Sipe.

В любом случае, при отсутствии переполнения/недополнения важны только точные значения мантиссы, а не показатели степени.

Однако, если результат a добавляется (или вычитается) из другого выражения и не используется повторно, то начало с деления может быть более интересным, поскольку вы можете сгруппировать умножение со следующим сложением с помощью FMA (таким образом, с однократное округление).