24.Сочетательное свойство умножения

Введение в программу начального курса математики сочетательное свойство умножения позволяет познакомить учащихся с новыми вычислительными приемами, с помощью которых они могут находить рациональные способы вычислений.

В зависимости от логики построения курса сочетательное свойство умножении может изучаться как во втором, так и в третьем классе.

В учебнике М3М изучение сочетательного свойства умножения, которое представлено как умножение числа на произведение, предшествует изучению темы: «Умножение на числа, оканчивающиеся нулями».

С сочетательным свойством умножения можно познакомить учащихся сразу после составления таблиц умножения.

Если изучение трехзначных чисел предшествует теме «Умножение», то познакомив учащихся с правилом умножения на 10, можно использовать сочетательное свойство при умножении однозначных чисел на разрядные десятки:

4 • 90 = 4 • (9 • 10) = (4 • 9) • 10 = 36 • 10 = 360

В учебнике М2М при знакомстве учащихся с сочетательным свойством умножения используется соотнесение рисунка с математической записью.

Распределительное свойство умножения

Знакомство младших школьников с распределительным свойством умножения, так же как с переместительным и сочетательным, обусловливается логикой построения курса.

Возможен вариант, когда термин «распределительное свойство умножения» не вводится, а рассматривается два правила:

а) умножение суммы на число;

б) умножение числа на сумму.

Изучение этих правил разведено во времени, т.к. первое правило лежит в основе вычислительного приема умножения двузначного числа на однозначное (в пределах 100), а втрое правило вводится для разъяснения способа действия при умножении двузначного числа на двузначное «в столбик».

Этот вариант нашел отражение в учебниках М2М и М3М.

Для усвоения правила умножения суммы на число в учебнике М2М предложены задания.

При изучения правила умножения числа на сумму в учебнике М3М дается рисунок и две записи.

Возможен вариант, когда учащихся знакомят с названием свойства («распределительное свойство умножения») и усваивают его содержание в процессе выполнения различных заданий.

Этот вариант нашел отражение в учебниках М2И и М3И.

25. Методика изучения величин в начальной школе.

План изучения всех величин:

1) Знакомство с единицами каждой величины; 2) Получение наглядных представлений; 3) Усвоение соотношений между изученными единицами; 4) Умение применять их при решении практических задач; 5) Знать инструменты измерения величин; 6) Иметь чёткие представления о процессе измерения величин

1. Понятие величины. 2) Длина. 3) Масса и емкость. 4) Площадь. 5) Время. 6) Скорость. 7) Действия с именованными числами.

1) В. – это такие св – ва пр., к – е поддаются колич. оценке. Колич. оценка – И. Результат пр. измерения – опред. численное значение, показывающее во сколько р. данная мера «ул. ». в измер. В.

Этапы изучения:

• Выделять и распознавать св – ва и качества пр., поддающихся сравнению.

• Для сравнения используется промежуточная мерка. Она должна быть выбрана из окружающей среды.

• Знакомство со стандартными мерами В. связано с этапами изучения нумерации.

2) Д. – это характеристика линейных размеров предметов. Зн. на протяжении всего курса в начальной школе. Первые пр. – из жизни. В 1 классе – уточнение, что шире, кто выше. Метр – это основная мера длины. 10дм=1 м, 100 см=1 м.Введен в употребление в 18 веке во Ф. задания (Сравнить, преобразовать). Миллиметр – это метрическая мера длины. 1см=10мм. (Начертить, измерить, сравнить0. В 4 классе составляется сводная таблица.

1км=1000 м

1 дм=10 см

1 м=100 см

1 м=10 дм

3) М. – это физическое свойство предметов, поддающееся измерению.

Процесс измерения массы – это взвешивание.

Е. – это объем меры жидкости. (извивание, отливание из одного сосуда, сравнение сосудов). Литр – это метрическая мера объема. В 3 классе дети знакомятся с граммом. 1 кг=1000 г, 4 класс х – тонна, центнер. 1 т=1000 кг, 1 ц=100 кг, 1 т=10 ц.

4) Площадь – это свойство геометрической фигуры занимать измеряемое место на плоскости. (м², см²). В дш. возрасте дети сравнивают П. наложением. В 1 классе – понятия уточняются. Понятие «П.» вводится в 3 классе. 1м²=100дм², 1м²=10000см². 1 сотка=1 ар.

5) Время – это длительность протекания процесса. Наглядность: песочные часы и часы со стрелкой. В дш. – день, ночь, времена года. 1 класс – режим и распорядок дней. 2 класс – единицы измерения: час, минута. Определение времени по циферблату часов. 1 век=100 лет, 1 год=12 месяцев, 1 сутки=24 часа, 1 ч=60 минут, 1 минута=10 секунд. В году 365 дней. В месяце – 30 – 31 день. В феврале – 29 дней.

С. с. единицы времени не десятичная.

6) Скорость – это путь, пройденный телом за единицу времени. С.–это величина физическая (км/ч, м/c,). Формула: S=vt.скорость сближения – это сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу. Скорость удаления – противоположные стороны.

7) Действия с именованными числами – это числа с наименованиями единицы измерения.5км700м – 500м=5км200м, 8дм – 4 см=80 см – 4 см=76 см.

Свойства умножения — Элементарная математика

Умножение имеет следующие свойства: распределительное, коммутативное, ассоциативное, удаление общего множителя и нейтрального элемента.

Мы посвящаем этот пост изучению свойств умножения, а именно:

• Распределительное свойство: Умножение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое из суммы, которые необходимо добавить.

Возьмем, к примеру: 2 x (3 + 5)

Согласно распределительному свойству 2 x (3 + 5) будет равно 2 x 3 + 2 x 5.

Проверим, так ли это .

2 х (3 + 5) = 2 х 8 = 16

2 х 3 + 2 х 5 = 6 + 10 = 16

Оба дают в результате 16, что показывает, что распределительное свойство умножения работает.

• Переместительное свойство: Порядок множителей не меняет произведение.

Рассмотрим на примере свойство коммутативности:

Результат умножения 10 х 3 будет равен умножению 3 х 10. Хотя мы меняем порядок множителей, результат по-прежнему равен 30.

• Ассоциативное свойство: Способ группировки множителей не изменяет результат умножения.

Давайте рассмотрим пример ассоциативного свойства умножения:

В этом случае, как показано на рисунке, мы получим тот же результат, если умножим 3 x 2, а затем умножим результат на 5, как если бы мы умножьте 2 x 5, а затем умножьте результат на 3.

• Удаление общего множителя:
  Это свойство, обратное распределительному свойству. Если различные слагаемые имеют общий множитель, мы можем преобразовать сумму в произведение, вычитая этот множитель.

Рассмотрим пример удаления общего множителя. Если у нас есть операция (2 х 7) + (3 х 7), которая имеет 7 в качестве общего делителя, мы можем преобразовать эту операцию в 7 х (2 + 3).

Проверим, что удаление общего множителя дает тот же результат:

(2 x 7) + (3 x 7) = 14 + 21 = 35

7 x (2 + 3) = 7 x 5 = 35

Это показывает, что это свойство умножения работает.

• Нейтральный элемент: 1 называется тождеством умножения, потому что каждое число, умноженное само на себя, является одним и тем же числом.

В примере, который мы показываем на изображении, мы видим, что если мы умножаем 5 или 7 на 1, мы получаем в результате 5 или 7. Таким образом, любое число, которое мы умножаем на 1, дает нам в результате тот же номер.

Это пять свойств умножения. Если вы хотите узнать больше об элементарной математике, зарегистрируйтесь бесплатно на Smartick.

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)

Что такое числовые свойства? Определение, типы, диаграмма, примеры

Свойства чисел. Введение

Свойства чисел — это определенные правила, которые можно применять, и характеристики, которым числа следуют при выполнении над ними арифметических операций. В математике мы используем числа для логического выражения математических фактов и идей. Но что такое числовых свойств ? Зачем вам нужно их учить? Мы знаем, что все вокруг нас имеет определенные свойства, такие как форма, размер, вес и т. д. Как и эти вещи, числа также обладают некоторыми свойствами. Знание свойств поможет вам легко решать уравнения.

Давайте, давайте подробно изучим свойств чисел .

Родственные игры

Что такое числовые свойства в математике?

Свойства чисел относятся к свойствам, которые помогают выразить основные характеристики или особенности действительных чисел . В математике есть четыре основных свойства:

• Переместительное свойство
• Ассоциативное свойство
• Распределительная собственность
• Идентификационное свойство

Мы применяем эти свойства при выполнении операций сложения и умножения.

Связанные рабочие листы

Переместительное свойство

Коммутировать означает перемещаться из одного места в другое. Давайте разберемся, как это связано с числовыми свойствами.

Переместительное свойство сложения

Это свойство говорит о том, что когда мы складываем два числа, порядок сложения чисел не влияет на ответ .

Пример:

Предположим, нам нужно сложить 3 и 5.

Мы можем записать $3 + 5 = 8$.

Точно так же мы можем записать это как $5 + 3 = 8$.

Таким образом,

$3 + 5 = 5 + 3 = 8$

Следовательно, коммутативность сложения для любых двух действительных чисел a и b определяется как:

$a + b = b + a$

Коммутативное свойство умножения

Это свойство говорит о том, что когда мы умножаем два числа, порядок, в котором мы умножаем числа, не влияет на ответ .

Пример: 

Перемножим 4 и 5. Получим 4$\умножить на 5 = 20$. Теперь, если мы поменяем порядок чисел на обратный и умножим, мы получим $5 \times 4 = 20$.

Таким образом,

Следовательно, коммутативное свойство умножения для любых двух действительных чисел a и b определяется как:

$a \times b = b \times a$

Ассоциативное свойство

к объединению или сотрудничеству. Разберемся со свойством.

Ассоциативное свойство сложения

Это свойство говорит о том, что когда мы складываем три или более чисел, порядок группировки чисел не влияет на сумму .

Пример: 

Предположим, нам нужно сложить 3, 4 и 5. Сначала мы группируем 3 и 4 как $(3 + 4)$ и прибавляем сумму к 5. Затем мы берем 3 и прибавляем к группа из 4 и 5 как $(4 + 5)$. Получаем

$(3+4)+5=3+(4+5)=12$.

Следовательно, ассоциативное свойство сложения трех действительных чисел a, b и c равно:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ассоциативное свойство умножения

Это свойство говорит о том, что при умножении трех или более чисел порядок группировки чисел не влияет на продукт .

Пример: 

Возьмем числа 2, 3 и 5. Сначала сгруппируем 2 и 3 как $(2 \times 3)$ и умножим произведение на 5.

Получим $(2 \times) 3) \х5 = 6\х5 = 30$.

Затем мы группируем 3 и 5 как $(3 \times 5)$ и умножаем на 2.

Итак, 2 $(3 х 5) = 2 х 15 = 30$.

Таким образом,

$(2 \times 3) \times 5 = 2 \times (3 \times 5) = 30$.

Следовательно, ассоциативное свойство умножения трех действительных чисел a, b и c:

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

Сложение

Свойство идентичности

Это свойство говорит о том, что когда мы добавляем 0 к любому числу, сумма равна самому числу. Мы называем 0 аддитивным тождеством .

Пример: 

Возьмем 5 и добавим к нему 0. Получаем $5 + 0 = 5$ или $0 + 5 = 5$.

Следовательно, тождественное свойство сложения для любого действительного числа а: 1 произведение равно самому числу. Мы называем 1 мультипликативной идентичностью .

Пример:

Возьмем 4 и умножим на 1.

Получим

$4 \times 1 = 4$ или $1 \times 4 = 4$.

Следовательно, тождественное свойство умножения для любого действительного числа a:

$a \times 1 = 1 \times a = a$

Распределительное свойство умножения над сложением число на сумму двух или более слагаемых, произведение равно результату умножения числа на каждое из слагаемых в отдельности и последующего сложения произведений. Это свойство указывает, что умножение распределяется по сложению

.

Пример:

Умножим 3 на сумму 4 и 5. Получим $3 \times (4 + 5) = 27$. Теперь умножаем 3 на 4 и 5 по отдельности и затем складываем произведения. Получаем $(3 умножить на 4) + (3 умножить на 5) = 12 + 15 = 27$.

Таким образом, $3 \times (4 + 5) = (3 \times 4) + (3 \times 5) = 27$

Теперь рассмотрим выражение $(2 + 3) \times 7$. Получаем $(2 + 3) \times 7 = 5 \times 7 = 35$. Когда мы умножаем 2 и 3 по отдельности на 7 и складываем произведения, мы получаем $2 \times 7 + 3 \times 7 = 14 + 21 = 35$.

Таким образом, $(2 + 3) х 7 = (2 х 7) + (3 х 7) = 35$

Эти два примера математических свойств показывают, как мы можем распределить выражение для легкое вычисление. Для $a \times (b + c)$ мы можем расширить выражение, используя распределительное свойство, как:

Для $(b + c) \times a$, мы можем расширить выражение, используя распределительное свойство, как:

Следовательно, распределительное свойство умножения над сложением для трех действительных чисел a, b и c:

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

Формула Таблица свойств основных чисел

Вот список из математических свойств , показанных в таблице ниже. Он включает формулу для четырех основных математических свойств операций , рассмотренных выше.

Интересные факты!

• Существует только одна версия распределительного свойства для умножения и сложения. В нем нет двух отдельных правил сложения и умножения.
• Коммутативное свойство получило свое название от коммутации, что означает путешествовать или передвигаться.
• Ассоциативное свойство получило свое название от слова «ассоциировать».
• Свойство идентичности сложения также известно как нулевое свойство сложения.

Заключение

Свойства чисел говорят нам, как математические операции связаны друг с другом. Используя 4 упомянутых выше свойства математики , вы можете упростить вычисления и укрепить свою базу для изучения более высоких математических понятий.

Решенные примеры числовых свойств

1. Определите числовое свойство, используемое в данном уравнении.

$ (12 \ Times 9) \ Times 4 = 12 \ Times (9 \ Times 4) $

Решение :

Используемая собственность является ассоциативным свойством умножения,

$ (A \ раз b) \times c = a \times (b \times c)$

Произведение не зависит от того, как мы группируем числа.

2. Является ли $3yz = 3zy$ ?

Решение :

Да, $3yz = 3zy$.

По коммутативному свойству умножения имеем $a \times b = b \times a$

Можно сказать, что $3yz = 3zy$.

3. По коммутативному свойству сложения $n + 3 = $ ?

Решение : 

По коммутативному свойству сложения имеем

$a + b = b + a$; для любых действительных чисел a и b

Таким образом, $n + 3 = 3 + n$

Порядок чисел не влияет на сумму.

4. Если 4 миллиона долларов \ умножить на 1 = 20 долларов , найдите значение m, используя тождественное свойство умножения.

Решение : Заданное выражение равно $4m \times 1 = 20$.

Согласно тождественному свойству умножения, $a \times 1 = a$

Итак, $4m = 20$

          $m = \frac{20}{4}$ 

         $m = 5$.

Следовательно, значение m равно 5,

5. Решите данное выражение, используя распределительное свойство.

                     $6 \times (5 + 8)$

Решение + а \раз с$.

Рассмотрим $a = 6, b = 5$ и $c = 8$ и подставим значения в уравнение

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ .

Получаем $6\times (5 + 8) = 6 \times 5 + 6 \times 8 = 30 + 48 = 78$.

Итак, 6$\умножить на (5+8) = 78$.

Практические задачи по числовым свойствам

1

Какое свойство используется на изображении ниже?

Коммутативное свойство сложения

Ассоциативное свойство сложения

Тождественное свойство сложения

Распределительное свойство

Правильный ответ: Ассоциативное свойство сложения
Если мы рассмотрим $a = 3$ желтых шаров, $b = 6$ красных шаров, а $c = 2$ зеленых шаров, и подставляем их в уравнение, получаем: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это ассоциативное свойство сложения.

2

Что из следующего является примером свойства идентичности сложения?

$7 + 1 = 8$

$22 + 2 = 24$

$20 + 0 = 20$

$1 – 1 = 0$

Правильный ответ: $20 + 0 = 20$
Свойство тождества сложения есть $а + 0 = а$. Когда мы подставляем 20 в качестве значения a в это выражение, мы получаем $20 + 0 = 20$.

3

Выберите числовое свойство, которое иллюстрирует данное выражение. $yz \times 1 = yz$

Свойство идентичности умножения

Свойство идентичности умножения

Свойство распределения

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: Свойство идентичности умножения
Свойство идентичности умножения $a \times 1 = a$. Если мы рассмотрим $a = yz$, мы можем выразить это свойство как $yz \times 1 = yz$.

4

Какое выражение равно $(7 \times 3) \times 9$?

$7 \раз (3 + 9)$

$7 \раз (3 \раз 9))$

$7 + (3 \times 9)$

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: $7 \times (3 \times 9)$
Согласно ассоциативному свойству умножения, $(a \times b ) \times c = a \times (b \times c)$.
Таким образом, $(7 \times 3) \times 9 = 7 \times (3 \times 9)$.

5

Если вы расширите $5 \times (9 + 1)$, используя распределительное свойство, какое выражение вы получите?

5$ х 10$

5$ + (9 х 1)$

5$ х 9+ 5 \times 1$

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: $5 \times 9 + 5 \times 1$
Дистрибутивное свойство умножения над сложением: $a \times (b + c) = a \times б + а \раз с$.
Подставляя $a = 5$, $b = 9$ и $c = 1$, получаем выражение $5 \times (9 +1) = 5 \times 9 + 5 \times 1$.

Часто задаваемые вопросы о свойствах чисел

Что такое действительные числа?

Действительные числа включают дроби, положительные целые числа, отрицательные целые числа и иррациональные числа.

Соответствуют ли десятичные числа упомянутым выше математическим свойствам?

Да, десятичные числа подчиняются упомянутым выше математическим свойствам.

Можем ли мы использовать свойство коммутативности для вычитания?

Нет, не можем.