Сочетательный закон сложения – правило
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 124.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 124.
Многие ученики путают понятия сочетательного закона сложения и сочетательного свойства сложения. Насколько это допустимо и как не путаться – разберемся вместе.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Сумма чисел
Сначала вспомним, что такое сумма чисел. Если два числа разбить на единицы, а потом все эти единицы свести в одно число, то получится сумма. Примерно так объясняют сумму в младших классах, иногда приводя примеры на сложение фруктов, конфет или канцелярских принадлежностей.
Такие объяснения правильны, но они не подходят для курса средней школы. Чем старше ученик, тем более глубокое и емкое определение ему нужно знать.
Поэтому в математике старших классов используют другое определение.
Законы сложения
Законов сложения всего два. Это сочетательный и переместительный. Сочетательный закон гласит, если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое. Таким образом, можно складывать сколько угодно большие выражения. Применение этого свойства основано на сочетании слагаемых, откуда и взято это название.
Переместительный закон имеет следующую формулировку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Вне зависимости от того, как расположены слагаемые в примере, итоговое значение не изменится. Если подумать, то это логично. Какая разница, высыпать в корзину 10 фруктов, а потом еще 8 или сначала 8, а потом 10.
Разве количество фруктов в корзине от этого изменится? Конечно, нет.
Свойства сложения – это проявление простейшей логики в математике. Они доказывались опытным путем еще математиками Древней Греции. На сегодняшний день кажется невозможным не использовать их, поэтому свойства нужны скорее не для использования и запоминания, а для теоретического подтверждения того, что все и так знают. Ведь всеобщее знание – это не аргумент. в математике всегда нужно ссылаться на какие-то законы, аксиомы и теоремы, чтобы доказать правильность решения. При этом свойство и закон сложения – это одно и то же. Никакой разницы между ними нет.
Сочетательный закон
Сочетательный закон интересен тем, что может значительно ускорить выполнение сложения. Рассмотрим некоторые принципы быстрого счета, основанные на сочетательном законе.
- Проще всего человеку складывать десятки. Поэтому при сложении чисел, нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее. Это значительно упростит задачу.
13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75
- Есть числа, которые складывать человеку тяжело в силу особенностей мышлений. Поэтому выполнения множества примеров направлено на то, чтобы значение сумм некоторых чисел запоминалось и выдавалось на автомате, как таблица умножения. Наиболее яркие примеры:
7+8=15
5+7=12
8+3=11
5+8=13
- По аналогии с десятками, дроби нужно группировать так, чтобы получались единицы. В первую очередь складываются дроби с одинаковыми знаменателями и с знаменателями, к которым можно быстро найти НОК. После этого ищутся и группируются дроби, которые в сумме дают целое число. Это касается как обыкновенных, так и десятичных дробей:
3,72-5+5,28+17,8+9,2 – иногда проще разделить целые и дробные части дробей, чтобы ускорить счет.
3,72-5+5,28+17,8+9,2=3+0,72-5+5+0,28+17+0,8+9+0,2=(3+5-5+17+9)+(0,72+0,28)+(0,8+0,2)=(3+17+9)+1+1=20+9+2=29+2=31
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое сумма.
Узнали о двух основных свойствах сложения и выделили правило сочетательного закона сложения. Привели несколько способов быстрого счета, основанных на сочетательном законе сложения. Рассмотрели несколько простых примеров.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Татьяна Ивановна
7/10
Данил Лазарев
7/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 124.
А какая ваша оценка?
Свойства сложения рациональных чисел
Проверка домашнего задания
- Какие вы знаете законы, которые упрощают сложение?
- А зачем они нужны?
- Сформулируйте переместительный закон сложения.
- Сформулируйте сочетательный закон сложения.
16 февраля Классная работа Свойства сложения рациональных чисел
Устный счет
0
(–8) + 6 + 0 + 2 =
(–19) + (–1) + (–10) + (–1) =
(–11) + 7 + (–5) + (–11) =
(–17) + 9 + 3 + (-9) =
(–9) + (–1) + (–7) + (–10) =
(–12) + (–10) + 10 + (–12) =
-31
-20
-14
-27
-24
Письменно: №1
-15
-180
-275
-260
-215
Письменно: №2
Решить уравнения:
а) x + (–6) = –12 б) (–7) + x = 10
в) x + (–9) = –17 г) 7 + x = –17
д) x + 3 = –8 е) (–8) + x = 11
ж) (–6) + (– x ) = –13 з) x – (–2) = –12
Ответы:
а) x = -6 б) x =17
в) x = -8 г) x = -24
д) x = -11 е) x = 19
ж) x = 7 з) x = -14
Самостоятельная работа
Вариант 1
Вариант 2
1) Записать и найти сумму чисел
1) Записать и найти сумму чисел
А) Сумму чисел -183 и 234
Б) Сумму чисел -193 и -234
А) Сумму чисел 183 и -234
Б) Сумму чисел -163 и -234
В) Сумму числа -173 и числа, противоположного -117
Г) Сумму числа 173 и числа, противоположного 227
В) Сумму числа 173 и числа, противоположного -187
Г) Сумму числа -173 и числа, противоположного -227
Д) Сумму числа, противоположного +207 и числа -173
Е) Сумму числа, противоположного -380 и числа -187
Д) Сумму числа, противоположного +237 и числа 173
Е) Сумму числа, противоположного -350 и числа -287
2)Вычислить удобным способом
2)Вычислить удобным способом
А) -256 + 345+256
А) -296 + 345+296
Б) 123+ (-216)+(-123)+100
Б) 103+ (-246)+(-103)+200
В) -908+ 102+ (-101)+908
В) -908+ 102+ (-102)+909
Г) -23+24+(-25)+26+(-27)+28
Г) -26+27+(-28)+28+(-27)+26
Д) -21+(-20)+(-19)+…+19+20+21+22
Д) -31+(-30)+(-29)+…+29+30+31+32
Ответы:
Вариант-1 Вариант – 2
1.
А) -115 1. А) -51
Б) -427 Б) -397
В) -56 В) 360
Г) -54 Г) 54
Д) -380 Д) -64
Е) 193 Е) 63
2. А) 345 2. А) 345
Б) -116 Б) -46
В) 1 В) 1
Г) 3 Г) 0
Д) 22 Д) 32
Домашнее задание
- Повторить §35,
- № 990 (4,5) №992.
Поднимите руки, кто ничего не понял
Поднимите руки, кому не понравился урок
Поднимите кому, было не интересно
Поднимете руки, кому было интересно
Подняли руки те, кто всё понял
за урок!
Определения коммутативных свойств, формулы, примеры
В математике коммутативность — это свойство, утверждающее, что определенные операции не зависят от порядка их выполнения. Другими словами, свойство коммутативности говорит о том, что вы можете поменять порядок чисел или переменных в уравнении и все равно получить тот же результат.
Коммутативное свойство чаще всего встречается в уравнениях сложения и умножения, но оно также может применяться к вычитанию и делению. Это фундаментальное свойство, которое студенты усваивают в самом начале своей математической карьеры, и которое часто используется в процессе обучения математике. В этом сообщении блога мы более подробно рассмотрим свойство коммутативности. Мы дадим определение свойству и рассмотрим несколько примеров, чтобы помочь вам лучше понять, как оно работает. К концу этого поста вы должны хорошо понимать, что такое коммутативное свойство и как его можно применять в математических уравнениях.
Что такое коммутативное свойство?
При перемножении двух чисел результат будет одинаковым независимо от порядка множителей. Это называется коммутативным свойством умножения и выражается уравнением a × b = b × a.
Свойство коммутативности применимо и к сложению. При сложении двух чисел сумма будет одинаковой независимо от порядка сложения. Это представлено уравнением a + b = b + a.
Что такое коммутативность?
В математике коммутативность — это свойство, утверждающее, что два числа можно сложить в любом порядке, и результат будет одинаковым. Например, 3 + 5 и 5 + 3 равны 8. Коммутативное свойство может быть применено к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.
Свойство коммутативности представлено следующим уравнением: a + b = b + a.
Каковы некоторые примеры коммутативного свойства?
В математике коммутативность — это свойство бинарных операций, утверждающее, что порядок операндов не влияет на результат. Более формально он определяется следующим образом:
Для всех a и b в множестве S с бинарной операцией *, a * b = b * a.
Наиболее распространенными примерами бинарных операций, обладающих свойством коммутативности, являются сложение и умножение действительных чисел. То есть для любых двух действительных чисел x и y мы имеем x + y = y + x и xy = yx. Другие примеры включают матричное умножение и композицию функций.
Как можно использовать свойство коммутативности в математических уравнениях?
В математике коммутативность — это свойство, утверждающее, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, и результат будет одинаковым. Например, 3 + 5 = 5 + 3. Это потому, что при сложении двух чисел не имеет значения, какое число будет первым. Свойство коммутативности применимо и к умножению. Например, 2 x 4 = 4 x 2. Это потому, что при умножении двух чисел не имеет значения, какое число будет первым.
Свойство коммутативности можно использовать в математических уравнениях для их упрощения. Например, если вам дано уравнение 4x + 3y, вы можете использовать коммутативное свойство умножения, чтобы переписать его как 3y + 4x. Это потому, что 4x и 3y можно умножать в любом порядке, и результат будет одинаковым.
Свойство коммутативности и сценарии реального мира
Свойство коммутативности — это математическое правило, утверждающее, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, и ответ будет одинаковым.
Например, 3 + 5 = 5 + 3. Это правило применимо и к умножению, поэтому 2 х 4 = 4 х 2,
В реальном мире этот принцип можно применять во многих сценариях, где порядок не имеет значения. Например, собирая чемодан в поездку, неважно, в каком порядке вы упаковываете одежду — пока все умещается, все хорошо! При составлении списка продуктов продукты можно перечислять в любом порядке, и вы все равно получите один и тот же список.
Этот принцип можно применить и к более сложным ситуациям. Например, при рассмотрении двух разных маршрутов, чтобы добраться до пункта назначения, не имеет значения, какой маршрут вы выберете — главное, чтобы вы в конце концов туда добирались, это все, что имеет значение. На самом деле, часто самый быстрый маршрут не всегда самый прямой.
Итак, в следующий раз, когда вы столкнетесь с ситуацией, когда порядок не имеет значения, вспомните о свойстве коммутативности и действуйте в любом порядке!
Формулы, связанные с переместительным свойством
Есть несколько формул, связанных с переместительным свойством.
Вот несколько примеров:
Если a и b любые два действительных числа, то a+b=b+a
Если a и b любые два положительных целых числа, то ab=ba
Эти формулы показывают, что порядок сложения или умножение не влияет на результат.
Что такое коммутативное свойство сложения?
Если вы когда-либо посещали уроки математики, вы, вероятно, знакомы с коммутативным свойством. Свойство коммутативности — это математическое правило, которое гласит, что два числа можно складывать в любом порядке, и результат будет одинаковым. Другими словами, порядок чисел не имеет значения, когда вы их добавляете. Например, 3 + 4 = 4 + 3. Может показаться, что это не имеет большого значения, но на самом деле это довольно важное понятие в математике.
Свойство коммутативности применимо и к умножению. Как и в случае сложения, порядок чисел не имеет значения, когда вы их умножаете. Например, 2 x 3 = 3 x 2.
Так почему свойство коммутативности важно? Ну, это помогает сделать математику проще и понятнее.
Если бы у нас не было свойства коммутативности, нам пришлось бы запоминать множество различных фактов сложения и умножения (например, 6 + 5 = 11, но 5 + 6 = 12). Но с коммутативным свойством нам нужно запомнить только один факт сложения или умножения для каждого числа (например, 6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11).
Что такое коммутативное свойство умножения?
Коммутативное свойство умножения гласит, что порядок умножения двух множителей не влияет на произведение. Другими словами, a×b=b×a. Например, 3×4=4×3=12. То же самое верно для более чем двух факторов. Например, 2×3×4=2×4×3=24.
Коммутативное свойство вычитания и деления
Коммутативное свойство вычитания и деления утверждает, что порядок, в котором числа вычитаются или делятся, не влияет на результат операции. Другими словами, вычитание или деление числа на другое число дает один и тот же результат независимо от порядка, в котором перечислены числа.
Это свойство представлено следующими символами:
a – b = b – a
a ÷ b = b ÷ a
Например, рассмотрим следующие два уравнения:
8 – 3 = 3 – 8 (верно )
16 ÷ 4 = 4 ÷ 16 (истина)
Как видите, в каждом случае изменение порядка чисел на обратный не меняет результат операции.
Коммутативное свойство против ассоциативного свойства
Часто путают коммутативное свойство и ассоциативное свойство. Оба они являются свойствами математики, но они не одно и то же. Вот разбивка каждого из них:
Свойство коммутативности гласит, что при сложении, умножении или делении двух чисел порядок, в котором они выполняются, не имеет значения. Например, 3 + 5 = 5 + 3. Это также работает для умножения: 3 x 5 = 5 x 3.
Ассоциативное свойство гласит, что при сложении или умножении трех чисел порядок, в котором они выполняются, не имеет значения. . Например, (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7). Это также работает для умножения: (3 х 5) х 7 = 3 х (5 х 7).
Так какая разница? Коммутативное свойство применяется только к двум числам, а ассоциативное свойство применяется к трем числам. Вот и все! Но понимание этих свойств важно в математике, поэтому давайте подробнее рассмотрим каждое из них.
Заключение
Свойство коммутативности — это математическое правило, утверждающее, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, и результат будет одинаковым.
Например, 3 + 4 = 7 и 4 + 3 = 7. Свойство коммутативности применимо и к умножению. Например, 2 x 3 = 6 и 3 x 2 = 6.
Свойство коммутативности — это фундаментальное правило математики, которое используется по-разному. Он часто используется при упрощении уравнений или решении задач. Понимание свойства коммутативности может помочь вам лучше понять другие математические концепции.
Часто задаваемые вопросы
В: Что такое свойство коммутативности?
О: Свойство коммутативности — это математическое свойство, утверждающее, что два числа можно складывать в любом порядке, и результат будет одинаковым.
В: Можете ли вы привести пример коммутативного свойства?
А: Конечно. Наиболее распространенным примером коммутативного свойства является сложение. Например, 3 + 5 = 8 и 5 + 3 = 8. Как видите, неважно, в каком порядке складывать числа, результат всегда один.
В: Всегда ли верно свойство коммутативности?
A: Нет, коммутативность не всегда верна.
Это относится только к сложению и умножению; это не относится к вычитанию или делению.
Применение свойства коммутативности сложения и умножения в задаче
Знаете ли вы, что свойство коммутативности может помочь нам быстрее решить операцию? Сегодня мы рассмотрим перестановочное свойство сложения и умножения.
Свойство коммутативности говорит нам, что результат сложения или умножения всегда один и тот же, независимо от порядка элементов, с которыми оно работает. Рассмотрим это подробнее:
Коммутативность сложения
Коммутативность сложения читается так:
Порядок слагаемых не меняет результат
То есть когда надо решить задачу , независимо от того, в каком порядке вы ставите слагаемые, вы всегда получите один и тот же результат. Почему это происходит? Давайте рассмотрим пример с проблемой:
В корзине Сары было 4 красных яблока. Она встретила Рут, которая дала ей 2 зеленых яблока. Сколько яблок осталось у Сары в конце?
Чтобы решить эту задачу, мы должны сложить два типа яблок, чтобы узнать, сколько их всего.
Мы можем сложить их двумя способами:
Если мы добавим 4 красных яблока плюс 2 зеленых яблока, мы получим 6 яблок. Точно так же, если мы добавим 2 зеленых яблока плюс 4 красных яблока, мы также получим 6 яблок.
Таким образом, независимо от того, в каком порядке мы добавляем два типа яблок, мы всегда получаем результат 6 яблок.
Переместительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения гласит:
Порядок множителей не меняет произведение
То есть, когда нам нужно решить задачу на умножение, мы можем расположить множители в так, как мы хотим, и всегда получаем один и тот же продукт. Давайте рассмотрим пример с проблемой:
Марк — пекарь, и сегодня он получил заказ на торт для вечеринки. Ему сказали, что на вечеринке будет 4 стола, и на каждый из них они хотят положить по 2 торта. Сколько тортов Марк должен будет испечь?
Чтобы решить эту задачу, мы должны умножить. Мы можем сделать это двумя способами:
Если умножить 2 пирожных, которые будут на каждом столе, на четыре стола, то получится 8 пирожных.