Распределительное переместительное сочетательное свойства: Переместительное свойство умножения – определение (5 класс, математика)

Содержание

Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел. Свойства умножения Умножение и его свойства

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a · b = b · a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2 · 6 . По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 . Теперь поменяем множители местами. 6 · 2 = 6 + 6 = 12 . Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c .

Приведем формулировку в буквенном виде:

a · b · c = a · b · c

Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 12 + 12 = 24

4 · 3 · 2 = 4 · 3 · 2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c .

a · b + c = a · b + a · c

a , b , c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4 · 3 + 2 .

4 · 3 + 2 = 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20

С другой стороны 4 · 3 + 2 = 4 · 5 = 20 . Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c .

Запишем в форме буквенного выражения:

a · b — c = a · b — a · c

a , b , c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4 · 3 — 2 = 4 · 3 — 4 · 2 = 12 — 8 = 4

С другой стороны 4 · 3 — 2 = 4 · 1 = 4 . Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1 · a = ∑ i = 1 a 1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a . Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1 · a = a · 1 = a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0 .

По определению, произведение 0 · a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0 · 498 = 0 ; 0 · 9638854785885 = 0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a · 0 = 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).

Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2 (a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Вычислите удобным способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2 ) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Упростите выражение:

1 ) 4 a * 3 b;

2 ) 18 m − 13 m.

1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Такое преобразование называют раскрытием скобок .

Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть,

a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.


В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.


Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Методика работы над свойствами арифметических действий Значение свойств

1. Знание свойств позволяет учащимся глубже осознать само арифметическое действие и дает возможность осознанно овладевать вопросами практического характера.

2. Свойства служат теоретической основой вычислительных приемов.

3. Свойства арифметических действий (в первую очередь переместительные) служат для сокращения числа табличных случаев для запоминания.

Например, ученик, выучив табличный случай 2 · 5, может не заучивать случай 5 · 2, воспользовавшись переместительным свойством умножения.

4. Хорошо усвоив свойства, учащиеся во многих случаях способны сами открывать новые вычислительные приемы.

5. Свойства необходимы для осознанности и рациональности вычислительных навыков.

При выполнении вычислений дети приучаются каждый раз внимательно разбираться в особенностях тех чисел, над которыми произведены арифметические действия и, опираясь на теоретические знания, выбирать наиболее рациональные способы действий.

Усвоить свойство – это значит усвоить, какие можно выполнять преобразования данного математического выражения, чтобы его значение не изменилось.

Например, 2 + 7 = 7 + 2

(20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4

Свойства рассматриваются в большинстве программ на уровне понятийного обобщения. Во всех программах изучаются переместительное свойство сложения, переместительное свойство умножения, сочетательное свойство сложения, сочетательное свойство умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения (умножение суммы на число), умножения, распределительное свойство деления относительно сложения (деление суммы на число).

Некоторые свойства усваиваются в виде оперативных правил. По мнению Н.А. Менчинской, младшие школьники легче усваивают те или иные математические закономерности, если они сформулированы в виде оперативных правил.

Система изучения свойств в программе м.И. Моро

1 класс.

1) Практическое (без теоретической формулировки) знакомство с сочетательным свойством сложения. На основе действий с предметами дети убеждаются, что присоединить предметы к данной группе можно в целом или по частям, результат будет тот же.

Например, 6 + 3 = 6 + 2 + 1

6 + 3 = 6 + 1 + 1 + 1

2) Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не изменяется (1 класс, часть 2, с.14).

На основе свойства рассматривается прием перестановки слагаемых.

2 Класс.

1) Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. (2 класс, часть 1, с.38).

На этом этапе рассматривается прием перестановки слагаемых (он изучался в 1-м классе) и вводится прием группировки слагаемых. Показывается, как использование того и другого приемов дает возможность рационализировать вычисления в случае сложения нескольких слагаемых:

Используя оба свойства сложения, можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.

Например: 6 + 9 + 4 + 1 = (6 + 4) + (9 + 1)

17 + 8 + 3 + 2 = (17 + 3) + (8 + 2)

2) Из программы исключены ранее изучавшиеся (в 1 классе трехлетней начальной школы) свойства (точнее, оперативные правила – следствия из свойств): прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа. Вместо них введены правила:

— Единицы складывают с единицами.

Десятки складывают с десятками.

— Единицы вычитают из единиц.

Десятки вычитают из десятков.

3) Переместительное свойство умножения (2 класс, часть 2, с.48): от перестановки множителей произведение не изменяется.

Урок математики в 4 классе по теме: «Распределительные свойства умножения» по УМК «Начальная школа 21 века»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа»

муниципального образования города Ноябрьск

Урок математики по теме: «Распределительные свойства умножения» по УМК «Начальная школа 21 века»

4 класс

подготовила

учитель начальных классов

Сухарева Светлана Владимировна

г. Ноябрьск

2011

Урок математики.

Класс:

Предмет: математика

Учебник: В.Н.Рудницкая, Т.В.Юдачева

Учитель: Сухарева Светлана Владимировна

Тема: «Распределительные свойства умножения»

Цель:

  1. повторить переместительное и сочетательные свойства относительно сложения умножения;

  2. обобщить представление о распределительных свойствах умножения относительно сложения и вычитания и их запись с помощью переменных;

  3. способствовать формированию произвольности и самостоятельности мышления

  4. путем постановки и решения учебной задачи продолжать учить учащихся; самостоятельности в суждениях, речевой деятельности, в постановке вопросов, в поиске ответов на них.

Оборудование: карточки – помощницы, мультимедийный проектор, презентация, карточки с тестами

Ход урока:

Этап урока:

Оценивание: 4 верных ответа  – “5”;

3 верных ответа  – “4”;

1 или 2 верных ответа- не оцениваются

Поднятием рук проверяем количество положительных оценок, вывод.

Слайд 10. Посмотрите на слайд и поднимите руку у кого ни одной ошибки? У кого – одна ?

2) Значение выражения.

74 х 3+26 х 3

3) Значение выражения.

400 х 2- 40 х 2

4) В каком выражении удобно применять распределительное свойство умножения:

Литература:

1. В.Н. Рудницкая, Т.В. Юдачева. Математика: 4 класс: Методика обучения. – М.: Вентана – Граф, 2007. – 192с. – (Начальная школа 21 века)

2. Журнал «Современный урок: начальная школа»№4 2010г статья Хромова Т.Н. «Нетрадиционные формы обучения на уроках математики» (по программе «Начальная школа 21 века») с.23

Интернет – источники для презентации:

http://mishutka.kiev.ua/product_images/x/img_4702__00072.jpg картинка пазл;

http://www.peoples.ru/science/founder/lomonosov/newslomonosov_200808191843590.jpg М. В. Ломоносов;

http://d1.dvinainform.ru/data/files/12/0f/00000f12.jpg М. В. Ломоносов 1;

http://www.irtc.org/ftp/pub/stills/1997-06-30/number.jpg картинка с цифрами.

I Организационный момент

Ребята, вчера, в одном журнале я прочитала статью о великом русском учёном Михаиле Васильевиче Ломоносове, которому в этом году 19 ноября исполнилось 300 лет со Дня рождения. И вы знаете, какие ёмкие слова он сказал о математике. Я даже решила вынести их на слайд.

Слайд 1.«Математику уже за то любить следует, что она ум в порядок приводит».

Деятельность учителя

Деятельность ученика

— Объясните смысл высказывания.

— выделите ключевые слова.

Слайд 2, 3. Прочтите, в какие науки внёс вклад М.В.Ломоносов.

Объяснение смысла записи

Слайд 4, 5.

Устный счёт проводится с целью развития и формирования прочных вычислительных навыков и умений, повышения у детей познавательного интереса к урокам математики.

Давайте приводить наш ум в порядок. Посмотрите на слайд и решите логические задачи:

— Масса индейки – 8 кг и ещё половина её собственной массы. Сколько весит индейка?

— Когда сутки короче: зимой или летом?

-1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.Что больше сумма этих чисел или их произведение?

А теперь продолжим приводить ум в порядок с помощью примеров:

2500 + 60 + 8 12 х 4 100: 25

7 + 100 + 1000 100 х 5 72 : 3

9600 + 400 6 х 40 720 : 30

3 000 + 9 000 11 х 9 91 : 7

1 000 : 100 84 : 42 910 : 70

— С какой целью мы выполняли устный счёт?

12

одинаковые

Сумма, так как при умножении на 0 получается 0.

II Активизация знаний (который заканчивается постановкой детьми учебной задачи)

— Посмотрите на равенства. Прежде чем мы с ними начнём работать повторим название компонентов при сложении и умножении.

Слайд 6.

— Распределите выражения в два столбика, по какому признаку мы это сделаем?

Сформулируйте переместительное свойство сложения, умножения; Сочетательное свойство относительно сложения, умножения.

— Зачем нужно знать свойства в математике?

— Давайте выберем соответствующие таблички с переменными соединим их с названием свойств.

— Почему последнее выражение не вошло ни в один столбик?

— Как нашли результат?

— Давайте выпишем его отдельно. Как по другому можно решить это выражение?

Выполните у доски.

— Может вы вспомните как это свойство называется в математике?

(248 + 7309) + 96 = 248 + (7 309 + 96) – сочетательное свойство сложения

269 + 1050 = 1050 +269 – переместительное свойство сложения

(105 х 2) х 3 =105 х (2 х 3) – сочетательное свойство относительно умножения

13 х 25 = 25 х 13 – переместительное свойство умножения.

(90 + 25)х 4 = 460

(потому, что у него есть результат; потому, что записано только умножение сумы на число … )

Чтобы облегчить решение.

Сначала выполнили действие в скобках, затем умножение

Чтобы сумму двух чисел умножить на какое – нибудь число, можно каждое из них умножить на это число, а результаты сложить.

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

III. Первичное закрепление.

-Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, запишите выражения, равные данным.

Взаимопроверка

(Раздаётся карточка помощница слабым детям (85 +6) х5 = 85 х5 + 6 х 5

Цель: вспомнить правило умножения суммы на число.

— Так как умножить сумму на число?

(№379 с.89)

(112 + 44) х3; (7 +4) х 132

(16 + 18) х 25; (36+ 24) х 9

Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют по образцу.

Чтобы умножить сумму двух чисел на какое – нибудь число, можно каждое слагаемое умножить на это число и сложить полученные результаты.

IV. «Открытие детьми нового знания»

— Найдите значение выражения двумя способами.

Слайд 7.

— В каком случае пользоваться при вычислении распределительным свойством неудобно?

В каком случае распределительным свойством пользоваться неудобно?

Откройте учебник на с.90, з.381

Прочитайте выражения, с которым работают в лесной школе.

— Как выполнял сложение Слон?

-Как Мышь умножала разность чисел 90 и 25 на число 4?

Сравните вычисления. Чей способ лучше и почему?

Сформулируйте правило свойства умножения относительно вычитания.

С переменными мы уже работать умеем, заменим в этом выражении цифровую запись на буквенную. Кто желает выполнить это у доски?

— Что мы можем сказать о значении переменных, которые они могут принимать? Давайте коллективно обсудим. Для этого придадим переменным значения а=7, в=9, с=6

(№ 380 с.90)

(50 +19) х 2 = 69х2=138

(50 +19) х 2 = 50х2 + 19х2=100 + 38 =138

(72 + 28) х 7 = 100х7=700

(72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7= 504 + 196 = 700

(72 + 28) х 7 = 72х7 + 28х7

(90 — 25) х 4=260

Слон

90 65

-25 х 4

65 260

Мышь

(90 – 25) х 4 = 90 х 4 – 25 х4= 360 – 100 = 260

Способ лучше у Мышки, потому, что она использует устные вычисления, а Слон письменные.

Чтобы разность умножить на какое – нибудь число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

(а + в) х с = ас + вс

(а – в) х с (а + в) х с

Равенство, выражающее распределительное свойство умножения относительно сложения, верно при любых значениях переменных а, в и с; Если же умножается разность на число, то в запись свойства вводятся ограничения: исключаются случаи, когда в разности а – в число а меньше числа в.

V. Физкультминутка

«Качания головой» упражнение стимулирует мыслительные процессы:

дышите глубоко, расслабьте плечи и уроните голову вперёд Позвольте голове медленно качаться из стороны в сторону, при помощи дыхания уходит напряжение. (15 раз)

«Ленивые восьмёрки» упражнение активизирует структуру мозга, улучшает память, повышает внимание: нарисуйте в воздухе в горизонтальной плоскости «восьмёрки» по три раза каждой рукой, а затем обеими руками.

«Шапка для размышлений» упражнение для улучшения внимания, восприятия, речи: «наденьте шапку», то есть мягко заверните уши от верхней точки до мочки три раза.

«Моргания» (полезно при всех видах нарушения зрения): моргайте на каждый вдох и выдох)

«Отдых для глаз» упражнение укрепляют мышцы век, способствуют кровообращению: плотно закрыть и широко открыть глаза.

VI .Закрепление.

— Работаем с учебником с.91 №383 (по вариантам)

— Выполним вычисления так, как это делала Мышка.

— Давайте ещё раз проверим, выполняется ли у нас ограничение в разности а и в, а меньше?

Слайд 8 (Задания для сильных учащихся)

Объяснение инструкции к заданию. Запись выражения равного данному.

(42 – 15) х 2= 42 х2 -15х2= 84-30=54

(31 – 8) х 5=31х5 – 8х5 = 155 – 40 =115

Да, выполняется. 42 больше 15 и 31 больше 8.

(135 – 84) х 3 =135 х 3 – 84 х 3

1в. – 1 столбик, 2в. – 2 столбик

Проверка по образцу.

VII. Резерв. Самостоятельная работа. Решение задачи по заданному выбору представления решения.

— Прочитайте задачу.

— Какие величины известны в задаче?

1ряд решает выражением;

2 ряд – по вопросам;

3 ряд – по действиям.

Проверим по образцу

№395 с.92

Группа туристов проплыла 2ч на плоту, проплывая каждый час 4 км, а затем прошла пешком 3ч, проходя каждый час 6 км. Найдите дину всего маршрута туристов.

4 х 2+6 х 3

1)Чему равен путь туристов на плоту?4х2=8 (км)

2)Чему равен путь туристов пешком?

6 х 3=18(км)

3)Чему равен весь путь?

VIII. Закрепление.

— Чему научились новому на уроке?

— Еще раз сформулируем правила распределительного свойства относительно сложения и вычитания.

— Проверим, как вы научились с помощью теста пользоваться распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.

Ключ к проверке теста

Проверяем взаимопроверкой:

1 вариант

1) б

2) б

3) а

4) а

2 вариант

1) в

2) а

3) б

4) б

Тест

1. Какие из равенств являются распределительным свойством умножения?

1 вариант

2 вариант

а) а х(в х с)=(а х в)хс;

б) (а + в)хс = ас + вс;

в) (а + в)х с = а — с + в;

а)а х в = в х а;

б)а — (в+с) = а-в -с;

в)(а + в) х с= ас + вс;

80 х 5 – 2 х 5

равно

а) 30; б) 300; в)103

а) 390; б) 400; в)102;

60 х 2 + 19 х 2

равно

а) 720; б) 106; в) 60

а)150; б) 158; в)108;

а) (60 + 1) х 4;

б) (17 – 13) х 5;

а) (67 – 17) х 4;

б) (30 – 2) х 5;

Презентация на тему: Сочетательное и распределительное свойства умножения

1

Первый слайд презентации: Сочетательное и распределительное свойства умножения

Изображение слайда

2

Слайд 2: Свойства умножения

. = . переместительное . = . ( ( . ( ( . сочетательное

Изображение слайда

3

Слайд 3: Свойства умножения

. = . переместительное . = . ( ( . ( ( . сочетательное а b b а b b c c а a

Изображение слайда

4

Слайд 4

Упростить: 12 4 y ; a 25 b 8 c; 2 x 15; Вычислите наиболее удобным способом: 25 78 4 2 49 50 3 5 8 3 . . . . . . . . . . . . . .

Изображение слайда

5

Слайд 5: Свойства умножения

+ ( ( . = + . . распределительное — ( ( . = — . .

Изображение слайда

6

Слайд 6: Свойства умножения

распределительное + ( ( . = + . . a a a b b c c — ( ( . = — . . a a a b b c c

Изображение слайда

7

Слайд 7: Распределительное свойство умножения

Чтобы умножить число на сумму надо 1) умножить число на первое слагаемое; 2) умножить число на второе слагаемое; 3) результаты сложить.

Изображение слайда

8

Слайд 8

Опираясь на распределительное свойство умножения, запишите такие числа, чтобы равенства были верными. 1) 5 * (10 + 6) =  ______ + ______; 2) ( + 11 ) * 3 = 21 + ______; 3) 4 * ( ____ + ____) = 16 + 20; 4) (7 + 8) * ____  =  70 + ____; 5)  ______* (11 — 7) =  ______ — 21; 6) (______- 12) * 5 = 150 — ______.

Изображение слайда

9

Слайд 9

Опираясь на распределительное свойство умножения, запишите такие числа, чтобы равенства были верными. 1) 5 * (10 + 6) =  50 + 30; 2) ( 7 + 11 ) * 3 = 21 + 33 ; 3) 4 * ( 4 + 5 ) = 16 + 20; 4) (7 + 8) * 10   =  70 + 80 ; 5)  3 * (11 — 7) =  33 — 21; 6) ( 30 — 12) * 5 = 150 — 60.

Изображение слайда

10

Слайд 10

+ ( ( . = + . . + . . = + ( ( . Вынесение общего множителя за скобки.

Изображение слайда

11

Слайд 11: Вынесите за скобки общий множитель:

. + . = ( + ( . + . = ( + ( — = — ( . ( . + = + ( . ( .

Изображение слайда

12

Слайд 12

Вынесение общего множителя за скобки. 329 . 754 + 329 . 246 = 329 . 754 246 + ( ) = = 329 = . 1000 = 329 000 18 — 1 3 = = = 18 5m 1 3 5 m m ( ) — . = m m

Изображение слайда

13

Слайд 13: Физкультминутка

Вы, наверное, устали? Ну, тогда все дружно встали. Вверх ладошки! Хлоп! Хлоп! По коленкам – шлёп, шлёп! По плечам теперь похлопай! По бокам себя пошлёпай! Мы осанку исправляем Спинки дружно прогибаем Вправо, влево мы нагнулись, До носочков дотянулись. Плечи вверх, назад и вниз. Улыбайся и садись.

Изображение слайда

14

Слайд 14

Изображение слайда

15

Слайд 15

? ВОКЗАЛ 65км/ч С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 65 км/ч, а скорость другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч? 85км/ч 3ч

Изображение слайда

16

Слайд 16

1. Найдите значение выражения наиболее удобным способом. а) 49 * 15 + 51 * 15; б) 9 * 90 + 9 * 10; в) 28 * 160 — 28 * 60; г) 58 * 22 — 28*22. 2. Раскройте скобки. а) (6 + а) * 7; б) 5 * (10 — х ).

Изображение слайда

17

Слайд 17: Подведем итоги урока

Какое свойство умножения мы сегодня изучали? Какие преобразования можно сделать с помощью распределительного свойства?

Изображение слайда

18

Слайд 18: Рефлексия

«Букет настроения» Красный цветок – урок был интересен, узнал что – то новое, полезное. Синий цветок – на уроке было скучно, ничего нового и полезного вы не узнали.

Изображение слайда

19

Последний слайд презентации: Сочетательное и распределительное свойства умножения: Рефлексия

1.Урок полезен, всё понятно. 2.Лишь кое-что чуть-чуть неясно. 3.Ещё придётся потрудиться. 4.Да, трудно всё-таки учиться!

Изображение слайда

Технологическая карта урока по математике на тему «Сочетательное и распределительное свойство умножения» (5 класс)

1

Организационный этап

1мин

Эмоциональный настрой на урок.

Друзья мои, я очень рада
Войти в приветливый наш класс.
И для меня уже награда
Внимание ваших умных глаз.
Я знаю, каждый в классе гений,
Но без труда талант не впрок.
Возьмём же ручки и мелок
И вместе сочиним урок!

Включаются в деловой ритм урока.

2.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся – 2 мин

Учитель: Ребята! На уроке Мальвина предложила выполнить Буратино и Пьеро умножение: 32∙25

Буратино выполнял решение столбиком, а Пьеро – устно и рассуждал так: 32∙25=(30+2)∙25=30∙25+2∙25=750+50=800,

Чьё решение было рациональнее?

Учитель: Что применил Пьеро?

Учитель: А с какими еще свойствами умножения мы познакомились на прошлых уроках?

Можно ли было для решения применить сочетательное свойство? Предложите решение.

— Молодцы! Видите, ребята, как облегчают вычисления свойства умножения. Как Вы думаете — какова сегодня тема урока? 

Сегодня на уроке мы будем продолжать изучать применение свойств умножения. Поэтому, откройте ваши тетради и запишите число, классная работа и тему урока «Сочетательный и распределительный законы умножения».

Сегодняшний урок мне хочется начать с отрывка из очень известной сказки, а вы догадайтесь, что это за сказка, кто ее написал, и о чем идет речь в этом отрывке.

В нескольких шагах от неё сидел Чеширский кот.

— Скажите пожалуйста, куда мне отсюда идти?

— А куда ты хочешь попасть?- ответилКот.

— Мне все равно… сказала Алиса.

— Тогда все равно куда и идти,-заметил Кот.

Учитель:Так что же хотел сказать Кот?

Учитель: Ребята! Кто попробует сформулировать цель урока?

Учитель: А Девизом к сегодняшнему уроку я хочу предложить вам взять слова древнегреческого математика Фалеса:

Что есть больше всего на свете?

Пространство.

— Что быстрее всего? – Ум.

— Что мудрее всего? – Время.

— Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Учитель: Я желаю вам достичь своей цели! Помогут нам в пути ваши знания и смекалка, Нужно работать дружно, уметь слушать друг друга, выбирать правильный ответ.

Учащиеся участвуют в обсуждении

Пьеро!

Распределительное свойство умножения.

Переместительное и сочетательное свойства.

32∙25=8∙4∙25=8∙(4∙25)=8∙100=800

Ребята записывают тему урока.

Отвечают: Это отрывок из сказки «Алиса в стране чудес». Её написал Льюис Керролл.

Учащиеся: Перед тем как что-то делать, надо знать, в каком направлении двигаться, поставить цель

Формулируют цель урока

Записывают по желанию высказывание

3.

Актуализация опорных знаний

1) Проверка домашнего задания

2)Устные упражнения

3)Историческая пауза. – 2 мин (устно, ф)

Сначала устно обсуждаются решения домашней работы, предлагаются варианты хода решения заданий, делаются выводы. После этого задания домашней работы учитель проецирует на экран с готовыми ответами.

а х

Учитель: Давайте вспомним законы умножения:

На партах у вас лежит сигнальные карточки, работаем с ними.

1. Сформулировать переместительный закон умножения, покажите его математическую запись

2.Сформулировать сочетательный закон умножения, покажите его математическую запись

3.Сформулировать распределительный закон умножения относительно сложения, показать его матем запись

4 . Сформулировать распределительный закон умножения относительно вычитания, показать его математическую запись

Раскройте скобки :(какие законы умножения вы использовали?)

а )3 ∙(а +5)

б) (с + 9) ∙6

в) 4 ∙( 5р – 7)

3.На смекалку:

а) На берёзе росло 90 яблок. Подул сильный ветер и 10 яблок упало. Сколько яблок осталось на берёзе? (на берёзе яблоки не растут)

б) В комнате было 12 цыплят, 3 кролика, 5 щенят, 2 кошки, 1 петух и 2 курицы. Сюда зашёл хозяин с собакой. Сколько в комнате стало ног? (две, у животных не ноги, а лапы)

Знак умножения ввёл в 1631 году Уильям Отред (Англия) в виде косого крестика. До него использовали чаще всего букву M, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (Эригон, 1634), звёздочка (Иоганн Ран, 1659). Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x;

Предлагают

варианты ответов

Формулируют законы умножения, работают с сигнальными карточками

Записывают имена и даты

7.

Информация о домашнем задании

Разъясняет дом. задание:

§ 17, № 429(1,3,5), 431, 433, 435, 437(1,2)

Свойства умножения | 7 класс | Алгебра

Переместительное

Произведение не изменяется от перемещения сомножителей

Пример:$$2\times3=3\times2$$

$$6\times5\times7=5\times6\times7=7\times6\times5$$

Это свойство выражают так: $$abc=acb=bac=bca=…$$

Сочетательное

Умножение обладает сочетательным свойством: произведение не изменится, если какие-либо сомножители будут заменены их произведением.

Так, вместо того, чтобы вычислять это произведение в том порядке, в каком написаны сомножители: $7 \times 2 \times 5 = 14 \times 5 = 70$, станем вычислять его в порядке, указанном данными скобками $7 \times (2 \times 5) = 7 \times 10 = 70$

Произведение $7 \times 2 \times 5 $ означает, что $7$ повторяется слагаемым 2 раза и полученная сумма повторяется слагаемым еще $5$ раз; произведение можно выразить так:

$$(7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)+ (7 + 7)$$

Но вместо того, чтобы складывать сумму $7 + 7$, мы может складывать просто $7$. Написанная нами сумма должна быть равна:

$$7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7$$

т. е. она должна равняться $7 \times 10$.

В применении к произведению трех сомножителей сочетательное свойство (в соединении с переместительным) можно выразить такими равенствами:

$$аbс = а (bс) = b (ас) = с (ab)$$

{"questions":[{"widgets":{"choice":{"type":"choice","options":["$5 \\times 12 = 15 \\times 4 = 20 \\times 3$","$3 \\times 10 = 10 \\times 3$","$a \\times b \\times c = b \\times a \\times c = ...$","$2(a \\times b \\times c) = 2b \\times a \\times c = 2a \\times b \\times c = ...$"],"explanations":["$5 \\times 12 = 5 \\times 3 \\times 4$","Это выражение показывает переместительное свойство","",""],"answer":[0]}},"content":"Какое выражение использует сочетательное свойство умножения?[[choice]]"}]}

Распределительное

Допустим мы должны умножить $526$ на $3$. Значит, мы должны умножить сумму $500 + 20 + 6$ на $3$. Для этого можно умножить на $3$ отдельно каждое слагаемое и результаты сложить.

$$(500 + 20 + 6) \times 3 = (500 \times 3)+(20 \times 3) + (6 \times 3) = 1500 + 60+18 = 1578$$

Подобно этому, чтобы умножить сумму $5 + \frac{3}{4} +2$ на $8$, можно умножить отдельно $5$, $\frac{3}{4}$ и $2$ и результаты сложить:

$$(5+\frac{3}{4}+2) \times 8 = (5 \times 8) +(\frac{3}{4} \times 8) + (2 \times 8) = 40 + 6 + 16 = 62$$

Если требуется умножить разность на какое-нибудь число, то для этого можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого результата вычесть второй. Например:

$$(12-10) \times 3 = 12 \times 3-10 \times 3 = 36-30 = 6$$

$$(2\frac{1}{2}-\frac{3}{4}) \times 8 = 2\frac{1}{2} \times 8-\frac{3}{4} \times 8 = 20-6=14$$

Таким образом:

Чтобы умножить сумму (или разность) на любое число, можно умножить на данное число каждое слагаемое отдельно (уменьшаемое и вычитаемое отдельно) и результаты сложить (вычесть).
$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b})\cdot \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c}$$

Это свойство называется распределительным, так как действие умножения, производимое над суммой или разностью, распределяется на каждое данное число в отдельности.

Умножение числа на произведение

Пусть необходимо умножить $8$ на $40$, то есть на произведение $4 \times10$. Для этого можем умножить $8$ на $4$ и результат умножить на 10:$$ 8\times(4 \times10)= 8 \times4 \times10.$$

Значит:

$$a(bc)=abc$$

$$a(bcd)=abcd$$

Следовательно, чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можем умножить это число сначала на первый сомножитель, далее полученное произведение умножить на второй сомножитель, затем на третий и так далее.

Умножение произведения на число

Пусть необходимо умножить произведение $3 \times6 \times9$ на 11. Для этого можем умножить на $11$ какой — нибудь один сомножитель, оставив другие без изменения:

$$(3 \times6 \times9) \times11=$$$$(3 \times11) \times6 \times9=$$$$3 \times(6 \times11) \times9=$$$$3 \times6 \times(9 \times11)$$

Во всех случаях ответ будет $1782$.

То есть: $$(abc…)m=(am)bc…=a(bm)c…=…$$

Следовательно, чтобы умножить произведение на какое — нибудь число, можем умножить на это число только один сомножитель, оставив все другие без изменения. 

Потренироваться в использовании данных свойств вы можете на наших тренажёрах умножения

Основные свойства умножения — Занимательная математика — Математика

Комментариев: 0

Со времён древних греков математики находили законы и правила, которые применимы к использованию чисел. Что касается умножения, они определили четыре основных свойства, которые всегда верны.

Некоторые из этих свойств могут показаться достаточно очевидными, но школьникам имеет смысл запомнить всё основные свойства умножения, поскольку они могут быть очень полезны в решении задач и упрощении математических выражений.

Переместительное свойство умножения

Переместительное свойство для умножения утверждает, что при умножении двух или более чисел вместе порядок их умножения не изменит ответа. Используя символы, можно выразить это правило, сказав, что для любых двух чисел m и n, m x n = n x m. Это также может быть выражено для трех чисел, m, n и p, как m x n x p = m x p x n = n x m x p и так далее. Например, 2 x 3 и 3 x 2 равны 6.

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство гласит, что группирование чисел не имеет значения при умножении ряда значений вместе. Группирование обозначается использованием скобок и правил математического состояния, что операции в скобках должны выполняться первой в уравнении. Можно суммировать это правило для трех чисел как m x (n x p) = (m x n) x p. Примером использования числовых значений является 3 x (4 x 5) = (3 x 4) x 5, так как 3 x 20 равно 60 и, следовательно, 12 x 5.

Свойство тождественности умножения

Свойство тождественности для умножения является, пожалуй, самым самоочевидным свойством для тех, кто имеет некоторое заземление в математике. На самом деле, иногда предполагается, что оно настолько очевидно, что не входит в список мультипликативных свойств. Правило, связанное с этим свойством, заключается в том, что любое число, умноженное на значение единицы, остается неизменным. Символически это можно записать как 1 x a = a. Например, 1 x 12 = 12.

Распределительное свойство умножения

Наконец, распределительное свойство гласит, что член, состоящий из суммы (или разности) значений, умноженных на число, равен сумме или разнице отдельных чисел в этом члене, каждый из которых умножается на это же число. Сводка этого правила с использованием символов такова, что m x (n + p) = m x n + m x p, или m x (n-p) = m x n-m x p. Пример может быть 2 x (4 + 5) = 2 x 4 + 2 x 5, так как 2 x 9 равно 18 и равно 8 + 10.

Математическая ассоциативная собственность, коммутативная, дистрибутивная

«Ассоциативное свойство» — это результат, применимый как к сложению, так и к умножению.

То, что вы можете складывать или умножать в любом порядке, независимо от того, как сгруппированы числа.

Дополнение

Общее правило:     ( a + b ) + c   =   a + ( b + c )

( 1 + 4 ) + 2   =   5 + 2  = 7

1 + ( 4 + 2 )   =  1 + 6  =  7

Умножение

Общее правило:     ( a × b ) × c   =   a × ( b × c )

( 5 × 4 ) × 2   =  20 × 2  =  40

5 × ( 4 × 2 )   =  5 × 8  =  40

Математические ассоциативные свойства,
Вычитание и деление

Однако это свойство НЕ относится к делению и вычитанию.

40 &дел ( 20 &дел 2 )   =   40 &дел 10  =  4

( 40 &дел 20 ) &дел 2   =   2 &дел 2  =  1

4 1

( 3 − 8 ) − 4   =   -5 — 4  =  -9

3 − ( 8 − 4 )   =   3 − 4  =  -1

-9 -1

Резюме:


Коммутативная собственность
Распределительная, переходная

А также математическое ассоциативное свойство.

Есть еще несколько важных свойств, о которых нужно знать. Они Коммутативные, Распределительное и транзитивное свойство.

Коммутативное имущество

ДОПОЛНЕНИЕ

Общее правило:       a + b  =  b + a

—    3 + 5  =  8   ,   5 + 3  =  8 =>     3 + 5  =  5 + 3

УМНОЖЕНИЕ

Общее правило:       a × b  =  b × a

—    3 × 5  =  15   ,   5 × 3  =  15         => 3 × 5  =  5 × 3

Однако свойство коммутативности НЕ выполняется для вычитания и деления.


—    7 − 4  =  3   ,   4 − 7  =  -3         => а — б   ≠   б — а

—    6 &дел 3  =  2   ,   3 &дел 6  =  0,5 =>         a &div b   ≠   b &div a

Распределительная собственность

Распределительное свойство работает с умножением вместо сложения.

Общее правило:       a × ( b + c )   =   a × b  +  b × c

2 × ( 4 + 3 )   =   2 × 7   =   14

2 × ( 4 + 3 )   =   2 × 4  +  2 × 3   =   8 + 6   =   14

Но распределительное свойство работает и с умножением, а не с вычитанием.


2 × ( 5 − 2 )   =   2 × 3  =  6

2 × ( 5 − 2 )   =   2 × 5  —  2 × 2   = 10 — 4  = 6

Однако это свойство не выполняется при делении за делением.


12 &дел ( 4 &дел 2 )   =   12 &дел 6  =  2

12 &дел ( 4 &дел 2 )   =   12 &дел 4  +  12 &дел 2   =   3 + 6 = 9

Переходное свойство

Существует еще одно свойство, известное как переходное свойство.

Где, если:

Хотя это кажется очевидным утверждением, это свойство может пригодиться при определенных обстоятельствах. доказательства.

  1. Дома
  2. Базовая алгебра
  3. › Математическое ассоциативное свойство



Вернуться к НАЧАЛУ страницы

Основные свойства чисел — Msrblog

Числа обладают четырьмя основными свойствами: коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью и тождественностью.По сути, есть три свойства. Это коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. Однако мы можем расширить их, включив в них свойства нуля и единицы. Мы также назвали эти свойства правилами арифметики. Особенно важно понимать эти свойства, когда вы достигаете продвинутой математики, такой как алгебра и исчисление.

Переместительное свойство

  • Сложение : При сложении двух чисел сумма одинакова независимо от порядка сложения чисел.Пример: 3 + 5 = 8 или 5 + 3 = 8
  • Умножение: При умножении двух чисел произведение одинаково независимо от порядка умножения чисел. Пример: 3 x 5 = 15 или 5 x 3 = 15

Ассоциативность

Ассоциативность чисел объясняется как при сложении, так и при умножении. Начните с красивого примера из жизни и в конце посмотрите на разницу между коммутативным и ассоциативным свойством

  • Сложение: числа сгруппированы.Пример: 6 + (4 + 3) = 13 или (6 + 4) + 3 = 13
  • Умножение: При умножении трех или более чисел произведение будет одинаковым независимо от того, как сгруппированы числа. . Пример: 6 x (4 x 3) = 72 или (6 x 4) x 3 = 72

Свойство распределения

Свойство распределения объясняется тремя хорошими примерами.

Сумма двух чисел, умноженная на третье число, равна сумме каждого слагаемого, умноженного на третье число.Пример; 5 x (7 + 2) = 45 или 5 x 7 + 5 x 2 = 45.

Свойство личности

  • Сложение: Сумма любого числа и нуля является этим числом. Пример: 12 + 0 = 12
  • Умножение: Произведение любого числа на единицу и есть это число. Пример: 18 x 1 = 18

Свойства нуля

Здесь мы объясним свойства нуля. Неспособность понять и/или распознать эти свойства может привести к некоторым типичным ошибкам, совершаемым учащимися.Освойте эти свойства раз и навсегда прямо здесь.

Какие ассоциативные коммутативные и дистрибутивные свойства?

Summary

коммутативные законы :: A + B = B + A A × B = B × A
ассоциативные законы : (A + B) + C = A + (B) + c) (a × b) × c = a × (b × c)
Распределительный Право: a × (b + c) = a × b + a × c

Щелкните чтобы увидеть полный ответ.

Более того, что такое ассоциативно-распределительное и коммутативное свойство?

В математике ассоциативные и коммутативные свойства — это всегда существующие законы сложения и умножения. Ассоциативное свойство утверждает, что вы можете перегруппировать числа, и вы получите тот же ответ, а коммутативное свойство утверждает, что вы можете перемещать числа и по-прежнему получать тот же ответ.

Кроме того, что является примером ассоциативного свойства? Согласно ассоциативному свойству сложения, сумма трех и более чисел остается неизменной независимо от того, как эти числа сгруппированы.Вот пример того, как сумма НЕ меняется независимо от того, как сгруппированы слагаемые. Вот еще пример . ( 75 + 81 ) + 34. = 166 + 34.

Учитывая это, в чем разница между ассоциативным коммутативным и дистрибутивным?

КЛЮЧЕВАЯ ИДЕЯ: В ассоциативном законе круглые скобки перемещаются, а цифры и буквы — нет. Ассоциативный закон работает, когда мы складываем или умножаем. Это НЕ работает, когда мы вычитаем или делим.Распределительный закон («умножить все, что внутри скобок, на то, что вне их»).

Что означает распределительная собственность?

Распределительное свойство является одним из наиболее часто используемых свойств в математике. В общем, этот термин относится к распределительному свойству умножения, которое гласит, что . Определение : Распределительное свойство позволяет умножать сумму путем умножения каждого слагаемого по отдельности, а затем складывать произведения.

Что такое ассоциативные коммутативные дистрибутивные свойства? [Комплексный ответ]

Ищете ответ на вопрос: Что такое ассоциативные коммутативные дистрибутивные свойства? На этой странице мы собрали для вас самую точную и исчерпывающую информацию, которая полностью ответит на вопрос: Что такое ассоциативно-коммутативные дистрибутивные свойства?

Как и в случае с коммутативностью, примеры ассоциативных операций включают сложение и умножение действительных, целых и рациональных чисел, а также сложение матриц.Однако, в отличие от коммутативного свойства, ассоциативное свойство также может применяться к умножению матриц и композиции функций.

Распределение Свойство — это когда вы распределяете проблему на меньшую проблему. Ассоциативное свойство — это когда у вас есть проблема только со сложением или вычитанием, и вы можете поставить скобку где угодно и все равно получить тот же ответ. 0.0. 0 голосов.

Ниже приведены некоторые примеры коммутативного свойства, используемого в повседневной жизни: Надевание обуви является коммутативной операцией.Добавление сахара и сливок в кофе — это коммутативное действие, потому что не имеет значения, какие из них добавляются в кофе первыми. Коммутативное свойство также можно наблюдать при оплате или получении наличных.

• Разница между и ассоциативность и и ассоциативность — это то, что коммутативный имущество гласит, что порядок элементов не меняет окончательный результат, в то время как Associative имущество гласит, что заказ в котором выполняется операция, не влияет на окончательный ответ.

Что является примером ассоциативного свойства?

Ассоциативное свойство умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как числа сгруппированы. Например, 3 × (5 × 6) = (3 × 5) × 6. Здесь, как бы ни группировались числа, произведение обоих выражений остается равным 90.


Что позволяют нам ассоциативно-коммутативные и дистрибутивные свойства сделать?

Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства помогают преобразовать сложное алгебраическое выражение в более простое.Когда вы переписываете выражение с помощью коммутативного свойства, вы меняете порядок сложения или умножения чисел.


Каковы 4 свойства сложения?

Существует четыре свойства сложения целых чисел. Свойство замыкания. Перечислительное свойство. Ассоциативное свойство. Аддитивное свойство идентичности.


К чему относится ассоциативное свойство?

Ассоциативность применяется к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению.


Что такое ассоциативная собственность и распределительная собственность?

A. Ассоциативное свойство гласит, что при сложении или умножении символы группировки можно переставлять, и это не повлияет на результат. Это формулируется как (a+b)+c=a+(b+c). Распределительное свойство — это метод умножения, который включает умножение числа на все отдельные слагаемые другого числа.


Что такое ассоциативность в математике?

Ассоциативность — это математическое правило, согласно которому способ группировки множителей в задаче на умножение не меняет произведение.


Что такое коммутативный ассоциативный и распределительный закон?

коммутативный закон, в математике любой из двух законов, относящихся к числовым операциям сложения и умножения, выраженный символически: a + b = b + a и ab = ba. … Закон коммутативности не обязательно выполняется для умножения условно сходящихся рядов. См. также ассоциативный закон; распределительный закон.


Чем полезно ассоциативное свойство?

Ассоциативное свойство полезно при сложении или умножении нескольких чисел.Группируя, мы можем создавать более мелкие компоненты для решения. Это делает вычисления сложения или умножения нескольких чисел проще и быстрее.


Что такое пример ассоциативного свойства?

Ассоциативное свойство умножения гласит, что произведение трех или более чисел остается одним и тем же независимо от того, как числа сгруппированы. Например, 3 × (5 × 6) = (3 × 5) × 6. Здесь, как бы ни группировались числа, произведение обоих выражений остается равным 90.


Что вы подразумеваете под ассоциативным свойством?

Ассоциативность — это математическое правило, согласно которому способ группировки множителей в задаче на умножение не меняет произведение.


Что такое формула ассоциативного свойства?

Формула ассоциативности умножения: (a × b) × c = a × (b × c). Эта формула говорит нам, что независимо от того, как расставлены скобки в выражении умножения, произведение чисел остается одним и тем же.


Что является примером ассоциативного свойства?

Что такое ассоциативное свойство сложения? Ассоциативное свойство сложения гласит, что независимо от того, как набор из трех или более чисел сгруппирован вместе, сумма остается неизменной. … Например, если мы сгруппируем числа 3 + 4 + 5 как 3 + (4 + 5) или (3 + 4) + 5, сумма, которую мы получим из обоих наборов, равна 12.


Что является ассоциативно-распределительным свойством?

A. Ассоциативное свойство гласит, что при сложении или умножении символы группировки можно переставлять, и это не повлияет на результат.Это формулируется как (a+b)+c=a+(b+c). Распределительное свойство — это метод умножения, который включает умножение числа на все отдельные слагаемые другого числа.


Как вы используете ассоциативное свойство?

Определение: Ассоциативное свойство указывает, что вы можете складывать или умножать независимо от того, как сгруппированы числа. Под «сгруппированным» мы подразумеваем «как вы используете скобки». Другими словами, если вы складываете или умножаете, не имеет значения, где вы ставите скобки.Добавьте скобки в любом месте!.


Какие 4 свойства есть в математике?

Есть четыре основных свойства чисел: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и тождественность. Вы должны быть знакомы с каждым из них. Особенно важно понимать эти свойства, когда вы достигаете продвинутой математики, такой как алгебра и исчисление.


Что такое ассоциативное свойство сложения?

Ассоциативное свойство сложения говорит о том, что изменение группировки слагаемых не меняет суммы.


Что такое ассоциативная идентичность?

Ассоциативное свойство утверждает, что сумма или произведение набора чисел одинаково, независимо от того, как числа сгруппированы. Операция является ассоциативной, если изменение группировки не меняет результатов. Это означает, что круглые скобки (или квадратные скобки) можно перемещать. … Числа, которые перемножаются, могут быть сгруппированы в любом порядке.


Что называется ассоциативным свойством?

Это свойство указывает, что при сложении (или умножении) трех или более чисел сумма (или произведение) остается одинаковой независимо от группировки слагаемых (или множимых).


В чем разница между ассоциативной собственностью и распределительной собственностью?

Ассоциативное свойство гласит, что при сложении или умножении символы группировки можно переставлять местами, и это не повлияет на результат. Это формулируется как (a+b)+c=a+(b+c). Распределительное свойство — это метод умножения, который включает умножение числа на все отдельные слагаемые другого числа.


Что означает ассоциативное свойство?

Ассоциативность — это математическое правило, согласно которому способ группировки множителей в задаче на умножение не меняет произведение.

Что такое ассоциативно-коммутативные дистрибутивные свойства? Видео ответ

Коммутативные ассоциативно-распределительные свойства

Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства.

Презентация на тему: » Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства.» — Транскрипт:

ins[data-ad-slot=»4502451947″]{display:none !важно;}} @media(max-width:800px){#place_14>ins:not([data-ad-slot=»4502451947″]){display:none !important;}} @media(max-width:800px){#place_14 {ширина: 250px;}} @media(max-width:500px) {#place_14 {ширина: 120px;}} ]]>

1 Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства

2 Ассоциативное свойство Ассоциативное свойство позволяет группировать числа по-разному и при этом получать тот же результат.Например: Ассоциативное свойство сложения: (9 + 6) + 4 = 9 + (6 + 4) Ассоциативное свойство умножения: (9 * 6) * 4 = 9 * (6 * 4) Примечание. Ассоциативное свойство не работа на вычитание или деление (9 — 6) — 4 = 9 — (6 — 4) 3 — 4 = 9 — 2 -1 = 7 (9 / 6) / 2 = 9 / (6 / 2) (1,5) / 2 = 9 / 3 0,75 = 3

3 Коммутативное свойство Коммутативное свойство позволяет вам изменить порядок чисел и получить тот же результат.Например: Переместительное свойство сложения: 6 + 4 = 4 + 6 Переместительное свойство умножения: 6 * 4 = 4 * 6 Примечание: Переместительное свойство не работает для вычитания или деления 6 – 4 = 4 – 6 2 = — 2 6/4 = 4/6 1,5 = 2/3 (или 0,6667)

4 Распределительное свойство Распределительное свойство в основном используется для умножения числа через скобки, содержащие сложение или вычитание. Распределительное свойство: 10(6 + 5) = 10(6)+10(5)

5 В обзоре Ассоциативное свойство изменяет группировку Коммутативное свойство изменяет порядок Распределительное свойство умножает через круглые скобки, содержащие сложение или вычитание.

6 Что это за недвижимость? 3 * 4 * 6 = 6 * 3 * 4 Коммутативное свойство умножения

7 Что это за недвижимость? 5(x — 3) = (5*x) — (5*3) Распределительное свойство

8 Что это за недвижимость? (2 + 3) + (4 + 6) = (4 + 6) + (2 + 3) Переместительное свойство сложения

9 Что это за недвижимость? Ассоциативное свойство сложения (2 + 3) + (4 + 6) = 2 + (3 + 4) + 6

10 Что это за недвижимость? 10(3 + 6 + 2) = (10*3) + (10*6) +(10*2) Распределительное свойство

11 Что из этого НЕ ПРАВДА? (1 + 2) + (3 + 4) = 1 + (2 + 3) + 4 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 4 + 3 + 2 (1 * 2) * (3 * 4) = 1 * (2 * 3) * 4 (1 — 2) — (3 — 4) = 1 — (2 — 3) — 4 Коммутативное свойство не работает с вычитанием

12 Что из этого ПРАВДА? 1 + 2 + 3 + 4 = 1 * 2 * 3 * 4 1 + 2 * 3 + 4 = 1 * 2 + 3 + 4 1 * 2 * 3 * 4 = 2 * 3 * 1 * 4 1 + 2 * 3 * 4 = 2 * 3 + 4 * 1

13 Какой из них демонстрирует ассоциативное свойство сложения? a + b + c + d = d + c + a + ba * b * c * d = d * a * c * b (ab) * (cd) = (ac) * (bd) (a + b) + (с + г) = (а + г) + (с + б)


Анимированная математика: коммутативные, ассоциативные и распределительные свойства

Иногда визуальная демонстрация математической концепции поможет вам вспомнить и понять, как это работает.Вот несколько анимированных картинок, графика которых демонстрирует коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Примечание. Для правильного просмотра анимации необходимо использовать современный браузер. К современным браузерам относятся: последние две основные версии Google Chrome, Mozilla Firefox, Microsoft Internet Explorer, Apple Safari, Opera или браузеры на смартфонах и планшетах iPhone/iPad или Android. (Adobe Flash Player НЕ требуется).

Коммутативность — это свойство некоторых математических операций, где изменение порядка операндов не влияет на результат.

«Хорошо, но что, черт возьми, означает , что

Хорошо…

3+4 равно 4+3.

а также

2 х 5 это то же самое, что 5 х 2.

Так что в основном при сложении или умножении чисел их порядок не имеет значения.

И вот небольшая анимация, демонстрирующая это:

ТАКОЙ ЖЕ КАК

А вот умножение:

В основном для таких вещей, как сложение и умножение, это не независимо от того, в каком порядке числа, которые вы добавляете или умножаете (это «операнды»).

Примечание. Коммутативное свойство применяется к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению, поэтому:

4 — 2 НЕ равно 2 — 4

Объяснение анимации

Первая анимация показывает, что не имеет значения, если вы начнете с двух кексов и добавите еще три, или вы начинаете с трех кексов и добавляете еще два, в любом случае получается пять.

Вторая анимация показывает что-то похожее для умножения, есть ли у вас две строки по три звездочек в каждом или трех рядов по две звездочки, результат тот же: шесть звездочек.

Готовы перейти к ассоциативному свойству?

Если математическая операция следует ассоциативному свойству, это говорит нам о том, что мы можем сгруппировать операнды разные, а результат будет тот же.

Или проще…

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

Скобки говорят нам, что мы должны выполнять операции внутри скобок перед применением любых других операций к тому, что находится внутри круглых скобок.Ассоциативный Затем свойство сообщает нам, что для сложения и умножения не имеет значения, куда идут скобки.

(2 + 3) + 4 означает, что мы сначала делаем 2 + 3, а затем добавляем 4. Так…

(2 + 3) + 4
= 5 + 4
= 9

И точно так же 2 + (3 + 4) говорит нам сначала сделать 3 + 4, а затем добавить это к 2. Так…

2 + (3 + 4)
= 2 + 7
= 9

Как говорится, картинка стоит 1000 слов… (интересно, сколько стоит движущаяся картинка)?

ТАКОЙ ЖЕ КАК

То же самое и с умножением:

(2 х 3) х 4 = 2 х (3 х 4)

Действие!

4 противня
из
6 пончиков

(2 X 3) X 4
= 6 X 4
= 24 пончика

ТАКОЙ ЖЕ КАК

2 противня
из
12 пончиков

2 X (3 X 4)
= 2 X 12
= 24 пончика

Объяснение анимации

С первой анимацией мы видим, что группировка моркови не влияет на общее количество морковок.Независимо от того, «ассоциируется» ли средний набор морковок с одной слева или с тремя справа, в любом случае общее количество то же: шесть морковок.

Анимация для умножения немного сложнее, но в основном она выглядит как трехмерная группа пончиков. На него можно посмотреть двояко: слева он показан в виде четырех лотков, в каждом из которых два ряда по три пончика. Справа тот же набор пончиков, но вместо того, чтобы смотреть на четыре лотка, вы можете рассматривать его как передний набор и задний набор пончиков, в каждом из которых четыре ряда по три пончика в каждом.В любом случае, всего 24 пончика.

Дополнительные примечания

Если вы используете это свойство вместе с коммутативным свойством, это означает, что для сложения и умножения вы можете упорядочивайте и комбинируйте вещи так, как хотите, на столько номеров, сколько хотите. Так:

1 + 2 + 3 + 4 + 5
= (2 + 3) + 4 + 1 + 5
= (2 + 3) + 5 + (1 + 4)
= 5 + (4 + 3 + 2) + 1 , так далее.

Примечание: свойство ассоциативности не применяется к вычитанию или делению.А также это относится только к операциям одного типа, поэтому вы не можете смешивать сложение и умножение и использовать ассоциативное свойство:

3 + (4 X 2) делает , а не равным (3 + 4) X 2

На самом деле совместное использование сложения и умножения решается следующим свойством, обсуждаемым здесь.

Хорошо, я думаю, мы готовы заняться Распространяемой Собственностью!

В отличие от двух других свойств в этом разделе, распределительное свойство, или дистрибутивное право, относится и к сложению, и к умножению одновременно.Это говорит нам, что вы можете умножать число с суммой двух других чисел (слагаемых) равносильно умножению числа на каждое слагаемое отдельно, а затем суммировать результаты.

Что ж, это не смутило!

Хорошо, может быть, это прояснит ситуацию…

2 х (3 + 4) = (2 х 3) + (2 х 4)

Вы можете видеть, как операция 2 X была «распределена» как по 3, так и по 4.

2 х (3 + 4)
= 2 х 7
= 14

И аналогично,
(2 х 3) + (2 х 4)
= 6 + 8
= 14

Но это может быть еще проще понять, взглянув на эту анимированную картинку:

3 + 4 = 7

2

2 х (3 + 4)
= 2 х 7
= 14

ТАКОЙ ЖЕ КАК

Пояснение к анимации

Эта анимация в основном показывает, что если у вас есть два ряда по семь морковок в каждом, вы можете разделить большую группу на две меньшие группы, так что у вас есть один набор с двумя рядами по три, а другой набор с двумя рядами по четыре.В любом случае у вас получится 14 морковок.

Дополнительные примечания

Будьте осторожны с тем, какая операция является какой — операция внутри круглых скобок должна быть сложением, а та, что снаружи, должна быть умножением. Так…

2 + (3 X 4) — это , а не , то же самое, что (2 + 3) X (2 + 4).

Левому 14, правому 30.

Это свойство не совсем работает с вычитанием и делением, хотя если использовать отрицательные числа и дроби, можно добиться аналогичного эффекта. в некоторых ситуациях.Если вы не готовы работать с отрицательными числами и/или дробями, игнорируйте этот пример:

Вы можете игнорировать этот раздел

(4 — 3) ÷ 2 то же, что (4 ÷ 2) — (3 ÷ 2)

Это потому, что вы можете трактовать — 3 так же, как сложение -3, а деление на 2 как то же самое, что умножение на ½.

Итак, (4 — 3) ÷ 2
= (4 + -3) X ½
= ½ X (4 + -3) (используя свойство коммутативности)
= (½ X 4) + (½ X -3) ​​
= (4 ÷ 2) + (-3 & разделить 2)
= (4 ÷ 2) — (3 ÷ 2)
= 2 — (3/2)
= ½

Обратите внимание, что это не работает, если вы меняете порядок, поэтому это не работает с 2 ÷ (4 — 3).Это более сложная операция, которая здесь не рассматривается.

Но если вы сомневаетесь, просто вспомните морковь на анимированной картинке выше, и это может помочь вам вспомнить, как работает это свойство!

Все сделано! Но если вы хотите, вы можете щелкнуть, чтобы вернуться к свойству Commutative…

Математические свойства Коммутативные Ассоциативные Распределительные и идентификационные свойства

Математические свойства Коммутативные, ассоциативные, дистрибутивные и тождественные свойства

Что такое свойства? • В жизни существуют правила и законы, которые говорят нам, что мы можем и чего не можем делать.. . • В математике свойства подобны тем законам или правилам, которые говорят нам, что мы можем и что не можем делать с наборами чисел

Коммутировать • Коммутировать означает путешествовать из одного места в другое. • Например, вы едете в школу утром.

Коммутативное имущество • Точно так же, как вы едете из дома в школу, номер может добираться из одного места в другое. • a + b = b + a (Числа меняются местами. ) • Пр) 2 + 3 = 3 + 2 • И 2 + 3, и 3 + 2 равны 5. • а · b = b · а • Пр) 3 · 5 = 5 · 3 • И 3 · 5, и 5 · 3 равны 15.

Сотрудник • Сотрудник — это друг или человек, с которым вы работаете. • Например, главный чирлидер является партнером школьного талисмана.

А теперь представьте, что футбольная команда задержалась на игре, а чирлидер и талисман забыли подготовиться к контрольной по математике. Внезапно чирлидер знакомится с кем-то еще.

Ассоциативное свойство Ассоциативное свойство — это когда число ассоциируется с другим числом. А + (В + С) = (А + В) + С или 2 + (6 + 5) = (2 + 6) + 5

Ассоциативное свойство • Ассоциативное свойство может использоваться со сложением, как показано выше, а также с умножением.• А · (В · С) = (А · В) · С называется ассоциативным свойством умножения.

Личность • Ваша личность — это то, кто вы есть. • Смена одежды или новая стрижка не меняет вашей личности. • Ваша личность остается прежней.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.