Решение

Подставить x на x ² + 6 в функции g (x) = 2x – 1
(g ∘ f) (x) = 2(x ^{2 2} + 6) – 1

Используйте распределительное свойство, чтобы удалить круглые скобки.
= 2x ²  + 12 – 1
= 2x ²  + 11

Пример 3

Учитывая f (x) = 2x + 3, найти (f ∘ f) (x).

Решение

(F ∘ F) (x) = F [F (x)]

= 2 (2x + 3) + 3

= 4x +

Пример 4

Найдите (g ∘ f) (x), учитывая, что f (x) = 2x + 3 и g (x) = –x

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x )]. 5
= –4x ²  – 12x – 9 + 5
= –4x ²  – 12x – 4

+ 4 и g (x) = x – 3

Решение

Сначала найдите значение f(g(x)).

⟹ f (g (x)) = 5(x – 3) + 4

= 5x – 15 + 4

= 5x – 11

Теперь подставим x в f(g(x)) на 6

⟹ 5(6) – 11

⟹ 30 – 11

= 19

Следовательно, f [g (6)] = 19

Пример 6

Найдите f [g (5)], учитывая, что f (x) = 4x + 3 и g (x) = x – 2. значение f[g(x)].

⟹ f(x) = 4x + 3

⟹ g(x) = x – 2

f[g(x)] = 4(x – 2) + 3

= 4x – 8 + 3

= 4x ​​– 5

Теперь оцените f [g (5)], заменив x в f[g(x)] на 5.

f [g (x)] = 4(5) – 5

= 15

Следовательно, f [g (5)] = 15,9Пример 7 ) = f [g(x)]

Замените x в f(x) = 8x² на (2x + 8)

⟹ (f ∘g) (x) = f [g(x)] = 8(2x + 8) ²

⟹ 8 [4x² + 8² + 2(2x) (8)]

⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]

⟹ 32x² + 512 + 256 x

x 0 03 + 1 256 32x²

Пример 8

Найти (g ∘ f) (x), если f(x) = 6 x² и g(x) = 14x + 4

Решение

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f(x)]

Подставить x в g(x) = 14x + 4 с 6 x²

⟹g [f(x)] =14 (6 x²) + 4

= 84 x² + 4

Пример 9

Рассчитайте (f ∘ g) (x), используя f(x) = 2x + 3 и g(x) = — x ² + 1,

Решение

(f ∘ g) (x) = f(g(x))
= 2 (g(x)) + 3
= 2(-x ² + 1) + 3
= – 2 x  ²  + 5

Пример 10

Учитывая f(x) = √ (x + 2) и g(x) = ln (1 – x  ² ), найдите область определения (g ∘ f) (x).

3.4: Композиция функций — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Комбинирование функций с помощью алгебраических операций.
• Создать новую функцию по композиции функций.
• Оценить составные функции.
• Найдите область определения составной функции.
• Разложить составную функцию на составные функции.

Предположим, мы хотим рассчитать, сколько стоит обогреть дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от среднесуточной температуры, а среднесуточная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году.

Используя описательные переменные, мы можем обозначить эти две функции. Функция \(C(T)\) дает стоимость \(C\) отопления дома при заданной среднесуточной температуре в \(T\) градусах Цельсия. Функция \(T(d)\) дает среднесуточную температуру в день d года. Для любого заданного дня \(Стоимость=C(T(d))\) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня года. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре \(T(d)\). Например, мы могли бы вычислить \(T(5)\) для определения средней дневной температуры на 5-й день года. Затем мы можем оценить стоимостная функция при этой температуре. Мы бы написали \(C(T(5))\).

Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой посвящен этот раздел.

Объединение функций с использованием алгебраических операций

Композиция функций — это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ — выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как результат нашей новой функции.

Предположим, нам нужно сложить два столбца чисел, представляющих отдельные годовые доходы мужа и жены за определенный период, и в результате получить их общий доход домохозяйства. Мы хотим сделать это для каждого года, добавив только доходы за этот год, а затем собрав все данные в новый столбец. Если \(w(y)\) — доход жены, а \(h(y)\) — доход мужа в году \(y\), и мы хотим, чтобы \(T\) представляло общий доход, то мы можно определить новую функцию.

\[T(y)=h(y)+w(y) \nonnumber\]

Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на отношении между функциями без привязки к году и написать

\[T=h+w \nonnumber\]

Так же, как для этой суммы двух функций , мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одни и те же входные данные (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходных данных (которые должны быть числами, чтобы можно было выполнять обычные алгебраические операции). 2−1 \nonumber\] 92\)

Нет, функции не те.

Создание функции путем составления функций

Выполнение алгебраических операций над функциями объединяет их в новую функцию, но мы также можем создавать функции путем составления функций. Когда мы хотели рассчитать стоимость отопления по дням в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных. Процесс объединения функций таким образом, что выходные данные одной функции становятся входными данными другой, известен как Состав функций . Полученная функция известна как составная функция . Мы представляем эту комбинацию следующими обозначениями:

\[f{\circ}g(x)=f(g(x))\]

Левую часть читаем как «\(f\), составленную из \(g\) в \(x\)», а правая часть как «\(f\) от \(g\) от \(x\)». Две части уравнения имеют одинаковые математические смысл и равны. Символ открытого круга \(\circ\) называется оператором композиции. Мы используем этот оператор главным образом, когда хотим подчеркнуть отношения между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению. Композиция — это бинарная операция, которая берет две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение берет два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, потому что, как мы узнали выше, в большинстве случаев \(f(g(x)){\neq}f(x)g(x)\).

Также важно понимать порядок операций при вычислении составной функции. Мы следуем обычному соглашению со скобками, начиная с самых внутренних скобок, а затем переходя к внешним. В приведенном выше уравнении функция \(g\) сначала принимает входные данные \(x\) и дает выходные данные \(g(x)\). Тогда функция \(f\) принимает \(g(x)\) в качестве входных данных и дает результат \(f(g(x))\).

В общем случае \(f{\circ}g\) и \(g{\circ}f\) — разные функции. Другими словами, во многих случаях \(f(g(x)){\neq}g(f(x))\) для всех \(x\). Мы также увидим, что иногда две функции могут быть составлены только в одном определенном порядке. 92+2 \end{align*}\]

Эти выражения не равны для всех значений x, поэтому две функции не равны. Неважно, что выражения совпадают для единственного входного значения \(x=−\frac{1}{2}\).

Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первой оцениваемой функции) должен находиться в пределах домена внешней функции. Менее формально, композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.

Композиция функций

Когда выход одной функции используется как вход другой, мы называем всю операцию композицией функций. Для любого входа \(x\) и функций \(f\) и \(g\) это действие определяет составная функция , которую мы записываем в виде \(f{\circ}g\) так, что

\[(f{\circ}g)(x)=f(g(x))\]

Область составной функции \(f{\circ}g\) — это все \(x\) такие, что \(x\) находится в области определения \(g\) и \(g(x)\) находится в домен \(f\).

Важно понимать, что произведение функций \(fg\) не совпадает с композицией функций \(f(g(x))\), потому что, вообще говоря, \(f(x)g( х) {\ neq} е (г (х)) \).

Пример \(\PageIndex{2}\): Определение коммутативности композиции функций

Используя предоставленные функции, найдите \(f(g(x))\) и \(g(f(x))\). Определить, является ли композиция функций коммутативной .

\[f(x)=2x+1 \;\;\;\; g(x)=3−x \nonumber\]

Решение

Начнем с подстановки \(g(x)\) в \(f(x)\).

\[\begin{align*} f(g(x))&= 2(3−x)+1 \\[4pt] &=6−2x+1 \\[4pt] &=7−2x \ end{align*}\]

Теперь мы можем заменить \(f(x)\) на \(g(x)\).

\[\begin{align*} g(f(x))&= 3−(2x+1) \\[4pt]&=3−2x−1 \\[4pt] &=2-2x \end {выравнивание*}\]

Получаем, что \(g(f(x)){\neq}f(g(x))\), поэтому операция композиции функций некоммутативна.

Пример \(\PageIndex{3}\): интерпретация составных функций )\) дает количество приседаний, которое человек может выполнить за \(t\) минут. Интерпретировать \(c(s(3))\).

Решение

Внутреннее выражение в композиции равно \(s(3)\). Поскольку входом для \(s\)-функции является время, \(t=3\) представляет 3 минуты, а \(s(3)\) — это количество приседаний, выполненных за 3 минуты.

Использование \(s(3)\) в качестве входных данных для функции \(c(s)\) дает нам количество калорий, сожженных во время количества приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто количество сожженных калорий за 3 минуты (при выполнении приседаний).

Пример \(\PageIndex{4}\): исследование порядка композиции функций

Предположим, что \(f(x)\) дает количество миль, которые можно проехать за \(x\) часов, а \(g(y) \) дает количество галлонов бензина, израсходованное на \(y\) миль. Какое из этих выражений имеет смысл: \(f(g(y))\) или \(g(f(x))\)?

Решение

Функция \(y=f(x)\) — это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству часов езды.

\[\text{количество миль } =f (\text{количество часов}) \nonumber\]

Функция \(g(y)\) — это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующих к количеству пройденных миль. Это означает:

\[\text{количество галлонов } =g(\text{количество миль}) \nonumber\]

Выражение \(g(y)\) принимает мили в качестве входных данных и число галлонов на выходе. Функция \(f(x)\) требует на входе количество часов. Попытка ввести количество галлонов не имеет смысла. Выражение \(f(g(y))\) бессмысленно.

Выражение \(f(x)\) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция \(g(y)\) требует количества миль в качестве входных данных. Использование \(f(x)\) (пройденных миль) в качестве входного значения для \(g(y)\), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение \(g(f(x))\) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, \(g\), проехав определенное количество миль, \(f(x)\), в \(х\) часов.

Вопрос/Ответ

Существуют ли какие-либо ситуации, когда \(f(g(y))\) и \(g(f(x))\) оба являются осмысленными или полезными выражениями?

Да. Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, хотя обычно они производят разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одинаковые единицы измерения, также могут давать композиции, которые имеют смысл в любом порядке

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Гравитационная сила на планете \) от солнца задается функцией \(G(r)\). Ускорение планеты под действием любой силы \(F\) определяется функцией \(a(F)\). Составьте осмысленную композицию из этих двух функций и объясните, что она означает.

Ответить

Гравитационная сила остается силой, поэтому \(a(G(r))\) имеет смысл как ускорение планеты на расстоянии \(r\) от Солнца (из-за силы тяжести), но \(G (a(F))\) не имеет смысла.

Вычисление составных функций

После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любых входных данных в ее области. Мы сделаем это с конкретными числовыми входными данными для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции в качестве ввода для внешней функции.

Вычисление составных функций с использованием таблиц

При работе с функциями, представленными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу. Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем выходные данные внутренней функции в качестве входных данных для внешней функции.

Пример \(\PageIndex{5}\): использование таблицы для вычисления составной функции

Использование таблицы \(\PageIndex{1}\), оценка \(f(g(3))\) и \( г(f(3))\).

Решение

Чтобы вычислить \(f(g(3))\), мы начинаем изнутри с входного значения 3. Затем мы оцениваем внутреннее выражение \(g(3)\), используя таблица, определяющая функцию \(g: g(3)=2\). Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции \(f\), так что \(g(3)\) заменяется на 2, и мы получаем \(f(2)\). Затем, используя таблицу, определяющую функцию \(f\), находим, что \(f(2)=8\).

\[g(3)=2 \не число\]

\[f(g(3))=f(2)=8 \nonumber\]

Чтобы вычислить \(g(f(3))\), мы сначала вычислим внутреннее выражение \(f(3) \), используя первую таблицу: \(f(3)=3\). Затем, используя таблицу для \(g\), мы можем оценить

\[g(f(3))=g(3)=2 \nonumber\]

Таблица \(\PageIndex{2}\) показывает составные функции \(f{\circ}g\) и \(g{\circ}f\) в виде таблиц.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используя таблицу \(\PageIndex{1}\), оцените \(f(g(1))\) и \(g(f(4)) \).

Ответить

\(f(g(1))=f(3)=3\) и \(g(f(4))=g(1)=3\)

Вычисление составных функций с помощью графиков

Когда отдельные функции представлены в виде графиков, процедура вычисления составных функций аналогична процессу, который мы используем для вычисления таблиц. Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз из осей x и y графиков.

Как …

Дана составная функция и графики ее отдельных функций, оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.

1. Найдите заданный вход во внутреннюю функцию на оси x ее графика.
2. Считать вывод внутренней функции с оси Y ее графика.
3. Найдите выход внутренней функции на оси X графика внешней функции.
4. Считайте выходные данные внешней функции по оси Y ее графика. Это результат составной функции.

Пример \(\PageIndex{6}\): использование графика для вычисления составной функции

Используя рисунок \(\PageIndex{3}\), оцените \(f(g(1))\).

Рисунок \(\PageIndex{3}\): Два графика положительной и отрицательной параболы.

Решение

Чтобы оценить \(f(g(1))\), мы начнем с внутренней оценки. См. рисунок \(\PageIndex{4}\).

Рисунок \(\PageIndex{4}\): Два графика положительной параболы \(g(x)\) и отрицательной параболы \(f(x)\). Наносятся следующие точки: \(g(1)=3\) и \(f(3)=6\).

Мы оцениваем \(g(1)\), используя график \(g(x)\), находя вход 1 на оси x и находя выходное значение графика на этом входе. Здесь \(g(1)=3\). Мы используем это значение в качестве входных данных для функции \(f\).

\[f(g(1))=f(3) \nonumber\]

Затем мы можем оценить составную функцию, взглянув на график \(f(x)\), найдя вход 3 на по оси x и чтение выходного значения графика на этом входе. Здесь \(f(3)=6\), поэтому \(f(g(1))=6\).

Анализ

На рисунке \(\PageIndex{5}\) показано, как мы можем отметить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения до выходного значения.

Рисунок \(\PageIndex{5}\): Два графика положительной и отрицательной параболы.

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Используя рисунок \(\PageIndex{3}\), оцените \(g(f(2))\).

Ответить

\(г(е(2))=г(5)=3\)

Вычисление составных функций с использованием формул

При вычислении составных функций, для которых мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри наружу остается тем же. Входное значение для внешней функции будет выходом внутренней функции, которое может быть числовым значением, именем переменной или более сложным выражением. 92−t\), мы подставляем значение в скобках в формулу везде, где мы видим входную переменную.

Как…

Дана формула сложной функции, вычислить функцию.

1. Оцените внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение или переменную.
2. Использовать полученный результат в качестве входных данных для внешней функции.

Пример \(\PageIndex{7}\): оценка композиции функций, выраженных в виде формул, с числовым вводом 92−t\) и \(h(x)=3x+2\), вычислить

a. \(h(f(2))\)
б. \(h(f(−2))\)

Ответить на

8

Ответ б

20

Нахождение области определения составной функции

Как мы обсуждали ранее, область определения составной функции , такой как \(f{\circ}g\), зависит от области определения \(g\) и области определения выключенный\). Важно знать, когда мы можем применять составную функцию, а когда нет, то есть знать область определения такой функции, как \(f{\circ}g\). Предположим, что мы знаем области определения функций \(f\) и \(g\) по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа \(x\) как \(f(g(x))\), мы сразу увидим, что \(x\) должен быть членом области определения g, чтобы выражение должно быть осмысленным, потому что иначе мы не сможем завершить вычисление внутренней функции. Однако мы также видим, что \(g(x)\) должен быть членом области определения \(f\), иначе второе вычисление функции в \(f(g(x))\) не может быть завершено, и выражение по-прежнему не определено. Таким образом, домен \(f{\circ}g\) состоит только из тех входов в домен \(g\), которые производят выходы из \(g\), принадлежащие домену \(f\). Обратите внимание, что домен \(f\), составленный из \(g\), представляет собой множество всех \(x\), таких что \(x\) находится в домене \(g\) и g(x)\ ) находится в области определения \(f\).

Определение: область определения составной функции

Область составной функции \(f(g(x))\) – это набор входных данных \(x\) в области определения \(g\) для которого \(g(x)\) находится в области определения \(f\).

Как…

Для данной композиции функции \(f(g(x))\) определите ее область определения.

1. Найдите домен \(g\).
2. Найдите домен \(f\).
3. Найдите те входные данные \(x\) в домене \(g\), для которых \(g(x)\) находится в домене \(f\). То есть исключите те входы \(x\) из домена \(g\), для которых \(g(x)\) не находится в домене \(f\). Полученный набор является доменом \ (f {\ circ} g \).

Пример \(\PageIndex{8A}\): поиск домена составной функции

поиск домена

\[(f∘g)(x) \text{ где } f(x)=\ dfrac{5}{x−1} \text{ и } g(x)=\dfrac{4}{3x−2} \nonumber\]

Решение

Область определения \(g(x)\ ) состоит из всех действительных чисел, кроме \(x=\frac{2}{3}\), так как это входное значение заставит нас делить на 0. Точно так же область определения \(f\) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Итак, нам нужно исключить из области определения \(g(x)\) то значение \(x\), для которого \(g(x)=1\).

\[\begin{align*} \dfrac{4}{3x-2}&= 1 \\[4pt] 4 &=3x-2 \\[4pt] 6&=3x \\[4pt] x&= 2 \end{align*}\]

Таким образом, областью определения \(f{\circ}g\) является множество всех действительных чисел, кроме \(\frac{2}{3}\) и \(2\) . Это означает, что

\[x{\neq} \dfrac{2}{3} \text{ или } x\neq2 \nonumber\]

Мы можем записать это в интервальной записи как

\[\left(− \infty,\dfrac{2}{3}\right)\cup \left(\dfrac{2}{3},2 \right)\cup \left(2,\infty \right) \nonumber\]

Пример \(\PageIndex{8B}\): нахождение области определения составной функции, включающей радикалы

Найдите область определения

\[(f{\circ}g)(x) \text{ где } f(x )=\sqrt{x+2} \text{ и } g(x)=\sqrt{3−x} \nonumber\]

Решение

Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область определения \(g\) равна \(\left(−\infty,3\right]\). Теперь проверим область определения составной функции

\[(f{\circ}g)(x)=\ sqrt {\ sqrt {3−x} + 2} \ не число \]

Для \((f∘g)(x)=\sqrt{ \sqrt{3−x}+2},\sqrt{3−x}+2≥0,\), поскольку подкоренное число квадратного корня должно будь позитивным. Поскольку квадратные корни положительны, \(\sqrt{3−x}≥0\) или \(3−x≥0,\), что дает область определения \((-∞,3]\).

Анализ

Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезным при нахождении области определения сложной функции. ) могут содержать значения, не входящие в домен \(f\), хотя они должны быть в домене \(g\).

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найдите домен

\[(f{\circ}g)(x) \text{где } f(x)=\dfrac{1}{x −2} \text{ и } g(x)=\sqrt{x+4} \nonumber\]

Ответ

\([−4,0)∪(0,∞)\)

Разложение составной функции на составные функции

В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию. Другими словами, мы можем записать его как композицию двух более простых функций. Может быть более одного способа 92}\)

\(ч(х)=\dfrac{4}{3−x}\)

\(f=h{\circ}g\)

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики работы с составными функциями.

• Составные функции (http://openstaxcollege.org/l/compfunction)
• Приложение для записи составных функций (http://openstaxcollege.org/l/compfuncnot)
• Составные функции с использованием графиков (http://openstaxcollege.org/l/compfuncgraph)
• Функции декомпозиции (http://openstaxcollege.org/l/decompfunction)
• Значения составных функций (http://openstaxcollege.org/l/compfuncvalue)

Ключевое уравнение

• Составная функция \((f{\circ}g)(x)=f(g(x))\)

Ключевые понятия

• Мы можем выполнять алгебраические операции над функциями. См. Пример.
• При объединении функций выход первой (внутренней) функции становится входом второй (внешней) функции.
• Функция, полученная путем объединения двух функций, является составной функцией. См. пример и пример.
• При интерпретации значения составных функций необходимо учитывать порядок композиции функций. См. Пример.
• Составную функцию можно вычислить, вычислив внутреннюю функцию, используя заданное входное значение, а затем вычислив внешнюю функцию, взяв в качестве входных данных выходные данные внутренней функции.
• Составную функцию можно вычислить из таблицы. См. Пример.
• Составную функцию можно вычислить по графику. См. Пример.
• Составную функцию можно вычислить по формуле. См. Пример.
• Область определения составной функции состоит из тех входных данных в области определения внутренней функции, которые соответствуют выходам внутренней функции, находящимся в области определения внешней функции. См. пример и пример.
• Точно так же, как функции могут быть объединены в составную функцию, составные функции могут быть разложены на более простые функции.
• Функции часто можно разложить более чем одним способом. См. Пример.

Глоссарий

составная функция

новая функция, образованная композицией функций, когда выход одной функции используется как вход другой

---

Эта страница под заголовком 3.4: Состав функций распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. составная функция
   2. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

исчисление — Применение композиции функций: примеры из реального мира?

спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 4 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 69 тысяч раз

$\begingroup$

Знаете ли вы реальный пример, в котором вы бы объединили две функции в составную функцию? Я вижу эту тему в учебниках по алгебре 2, но редко вижу ее реальное применение. Обычно вы берете функцию f(g(4) и запускаете ее через обе функции. Это приводит к идее создания составной функции f(g(x). Но это несколько академично, и это не похоже на то, экономия времени, потому что вам нужно запустить 50 разных номеров через обе функции.

Что касается этой темы, то где эта тема используется в более поздней математике? В Precalculus вы можете определить область определения составной функции. В Calc композиция используется для описания идей, лежащих в основе цепного правила. В Calc вы разбиваете функцию на 2 компонента, чтобы показать ее непрерывность. (Если компоненты непрерывны, составная функция непрерывна.) Какие-либо другие основные области?

Спасибо!

• исчисление
• алгебра-предварительное исчисление
• приложения
• композиция функций и отношений

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Составные функции используются всякий раз, когда вы покупаете товар со скидкой. Когда вы стоите в магазине, пытаясь решить, можете ли вы позволить себе этот товар, первое, что вы рассчитываете, — это скидка. Например, я хочу купить эту рубашку за 20 долларов, а она продается со скидкой 15%. Это означает, что рубашка действительно стоит 17 долларов. Теперь вы должны рассчитать, сколько будет стоить рубашка после налога с продаж (допустим, это 8%). Общая стоимость рубашки после скидки и налога с продаж составит 18,36 доллара США. Этот процесс вычислений может быть выражен как составная функция.

Если f(x) = Цена рубашки после скидки и g(x) = цена после налога с продаж тогда

Функция окончательной стоимости рубашки = g(f(x)).

$\endgroup$

$\begingroup$

Первый пример алгоритмов: У вас есть список, состоящий из головы (элемент) и хвоста (список). Композиция функций может вернуть второй элемент списка, скажем, L:

$ Head(Tail(L)) $

Это простой экзамен в моей области знаний, я не знаю, то ли это, что вы ищете.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Подумайте о промышленном заводе по производству бутылок пива; сначала идет операция (или функция) $f_1$, которая помещает пиво в бутылку, а затем операция $f_2$, закрывающая бутылку крышкой.

Ясно, что эти две функции (операции) не коммутируют…

$\endgroup$

$\begingroup$

Одним из распространенных примеров из повседневной жизни является преобразование единиц измерения. Если я знаю, сколько миль и часов я прошел пешком, но хочу решить, какова моя средняя скорость в футах в секунду, обычно в конечном итоге происходит следующее: я комбинирую несколько функций, чтобы получить результат. Я знаю количество футов в миле, поэтому, если $x$ выражается в милях в единицу времени, у меня есть функция $f(x)$, которая преобразует это число в футы в единицу времени. У меня также есть $g(x)$, который преобразует длину за единицу часов в длину за единицу секунд (так как я знаю, что в минуте 60$ секунд). Я могу использовать композицию функций, чтобы взять скорость в милях в час и преобразовать ее в футы в секунду; если я делаю это вычисление достаточно часто, мне будет полезно запомнить составленную функцию $h(x) = g (f(x))$. +$, которая преобразует килограммовый вес в такой же вес, измеренный в тоннах.

Рассмотрим функцию $g\circ f:A \to \mathbb R$. Это функция, которая измеряет вес фруктов вашего бакалейщика в тоннах.

$\endgroup$

$\begingroup$

В электротехнике применение композиции происходит, когда у вас есть электродвигатель с такой мощностью (например: 25 кВА), и вы хотите знать эквивалентный воздушный винт (механическая машина: XX лошадиных сил), который можно использовать с электрический двигатель. Затем вам нужно в конечном итоге использовать композицию функции F1, которая является функцией электродвигателя, и функции F2, которая является неизвестной мощностью гребного винта. F2 (f1) = F2 или f1. Фактически это состав функций, которые врач использует для установления связи между различными физическими величинами. Пример: преобразование лошадиных сил в электрическую. 1 лошадиная сила = 745,7 кВт.