Письменное умножение и деление

Большие числа удобно перемножать и делить письменно в столбик. Письменное умножение — это поразрядное умножение. Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.

Правило. При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».

Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы значащие цифры наименьшего из разрядов находились в одном столбце. Нули переносятся в произведение и в поле записи поэтапных произведений не заносятся.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «+».

Письменное умножение в столбик равноценно письменному умножению по разрядам в строку.

При письменном умножении в строку применяются сочетательный и распределительный законы умножения (сумму заменяем слагаемыми и первый множитель умножаем на каждое из слагаемых).

Пример.
1 014 * 258 = 261 612
1 014 * 258 = 1 014 * (200 + 50 + 8) = 1 014 * 200 + 1 014 * 50 + 1014 * 8 = 202 800 + 50 700 + 8 112 = 261 612

Чтобы перемножить в столбик числа, оканчивающиеся нулями, нужно их подписать друг под другом так, чтобы первая справа значащая цифра первого множителя стояла под первой справа значащей цифрой второго множителя

.

Например: 1 014 * 258 = 261 612

•      1014   — первый множитель
• Х
•        258   — второй множитель
• ———      поэтапные произведения:
•      8112   — слагаемое (первое произведение)
• + 5070    — слагаемое (второе произведение)
•   2028      — слагаемое  (третье произведение)
• ———
•   261612  — сумма (результат умножения)

Примеры записи умножении чисел, оканчивающихся нулями.

•       450
• Х
•       270
• ———
•    315       (45 * 7 = 315)
• +
•    90         (45 * 2 = 90)
• ———
•  121500

Внимание! Нули в конце множителей в поэтапном умножении не принимают участия, а сразу все нули множителей переносятся в результат вычислений.

Правильная запись:

Неправильная запись

Письменное деление многозначных натуральных чисел осуществляется и в строку, и в столбик по этапам.

Правило. При письменном делении двух натуральных чисел слева записывается делимое, а справа от него через вертикальную черту — делитель.

Под делимым в столбец записываются поэтапные произведения каждого разряда частного на делитель. После каждого поэтапного произведения проводим горизонтальную черту, под которой записывается разность делимого и произведения, которая должна быть всегда меньше делителя, если разряд частного вычислен верно.

Дополнив разность следующим разрядом делимого, принимаем это число за следующее поэтапное делимое.

Деление по этапам производим до первого разряда заданного условием делимого. Если последняя разность 0 или число, меньшее делителя, то деление натуральных чисел окончено.

Частное по разрядам (от большего к меньшему) записывается под горизонтальной чертой под делителем. В частном должно быть столько же разрядов, сколько этапов деления.

Рассмотрим пример: 12 546 : 82
Производим деление первого этапа. Множитель (1) записываем как высший разряд частного. Вычисляем разность делимого и произведения первого этапа деления (125 — 82 = 43) и дописываем к ней справа один разряд из делимого, который стоит после наименьшего разряда числа, взятого для первого этапа деления. Полученное число (434) служит делимым второго этапа

деления.

Делимое второго этапа делим на делитель (434 : 82), определяем следующий разряд в частном (5) и остаток после второго этапа деления (24). Дописываем к остатку следующий разряд делимого и выполняем третий этап деления (246 : 82). Определяем третье число в частном (3) и остаток (0).

Деление окончено после третьего этапа, следовательно, в частном — трех разрядное число (153).

Проще такое деление производить в столбик также в три этана (деление углом — это тоже поэтапное деление):

Делимое кратно 82, так как разделилось без остатка.

Правило. Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то их частное не изменится.

Например:
12 : 4 = 3

умножим делимое и делитель на 5, получим:
60 : 20 = 3

Например:
625 : 125 = 5
разделим делимое и делитель на 25, получим:
125 : 5 = 5

Запись опубликована в рубрике Математика с метками деление, умножение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Таблица деления | Таблица умножения

     Деление в математике – это действие, противоположное умножению. Смысл слова «деление» в русском языке намного шире, более того иногда оно применяется с разными оттенками и смыслами, а порой возможны и совсем необычные повороты, как, например, во фразе «клетка размножается путем деления», но на этой странице речь пойдет именно о делении в математике в общепринятом на сегодня смысле. Во многих случаях речь будет идти о ситуации, когда происходит преобразование единого целого или совокупности множества составных частей в самостоятельные или отдельно рассматриваемые части. Также в математике часто можно встретить термин «операция деления». Какой же практический смысл этого действия? Представим, что в корзинке есть 12 яблок. Если разделить яблоки поровну между Васей, Петей и Колей, то по сколько яблок достанется каждому? Итак по условию задачи 12 яблок мы будем делить между тремя мальчиками, тогда в результате каждому из них достанется по 4 яблока. В письменном виде это можно записать как 12 : 3 = 4. В качестве знака деления также используют и другие символы, например /, ÷ .

То же самое выражение можно записать дробью, где над чертой будет 12, а под чертой 3. При любой из этих записей справедливо следующее: в операции деления все числа представлены в виде делимого, делителя и частного.

     На первом месте (или в верхней части дроби) будет всегда находиться делимое. На втором месте (в этом примере под чертой) – делитель. После знака равно всегда находится результат деления (частное). Следует отметить, что делителей может быть несколько. Например, 10 : 2 : 5=1. Здесь только одно делимое, одно частое, но два делителя (2 и 5). Для лучшего понимания необходимо хорошо разобраться, где находится делимое, где делитель, а где частное. Для быстрого счета в уме таблицу деления часто запоминают наизусть также, как и таблицу умножения. Как правило, если таблица умножения «отскакивает от зубов», проблем с таблицей деления не возникает. Но стоит отметить, что есть и другие способы быстрого деления в уме (способы счета описаны в специальном разделе). Самый простой вариант записи таблицы деления – с помощью равенств.

     Также деление может быть представлено в виде квадратной таблицы. В зависимости от того, что на что мы будем делить, результат может быть получен различный. Ниже представлен пример записи результатов в такой таблице.

     В данной таблице в строке указано делимое, в столбце делитель, в ячейках на пересечении – частное. Так как не всегда в результате получаются целое число и при этом не все люди, изучающие деление, уже умеют использовать десятичные дроби, запись в ячейках сделана с помощью знака /. Существует и другой способ записи, когда в столбцах указано делимое, в строке — делитель. Частное по-прежнему находится в ячейках на пересечении.

     Как видим, таблица уже приняла совсем другой вид. Поэтому, с такой таблицей нужно быть внимательным, желательно в начале её использования произвести проверку умножением. К примеру, мы выполняли действие 10 : 5 = 2. С помощью умножения можно проверить, правильно ли мы записали ответ: 2 х 5 = 10. Следовательно, все было выполнено верно. Также, для поиска ответа можно воспользоваться обыкновенной таблицей Пифагора. Сразу стоит отметить, что в таблице в примере ниже высота всех строк и ширина всех столбцов одинаковая. Это важно, и поможет при соотнесении умножением с площадью прямоугольника. Рассмотрим пример деления 45 на 9 (45 : 9).

Находим ячейку со значением 45. Поднимаемся или идем мысленно в бок до цифры 9. Дорисовываем (опять же мысленно или с помощью карандаша) до прямоугольника и находим оставшееся значение, равное 5. Как видим, операция деления довольно проста, особенно, если до этого была хорошо изучена тема умножения или под рукой имеется соответствующая табличка.

Реклама. 

Фитнес и йога для начинающих онлайн 

                     ​           

Впиши занятия в свою обычную жизнь, занимайся в удобное время

Записаться. 

 

1.3: Умножение и деление целых чисел

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

22461

• Дэвид Арнольд
• College of the Redwoods

Мы начинаем этот раздел с обсуждения умножения целых чисел. Первым делом нужно ввести различные символы, используемые для обозначения умножения двух целых чисел.

Математические символы, обозначающие умножение

Символ		Пример
×	раза символ	3 × 4
·	точка	3 · 4
( )	скобки	(3)(4) или 3(4) из (3)4

Произведения и факторы

В выражении \(3 · 4\) целые числа 3 и 4 называются делителями , а \(3 · 4\) называется произведением .

Ключ к пониманию умножения содержится в следующем утверждении.

Умножение эквивалентно многократному сложению.

Предположим, например, что мы хотим вычислить произведение \(3 ·4\). Поскольку умножение эквивалентно многократному сложению, \(3 · 4\) эквивалентно сложению трех четверок. То есть

\[ 3 \cdot 4=\underbrace{4+4+4}_{\text {три четверки}} \nonumber\]

Таким образом, \(3 · 4 = 12\). Произведение \(3 · 4\) можно представить как сумму трех четверок на числовой прямой, как показано на рис. 1.6.

Рисунок 1.6: Обратите внимание, что 3 · 4 = 4 + 4 + 4. То есть 3 · 4 = 12,

Как и при сложении, порядок множителей не имеет значения.

\[ 4 \cdot 3=\underbrace{3+3+3+3}_{\text {четыре тройки}} \nonumber\]

Таким образом, \(4 · 3 = 12\). Рассмотрим визуализацию \(4 · 3\) на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Обратите внимание, что 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. То есть 4 · 3 = 12,

. Свидетельства на рис. 1.6 и рис. 1.7 показывают нам, что умножение коммутативно. То есть

\[3 · 4=4 · 3 \не число\]

Коммутативное свойство умножения

Если a и b — любые целые числа, то

\[a · b = b · a. \номер\]

Мультипликативное тождество

На рис. 1.8(а) обратите внимание, что пять единиц равняются 5; то есть \(5 · 1 = 5\). С другой стороны, на рис. 1.8(b) мы видим, что одна пятерка равна пяти; то есть 1 · 5 = 5.

Рис. 1.8: Обратите внимание, что 5 · 1 = 5 и 1 · 5 = 5.

Поскольку умножение целого числа на 1 равно этому числу, целое число 1 называется мультипликативным тождеством.

Свойство мультипликативной идентичности

Если \(a\) — любое целое число, то

a · 1 = a и 1 · a = a.

Умножение на ноль

Поскольку \(3 · 4 = 4 + 4 + 4\), мы можем сказать, что произведение \(3 · 4\) представляет «3 набора из 4», как показано на рис. 1.9, где три группы по четыре ящика окружены овалом.

Рисунок 1.9: Три набора из четырех: 3 · 4 = 12.

Следовательно, \(0 · 4\) будет означать нулевой набор из четырех. Конечно, нулевой набор из четырех — это ноль.

Умножение на ноль.

Если a представляет любое целое число, то

\(a · 0 = 0\) и \(0 · a = 0\).

Ассоциативное свойство умножения

Как и сложение, умножение целых чисел ассоциативно. Действительно,

\[\begin{align*} 2 · (3 · 4) &= 2 · 12 \\[4pt] &= 24 \end{align*}\]

и

\[\begin{ align*} (2 · 3) · 4 &=6 · 4 \\[4pt] &= 24. \end{align*}\]

Ассоциативное свойство умножения.

Если a , b и c любые целые числа, то

\[a · (b · c)=(a · b) · c. \nonumber\]

Умножение больших целых чисел

Подобно сложению и вычитанию больших целых чисел, нам также потребуется умножать большие целые числа. Опять же, мы надеемся, что алгоритм вам знаком из предыдущей курсовой работы.

Пример 1

Упрощение: \(35 · 127\).

Решение

Выровняйте числа по вертикали. Порядок умножения не имеет значения, но мы положим большее из двух чисел поверх меньшего числа. Первый шаг — умножить 5 на 127. Опять же, действуем справа налево. Итак, 5 умножить на 7 — это 35. Мы пишем 5, затем переносим 3 в столбец десятков. Затем 5 умножить на 2 равно 10. Добавьте цифру переноса 3, чтобы получить 13. Запишите 3 и перенесите 1 в столбец сотен. Наконец, 5 умножить на 1 равно 5. Добавьте цифру переноса, чтобы получить 6.

Следующим шагом является умножение 3 на 127. Однако, поскольку 3 находится в разряде десятков, его значение равно 30, поэтому мы фактически умножаем 30 на 126. Это то же самое, что умножить 127 на 3 и поставить 0 в конце результат.

После прибавления 0, 3 умножить на 7 будет 21. Мы пишем 1 и переносим 2 над 2 в столбце десятков. Затем 3 умножить на 2 равно 6. Добавьте цифру переноса 2, чтобы получить 8. Наконец, 3 умножить на 1 равно 1.

Осталось только сложить результаты.

Таким образом, 35 ​​· 127 = 4, 445.

Альтернативный формат

Не помешает опустить конечный ноль на втором шаге умножения, где мы умножаем 3 на 127. Результат будет выглядеть вот так:

В этом формате понимается ноль, поэтому физически его присутствие не обязательно. Идея состоит в том, что при каждом умножении на новую цифру мы отступаем от произведения на один пробел справа.

Упражнение

Упрощение: 56 · 335

Ответ

18 760

Деление целых чисел

Теперь перейдем к теме деления целых чисел. Сначала мы введем различные символы, используемые для обозначения деления целых чисел.

Математические символы, обозначающие деление

Символ		Пример
÷	символ деления	12 ÷ 4
—	дробь бар	\(\frac{12}{4}\)
\(\longdiv{-}\)	разделительная планка	\(4 \longdiv{12}\)

Обратите внимание, что каждое из следующих слов говорит об одном и том же; то есть «12 разделить на 4 равно 3».

\(12 \div 4=3 \quad \text { or } \quad \frac{12}{4}=3 \quad \text { or } \quad 4 \sqrt{12}\)

Частные, Дивиденды и делители. целое число 3 называется частным . Обратите внимание, что это обозначение деления эквивалентно

\(12 \div 4=3 \quad \text { и } \quad \frac{12}{4}=3.\)

Выражение a / b означает « a разделить на b », но эту конструкцию также называют дробью .

Определение: Дробь

Выражение

\( \frac{a}{b}\)

называется дробью . Число \(a\) сверху называется числителем дроби; число \(b\) внизу называется знаменателем дроби.

Ключ к пониманию деления целых чисел содержится в следующем утверждении.

Деление эквивалентно многократному вычитанию.

Предположим, например, что мы хотим разделить целое число 12 на целое число 4. Это эквивалентно вопросу «сколько четверок мы можем вычесть из 12?» Это можно изобразить на числовой линейной диаграмме, такой как на рис. 1.10.

Рисунок 1.10: Деление — это повторное вычитание.

На рис. 1.10 обратите внимание, что если мы вычтем три четверки из двенадцати, результат будет равен нулю. В символах

\( 12-\underbrace{4-4-4}_{\text {три четверки}}=0.\)

То же самое мы можем также спросить: «Сколько групп по четыре в числе 12» и упорядочить нашу работу, как показано на рис. 1.11, где мы видим, что в массиве из двенадцати объектов мы можем обвести три группы по четыре; т. е. 12 ÷ 4 = 3.

Рис. 1.11: В двенадцати есть три группы по четыре человека.

На рисунках 1.10 и 1.11 обратите внимание, что деление (повторное вычитание) не оставляет остатка. Это не всегда так.

Пример 2.

Разделить 7 на 3.

Решение

На рис. 1.12 видно, что из семи можно вычесть две тройки, оставив в остатке единицу.

Рисунок 1.12: Деление с остатком.

В качестве альтернативы, в массиве из семи объектов мы можем обвести две группы по три, оставив один остаток.

Рисунок 1.13: Деление семи на три дает остаток от единицы.

Как на Рисунке 1.12, так и на Рисунке 1.13 показано, что есть две группы по три из семи с одной оставшейся. Мы говорим: «Семь разделить на три будет два, а в остатке один.

Упражнение

Для деления 12 на 5 используйте метод числовой прямой и метод массива прямоугольников. Например,

12 ÷ 4 = 3,

, но 4 ÷ 12 даже не является целым числом. Таким образом, если a и b являются целыми числами, то a ÷ b не , а не должны быть такими же, как b ÷ a .

Деление не является ассоциативным

При делении трех чисел на ответ обычно влияет порядок их группировки. Например,

(48 ÷ 8) ÷ 2=6 ÷ 2

= 3,

, но

48 ÷ (8 ÷ 2) = 48 ÷ 4

= 12.

9003 1 Таким образом, если a , b и c — целые числа, ( a ÷ b ) ÷ c не обязательно должно совпадать с a ÷ ( b ÷ 9 0108 с ).

Деление на ноль не определено

Предположим, нас попросили разделить шесть на ноль; то есть нас просят вычислить 6 ÷ 0. На рис. 1.14 у нас есть массив из шести объектов.

Рисунок 1.14: Сколько групп нулей вы видите?

Теперь, чтобы разделить шесть на ноль, мы должны ответить на вопрос «Сколько групп нулей мы можем обвести на рис. 1.14?» Некоторая мысль даст ответ: это бессмысленная просьба! Совершенно бессмысленно спрашивать, сколько групп нулей можно обвести в массиве из шести объектов на рис. 1.14.

Деление на ноль

Деление на ноль равно undefined . Каждое из выражений

\(6 \div 0 \quad \text { и } \quad \frac{6}{0} \quad \text { и } \quad 0 ) \overline{6}\)

равно не определено.

С другой стороны, имеет смысл спросить: «Сколько ноль разделить на шесть?» Если мы создадим массив из нулевых объектов, а затем спросим, ​​сколько групп из шести мы можем обвести, ответ будет «ноль групп из шести». То есть ноль разделить на шесть равно нулю.

\( 0 \div 6=0 \quad \text { и } \quad \frac{0}{6}=0 \quad \text { and } \quad 6 \frac{0}{0}\)

Деление больших целых чисел

Теперь мы кратко рассмотрим деление больших целых чисел с использованием алгоритма, который обычно называют делением в длину . Это не должно быть всесторонним обсуждением, но беглым. Мы рассчитываем на то, что наши читатели уже встречались с этим алгоритмом в предыдущих курсах и знакомы с процессом.

Пример 3

Упрощение: 575/23.

Решение

Мы начинаем с оценки того, сколько раз 23 делится на 57, угадывая 1. Ставим 1 в частном над 7, умножаем 1 на 23, помещаем ответ под 57, затем вычитаем.

\(\begin{array}{c}{23 ) \frac{1}{575}} \\ {\frac{23}{34}}\end{array}\)

Поскольку остаток больше чем делитель, наша оценка слишком мала. Пробуем снова с оценкой 2.

\(\begin{array}{r}{2} \\ {2 3 \longdiv { 5 7 5 }} \\ {\frac{46}{11}}\end{array}\)

Это алгоритм. Разделите, умножьте, затем вычтите. Вы можете продолжить только тогда, когда остаток меньше делителя.

Чтобы продолжить, опустите 5, оцените, что 115 разделить на 23 равно 5, затем умножьте делитель на 5 и вычтите.

\(\begin{array}{c}{25} \\ {2 3 \longdiv { 5 7 5 }} \\ {\ frac {46} {115}} \\ {\ frac {115} {0 }}\end{array}\)

Поскольку остаток равен нулю, 575/23 = 25,

Упражнение

Разделить 980/35

Ответ

28

Приложение — подсчет прямоугольных массивов

Рассмотрим прямоугольный массив звезд на рис. 1.15. Чтобы подсчитать количество звезд в массиве, мы могли бы использовать грубую силу, считая каждую звезду в массиве по одной, всего 20 звезд. Однако, поскольку у нас есть четыре ряда по пять звезд в каждом, умножать намного быстрее: 4 · 5 = 20 звезд.

Рисунок 1.15: Четыре строки и пять столбцов. Рисунок 1.16: Меры площади в квадратных единицах.

Применение — область

На рис. 1.16(a) изображен один квадратный дюйм (1 в ² ), квадрат с одним дюймом на каждой стороне. На рисунке 1.16(b) изображен один квадратный фут (1 фут ² ), квадрат с одним футом на каждой стороне. Оба эти квадрата являются мерами площади. Теперь рассмотрим прямоугольник, показанный на рис. 1.17. Длина этого прямоугольника составляет четыре дюйма (4 дюйма), а ширина — три дюйма (3 дюйма).

Рис. 1.17: Прямоугольник длиной 4 дюйма и шириной 3 дюйма.

Чтобы найти площадь фигуры, мы можем подсчитать отдельные единицы площади, составляющие площадь прямоугольника, всего двенадцать квадратных дюймов (12 в ² ). Однако, как и при подсчете звезд в массиве на рис. 1.15, гораздо быстрее заметить, что у нас есть три ряда по четыре квадратных дюйма. Следовательно, гораздо быстрее умножить количество квадратов в каждой строке на количество квадратов в каждом столбце: 4 · 3 = 12 квадратных дюймов.

Аргумент, представленный выше, приводит к следующему правилу нахождения площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника

Пусть L и W представляют длину и ширину прямоугольника соответственно.

Чтобы найти площадь прямоугольника, вычислите произведение длины и ширины. То есть, если А представляет собой площадь прямоугольника, то площадь прямоугольника определяется по формуле

А = ДВ .

Пример 4

Прямоугольник имеет ширину 5 футов и длину 12 футов. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Подставьте L = 12 футов и W = 5 футов в формулу площади.

a = LW

= (12 футов) (5 футов)

= 60 футов ²

Отставление, площадь прямоугольника составляет 60 квадратных футов.

Упражнение

Прямоугольник имеет ширину 17 дюймов и длину 33 дюйма. Найдите площадь прямоугольника.

Ответить

561 кв. дюйм

Упражнения

В упражнениях 1-4 используйте числовые диаграммы, как показано на рис. 1.6, для изображения умножения.

1. 2 · 4.

2. 3 · 4.

3. 4 · 2.

4. 4 · 3.

---

В УПРАВЛЕНИЯ личность.

5. 9 · 8=8 · 9

6. 5 · 8=8 · 5

7. 8 · (5 · 6) = (8 · 5) · 6

8. 4 · (6 · 5) = (4 · 6) · 5

9. 6 · 2=2 · 6

10. 8 · 7=7 · 8

11. 3 · (5 · 9) = (3 · 5) · 9

12. 8 · (6 · 4) = (8 · 6) · 4

13 21 · 1 = 21

14. 39 · 1 = 39

15. 13 · 1 = 13

16. 44 · 1 = 44

---

В упражнениях 17-28 умножьте данные числа .

17. 78 · 3

18. 58 · 7

19. 907 · 6

20. 434 · 80

21. 128 · 30

22. 454 · 90

23. 799 · 60

24. 907 · 20

25. 14 · 70 900 32

26. 94 · 90

27. 34 · 90

28. 87 · 20

---

В упражнениях 29-40 умножьте данные числа.

29. 237 · 54

30. 893 · 94

31. 691 · 12

32. 823 · 77

33. 955 · 89 9 0032

34. 714 · 41

35. 266 · 61

36. 366 · 31

37. 365 · 73

38. 291 · 47

39. 955 · 57

40. 199 · 33

---

41. Подсчитайте количество объектов в массиве.

42. Подсчитайте количество объектов в массиве.

43. Подсчитайте количество объектов в массиве.

44. Подсчитайте количество объектов в массиве.

---

В упражнениях 45-48 найдите площадь прямоугольника, имеющего данные длину и ширину.

45. Д = 50 дюймов, Ш = 25 дюймов

46. Д = 48 дюймов, Ш = 24 дюйма

47. Д = 47 дюймов, Ш = 13 дюймов

48. Д = 19 дюймов, Ш = 10 дюймов

---

В упражнениях 49-52 найдите периметр прямоугольника заданной длины и ширины.

49. Д = 25 дюймов, Ш = 16 дюймов

50. Д = 34 дюйма, Ш = 18 дюймов

51. Д = 30 дюймов, Ш = 28 дюймов

52. Д = 41 дюйм, Ш = 25 в

---

53. Набор бусин стоит 50 центов за дюжину. Какова стоимость (в долларах) 19 десятков наборов бисера?

54. Набор бус стоит 60 центов за дюжину. Какова стоимость (в долларах) 7 десятков наборов бисера?

55. Если бы репетитор по математике работал 47 часов и получал бы 15 долларов в час, сколько бы она заработала?

56. Если бы репетитор по математике работал 46 часов и получал бы 11 долларов в час, сколько бы он заработал?

57. В дюжине 12 яиц, а в брутто 12 дюжин. Сколько яиц в партии 24 брутто?

58. В одной дюжине 12 яиц, а в одной брутто 12 дюжин. Сколько яиц в партии 11 брутто?

59. Если каждый кирпич весит 4 кг, каков вес (в килограммах) 5000 кирпичей?

60. Если каждый кирпич весит 4 фунта, каков вес (в фунтах) 2000 кирпичей?

---

Какое из следующих четырех выражений в упражнениях 61-68 отличается от остальных трех?

61. \(\frac{30}{5}\), 30 ÷ 5, \(5 \longdiv { 3 0 }\), 5 ÷ 30

62. \(\frac{12}{2} \), 12 ÷ 2, \(2 \longiv{12}\), 2 ÷ 12

63. \(\frac{8}{2}\), 8 ÷ 2, \(2 \longdiv{8} \), \(8 \longdiv{2}\)

64. \(\frac{8}{4}\), 8 ÷ 4, \(4 \longdiv { 8 }\), \(8 \longdiv { 4 }\)

65. \(2 \ longdiv { 14 }\), \(14 \longdiv { 2 }\), \(\frac{14}{2}\) , 14 ÷ 2

66. \(9 \longdiv { 54 }\), \ (54 \longdiv { 9 }\), \(\frac{54}{9}\) , 54 ÷ 9

67. \(3 \longdiv { 24 }\), 3 ÷ 24, \(\frac{ 24}{3}\), 24 ÷ 3

68. \(3 \longdiv { 15 }\), 3 ÷ 15, \(\frac{15}{3}\), 15 ÷ 3

---

В Упражнения 69-82, упростите данное выражение. Если ответа не существует или он не определен, напишите «undefined».

69. 0 ÷ 11

70. 0 ÷ 5

71. 17 ÷ 0

72. 24 ÷ 0

73. 10 · 0

900 31 74. 20 · 0

75. \(\frac {7}{0}\)

76. \(\frac{23}{0}\)

77. \(16 \longdiv { 0 }\)

78. \(25 \longdiv { 0 } \)

79. \(\frac{0}{24}\)

80. \(\frac{0}{22}\)

81. \(0 \longdiv { 0 }\)

82. 0 ÷ 0

---

В упражнениях 83-94 разделите данные числа.

83. \(\frac{2816}{44}\)

84. \(\frac{1998}{37}\)

85. \(\frac{2241}{83}\)

86. \(\frac{2716}{97}\)

87. \(\frac{3212}{73}\)

88. \(\frac{1326}{17}\)

89. \(\frac{8722}{98}\)

90. \(\frac{1547}{91}\)

91. \(\frac{1440}{96}\)

92. \(\frac{2079}{27}\)

93. \( \frac{8075}{85}\)

94. \(\frac{1587}{23}\)

---

В упражнениях 95-106 разделите данные числа.

95. \(\frac{17756}{92}\)

96. \(\frac{46904}{82}\)

97. \(\frac{11951}{19}\)

98. \(\frac{22304}{41} \)

99. \(\frac{18048}{32}\)

100. \(\frac{59986}{89}\)

101. \(\frac{29047}{31}\)

102. \(\frac{33264}{86}\)

103. \(\frac{22578}{53}\)

104. \(\frac{18952}{46}\)

105. \(\frac{12894}{14}\)

106. \(\frac{18830}{35}\)

---

107. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 6 футов. . Сколько блоков будет на пути длиной 132 фута?

108. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 5 футов. Сколько блоков будет на пути длиной 180 футов?

109. На одной лодке до острова может доехать 5 человек. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 38 человек? (Подсказка: округлите ответ.)

110. На одной лодке до острова могут доплыть 4 человека. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 46 человек? (Подсказка: округлите ответ.)

111. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 145 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 4 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)

112. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 70 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 3 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? улица? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)

113. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 4 фута. Сколько блоков будет в пути, равном 29?2 фута в длину?

114. Бетонный тротуар уложен квадратными блоками со стороной 5 футов. Сколько блоков будет на пути длиной 445 футов?

115. На одной лодке до острова могут доехать 3 человека. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 32 человека? (Подсказка: округлите ответ.)

116. В одной лодке на остров могут разместиться 4 человека. Сколько рейсов должна совершить лодка, чтобы переправить на остров 37 человек? (Подсказка: округлите ответ.)

117. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 105 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 2 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)

118. Если уличные фонари расположены на расстоянии не более 105 футов друг от друга, сколько уличных фонарей потребуется для улицы длиной 3 мили, при условии, что фонари есть на каждом конце улицы? улица? (Примечание: 1 миля = 5280 футов.)

---

119. Написание статей . Эли пишет в среднем по 4 статьи в день, пять дней в неделю, чтобы поддерживать продажи продукта. Сколько статей Эли пишет за одну неделю?

120. Пулемет . Зенитный пулемет калибра 0,50 может производить 800 выстрелов в минуту. Сколько выстрелов можно было сделать за три минуты? Associated Press Times-Standard 15.04.09

121. Круги . Бассейн в CalCourts имеет длину 25 ярдов. Если один круг вверх и обратно, сколько ярдов проплыл Венделл, сделав 27 кругов?

122. Мощность холодильника . Обычный холодильник будет работать около 12 часов каждый день, потребляя 150 Вт энергии каждый час. Сколько ватт энергии потребляет холодильник в течение дня?

123. Конское сено . Взрослая лошадь должна съедать не менее 12 фунтов сена каждый день и может съедать гораздо больше в зависимости от своего веса. Сколько минимум фунтов съест лошадь за год?

124. Колледж стоит . После повышения сборов на 662 доллара жители Калифорнии, желающие поступить в Калифорнийский университет в качестве бакалавра, должны будут заплатить 8700 долларов за предстоящий 2009 учебный год.- 2010. Если стоимость останется прежней в течение следующих нескольких лет, сколько должен платить студент за четырехлетнюю программу обучения в школе UC?

125. Расходы нерезидента . Студенты-нерезиденты, желающие поступить в колледж Калифорнийского университета, должны заплатить около 22 000 долларов за предстоящий учебный год. Если предположить, что затраты останутся прежними, сколько может стоить четырехлетняя степень?

126. Студенческий налог . Мэр Провиденса, штат Род-Айленд, хочет обложить налогом 25 000 студентов Университета Брауна по 150 долларов каждый, чтобы внести свой вклад в налоговые поступления, заявив, что студенты должны платить за ресурсы, которые они используют, как и жители города. Сколько долларов заработает мэр?

127. Новый айсберг . Новый айсберг, отколовшийся от ледника после столкновения с другим айсбергом, имеет длину около 48 миль и ширину 28 миль. Какова примерная площадь нового айсберга? Associated PressTimes-Standard 27.02.10 2 Огромные айсберги оторвались от побережья Антарктиды.

128. Солнечные панели . Одна из солнечных панелей на Международной космической станции имеет длину 34 метра и ширину 11 метров. Если их восемь, какова общая площадь сбора солнечной энергии?

129. Тротуар . Бетонный тротуар должен иметь длину 80 футов и ширину 4 фута. Сколько будет стоить укладка тротуара по цене 8 долларов за квадратный фут?

130. Тюки сена . Средний тюк сена весит около 60 фунтов. Если лошадь съедает 12 фунтов сена в день, то сколько дней один тюк прокормит лошадь?

131. Солнечные пятна . Солнечные пятна, где магнитное поле Солнца намного выше, обычно встречаются парами. Если общее количество солнечных пятен равно 72, сколько существует пар солнечных пятен?

Ответы

1. \(2 \cdot 4=\underbrace{4+4}_{2 \text { times }}=8\)

3. \(4 \cdot 2=\underbrace{2+ 2+2+2}_{4 \text { times }}=8\)

5. Переместительное свойство умножения

7. Ассоциативность умножения

9. Переместительное свойство умножения

11. Ассоциативность умножения умножение

13. Мультипликативное свойство тождества

15. Мультипликативное свойство тождества

17. 234

19. 5442

21. 3840

23. 47940

25. 980

27. 3060

29. 1 2798

31. 8292

33. 84995

35. 16226

37. 26645

39. 54435

41. 64

43. 56

45. 1250 в ²

47. 611 в 9047 8 2

49. 82 в

51. 116 в

53. 9.50

55. 705

57. 3456

59. 20000

61. 5 ÷ 30

63. \(8 \sqrt{2}\)

65. \(14 \sqrt{2}\)

67. 3 ÷ 24

69. 0 9 0032

71

73. 0

75. Не определено

77. 0

79. 0

81. Не определено

83. 64

90 031 85. 27

87. 44

89. 89

91 15

93. 95

95. 193

97. 629

99. 564

101. 937

103. 426

105. 921

107. 22

109. 8

111. 147

113. 73

115. 11

9 0031 117. 102

119. 20 артикулов

121. 1350 ярдов

123. 4380 фунтов сена

125. 88 000 долларов

127. 1344 миль ²

129. 2 560 долларов

131. 36

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дэвид Арнольд

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. Коммутативное свойство умножения
   2. знаменатель
   3. Отдел целых чисел
   4. фактора
   5. Умножение целых чисел
   6. числитель
   7. продукт

Умножение и деление дробей — Криста Кинг Математика

Превращение задач на деление дробей в задачи на умножение дробей

При умножении дробей мы умножаем их числители, чтобы найти числитель результата, и умножаем их знаменатели, чтобы найти знаменатель результата.

???\frac34\times\frac17???

???\frac{3\times1}{4\times7}???

???\frac{3}{28}???

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Когда мы делим дроби, мы фактически превращаем задачу деления в задачу умножения, переворачивая делитель (вторую дробь) вверх ногами (поменяв местами числитель и знаменатель) и одновременно заменяя символ деления на символ умножения. Мы называем этот процесс «умножением на обратное». Обратное дроби ???a/b??? дробь ???b/a??? (где числитель и знаменатель перевернуты.

???\frac34\div\frac17???

???\frac34\times\frac71???

???\frac{3\times7}{4\times1}???

???\фракция{21}{4}???

Ничего страшного, что в последней дроби числитель больше знаменателя. В этом случае дробь называется «неправильной».

Примеры умножения и деления дробей

Пройти курс

Хотите узнать больше о Pre-Algebra? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Узнать больше

Простой пример умножения дробей

Пример

Умножение дробей.

???\frac23\times\frac{4}{11}???

Чтобы умножить дроби, мы умножаем числители и знаменатели отдельно.

???\frac{2\times4}{3\times11}???

???\frac{8}{33}???

Когда мы делим дроби, мы превращаем задачу деления в задачу умножения, переворачивая делитель вверх ногами.

Давайте сделаем пример с делением.

Пример

Разделите дроби.

???\frac23\div\frac{4}{11}???

Чтобы выполнить деление дробями, мы переворачиваем вторую дробь вверх ногами и одновременно меняем символ деления на символ умножения.

???\frac23\times\frac{11}{4}???

Тогда мы рассматриваем это как задачу на умножение, умножая числители и знаменатели отдельно.

???\frac{2\times11}{3\times4}???

???\фракция{22}{12}???

Нам всегда нравится давать ответ в наименьших выражениях, поэтому мы упростим эту дробь, сократив ???2??? из числителя и знаменателя.