6 класс. Математика. Сложение и вычитание смешанных чисел — Сложение и вычитание смешанных чисел
Комментарии преподавателяТема урока: «Сложение и вычитание смешанных чисел».
Но дело в том, что это не новые числа. Смешанное число – это два и еще . Просто сумма двух чисел.
Мы умеем уже складывать целые числа, дробные числа. А сложение смешанных чисел – это то же самое, это сложение целых чисел и сложение обыкновенных дробей. Надо использовать те знания, которые у нас уже есть.
Остается рассмотреть, почему они так пишутся и так называются, и убедиться на примерах, что никаких новых знаний нам не нужно, никаких новых правил учить не понадобится.
Сложить два смешанных числа: , .
Напишем у каждого знак «+».
Теперь мы лучше видим все 4 слагаемых. Сложим теперь так, как нам удобнее.
Целые числа 7 и 2 сложить легко.
Обыкновенные дроби мы тоже умеем складывать.
Приведем их к общему знаменателю.
Ответ: .
Поставим знаки «+»:
Сложим отдельно целые числа и отдельно обыкновенные дроби.
Дробь уже можно записать как смешанную, убрав знак плюс, но обыкновенную дробь можно записать и проще. Выделим целую часть.
К целой части добавляется еще единица.
Ответ:
.
Поставим знаки «+»:
Можно сложить отдельно целые числа и дроби, но у дроби можно выделить целую часть, станет проще.
Ответ: .
А как вычитать? Все опять просто.
Как можно иначе записать смешанную дробь с минусом впереди?
Минус относится ко всей дроби. Можно поставить скобки и минус перед ними или раскрыть скобки. Минус будет у каждого слагаемого.
Здесь полезный навык – это уметь отнять от единицы или другого целого числа правильную дробь.
1)
2)
3)
Сложение двух отрицательных смешанных дробей не представляет проблемы.
Пример 6
Ответ: .
Необязательно расписывать все подробно.
Если вы чувствуете себя уверенно, то многое можно делать в уме.
Самостоятельно выполните несколько заданий, а потом проверьте.
Проверяем.
Смешанные числа
Дроби нужны для записи нецелых количеств: треть пути, четверть часа, половина яблока. Это все примеры, когда количество меньше одного. Но нецелое количество может быть и больше одного: полтора литра молока; два с половиной часа; три с половиной километра. Как удобнее всего записывать эти количества?
Если мы делим 7 яблок на троих, то это можно сделать двумя способами:
1) Каждое яблоко делим на три части и раздаем эти части всем участникам. Каждый такой кусочек – это яблока.
В итоге каждый получит 7 таких кусочков: .
2) Проще каждому раздать по два яблока. А оставшиеся разделить на три части и раздать. Все-таки легче резать одно яблоко, чем семь.
В итоге каждый получит по два целых и еще по одной трети: .
Это разные записи одного и того же количества.
Такие количества, целое плюс дробное, встречаются часто.
Чтобы упростить запись, договорились, что можно не писать знак «+»:
.
В последней записи смешались целое и дробное число. Поэтому такую запись назвали смешанным числом или смешанной дробью.
И неправильная дробь, и смешанная обозначают одно и то же количество.
Какая удобнее? Это зависит от ситуации.
По смешанной легче представить количество.
По левой записи мы понимаем только, что это число больше единицы. А вот по правой – что число почти равно трем, чуть-чуть больше трех, на .
Складывать и вычитать дроби удобнее в виде смешанного числа, а умножать и делить – в виде обыкновенной дроби.
Десятичные дроби очень близки к смешанным числам – это почти одно и то же. Просто разная запись, но смысл один. Сначала записывается целая часть, потом дробная.
Если у десятичной дроби целая часть равна нулю, то она легко записывается обыкновенной правильной дробью, просто ноль целых в смешанной дроби не пишем.
Итак, между целой и дробной частями смешанной дроби пропущен знак «+». Если это помнить, то не нужно никаких дополнительных правил.
Чтобы превратить смешанную дробь в обыкновенную, нужно сложить целое число и дробь.
Чтобы сложить целое число с дробью, представим 4 как дробь со знаменателем единица, приведем ее к знаменателю 7, домножив числитель и знаменатель на 7.
Или, в другую сторону, вынесем целую часть из неправильной дроби.
Нам давно знаком этот способ. Деление столбиком с остатком – это и есть вынесение целой части.
Вернемся к 7 яблокам, которые мы делим на троих.
Разделим столбиком 7 на 3 с остатком.
Ответ: 2 и 1 в остатке. То есть по два целых яблока уже досталось всем, и одно осталось. Его нужно делить на три части.
Конечно, в таком простом случаем мы обойдемся без деления столбиком.
Число 7 больше трех и не делится на три. Его можно разбить на две части – часть, которая делится на 3 – 6, и остаток, который меньше трех, – 1. 6 яблок делится на 3, это два, и еще одно делим на три. Это .
В более сложных случаях все-таки нужно воспользоваться делением в столбик.
Чтобы вынести целую часть, разделим числитель на знаменатель в столбик.
Получили 27 и 5 в остатке. То есть, мы разбили число 221 на две части: первая, которая делится на 8 и дает в результате 27 (саму эту часть мы не видели, но нетрудно догадаться по остатку, что она равна 216) и остаток, меньший 8, – это 5:
источник конспекта — http://interneturok.
ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/slozhenie-i-vychitanie-smeshannyh-chisel?seconds=0&chapter_id=340
источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=6m5kyJM-dPk
источник видео- http://www.youtube.com/watch?v=496Ylhlb4K4
источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=Y3f9MTK86WY
источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/slozhenie-i-vychitanie-smeshannykh-chisel2.html
Сложение смешанных дробей – примеры (5 класс, математика)
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 239.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 239.
Сложение смешанных дробей представляет собой достаточно сложную тему в рамках математики 5 класса. Проблема в том, что для правильного сложения нужно знать целый набор тем: сложение целых чисел, сложение дробей, смешанные числа. Поэтому, чтобы не допускать досадных ошибок, рассмотрим сложение смешанных дробей.
Что такое смешанная дробь?
Смешанной дробью зовут число, у которого есть целая и дробная части.
Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно умножить целую часть на знаменатель, и прибавить числитель. Так получается числитель неправильной дроби. Знаменатель у неправильной дроби будет тот же, что у дробной части смешанного числа.
Сложение дробей
Перед тем, как говорить о сложении смешанных дробей, поговорим о сложении обыкновенных дробей. Для того, чтобы сложить дроби, требуется привести их к одинаковому знаменателю. Чтобы общий знаменатель дроби, требуется определить НОК двух знаменателей.
Так как НОК может определяться не только для 2, но и для 3, и более чисел, иногда удобнее найти общий знаменатель для всего выражения сразу.
После того, как найден общий знаменатель, числитель и знаменатель каждой дроби домножают так, чтобы у всех слагаемых в знаменателе образовался найденный НОК.
Эта процедура называется приведением к общему знаменателю.
После этого числители складываются, при необходимости выделяется целая часть неправильной дроби и сокращается знаменатель.
Сложение смешанных дробей
У смешанных чисел есть две части: целая и дробная. Сложение каждой из частей производится отдельно. Дробную часть временно отделяют от целой и выполняют сложение по всем правилам сложения дробей. После того, как сложение выполнено, части снова соединяют. То есть получившаяся целая часть записывается рядом с результатом сложения дробей.
Может возникнуть ситуация, когда результатом сложения дробных частей чисел, станет неправильная дробь. У такой неправильной дроби выделяют целую часть и прибавляют ее к сумме целых частей слагаемых.
Рассмотрим небольшой простой пример:
$$11 {6\over{7}}+ 1 {9\over{11}}$$
Сложим целые части:
11+1=12
Сложим дробные части:
$${6\over{7}}+{9\over{11}}={{6*11}\over{77}}+{{9*7}\over{77}}={{66+63}\over{77}}={129\over{77}}=1 {52\over{77}}$$
Добавим к сумме целых чисел получившуюся 1:
12+1=13
Запишем результат:
$$11 {6\over{7}}+ 1 {9\over{11}}=13 {52\over{77}}$$
Что мы узнали?
Мы поговорили о сложении смешанных дробей.
Рассмотрели отдельно сложение дробных частей смешанных чисел. Рассказали о том, как складывать смешанные дроби целиком. Рассмотрели небольшой пример сложения смешанных дробей.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Булат Зинуров
5/5
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 239.
А какая ваша оценка?
| You are here: Home → Рабочие листы → Сложение дробей Создавайте неограниченное количество рабочих листов для сложения дробей и смешанных чисел (4-7 классы)! Рабочие листы могут быть сделаны в формате html или PDF — оба варианта легко распечатать. Вы также можете настроить их с помощью генератора ниже. Сложение дробей обычно преподается, начиная с 4-го класса, с одинаковыми дробями (с одинаковым знаменателем, например, 3/8 + 2/8). Далее, в 5 классе, учащиеся учатся складывать непохожие на дроби (дроби с разными знаменателями, например 3/4 + 2/5) и смешанные числа с непохожими дробными частями. Процедура для этого включает преобразование дробей, которые должны быть добавлены, в эквивалентные дроби с общим знаменателем. После преобразования у вас будет таких же дробей, как (дроби с одинаковым знаменателем), которые вы можете легко сложить. Чтобы понять, как это делается, посмотрите это видео о добавлении непохожих дробей на другом моем сайте (MathMammoth.com) В 6-м и 7-м классах учащиеся просто тренируются в сложении дробей с большими знаменателями и в более сложных задачах. Перейти к:
Основные инструкции к рабочим листам Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален. Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — оба варианта легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку под названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать рабочий лист html ». Преимущество этого заключается в том, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе. Иногда сгенерированный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:
Рабочие листы для сложения дробей: 4 классДроби в задачах на сложение 4 класса ограничены , как и дробей — дроби с одинаковым знаменателем.
Вот еще несколько рабочих листов с дробями, которые вы можете использовать в 4 классе.
Рабочие листы для сложения дробей: 5 класс В 5 классе учащиеся учатся складывать в отличие от дробей — дробей с разными знаменателями.
Вот еще листы с дробями для 5 класса.
Рабочие листы для сложения дробей: 6-7 классы В 6 и 7 классах учащиеся просто практикуются в сложении дробей, знаменатель которых больше, чем в 5 классе.
Вот еще несколько рабочих листов для 6-7 классов. 
Генератор таблиц дробейИспользуйте генератор для создания настраиваемых рабочих листов для операций с дробями. Генератор таблиц дробей
|
Дети начинают с манипулятивных действий, чтобы понять концепцию, а затем могут переходить к абстрактным задачам.
Ключ ответа генерируется автоматически и помещается на вторую страницу файла.
В них также используются только дроби с одинаковым знаменателем (например, дроби).
:
)Как складывать и вычитать дроби с помощью устной математики — World Mental Calculation
Хотя сложение и вычитание целых чисел обычно несложно, при сложении или вычитании дробей требуется больше действий.
Дробь состоит из числа — числителя — деленного на другое число — называемое знаменателем . Обычно оба этих числа являются положительными целыми числами (целыми числами).
Например, в \(\frac{4}{15}\) числитель равен 4, а знаменатель равен 15.
Общая формулаОсновная формула сложения дробей:
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\)
Проще говоря, это означает, что вы умножаете каждый числитель на , противоположный демониматору , и складываете эти результаты, чтобы получить новый числитель.
Новый знаменатель является произведением исходных знаменателей.
Вычитание использует тот же расчет, за исключением того, что вместо плюса используется минус:
\(\frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{ad – bc}{bd}\)
На этой странице я буду использовать примеры, использующие только вычисления сложения.
Например:
Объяснение формулы\(\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{2 \times 8 + 3 \times 5}{5 \times 8} = \frac{31}{40}\ )
Вы можете использовать эту формулу без ее понимания, но она поможет вам запомнить ее и проявить творческий подход, если вы ее понимаете.
Представьте, что у вас есть две пиццы одинакового размера:
- Пицца 1 нарезана на \(b\) одинаковых кусочков, из которых вы съедите \(a\) из них.
- Пицца 2 нарезана на \(d\) одинаковых кусочков, из которых вы будете есть \(c\) из них.
Всего вы съедите \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\) пиццы.
Сколько это стоит?
Представьте, что вы аккуратно разрезаете каждый кусок первой пиццы на \(d\) кусочков. Ломтики теперь намного меньше — пицца разделена на \(bd\) кусочки — и вы будете есть \(ad\) из них.
Затем каждый кусок второй пиццы разрежьте на \(b\) кусочков. Этой пицце и теперь разделены на \(bd\) кусочки — и ты будешь есть \(bc\) из них.
Всего вы съели \(ad + bc\) кусочков, каждый из которых был \(\frac{1}{bd}\) целой пиццы.
Упрощенные дроби Дробь является упрощенной , если нет простых чисел, которые делятся на как числитель, так и знаменатель . Например, \(\frac{40}{60}\) — это , а не , упрощенное, потому что \(2\) делится как на \(40\), так и на \(60\). На самом деле, то же самое относится и к \(5\), и даже к некоторым большим непростым числам, таким как \(20\). Если вы разделите верх и низ дроби на \(20\), дробь станет \(\frac{2}{3}\), что является упрощенной формой.
На этой странице я предполагаю, что вам нужно складывать или вычитать дроби, которые уже упрощены, что обычно для соревнований по ментальной арифметике. В конце есть примечание, описывающее, что вам следует делать, если они не упрощены.
Смешанные дробиДробь считается неправильной , если числитель больше знаменателя. Например, \(\frac{14}{3}\) — неправильная дробь. Неправильные дроби можно записать как смешанных дробей — с целой частью и правильной дробной частью. Например, \(\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)
В соревнованиях по устному счету вы должны давать все ответы в смешанной форме. Неправильные дроби отмечены как неправильные!
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, сначала разделите числитель на знаменатель и получите остаток:
\(14 \дел 3 = 4\) остат. \(2\)
Целая часть — это результат деления — \(4\) — а остаток — \(2\) — это числитель смешанной дроби.
\(\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)
Полный пример:
Случаи, требующие упрощения\(\frac{2}{3} + \frac{4}{5} = \frac{22}{15} = 1 \frac{7}{15}\)
Если два числа — \(b\) и \(d\) — не имеют общих делителей, они называются взаимно простыми . Это то же самое, что сказать, что \(\frac{b}{d}\) будет упрощенной дробью.
Если два знаменателя — \(b\) и \(d\) — взаимно просты, то гарантируется, что полученная дробь не будет нуждаться в упрощении. Но в противном случае вам также нужно будет попытаться упростить конечную дробь.
В соревнованиях по устному счету вы должны давать все ответы в упрощенной форме. Неупрощенные дроби отмечены неправильно!
\(8\) и \(24\) являются , а не взаимно простыми, так как оба числа четные, поэтому мы должны упростить в конце:
\(\frac{3}{8} + \frac{7}{24} = \frac{3 \times 24 + 7 \times 8}{8 \times 24} = \frac{128}{192} = \фракция{2}{3}\)
В этом вычислении использовались довольно большие числа, и было бы еще хуже, если бы у исходных дробей были большие знаменатели! К счастью, есть короткий путь:
- Найдите любое число, на которое делятся оба знаменателя — чем меньше, тем лучше.
В приведенном выше примере вы могли бы использовать \(48\), но лучше всего использовать \(24\). - Выразите обе дроби, используя этот новый знаменатель: \(\frac{9}{24} + \frac{7}{24}\). В этом случае вторую дробь менять не нужно, но в первой делиноматор был умножен на \(3\), чтобы получить от \(8\) до \(24\). Значит, нужно было умножить его числитель так же: \(3 \times 3 = 9\).
- Просто сложите числители и поместите их над новым знаменателем.
В приведенном выше примере вы могли бы использовать \(48\), но лучше всего использовать \(24\).\(\frac{3}{8} + \frac{7}{24} = \frac{9}{24} + \frac{7}{24} = \frac{16}{24} = \frac {2}{3}\)
Обратите внимание, что иногда — как здесь — нам нужно сделать шаг упрощения в конце, даже если мы уже упростили на более раннем этапе.
Доказательство того, что сложение простых дробей с взаимно простыми знаменателями никогда не требует упрощения 906:20 Вы можете пропустить этот абзац, если в настоящее время вас не интересует математика, стоящая за методом.
Требуется ли упрощение результата формулы \(\frac{ad + bc}{bd}\)?
Предположим, что \(b\) и \(d\) не имеют общих простых делителей, т. е. взаимно просты. Делится ли любой множитель \(b\) на числитель \(ad + bc\)?
Конечно будет делить на \(bc\). Но оно не делится на \(ad\), потому что \(b\) не имеет общих простых множителей ни с \(d\), ни с \(a\) (поскольку \(\frac{a}{ б}\) уже было упрощено). С тех пор делит на \(bc\), но не на \(ad\), он не может делиться на их сумму.
По тому же аргументу числитель также не имеет общих простых множителей с \(d\).
Следовательно, нет простых чисел — и, следовательно, целых чисел любого типа — на которые мы можем разделить для упрощения \(\frac{ad + bc}{bd}\).
Окончательный итог для вычислений в умеПри сложении или вычитании дробей с помощью вычислений в уме:
- Проверьте или предположите, что дроби нельзя упростить.
- Проверить, имеют ли знаменатели общие множители.
- Если у них нет общих множителей, используйте общую формулу и оставьте свой ответ в виде смешанной дроби.
- Если у них есть общие множители, вы можете использовать общий метод (более простой) или просто изменить дроби вручную, чтобы иметь одинаковый знаменатель (более простая арифметика). Затем упростите окончательный ответ, если это необходимо.
- Помните, что не следует записывать промежуточные этапы подготовки к соревнованиям!
В качестве последнего примера:
- Используя общую формулу:
\(3 \frac{1}{4} – \frac{5}{6} = 3 \frac{6 – 20}{24} = 3 – \frac{14}{24} = 2 \frac{10 {24}= 2 \фракция{5}{12}\)
- В качестве альтернативы, путем изменения дробей вручную:
\(3 \frac{1}{4} – \frac{5}{6} = 3 \frac{3}{12} – \frac{10}{12}= 3 – \frac{7}{12 } = 2 \frac{5}{12}\)
Здесь мы должны проверить, можно ли еще больше упростить \(2 \frac{5}{12}\), но нельзя.