Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел. Решение примеров.
- Альфашкола
- Статьи
- Сложение и вычитание отрицательных чисел
Существуют разные типы чисел — четные числа, нечетные числа, простые числа, составные числа. Также на основе знака числа могут быть двух видов — положительные числа и отрицательные числа. Эти числа могут быть представлены на числовой линией. Среднее число в этой строке равно нулю. С левой стороны от нуля находятся отрицательные числа, а с правой стороны — положительные.
Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. В основном в этой статье мы будем изучать операции сложения и вычитания с отрицательными числами.
Существуют определенные правила для знаков при сложении и вычитании:
- Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить два числа и поставить знак минус.
\((-2)+(-3)=-5\)
- Если первое число положительное, а второе отрицательное, смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа:
\((-8)+4=4-8=-4\)
\(9+(-4)=9-4=5\)
Для каждого числа кроме \(0\) существует противоположный элемент, при сумме с ним образуется ноль:
\(-9+9=0\) \(7,1+(-7,1)=0\)
- При вычитания двух чисел, в которых оба отрицательные, следует знать правило: минус на минус дает плюс. То есть, если стоят рядом два минуса, в сумме получается плюс.
\((-7)-(-6)=(-7)+6=(-1)\)
- Если первое число положительное, а второе отрицательное, вычитаем по тому же принципу, что и складываем: смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа.
\(7-9=-2\) так как \(9>7\)
- Также не стоит забывать минус на минус дает плюс:
\(7-(-9)=7+9=16\)
Задача 1. Вычислите:
- \(4+(-5)\)
- \(-36+15\)
- \((-17)+(-45)\)
- \(-9+(-1)\)
Решение:
- \(4+(-5)=4-5=-1\)
- \(-36+15=-21\)
- \((-17)+(-45)\) \(=-17-45=-62\)
- \(-9+(-1)=-9-1=-10\)
Задача 2. Вычислите:
- \(3-(-6)\)
- \(-16-35\)
- \(-27-(-5)\)
- \(-94-(-61)\)
Решение:
- \(3-(-6)=3+6=9\)
- \(-16-35=-51\)
- \(-27-(-5)=-27+5=-22\)
- \(-94-(-61)=-94+61=-33\)
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Раиса Степановна Веренич
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Одесский Национальный университет имени Мечникова
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Белла Руслановна Батыз
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Адыгейский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Жанна Александровна Бояркина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Благовещенский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Репетитор по физике
- Репетитор по химии
- Репетитор по русскому языку
- Репетитор по английскому языку
- Репетитор по обществознанию
- Репетитор по истории России
- Репетитор по биологии
- Репетитор по географии
- Репетитор по информатике
Специализации
- Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Репетитор по алгебре
- Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор по грамматике русского языка
- ВПР по физике
- Репетитор по географии для подготовки к ОГЭ
- Программирование Pascal
Похожие статьи
- Свойства корней
- Многоугольники
- Натуральные числа
- НИУ ВШЭ: Логистика и Управление целями поставок
- ГМУ: Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации
- ЕГЭ по математике. Логарифмические неравенства
- Задачи на координатной решетке. Базовый уровень ЕГЭ
- Детское переедание: что делать?
Логарифмические неравенстваНажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Почему минус на минус дает плюс?
«Враг моего врага — мой друг».
Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, .
.. Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.
) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
- сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
- умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
- сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.
Значит, B = C.
Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Ответил: Евгений Епифанов
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
Числа могут быть положительными или отрицательными
Это номер строки:
| Отрицательные числа (-) | Положительные числа (+) |
«-» — отрицательный знак. | «+» — положительный знак |
Отсутствие знака означает положительный результат
Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число .
Пример: 5 на самом деле +5
Играй!
На числовой прямой положительный идет вправо, а отрицательный — влево.
Попробуйте использовать ползунки ниже и посмотрите, что произойдет:
числа/изображения/номер-линия-add.js?sub=n
Воздушные шары и гири
Давайте представим числа как шарики (положительные) и веса (отрицательные):
К этой корзине привязаны воздушные шары и грузы:
- Воздушные шары подтягиваются ( положительный )
- И гири тянутся вниз ( отрицательный )
Добавление положительного числа
Добавление положительных чисел — это простое сложение.
Мы можем добавить воздушные шары (мы добавляем положительное значение )
корзина поднимается вверх (положительный результат)
Пример: 2 + 3 = 5
на самом деле говорит
«Положительное 2 плюс положительное 3 равно положительному 5»
Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)
Вычитание положительного числа
Вычитание положительных чисел — это простое вычитание.
Мы можем забрать воздушные шары (мы вычитаем положительное значение )
корзина тянется вниз (негатив)
Пример: 6 − 3 = 3
на самом деле говорит
«Положительные 6 минус Положительные 3 равно Положительным 3»
Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)
Добавление отрицательного числа
Теперь давайте посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел:
Мы можем добавить веса (мы добавляем отрицательные значения )
корзина тянется вниз (негатив)
Пример: 6 + (−3) = 3
на самом деле означает
«Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»
Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)
Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного значения) или добавление веса (добавление отрицательного значения) приводит к тому, что корзина опускается.
Таким образом, они имеют одинаковый результат :
- (+6) — (+3) = (+3)
- (+6) + (-3) = (+3)
Другими словами вычитание положительного равносильно добавлению отрицательного .
Вычитание отрицательного числа
Наконец, мы можем убрать веса (мы вычитаем отрицательные значения)
корзина поднимается вверх (положительный результат)
Пример: чему равно 6 − (−3) ?
6−(−3) = 6 + 3 = 9
Да, действительно! Вычитание минуса – это то же самое, что добавление!
Два минуса дают плюс
Что мы нашли?
Добавление положительного числа — это простое сложение…
Добавление положительного Добавление
Положительное и отрицательное вместе…
Вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание
Пример: Сколько будет 6 − (+3) ?
6−(+3) = 6 − 3 = 3
Пример: Сколько будет 5 + (−7) ?
5+(-7) = 5 — 7 = -2
Вычитание отрицательного значения.
..Вычитание минуса аналогично Сложение
Пример. Сколько будет 14 − (−4) ?
14−(−4) = 14 + 4 = 18
Правила:
Все это можно поместить в два правила :
| Правило | Пример | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| +(+) | Два одинаковых знака становятся положительным знаком | 3+(+2) = 3 + 2 = 5 | |||
| −(−) | 6−(−3) = 6 + 3 = 9 | ||||
| +(-) | Два разных знака становятся отрицательным знаком | 7+(−2) = 7 − 2 = 5 | |||
| −(+) | 8−(+2) = 8 − 2 = 6 | ||||
Они «подобны знакам», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковы).
Итак, все, что вам нужно запомнить, это:
Два знака , подобные , становятся положительным знаком
Два отличных от знака становятся отрицательным знаком
Пример: Что такое 5+(−2) ?
+(-) — это в отличие от знаков (они не одинаковы), поэтому они становятся отрицательным знаком .
5+(−2) = 5 − 2 = 3
Пример: чему равно 25−(−4) ?
−(−) равно подобен знаку , поэтому они становятся положительным знаком .
25−(−4) = 25+4 = 29
Стартовый отрицательный
Что, если мы начнем с отрицательного числа?
Использование числовой линии может помочь:
Пример: чему равно −3+(+2) ?
+(+) — это , как знак, поэтому они становятся положительным знаком .
-3+(+2) = -3 + 2
Начните с -3 на числовой прямой,
сдвиньте вперед 2, и вы окажетесь на -1
−3+(+2) = −3 + 2 = −1
Пример: чему равно −3+(−2) ?
+(-) это в отличие от знаков, поэтому они становятся отрицательным знаком .
-3+(-2) = -3 — 2
Начните с -3 на числовой прямой,
переместитесь назад на 2, и вы окажетесь на -5
-3+(-2) = — 3 − 2 = −5
А теперь поиграй!
| Попробуйте сыграть в Casey Runner, вам нужно знать правила положительного и отрицательного, чтобы добиться успеха! |
Объяснение здравого смысла
И есть объяснение «здравого смысла»:
Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас есть (положительно)
Если я скажу «Не есть!» Я говорю обратное (отрицательно).
Теперь, если я скажу: « НЕ НЕ ешьте!», я говорю, что не ем. хочу, чтобы вы голодали, поэтому я снова говорю: «Ешьте!» (положительно).
Итак, два минуса дают плюс, и если вас это устраивает, то вы сделали!
Другое объяснение здравого смысла
Друг +, враг —
| + + ⇒ + | друг друга мой друг | |
| + — ⇒ — | друг врага мой враг | |
| — + ⇒ — | враг друга мой враг | |
| − − ⇒ + | враг врага мой друг |
Пример банка
Пример: В прошлом году банк по ошибке списал с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.
Итак, банк должен забрать минус 10 долларов .
Предположим, что ваш текущий баланс составляет 80 долларов США, поэтому у вас будет:
80 долларов США − (− 10 долларов США) = 80 долларов США + 10 долларов США = 90 долларов США
Таким образом, вы получите долларов США на 10 дополнительных на вашем счету.
Длинный пример, который может вам понравиться
Очки союзника
Элли может быть озорной или милой. Итак, родители Элли сказали
«Если ты будешь хорошим, мы добавим 3 балла (+3).
Если ты будешь непослушным, мы уменьшим 3 балла (−3).
Когда ты наберешь 30 баллов, ты получишь игрушку.»
| Союзник начинает день с 9 очками: | 9 | |
| Мама Элли обнаруживает пролитое молоко: | 9 − 3 = 6 | |
Потом папа признается, что пролил молоко и пишет «отменить». Как нам «отменить» минус 3? | ||
| Мама считает: | 6 − (−3) = 6 + 3 = 9 |
Таким образом, когда мы вычитаем отрицательное значение, мы получаем
очков (то есть то же самое, что и сложение очков).
Таким образом, вычитание отрицательного числа равно . Сложение
.
| Несколько дней спустя. У Элли 12 очков. | ||
| | | |
Мама добавляет 3 балла, потому что в комнате Элли чисто. | 12 + 3 = 15 | |
| | | |
| Папа говорит: «Я убрал эту комнату» и пишет «отменить» на графике. Мама считает: | 15 − (+3) = 12 | |
| | | |
| Папа видит, как Элли расчесывает собаку. Пишет «+3» на графике. Мама считает: | 12 + (+3) = 15 | |
| | | |
Элли бросает камень в окно. Папа пишет «-3» на графике. Мама считает: | 15 + (−3) = 12 |
См.: как « 15 − (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.
Итак:
Не имеет значения, вычитаете ли вы положительные очки
или добавляете отрицательные очки,
вы все равно теряете очки.
Итак, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание
Попробуйте эти упражнения…
Теперь попробуйте этот рабочий лист и посмотрите, как у вас получится.
А также попробуйте эти вопросы:
11715, 11716, 11717, 11718, 11719, 11720, 11721, 3445, 3446
Решите неравенства с помощью Пошагового решения математических задач
В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием арифметических чисел. Теперь, когда мы изучили операции над числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, в которых участвуют отрицательные числа.
Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЧИСЛА СО ЗНАКОМ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы должны уметь решать уравнения, содержащие числа со знаком.
Пример 1 Найдите x и проверьте: x + 5 = 3
Решение
Используя те же процедуры, описанные в главе 2, мы вычтем 5 из каждой части уравнения, получив
Пример 2 Решить для x и проверьте: — 3x = 12
Решение
Разделив каждую сторону на -3, мы получим
| Всегда проверяйте исходное уравнение. |
| Другой способ решения уравнения 3x — 4 = 7x + 8 будет сначала вычесть 3x с обеих сторон, получив -4 = 4x + 8, , затем вычесть 8 с обеих сторон и получить -12 = 4x.  Теперь разделите обе части на 4, чтобы получить — 3 = x или x = — 3. |
| Сначала удалите скобки. Затем следуйте процедуре, описанной в главе 2. |
ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Найдите буквальное уравнение.
- Применяйте ранее изученные правила для решения буквенных уравнений.
Уравнение, состоящее из более чем одной буквы, иногда называют буквальным уравнением . Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, рассмотренная и использованная в главе 2, по-прежнему действительна после удаления любых символов группировки.
Пример 1 Решить для c: 3(x + c) — 4y = 2x — 5c
Решение
Сначала удалите скобки.
Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы вычисляем с, мы хотим получить с с одной стороны и все остальные члены с другой стороны уравнения.
Таким образом, мы получаем
| Помните, abx это то же самое, что и 1abx. Делим на коэффициент при x, который в данном случае равен ab. |
| Решите уравнение 2x + 2y — 9x + 9a, сначала вычитая 2.v из обеих частей. Сравните решение с полученным в примере. |
Иногда форма ответа может быть изменена. В этом примере мы могли бы умножить и числитель, и знаменатель ответа на (-l) (это не меняет значения ответа) и получить
Преимущество этого последнего выражения перед первым состоит в том, что много отрицательных знаков в ответе.
| Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число является использованием фундаментального принципа дробей. |
Наиболее часто используемые буквенные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т.
д.
Пример 4 – это формула площади трапеции. Решите для с.
| Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями. Удаление скобок не означает просто их стирание. Мы должны умножить каждый член в скобках на множитель, стоящий перед скобками. Менять форму ответа не обязательно, но вы должны уметь распознавать правильный ответ, даже если форма отличается. |
Пример 5 представляет собой формулу, определяющую проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма долга (p) и годовая ставка (r). Найдите годовую ставку, если известны сумма процентов, основная сумма долга и количество дней.
Решение
Задача требует решения для r.
Обратите внимание, что в этом примере r оставлено справа, и поэтому вычисления упростились. Мы можем переписать ответ по-другому, если захотим.
ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Используйте символ неравенства для представления относительного положения двух чисел на числовой прямой.
- Графические неравенства на числовой прямой.
Мы уже обсуждали набор из рациональные числа как те, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Существует также набор чисел, называемый иррациональными числами, , который нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется действительными числами.
Для любых двух действительных чисел a и b всегда можно утверждать, что Много раз нас интересует только, равны ли два числа, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны.
Символы представляют собой символы неравенства или отношений порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел.
Обычно мы читаем этот символ как «больше чем». Например, a > b читается как «а больше, чем b». Обратите внимание, что мы заявили, что обычно читаем
| Утверждение 2 |
a
| Какое положительное число можно прибавить к 2, чтобы получить 5? |
Проще говоря, это определение утверждает, что а меньше b, если мы должны добавить что-то к а, чтобы получить b. Конечно, «что-то» должно быть положительным.
Если вы думаете о числовой строке, то знаете, что добавление положительного числа эквивалентно перемещению вправо по числовой строке. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.
Пример 1 3
Можно также написать 6 > 3. |
Пример 2 — 4
| Мы могли бы также написать 0 > — 4. |
Пример 3 4 > — 2, потому что 4 находится справа от -2 на числовой прямой.
Пример 4 — 6
Математическое утверждение x
| Вы понимаете, почему невозможно найти наибольшее число меньше 3? |
На самом деле, назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, невозможно. Однако это может быть указано на числовой строке. Для этого нам нужен символ, представляющий значение утверждения, такого как x
Символы ( и ), используемые на числовой прямой, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.
Пример 5 График x
Решение
Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая, что линия продолжается без конца влево.
| Этот график представляет каждое действительное число меньше 3. |
Пример 6 График x > 4 на числовой прямой.
Решение
| На этом графике представлены все действительные числа больше 4. |
Пример 7 График x > -5 на числовой прямой.
Решение
| На этом графике представлены все действительные числа больше -5. |
Пример 8 Постройте линейный график, показывающий, что x > — 1 и x
Решение
Утверждение x > — 1 и x
| На этом графике представлены все действительные числа от — 1 до 5. |
Пример 9 График — 3
Решение
Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ, :.
Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».
Пример 10 х >; 4 указывает число 4 и все действительные числа справа от 4 на числовой прямой.
| Что означает x |
Символы [ и ], используемые в числовой строке, указывают, что конечная точка включена в набор.
| Вы обнаружите, что такое использование скобок и квадратных скобок соответствует их использованию в будущих курсах по математике. |
| Этот график представляет число 1 и все действительные числа больше 1. |
| Этот график представляет число 1 и все действительные числа, меньшие или равные -3. Пример 14 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.
Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.
Пример 16 График на числовой прямой. Решение В этом примере представлена небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой прямой? Если мы оценим точку, то другой человек может неправильно понять утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли точка или, может быть, ? Поскольку целью графика является уточнение, всегда обозначают конечную точку.
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВЗАДАЧИПо завершении этого раздела вы должны уметь решать неравенства с одним неизвестным. Решения неравенств обычно основаны на тех же основных правилах, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы вскоре обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, которое используется при решении уравнений. Если к каждой стороне неравенства добавить одинаковое количество, результаты будут неравными в том же порядке. Пример 1 Если 5 Пример 2 Если 7
Мы можем использовать это правило для решения некоторых неравенств. Пример 3 Решить для x: x + 6 Решение Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим Отобразив это решение на числовой прямой, мы получим
Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию умножения или деления неравенств. Предположим, что x > a. Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения.
Теперь добавьте -a с обеих сторон. Последнее выражение -a > -x можно переписать как -x < -a. Поэтому мы можем сказать: «Если х > а, то — х Если неравенство умножить или разделить на отрицательное число, результаты будут неравны в порядке против .
Пример 5 Найдите x и нарисуйте решение: -2x>6 Решение Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2.
Обратите внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменить направление символа неравенства. Это единственная разница между решением уравнений и решением неравенств.
После того, как мы удалили круглые скобки и в выражении остались только отдельные члены, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2. Давайте теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разница при решении неравенств. Первый Удалите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
РЕЗЮМЕКлючевые слова
Процедуры
|
Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.
