Сочетательное и распределительное свойства умножения
- Авдохин Олег Игоревич
Разделы: Математика
Класс: 5
Ключевые слова: алгоритм, умножение, математическая задача, переместительное свойство
Учебник: Математика 5 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.
Тип урока: урок применения и закрепления знаний.
Целевые установки на достижение результата:
личностные: развивать навыки самостоятельной работы, ответственного отношения к учению, готовности к саморазвитию, умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности;
метапредметные: учить использовать приобретенные знания в практической деятельности, действовать по алгоритму, видеть математическую задачу в окружающей жизни, строить логические рассуждения и делать выводы;
предметные: закрепить навыки умножения
натуральных чисел и применения сочетательного и
переместительного свойств умножения
натуральных чисел, записывать эти свойства в
виде формул, углубит навыки решения задач.
Формы организации работы: фронтальная, парная, индивидуальная.
Оборудование: компьютер, проектор, учебник.
Этапы урока
1 этап. Организация. (3 мин.)
Приветствие, проверка готовности к уроку. Эмоциональный настрой детей на учебную деятельность. Учащиеся сдают тетради с домашними работами.
2 этап. Устный опрос (индивидуальный). (4 мин.)
— Сформулируйте сочетательное свойство умножения. Записать на доске буквенную форму.
— Сформулируйте распределительное свойство умножения. Записать на доске буквенную форму.
3 этап. Закрепление теории и актуализация знаний. (Презентация. Слайд 2–6). (13 мин.)
Дополнительное прочтение/запись свойств умножения, разбор примеров для подтверждения достоверности данный свойств. Приведение жизненных примеров из личного опыта учащихся.
4 этап. Физкультминутка. (1 мин.)
5 этап. Закрепление теории практикой. (19 мин.)
Работа в парах (слайд 7).
Ребята выполняют
задания, после выполнения меняются тетрадями для
проверки соседа. (9 мин.).
Индивидуальная работа. Номера в учебнике – 430, 432. Стр. 118. (10 мин.).
6 этап. Подведение итогов. Рефлексия. Запись домашнего задания. (5 мин.)
Ученики записывают в дневник домашнее задание. На отдельных листочках записывают продолжения высказываний (слайд 8) и оставляют на партах.
Переместительное свойство умножения и сложения
Одно из важных правил, которые изучаются в 6 классе, — переместительное свойство умножения. В начальной школе на уроках математики ученикам объясняют, что от перестановки слагаемых сумма не изменится.
Содержание
- 1 Переместительный закон умножения
- 2 Сочетательный закон
- 3 Распределительный закон
Переместительный закон умножения
Действительно, неважно: если у на столе лежат 3 красных карандаша, а к ним добавят еще 2, на столе окажется 5 карандашей.
Если бы на столе лежало 2 карандаша, и к ним положили еще 3, итог оказался бы тем же:
3 + 2 = 5;
2 + 3 = 5.
Это переместительное свойство сложения. Запомнить его не составляет труда.
Умножение – более сложное действие, однако вычисления можно упростить, если использовать переместительное свойство умножения:
Программа изучения математики в 5 классе рассматривает переместительный закон умножения в буквенном обозначении:
a · b = b · a.
Правило можно применить по отношению к любым числам и к любому количеству чисел:
a · b · c = b · a · c
Применение переместительного закона умножения на практике
Переместительное свойство умножения поможет выбирать для вычисления более удобный способ.
6 · 251 = ?
Записав пример столбиком, получим:
Такое вычисление делать долго, да и запись имеет некрасивый вид.
Если записать пример иначе: 6 · 251 = 251 · 6 – решать будет проще:
Быстро и просто.
Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее.
Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения:
2 · 3 = 2 + 2 + 2
Следовательно, переместительный закон сложения можно применить и на умножение, сделав и запись, и вычисление гораздо проще: вместо того, чтобы число 6 сложить друг с другом 251 раз, можно число 251 сложить с себе подобным 6 раз: 251 + 251 + 251 + 251 + 251 + 251 = 1506. Как не изменится в этом случае сумма, так неизменным будет и произведение: 6 · 251 = 251 · 6.
Сочетательный закон
Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:
- получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;
- раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.
Пользоваться этим правилом удобно, если видно, что для простоты вычисления можно воспользоваться переместительным свойством умножения.
На практике любое количество чисел можно переставлять, менять как угодно местами, чтобы считать было легче.
Важно! Применять переместительное и сочетательное свойства умножения можно для облегчения сложных вычислений.
Распределительный закон
На уроках математики в 6 классе изучают еще два правила, которые облегчают решение сложных примеров. Если необходимо умножить число на сумму чисел, необходимо раскрыть скобки:
Распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания применять удобно как в случае наличия одинаковых множителей, который можно вынести за скобки, так и для упрощения выражения, если в задаче присутствуют 2 неизвестных:
2 · (3х + 4у) = 2 · 3х + 2 · 4у = 6х + 8у
5 · (2х – 3у) = 5 · 2х – 5 · 3у = 10х – 15у.
Распечатать памятку «Свойства умножения»
Все вышеперечисленные законы, позволяющие упростить вычисления, действуют для любого количества чисел и облегчают решение задач любой сложности. Их можно использовать как для целых, так и для дробных чисел.
- целую часть умножить на натуральное число;
- дробную часть умножить на него же;
- сложить получившиеся числа и записать результат.
Правила умножения и деления
Изучение распределительного закона умножения, применение переместительного и сочетательного свойств в 6 классе позволит позднее, при изучении алгебры проводить более сложные вычисления. Основы, заложенные сейчас, и умение выносить за скобки общий множитель или перераспределять множители, позволит упрощать выражения, быстро решать сложные задачи с натуральными числами и дробями – как простыми, так и смешанными.
Что такое числовые свойства? (коммутативный, распределительный, ассоциативный и тождественный) – BYJUS
О числовых свойствах
- Что такое числовые свойства?
- Коммутативное свойство
- Ассоциативное свойство
- Распределяющее свойство
- Идентификационное свойство
- Примеры
- Часто задаваемые вопросы
Что такое числовые свойства?
Свойства чисел задают некоторые правила, которым мы можем следовать при выполнении математических операций.
Существует четыре числовых свойства: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и тождественность. Свойства чисел связаны только с алгебраическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. Однако некоторые из этих свойств неприменимы к операциям вычитания и деления.
Коммутативное имущество
Слово «commute» означает «путешествовать туда и обратно». Если число коммутативно, значит, оно подвижно. Коммутативное свойство утверждает, что изменение порядка слагаемых или множителей не меняет ни суммы, ни произведения.
Давайте посмотрим, как это применимо к числам в выражении.
Рассмотрим выражение 3 + 5.
Мы знаем, что 3 + 5 = 8. Но 5 + 3 также равно 8.
Итак, 3 + 5 = 5 + 3
При сложении двух чисел вместе, сумма останется той же, даже если мы изменим порядок, в котором выполняется операция сложения. Это означает, что выражение дает нам тот же результат, даже если положение чисел меняется.
Это известно как коммутативное свойство сложения.
Кроме того, мы видели, что свойство коммутативности применимо и к умножению.
Например, \(3\х5 = 15\)
И \(5\х3 = 15\).
Таким образом, при перемножении двух чисел произведение двух чисел остается одним и тем же независимо от порядка их умножения. Это известно как коммутативное свойство умножения.
Ассоциативное свойство
Некоторые математические выражения, содержащие более двух членов, можно легко решить, сгруппировав члены в выражении. «Связать» числа означает сгруппировать числа. Ассоциативное свойство утверждает, что изменение группировки слагаемых или множителей не меняет сумму или произведение.
Посмотрим, как можно дополнительно использовать ассоциативное свойство. Рассмотрим следующее уравнение:
5 + 7 + 6 = 18
Всякий раз, когда мы выполняем это сложение в уме, мы обычно сначала прибавляем два числа, а затем прибавляем третье число к сумме первых двух чисел.
Мы можем выполнить это добавление двумя способами.
5 + (7 + 6) = 5 + 13 = 18
И (5 + 7) + 6 = 12 + 6 = 18
В обоих случаях ответ остается одним и тем же.
Таким образом, при сложении трех чисел сумма остается неизменной независимо от того, как они были сгруппированы. Это известно как ассоциативное свойство сложения.
Давайте попробуем использовать ассоциативность в случае умножения.
\(1 х 2 х 3 = 6)
Это умножение можно выполнить двумя способами.
\(1 \times (2 \times 3) = 6\)
И \((1 \times 2) \times 3 = 6\)
При умножении трех или более чисел произведение остается одинаково независимо от того, как были сгруппированы числа. Это известно как ассоциативное свойство умножения.
Распределительное свойство
Распределительное свойство утверждает, что умножение суммы двух или более слагаемых на число равносильно умножению каждого слагаемого по отдельности на число и последующему сложению произведений вместе.
Интересно, что распределительное свойство применимо и к вычитанию. Давайте посмотрим на пример.
\(5 \times (2 + 3) = (5 \times 2) + (5 \times 3)\)
Аналогично, \(5 \times (2 – 3) = (5 \times 2) – (5 \умножить на 3)\)
Свойство идентичности
Свойство идентичности утверждает, что при сложении, вычитании, умножении или делении числа на определенное число результат будет таким же, как исходное число. Давайте узнаем больше о свойстве идентичности сложения и вычитания и свойстве идентичности умножения и деления.
Свойство тождества сложения и вычитания0 считается аддитивным тождеством в случае сложения и вычитания. Когда мы прибавляем или вычитаем 0 к любому числу, мы получаем одно и то же число.
Например, 7 + 0 = 0, 0 + 2 = 2 и 5 – 0 = 5
Свойство тождества умножения и деления 1 рассматривается как мультипликативное тождество в случае умножения. Если мы умножим любое число на 1, мы получим то же самое число.
Например,
\(5 х 1 = 5, 1 х 7 = 7)
Это справедливо и для деления. Любое число, деленное на 1, дает одно и то же число.
Например, \(5 \дел 1 = 5\).
Примеры свойств решаемых чисел
Пример 1: Используйте распределительное свойство для решения \(8\times24\).
Решение:
\ (8 \ Times24 = 8 \ Times (20+4) \) Напишите 24 в виде суммы двух чисел
\ (= (8 \ times20)+( 8\times4)\) Распределяющее свойство
\(=160+32\) 0005
Пример 2: Дополните следующие уравнения и определите свойство, используемое в каждом случае.
а. \(12\умножить на 5=\_\_\_\_\умножить на 12\)
b. \(15+12+9=\_\_\_\_+15+9\)
Решение:
а. Нам нужно найти пропущенное число в уравнении.
Согласно свойству перестановочности умножения,
\(12\times5=5\times12\)
Итак, пропущенное число 5.
б. Обе части уравнения равны. У нас есть 15 и 9 по обе стороны уравнения. У нас есть 12 только в левой части уравнения. Итак, пропущенное значение равно 12.
15 + 12 + 9 = 12 + 15 + 9
Мы воспользовались коммутативным свойством сложения, чтобы найти недостающий член в этом уравнении.
Пример 3: Завершите уравнения и определите используемое свойство.
а. \(1\раз\_\_\_\_=115\)
б. \(213+\_\_\_\_=213\)
Решение:
а. В этом примере мы умножаем неизвестное число на 1, чтобы получить 115. Но мы знаем, что любое число, умноженное на 1, дает нам одно и то же число. Следовательно, в уравнении отсутствует число 115.
Мы воспользовались тождественным свойством умножения, чтобы завершить это уравнение.
б. В этом случае мы добавляем неизвестное число к 213, чтобы получить 213. Мы должны добавить 0 к 213 в левой части.
Согласно тождественному свойству сложения, когда мы прибавляем 0 к числу, мы получаем в результате то же самое число.
Пример 4 : Решите следующее уравнение, используя числовое свойство.
113 + 4 + 27 = ?
Решение :
Мы можем сгруппировать 113 и 27, потому что в сумме получается 140. Это значительно упрощает сложение.
113 + 4 + 27 = 113 + 27 + 4 Использование свойства перестановочности для замены чисел местами.
(113 + 27) + 4 = 140 + 4 = 144 Удобно использовать ассоциативное свойство сложения групповых чисел.
Часто задаваемые вопросы о свойствах чисел
Почему мы используем свойства чисел?
Свойства чисел помогают нам легко решать уравнения, содержащие математические операции. Числовые свойства сокращают количество шагов, необходимых для решения, и упрощают его понимание.
Применимы ли числовые свойства к вычитанию и делению?
Все свойства чисел неприменимы к вычитанию и делению.
Например, коммутативные и ассоциативные свойства неприменимы к вычитанию и делению. Только распределительное свойство и тождественное свойство применимы к вычитанию и делению.
Ознакомьтесь с другими нашими курсами
Рабочие листы по коммутативным, ассоциативным и распределительным свойствам
Коммутативное свойство сложения и умножения показывает нам, что числа можно легко поменять местами в операциях уравнения.
Коммутативное свойство — Что касается сложения — сумма двух сложенных чисел остается неизменной. Неважно, в каком порядке вы добавили числа. Например. 3 + 5 = 8 или 5 + 3 = 8. Что касается умножения. Умноженный ответ будет таким же после умножения двух чисел. Порядок также будет таким же, в котором вы умножали числа. Например; 3 × 5 = 15 или 5 × 3 = 15. Когда мы сталкиваемся с подобными задачами, мы точно знаем, что порядок целых чисел не имеет значения. Ассоциативное свойство говорит нам, что то, как мы группируем числа в уравнении, не имеет значения, если операции одни и те же.
Ассоциативное свойство — В отношении сложения — Сумма трех или более сложенных чисел будет одинаковой. Неважно, какими способами вы сгруппировали числа. Например;
6 + (4 + 3) = 13 или (6 + 4) + 3 = 13. Что касается умножения. Произведение не изменится, если вы умножите три или более чисел вместе. Неважно, какими способами вы составили группу перемноженных чисел. Например;
6 × (4 × 3) = 72 или (6 × 4) × 3 = 72.
Распределительное свойство является наиболее часто используемым свойством в математике. Эти рабочие листы рассматривают коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства и определяют правильное свойство для заданных выражений. Хотя они определены, студенты должны иметь некоторые предварительные знания.
Получите бесплатные рабочие листы в свой почтовый ящик!
Нажмите кнопки, чтобы распечатать каждый рабочий лист и ключ ответа.
В этом листе объясняется, как определить правильное свойство для данных выражений. Решается примерная задача и предлагаются две практические задачи.
Это заполнение пустой активности, которая охватывает почти все. Дано десять задач.
Учащиеся будут практиковаться в определении числовых свойств, присутствующих в выражениях. Дано десять задач.
Пересмотрена концепция определения существующих свойств операции. Примерная задача решена. Предлагаются шесть практических задач.
Учащиеся продемонстрируют свои навыки владения этими навыками. Дано десять задач.
Это можно использовать со всей группой студентов в целом. Предлагаются три задачи, а также место, где учащиеся могут скопировать правильный ответ, когда он будет дан.
Этот рабочий лист объясняет, как идентифицировать коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.
Примерная задача решена.
Учащиеся определят коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства, которые существуют в серии вычислений. Решается примерная задача и предлагаются две практические задачи.
Вы изучите ряд выражений и определите наличие коммутативного, ассоциативного или дистрибутивного свойства. Дано десять задач.
Вы получите больше опыта, узнав, какие свойства применяются к разным сериям операций. Дано десять задач.
Мы прорабатываем все эти понятия в серии легких упражнений. Предлагается восемь задач.
Не торопитесь, чтобы определить, что присутствует в каждом из этих выражений или уравнений. Предлагаются три задачи.
Этот рабочий лист объясняет, как переписать уравнение, используя свойство коммутативности. Решается примерная задача и предлагаются две практические задачи.
Учащиеся перепишут уравнения, используя свои знания об этих приложениях.