примеры на умножение и деление, сложение и вычитание
Ваш ребенок еще только учится в начальной школе, а вы уже задумываетесь о его дальнейшей учебе, развитии и будущем? Это очень похвально. А думали ли вы над тем, что успеваемость ребенка можно улучшить, если заниматься с ним ежедневно по математике всего лишь 15 минут в день дополнительно? И это не выдумки. В материалах этой статьи мы приведем примеры и задачи для школьников начальной школы по математике, а именно, для третьеклассников. (Для удобства решения приведенные ниже задания вы можете распечатать).
Как учить ребенка учиться
Умеет ли ваш ребенок учиться? Уверена, что многих родителей этот вопрос поставил в тупик. А действительно, что значит «уметь учиться»? Когда ваш юный школьник только пошел в школу, после занятий, возможно, он бежал домой и очень хотел сразу же делать уроки. Так бывает, когда дети очень ждут поступления в 1 класс. Но со временем интересы к своевременному выполнению домашнего задания ослабевают и «домашка» становится скучным времяпровождением.
Чтобы школьник учился этой сложной и ответственной науке – учиться – родители должны всячески помогать ему: составить распорядок дня, учить ребенка выполнять домашнее задание наперед, прорешивать или прописывать дополнительные упражнения, чтобы тренировать и руку для письма, и мозг для устного счета. Математике дается детям начального звена сложнее всего, именно поэтому мы и подготовили для школьников 3 класса этот материал.
Примеры по математике на умножение и деление
Еще во втором классе дети выучили таблицу умножения. Если вы сейчас находитесь в полном заблуждении, как выучить с ребенком таблицу умножения, то рекомендуем к ознакомлению следующий материал по ссылке. На протяжении второго класса школьники постепенно осваивали простые примеры и задачи, используя таблицу умножения, а в третьем классе они оттачивают навыки умножения и сложения.
Задание 1
Заменить сложение вычитанием в тех примерах, в которых от замены знака ответ не изменится:
5 + 5 + 5 =
1 + 1 + 1 + 1 =
0 + 0 + 0 + 0 + 0 =
8 + 8 + 8 + 8 =
7 + 7 — 7 + 7 =
7 + 7 + 7 — 7 =
14 + 14 =
61 + 61 =
Подсказка:
5 + 5 + 5 = 15, если заменить знак «+» на знак «•», то получится
5 • 5 • 5 = 125. 15 не равно 125. Значит, в первом равенстве заменить знак «+» на знак «•» нельзя.
По аналогии решаем стальные равенства и делаем выводы о возможной или невозможной замене знака «+» на знак «•».
Задание 2
Какие выражения нельзя заменить суммой, чтобы ответ не изменился:
0 • 4 =
1 • 0 =
1 • 1 =
1 • 6 =
0 • 9 =
7 • 0 =
5 • 2 =
2 • 2 =
Подсказка:
Вспомните, каким правилом следует пользоваться при умножении на ноль.
Задание 3
Решите примеры:
45 : 5 + 1 =
45 : 5 • 1 =
543 — 5 • 1 =
(543 — 5) • 1 =
423 + 7 • 0 =
(423 + 7) • 1 =
10 — 0 + 4 =
10 • 0 + 4 =
Задание 4
Из каждого выражения на умножение составьте выражения на деление:
6 • 8 =
7 • 1 =
4 • 0 =
0 • 3 =
4 • 9 =
Подсказка
6 • 8 = 48
48 : 8 = 6
48 : 8 = 6
Задание 5
Какое значение имеют следующие выражение:
а : а =
а : 1 =
0 : а =
а : 0 =
Задание 6
Решите примеры:
(596 + 374) • 1 =
596 + 374 • 1 =
(596 + 374) • 0 =
596 + 374 + 0 =
0 • 320 : 1 =
0 + 320 : 1 =
Обязательно повторите с ребенком правила умножения и деления числа на единицу и умножения или деления числа на ноль, а также особенности деления ноля на любое число. Часто именно в этих примерах дети делают ошибки, которые влекут за собой дальнейшее неправильное решение примеров, выражений и задач.
Задание 7 (задача)
В оздоровительный лагерь привезли фрукты: 7 ящиков винограда и 5 ящиков персиков. Масса привезенных персиков составляет 40 килограммов. Какая масса винограда, если ящик винограда на 1 килограмм весит больше, чем ящик персиков.
Решение
Найдем, сколько весит один ящик персиков. Известно, что общая масса персиков составляет 40 кг, а всего ящиков – 5.
Первое действие:
40 : 5 = 8 (кг) весит один ящик персиков.
Теперь найдем, сколько весит один ящик винограда, если известно, что он тяжелее на 1 кг, чем ящик персиков.
Второе действие:
8 + 1 = 9 (кг) весит один ящик винограда.
Теперь находим общую массу всего винограда, если известно, что один ящик весит 9 кг, а всего винограда – 7 ящиков.
Третье действие:
9 • 7 = 63 (кг) – общая масса винограда.
Ответ: масса привезенного винограда составляет 63 кг.
Задание 8
Сосна может расти 600 лет, береза – 350 лет. А ива – в 6 раз меньше от сосны. Что может расти дольше береза или ива? И насколько лет?
Решение
Вначале рассчитаем, сколько лет может расти ива, если известно, что она растет в 6 раз меньше, чем сосна.
Первое действие:
600 : 6 = 100 (лет) может расти ива.
Теперь, когда известно, что ива может расти 100 лет, сравним продолжительность «жизни» березы и ивы. Известно, что береза растет 350 лет, а ива – 100. 350 больше чем 100, значит береза может расти дольше ивы. Чтобы рассчитать, на сколько береза может расти дольше ивы, решаем равенство.
Второе действие:
350 — 100 = 250 (лет) – на столько береза может расти дольше ивы
Ответ: береза может расти дольше ивы на 250 лет.
Важно! Если задачу можно решить несколькими способами, обязательно сообщите об этом ребенку. Пусть потренирует логику и начертит все возможные схем решения задачи, т.е. составить схематическое условие. Ведь правильно составленное условие задачи – это 90% успешного решения.
Задание 9
В понедельник гусеница начала ползти вверх по дереву высотой 9 метров. За день она поднялась вверх на 5 метров, а за ночь – опустилась на 2 метра. На какой день гусеница достигнет верхушки дерева?
Решение
Для начала рассчитаем, на сколько метров поднимается гусеница вверх за один день, с учетом того, что ночью на опускается.
Первое действие:
5 — 2 = 3 (м) гусеница проползает за сутки вверх.
Теперь найдем количеств дней, необходимых на преодоление расстояния 9 метров вверх по дереву.
Второе действие:
9 : 3 = 3 (дня) нужно гусенице, чтобы достичь вершины дерева.
Ответ: 3 дня нужно гусенице, чтобы достичь вершины дерева.
Задание 10
В коробке было 18 килограммов печенья. Сначала из нее взяли 13 килограммов печенья, потом досыпали в 4 раза больше, чем оставалось. Сколько килограммов печенья стало в коробке.
Решение
Сначала найдем, сколько килограммов печенья осталось в коробке, после того, как из нее забрали 13 килограммов.
Первое действие:
18 — 13 = 5 (кг) печенья осталось в коробке
Теперь рассчитаем сколько килограммов печенья досыпали в коробку.
Второе действие:
5 • 4 = 20 (кг) досыпали
Сложим тот вес, который оставался в коробке, и тот, который досыпали, чтобы найти, сколько килограммов печения стало в коробке.
Третье действие:
5 + 20 = 25 (кг) стало
Ответ: 25 килограммов печения стало в коробке.
Задание 11
За лето хозяйка вырастила 208 домашних птиц. Кур и уток было 129, а уток и гусей – 115. Сколько кур, уток и гусей вырастила хозяйка за лето?
Решение
Известно, что кур и уток было 129, а всего птиц – 208. Значит, можно найти количество гусей.
Первое действие:
208 (птиц) – 129 (уток + кур) = 79 гусей
Также известно, что уток и гусей всего 115, значит мы можем найти, сколько было кур.
Второе действие:
208 (птиц) – 115 (уток + гусей) = 93 кур
Теперь, когда мы знаем количество гусей и кур, а также общее количество домашних птиц, мы можем найти количество уток.
Третье действие:
208 — (79 + 93) = 36 уток
Ответ: за лето хозяйка вырастила 79 гусей, 93 кур и 36 уток.
Второй вариант решения
Известно, что кур и уток было 129, а всего птиц – 208. Значит, можно найти количество гусей.
Первое действие:
208 (птиц) – 129 (уток + кур) = 79 гусей
Также известно, что уток и гусей всего 115, значит мы можем найти, сколько было уток
Второе действие:
115 (уток + гусей) – 79 (гусей) = 36 уток
Теперь, когда мы знаем количество гусей и уток по отдельности, а также общее количество домашних птиц, мы можем найти количество кур.
Третье действие:
208 – (79 + 36) = 208 – 115 = 93 кур
Ответ: за лето хозяйка вырастила 79 гусей, 93 кур и 36 уток.
Примеры и задачи по математике на сложение и вычитание
Основной задачей заданий и примеров по математике на сложение и вычитание в третьем классе является популяризация математических знаний и идей, поддержка и развитие математических знаний школьников, стимулирование и мотивация учеников в изучении естественно-математический предметов.
Задание 1
Реши уравнения:
Х – 40 = 60
Х + 4 = 61
Х – 16 = 25
Х + 25 = 84
Х – 45 = 251
Х + 56 = 106
Х + 78 = 301
Задание 2
Расставьте скобки так, чтобы ответом выражения в первом случае было 6, а в втором – 2:
12 : 2 + 2 • 2 =
Подсказка
12 : (2 + 2) • 2 = 6
12 : (2 + 2 • 2) = 2
Важно! Некоторые условия составлены таким образом, чтобы ребенок включал логическое мышление. Прорешивая такие задания он мыслит, делает предположения, размышляет, и находит правильное решение задания.
Задание 3
Перевести в одну систему измерения и решить выражения:
1 м – 5 дм =
1 м – 5 см =
6 м 5 дм – 8 дм =
5 см + 5 см =
15 см + 5 дм =
3 дм – 6 см =
3 дм 5 см – 15 см =
1 дм 2 см – 3 см =
1 м 6 дм – 8 дм =
Задание 4
Из каждого выражения произведения отнять 15 и записать новые выражение и решить их:
7 • 3 =
7 • 6 =
7 • 9 =
8 • 6 =
8 • 4 =
3 • 9 =
4 • 4 =
5 • 7 =
Подсказка
Если 7 • 3 = 21, то 21 – 15 = 6
Задание 5
Решить примеры:
7 • 6 + 7 • 4 =
21 : 3 – 6 =
(35 – 28) • 5 =
(68 – 26) : 7 =
7 + (6 : 2) =
3 – 14 : 2 =
60 – 63 : 7 =
81 – 56 : 7 =
50 + 42 : 7 =
Задание 6 (задача)
В шести одинаковых бочонках 24 литра воды. Сколько литров воды в сети таких же бочонках, на сколько литров больше во втором случае, чем в первом?
Решение
Вначале найдем, сколько воды вмещается в один бочонок.
Первое действие:
24 : 6 = 4 (л) в одном бочонке
Теперь рассчитаем, сколько воды в семи одинаковых бочонках
Второе действие:
4 • 7 = 28 (л) в сети одинаковых бочонках
Найдем ответ на главный вопрос задачи, на сколько литров больше во втором случае, чем в первом.
Третье действие:
28 – 24 = 4 (л) на столько литров больше во втором случае, чем в первом
Ответ: на 4 литра воды больше во втором случае, чем в первом
Задание 7
Отец и сын купили на рынке картошку в 6 одинаковых сетках. Отец принес домой 4 сетки, а сын 2. Всего получилось 18 килограммов картошки. Сколько килограммов принес отец? Сколько килограммов принес сын? На сколько больше килограммов картошки принес отец?
Решение
Рассчитаем, сколько картошки было в одной сетке, если известно, то всего принести 18 килограммов в 6 одинаковых сетках.
Первое действие:
18 : 6 = 3 (кг) в одной сетке.
Теперь узнаем сколько килограммов принес отец и сколько килограммов принес сын.
Второе действие:
3 • 4 = 12 (кг) принес отец
Третье действие:
3 • 2 = 6 (кг) принес сын
Найдем искомую разницу.
Четвертое действие:
12 – 6 = 6 (кг) на столько больше принес отец.
Ответ: Отец принес на 6 килограммов больше картошки, чем сын.
Задание 8
За 5 часов работы двигателя было израсходовано 30 литров бензина. Сколько бензина будет израсходовано за 8 часов работы двигателя. На сколько больше двигатель израсходует бензина за разницу во времени?
Решение
Рассчитаем, сколько бензина расходует двигатель за час своей работы.
Первое действие:
30 : 5 = 6 (л) за один час работы
Рассчитаем, сколько составляет разница во времени?
Второе действие:
8 – 5 = 3 (ч) разница во времени
Теперь можно рассчитать, сколько бензина израсходовано за оставшиеся 3 часа.
Третье действие:
3 • 6 = 18 (л) потрачено за 3 часа.
Ответ: за 3 часа двигатель истратил 18 литров бензина
Второй способ решения
Рассчитаем, сколько бензина расходует двигатель за час своей работы.
Первое действие:
30 : 5 = 6 (л) за один час работы
Рассчитаем, сколько бензина будет израсходовано за 8 часов работы двигателя.
Второе действие:
8 • 6 = 48 (л) израсходовано за 8 часов работы двигателя
Теперь можно рассчитать разницу потраченного топлива.
Третье действие:
48 – 30 = 18 (л) разница потраченного топлива
Ответ: за 3 часа двигатель истратил 18 литров бензина
Важно! Задания на сложение и вычитание не исключают в своем условии или решении возможность других математических действий, например, умножения или деления. Ученик третьего класса уже должен уметь различать в условии требования к сложению и умножению, делению и вычитанию. Именно потому задания по математике для этого класса часто носят смешанный характер.
Задание 9
В двух прудах плавало 56 уток. Когда из первого пруда во второй перелетело 7 уток, то в нем осталось 25. Сколько уток с самого начала плавало во втором пруду?
Решение
Известно, что после того, как из первого пруда улетело 7 уток, в нем осталось 25. Находим количество уток в первом пруду с самого начала.
Первое действие:
7 + 25 = 32 (утки) было в первом пруду.
Теперь можем найти, сколько уток плавало во втором пруду с самого начала.
Второе действие:
56 – 32 = 24 (утки) было во втором пруду.
Ответ: с самого начала во втором пруду было 24 утки.
Задание 10
С первого куста собрали 9 килограммов ягод. Со второго куста собрали на 3 килограммов больше, чем с первого, а с третьего – на 2 килограммов больше, чем со второго. Сколько килограммов ягод собрали с третьего куста? Сколько всего ягод собрали?
Решение
Вначале найдем, сколько килограммов ягод собрали со второго куста.
Первое действие:
9 + 3 = 12 (кг) ягод со второго куста
Теперь определяем, сколько килограммов ягод собрали с третьего куста
Второе действие:
12 + 2 = 14 (кг) год с третьего куста
Когда все составляющие известны, находим ответ на главный вопрос задачи.
Третье действие:
9 + 12 + 14 = 35 (кг) ягод всего
Ответ: всего собрали 35 килограммов ягод.
Вместо заключения
Уделяйте математике достаточно внимания уже с начальной школы. Этот предмет не только тренируем мозг в устном счете, но и умении логически мыслить, развивать смекалку. Постепенно привыкая к выполнению дополнительных и основных заданий, ребенок учится учиться, выполнять требования учителя, грамотно планировать свое время, распределять время для учебы и досуга.
Математические задания для третьеклассников моно составлять самостоятельно по приведенным нами аналогии, это не составит особого труда. Зато ваш ученик сможет больше тренироваться в математике, выполнять задания на каникулах и выходных, а также заниматься дополнительно после школы.
Проверочная работа по математике «Умножение и деление трёхзначных чисел» 3 класс
Проверочная работа по теме:
«Умножение и деление трёхзначных чисел»
1 – вариант
№1. Реши примеры, делая подробную запись в строчку:
31 · 3= 39 :3=
342 · 2= 84 : 6=
123 · 4= 351 : 3=
№2. Реши примеры, выполняя вычисления в столбик:
32 · 3= 142 · 6= 69 : 3= 864 : 2=
214 · 4= 73 · 3= 408 : 4= 459 :3=
№3. Реши систему неравенств, сделай чертёж и запиши ответ:
х>6
х<11
№4. Реши неравенство, используя решение соответствующего уравнения. Сделай проверку:
в + 53 > 87
№5. Реши задачу. Запиши решение сложным выражением.
В магазин привезли 8 ящиков груш по 32 кг в каждом. Сколько кг груш продали, если осталось 58 кг груш.
№6**Заполни клетки квадрата числами так, чтобы он стал «магическим»:
|
156
|
|
164 |
|
|
158 |
|
|
152
|
|
|
Проверочная работа по теме:
«Умножение и деление трёхзначных чисел»
2 – вариант
№1. Реши примеры, делая подробную запись в строчку:
21 · 3= 69 :3=
243 · 2= 84 : 7=
223 · 4= 357 : 3=
№2. Реши примеры, выполняя вычисления в столбик:
23 · 3= 162 · 6= 96 : 3= 684 : 2=
114 · 4= 83 · 3= 606 : 6= 456 :3=
№3. Реши систему неравенств, сделай чертёж и запиши ответ:
х>7
х<12
№4. Реши неравенство, используя решение соответствующего уравнения. Сделай проверку:
в + 37 < 96
№5. Реши задачу. Запиши решение сложным выражением.
В магазин привезли 7 ящиков груш по 34 кг в каждом. Сколько кг груш продали, если осталось 63 кг груш.
№6**Заполни клетки квадрата числами так, чтобы он стал «магическим»:
|
156
|
|
164 |
|
|
158 |
|
|
152
|
|
|
Математика «Запись умножения в строчку и столбиком», 3 класс
Предмет: Математика
Учитель: Юшка Т.Н.
Класс: 3 класс
Технологическая карта изучения темы: Интегрированный урок по математике «Запись умножения в строчку и столбиком». Технология. Аппликация из геометрических фигур «Цветок для мамы»
ТемаЗапись умножения в строчку и столбиком
Цели
Образовательные: рассмотреть способ записи и решения умножения в строчку и столбиком. Формировать умение решать примеры данного вида. Совершенствовать вычислительные навыки. Формировать умение составлять задачу по данному решению..
Способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.
Воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе, работе в парах.
Формировать УУД:
— Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
— Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.
— Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.
— Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.
Планируемый результат
Предметные:
Понимать, как выполняется умножение столбиком. Знать способ решения примеров данного вида.
Уметь решать примеры на умножение столбиком. Уметь составлять задачу по данному решению.
Личностные:
Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.
Метапредметные:
Уметь определять и формулировать цель на уроке; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение (Регулятивные УУД).
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД).
Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).
Основные понятия
Переход через разряд
Межпредметные связи
Математика
Ресурсы:
— основные
— дополнительные
Чекин А. Л.. Математика. Учебник для 3-го класса. Часть 1. стр. 81- 82
— шаги учебной деятельности
— тетрадь
— тетрадь для самостоятельной работы №1 стр. 54 № 114
— образцы записи примеров на умножение столбиком
— алгоритм самооценки.
Организация пространства
Фронтальная работа, индивидуальная работа, работа в парах
Технология проведенияДеятельность
учеников
Деятельность
учителя
Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов
Планируемые результаты
УУД
Предметные
УУД
I. Мотивация к учебной деятельности (3 мин)
Цели:
— актуализировать требования к ученику со стороны учебной деятельности;
— создание условий для возникновения у учеников внутренней потребности включения в учебную деятельность;
— установить тематические рамки;
— уточнить тип урока и наметить шаги учебной деятельности.
Проговаривают стихотворение – правила поведения на уроке, объясняют, для чего нужно выполнять эти правила.
Проговаривают тип урока и называют шаги учебной деятельности.
(Проверка. Ученик читает свои от-веты, дети проверяют.
Какие числа получили в ответах?
На какие группы их можно разде-лить? (чётные и нечётные)
Расположите их в порядке возраста-ния.
21, 24, 38, 56, 71, 73)
Высказывают своё мнение: Много занимает места запись и долго записывать решение.
Организует актуализацию требований к ученику со стороны учебной деятельности.
Создаёт условия для возникновения у учеников внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Устанавливает тематические рамки.
Организует уточнение типа урока и называние шагов учебной деятельности.
Организует повторение геометрического материала.
Организует повторение материала прошлого урока
1. Прозвенел звонок.
Начинается урок.
Наши ушки – на макушке,
Глазки широко открыты.
Слушаем, запоминаем,
Ни минуты не теряем.
— Что мы делали на первом этапе урока? (Настраивались на работу на уроке).
— Отгадайте загадку
В мире нет её роднее,
Справедливей и добрее.
Я скажу, друзья вам прямо —
Лучше всех на свете… (мама)
— Какой праздник приближается? – Что дарят на праздник?. Какой подарок для мамы самый дорогой?
(День матери)
У нас в гостях ваши мамы. Давайте сегодня на уроке покажем наши знания, умения и навыки в области математики. У вас на столе конверт. Откройте его и скажите, что в этих конвертах?
В ходе урока мы должны вырастить цветок для мамы в форме аппликации.
На каждом этапе работы вы будете оценивать себя. Синий кружок — у меня все получилось. Желтый – не все получилось, желтый – не справился.
1. Математический диктант
Увеличьте 45 на 28 = 73.
Уменьшите 93 на 22 = 71
Сумма чисел равна 56, первое слагаемое – 18, чему равна второе слагаемое? = 38
Напишите число, которое больше 28 в 2 раза = 56
Найдите разность чисел 48 и 27 = 21
Чему равно частное чисел 48 и 2 = 24
(Проверка. Ученик читает свои ответы, дети проверяют. Взаимопроверка.
Какие числа получили в ответах?
На какие группы их можно разделить? (чётные и нечётные)
Расположите их в порядке возрастания.
21, 24, 38, 56, 71, 73)
— Оцените свою работу
— Какая деталь из конверта необходима для нашего цветка. Чтобы приклеить на картон, вычислите периметр. Запишите решение в тетрадь. Один ученик работает у доски.
— Оцените свою работу
— Проверьте, правильно ли записаны и решены примеры:
354 · 6 = (300 + 50 + 4) · 6 = 300 · 6 + 50 · 6 + 4 · 6 = 1800 + 30 + 24 = 1854
458 · 8 = (400 + 50 + 8) · 8 = 400 · 8 + 50 · 8 + 8 · 8 = 3200 + 400 + 64 = 3664
— Вам понравилось решать примеры данного вида? Как записывали данные выражения? (в строчку)
— Это удобно? — Почему?
— Чему будет посвящён наш урок? (Открытию нового знания)
— Какие мы делаем шаги при открытии нового знания? («Что я не знаю?», «Сам найду способ»)
2. Сообщение темы урока
«Запись умножения в строчку и столбиком»
Уметь совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД).
Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД).
Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя (Познавательные УУД).
Умение слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД).
II. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии (10 мин)
Цели:
—
— организовать выполнение учащимися пробного учебного действия;
-организовать фиксирования учащимися индивидуаль-ного затруднения.
Выполняют задание в тетрадях.
.
Фиксируют индивидуальное затруднение (Я не знаю).
Организует актуализацию умений записывать и решать примеры на умножение столбиком
Предлагает задание для пробного действия.
Организует выполнение учащимися пробного учебного действия.
Организует фиксирование индивидуального затруднения.
Выполнить умножение.
X 234 ·X 446 X 2835
2 2 3
———— ———- ————
— Какие примеры вызвали затруднение? Почему?
Выполнение пробного действия
— Как называется решение данных примеров? (Решение примеров на умножение столбиком)
Фронтальная проверка.
Фиксация индивидуального затруднения.
— У нас получились разные варианты.
— А почему?
— Какой возникает вопрос? (Что я не знаю?)
. Уметь применять алгоритм решения примеров данного вида
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке (Регулятивные УУД).
Уметь преобразовывать информацию из одной формы в другую (Познавательные УУД).
Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативное УУД).
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке (Регулятивные УУД).
III. Выявление места и причины затруднения
(2 мин)
Цели:
— выявить место (шаг, операция) затруднения;
— зафиксировать во внешней речи причину затруднения.
Под руководством учителя выявляют место затруднения.
Проговаривают причину затруднения с помощью учителя.
Организует выявление места затруднения.
Организует фиксирование во внешней речи причины затруднения.
— В каком месте возникло затруднение?
— Почему возникло затруднение? (Не знаем, как это сделать).
3.Физминутка: Обведите глазами треугольники так, чтобы глазки прошли по линиям только один раз. У кого получилось?
Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД).
Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя (Познавательные УУД).
IV. Построение проекта выхода из затруднения
(3 мин)
Цели:
— организовать постановку цели урока;
— организовать составление совместного плана действий;
— определить средства.
Проговаривают следующий шаг учебной деятельности.
С помощью учителя ставят цель урока.
Составляют и проговаривают план действий с помощью учителя.
Называют средства.
Организует уточнение следующего шага учебной деятельности.
Организует постановку цели урока.
Организует составление совместного плана действий.
Организует определение средств.
4. — Какой следующий шаг учебной деятельности? (Сам найду способ)
— Какую цель ставим? (Узнать, как решаются примеры данного вида)
— Наметим наш план действий:
1. Сами попробуем выполнить задание: узнать, как решать примеры данного вида.
2. Сопоставим свои предположения с учебником, спросим у учителя.
3. Устраним затруднение.
4. Применим новое знание.
— Что нам поможет? (свой опыт, учебник, учитель)
Физкультминутка
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке; (Регулятивные УУД). Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД).
Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя (Регулятивные УУД).
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке (Регулятивные УУД).
V. Реализация построенного проекта
(10 мин)
Цели:
— реализовать построенный проект в соответствии с планом;
— зафиксировать новое знание в речи;
— организовать устранение и фиксирование преодоления затруднения;
— уточнить тему урока.
Под руководством учителя выполняет составленный план действий.
Отвечают на вопросы учителя.
. Фиксируют новое знание в речи.
Под руководством учителя формулируют тему урока.
Организует реализацию построенного проекта в соответствии с планом. Организует подводящий диалог.
Организует фиксирование нового знания в речи.
Организует уточнение темы урока.
5.Выполняем по плану действия
— Пробуем применить правило.
1. Умножаем единицы.
2. Умножаем десятки.
3. Умножаем сотни.
4. Умножаем тысячи.
-Что замечаем? (Единицы записываем под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями…)
— Какое правило записи обязательно выполняем? (поразрядная запись)
-Снова решаем примеры, применяя правило.
— Давайте найдём по учебнику стр. 82 и рассмотрим запись. Как выполнено умножение?
— Как называется такой способ умножения? (Фиксируем новое знание в речи).
Устранение затруднения.
— Какая тема урока сегодня?
Уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД).
Уметь работать по коллективно составленному плану (Регулятивные УУД).
VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи
(7 мин)
Цель:
— организовать усвоение учениками нового способа действий с проговариванием во внешней речи.
Выполняют задание с доски
Организует усвоение учениками нового способа действий с проговариванием во внешней речи.
6. Закрепление.
— Узнайте, что больше и на сколько: произведение чисел 151 и 6 или произведение чисел 161 и 5
. Работа в парах. Оцените свою работу
-Что же должно появиться, после того как мы посадили семя? (Стебель)
— Найдите и приклейте стебель.
Уметь решать примеры на умножение столбиком.
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке (Регулятивные УУД).
Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД).
VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (7 мин)
Цели:
— организовать выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание;
— организовать самопроверку по эталону, самооценку;
— организовать выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.
Выполняют задание самостоятельно в тетради.
Выполняют самопроверку по эталону.
Называют с помощью учителя место своего затруднения, причину исправляют ошибки.
Выполняют самооценку по алгоритму.
Организует выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание.
Организует самопроверку по эталону.
Организует выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.
Организует самооценку
7.Самостоятельная работа с проверкой по эталону
— Появился стебель, а что дальше появится на вашем цветке?
-В форме, каких фигур листочки?
— Они не простые. На обратной стороне записаны примеры.
— Найдите ошибки и запишите правильные ответы.
X172 X232 X193
3 4 3
———— ————- ————
516 28 479
— У кого всё правильно?
— У кого есть ошибки?
— В каком примере ошибки?
— В чём причина?
— Оцените свою работу
— Приклейте ваши листочки
Уметь решать примеры на сложение с переходом через десяток, выявлять места и причины затруднений, выполнять работу над ошибками
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке (Регулятивные УУД).
Уметь выполнять работу по предложенному плану (Регулятивные УУД).
Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок (Регулятивные УУД).
Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД).
VIII.Актуализация новых знаний. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.
Выполняют задание самостоятельно в тетради.
Выполняют проверку (в парах).
Организует применение учащимися способа умножения для решения задачи
Организует выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание.
Организует взаимоконтроль в парах
8. Работа с учебником
— Этот способ решения можно использовать не только при решении примеров, но и задач.
Самостоятельная работа с проверкой
С. 82 № 271
-Поменяйтесь тетрадями и проверьте правильность выполнения задания. Объясните соседу, в чём вы не согласны или согласны с ним.
— Оцените свою работу.
Уметь применять способ умножения столбиком при решении задач.
Вносят коррективы в действие после проверки.
Уметь сотрудничать с соседом по парте.
Уметь составлять задачу по решению и использовать приём умножения при решении задач
Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД
IX. Рефлексия учебной деятельности на уроке
(3 мин)
Цели:
— зафиксировать новое содержание урока;
— организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности.
Отвечают на вопросы учителя.
По схеме рассказывают, что узнали, знают, смогли.
Делают самооценку
Организует фиксирование нового содержания.
Организует рефлексию.
Организует самооценку учебной деятельности.
Подводим итог работы на уроке.
— Какую цель ставили? Достигли цели?
— Какая тема урока была?
— Расскажите, чему научились на уроке?
— Оцените свою деятельность на уроке, используя выражения:
· было интересно…
· было трудно…
· я понял, что…
· теперь я могу…
· я почувствовал, что…
· я научился…
· у меня получилось …
· я смог…
· я попробую…
· меня удивило…
· мне захотелось…
— Какая еще деталь осталась в вашем конверте? (круг в виде веселого солнышка)
-Молодцы! Вы все сегодня хорошо работали, поэтому оно веселое. Приклейте этот бутон к своему цветку.
Наш цветок сейчас распустится, это ваши кружки самооценки. Приклейте их вокруг бутона. Каких больше кружков?
Ученица читает стих о маме, а учащиеся дарят свой «выращенный цветок» мамам.
Формулировать собственное мнение и позицию;
Оценивать свою работу
Уметь проговаривать последовательность действий на уроке (Регулятивные УУД).
Уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки. (Регулятивные УУД).
Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД).
X. Домашнее задание.
Читают задание в тетради для самостоятельной работы стр. 54 № 114 или в учебнике стр. 82 № 270
Организует чтение задания на понимание
— Какое задание вы хотели бы выполнить дома?
3 класс, часть 1 – 2 Консультация 3. Уроки 1 – 13.
3 класс, часть 1 – 2Консультация 3. Уроки 1 – 13.На уроках 1 – 5 систематизируются знания учащихся о единицах измерения длины и массы, вводятся новые единицы измерения массы: грамм, центнер, тонна, закрепляются соотношения между единицами измерения длины, массы, умение выражать значения величин в разных единицах измерения. Также повторяются и закрепляются нумерация и действия с многозначными числами, решение текстовых задач, уравнений, примеров на порядок действий, умножение чисел в столбик, измерение отрезков и построение отрезков данной длины, понятие объема прямоугольного параллелепипеда, отрабатываются вычислительные навыки.
На уроке 1 воспроизводится таблица, устанавливающая соотношение между единицами длины, с которой учащиеся уже встречались раньше:
Теперь область применения этой таблицы существенно расширяется. В №1, стр. 95 проговариваются все возможные соотношения между этими единицами. Например, устанавливается, что 1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм и т. д. При этом надо вспомнить правило: при переходе к меньшим меркам выполняется умножение, а при переходе к большим меркам – деление. Соответствующие коэффициенты перехода (числа, на которые надо умножать или делить при переходе от одной единицы измерения к другой) записаны под дугами.
В № 2–4, стр. 95 учащиеся используют установленные соотношения и аналогию с десятичной системой записи чисел для перевода длин из одних единиц измерения в другие. Решение примеров записывается в тетради в клетку и проговаривается вслух. Способ обоснования может быть различным – на основе установленного правила либо на основе аналогии с десятичной системой записи чисел, например:
а) 7 м = 700 см, так как в 1 метре 100 сантиметров, а 100 · 7 = 700,
или
7 м = 700 см, так как 7 метров – это 7 сотен сантиметров;
б) 16 000 мм = 1600 см, так как в 1 сантиметре 10 миллиметров, а
16 000 : 10 = 1600,
или
16 000 мм = 1600 см, так как в 16 000 содержится 1600 десятков;
в) 12 км 50 м = 12 050 м, так как в 1 километре 1000 метров, значит,
в 12 км – 12 000 м, да еще 50 м, всего получится 12 050 метров,
или
12 км 50 м = 12 050 м, так как 12 км 50 м – это 12 тысяч 50 метров.
Основным способом является первый, так как он универсальный и используется, например, и при преобразовании единиц времени, где соотношения между единицами не являются десятичными. Однако акцент на аналогию системы мер длины и массы с десятичной системой записи чисел не только поможет закрепить знание нумерации, но и покажет связь изучения чисел с практическими задачами. Каждый из учеников может выбрать тот способ обоснования, который ему удобен, а в классе должны звучать оба способа.
Перед выполнением заданий № 5–6, стр. 96 надо повторить с учащимися правило о том, что величины можно сравнивать, складывать и вычитать только тогда, когда они выражены в одних и тех же единицах измерения. Поэтому для сравнения, сложения и вычитания величин в этих заданиях надо их сначала выразить в одинаковых мерках.
На уроке 2 в №1–2, стр. 98 учащиеся решают практические задачи, связанные с построением отрезков и измерением их длин. В №1 они устанавливают, что если точки A, B и C лежат на одной прямой, то длина AC равна сумме длин AB и BC, а если нет, то длина AC меньше суммы длин AB и BС. Другими словами, прямая линия, соединяющая две точки A и C, короче ломаной ABC. В №2 они строят планы земельных участков треугольной и четырехугольной формы и вычисляют их периметры. Таким образом, их внимание еще раз обращается на то, что числа возникли для решения практических задач, поэтому естественно, что соотношения между единицами измерения величин аналогичны принципу нумерации. Эта аналогия еще раз подчеркивается в №3, стр. 98. В заданиях №4–5, стр. 98 рассматриваются более сложные случаи перевода единиц длины.
На уроках 3–4 аналогичным образом рассматриваются единицы массы и соотношения между ними:
Правило перевода единиц и способы перевода остаются прежними, изменяются лишь названия единиц и переводные коэффициенты. Кроме того, рассматриваются виды гирь, которые обычно используются при взвешивании, и способы уравновешивания предметов на чашечных весах.
Хотим отметить, что при выполнении №10, стр. 99 следует обратить внимание на некоторые моменты. К настоящему времени дети уже знают, что одни и те же математические выражения могут описывать разнообразные жизненные ситуации. Так, выражение 2 + 3 может быть суммой игрушек, ручек, тракторов и еще чего угодно, в том числе «шклидулок». И от того, что мы не знаем, что такое «шклидулка», суть вычислений не изменится – мы все равно получим в ответе 5.
В задаче предлагается вымышленная ситуация – о шклидулках и бримазятах. Математическая структура задачи не представляет для учеников труда, но здесь они должны суметь перенести ее на абстрактное для них содержание и провести рассуждения во всей полноте.
– Чтобы ответить на первый вопрос задачи, можно сложить шклидулки, которые нашли бримазище и бримазенок. (Ищем целое.) Для этого сначала из 96 вычтем 64 и узнаем, сколько шклидулок нашел бримазенок. Чтобы узнать, во сколько раз больше шклидулок нашел бримазище, чем бримазенок, надо первое число разделить на второе.
1) 96 – 64 = 32 (ш.) – нашел бримазенок.
2) 96 + 32 = 128 (ш.).
3) 96 : 32 = 3 (раза).
Ответ: вместе они нашли 128 шклидулок, бримазище – в 3 раза больше бримазенка.
При выполнении №12, стр. 103 следует рассуждать так:
Р – 70 Г – 200 С – 40
И – 80 К – 5400 Б – 400
П – 50 О – 4800 Н – 100
СПРИНГБОК. Один из интереснейших видов газелей, обитающий в Южной Африке. Верхняя сторона тела – желто‑коричневая, нижняя сторона – белая, на границе проходит контрастная буровато‑черная полоса. Но самая замечательная особенность спрингбока – обширная продольная кожная складка на спине. Когда животное спокойно, складку не видно. Но, почувствовав опасность, спрингбок начинает подпрыгивать на месте, отталкиваясь одновременно всеми ногами, без видимых усилий, как резиновый мяч.
Прыжки спрингбока колоссальны: до 2 м в высоту. При этом края кожной складки расходятся, и выстилающий ее белый мех начинает ослепительно сверкать. Для всех обитателей саванны прыжки спрингбока служат сигналом опасности.
Спрингбок знаменит своими странствиями. К сожалению, говорить о них приходится лишь в прошедшем времени: они прекратились вместе с резким уменьшением численности спрингбока. Во время последнего крупного переселения спрингбоков в 1896 году животные плотной массой покрывали участок шириной около 25 км, а длина колонны составляла 220 км!
Во второй части учебника закрепляются нумерация, сложение и вычитание многозначных чисел, вводится умножение и деление многозначного числа на однозначное, рассматриваются некоторые преобразования на плоскости (параллельный перенос, симметрия), меры времени и календарь, на основе некоторых логических понятий (высказывание, истинное и ложное высказывание) уточняется понятие уравнения и рассматриваются новые их виды. Учащиеся знакомятся с понятиями переменной и выражения с переменной, учатся находить значения выражений с переменной, строить формулы зависимостей между величинами.
На уроках 6 – 9 у учащихся формируется умение умножать многозначные числа на однозначные и умножать круглые числа в случаях, сводящихся к умножению на однозначное число, учатся решать задачи на нахождение значений величин по их сумме и разности. Ученики повторяют и закрепляют нумерацию, сложение и вычитание многозначных чисел, решение текстовых задач, решение уравнений с комментированием по компонентам действий, сравнение выражений, действия с единицами длины и массы.
Простейшие случаи умножения многозначного числа на однозначное (27 · 5, 140 · 3 и т. д.) и их запись в столбик уже встречались учащимся. На данном этапе обучения они должны распространить известный им способ умножения в столбик на общий случай умножения многозначного числа на однозначное, и отработать его для сложных случаев. Работа ведется, как обычно, деятельностным методом.
На уроке 6 на этапе актуализации знаний с учащимися нужно вспомнить распределительное свойство умножения. Для этого можно рассмотреть с ними различные способы нахождения площади прямоугольников для случаев, когда прямоугольник разбит на 2 части и на 3 части:
По данным рисункам ставятся вопросы:
1) Чем похожи и чем отличаются эти задачи? (В первой задаче прямоугольник разбит на две части, а во второй – на три.)
2) Как называется первое равенство? (Правило умножения суммы на число, или распределительное свойство умножения.)
3) Можно ли распространить это правило на сумму трех слагаемых? (Из второго равенства следует, что да.)
4) Можно ли его распространить на сумму большего числа слагаемых? (Да, ведь прямоугольник можно разбить на большее число частей.)
Чтобы поставить проблему, учащимся можно сначала предложить решить в тетрадях в клетку следующие примеры и выявить в них закономерности:
Ученики могут заметить, что:
1) все примеры – на умножение;
2) первый множитель увеличивается, а второй не изменяется;
3) с увеличением первого множителя произведение увеличивается;
4) если первый множитель увеличивается в 10 раз, то и все произведение
увеличивается в 10 раз.
Затем учитель предлагает, воспользоваться тем же вычислительным приемом и решить пример
При решении примера, вероятно, возникнет затруднение: могут получиться разные ответы, кто‑то из детей не решит его и т. д. Возникшая проблемная ситуация и мотивирует поиск нового способа действий.
В случае, если с последним примером справятся все обучающиеся, можно попросить их обосновать решение. Главное – дети должны заметить, что для решения данного примера используется другой вычислительный прием. Этот признак отличия они должны проговорить вслух: в первых четырех примерах требуется умножить двузначное число на однозначное, а в последнем примере – трехзначное на однозначное.
После этого цель урока может быть сформулирована следующим образом: установить, как умножается любое многозначное число на однозначное. Если последний пример выполнят все ученики, то цель урока мотивируется необходимостью обосновать правомерность используемого приема.
Этап «открытия» нового знания начинается с выбора метода рассуждений. Рассмотренная в начале урока задача о вычислении площадей прямоугольников должна помочь учащимся вспомнить, что алгоритм умножения двузначного числа на однозначное был установлен на основе правила умножения суммы на число (распределительного свойства умножения), и сориентироваться на это свойство.
В № 1, стр. 1 еще раз проговаривается формулировка правила умножения суммы на число и возможность его распространения на любое число слагаемых. Затем в № 2 (а), стр. 1 данное число 576 разбивается на удобные слагаемые 500 + 70 + 6 и на основе этого правила выполняются преобразования:
Очевидно, что такая запись является слишком громоздкой, неудобной, – это учащиеся скажут сразу. Тогда ставится задача найти более короткий способ записи по аналогии с умножением на двузначное число. Если самостоятельно ученики затруднятся это сделать, можно предложить им проанализировать слагаемые суммы по рисунку №2 (б), стр. 1. Дети должны заметить, что при вычислении суммы сначала подсчитывается число единиц, затем число десятков и число сотен (нули при сложении результата не изменяют). И поскольку все эти числа всегда являются двузначными (значения табличных произведений), то удобнее число единиц следующего разряда, которое «запоминается», писать вверху над соответствующим разрядом первого множителя, как при умножении двузначных чисел. Подвести учащихся к этому выводу можно следующей последовательностью вопросов:
1) Как получили слагаемые суммы? (6 единиц умножили на 9, потом 7 десятков умножили на 9, а потом 5 сотен умножили на 9.)
2) Всегда ли во втором слагаемом на конце будет нуль? Почему? (Всегда, так как считаем число десятков.)
3) Всегда ли в третьем слагаемом на конце 2 нуля? Почему? (Всегда, так как считаем число сотен.)
4) Почему во втором столбике нули зачеркнуты? (Они не изменяют значение суммы.)
5) Может ли число единиц, десятков или сотен «заходить» не на один следующий разряд, а на 2 или 3 разряда? (Нет, перемножаем однозначные числа, поэтому в произведении не может быть больше двух знаков.)
6) Сравните запись умножения во втором и третьем столбике – какая из записей удобнее? (В третьем столбике.)
7) Догадайтесь, как она получается из предыдущей? (Сначала умножаем единицы: 6 · 9 = 54, 4 единицы пишем, а 5 десятков запоминаем – записываем над числом десятков первого множителя. Потом умножаем десятки: 7 · 9 = 63, 63 + 5 = 68, 8 десятков пишем, а 6 сотен запоминаем. А потом умножаем сотни: 5 · 9 = 45, 45 + 6 = 51, записываем 51 сотню. – «Открытие».)
Пишу: множитель 9 под разрядом единиц множителя 576.
Умножаю единицы: 6 · 9 = 54 ед., пишу 4 в разряде единиц,
а 5 д. запоминаю.
Умножаю десятки: 7 · 9 = 63 д., 63 + 5 = 68 д., пишу 8 в разряде
десятков, а 6 с. запоминаю.
Умножаю сотни: 5 · 9 = 45 с., 45 + 6 = 51 с., пишу 1 в разряде
сотен, а 5 – в разряде тысяч.
Ответ: 5184.
В завершение учитель спрашивает у детей, изменятся ли рассуждения при умножении на однозначное число четырехзначного, пятизначного, шестизначного и т. д. числа. Как правило, дети легко распространяют полученный вывод на любое многозначное число. Тогда в тетради в клетку надо записать, решить и прокомментировать (с возможной помощью учителя) более сложный случай умножения, например, 5 · 20 156. Внимание детей обращается на порядок множителей и на то, что в данном случае также удобно писать однозначный множитель под разрядом единиц многозначного множителя.
Если у учащихся все же возникнет сомнение в правомерности распространения полученного вывода на случай умножения любого многозначного числа на однозначное, то можно рассмотреть аналогичным образом умножение четырехзначного числа на однозначное или предложить учащимся сделать это дома самостоятельно.
Примеры для этапа первичного закрепления подбираются в зависимости от уровня подготовленности класса. Можно, например, решить с подробным комментированием в громкой речи № 3 (а), стр. 1, а для этапа самоконтроля использовать № 3 (б), стр. 1. После выполнения самостоятельной работы ученики сопоставляют свое решение с образцом, предъявленным учителем, и убеждаются в том, что новый вычислительный прием ими освоен. Напомним, что при изучении нового материала первостепенное значение имеет создание ситуации успеха для каждого ребенка. Возможные ошибки должны здесь же исправляться, а материалы дорабатываться индивидуально, пока остальные учащиеся класса решают задачи на повторение.
На этапе повторения новое знание включается в систему знаний, а также решаются задания, обеспечивающие непрерывность развития содержательно‑методических линий курса. Так, на рассматриваемом уроке умножение многозначного числа на однозначное встречается при решении текстовых задач № 4–5, стр. 2, в уравнении № 6, стр. 2 и при работе с буквенными выражениями в № 7, стр. 2. Далее в задании № 8, стр. 2 повторяется правило порядка действий в выражениях и отрабатываются вычислительные навыки. В № 9, стр. 2 повторяются действия с многозначными числами, в № 10–11, стр. 2 – понятия равенства и пересечения множеств, которые связываются с рисованием геометрических фигур и перебором вариантов, а в № 12, стр. 2 предлагается логическая задача. Учитель на уроке введения нового знания выбирает для оставшихся 5–10 минут урока из этих заданий те, в которых учащиеся его класса испытывают больше затруднений.
Сделать этот выбор более осознанным и обоснованным позволяют «Электронные приложения к учебникам».
С другой стороны, методическим приемом, который позволяет существенно увеличить число решенных в классе примеров без перегрузки детей, является решение задач по выбору учащихся. Так, например, на данном уроке учитель может предложить учащимся на этапе повторения решить по выбору одно из заданий № 5–9, стр. 2. Учащиеся в течение 3–4 минут решают по одному выбранному ими заданию, а затем проговаривают их решение в течение следующих 5 минут. Таким образом, все задания воспроизведены в памяти детей, т. е. цель повторения достигнута. При этом в классе создается атмосфера психологической комфортности, так как каждый ребенок решает задание, которое он выбрал сам, а значит, то, которое ему больше понравилось. Задачи по выбору можно предлагать и для домашней работы.
При подведении итога урока учитель обсуждает с учениками вопросы:
– Что нового узнали? (Научились умножать любое многозначное число на однозначное.)
– Какое математическое свойство для этого использовали? (Распределительное свойство умножения.)
– Кто уже чувствует себя уверенно в решении новых примеров?
– Что повторили? Что больше всего понравилось?
– Кто сегодня нам помогал на уроке?
– Как оцениваете свою работу?
Для домашней работы можно предложить учащимся придумать и решить свой пример на умножение многозначного числа на однозначное, решить задачу № 4, стр. 2 и по желанию – одно из заданий № 10–12, стр. 2. Таким образом, обязательное задание не займет у обучающихся больше 10–15 мин самостоятельной работы. При таком подходе исключена перегрузка детей, каждому из них обеспечивается возможность успешного усвоения необходимого минимума, и в то же время каждому предоставляется возможность обучения на высоком уровне за счет активного включения в деятельность на уроке и решения дополнительных развивающих заданий.
На уроках 7–8 рассматриваются более сложные случаи умножения многозначного числа на однозначное и случаи умножения круглых чисел, сводящиеся к ним. Так, в № 1, стр. 6 учащиеся распространяют на множество многозначных чисел изученное ранее правило: чтобы умножить круглые числа, надо выполнить умножение, не глядя на нули, а потом к полученному произведению приписать столько нулей, сколько в обоих множителях вместе. На основании этого правила при записи умножения круглых чисел в столбик для удобства вычислений нули мысленно отбрасываются и полученное однозначное число записывается в разряде единиц многозначного множителя:
На последующих уроках умножение многозначного числа на однозначное отрабатывается в основном в процессе выполнения проверки примеров на деление.
На уроке 8 рассматривается новый тип задач – задачи на нахождение величин по их сумме и разности. На основе предметных действий с моделями полосками ученики догадываются, что при вычитании из суммы двух чисел их разности получается удвоенное меньшее число, а при сложении суммы и разности – удвоенное большее число. Поэтому решить задачу, например, № 1, стр. 8 можно двумя способами:
Для этапа первичного закрепления предназначены задания № 3–4, стр. 8–9, а для этапа самостоятельной работы с самопроверкой в классе – № 2, стр. 8. Дома можно предложить им придумать и решить свои задачи на нахождение величин по их сумме и разности.
На всех данных и последующих уроках особое внимание уделяется комментированию решения уравнений по компонентам действий (№ 6, стр. 2; № 6, стр. 4; № 6, стр. 9; № 7, стр. 18; № 5, стр. 20; № 4, стр. 25 и т. д.). Это связано с подготовкой детей к изучению темы «Уравнения» на уроке 27 данной части учебника. К этому времени обучающиеся должны не только уметь на автоматизированном уровне верно находить неизвестные компоненты действий, но и комментировать решение по образцу, приведенному на стр. 77 учебника.
На уроках 9 – 12 формируется умение делить многозначные числа на однозначные и делить круглые числа, сводящиеся к делению на однозначное число, умение делать проверку деления умножением, а также повторяются и закрепляются нумерация, сложение и вычитание многозначных чисел, умножение многозначного числа на однозначное, решение текстовых задач. Учащиеся решают уравнения с комментированием по компонентам действий, повторяют понятие периметра треугольника, понятие числового луча, действия с единицами длины и массы, читают и записывают выражения.
При изучении внетабличного деления в пределах 100 учащиеся знакомились с правилом деления суммы на число. Сейчас это правило используется для построения алгоритма деления многозначного числа на однозначное. В итоге обсуждения учащиеся должны выявить и осмыслить основную идею, основной принцип деления многозначных чисел: сначала делится более крупная счетная единица, затем остаток дробится и делится следующая по величине счетная единица и так далее до конца. Новый материал вводится в обучение деятельностным методом.
На уроке 9 на этапе актуализации знаний с учащимися нужно вспомнить взаимосвязь между умножением и делением (a : b = c ⇔ b · c = a, b 0), алгоритм деления с остатком и правило деления суммы на число, распространив его, как и в предыдущем случае, на сумму трех и более слагаемых.
На этапе постановки проблемы детям можно предложить в течение 2–3 минут в тетрадях в клетку самостоятельно решить примеры «по частям», т. е. используя правило деления суммы на число, и выявить в них закономерности:
Учащиеся могут заметить, что:
1) все примеры – на деление;
2) делимое увеличивается, а делитель не изменяется;
3) с увеличением делимого частное увеличивается;
4) если делимое увеличивается в 10 раз, то и частное увеличивается в 10 раз.
При решении последнего примера обычно возникает затруднение, которое мотивирует поиск нового способа действий (если и последний пример выполнят все ученики, можно попросить их найти лишний пример).
Далее учитель подводит учащихся к выявлению существенного для данного урока признака отличия последнего примера от предыдущих: первые четыре примера сводятся к делению двузначного числа на однозначное, а в последнем примере – деление трехзначного числа на однозначное. Этот признак отличия учащиеся должны проговорить вслух.
Таким образом, ставится цель урока – установить, как делится многозначное число на однозначное. (Если затруднений в решении последнего примера у обучающихся не возникнет, слово установить заменяется словом обосновать – ведь подобные примеры в классе ранее не рассматривались.)
На этапе «открытия» нового знания детям вначале предоставляется возможность выбрать метод рассуждений. Задания, рассмотренные в начале урока, должны сориентировать их на выбор правила деления суммы на число, распространенного на случай нескольких слагаемых. Для подбора слагаемых для вычисления частного 536 : 4 можно использовать графическую модель. Учитель рисует ее на доске, а учащиеся – в тетради:
Рассматривая ее, ученики должны догадаться, что для нахождения частного вначале надо разделить сотни (коробки), затем оставшуюся сотню перевести в десятки и делить все имеющиеся десятки (пачки) и, наконец, оставшийся десяток раздробить в единицы (штуки) и делить единицы. В менее подготовленных классах поиск решения целесообразно сопровождать не только графическим моделированием, но и предметным – работой с конкретными коробками, пачками и единицами предметов.
Получившиеся группы обводятся овалами – это «удобные слагаемые»:
Из приведенных рассуждений следует, что каждый получил 1 сотню, 3 десятка и 4 штуки, или 134 штуки предметов. На математическом языке проведенные рассуждения можно записать так:
536 : 4 = (400 + 120 + 16) : 4 = 400 : 4 + 120 : 4 + 16 : 4 = 100 + 30 + 4 = 134.
Эта цепочка преобразований записывается в тетрадь, и еще раз проговаривается полученный вывод: чтобы разделить многозначное число на однозначное, можно делимое разбить на сумму «удобных» слагаемых и делить «по частям», то есть по правилу деления суммы на число.
Применение этого способа действий весьма ограничено, но проведенные рассуждения помогут учащимся в дальнейшем осмыслить общий принцип деления многозначных чисел. Для перехода к делению углом надо показать им неудобство построенного способа действий, предложив, например, найти частное 11 768 : 4.
Понятно, что попытки найти «удобные» слагаемые вряд ли закончатся успехом, и тогда можно попросить детей еще раз вернуться к рисунку:
– Рассмотрите, с каких единиц мы начинали деление – с мелких или с крупных? (С крупных.)
– Конечно, ведь удобнее сначала раздать более крупные счетные единицы – коробки. Но вот у нас 1 коробка осталась, что нам пришлось сделать? (Достать пачки и делить уже пачки.)
– Правильно, нам пришлось раздробить сотни в десятки. А когда и десятки у нас закончились, что мы сделали? (Стали делить единицы.)
– Кто теперь догадается, как можно делить любое многозначное число, не подбирая слагаемые? (Делить сначала самые крупные счетные единицы, затем остаток дробить и делить более мелкие единицы.)
На доске в процессе беседы учитель кратко записывает суть выполняемых преобразований:
1) 5 с. : 4 = 1 с. (ост. 1 с.)
2) 13 д. : 4 = 3 д. (ост. 1 д.)
3) 16 ед. : 4 = 4 ед. Итак, 536 : 4 = 134.
Аналогично записывается решение примера 11 768 : 4, предложенного учителем:
1) 11 т. : 4 = 2 т. (ост. 3 т.)
2) 37 с. : 4 = 9 с. (ост. 1 с.)
3) 16 д. : 4 = 4 д.
4) 8 ед. : 4 = 2 ед. Итак, 11 768 : 4 = 2942.
Таким образом, поставленная проблема решена: найден общий способ деления многозначного числа на однозначное. Он заключается в делении с остатком возможно более крупных счетных единиц и последовательном переходе к делению более мелких счетных единиц. Однако остается проблема записи деления. На вопрос учителя: «Удобная ли запись деления?» – ответ всегда одинаковый: неудобная, громоздкая. Тогда можно предложить учащимся попробовать придумать свою запись, более короткую и удобную. Для этой цели лучше использовать первый пример – 536 : 4.
Только после того как дети предложат свои версии, следует показать им «свернутый» способ записи приведенных рассуждений – уголком, и прокомментировать его:
Проверку деления удобно делать умножением на основании взаимосвязи:
Так, для проверки выполненного деления можно число 2942 умножить на 4.
Учитель обращает внимание учащихся на то, что при комментировании примеров надо вначале указать первое неполное делимое, потом определить число цифр в частном, а затем рассказать, как находятся цифры в каждом разряде частного. При этом надо постоянно помнить о том, что на каждом шаге мы фактически выполняем деление с остатком, и поэтому получаемые остатки должны быть меньше делителя. Проверку решения удобно делать умножением.
Алгоритм письменного деления фиксируется с помощью блок-схемы:
Проблема разрешена.
Для проведения этапа первичного закрепления можно использовать задания № 3–6, стр. 11–12, которые решаются с проговариванием в громкой речи. В № 3 учащиеся находят частное всеми тремя рассмотренными способами. В № 4 внимание детей еще раз фиксируется на том, что остаток от деления всегда должен быть меньше делителя, проговариваются основные этапы деления многозначного числа на однозначное, выделенные в рамке на стр. 11. Примеры № 5–6 записываются в тетради в клетку и решаются по выбору. Здесь возможно комментирование в паре, в группе, создание игровых ситуаций. Достаточно, если каждый ребенок решит 2–3 примера. Параллельно проговаривается способ проверки деления умножением, зависимость между компонентами деления.
Задание № 2, стр. 10 целесообразно использовать на этапе самостоятельной работы с самопроверкой в классе. Оно менее сложное, чем примеры, решенные на предыдущем этапе урока, и содержит наглядную опору, которая поможет обучающимся лучше представить каждый этап деления.
На этапе повторения по выбору можно решить задания № 7 (а), стр. 12 и №9 (а), стр. 12.
При подведении итога урока обсуждаются вопросы:
– Что нового узнали? (Научились делить многозначное число на однозначное, записывать деление «углом».)
– Какой прием используется для устного деления? (Деление «по частям».)
– С каких единиц начинаем письменное деление? (С самых крупных.) А потом? (Делим по очереди более мелкие единицы.)
– Кто сегодня нам хорошо помогал?
– Кто доволен своей работой?
– Что повторили? Что больше всего понравилось?
В домашней работе можно предложить учащимся самостоятельно составить и решить пример на деление трехзначного числа на однозначное, построить его графическую модель и выполнить деление тремя способами по аналогии с тем, как это сделано в учебнике. Кроме того, решить по собственному выбору одно из заданий № 7 (б), 9 (б), стр. 12. В качестве дополнительного задания, которое выполняется по желанию, – одно из заданий №8, 10, стр. 12.
На последующих уроках рассматриваются более сложные случаи деления: делимое содержит большее число цифр (урок 10), в частном получаются нули в середине и на конце (уроки 11–13).
Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.
(А. Франц)
Желаем Вам удачи и творческих успехов!
Мы вместе, значит, у нас все получится!
| 1. |
Умножение круглых чисел устно (делимое — двузначное и трёхзначное число)
Сложность: лёгкое |
2 |
| 2. |
Умножение трёхзначного числа с записью промежуточных результатов (1)
Сложность: лёгкое |
2 |
| 3. |
Умножение трёхзначного числа с записью промежуточных результатов
Сложность: лёгкое |
2 |
| 4. |
Деление на однозначное число устно (двузначное и трёхзначное делимое)
Сложность: лёгкое |
2 |
| 5. |
Деление трёхзначного числа с записью промежуточных результатов
Сложность: лёгкое |
2 |
| 6. |
Деление трёхзначного числа на однозначное устно
Сложность: лёгкое |
1 |
| 7. |
Умножение столбиком
Сложность: среднее |
2 |
| 8. |
Деление трёхзначного числа на 6 в столбик
Сложность: среднее |
1 |
| 9. |
Деление трёхзначного числа на однозначное в столбик
Сложность: среднее |
2 |
| 10. |
Деление с остатком
Сложность: среднее |
2 |
| 11. |
Значение буквенного выражения
Сложность: среднее |
2 |
| 12. |
Текстовая задача (открытки)
Сложность: среднее |
3 |
| 13. |
Текстовая задача (ручки)
Сложность: среднее |
2 |
| 14. |
Текстовая задача
Сложность: среднее |
3 |
| 15. |
Текстовая задача (машинки)
Сложность: среднее |
4 |
| 16. |
Таблица (умножение и деление)
Сложность: среднее |
6 |
| 17. |
Значение выражения (умножение, деление и вычитание)
Сложность: среднее |
4 |
| 18. |
Вычисление значения выражения устно
Сложность: среднее |
2 |
| 19. |
Значение выражения (деление и сложение)
Сложность: среднее |
2 |
| 20. |
Значение выражения (деление, умножение и сложение)
Сложность: среднее |
3 |
| 21. |
Сравнение выражений
Сложность: сложное |
3 |
| 22. |
Составление и решение уравнения
Сложность: сложное |
3 |
| 23. |
Пропущенные скобки
Сложность: сложное |
1 |
| 24. |
Сравнение уравнений
Сложность: сложное |
5 |
Конспект урока по математике «Умножение многозначных чисел в столбик» 3 класс
Конспект проблемно – эвристического урока по математике
(ФГОС)
учителя МБОУСОШ№4 города Торжка Тверской области
Еремеевой Любови Викторовны
Математика , 3 класс, автор учебника А.Л.Чекин. УМК «Перспективная начальная школа»
Тема урока: « Умножение многозначных чисел в столбик»
Тип урока: «Открытие новых знаний»
Задачи урока:
– учить записывать умножение многозначного числа на однозначное в столбик;
— совершенствовать вычислительные навыки;
– развивать внимания и логическое мышление.
Методы обучения: продуктивный
Формы организации познавательной деятельности учащихся:
-индивидуальная , фронтальная, работа в парах.
Средства обучения: учебник для 3 класса автор А.Л.Чекин, презентация, карточки результативности, карточки для работы в парах.
Ход урока.
Самоопределение к деятельности ( орг. момент)
— Давайте, ребята, учиться считать
Делить, умножать, прибавлять, вычитать,
Запомните все, что без точного счета
Не сдвинется с места любая работа. ( Слайд 1)
— Посмотрите, у каждого из вас на парте лежит карта результативности урока. (дети самостоятельно оценивают каждый этап, для подведения итога урока)
— Вспомните, какую тему мы изучали(« Умножение многозначных чисел в строчку»
-Были ли у вас затруднения? ( ответы детей)
— Для чего нужно знать, есть ли затруднения? ( чтобы их преодолеть)
— Какова же цель нашей работы? ( проверить остались ли затруднения и справиться с ними) ( Слайд 2)
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
— Итак, начнём урок со счёта.
А) Решите задачу: Мышка зёрна собирала,
По два зёрнышка таскала,
Принесла уж девять раз,
Каков мышкин стал запас? ( 2х9=18)
Б) Повторение таблицы умножения по тренажёру.
В) — Запишите число, классная работа. Я называю вам число, а вы его записываете.
Сто двадцать три, двести шестьдесят восемь, пять тысяч сто одиннадцать, девять тысяч семьдесят два.( проверьте свои результаты по эталону) Слайд 3. ( оцените в своих листах результативности свою деятельность на этом этапе)
— Как вы думаете, повторяя таблицу умножения, запись многозначных чисел, что я могу предположить?( предположения детей по теме урока)
3. Создание проблемы в деятельности обучающихся.
— У вас на столе лежат карточки с примерами. Поработайте в парах.
-Запишите примеры в строчку и выполните вычисления.
( 9х8, 16х5, 124х6, 456х9, 1356х7)
-Почему вы так быстро перестали работать????( многие выполнили только по два примера)
— У вас возникли трудности? Почему? ( сложно в строчку умножить трёхзначное и четырёхзначное число)
— Тогда давайте подумаем как нам быть?9 конечно, выполнить вычисление в столбик!!!!!) ( оцените себя на данном этапе урока)
— Определите тему сегодняшнего урока. Слайд 4
— Чему сегодня на уроке мы можем научиться?? Где мы можем применить добытые знания??
-Давайте вернёмся к примерам 456х9 и 1356х7 и составим алгоритм решения данных примеров.
— Отличается ли он от предыдущего алгоритма?? Слайд 5.
4. Самостоятельная работа учащихся с взаимопроверкой по эталону.
—Решение типовых заданий на новый способ действия .
С. 82, № 269 ( используется детьми помощь детей-консультантов)
— Решение задачи №271 ( один ребёнок у доски)
( оцените в карте результативности себя)
5. Рефлексия
-Какую цель мы преследовали на уроке? ЦЕЛЬ-УДАЛОСЬ УЗНАТЬ
-Достигли ли мы этой цели? РЕЗУЛЬТАТ- Я УЗНАЛ СЛАЙД 6
— Обратитесь к слайду и расскажите об уроке:
— Возьмите в руки свои карты результативности урока. Кто думает, что может поставить себе «5»? «4»?
6. Домашнее задание
Группа 1- выполняет №272, а группа 2- попытается выполнить №»273.
Я довольна уроком. Всем спасибо! Поаплодируйте себе! Слайд 7.
Умножение на однозначное число в столбик
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Умножение
- Умножение на однозначное число в столбик
А теперь научимся умножать трёхзначные и двузначные числа на однозначное число в столбик.
Запоминаю порядок:
Умножение двузначного числа
Например, 42 • 2 = ?
| × | 4 | 2 | |
| 2 | |||
| 8 | 4 |
Сначала умножаем единицы: 2 • 2 = 4 и записываем под единицами.
Потом умножаем десятки: 4 • 2 = 8 и записываем под десятками.
Получили 8 десятков и 4 единицы — 84.
Рассмотри алгоритм умножения двузначного числа на однозначное число:
Умножение трёхзначного числа
Например, 174 • 3 = ?
| × | 1 | 7 | 4 | |
| 3 | ||||
| 5 | 2 | 2 |
Рассмотри алгоритм умножения трёхзначного числа на однозначное число:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Табличное умножение
Внетабличное умножение
Умножение суммы на число
Умножение на числа, оканчивающиеся нулями
Свойства умножения
Умножение
Правило встречается в следующих упражнениях:
3 класс
Страница 100, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 63, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 64, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 65, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 66, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 67, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 76, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
4 класс
Страница 10, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 14, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 15, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 38, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 8, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
5 класс
Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 40, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 42, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
© budu5.com, 2021
Пользовательское соглашение
Copyright
забавных способов научить учеников 3-го класса умножению — математический блог для дифференциации
Узнайте, как лучше всего научить 3-х классников умножению, чтобы они достигли глубокого понимания.
3-й класс — классный год, в течение которого дети должны освоить умножение! Но пока не бери свои таблицы умножения. Необходимо заложить большой фундамент, чтобы учащиеся хорошо понимали эту концепцию.
Итак, как можно научить 3-х классников умножению?
Как научить учеников 3-го класса умножению: основные понятия
Во многих случаях учащиеся приносят сильный опыт умножения со второго класса. В любом случае важно повторить некоторые базовые концепции, чтобы убедиться, что все учащиеся готовы глубоко погрузиться в умножение.
Вот несколько концепций, которые нельзя пропустить в своем блоке умножения для 3-го класса:
1.Что такое умножение? Студенты должны точно знать, что означает умножение. Итак, рассмотрите идею о том, что умножение — это повторное сложение. Другими словами, добавляются несколько групп равных сумм, например, в этом примере:
https://happynumbers.com/demo/cards/302892?mode=preview
2. Переходите от конкретного к абстрактному При первом введении умножения предоставьте детям множество манипуляторов. Это поможет детям лучше понять концепцию.Затем постепенно вы можете перейти к визуальному представлению. Наконец, студенты будут готовы работать только с числами.
Также полезно начать с реальных ситуаций. Например:
У Джули 4 коробки яиц. В каждой упаковке по 3 яйца. Сколько там яиц?
Эти реальные проблемы детям легче изобразить с помощью манипуляторов или рисунков, потому что каждая деталь подробно описана. Им намного легче следовать по сравнению с абстрактными задачами умножения, такими как 4 x 3.
В конце концов, когда дети привыкнут к реальным проблемам, они подключатся к умножению. Используя приведенный выше пример, вы можете начать объяснять так: «У меня 4 группы яиц. В каждой группе по 3 яйца. Это как 4 x 3. У меня 3 яйца, четыре раза. Это умножение! »
Вы можете побудить детей выражать каждую задачу в виде повторяющейся задачи сложения и умножения, например:
https://happynumbers.com/demo/cards/302894?mode=preview
3.Использование массивов Один из полезных способов представления проблем — использование массивов. Это организационные инструменты, использующие столбцы и строки. Используя массивы, дети могут решать задачи умножения. Студенты могут делать это на сетке или просто на своем столе, используя бусинки, кубики, крышки от бутылок, скрепки или другие предметы.
Демонстрационные карты PIC «Постройте прямоугольник из 3 столбцов по 4 квадрата»
Например, в приведенной выше задаче ученик должен организовать квадраты справа в массив из 3 столбцов по 4 квадрата в каждом.
4. Подсчет пропусков Другой способ думать об умножении — это подсчет пропусков. Если вы считаете по 5 секунд, вы называете расписание по 5 секунд. Учащиеся могут изучить метод подсчета пропусков, используя числовую линию. Однако есть много способов изучить подсчет пропусков, в том числе с помощью массивов и манипуляторов, например, в примере ниже:
https://happynumbers.com/demo/cards/302908?mode=preview
5. Факты умножения Теперь, когда ученики много практиковали конкретное умножение с использованием манипуляций и визуальных представлений, пора изучить факты умножения.Запоминание фактов умножения может улучшить способности детей выполнять в уме математические вычисления. Кроме того, позже факты умножения помогут учащимся понять деление, дроби и рационы. Знание фактов умножения также может помочь детям определить закономерности.
Дети могут начать запоминать более простые таблицы умножения, такие как 1-3. Некоторые учителя предпочитают преподавать таблицы умножения в другом порядке, например: 1, 2, 5.
В любом случае важно работать над запоминанием этих фактов медленно. Не торопитесь! Дайте детям время связать то, что они узнали о концепции умножения, с фактами, которые они запоминают.Постепенно добавляйте больше таблиц умножения к целям вашего ученика по умножению. Используйте различные игры и стратегии, чтобы поработать над изучением фактов умножения.
6. Изучите более сложное умножение Когда вы дойдете до умножения 10, не забудьте вернуться к идее 10. Например, проверьте эту задачу:
https://happynumbers.com/demo/cards/303069?mode=preview
В приведенном выше случае ответ будет 6 десятков или 60. Другой способ написать задачу — 2 x 30.Однако в любом случае дети должны легко понять проблему. Иногда, просто убрав «0» из 30 и назвав это число «3 десятки», проблема не будет слишком пугающей. Кроме того, важно закрепить понятие десятков, чтобы дети понимали десятичную систему. Обладая глубоким пониманием этой системы, дети могут гораздо быстрее манипулировать числами.
7. Решите для области После того, как учащиеся запомнят свои факты умножения, вы можете приступить к изучению других связанных тем, таких как решение для области.
https://happynumbers.com/demo/cards/303081?mode=preview
Как вы увидите в приведенной выше задаче, дети должны быстро уметь соотносить область с массивами, с которыми они уже работали.
В третьем классе это основные понятия, связанные с умножением. Однако помните, что делению нужно учить вместе с умножением. Это помогает детям понять, что все задачи умножения тоже можно превратить в деление. Например: 3 х 5 = 15.Итак, естественно, 15 ÷ 3 = 5 и 15 ÷ 5 = 3.
Забавные способы научить учеников 3-го класса умножению:
Ваш класс скулит, что умножение — это скучно? Верните жизнь и смех в свой класс с помощью некоторых из этих техник и стратегий, которые помогут сделать умножение интересным:
— Соотнесите это с реальной жизнью: Задачи со словами прекрасны, потому что они помогают детям представить, как математические концепции, которые они изучают в классе, будут им полезны в реальной жизни.Вы можете поставить ежедневную задачу со словами на доску или создать ее с реальными предметами, чтобы детям было интересно. Например, вы можете принести несколько пакетов с одинаковым количеством печенья в каждой.
Попросите детей использовать умножение, чтобы вычислить, сколько всего печенек! Тогда, конечно, дайте им печенье. Или сделайте то же самое, но с ластиками, карандашами или даже наклейками.
— Предложите детям написать свои собственные задачи умножения: Превратите своих учеников в учителей и попросите их придумать свои собственные задачи умножения.После того, как дети записали свои проблемы (а вы их рассмотрели), попросите детей поменяться проблемами с партнером. Затем ученики могут решать проблемы друг друга.
— Используйте манипуляторы: Весело, новые манипуляторы могут сделать умножение увлекательным! Попробуйте создать для детей новые или другие предметы. Например, из фетра можно вырезать пруды и уток. Затем дети могли размножать группы уток в прудах. Или вы можете создавать манипуляторы, которые соответствуют интересам вашего ученика.Если ваш класс любит покемонов или Майнкрафт, выберите одну из этих тем.
— Используйте диаграммы, чтобы показать свой прогресс: Предложите детям отслеживать свой прогресс в изучении своих таблиц умножения с помощью таблицы с наклейками. Для некоторых студентов это может стать отличным мотиватором. Если вы не хотите, чтобы ваши ученики слишком много соревновались, попробуйте индивидуальные таблицы вместо таблицы классов.
— Предложите ученикам озвучить свою таблицу умножения на 0–9 менее чем за 2 минуты: Возьмите большую стопку карточек и предложите детям быстро сказать свои факты! Как только все в классе достигнут цели составить свою таблицу умножения менее чем за 2 минуты, проведите вечеринку умножения класса!
Как научить учащихся, испытывающих трудности, умножению:
Некоторые студенты борются с умножением! Это может быть очень сложно.С такими учениками лучше всего проводить больше времени, выполняя конкретную работу по умножению. Другими словами, этим ученикам может потребоваться немного больше времени для использования манипуляторов. Использование словесных задач, в которых явно указано, сколько групп и сколько элементов в каждой группе лучше всего. Например:
Было 5 корзин яблок. В каждой корзине было по 3 яблока.
Затем медленно покажите студентам, как писать эти словесные задачи в виде предложений на умножение, в данном случае 5 x 3 = 15. В конце концов, предложите учащимся рисовать только картинки или использовать визуальные представления словесных задач.Затем попросите учащихся поработать только с числами (не со словами) и с манипуляторами или визуальными представлениями. Наконец, удалите визуальные опоры и работайте только с числами. Уловка состоит в том, чтобы уделять достаточно времени каждому этапу процесса. Не переходите к следующему шагу, пока ученик по-настоящему не усвоит текущий шаг. При необходимости вы всегда можете вернуться на шаг назад, чтобы попрактиковаться!
Как преподавать факты умножения:
Факты умножения могут быть полезны. Однако эти факты полезны только в том случае, если учащиеся точно понимают, что делает умножение.Итак, сосредоточьтесь на понимании концепции, прежде чем заставлять детей заучивать свои таблицы.
Затем вы можете использовать некоторые из этих забавных стратегий, чтобы попрактиковаться в умножении:
— Bottle Top Игра: В этой игре вы пишете задачи умножения на внутренней стороне крышки от бутылки. Напишите ответ на обратной стороне. Затем предложите детям поиграть в небольшой группе. Все крышки от бутылок должны быть на столе лицевой стороной вверх. Дети по очереди берут шапку. Если они скажут правильный ответ, они сохранят кепку.Выигрывает тот, кто наберет больше крышек!
— Рабочие листы: Рабочие листы не всегда гламурны, но они — хороший способ оценить, знают ли дети свои факты умножения. Сделайте это немного веселее, добавив секретный код, который они смогут разгадать после того, как решат все проблемы.
— Вокруг света: Это веселая классная игра. Используя карточки, дети соревнуются друг с другом, чтобы узнать, кто быстрее всех расскажет о фактах умножения. Один ученик начинает стоять за стулом другого ученика.Учитель показывает им карточку. Тот, кто первым ответит правильно, побеждает. Победитель продолжает и становится позади следующего ученического стула.
Умножение — важная концепция, которую нужно освоить в 3-м классе! Мы надеемся, что вам и вашим ученикам понравится каждая минута, потраченная на освоение умножения.
Не могли бы вы воспользоваться поддержкой? Happy Numbers включает в себя обширное умножение в нашей учебной программе для 3-го класса. Студенты продвигаются по каждой концепции в своем собственном темпе, чтобы понять умножение и усвоить факты.Ознакомьтесь с нашей программой для 3-го класса прямо сейчас!
Скалярный и матричное умножение (стр. 1 из 3) Есть два типа умножение для матриц: скалярное умножение и умножение матриц.Скалярное умножение — это просто. Вы просто набираете обычный номер (называется «скаляр») и умножьте его на каждую запись в матрице.
Сделать первый скаляр умножение, чтобы найти 2 А , Я просто умножаю 2 на каждую запись в матрице: Другое скалярное умножение, найти 1 A , работает аналогично: Итак, окончательный ответ: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены Скалярное умножение легкий.Однако умножение матриц — это совсем другая история. По факту, это королевская боль. Ваш текст, вероятно, дал вам сложную формулу для процесс, и эта формула, вероятно, не имела для вас никакого смысла. Это хорошо. Процесс грязный, и эта сложная формула — лучшее, что они может сделать объяснение в формальной обстановке, например, в учебнике. Вот как работает процесс:
Для расчета AB , Записываю А и B рядом друг с другом вот так: Теперь мне нужно умножить РЯД А КОЛОННАМИ Б .Под этим я подразумеваю, что сначала беру первый ряд A и первый столбец B , и я умножаю первые записи, затем вторые записи, а затем третьи записи, а затем я добавляю три продукта. Сумма одна запись в матрице продукта AB ; фактически, будучи произведением строки 1 и столбец 1, результатом является 1,1-запись из AB .Затем я продолжаю в том же духе. Например, сумма произведений из 2-го ряда из А и столбец 1 из В 2,1-запись из AB . Когда я умножаю матрицы, Я использую пальцы, чтобы следить за тем, что я делаю. Следующая анимация это моя попытка проиллюстрировать этот процесс. (Не смейтесь, я не художник!) (Итак, класс; что я сказать про смех?) Окончательный ответ: Как вы видели в приведенном выше примере, по общему правилу продукт i -й ряд А и j -й колонка Б это i , j -й запись матрицы продукта AB .Это общее правило по большей части представляет собой сложную формулу в ваш текст был о. Например, когда я, в в приведенном выше примере сначала умножили на ряд (из А ) и второй столбец (из Б ), это дало мне первая строка — второй столбец запись в матрице продукта AB . Верх | 1 | 2 | 3 | Вернуться к указателю Далее >>
|
Программа C ++ для умножения двух матриц с использованием многомерных массивов
Для умножения двух матриц количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.Эта программа отображает ошибку до тех пор, пока количество столбцов первой матрицы не станет равным количеству строк второй матрицы.
Пример: умножение двух матриц без использования функций
#include
используя пространство имен std;
int main ()
{
int a [10] [10], b [10] [10], mult [10] [10], r1, c1, r2, c2, i, j, k;
cout << "Введите строки и столбцы для первой матрицы:";
cin >> r1 >> c1;
cout << "Введите строки и столбцы для второй матрицы:";
cin >> r2 >> c2;
// Если столбец первой матрицы не равен строке второй матрицы,
// просим пользователя снова ввести размер матрицы.в то время как (c1! = r2)
{
cout << "Ошибка! столбец первой матрицы не равен строке второй.";
cout << "Введите строки и столбцы для первой матрицы:";
cin >> r1 >> c1;
cout << "Введите строки и столбцы для второй матрицы:";
cin >> r2 >> c2;
}
// Сохраняем элементы первой матрицы.
cout << endl << "Введите элементы матрицы 1:" << endl;
для (i = 0; i > a [i] [j];
}
// Сохраняем элементы второй матрицы.cout << endl << "Введите элементы матрицы 2:" << endl;
для (i = 0; i > b [i] [j];
}
// Инициализируем элементы матрицы mult до 0.
для (i = 0; i Выход
Введите строки и столбец для первой матрицы: 3 2 Введите строки и столбец для второй матрицы: 3 2 Ошибка! столбец первой матрицы не равен строке второй.Введите строки и столбец для первой матрицы: 2 3 Введите строки и столбец для второй матрицы: 3 2 Введите элементы матрицы 1: Введите элементы a11: 3 Введите элементы a12: -2 Введите элементы a13: 5 Введите элементы a21: 3 Введите элементы a22: 0 Введите элементы a23: 4 Введите элементы матрицы 2: Введите элементы b11: 2 Введите элементы b12: 3 Введите элементы b21: -9 Введите элементы b22: 0 Введите элементы b31: 0 Введите элементы b32: 4 Выходная матрица: 24 29 6 25
В этой программе пользователя сначала просят ввести размер двух матриц.
Столбец первой матрицы должен быть равен строке второй матрицы для умножения. Если это условие не выполняется, размер матрицы снова запрашивается с помощью цикла while.
Затем пользователя просят ввести две матрицы, и, наконец, рассчитывается и отображается результат двух матриц.
Поскольку программа длинная и ее трудно отлаживать, лучше решить эту программу, передав ее функции.
Посетите эту страницу, чтобы узнать об умножении матриц путем передачи массивов в функцию.
Таблицы умножения с реальными примерами
ПРОЧИТАЙТЕ, ЧТОБЫ ОТКРЫТЬ…
- «Почему» и «как», а не только «что» из того, как преподавать таблицы умножения
- Как научить умножению помимо простого теста по таблице умножения
- Как облегчить детям усвоение более сложных таблиц умножения
- Примеры из реальной жизни для использования в расписании обучения
Считывание за 6-8 минут…
«Многим детям кажется, что умножение - это всего лишь то, что вы делаете с числами на уроках математики в школе: оно никак не связано с реальным миром.’
Понимание математики для детей младшего возраста 5–9 лет , Дерек Хейлок
Что касается изучения математики, возможно, одна из немногих вещей, с которыми все согласны, - это важность знания фактов умножения.
Однако , зачем они нам нужны, и , как лучше всего их выучить, остаются горячими темами, обсуждаемыми на протяжении веков.
Наличие фактов умножения и знаний таблиц умножения в качестве ключевой части нашего внутреннего «математического инструментария» чрезвычайно важно, потому что мы постоянно используем их в повседневной жизни.
Национальная учебная программа по математике для основных этапов 1 и 2
К сожалению, для большинства детей (и для поколений до них) основная цель изучения этих `` таблиц умножения '' не сосредоточена на этом значимом и мотивирующем приложении, а вместо этого на заучивании каждого факта наизусть, чтобы пройти тест в классе, и часто на скорости. Что совсем не весело.
Неспособность запомнить и бегло вспомнить эти факты многие взрослые цитируют как свидетельство того, что они неудачники в математике, что приводит к такому образу мышления, который полностью отключает их изучение этого замечательного предмета.
Итак, давайте согласимся, что умножение фактов - жизненно важные навыки для успешного математика.
Однако вместо традиционных подходов с использованием механического обучения, которые заставляют детей успевать на значительно более низком уровне, чем те, которым учат с акцентом на «общую картину и связи» (Boaler, Mathematical Mindsets ), давайте посмотрим, как мы можем все они увлекают детей смыслом и применением, создавая сильные умственные связи и гибкость, работая с тем, как мы знаем, что мозг обучается лучше всего.
Умножение как концепция - знание «почему?» И «как?», А не просто «что?»
Наличие «концептуального понимания» означает, что мы знаем, почему и как что-то работает, а не только «как это делать».
Традиционно математика в Великобритании сосредоточена на процедурах и запоминании, что означает, что дети не участвуют в жизненно важных процессах, которые имеют место, что приводит как к плохой успеваемости, так и / или к недостаточной оценке фактической математики.
Итак, что мы подразумеваем под умножением? Ответ не так прост, как мы могли подумать.Здесь работают две основные структуры:
Умножение на повторное сложение
Группы одинакового размера добавляются многократно, например, 3 + 3 + 3 = 3 x 3 (кстати, многие дети скажут вам 3 x 3 = 6, когда увидят это в письменном виде, демонстрируя отсутствие концептуального понимания)
Умножение на масштаб
Значение масштабируется с помощью определенного коэффициента, например, «Гигант был в 4 раза выше меня», что означает «Если я ростом 1 метр, то 1 х 4 = 4 м, значит, рост гиганта должен быть 4 метра»
Обучаемые таблицы умножения - это первая из этих двух структур - «повторное сложение», но, как мы видим, это также знания, которые мы используем для решения задач, связанных с масштабированием.
Идеи и подходы к обучению умножению с актуальностью и пониманием
Следующие ниже задания призваны помочь учителям и родителям представить изучение таблиц умножения как значимое и увлекательное для всех детей. Человеческий мозг наиболее успешно изучает математические факты посредством связи и осмысленного применения.
Подсчет и умножение - наблюдение и создание равных групп
Умножение как группировка - это форма «быстрого» счета.Когда у нас есть три группы по три, мы можем посчитать объекты в единицах - 1, 2, 3, 4 и т. Д. - но зная, что в первой группе будет 3, что к концу второй группы у нас будет 6, и что к концу в конце третьей группы у нас будет 9, это означает, что нам нужно назвать только три числа (вместо девяти).
Этот «быстрый подсчет» имеет смысл только тогда, когда дети могут видеть и связывать происходящие процессы.
Всем детям нужен обширный опыт подсчета единиц и сравнения этого с тем, что происходит, когда мы говорим только общее количество групп, которые мы добавляем (в данном примере три группы по три), чтобы они видели, что такое таблицы умножения, и как они ускоряют нашу способность считать и рассчитывать.
Остерегайтесь подходов к обучению по таблице умножения типа «у Мэри был ягненок…»
Обучение детей составлению списка чисел может звучать так, как будто у них есть знания умножения: «Давайте посчитаем за двоек - 2, 4, 6, 8, 10…».
Но если мы рассмотрим это более внимательно, они часто начинают каждый раз с одного и того же места и, по сути, только что научились декламировать эквивалент детских стишков. Гибкое использование и применение этих знаний становится практически невозможным.
Таблица умножения- «научил» или «научился»?
Взрослый: «Какая столица Франции?»
Ребенок: «Париж!»
Взрослый: «Вау, да. Удивительно, что ты был таким быстрым. Расскажи мне о Париже и Франции ».
Ребенок: «Что такое« Париж и Франция »?»
Изучение нашей таблицы умножения с помощью человеческого тела
Ваше тело - фантастическая отправная точка для понимания и практики нашей таблицы умножения!
Подход к обучению, основанный на принципах "замечать и удивляться"
Начните это занятие с того, что попросите группу детей подойти и встать так, чтобы каждый мог их видеть.Что мы замечаем в равных группах частей тела? Что мы можем увидеть и описать? Есть несколько вещей.
Что приходит в 2s? Руки, ступни, ноги, глаза, уши?
Можем ли мы увидеть другие равные группы?
«Пальцы бывают группами по 10 и 5», или нет? А как насчет больших пальцев? Означает ли это, что пальцы делятся на группы по 8 и 4?
Сколько ушей у 2 детей? Или 5 детей?
Успешное изучение математики - это скорее процесс, чем цель.Чтобы гарантировать, что мы хвалим способность детей объяснять и доказывать свое понимание (а не быстро выявлять факты, которые они могут знать, но не понимать).
Подход «Конкретно-Живописно-Абстрактное» к таблицам умножения
Используйте взаимосвязанные кубики, чтобы изобразить группы «человеческого тела», которые замечают дети.
Ноги бывают группами по две, так что вот три группы ног - 2, 4, 6!
Поскольку наша система подсчета работает с базой 10, используйте группы чередующихся цветных взаимосвязанных кубиков, чтобы создать числовую линию и объяснить, что происходит с итогами, когда мы добавляем больше равных групп.
Здесь у нас есть три группы по два человека (представляющие нашу «историю ног»), и мы сравниваем их с группами по 10. Мы видим, что три группы по два человека на четыре меньше 10. Нам нужно еще две группы, чтобы сравняться. 10.
Задача умножения абстрактных символов
Теперь мы можем поговорить о том, что мы создали, и зафиксировать это сначала как язык, а затем как символы, чтобы представить наше понимание.
Итак, я вижу 2 + 2 + 2 = 6
Таблица умножения ног животных
Задумывались ли мы когда-нибудь об использовании животных для изучения нашей таблицы умножения? Подумайте только, сколько у животных разного количества ног - 2, 4, 6, 8, 10 - а у некоторых их так много, что их будет очень трудно сосчитать (а они не часто стоят на месте с таким количеством ног!).
Попросите детей исследовать, у каких животных определенное количество ног, и отсортируйте их соответственно.
Теперь создайте конкретные представления.
У собак четыре ноги, так что это могут быть четыре собаки! Ни львов, ни жирафов, ни муравьедов! 4, 8, 12, 16…
Теперь я могу сравнить четыре группы по четыре на моей числовой строке, состоящей из десятков. Я вижу, что четыре группы по четыре человека больше 10 и меньше 20. Есть место для еще одной группы, равной 20, поэтому пять четверок должны быть 20.
Свободное владение математикой - Работа с группами по 9 человек
Научиться считать в группах по 9 человек значительно сложнее, чем в группах по 10. Итак, как мы можем использовать наше понимание счета в группах по 10 человек, чтобы найти схему для счета по 9 секунд?
А как насчет 9 x 5?
Скважина 10 x 5 = 50. Но в каждой группе только 9, а не 10. Девять на 1 меньше 10, поэтому в каждой группе из 10. должно быть не хватает 1. Это пять единиц, или 5 x 1, что равно 5. Здесь ответ должен быть на 5 меньше 50, то есть 45!
Попробуйте этот трюк для работы с восьмерками.
Мы знаем, что 8 на 2 меньше, чем 10, поэтому создайте модель 8 x 5 и посмотрите, что вы заметите, когда увеличите число до 10 с помощью кубиков разного цвета, как мы это делали с моделью 9.
А как насчет других способов умножения на 9? 8 х 9.
Я знаю, что 8 x 10 = 80, и если у меня есть только 9 групп по 8, то на 8 меньше 80, что составляет 72!
Посмотрите, работает ли это с 14 x 9.
Возможно, начните с того, что вы знаете о 14 x 10, постройте модель и заставьте ее рассказывать историю, например: «У меня 9 сумок по 14 предметов в каждой.Сколько всего предметов? История помогает нам визуализировать проблему и увидеть, как представление о том, что у нас есть 10 мешков вместо 9, поможет нам в расчетах.
Другие способы упростить более сложные таблицы умножения, используя то, что мы уже знаем
Счет в группах по 7 человек
Представьте, мне интересно, сколько дней в 6 неделях. Это будет 7 дней x 6, поэтому мне понадобится моя таблица умножения на 7 или 6 (потому что 7 x 6 = 6 x 7).
Давайте построим его из кубиков. Мы будем использовать массив:
Вот 6 групп по 7.Я пока не умею считать по семеркам.
Используйте «Notice and Wonder»: что я могу увидеть в массивах? Могу ли я увидеть факты, которые мне уже известны или которые легче подсчитать?
А, теперь я вижу 5 и 2 внутри 7. Итак, я мог вычислить 5 x 5, а затем 2 x 5.
Массивные охоты
Равную группировку фактов умножения легче всего увидеть и понять, когда мы создаем массивы.
Мы уже использовали массивы в этой статье, создавая равные строки и столбцы кубов.
Массивы позволяют нам легко видеть факты умножения и разделять факты на части, чтобы мы могли видеть, что 6 x 4 можно вычислить как «двойная 6 плюс двойная 6» или «5 x 9» как »(5 x 10) - 5 '
Массивы в реальной жизни
Массивы существуют повсюду в реальной жизни, когда мы начинаем оглядываться вокруг. Они являются фантастической отправной точкой для выявления и описания фактов умножения (и, следовательно, деления).
Они также могут подсказать некоторые сложные вопросы более высокого уровня, такие как: «Если мы знаем площадь одной из этих потолочных плиток, как мы можем использовать ее для расчета площади всего потолка, и нужно ли нам считать каждую отдельную плитку»? ? '
Примеры массивов:
- Выдвижные ящики
- Ящики для яиц
- Старые окна
- Плитка потолочная
- Плитка напольная
- Забор проволочный
- Фотографии на стене
- Стулья в очереди на зал
- Марширующие солдаты
- Чашки для кофе для большой компании
- Мультиупаковка воды, йогурта, пирожных и т. Д.
- Кусочки шоколада в плитке
- Люди сидят в театре, на стадионе и т. Д.
- Узоры на ткани и оберточной бумаге
Чтобы узнать больше о Karen Wilding Education и ее услугах, отправляйтесь на karenwildingeducation.co.uk.
Автор основного изображения: Эльжбета Сековска / Shutterstock.com
4. Умножение матриц
Важно: Мы можем перемножать матрицы только в том случае, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй матрице.
Пример 1
a) Умножение матрицы 2 × 3 на матрицу 3 × 4 возможно, и это дает матрицу 2 × 4 в качестве ответа.
b) Допускается умножение матрицы 7 × 1 на матрицу 1 × 2; это дает матрицу 7 × 2
c) НЕЛЬЗЯ умножить матрицу 4 × 3 на матрицу 2 × 3.
Как умножить 2 матрицы
Сначала мы используем буквы, чтобы увидеть, что происходит. Позже мы увидим пример чисел.
В качестве примера возьмем обычную матрицу 2 × 3, умноженную на матрицу 3 × 2.
`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]`
Ответом будет матрица 2 × 2.
Умножаем и складываем элементы следующим образом. Мы обрабатываем по 1-й строке первой матрицы, поэлементно умножая на 1-го столбца второй матрицы. Складываем получившихся произведений . Наш ответ находится в позиции a 11 (вверху слева) матрицы ответов.
Мы проделываем аналогичный процесс для 1-й строки первой матрицы и 2-го столбца второй матрицы. Результат помещается в позицию a 12 .
Теперь перейдем к 2-й строке первой матрицы и 1-му столбцу второй матрицы. Результат помещается в позицию a 21 .
Наконец, мы делаем вторую строку первой матрицы и второй столбец второй матрицы. Результат помещается в позицию a 22 .
Итак, результат умножения наших двух матриц будет следующим:
`[(a, b, c), (d, e, f)] [(u, v), (w, x), (y, z)]` `= [(au + bw + cy, av + bx + cz), (du + ew + fy, dv + ex + fz)] `
Теперь давайте посмотрим на числовой пример.
Телефонные пользователи
ПРИМЕЧАНИЕ: Если вы разговариваете по телефону, вы можете прокрутить любые матрицы шириной на этой странице вправо или влево, чтобы увидеть все выражение.
Пример 2
Умножить:
`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`
Ответ
Это 2 × 3 умножить на 3 × 2, что даст нам 2 × 2 отвечать.
`((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`
`= ((0xx3 + -1xx1 + 2xx6,0xx-1 + -1xx2 + 2xx1), (4xx3 + 11xx1 + 2xx6,4xx -1 + 11xx2 + 2xx1))`
`= ((0-1 + 12,0-2 + 2), (12 + 11 + 12, -4 + 22 + 2))`
`= ((11,0), (35,20))`
Наш ответ - матрица 2 × 2.
Умножение матриц 2 × 2
Процесс одинаков для матрицы любого размера. Мы умножаем на строки первой матрицы и на столбца второй матрицы поэлементно. Затем мы добавляем продукты:
`((a, b), (c, d)) ((e, f), (g, h))` `= ((ae + bg, af + bh), (ce + dg, cf + dh )) `
В этом случае мы умножаем матрицу 2 × 2 на матрицу 2 × 2 и в результате получаем матрицу 2 × 2.
Пример 3
Умножить:
`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`
Ответ
`((8,9), (5, -1)) ((- 2,3), (4,0))`
`= ((8 xx -2 + 9xx4,8xx3 + 9xx0), (5xx-2 + -1xx4,5xx3 + -1xx0))`
`= ((-16 + 36,24 + 0), (- 10+ -4,15 + 0))`
`= ((20,24), (- 14,15))`
Матрицы и системы одновременных линейных уравнений
Теперь мы видим, как написать систему линейных уравнений, используя умножение матриц.
Пример 4
Система уравнений
−3 x + y = 1
6 x -3 y = −4
можно записать как:
Матрицы`((-3,1), (6, -3)) ((x), (y)) = ((1), (- 4))`
идеально подходят для компьютерного решения задач, потому что компьютеры легко образуют массивы . Мы можем опустить алгебраические символы. Компьютеру требуются только первая и последняя матрицы для решения системы, как мы увидим в разделе «Матрицы и линейные уравнения».
Примечание 1 - Обозначение
Care с записью умножением матриц на .
Следующие выражения имеют различных значений:
AB - умножение матриц
A × B - перекрестное произведение , которое возвращает вектор
A * B используется в компьютерной нотации, но не на бумаге
A • B точечное произведение , которое возвращает скаляр .
[Дополнительную информацию о векторных и скалярных величинах см. В главе «Вектор».]
Примечание 2 - Коммутативность матричного умножения
Есть ли `AB = BA`?
Посмотрим, правда ли это на примере.
Пример 5
Если
`A = ((0, -1,2), (4,11,2))`
и
`B = ((3, -1), (1,2), (6,1))`
найдите AB, и BA.
Ответ
Мы выполнили AB выше, и ответ был:
`AB = ((0, -1,2), (4,11,2)) ((3, -1), (1,2), (6,1))`
`= ((11,0), (35,20))`
Теперь BA - это (3 × 2) (2 × 3), что даст 3 × 3:
`BA = ((3, -1), (1,2), (6,1)) ((0, -1,2), (4,11,2))`
`= ((0-4, -3-11,6-2), (0 + 8, -1 + 22,2 + 4), (0 + 4, -6 + 11,12 + 2))`
`= ((-4, -14,4), (8,21,6), (4,5,14))`
Итак, в этом случае AB НЕ равно BA.
Фактически, для большинства матриц нельзя изменить порядок умножения и получить тот же результат.
В общем случае при умножении матриц закон коммутативности не выполняется, т.е. AB ≠ BA . Есть два распространенных исключения:
.- Идентификационная матрица: IA = AI = A .?
- инверсия матрицы: A -1 A = AA -1 = I.
В следующем разделе мы узнаем, как найти обратную матрицу.
Пример 6 - Умножение на идентификационную матрицу
Учитывая, что
`A = ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`
найдите AI .
Ответ
`AI = ((-3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5)) ((1,0,0), (0,1,0), (0 , 0,1)) `
`= ((- 3 + 0 + 0,0 + 1 + 0,0 + 0 + 6), (3 + 0 + 0,0 + -1 + 0,0 + 0 + 0), (4 + 0 + 0,0 + 2 + 0,0 + 0 + 5)) `
`= ((- 3,1,6), (3, -1,0), (4,2,5))`
`= A`
Мы видим, что умножение на единичную матрицу не меняет значения исходной матрицы.
То есть
AI = A
Упражнения
1. Если возможно, найдите BA и AB .
`A = ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`
`B = (4 \ \ -1 \ \ \ 5)`
Ответ
`BA = (4 \ \ -1 \ \ \ 5) ((- 2,1,7), (3, -1,0), (0,2, -1))`
`= (-8 + (- 3) +0 \ \ \ 4 + 1 + 10 \ \ \ 28 + 0 + (- 5))`
`= (- 11 \ \ 15 \ \ 23)`
AB невозможно.(3 × 3) × (1 × 3).
2. Определите, если B = A -1 , учитывая:
`A = ((3, -4), (5, -7))`
`B = ((7,4), (5,3))`
Ответ
Если B = A -1 , то AB = I.
`AB = ((3, -4), (5, -7)) ((7,4), (5,3))`
`= ((21-20,12-12), (35-35,20-21))`
`= ((1,0), (0, -1))`
`! = I`
Таким образом, B НЕ является обратной величиной A.2 + 0)) `
`= ((1,0), (0,1))`
`= I`
4. Оцените следующее умножение матриц, которое используется для управления движением роботизированного механизма.
`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `
Ответ
`((cos \ 60 °, -sin \ 60 °, 0), (sin \ 60 °, cos \ 60 °, 0), (0,0,1)) ((2), (4), ( 0)) `
`= ((2 (0,5) -4 (0,866) +0), (2 (0,866) +4 (0,5) +0), (0 + 0 + 0))`
`= ((- 2,464), (3,732), (0))`
Интерпретация этого заключается в том, что рука робота движется из позиция (2, 4, 0) в позицию (-2.46, 3.73, 0). То есть это перемещается в плоскости x-y , но его высота остается на уровне z = 0 . Матрица 3 × 3, содержащая sin и Значения cos говорят, на сколько градусов нужно переместиться.
Интерактивные элементы умножения матриц
Матрицы
Матрица - это массив чисел:
Матрица
(в ней 2 строки и 3 столбца)
Речь идет об одной матрице , или нескольких матрицах .
Мы можем многое с ними сделать ...
Добавление
Чтобы сложить две матрицы: сложите числа в соответствующих позициях:
Это расчеты:
| 3 + 4 = 7 | 8 + 0 = 8 |
| 4 + 1 = 5 | 6−9 = −3 |
Две матрицы должны быть одинакового размера, т.е. строки должны совпадать по размеру, а столбцы должны совпадать по размеру.
Пример: матрица с 3 строками и 5 столбцами может быть добавлена к другой матрице с 3 строками и с 5 столбцами .
Но его нельзя было добавить в матрицу с 3 строками и 4 столбцами (столбцы не совпадают по размеру)
отрицательный
Негатив матрицы тоже прост:
Это расчеты:
| - (2) = - 2 | - (- 4) = + 4 |
| - (7) = - 7 | - (10) = - 10 |
Вычитание
Чтобы вычесть две матрицы: вычтите числа в совпадающих позициях:
Это расчеты:
| 3-4 = -1 | 8−0 = 8 |
| 4−1 = 3 | 6 - (- 9) = 15 |
Примечание: вычитание фактически определяется как сложение отрицательной матрицы: A + (-B)
Умножить на константу
Мы можем умножить матрицу на константу (в данном случае значение 2) :
Это расчеты:
| 2 × 4 = 8 | 2 × 0 = 0 |
| 2 × 1 = 2 | 2 × −9 = −18 |
Мы называем константу скаляром , поэтому официально это называется «скалярное умножение».
Умножение на другую матрицу
Для умножить две матрицы вместе немного сложнее ... прочтите Умножение матриц, чтобы узнать, как.
Деление
А что с делением? Ну, мы не делим матрицы на , мы делаем это так:
A / B = A × (1 / B) = A × B -1
, где B -1 означает «инверсию» B.
Итак, мы не делим, вместо этого мы умножаем на обратное .
И есть особые способы найти обратное, подробнее см. Обратный к матрице.
Транспонирование
Чтобы «транспонировать» матрицу, поменяйте местами строки и столбцы.
Мы ставим букву "Т" в верхнем правом углу, чтобы обозначить транспонирование:
Обозначение
Матрица обычно обозначается заглавной буквой (например, A или B)
Каждая запись (или «элемент») обозначается строчной буквой с «нижним индексом» строки , столбец :
Строки и столбцыИтак, какая строка, а какая колонка?
Чтобы помнить, что строки идут перед столбцами, используйте слово "дуга" : a r, c |
Пример:
| В = |
Вот несколько примеров записей:
b 1,1 = 6 (запись в строке 1, столбце 1 - 6)
b 1,3 = 24 (запись в строке 1, столбце 3 - 24)
b 2,3 = 8 (запись в строке 2, столбце 3 - 8)
Метод решетки для умножения
Хотя решеточный метод умножения больше не используется в школе, его довольно легко понять.Я проиллюстрирую это двумя хорошими примерами. Внимательно изучите их и следуйте инструкциям в точности, как показано.
Пример № 1:
Умножение 42 и 35
Расположите 42 и 35 вокруг сетки 2 × 2, как показано ниже:
Нарисуйте диагонали маленьких квадратов, как показано ниже:
Умножьте 3 на 4, чтобы получить 12, и поместите 12 на пересечении первой строки и первого столбца, как показано ниже.
Обратите внимание, что 3 находится в первой строке, а 4 - в первом столбце.Вот почему ответ идет на перекрестке.
Таким же образом умножьте 5 и 2 и поместите ответ на пересечение второй строки и второго столбца.
И так далее ...
Затем, двигаясь справа налево, сложите числа по диагоналям, как показано стрелками.
На первой диагонали всего 0. Сбросьте ноль.
На второй диагонали 6, 1, 0. Сложите эти числа, чтобы получить 7, и опустите вниз.
И так далее ...
После того, как сетка завершена, то, что вы видите красным, - это ответ 1470.
Другой пример, показывающий, как работает метод решетки для умножения
Пример № 2:
Умножение 658 и 47
Расположите 657 и 47 по сетке 3 × 2, как показано ниже:
Нарисуйте диагонали маленьких квадратов, найдите продукты и поместите ответы в пересекающиеся строки и столбцы, как уже было показано:
Затем, двигаясь справа налево, сложите числа по диагоналям, как показано выше.
На первой диагонали всего 6. Проведите 6 вниз.
На второй диагонали 2, 5 и 5. Сложите эти числа, чтобы получить 12. Переместите 2 вниз и перенесите 1 на следующую диагональ.
На третьей диагонали 3, 0, 3 и 2. Сложите эти числа, чтобы получить 8, и прибавьте 1 (ваш перенос) к 8, чтобы получить 9.
и так далее ...
После того, как сетка завершена, то, что вы видите красным, является ответом на умножение, которое составляет 30926.
Я понимаю, что это может быть ваше первое знакомство с методом решетки для умножения.Может показаться, что это тяжело.