Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.

Умножение натурального числа.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел, а числа m и n называют множителями.

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел.
Числа 7 и 12 называются множителями.

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим  2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

2⋅5=5⋅2

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m⋅n=n⋅m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅b) ⋅c=a⋅(b⋅c)

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a⋅1=a или 1⋅a=a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или  0⋅6=0
a⋅0=0 или 0⋅a=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения  3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12  б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

правила, примеры, решения, 1 умножить на 10

Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.

Таблица умножения

Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6. Иначе это запишем: 6·3=6+6+6=18. Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.

1·1=1	2·1=2	3·1=3
1·2=2	2·2=4	3·2=6
1·3=3	2·3=6	3·3=9
1·4=4	2·4=8	3·4=12
1·5=5	2·5=10	3·5=15
1·6=6	2·6=12	3·6=18
1·7=7	2·7=14	3·7=21
1·8=8	2·8=16	3·8=24
1·9=9	2·9=18	3·9=27

 

4·1=4	5·1=5	6·1=6
4·2=8	5·2=10	6·2=12
4·3=12	5·3=15	6·3=18
4·4=16	5·4=20	6·4=24
4·5=20	5·5=25	6·5=30
4·6=24	5·6=30	6·6=36
4·7=28	5·7=35	6·7=42
4·8=32	5·8=40	6·8=48
4·9=36	5·9=45	6·9=54

 

7·1=7	8·1=8	9·1=9
7·2=14	8·2=16	9·2=18
7·3=21	8·3=24	9·3=27
7·4=28	8·4=32	9·4=36
7·5=35	8·5=40	9·5=45
7·6=42	8·6=48	9·6=54
7·7=49	8·7=56	9·7=63
7·8=56	8·8=64	9·8=72
7·9=63	8·9=72	9·9=81

Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.

Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8, необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8), и строку левой ячейки, где число 8 (6). Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8.

Умножение трех и более количества чисел

Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c, где a, b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a·b·c. Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.

Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a·b)·(c·d), (a·(b·c))·d, ((a·b)·c)·d, a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a·b·c·d.

Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.

Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2·1·3·1·8. Имеется два основных способы решения.

Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2·1·3·1·8=2·3·1·8. Так как 2·3=6, то 2·3·1·8=6·1·8. Далее имеем, что 6·1=6, тогда в итоге получим результат 6·8=48. Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48. Этот способ записывается, как (((2·1)·3)·1)·8.

Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2·1)·3)·(1·8). Имеем, что 2·1=2 и 1·8=8, то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8. При 2·3 равном 6 получим, что (2·3)·8=6·8. В итоге получим, что 6·8=48. Отсюда следует, что 2·1·3·1·8=48.

Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.

Пример 1

Даны четыре числа для умножения: 3, 9, 2, 1. Их произведение записывается в виде 3·9·2·1.

При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18.

Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.

Тогда получим: 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54.

При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.

Пример 2

Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?

Решение

Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.

Тогда в одном ящике 3·2=6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6·4=24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2·4=8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3·8=24 предмета.

Эти решения можно записать таким образом (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24.

Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3,2,4, а значит, что 3·2·4=24.

Ответ: 24.

Подведем итоги.

При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.

Умножение суммы на натуральное число и наоборот

Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.

Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a+b)·c=a·c+b·c, где a, b, c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d, (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., где a, b, c, d, h являются натуральными числами.

Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.

Если взять сумму из пяти чисел 7, 2, 3, 8, 8 на 3, получим, что (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3. Отсюда имеем, что 7·3=21, 2·3=6, 3·3=9, 8·3=24, то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24, после чего находим сумму чисел 21+6+9+24+24=84.

Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7+2+3+8+8=28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.

Например, 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20. Здесь применяем правила умножения числа на сумму.

Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример 3

В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?

Решение

Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3+7+2. Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3+7+2)·4 предметов.

Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48.

Ответ: 48 предметов.

Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее

Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10, рассмотрим подробно.

Натуральные числа вида 20, 30, 40, …, 90 соответствуют 2, 3, 4, …, 9 десяткам. Это значит, что 20=10+10, 30=10+10+10, … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2·10=20, 3·10=30, …, 9·10=90.

Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:

2·100=200, 3·100=300, . .., 9·100=900; 2·1 000=2 000, 3·1 000=3 000, …, 9·1 000=9 000; 2·10 000=20 000, 3·10 000=30 000, …, 9·10 000=90 000; …

Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10·10=100;

что десяток сотен – это тысяча, тогда 100·10=1 000;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000·10=10 000.
Исходя из рассуждений, получим 10 000·10=100 000, 100 000·10=1 000 000, …

рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.

Пример 4

Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10.

Решение

Чтобы быстрее подсчитать, необходимо представить число 7032 в виде суммы разрядных слагаемых.

Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032·10=(7 000+30+2)·10=7 000·10+30·10+2·10. Число 7000 можно представить в виде произведения 7·1 000, число 30 произведением 3·10.

Отсюда получим, что сумма 7 000·10+30·10+2·10 будет равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10. Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10.

Отсюда получим, что 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10=7·10 000+3·100+2·10=70 000+300+20. Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000+300+20.

Ответ: 7 032·10=70 320.

Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10. В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0.

Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10. Если в конце записи дописать цифру 0, тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10. Когда в записи натурального числа дописывают 0, то полученное число применяется как результат умножения на 10.

Приведем примеры: 4·10=40, 43·10=430, 501·10=5 010, 79 020·10=790 200 и так далее.

Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10, можно получить умножение произвольного числа на 100, 1000 и выше.

Если 100=10·10,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10.

Тогда получим:

17·100=17·10·10=170·10=1 700; 504·100=504·10·10=5 040·10=50 400; 100 497·100=100 497·10·10=1 004 970·10=10 049 700.

Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100. Это и называется правилом умножения числа на 100.

Произведение 1 000=100·10, тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10. Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000. Когда в записи имеется 3 цифры 0, тогда считают, что это результат умножения числа на 1000.

Таким же образом производится умножение на 10000, 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.

В качестве примера запишем:

58·1 000=58 000; 6 032·1 000 000=6 032 000 000; 777·10 000=7 770 000.

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел

Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.

Пример 5

Найти произведение трехзначного числа 763 на 5.

Решение

Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763=700+60+3. Отсюда получим, что 763·5=(700+60+3)·5.

Используя правило умножения суммы на число, получим, что:

(700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5.

Произведения 700=7·100 и  60=6·10 и сумма 700·5+60·5+3·5 записывается, как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5.

Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7·100)·5+(6·10)·5+3·5=(5·7)·100+(5·6)·10+3·5.

Так как 5·7=35, 5·6=30 и 3·5=15, то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5=35·100+30·10+15.

Выполняем умножение на 100, на 10. После этого выполняем сложение 35·100+30·10+15=3 500+300+15=3 815

Ответ: произведение 763 и 5= 3815.

Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.

Пример 6

Найти произведение 3 и 104558.

Решение

3·104 558=3·(100 000+4 000+500+50+8)==3·100 000+3·4 000+3·500+3·50+3·8==3·100 000+3·(4·1 000)+3·(5·100)+3·(5·10)+3·8==3·100 000+(3·4)·1 000+(3·5)·100+(3·5)·10+3·8==3·100 000+12·1 000+15·100+15·10+3·8==300 000+12 000+1 500+150+24=313 674.

Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674.

Умножение двух многозначных натуральных чисел

Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.

Пример 7

Вычислить произведение 41 и 3806.

Решение

Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000+800+6, тогда 41·3 806=41·(3 000+800+6).

Правило умножения применимо для 41·(3 000+800+6)=41·3 000+41·800+41·6.

Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100, тогда справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6=41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6.

Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6.

Вычисляя произведения 41·3, 41·8 и 41·6, представляем его в виде суммы

41·3=(40+1)·3=40·3+1·3=(4·10)·3+1·3=(3·4)·10+1·3=12·10+3=120+3=123; 41·8=(40+1)·8=40·8+1·8=(4·10)·8+1·8=(8·4)·10+1·8=32·10+8=320+8=328; 41·6=(40+1)·6=40·6+1·6=(4·10)·6+1·6=(6·4)·10+1·6=24·10+6=240+6=246

Получим, что

(41·3)·1 000+(41·8)·100+41·6=123·1 000+328·100+246=123 000+32 800+246

Вычислим сумму натуральных чисел:

123 000+32 800+246=156 046

Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046.

Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.

Проверка результата умножения натуральных чисел

Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.

Пример 8

Произвести умножение 11 на 13, равное 143. Необходимо выполнить проверку.

Решение

Проверка производится посредством деления 143 на 11. Тогда получим, что 143:11=(110+33):11=110:11+33:11=10+3=13.

Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.

Пример 9

Произведено умножение 37 на 14. Результат равен 528. Выполнить проверку.

Решение

Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37. Должны получить число 14. Производится делением столбиком:

При делении мы выявили, что 528 делится на 37, но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.

Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.

Пример 10

Вычислить произведение чисел 53 и 7, после чего выполнить проверку.

Решение

Представляем число в виде суммы 50+3. Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53·7=(50+3)·7=50·7+3·7=350+21=371.

Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371:7=(350+21):7=350:7+21:7=50+3=53. Значит, умножение произведено верно.

Ответ: 53·7=371.

Что означает произведение слов в математике?

Обновлено 19 декабря 2020 г.

Автор: Берт Маркграф

Произведение — это результат выполнения математической операции умножения. Когда вы перемножаете числа вместе, вы получаете их произведение. Другими основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание и деление, а их результаты называются соответственно суммой, разностью и частным. Каждая операция также имеет специальные свойства, определяющие порядок расположения и комбинирования чисел. Для умножения важно знать об этих свойствах, чтобы вы могли умножать числа и комбинировать умножение с другими операциями, чтобы получить правильный ответ.

TL;DR (слишком длинно, не читал)

Значение произведения в математике — это результат умножения двух или более чисел. Чтобы получить правильный продукт, важны следующие свойства:

• Порядок чисел не имеет значения.
• Группировка чисел скобками не действует.
• Умножение двух чисел на множитель и последующее сложение их равносильно умножению их суммы на множитель.
• Умножение на 1 оставляет число без изменений.
  

Значение произведения числа

Произведение числа на одно или несколько других чисел — это значение, полученное при умножении чисел. Например, произведение 2, 5 и 7 равно

2 × 5 × 7 = 70

Хотя произведение, полученное путем умножения определенных чисел, всегда одно и то же, произведения не уникальны. Произведение 6 и 4 всегда равно 24, как и произведение 2 и 12 или 8 и 3. Независимо от того, какие числа вы умножаете, чтобы получить произведение, операция умножения имеет четыре свойства, которые отличают ее от других основных арифметических операций. , Сложение, вычитание и деление имеют некоторые из этих свойств, но каждое из них имеет уникальную комбинацию.

Арифметическое свойство коммутации

Коммутация означает, что условия операции можно менять местами, и последовательность чисел не влияет на ответ. Когда вы получаете произведение путем умножения, порядок, в котором вы умножаете числа, не имеет значения. То же самое и с дополнением. Вы можете умножить 8 × 2, чтобы получить 16, и вы получите тот же ответ, если 2 × 8. Аналогично, 8 + 2 дает 10, тот же ответ, что и 2 + 8.

Вычитание и деление не обладают свойством коммутация. Если вы измените порядок чисел, вы получите другой ответ. Например,

8 ÷ 2 = 4 \text{ но } 2 ÷ 8 = 0,25

Для вычитания

8 — 2 = 6 \text{ но } 2 — 8 = -6

Деление и вычитание не являются коммутативными операциями.

Распределительное свойство

Распределение в математике означает, что умножение суммы на множитель дает тот же ответ, что и умножение отдельных чисел суммы на множитель с последующим сложением. Например,

3 × (4 + 2) = 18 \text{, и } (3 × 4) + (3 × 2) = 18

Сложение перед умножением дает тот же ответ, что и распределение множителя между числами, которые необходимо сложить, и последующее умножение перед сложением.

Деление и вычитание не обладают распределительным свойством. Например,

3 ÷ (4 — 2) = 1,5 \text{ но } (3 ÷ 4) — (3 ÷ 2) = -0,75

Вычитание перед делением дает другой ответ, чем деление перед вычитанием.

Свойство ассоциативности для произведений и сумм

Свойство ассоциативности означает, что если вы выполняете арифметическую операцию более чем с двумя числами, вы можете связать два числа или заключить их в скобки, не влияя на ответ. Произведения и суммы обладают свойством ассоциативности, а разности и частные — нет.

Например, если произвести арифметическую операцию над числами 12, 4 и 2, то сумма может быть рассчитана как

(12 + 4) + 2 = 18 \text{ или } 12 + (4 + 2) = 18

Пример произведения:

(12 × 4) × 2 = 96 \text{ или } 12 × (4 × 2) = 96

Но для частных

\frac{12 ÷ 4}{2} = 1.5 \text{ while } \frac{12}{4 ÷ 2} = 6

и для разностей

(12 — 4) — 2 = 6 \text{ while } 12 — (4 — 2) = 10

Умножение и сложение обладают ассоциативным свойством, а деление и вычитание — нет.

Операционные тождества — разница и сумма по сравнению с произведением и частным

Если вы выполняете арифметическую операцию над числом и операционным тождеством, число остается неизменным. Все четыре основные арифметические операции тождественны, но не совпадают. Для вычитания и сложения идентичность равна нулю. Для умножения и деления тождество одно.

Например, для разницы 8 − 0 = 8. Число остается одинаковым. То же самое верно для суммы 8 + 0 = 8. Для произведения 8 × 1 = 8 и для частного 8 ÷ 1 = 8. Произведения и суммы имеют одинаковые основные свойства, за исключением того, что они имеют разные операционные тождества. В результате умножение и его произведения обладают уникальным набором свойств, которые необходимо знать, чтобы получить правильные ответы.

Что такое произведение в математике? Определение, решаемые примеры, факты

Предположим, вы в пекарне и хотите купить четыре кекса. Когда вы туда доберетесь, вы увидите, что один кекс стоит 5 долларов. Как вы будете рассчитывать, сколько вы должны заплатить на кассе?

Концепция произведения в математике поможет вам ответить на этот вопрос и сделать гораздо больше!

Что такое произведение в математике?

Произведение в математике определяется как результат умножения двух или более чисел.

Рассмотрим тот же сценарий. Вы выполняли поручение в пекарне и должны были купить 4 кекса. Каждый кекс стоит 5 долларов.

Для расчета общей суммы, которую необходимо заплатить на кассе, можно 4 раза сложить стоимость каждого кекса (так как нужно купить 4 кекса).

Таким образом, ответ будет

5 + 5 + 5 + 5 = $\$$20

Если бы вам нужно было 10 кексов, вам пришлось бы добавить стоимость в 10 раз.

Здесь вам может помочь понятие умножения и произведения.

В предыдущем ответе вы можете рассчитать стоимость 4 кексов, просто перемножив их,

Вы можете найти стоимость как,

4 раза по 5 или 4 ✕ 5, 

Вы можете пропустить счет на 5, четыре раза и получите ответ в виде 20.

Связанные игры

Множитель, множимое и произведение

Множимое — это количество объектов в группе, а множитель — это количество таких равных групп. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять это лучше.

Предположим, у вас есть 3 корзины, и в каждой из них по 6 апельсинов. Как вы подсчитаете общее количество апельсинов?

Вот когда нам на помощь приходит концепция продукта! Во-первых, давайте запишем это как выражение умножения: 

Количество групп ✕ количество объектов в каждой группе

или

3 ✕ 6

Итак, мы можем найти общее количество апельсинов, пропустив счет на 6, три раза, и это 18.

Итак, мы получаем, 3 ✕ 6 = 18.

Это выражение умножения. Выражение умножения состоит из трех частей: множителя, множимого и произведения.

Связанные листы

Коммутативное свойство произведения

Интересно, что если порядок множимого и множителя поменять местами, произведение останется тем же:

Давайте рассмотрим пример:

2 ✕ 3 = 6

,

Здесь 2 — множимое, 3 — множитель, 6 — произведение.

Если мы реверсируем уравнение, мы все равно получим

3 ✕ 2 = 6

Увлекательно, не так ли?

Произведение дробей и десятичных дробей

Итак, мы научились вычислять произведение целых чисел. Давайте теперь научимся находить произведение дробей и десятичных знаков!

Произведение дробей

Давайте разберемся с этим на примере.

Предположим, нам нужно найти произведение дробей 52 и 34.

Шаг 1: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

Шаг 2: Если вы получили неправильную дробь, вы можете преобразовать ее в смешанное число.

Мы также можем найти произведение двух смешанных чисел, или дроби, и смешанного числа, или даже целого числа, и дроби тем же методом, просто удостоверившись, что мы сначала преобразуем наше множимое и множители в дробную форму.

Произведение десятичных дробей

Что делает десятичное число особенным?
Десятичная точка!

Умножение двух десятичных чисел аналогично умножению двух целых чисел за исключением того, что нам нужно позаботиться о десятичной точке.
Давайте разберемся с этим на примере.

Перемножим 1,5 и 1,2.

Шаг 1: Подсчитайте количество знаков после запятой в обоих числах.

Шаг 2. Таким образом, общее количество цифр после запятой в нашем выражении умножения равно 1 + 1 = 2. 

Шаг 3. Умножьте два числа без десятичной точки.

Шаг 4: В этом продукте начните справа и поставьте десятичную точку после того же количества знаков, что и общее число, найденное на шаге 2. И это будет ответом на наше десятичное умножение.

Произведение 1,5 и 1,2 равно 1,80.

Решенные примеры

Пример 1: У Джейка 4 коробки яблок. Если в 1 коробке 3 яблока, сколько яблок у него?

Решение : В этом примере множимое равно 3, а множитель равен 4.

Следовательно, общее количество яблок у Джейка = произведение 4 и 3.

или 4 ✕ 3 = 12

Пример 2: Вычислите произведение $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{6}$.

Решение : $\frac{3}{7} ✕ \frac{5}{6} = \frac{3 ✕ 5}{7 ✕ 6} = \frac{15}{42}$

Пример 3: . Вычислите произведение 125 и 34.

Решение : Во-первых, давайте преобразуем смешанное число в дробную форму.

Итак, умножение $1\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$ равносильно умножению $\frac{7}{5}$ и $\frac{3}{4 }$ .

Следуя шагам умножения дробей, получаем

$\frac{7}{5} ✕ \frac{3}{4} = \frac{7 ✕ 3}{5 ✕ 4} = \frac{21 {20} = 1\frac{1}{20}$.

Пример 4: Рассчитайте произведение 0,09 и 0,3.

Решение .: Для начала посчитаем количество знаков после запятой.

Количество знаков после запятой в 0,09 = 2

Количество знаков после запятой в 0,3 = 1

Общее количество знаков после запятой в окончательном ответе = 2 + 1 = 3

Теперь перемножим два числа без десятичной точки : 9 ✕ 3 = 27

Ставя запятую справа после 3-х цифр в этом произведении, получаем 0,027.

Следовательно, 0,09 ✕ 0,3 = 0,027.

Практические задачи

1

У Джуди есть 4 коробки с 6 печеньями в каждой.

Сколько всего у нее печенья?

24

12

10

18

Правильный ответ: 24
Здесь, продукт будет количество групп ✕ Количество объектов в каждой группе
4 ✕ 6 = 24

2

Рассчитайте продукт. $\frac{7}{2}$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{21}{12}$

$1\frac{2}{12}$

$4\frac{3}{2}$

$\frac{21}{8}$

Правильный ответ: $1\frac{2}{12} $
$\frac{7}{2} ✕ \frac{4}{3} = \frac{7 ✕ 2}{4 ✕ 3} = \frac{14}{12} = \frac{12}{12 }$.

3

Рассчитайте произведение 0,5 и 0,3

0,1

1,5

.015

0,15

Правильный ответ: 0,15
Общее количество мест для десятичных декораций = 1 + 1 = 2
Без точки децимальной точки, точка децимальной, то. 5 ✕ 3 = 15
Следовательно, 0,5 ✕ 0,3 = 0,15.

4

У Джимми 4 пакета по 3 конфеты в каждом, а у Джо 3 пакета по 4 конфеты в каждом.