pm_y4_u6_practicebookanswers.indd

%PDF-1. 3 % 1 0 объект > ] /Страницы 4 0 Р /Тип /Каталог /ViewerPreferences > >> эндообъект 2 0 объект > транслировать 2018-09-14T11:27:02+01:002019-01-08T10:07:27Z2019-01-08T10:07:27ZAdobe InDesign CC 13.1 (Macintosh)uuid:d61349af-e7cd-46e7-bbe0-c3310fcd965bx94mp.did:1107mp.did -73ef-46f7-9ae5-27631b4d72c1xmp.id:48fff9eb-25e2-47f6-a305-1a2e4c40a32cproof:pdf1xmp.iid:ab6d865a-7da6-4183-8d4a-2b54419ede82xmp.did:a421d983-2770-4ea6-96c0-528e231355fcxmp.did:39741710-73ef-46f7-9ae5-27631b4d72c1default

Преподавание концептуального понимания

Почему мы изучаем разделение в школе? Если вы когда-нибудь обучали делению, вы, возможно, задавались вопросом, стоит ли это всех усилий.

Справедливо задаться вопросом, помогает ли деление нашим ученикам вести более успешную и полноценную жизнь… или они изучают его, чтобы пройти тест, а затем двигаться дальше.

А если мы говорим о запоминании фактов деления или просто вычислении частных , то это справедливый вопрос. Я считаю, что нашим ученикам было бы просто прекрасно , если мы полностью исключили длинное деление из учебной программы. Студентам это не понадобится для продвинутой математики, так как у них будет доступ к калькулятору. И большинство никогда не будет использовать его в своей жизни вне школы.

В «реальном мире» никто не использует деление в большую сторону для вычисления частных. Мы либо делим в уме, либо пользуемся калькуляторами в телефонах. Но длинное деление едва затрагивает реальную важность обучения делению.

Учебный отдел концептуального понимания

Это правда, что длинное деление — это в основном пустая трата времени. И источник ненужного разочарования для многих студентов и преподавателей. Но это не значит, что мы должны полностью прекратить преподавание отдела .

Учащимся важно развивать концептуальное понимание подразделения . Понимание значения деления обеспечивает основу, на которой учащиеся строят более сложные понятия, связанные с делением, такие как дроби, пропорции и т. д.

Концептуальное понимание также помогает учащимся запомнить то, что они узнают (удержание в памяти), и позволяет им применять это понимание к сценариям реального мира, включая текстовые задачи.

Один из способов научить понятийному пониманию — выделить связи между делением и другими базовыми операциями (особенно умножением). Учителя и учащиеся также должны использовать визуальные и/или физические представления для представления сценариев разделения.

Но эффективно обучать делению нелегко. На наших уроках по делению учащиеся часто впервые сталкиваются с алгебраическое рассуждение . Сложение, вычитание и умножение позволяют учащимся начать с одного числа, «сделать что-то с ним» и найти решение.

Но чтобы разделить, им нужно «работать в обратном направлении». Например, при делении 24 на 8 им нужно найти «неизвестный множитель» (переменную), который мы можем умножить на 8, чтобы получить 24.

Эта причуда в обучении делению является причиной того, что так много студентов испытывают затруднения. И именно поэтому деление — единственный стандартный алгоритм, использующий странный «домик», а не просто складывающий одно число поверх другого.

Почему мы делим: Пять значений слова «деление»

Обучение делению еще более усложняется тем фактом, что существует не одно значение деления, а пять. Пять Значений Разделения — это пять причин, по которым мы разделяемся. Они помогают нам понять, зачем вообще было изобретено деление и как мы можем использовать его в мире за пределами классной комнаты.

Впервые я столкнулся с идеей, что существует всего пять значений умножения в главе 4 из Math Matters Сюзанны Чапин и Арта Джонсона. Я уже писал ранее о том, как использовать эти Five Meanings для обучения умножению. Если вы еще не видели этот пост, может быть полезно прочитать его до остальной части этой статьи.

Учитывая проблемы, характерные для деления, я подумал, что было бы полезно написать статью специально о том, как Пять значений умножения применимы к обучению делению.

Во-первых, важно отметить, что значения деления не являются «способами деления».

Существует множество способов выполнения деления, от визуального моделирования до частичных произведений и деления в длинное число. И не забываем про калькулятор. Я уверен, что есть буквально десятки методов деления , о которых я никогда не слышал.

Но причин, по которым мы делим , разные. Они дают ответы на извечные вопросы: « Зачем нам это изучать?» и «Буду ли я когда-нибудь использовать это вне школы».

Возможность ответить на эти вопросы имеет решающее значение для создания актуальность , важнейший компонент мотивации учащихся. Обучение учащихся значениям деления также важно для развития концептуального понимания и всех преимуществ, связанных с таким осмысленным обучением.

Однако мы не учим студентов сразу всем значениям. На самом деле я изменил порядок из книги Чапина и Джонсона, чтобы лучше отразить порядок, в котором учащиеся изучают каждое значение.

Значение № 1: Равные группы

Большинство учащихся впервые сталкиваются с разделением примерно во 2-м или 3-м классе, через равные группы или совместное использование.

Можно представить ситуацию, когда есть 12 печенюшек (дивиденд) и 3 друга (делитель). Учащиеся должны узнать, сколько печенья получает каждый друг (частное).

Причина такого значения деления довольно очевидна. У всех нас бывают моменты, когда нам нужно разделить что-то поровну между группой людей. Наверное, всем нам приходилось делить чек в ресторане или делить тарелку яблочных ломтиков с другом.

Большинство из нас инстинктивно выполняют этот тип деления, разделяясь на определенное количество групп. Когда мы слышим «24 разделить на 6», мы думаем о 24 предметах, разделенных на 6 групп, в каждой из которых по 4 предмета. В этом случае делитель говорит нам, «сколько групп», а наше частное отвечает на вопрос «сколько в каждой группе». Это известно как раздельное подразделение .

Но учащимся важно усвоить, что они также могут выполнять равную долю с делением в кавычках . Это означает, что делитель говорит нам, «сколько в каждой группе». Итак, в приведенном выше примере мы могли бы поместить 6 объектов в каждую группу. И наше частное ответит на вопрос «сколько групп».

Деление в кавычках используется как для деления в полную, так и для частичных частных. Это также имеет гораздо больше смысла при делении на дробь. Когда учащиеся борются с любым из них, это часто можно объяснить незнанием кавычек.

Различие между партитивом и кавычками относится к трем значениям деления: равные группы, масштабирование и коэффициенты. Известное как асимметричное умножение/деление, оно означает, что делитель и частное (или два множителя) — это разные вещи, например количество групп и размер группы.

Значение № 2: прямоугольный массив

Следующее значение деления, с которым сталкиваются учащиеся, — это прямоугольный массив. Как и равные группы, массивы (объекты, расположенные в строках и столбцах) и площадь (измерение двумерного пространства) обычно вводятся во 2-м или 3-м классе.

Оба обычно используются в качестве инструментов для обучения умножению, но реже применяются для деления.

Чтобы превратить массив из задачи умножения в задачу деления, подумайте о произведении (общее количество объектов) как о делимом. Тогда один множитель (например, количество строк) становится нашим делителем, а другой множитель (например, количество столбцов) — нашим частным.

Например, мы можем дать учащимся группу из 15 счетчиков (дивиденд) и попросить их составить массив из 3 строк.

То же самое можно сделать с площадью. Если прихожая имеет площадь 500 кв. м и ширину 10 м, длину можно найти путем деления.

В отличие от равных групп, прямоугольные массивы симметричны , потому что делитель и частное являются единицами одного типа. При делении площади ширина и длина указываются в футах.

Массивы могут казаться разными (строки и столбцы), но на самом деле оба они измеряются с точки зрения «количества объектов». Другой способ представить это так: если вы поворачиваете массив, строки становятся столбцами. Если бы вы вращали модель из равных групп, размер групп был бы не может быть взаимозаменяемым с количеством групп.

Значение № 3: Масштабирование (множительное сравнение) 

В задачах масштабирования учащиеся исследуют ситуации, когда одна группа «в x раз больше», чем другая. Мультипликативные задачи сравнения вводятся в 4-м классе и применяются для масштабирования с дробями в 5-м.

Масштабирование становится особенно важным в средней школе, так как многие понятия, занимающие центральное место в учебной программе MS, такие как отношения, пропорции и проценты, основаны на этом понятии.

Как и в случае с массивами, самый простой способ понять масштабирование — это вернуться к задаче на умножение. Если у Джены в 3 раза больше денег, чем у Девина, мы должны умножить деньги Девина на 3, чтобы найти деньги Джены. Но если мы знаем, сколько у Джены, но не Девина, мы делим богатство Джены на 3.

Скалярное деление также можно применить к ситуациям, когда мы умножаем на дробь. Таким образом, если вы сажаете помидоры на ⅓ вашего сада площадью 50 кв. м, мы можем разделить на 3, чтобы найти используемую площадь.

В обоих случаях делитель и частное используют разные единицы измерения: одна представляет собой коэффициент масштабирования, а другая — масштабированный размер начального значения, что делает масштабирование примером асимметричного деления.

Ученики часто сталкиваются с этими проблемами, потому что они путают их с аддитивными сравнениями. Если у меня в 5 раз больше яблок, чем у кого-то с 10 яблоками, они могут подумать, что у меня 15 яблок (добавив 5).

Идея «масштабирования» числа также более абстрактна, чем равные группы или прямоугольные массивы. Для учащихся важно использовать визуальные и физические модели, чтобы они могли «видеть» и «чувствовать», что на самом деле происходит при масштабировании.

Значение № 4: коэффициенты

Коэффициенты — еще одно важное значение деления.

Оценки особенно интересны (и сложны), потому что каждая задача о ставках содержит два примера деления.

Во-первых, это сама ставка. Чтобы определить, что моя машина едет со скоростью 60 миль в час, я беру общее количество пройденных миль и делю на количество часов.

Обычно мы снижаем тарифы до «единичного тарифа». Например, если я проехал 300 миль за 5 часов, я бы описал скорость как 60 миль/ч. Это считается единичной скоростью, потому что она описывает, как далеко я проеду за 1 час .

Поскольку нет ни делителя, ни знаменателя, это может не выглядеть как деление или дробь. Но «/» между единицами измерения (мили и часы) показывает деление, скрытое в тарифе.

Чтобы понять, как деление относится к проблеме скорости, мы снова вернемся к умножению. Если вам платят по часовой ставке в размере 20 долларов в час, и вы работаете в течение 5 часов, вы заработаете 100 долларов.

Если вместо этого мы начнем с вашего общего заработка и знаем, что вы работали 5 часов, мы можем разделить, чтобы найти вашу почасовую ставку.

И если бы мы знали, что вы зарабатываете 20 долларов в час и ваш общий заработок (100 долларов), мы бы разделили, чтобы найти часы, которые вы отработали.

Поскольку наши делители и частные могут быть либо вашей почасовой ставкой, либо количеством отработанных часов, ставки являются еще одним примером асимметричного деления .

Значение № 5: Комбинации (Декартово произведение)

Хотя комбинации могут быть введены для обогащения на начальном уровне, они в основном используются в высшей математике.

Декартово произведение – это количество возможных способов объединения двух (или более) наборов чисел, объектов и т. д. Поскольку

Обычно они начинаются с примеров умножения, таких как «Если у вас есть 3 рубашки и 5 пар брюк, сколько различных комбинаций рубашек и брюк вы можете составить?»

Но если мы знаем числовые комбинации и размер одного набора, мы используем деление, чтобы найти размер другого набора. Как показано на рисунке, если у нас есть 3 рубашки и мы можем составить 15 комбинаций рубашка-брюки, мы делим, чтобы найти количество брюк, которые у нас есть.

Комбинации становятся полезными при работе с вероятностями. Чтобы найти вероятность события, нам сначала нужно найти все возможные исходы. Например, бросок двух игральных костей может дать число от 2 до 12.

Но не все числа одинаково вероятны. Чтобы найти вероятность каждого, сначала нам нужно найти общее количество комбинаций, умножив возможные исходы для одного кубика (6) на возможные исходы для другого (тоже 6).

Затем мы подсчитываем общее количество возможных бросков, например, 5 (4 варианта), и делим на общее число возможных вариантов (36). Это говорит нам о том, что существует вероятность 1/9 (около 14%) выпадения 5. (Эта вторая часть процесса на самом деле представляет собой проблему «масштабирования», где вероятность является коэффициентом масштабирования).

Декартовы произведения названы так из-за их применения к Декартовой плоскости , используемой для графического отображения координат x-y. Каждая упорядоченная пара на плоскости представляет собой комбинацию числа по оси x с числом по оси y.

Они также используются в сложных приложениях, таких как компьютерное программирование и матрицы.

Применение значений деления на уроке математики

Значение деления уже играет роль на вашем уроке математики, знаете ли вы о нем или нет.

Но знание того, что существует пять значений , может помочь вам легче понять математику, которую вы уже преподаете.

Это особенно полезно при обучении словесным задачам. Многих педагогов смущает тот факт, что их ученики, кажется, «знают математику», но с трудом решают текстовые задачи.

Если вы столкнулись с этой проблемой, вы, возможно, пытались научить своих учеников «ключевым словам», чтобы помочь им понять, что задача требует от них сделать. Я более подробно рассматриваю проблему стратегии ключевых слов в своей статье о Процесс Полиа , но достаточно сказать, что ключевые слова неэффективны, и контрпродуктивны.

Но как только учащиеся узнают, что существует только пять типов задач на деление, они могут классифицировать каждую словесную задачу по типу описываемого деления. Они также начнут распознавать разницу между партитивным и цитативным делением, даже если они не учат этих терминов.

Чтобы узнать больше о концептуальном обучении отдела, изучите наш интернет-магазин или зарегистрируйтесь на один из наших предстоящих виртуальных семинаров.

Наши ресурсы предназначены для того, чтобы вы могли легко обогатить существующую учебную программу и дать вашим учащимся возможность участвовать в практическом творческом решении проблем.

Наши семинары познакомят вас с процессом обучения проблемной математике, такой как визуальное моделирование, стратегическое решение задач и многое другое. Все наши математические семинары предлагаются как для начальных, так и для средних классов.

Если вы просто хотите быть в курсе событий, подпишитесь на нашу бесплатную рассылку новостей для преподавателей . Вы будете первыми, кто узнает, когда мы опубликуем новый пост или запустим новое предложение. Вы также будете получать специальные предложения и скидки, чтобы вы могли сэкономить, развивая свою преподавательскую практику.

ПОЛУЧИТЬ БЕСПЛАТНУЮ ИНФОРМАЦИОННУЮ БЮЛЛЕТЕНЬ