«3000 примеров по математике с ответами и методическими рекомендациями. Решаем в столбик. Контрольные работы с самопроверкой. 4 класс» Узорова Ольга Васильевна, Нефедова Елена Алексеевна — описание книги | 3000 примеров для начальной школы с ответами

Алтайский край

Астрахань

Белгород

Благовещенск

Брянск

Владивосток

Владимирская область

Волгоград

Воронеж

Грозный

Губкин

Екатеринбург

Забайкальский край

Ивановская область

Кабардино-Балкарская Республика

Калужская

Кемерово

Кемеровская область

Киров

Кострома

Краснодарский край

Красноярск

Курганская

Курск

Липецк

Москва

Московская область

Нижний Новгород

Новосибирск

Омск

Оренбург

Оренбургская область

Орловская область

Пенза

Пермский край

Пермь

Поворино

Приморский край

Республика Адыгея

Республика Башкортостан

Республика Бурятия

Республика Крым

Республика Мордовия

Республика Северная Осетия — Алания

Республика Татарстан

Республика Хакасия

Россошь

Ростов-на-Дону

Ростовская область

Самара

Самарская область

Саратов

Саратовская область

Свердловская область

Севастополь

Смоленск

Ставрополь

Ставропольский край

Старый Оскол

Тамбов

Томск

Тула

Тюмень

Ульяновск

Хабаровск

Ханты-Мансийский автономный округ

Челябинск

Челябинская область

Чувашская Республика

Энгельс

Ярославль

Ярославская область

Примеры на порядок действий с ответами для 4 класса (часть 2).

| Тренажёр по математике (4 класс) по теме:

Примеры на порядок действий для 4 класса с ответами (продолжение)

43. (982-709)х852-9608=

     

44. (738+906)х375-287453=

     

45. (1867-298)х304-92888=

46. (228+757)х74+581618=

       

47. 221х384:(52014-51975)=

48. 1508х214: (48000-47884)=

49. 1269х406: (2109-1968)=

50. 7007х428: (81405-81191)=

     

51. 444х209: (10105-9957)=

     

52. 344х627: (9107-8978)=

     

53. 276х775: (30026-29796)=

     

54. 648х475: (1458-1306)=

55. 816х502: (8511784913)=

     

56. 288х703: (405060-404916)=

     

57. (912:114+6440:23):16=

58. (7294:14+12960:27):91=

     

59. (131364:41-19000:25):52=

     

60. 16728:204х (328-4267:17):11-419=

     

61. (7327:17+17х35+150):8=

     

62. (814х107-452х145+32568):93=

     

63. (457+824) х7+1003=

64.  (1125+875)х18+4328=

     

65. (331540:605+369000:450) :36х1008:171-129=

66. (953+627)х12+12040=

Ответы

43. (982-709)х852-9608=222988

      1) 273         2) 232596

44. (738+906)х375-287453=329047

      1) 1644        2) 616500

45. (1867-298)х304-92888=384088

      1) 1569        2) 476976

46. (228+757)х74+581618=654508

       1) 985         2) 72890

47. 221х384:(52014-51975)=2176

      1) 39           2) 84864

48. 1508х214: (48000-47884)=2782

      1) 116         2) 322712

49. 1269х406: (2109-1968)=3654

      1)141          2)515214

50. 7007х428: (81405-81191)=14014

      1) 214         2)2998996

51. 444х209: (10105-9957)=627

      1) 148        2) 92796

52. 344х627: (9107-8978)=1672

      1) 129        2) 215688

53. 276х775: (30026-29796)=930

      1) 230        2) 213900

54. 648х475: (1458-1306)= 2025

      1) 152        2) 307800

55.  816х502: (8511784913)=2008

      1) 204        2) 409632

56. 288х703: (405060-404916)=1408

      1) 144        2) 202464

57. (912:114+6440:23):16=18

1) 8        2) 280        3) 288

58. (7294:14+12960:27):91=11

      1) 521        2) 480        3) 1001

59. (131364:41-19000:25):52=47

      1) 3204      2) 760         3) 2444

60. 16728:204х (328-4267:17):11-419=155

      1) 251        2) 77       3) 82        4) 6314        5) 574

61. (7327:17+17х35+150):8=147

      1) 431       2) 595       3) 1026        1176

62. (814х107-452х145+32568):93=582

      1) 87098       2) 65540       3) 21558       4) 54126

63. (457+824) х7+1003=9970

      1) 1281         2) 8967

64. (1125+875)х18+4328=40328

      1) 2000        20 36000

65. (331540:605+369000:450) :36х1008:171-129=95

1) 548       2) 820       3) 1368       4) 38        5) 38304        6)224

66. (953+627)х12+12040=31000

1)1580       2) 18960

Страница 60 (учебник Моро 1 часть 4 класс) ответы по математике

Сложение и вычитание

260. (Устно.) Вычисли наиболее лёгким способом.

2 + 96 + 98 + 904 = (2 + 98) + (96 + 904) = 100 + 1000 = 1100
257 + 18 + 12 + 3 + 40 = (257 + 3) + (18 + 12) + 40 = 260 + 40 + 30 = 330
48 + 530 + 70 + 52 = (48 + 52) + (530 + 70) = 100 + 600 = 700
33 + 34 + 35 + 36 + 37 = (33 + 37) + (34 + 36) + 35 = 70 + 70 + 35 = 140 + 35 = 175

261. Объясни, что означают записи в рамках на полях.

b + 0 = b и 0 + c = c — если к любому числу прибавить 0, то получится само это число.
a — 0 = a — если от любому числа отнять 0, то получится само это число.
К — K = 0 — если от любого числа отнять само это число, то получится 0.

262. Вычисли, записывая решение столбиком, и проверь сложение вычитанием, а вычитание сложением.

263. В соревнованиях участвовало 18 семей, состоящих из 3 человек, и 16 семей, состоящих из 4 человек. Сколько это всего человек?

3 * 18 + 4 * 16 = 118 человек.
Ответ: 118 человек.

264. После того как школьникам было выдано 327 книг, в библиотеке осталось на 246 книг меньше, чем было выдано. Сколько всего книг в библиотеке?

1) 327 — 246 = 81 книг осталось.
2) 327 + 81 = 408 книг было в библиотеке.
Ответ: 408 книг.

265. Составь задачу по выражению 100 — (68 + 14).

Всего в магазине было 100 лампочек, из них 14 ламп накаливания и 68 светодиодных, а остальные лампы были энергосберегающими. Сколько было энергосберегающих ламп?
100 — (68 + 14) = 18 энергосберегающих ламп.

266. (Устно.)

999 + 1 = 1000
1000 — 1 = 999
10000 — 1 = 9999
9999 + 1 = 10000
50000 — 1 = 49999
80000 — 1 = 79999

Задание под знаком вопроса.

1050 – 50 = 1000
20000 + 800 = 20800
35840 — 840 = 35000

Задание на полях. Ребус.

ГДЗ решебник по математике за 4 класс Моро с ответами

Авторы: М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова
Издательство: Просвещение 2015
Серия: Школа России
Тип книги: Учебник
Часть: 1, 2

Ответы к учебнику по математике за 4 класс Моро, Волкова, Бантова в 2-ух частях

Обучение в школе всегда для ребёнка является тяжёлым испытанием. Ему необходимо постоянно обучаться чему-то новому, выполнять ежедневные домашние задания. Но ребёнку не всегда хочется это делать. Поэтому, в данной ситуации обычно используется решебник. И математика является как раз тем предметом, который чаще всего списывают с книги. Так и ГДЗ по математике 4 класс Моро необходим ребёнку.

Часть 1. Страницы учебника

456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899

Часть 2. Страницы учебника

456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115

Чем хорош данный решебник

Среди большого количества книг, предоставляющих возможность постоянного обучения необходимо выбирать наиболее продуктивные. Именно таким является данное пособие. Книга вмещает в себя большое количество разнообразных заданий, на которые есть ответы. Иногда, решать примеры может быть очень сложно и в данном случае ответы приходят на помощь.

В составе книги можно найти большой список заданий, созданный специально для четвёртого класса. Уже с 5 класса для ученика задача усложняется, так как математические примеры начинают делиться на разные категории. Появляется геометрия, которая является одним из самых сложных предметов. Именно она требует знания большинства теорий, необходимых для разнообразных уравнений.

Чем данная книга полезна для родителей

Именно ответы к учебнику по математике 4 класс Моро имеют свой собственный плюс для отца и матери ребёнка. Почему? Это помогает заниматься развитием ребёнка.

Иногда, после решения примера вы не можете быть уверены в том, что он решён правильно. Поэтому, обратиться к книге за ответом будет самым логичным решением. Родители часто прибегают к такой хитрости, чтобы избавить ребёнка от возможных ошибок в решении.

К тому же, данную книгу можно считать как экзаменатор, так как она помогает изучать весь курс 4 класса, что является непременным плюсом.

На что делится книга

В книге есть большое количество упражнений, которые расположены на 115 страниц книги. Делится она на несколько основных направлений для обучения ребёнка:

• Арифметику
• Геометрию
• Алгебру

Именно они помогают в дальнейшем изучать курс данных предметов. Большинство из них могут пойти в дальнейшем как основные предметы при обучении в ВУЗ.

Поэтому решебник по математике 4 класс Моро будет идеальным подбором для школьника. В конце каждой главы в книге также можно найти и повторение. Этот раздел помогает повторить ребёнку необходимые знания, полученные за курс. Поэтому, она помогает развиваться во всех направлениях.

Похожие решебники

ПНШ 4 класс. Математика. Тетрадь для самостоятельной работы № 1, с. 58

Поупражняемся в делении столбиком

Ответы к с. 58

110. Выполни деление, используя запись столбиком.
а) 65 : 5; 67 : 5

_— 65 |5                _— 67|5
   5   |13                 5  |13
_ 15                    _ 17
   15                       15
     0                         2 – ост.

б) 75 : 3; 77 : 3

_— 75 |3                _— 77|3
   6   |25                 6  |25
_ 15                    _ 17
   15                       15
     0                         2 – ост.

в) 68 : 4; 61 : 4

_— 68 |4                _— 61|4
   4   |17                 4  |15
_ 28                    _ 21
   28                       20
     0                         1 – ост.

г) 85 : 5; 81 : 5

_— 85 |5                _— 81|5
   5   |17                 5  |16
_ 35                    _ 31
   35                       30
     0                         1 – ост.

111. Впиши пропущенные цифры.

_— 84 |7                _— 84 |3                _— 95 |5
   7   |12                 6   |28                 5   |19
_ 14                    _ 24                    _ 45
   14                        24                       45
     0                             0                            0

Ответы к заданиям. Математика 4 класс. Тетрадь для самостоятельной работы № 1. Захарова О.А., Юдина Е.П.

Математика. 4 класс. Чекин А.Л.

4.9 / 5 ( 16 голосов )

ГДЗ по математике 5 класс Чесноков дидактические материалы

Математика за 5 класс требует комплексного подхода к изучению. Очень многие дети, после младшей школы, испытывают некоторые трудности с этим предметом. Обусловлено это в первую очередь тем, что дисциплина становится более сложной, темы разнообразными. Они связаны между собой достаточно плотно, поэтому, если существовал пробел в знаниях по предыдущим разделам, то дальнейшее освоение будет затруднено. Чтобы этого избежать и не запустить ситуацию, рекомендуется использовать решебник по математике за пятый год обучения к дидактическим материалам автора Чеснокова и Нешкова.

Темы и разделы по предмету

• понятия точки, отрезка, луча и прямой;
• чтение и записывание больших натуральных чисел с разрядами и классами;
• сравнение десятичных дробей и их корректное изображение на числовой прямой. А также действия с ними;
• буквенные и цифровые выражения;
• объемы и площади простых геометрических фигур;
• понятие углов и единицы их измерения.

Как видно, добавляется достаточно много новых разделов. К тому же, некоторые из них формируют первые геометрические понятия. В связи с чем, требуется особое внимание при изучении данной дисциплины, как в школе, так и дома.

В чем помогут ГДЗ по математике к дидактическим материалам для 5 класса (авторы: А. С. Чесноков, К. И. Нешков)

Если школьник будет пользоваться готовыми домашними заданиями, то это обеспечит ему следующие преимущества:

• он сможет выполнять домашние задания самостоятельно;
• если что-либо останется непонятным, то можно нарешать некоторое количество номеров и упражнений по данной теме из аналогичной группы сложности;
• приобретенные навыки ребенок с успехом продемонстрирует во время проведения тестов и проверочных работ на уроке в классе. Он перестанет испытывать страх и неуверенность в себе. А это самым благотворным образом отразится не только на его психоэмоциональном состоянии, но также будет формировать лидерский характер;
• оценки за контрольные работы, четверти и год станут выше;
• и, что самое главное, грамотный подход с использованием решебника, позволит ему подготовить основу для дальнейшего освоения сложных тем по дисциплине в последующих классах. Результат – удачная сдача ОГЭ и ЕГЭ и планирование поступления в то учебное заведение, которое хочется.

Как избежать неудач

Некоторые дети, в силу своего характера и все-таки еще слишком юного возраста, не понимают всей меры ответственности по отношению к учебе, которая лежит на их плечах. Они просто бездумно списывают предложенные готовые ответы в этом информационном справочном материале. Этот подход только усугубляет ситуацию, так как не формирует нужные навыки. В этом случае роль родителей является ключевой и решающей. Они должны в первую очередь объяснить, как правильно использовать решебник, независимо от того, представлен он печатным изданием или используется в онлайн-режиме. И, чтобы избежать недоразумений и просчетов, им стоит контролировать учебный процесс, хотя бы периодически. Только в этом случае можно получить положительный эффект, и родители могут избежать нанимания репетитора.

Как научиться делению столбиком, 3 класс,4 класс. Деление столбиком 3 двухзначных чисел. Деление столбиком 4 трёхзначных чисел. Пример деления столбиком без остатка, с остатком

Итак, тема сложения и вычитания усвоена, есть четкое представление о математических операциях умножения и деления, можно приступать к делению чисел столбиком. Не каждый школьник с первого урока поймет смысл данной темы, особенно в случаях деления многозначных чисел и чисел с остатком. И здесь ему потребуется всяческая поддержка родителей. Чтобы помочь ребен ;:ку справиться с делением уголком, воспользуйтесь нашими теоретическими подсказками. Статья имеет подробное пояснение хода решения примеров, а также доступные наглядные иллюстрации.

Содержание статьи

Как научиться делить столбиком 3 класс

Арифметические расчеты в 3 классе базируются на таблице умножения от 1 до 10 в пределах чисел до 100. На этом этапе ребенок должен понимать сам процесс деления и безошибочно определять категории «делителя», «делимого» и «частного». Конечно, деление многозначных чисел проще всего проводить столбиком. Школьник меньше путается и не теряет цифры. Таким образом, вырабатывается мысленная логическая схема. Суть метода нельзя уловить без знания таблицы умножения и способа «обратного» деления.

Алгоритм деления в столбик:

Например, 98 необходимо разделить в столбик на 7.

В нашем примере 98 – делимое, 7 – делитель, результат деления, который получится в итоге – частное. Его и необходимо найти.

Делимое и делитель запишем рядом, разделив их вертикальной линией с уголком.  Теперь необходимо определить, сколько семерок поместится в девятке – одна. Цифру «1» запишем под линией в правом нижнем углу.

Под девяткой запишем семерку, подчеркнем линией, отнимем и запишем разницу — 2. Если в двойке не помещается ни одной семерки, значит решение верно. Снесем к двойке верхнюю восьмерку. Получим — 28. Проанализируем, сколько семерок может поместиться в цифре «28» – 4. Полученный ответ запишем рядом с «1».

От 28 отнимем цифру «28» и получим «0» — значит, деление произвели правильно. Если в итоге деления не получается ноль, возможна в подсчетах арифметическая ошибка или деление без остатка невозможно. В итоге частное получилось «14».

Правильность деление можно проверить, если при умножении 14 на 7 получается 98 — подсчеты верны.

Главная проблема, с которой сталкиваются третьеклассники на уроках математики – это отсутствие умения производить быстрые арифметические действия. А ведь вся школьная программа начальной школы базируется на этой основе, особенно действия на деление.

Как научиться делить столбиком 4 класс

Программа 4 класса, по сравнению с прошлым учебным годом, усложняется в сторону увеличения расчетных чисел. Четвероклассники проводят деление многозначных чисел больше 100. Они учатся делить уголком числа с двух и трехзначным делителем, а также решать примеры с остатком.
Алгоритм решения деления уголком аналогичен алгоритму, изучаемому в третьем классе.

Давайте, в качестве примера 1072 разделим на 8. Сразу необходимо определиться с категориями деления, 1072 — делимое, 8 – делитель. Результат, полученный в качестве действия, — частное.
Числа запишем с двух сторон уголка.
Сразу определимся с числом, которое больше самого делителя. 1<8, поэтому начинают действие с 10. В данном числе может содержаться лишь одна 8. Запишем результат в правой колонке.

Делитель 8 умножим на  1 и получим —  8. Результат подпишем под делимым 1072 и вычтем. Полученное число 2<8, поэтому его увеличим за счет следующего неиспользованного числа делимого — 7. В итоге получится цифра «27».
Затем действуют по алгоритму. Проанализируем, сколько восьмерок содержит число «27». В нем заключено 3 х 8=24. Цифру «3» допишем в правой колонке рядом с частным 1. На данный момент частное – 13.
Слева от 27 – 24 = 3.

Последним числом частного будет цифра «32», за счет неиспользованного делителя.
Проанализировав число, запишем результат: 32 : 8 = 4. Полученную 4 присоединим к частному — 134. Осталось лишь проверить результат: 134 х 8 =1072.

Как научиться делить столбиком на двузначное

В 4 классе ученик должен уметь делить уголком многозначные значения на двух- и трехзначное число. Полученный навык необходим для дальнейшего курса математики вплоть до 11 класса.
Конечно, такое деление сложнее однозначного, но при правильном подходе и понимании оно не составит труда. Здесь важен правильный подбор чисел и постепенное освоение темы, от простого к сложному.

Для примера выполним действие: 144 : 24

Как и в случае однозначного деления, определим число большее самого делителя: 14<24, т. е. будем делить сразу все число — 144. Прикинем 144 : 20, получим примерно 7. Пробную цифру пока не пишут в колонке. Проверим, 7 х 24 = 168, что значительно больше нашего делимого. Возьмем по 6 х 24 = 144 – это наше число. Подпишем его под делимым и получим ответ – 6.

После постепенного освоения простых примеров, можно перейти к более сложным.

Разделим 1035 на 23.

Определив первую цифру, 103 >23, делим ее на 23. 20 х 5 = 100, но у нас в примере 23 х 5 = 115, что больше 103. Возьмем по 4: 23 х 4 = 92. Запишем ответ в правой колонке под чертой.
От 103 – 92 = 11. Данные запишем под делимым. 11<23, т.е. расчеты сделаны верно.
К 11 снесем 5 и получим цифру «115». Методом подбора определим результат: 23 х 5 = 115.
Цифру «5» запишем рядом с 4 в ответ – 45.
Проверим: 45 х 23 = 1035, результат верен.

Аналогично выполняют деление на любые многозначные числа (трехзначные, четырехзначные и т.п.).

Видео как научиться делить в столбик

Как научиться делить в столбик с остатком

Деление с остатком – следующий этап обучения. Во время таких действий делимое невозможно ровно разделить на части. Ответ примера будет иметь неделимый кусок, меньший делителя. Чтобы школьник быстрее понял смысл математических действий, тему объясняют на доступных примерах.
На подносе находится 34 конфеты, которые нужно разделить на 8 детей. Когда каждый ребенок получит по 4 конфеты, на столе останется еще 2 штуки. Это и будет остаток. Вычисления выглядят следующим образом:
34 : 8= 4 ост (2). Откуда взялась цифра «2»? 8 х 4= 32, 34 — 32= 2.
Принцип деления уголком с остатком аналогичен классическому, с одной разницей – наличием остатка.

Для примера разделим 235 на 14.

235 — делимое, расположим слева, делитель (14) напишем правее. Оба значения между собой разделим уголком. Приступим к поиску целого. 23>14, в данном числе помещается 1 делитель. Единицу запишем внизу под уголком. 23 — 14 = 9.

К 9 снесем 5 — цифру единиц делимого и в итоге получим второе неполное делимое – 95.
Методом подбора разделим 90 : 10 = 9, но в нашем случае 14 х 9= 126, что больше 95.
Попробуем 14 х 8= 112. 112>95, поэтому возьмем на единицу меньше: 7 х 14= 98, что также больше 96 на две единицы. Теперь уже точно известно, что нужная цифра 6: 6 х 14= 84
95 — 84= 11, т.е. 11 — это остаток.

Во время решения примеров с остатком, ответ может быть записан двумя способами:

• в виде дроби, когда в числителе размещают остаток, а в знаменатель записывают делитель:11/16,
• но чаще всего ответ записывают словами: 6 целых и 11 в остатке.

Как научиться делить столбиком трехзначные числа

Когда в делителе стоит трехзначное число, действие лучше всего выполнять в столбик. Алгоритм математического решения аналогичен делению на двузначное число.

Для примера рассмотрим следующие действия: 146676 : 719

146<719, поэтому сразу возьмем четырехзначное число «1466». В данном значении помещается 2 делителя: 719 х 2= 1438. Цифра «2» будет первым значением частного. Ее запишем справа под уголком.

1466 — 1438 = 28. Полученную разность запишем под чертой слева. Снесем к 28 цифру «7». 287<719, поэтому рядом с двойкой запишем «0».

Снесем последнюю цифру делимого «6», в итоге получится число «2876», которое разделим на 719.  Возьмем по 3: 719 х 3 = 2157 — мало, можно взять по 4: 719 х 4 = 2876. Цифру «4» запишем рядом с «20», получим в ответе 204. От 2876 отнимем 2876 , получим разность 0.

Желательно в конце проверить правильность выполнения действий: 204 х 719 = 146676. Ответ верен.

Как научиться делить в столбик многозначные числа

Этапы деления в столбик многозначного числа аналогичны классическому делению многозначного числа на однозначное. В первом случае учитываем только первую цифру делителя, а при делении на многозначное берем во внимание количество всех цифр делителя. Рабочее число обязательно должно быть больше делителя. В других случаях – добавляем цифру следующего разряда и производим деление по алгоритму.

Математические действия на деление в столбик будут под силу школьнику, если он поймет основной алгоритм вычисления. Правильность решения всегда можно проверить умножением.

Частота и Таблицы частот

Частота конкретного значения данных является сколько раз встречается значение данных.

Например, если четыре ученика набрали 80 баллов по математике, а затем считается, что оценка 80 соответствует частоте 4. Частота значения данных часто представлена ​​ f .

Таблица частот строится путем упорядочивания значений собранных данных в порядке возрастания с соответствующими частотами.

Пример 5

Баллы за задание, установленное для 8-го класса из 20 студентов составили:
6 7 5 7 7 8 7 6 9 7
4 10 6 8 8 9 5 6 4 8

Представьте эту информацию в таблице частот.

Решение:

Для построения таблицы частот действуем следующим образом:

Шаг 1:

Создайте таблицу с тремя столбцами. Первый столбец показывает, что размещается в порядке возрастания (т. е. отметки). В самая низкая отметка — 4. Итак, начните с 4 в первом столбце, как показано ниже.

Шаг 2:

Просмотрите список оценок.Первая отметка в list — 6, поэтому отметьте 6 во втором столбце. В вторая отметка в списке — 7, поэтому поставьте отметку 7 во второй столбец. Третья отметка в списке — 5, поэтому ставьте отметку напротив 5. в третьем столбце, как показано ниже.

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все отметки в списке не будут подсчитано.

Шаг 3:

Подсчитайте количество отметок для каждой отметки и запишите его. в третьем столбце.Готовая таблица частот выглядит следующим образом:

Всего:

Мы используем следующие шаги, чтобы построить таблицу частот:

Шаг 1:

Создайте таблицу с тремя столбцами. Тогда в В первом столбце запишите все значения данных в порядке возрастания.

Шаг 2:

Чтобы заполнить второй столбец, просмотрите список данных значений и поместите одну метку в соответствующем месте во второй столбец для каждого значения данных.Когда будет достигнут пятый результат отметьте, проведите горизонтальную линию через первые четыре отметки, как показано для 7 в приведенной выше таблице частот. Продолжаем этот процесс, пока все значения данных в списке суммируются.

Шаг 3:

Подсчитайте количество меток для каждого значения данных и напишите это в третьем столбце.

Интервалы классов (или группы)

Когда набор значений данных рассредоточен, трудно настроить частотную таблицу для каждого значения данных, так как будет слишком много строк в таблице.Поэтому мы группируем данные в классов, интервалы (или группы), чтобы помочь нам организовать, интерпретировать и анализировать данные.

В идеале у нас должно быть от пяти до десяти строк в таблица частот. Помните об этом при выборе размера класса. интервальный (или групповой).

Каждая группа начинается со значения данных, кратного этому значению. группа. Например, если размер группы 5, то группы должен начинаться с 5, 10, 15, 20 и т. д.Аналогично, если размер группы равно 10, тогда группы должны начинаться с 10, 20, 30, 40 и т. д.

Частота группы (или интервал классов) — это количество значений данных, попадающих в диапазон определяется этой группой (или интервалом класса).

Пример 6

Количество звонков от автомобилистов в сутки по обочине. Служба записана на декабрь 2003 года.Результаты были такими следует:

Установите частотную таблицу для этого набора значений данных.

Решение:

Для построения таблицы частот действуем следующим образом:

Шаг 1. Создайте таблицу с тремя столбцами и напишите группы данных или интервалы классов в первом столбце.Размер каждого группа — 40. Таким образом, группы будут начинаться с цифр 0, 40, 80, 120, 160 и 200 до включить все данные. Обратите внимание, что на самом деле нам нужно 6 групп (на 1 больше, чем мы первая мысль).

Шаг 2: Просмотрите список значений данных. Во-первых значение данных в списке, 28, поставьте отметку напротив группы 0-39 в второй столбец.Для второго значения данных в списке, 122, поместите подсчет отметьте напротив группы 120-159 во втором столбце. Для третьих данных значение в списке, 217, поставить отметку напротив группы 200-239 в второй столбец.

Мы продолжаем этот процесс до тех пор, пока все значения данных в наборе подсчитываются.

Шаг 3: Подсчитайте количество отметок для каждой группы и напишите это в третьем столбце.Готовая таблица частот выглядит следующим образом:

Ключевые термины

частота, таблица частот, интервалы классов, группа

Умножение вектора на матрицу

Чтобы умножить вектор-строку на вектор-столбец, вектор-строка должен иметь столько столбцов, сколько строк в векторе-столбце.

Определим умножение матрицы А и вектор Икс в котором количество столбцов в А равно количеству строк в Икс .

Так что если А является м × п матрица, то произведение А Икс определяется для п × 1 вектор-столбец Икс . Если мы позволим А Икс знак равно б , тогда б является м × 1 вектор-столбец. Другими словами, количество строк в А определяет количество строк в продукте б .

Общая формула для произведения матрица-вектор:

А Икс знак равно [ а 11 а 12 ⋯ а 1 п а 21 год а 22 ⋯ а 2 п ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ а м 1 а м 2 ⋯ а м п ] [ Икс 1 Икс 2 ⋮ Икс п ] знак равно [ а 11 Икс 1 + а 12 Икс 2 + ⋯ + а 1 п Икс п а 21 год Икс 1 + а 22 Икс 2 + ⋯ + а 2 п Икс п ⋮ а м 1 Икс 1 + а м 2 Икс 2 + ⋯ + а м п Икс п ]

Пример :

Находить А y где y знак равно [ 2 1 3 ] а также А знак равно [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] .

По определению, количество столбцов в А равно количеству строк в y .

А y знак равно [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 2 1 3 ]

Сначала умножьте строку 1 матрицы по столбцу 1 вектора.

[ 1 2 3 ] [ 2 1 3 ] знак равно [ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ] знак равно 13

Далее умножаем строку 2 матрицы по столбцу 1 вектора.

[ 4 5 6 ] [ 2 1 3 ] знак равно [ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 ] знак равно 31 год

Наконец умножьте строку 3 матрицы по столбцу 1 вектора.

[ 7 8 9 ] [ 2 1 3 ] знак равно [ 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 1 + 9 ⋅ 3 ] знак равно 49

Записывая матрично-векторное произведение, получаем:

А y знак равно [ 13 31 год 49 ]

типов матриц — Матричные решаемые вопросы и часто задаваемые вопросы

Прежде чем обсуждать типы матриц, давайте обсудим, что такое матрица.

• Матрица — это прямоугольный массив чисел или символов, которые обычно расположены в строках и столбцах.

• Порядок матрицы определяется как количество строк и столбцов.

• Записи — это числа в матрице, и каждое число известно как элемент.

• Матрицы — это матрицы.

• Размер матрицы называется матрицей «n на m» и записывается как m × n, где n — количество строк, а m — количество столбцов.

• Пример матрицы, у нас есть матрица 3 × 2, потому что количество строк здесь равно 3, а количество столбцов равно 2.

\ [\ begin {bmatrix} -2 & 5 & 6 \ \ 5 & 2 & 7 \ end {bmatrix} \]

Размеры матрицы можно определить как количество строк и столбцов матрицы в указанном порядке. Поскольку приведенная выше матрица A имеет 2 строки и 3 столбца, она известна как матрица 2 × 3.

Какие бывают типы матриц?

Существуют разные типы матриц.Вот они —

1) Матрица строк

2) Матрица столбцов

3) Нулевая матрица

4) Квадратная матрица

5) Диагональная матрица

6) Верхняя треугольная матрица

7) Нижняя треугольная матрица

8) Симметричная матрица

9) Кососимметричная матрица

10) Горизонтальная матрица

11) Вертикальная матрица

12) Идентификационная матрица

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Давайте обсудим различные типы матриц в математике , типы матриц подробно, определение и типы матриц.

1. Что такое нулевая матрица?

Если в матрице все элементы равны нулю, то она называется нулевой матрицей и обычно обозначается 0. Таким образом, A = [\ [a_ {ij} \]] mxn является нулевой матрицей, если \ [a_ {ij} \] = 0 для всех i и j.

Первая матрица O представляет собой матрицу 2 × 2 со всеми элементами, равными нулю, а вторая матрица O представляет собой матрицу 3 × 3 со всеми элементами, равными нулю.

O = \ [\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} \], O = \ [\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} \]

2.Что такое треугольная матрица?

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы выше главной диагонали равны нулю, тогда треугольная матрица называется нижней треугольной матрицей или все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, тогда треугольная матрица называется верхнетреугольная матрица).

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \ end {bmatrix} \]

Приведенная выше матрица представляет собой верхнюю треугольную матрицу 3 × 3.

Приведенная ниже матрица является примером нижней треугольной матрицы 3 × 3.

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 9 \ end {bmatrix} \]

3. Что такое вертикальная матрица?

Матрица порядка m x n называется вертикальной матрицей, если m> n, где m равно количеству строк, а n равно количеству столбцов.

Пример матрицы

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \\ 3 & 6 \\ 2 & 4 \ end {bmatrix} \]

В приведенном ниже примере матрицы количество строк (m) = 4, тогда как число столбцов (n) = 2.Следовательно, это делает матрицу вертикальной матрицей.

4. Что такое горизонтальная матрица?

Матрица порядка m x n называется горизонтальной матрицей, если n> m, где m равно количеству строк, а n равно количеству столбцов.

Пример матрицы

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

В приведенном ниже примере матрицы количество строк (m) = 2, а количество столбцов (n) = 4. Следовательно, можно сказать, что матрица является горизонтальной матрицей.

5. Что такое матрица строк?

Матрица, содержащая только одну строку, называется матрицей строк. Таким образом, A = [\ [a_ {ij} \]] m x n является матрицей-строкой, если m равно 1. Таким образом, матрица-строка может быть представлена ​​как A = [\ [a_ {ij} \]] 1 × n. Это известно, потому что у него только одна строка, и поэтому порядок матрицы-строки всегда будет равен 1 × n.

Пример матрицы строк,

A = \ [\ begin {bmatrix} 4 & 6 & 9 \ end {bmatrix} \], B = \ [\ begin {bmatrix} 7 & 2 & 1 & 9 & 2 & 5 \ end {bmatrix} \]

В матричном примере Как указано выше, матрица A имеет только одну строку, поэтому матрица B имеет одну строку, поэтому обе матрицы A и B являются матрицами-строками.

6. Что такое матрица столбцов?

Матрица с одним столбцом называется матрицей столбцов. Таким образом, A = [\ [a_ {ij} \]] mxn является матрицей-столбцом, если n равно 1. Таким образом, матрица-строка может быть представлена ​​как A = [\ [a_ {ij} \]] m × 1. Это известно, потому что он имеет только один столбец, и поэтому порядок матрицы столбцов всегда будет равен m × 1.

Пример матрицы столбцов,

A = \ [\ begin {bmatrix} 3 \\ 4 \\ 8 \ end {bmatrix} \], B = \ [\ begin {bmatrix} 4 \\ 9 \\ 8 \\ 2 \ end {bmatrix} \]

В приведенном выше примере матрицы матрица A имеет только один столбец и матрица B имеют один столбец, поэтому обе матрицы A и B являются матрицами столбцов.

7. Что такое диагональная матрица?

Если все элементы матрицы, кроме главной диагонали в любой данной квадратной матрице, равны нулю, это называется диагональной матрицей. Таким образом, квадратная матрица A = [\ [a_ {ij} \]] является диагональной матрицей, если \ [a_ {ij} \] = 0, когда i не равно j.

Например,

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \ end {bmatrix} \]

Приведенный выше пример представляет собой диагональную матрицу, поскольку она имеет элементы только по диагонали.

8. Что такое симметричная матрица?

Квадратная матрица A = [\ [a_ {ij} \]] известна как симметричная матрица, если \ [a_ {ij} \] = \ [a_ {ji} \] для всех значений i, j.

Например,

A = \ [\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \ end {pmatrix} \]

9. Что такое асимметричная матрица?

Квадратная матрица A = [\ [a_ {ij} \]] является кососимметричной матрицей, если \ [a_ {ij} \] = \ [a_ {ji} \] для всех значений i, j. Таким образом, в кососимметричной матрице все диагональные элементы равны нулю.

Например,

\ [\ begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 0 \ end {bmatrix} \]

10. Что такое матрица идентичности?

Если все элементы главной диагонали в диагональной матрице равны 1, то она называется единичной матрицей. Единичную матрицу порядка n можно обозначить In. Таким образом, квадратная матрица A = [\ [a_ {ij} \]] m × n является единичной матрицей, если все ее диагонали имеют значение 1.

Например, A = \ [\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

Вопросы для решения

Вопрос 1) Приведите пример единичной матрицы с числом строк и столбцов, равным двум.

Ответ) Мы знаем, что единичная матрица — это матрица, диагональные элементы которой равны 1, а все остальные элементы равны нулю.

Например, A = \ [\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

Дифференциальные уравнения — Обзор: матрицы и векторы

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-2: Обзор: матрицы и векторы

Этот раздел призван стать уловкой для многих основных концепций, которые иногда используются при работе с системами дифференциальных уравнений.В этом разделе не будет много деталей, и мы не будем работать с большим количеством примеров. Кроме того, во многих случаях мы не будем рассматривать общий случай, поскольку нам не понадобятся общие случаи в нашей работе с дифференциальными уравнениями.

Начнем с основных обозначений матриц. Матрица \ (n \ times m \) (ее часто называют размером или размером матрицы) — это матрица с \ (n \) строками и \ (m \) столбцами и записью в \ (i ^ {\ text {th}} \) строка и \ (j ^ {\ text {th}} \) столбец обозначается \ (a_ {ij} \). Краткий метод записи общей матрицы \ (n \ times m \) следующий.

\ [A = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}}} & {{a_ {12}}} & \ cdots & {{a_ {1m}) }} \\ {{a_ {21}}} & {{a_ {22}}} & \ cdots & {{a_ {2m}}} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {{ a_ {n1}}} & {{a_ {n2}}} & \ cdots & {{a_ {nm}}} \ end {array}} \ right) _ {n \ times m}} = {\ left ({ {a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \]

Размер или размер матрицы при необходимости указывается в нижнем индексе, как показано.Если это не требуется или не ясно из проблемы, индексированный размер часто опускается из матрицы.

Специальные матрицы

Есть несколько «специальных» матриц, которые мы можем иногда использовать. Первая специальная матрица — это квадратная матрица . Квадратная матрица — это любая матрица, размер (или размерность) которой равен \ (n \ умножить на n \). Другими словами, в нем столько же строк, что и столбцов. В квадратной матрице диагональ, которая начинается в верхнем левом углу и заканчивается в правом нижнем углу, часто называется главной диагональю .

Следующие две специальные матрицы, которые мы хотим рассмотреть, — это нулевая матрица и единичная матрица. Нулевая матрица , обозначенная \ (0_ {n \ times m} \), является матрицей, все элементы которой являются нулями. Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу \ (n \ умноженную на n \), обозначенную \ (I_ {n} \), все главные диагонали которой равны единицам, а все остальные элементы равны нулю. Вот общие нулевая и единичная матрицы.

\ [{0_ {n \ times m}} = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 \ end {array}} \ right) _ {n \ times m}} \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} {I_n} = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {array}} \ right) _ {n \ times n}} \]

В матричной арифметике эти две матрицы будут действовать в матричной работе как ноль, а единица — в действительной системе счисления.

Последние две специальные матрицы, которые мы здесь рассмотрим, — это матрица столбцов и матрица строк .Это матрицы, состоящие из одного столбца или одной строки. В общем, их

\ [x = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \ vdots \\ {{x_n}}} \ end {массив }} \ right) _ {n \ times 1}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} y = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r }} {{y_1}} & {{y_2}} & \ cdots & {{y_m}} \ end {array}} \ right) _ {1 \ times m}} \]

Мы часто будем называть их векторами .

Арифметика

Теперь нам нужно взглянуть на арифметику с матрицами.Мы начнем с сложения и вычитания двух матриц. Итак, предположим, что у нас есть две матрицы \ (n \ times m \), \ (A \) и \ (B \). Сумма (или разность) этих двух матриц тогда равна

. \ [{A_ {n \ times m}} \ pm {B_ {n \ times m}} = {\ left ({{a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \ pm {\ left ({{b_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} = {\ left ({{a_ {ij}} \ pm {b_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \]

Сумма или разность двух матриц одинакового размера — это новая матрица одинакового размера, элементы которой представляют собой сумму или разность соответствующих элементов из двух исходных матриц. Обратите внимание, что мы не можем добавлять или вычитать записи разных размеров.

Теперь давайте посмотрим на скалярное умножение . При скалярном умножении мы собираемся умножить матрицу \ (A \) на константу (иногда называемую скаляром) \ (\ alpha \). В этом случае мы получаем новую матрицу, все элементы которой умножены на константу \ (\ alpha \).

\ [\ alpha {A_ {n \ times m}} = \ alpha {\ left ({{a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} = {\ left ({\ alpha \, { a_ {ij}}} \ right) _ {n \ times m}} \] Пример 1 Учитывая следующие две матрицы, \ [A = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 2} \\ {- 9} & 1 \ end {array}} \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} B = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 4} & 1 \\ 0 & {- 5} \ end {array }} \верно)\]

вычислить \ (A-5B \).

Показать решение

Здесь особо нечем заняться, кроме работы.

\ [\ begin {align *} A — 5B & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 2} \\ {- 9} & 1 \ end {array}} \ справа) — 5 \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 4} & 1 \\ 0 & {- 5} \ end {array}} \ right) \\ & = \ left ( {\ begin {array} {* {20} {r}} 3 & {- 2} \\ {- 9} & 1 \ end {array}} \ right) — \ left ({\ begin {array} {* {20 } {r}} {- 20} & 5 \\ 0 & {- 25} \ end {array}} \ right) \\ & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {23 } & {- 7} \\ {- 9} & {26} \ end {array}} \ right) \ end {align *} \]

Сначала мы умножили все элементы \ (B \) на 5, затем вычли соответствующие элементы, чтобы получить элементы в новой матрице.

Последняя матричная операция, которую мы рассмотрим, это умножение матрицы на . Здесь мы начнем с двух матриц, \ (A_ {n \ times p} \) и \ (B_ {p \ times m} \). Обратите внимание, что \ (A \) должен иметь такое же количество столбцов, как \ (B \) имеет строки. {\ text {th}} \), \ (c_ {ij} \), находится путем умножения строки \ (i \) матрицы \ (A \) на столбец \ (j \) матрицы \ (B \).Это не всегда имеет смысл на словах, поэтому давайте рассмотрим пример.

Пример 2 Дан \ [A = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & {- 1} & 0 \\ {- 3} & 6 & 1 \ end {array}} \ right) _ {2 \ times 3}} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} B = {\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & {- 1} & 2 \\ {- 4} & 3 & 1 & 0 \ \ 0 & 3 & 0 & {- 2} \ end {array}} \ right) _ {3 \ times 4}} \]

вычислить \ (AB \).

Показать решение

Новая матрица будет иметь размер \ (2 \ умножить на 4 \).Запись в строке 1 и столбце 1 новой матрицы будет найдена путем умножения строки 1 матрицы \ (A \) на столбец 1 матрицы \ (B \). Это означает, что мы умножаем соответствующие записи из строки \ (A \) и столбца \ (B \), а затем складываем результаты. Вот пара записей, рассчитанных полностью.

\ [\ begin {align *} {c_ {11}} & = \ left (2 \ right) \ left (1 \ right) + \ left ({- 1} \ right) \ left ({- 4} \ right » ) + \ left (0 \ right) \ left (0 \ right) = 6 \\ {c_ {13}} & = \ left (2 \ right) \ left ({- 1} \ right) + \ left ({ — 1} \ right) \ left (1 \ right) + \ left (0 \ right) \ left (0 \ right) = — 3 \\ {c_ {24}} & = \ left ({- 3} \ right ) \ left (2 \ right) + \ left (6 \ right) \ left (0 \ right) + \ left (1 \ right) \ left ({- 2} \ right) = — 8 \ end {align *} \]

Вот полное решение.

\ [C = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 6 & {- 3} & {- 3} & 4 \\ {- 27} & {21} & 9 & {- 8} \ end {array}} \ right) \]

В этом последнем примере обратите внимание на то, что мы не могли выполнить произведение BA , поскольку количество столбцов в \ (B \) не совпадает с количеством строк в \ (A \). Важно отметить, что то, что мы можем вычислить \ (AB \), не означает, что мы можем вычислить \ (BA \). Точно так же, даже если мы можем вычислить как \ (AB \), так и \ (BA \), они могут быть или не быть одной и той же матрицей.

Определитель

Следующая тема, которую нам нужно рассмотреть, — это определитель матрицы . Определитель на самом деле является функцией, которая преобразует квадратную матрицу в число. Фактическая формула функции несколько сложна и определенно выходит за рамки этого обзора.

Основной метод вычисления определителей любой квадратной матрицы называется методом сомножителей. Поскольку мы собираемся иметь дело почти исключительно с матрицами \ (2 \ times 2 \) и случайной матрицей \ (3 \ times 3 \), мы не будем вдаваться в этот метод.Мы можем дать простые формулы для каждого из этих случаев. Стандартным обозначением определителя матрицы \ (A \) является.

\ [\ det \ left (A \ right) = \ left | A \ right | \]

Вот формулы для определителя матриц \ (2 \ times 2 \) и \ (3 \ times 3 \).

\ [\ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} a & c \\ b & d \ end {array}} \ right | = ad — cb \] \ [\ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}}} & {{a_ {12}}} & {{a_ {13}}} \\ {{a_ {21}} } & {{a_ {22}}} & {{a_ {23}}} \\ {{a_ {31}}} & {{a_ {32}}} & {{a_ {33}}} \ end { массив}} \ right | = {a_ {11}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {22}}} & {{a_ {23}}} \\ {{a_ {32}}} и {{a_ {33}} } \ end {array}} \ right | — {a_ {12}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {21}}} & {{a_ {23}}} \\ {{a_ {31}}} и {{a_ {33}} } \ end {array}} \ right | + {a_ {13}} \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {21}}} & {{a_ {22}}} \\ {{a_ {31}}} и {{a_ {32}} } \ end {array}} \ right | \] Пример 3 Найдите определитель каждой из следующих матриц.\ [A = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 9} & {- 18} \\ 2 & 4 \ end {array}} \ right) \ hspace {0.25in} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} B = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 & 1 \\ {- 1} & {- 6} & 7 \\ 4 & 5 & {- 1 } \ end {array}} \ right) \] Показать решение

Для \ (2 \ times 2 \) ничего не остается, кроме как вставить его в формулу.

\ [\ det \ left (A \ right) = \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} {- 9} & {- 18} \\ 2 & 4 \ end {array}} \ right | = \ left ({- 9} \ right) \ left (4 \ right) — \ left ({- 18} \ right) \ left (2 \ right) = 0 \]

Для \ (3 \ times 3 \) мы могли бы вставить его в формулу, однако, в отличие от случая \ (2 \ times 2 \), эту формулу не так легко запомнить.Есть более простой способ получить тот же результат. Более быстрый способ получить тот же результат — сделать следующее. Сначала запишите матрицу и прикрепите к ее концу копии первых двух столбцов следующим образом.

\ [\ det \ left (B \ right) = \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 & 1 \\ {- 1} & {- 6} & 7 \\ 4 & 5 & {- 1} \ end {array}} \ right | \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 \\ {- 1} & {- 6} \\ 4 & 5 \ end {array} \]

Теперь обратите внимание, что есть три диагонали, идущие слева направо, и три диагонали, идущие справа налево. Что мы делаем, так это умножаем записи на каждой диагонали вверх, и если диагональ идет слева направо, мы складываем их, а если диагональ идет справа налево, мы вычитаем их.

Вот работа для этой матрицы.

\ [\ begin {align *} \ det \ left (B \ right) & = \ left | {\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 & 1 \\ {- 1} & {- 6} & 7 \\ 4 & 5 & {- 1} \ end {array}} \ right | \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 3 \\ {- 1} & {- 6} \\ 4 & 5 \ end {array} \\ & = \ left (2 \ right) \ left ( {- 6} \ right) \ left ({- 1} \ right) + \ left (3 \ right) \ left (7 \ right) \ left (4 \ right) + \ left (1 \ right) \ left ( {- 1} \ right) \ left (5 \ right) — \\ & \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left (3 \ right) \ left ({- 1} \ right) \ left ({- 1} \ right) — \ left (2 \ right) \ left (7 \ right) \ left (5 \ right) — \ left (1 \ right) \ left ({- 6} \ right) \ left (4 \ right) \\ & = 42 \ end {align *} \ ]

Вы можете использовать формулу или сокращение, чтобы получить определитель \ (3 \ times 3 \).

Если определитель матрицы равен нулю, мы называем эту матрицу сингулярной , а если определитель матрицы не равен нулю, мы называем матрицу невырожденной .{-1} \).

Вычислить обратную матрицу \ (A \) довольно просто. Сначала формируем новую матрицу

\ [\ left ({A \, \, \, {I_n}} \ right) \]

, а затем используйте операции со строками из предыдущего раздела и попытайтесь преобразовать эту матрицу в форму

\ [\ left ({{I_n} \, \, \, B} \ right) \]

Если мы можем, то \ (B \) обратен \ (A \). Если мы не можем, то не существует обратной матрицы \ (A \).

Пример 4 Найдите обратную матрицу, если она существует.\ [A = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 1 \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 1 & 1 & {- 1} \ end {array}} \ right ) \] Показать решение

Сначала мы формируем новую матрицу, добавляя к ней единичную матрицу \ (3 \ times 3 \). Это

\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 1 \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 1 & 1 & {- 1} \ end {array} \ quad \ begin { array} {* {20} {r}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \]

Теперь мы будем использовать операции со строками, чтобы попытаться преобразовать первые три столбца в идентичность \ (3 \ times 3 \).Другими словами, нам нужна 1 на диагонали, которая начинается в верхнем левом углу и равна нулю во всех остальных записях в первых трех столбцах.

Если задуматься, этот процесс очень похож на процесс, который мы использовали в предыдущем разделе для решения систем, но он идет немного дальше. Вот работа для этой проблемы.

\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 1 \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 1 & 1 & {- 1} \ end {array} \ quad \ begin { array} {* {20} {r}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} \ leftrightarrow {R_3} } \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ {- 5} & {- 3} & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} { {R_2} + 5 {R_1}} \\ {{R_3} — 2 {R_1}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 2 & {- 5} \\ 0 & {- 1} & 3 \ end {array} \ quad \ begin { array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & {- 2} \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {\ frac {1 } {2} {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 1 & {\ frac {- 5 }} {2}} \\ 0 & {- 1} & 3 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \\ 1 & 0 & {- 2} \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} + {R_2}} \ \ \ Rightarrow \ end {массив} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 1 & {\ frac {{- 5}} {2}} \\ 0 & 0 & {\ frac {1}} {2}} \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \\ 1 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {1} {2}} \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {2 { R_3}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & {- 1} \\ 0 & 1 & {\ frac {{- 5}} {2} } \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 & 0 & 1 \\ 0 & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {5} {2}} \\ 2 & 1 & 1 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + \ frac {5} {2} {R_3}} \\ {{R_1} + {R_3}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 2 & 1 & 2 \ \ 5 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} — {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({ \ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} {- 3} & {- 2 } & {- 3} \\ 5 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \ end {array}} \ right) \]

Итак, мы смогли преобразовать первые три столбца в единичную матрицу \ (3 \ times 3 \), поэтому существует обратная матрица, и она равна

\ [{A ^ {- 1}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {- 3} & {- 2} & {- 3} \\ 5 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \ конец {массив}} \ right) \]

Итак, был пример, в котором действительно существовало обратное. Давайте посмотрим на пример, в котором обратного не существует.

Пример 5 Найдите обратную матрицу, если она существует. \ [B = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 3} \\ {- 2} & 6 \ end {array}} \ right) \] Показать решение

В этом случае мы используем тождество \ (2 \ times 2 \), чтобы получить новую матрицу, а затем попытаемся преобразовать первые два столбца в единичную матрицу \ (2 \ times 2 \).

\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 3} & 1 & 0 \\ {- 2} & 6 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \, \, \, \ begin {массив} {* {20} {c}} {2 {R_1} + {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \, \, \ left ({\ begin {array} {* {20} { r}} 1 & {- 3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \ end {array}} \ right) \, \, \]

И дальше идти не надо.Чтобы идентификатор \ (2 \ times 2 \) находился в первых двух столбцах, мы должны иметь 1 во второй записи второго столбца и 0 во второй записи первого столбца. Однако нет способа получить 1 во второй записи второго столбца, которая сохранит 0 во второй записи в первом столбце. Следовательно, мы не можем получить тождество \ (2 \ times 2 \) в первых двух столбцах, и, следовательно, обратного к \ (B \) не существует.

Мы закончим обсуждение инверсий следующим фактом.{-1} \) НЕ будет существовать.

Я предоставлю вам проверить этот факт на двух предыдущих примерах.

Новый взгляд на системы уравнений

Нам нужно сделать быстрый пересмотр систем уравнений. Начнем с общей системы уравнений.

\ [\ begin {уравнение} \ begin {выровнено} {a_ {11}} {x_1} + {a_ {12}} {x_2} + \ cdots + {a_ {1n}} {x_n} & = {b_1} \ \ {a_ {21}} {x_1} + {a_ {22}} {x_2} + \ cdots + {a_ {2n}} {x_n} & = {b_2} \\ \ vdots \ hspace {0.8in} & \\ {a_ {n1}} {x_1} + {a_ {n2}} {x_2} + \ cdots + {a_ {nn}} {x_n} & = {b_n} \ end {align} \ label { уравнение: уравнение1} \ end {уравнение} \]

Теперь превратите каждую сторону в вектор, чтобы получить,

\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}} {x_1} + {a_ {12}} {x_2} + \ cdots + {a_ {1n}}) {x_n}} \\ {{a_ {21}} {x_1} + {a_ {22}} {x_2} + \ cdots + {a_ {2n}} {x_n}} \\ \ vdots \\ {{a_ { n1}} {x_1} + {a_ {n2}} {x_2} + \ cdots + {a_ {nn}} {x_n}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} { * {20} {r}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ \ vdots \\ {{b_n}} \ end {array}} \ right) \]

Левую часть этого уравнения можно рассматривать как умножение матриц.

\ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}}} & {{a_ {12}}} & \ cdots & {{a_ {1n}}}} \ \ {{a_ {21}}} & {{a_ {22}}} & \ cdots & {{a_ {2n}}} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {{a_ {n1) }}} & {{a_ {n2}}} & \ cdots & {{a_ {nn}}} \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {r} } {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \ vdots \\ {{x_n}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r }} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ \ vdots \\ {{b_n}} \ end {array}} \ right) \]

Небольшое упрощение обозначений дает,

\ [\ begin {уравнение} A \ vec x = \ vec b \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

где, \ (\ vec x \) — вектор, компоненты которого являются неизвестными в исходной системе уравнений.Мы называем \ (\ eqref {eq: eq2} \) матричной формой системы уравнений \ (\ eqref {eq: eq1} \), а решение \ (\ eqref {eq: eq2} \) эквивалентно решению \ (\ eqref {eq: eq1} \). Процесс решения идентичен. Расширенная матрица для \ (\ eqref {eq: eq2} \) равна

\ [\ left ({A \, \, \, \ vec b} \ right) \]

Когда у нас есть расширенная матрица, мы действуем так же, как и с системой, которая не была записана в матричной форме.

У нас также есть следующий факт о решениях \ (\ eqref {eq: eq2} \).

Факт

Учитывая систему уравнений \ (\ eqref {eq: eq2} \), у нас есть одна из следующих трех возможностей решения.

1. Решений не будет.
2. Будет ровно одно решение.
3. Решений будет бесконечно много.

На самом деле, теперь мы можем пойти немного дальше. Поскольку мы предполагаем, что у нас столько же уравнений, сколько и неизвестных, матрица \ (A \) в \ (\ eqref {eq: eq2} \) является квадратной матрицей, и поэтому мы можем вычислить ее определитель.Это дает следующий факт.

Факт

Учитывая систему уравнений в \ (\ eqref {eq: eq2} \), мы имеем следующее.

1. Если \ (A \) неособо, то у системы будет ровно одно решение.
2. Если \ (A \) сингулярно, то у системы либо не будет решения, либо решений будет бесконечно много.

Матричная форма однородной системы

\ [\ begin {уравнение} A \ vec x = \ vec 0 \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]

где \ (\ vec 0 \) — вектор всех нулей.В однородной системе мы гарантированно имеем решение \ (\ vec x = \ vec 0 \). Тогда для однородных систем приведенный выше факт равен

.

Факт

Для однородной системы \ (\ eqref {eq: eq3} \) имеем следующее.

1. Если \ (A \) неособое, то единственным решением будет \ (\ vec x = \ vec 0 \).
2. Если \ (A \) сингулярно, то у системы будет бесконечно много ненулевых решений.

Линейная независимость / Линейная зависимость

Это не первый раз, когда мы сталкиваемся с этой темой.Мы также увидели линейную независимость и линейную зависимость, когда рассматривали дифференциальные уравнения второго порядка. В этом разделе мы имели дело с функциями, но здесь концепция по сути та же. Если мы начнем с \ (n \) векторов,

\ [{\ vec x_1}, \, \, {\ vec x_2}, \, \, \ ldots, \, \, {\ vec x_n} \]

Если мы сможем найти константы \ (c_ {1} \), \ (c_ {2} \),…, \ (c_ {n} \) с как минимум двумя ненулевыми, такими, что

\ [\ begin {уравнение} {c_1} {\ vec x_1} + {c_2} {\ vec x_2} + \, \ ldots + {c_n} {\ vec x_n} = \ vec 0 \ label {eq: eq4} \ конец {уравнение} \]

, то мы называем векторы линейно зависимыми.Если в \ (\ eqref {eq: eq4} \) работают только константы \ (c_ {1} = 0 \), \ (c_ {2} \) = 0,…, \ (c_ {n} = 0 \), то векторы назовем линейно независимыми.

Если мы далее сделаем предположение, что каждый из векторов \ (n \) имеет \ (n \) компоненты, , то есть , каждый из векторов будет выглядеть как

\ [\ vec x = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \ vdots \\ {{x_n}} \ end { массив}} \ справа) \]

, мы можем получить очень простой тест на линейную независимость и линейную зависимость.Обратите внимание, что это не обязательно так, но во всей нашей работе мы будем работать с \ (n \) векторами, каждый из которых имеет \ (n \) компоненты.

Факт

Учитывая \ (n \) векторов, каждый с компонентами \ (n \),

\ [{\ vec x_1}, \, \, {\ vec x_2}, \, \, \ ldots, \, \, {\ vec x_n} \]

образуют матрицу,

\ [X = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{{\ vec x} _1}} & {{{\ vec x} _2}} & \ cdots & {{{ \ vec x} _n}} \ end {array}} \ right) \]

Итак, матрица \ (X \) — это матрица, столбец \ (i ^ {\ text {th}} \) которой является вектором \ (i ^ {\ text {th}} \), \ ({\ vec x_i} \).Затем

1. Если \ (X \) неособое ( т.е. \ (\ det (X) \) не равно нулю), то векторы \ (n \) линейно независимы, и
2. , если \ (X \) сингулярно (, т.е. \ (\ det (X) = 0 \)), то векторы \ (n \) линейно зависимы, а константы, которые делают \ (\ eqref {eq: eq4} \) true можно найти, решив систему \ [X \, \ vec c = \ vec 0 \]

   , где \ (\ vec c \) — вектор, содержащий константы из \ (\ eqref {eq: eq4} \).{(3)}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 6 \\ {- 2} \\ 1 \ end {array}} \ right) \] Показать решение

   Итак, первое, что нужно сделать, это сформировать \ (X \) и вычислить его определитель.

   \ [X = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 2} & 6 \\ {- 3} & 1 & {- 2} \\ 5 & 4 & 1 \ end {array}} \ right ) \ quad \ quad \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ det \ left (X \ right) = — 79 \]

   Эта матрица неособая, поэтому векторы линейно независимы.{(3)}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 2 \\ {- 1} \\ 4 \ end {array}} \ right) \] Показать решение

   Как и в предыдущем примере, сначала сформируйте \ (X \) и вычислите его определитель.

   \ [X = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ {- 1} & 1 & {- 1} \\ 3 & {- 6} & 4 \ end { array}} \ right) \ quad \ quad \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ det \ left (X \ right) = 0 \]

   Итак, эти векторы линейно зависимы.Теперь нам нужно найти взаимосвязь между векторами. Это означает, что нам нужно найти константы, которые сделают \ (\ eqref {eq: eq4} \) истинным.

   Итак, нам нужно решить систему

   \ [X \, \ vec c = \ vec 0 \]

   Вот расширенная матрица и решение для этой системы.

   \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ {- 1} & 1 & {- 1} \\ 3 & {- 6} & 4 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_2} + {R_1}} \\ {{R_3} — 3 {R_1}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ 0 & {- 3} & 1 \\ 0 & 6 & {- 2} \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ справа) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_3} + 2 {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} { r}} 1 & {- 4} & 2 \\ 0 & {- 3} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {- \ frac {1} {3} {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \] \ [\ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & {- 4} & 2 \\ 0 & 1 & {- \ frac {1} {3}} \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ begin {array} {* {20} {c}} {{R_1} + 4 {R_2}} \\ \ Rightarrow \ end {array} \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 1 & 0 & {\ frac {2} {3}} \\ 0 & 1 & {- \ frac { 1} {3}} \\ 0 & 0 & 0 \ end {array} \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad \ begin {array} {* {20} {r}} {{c_1} + \ frac {2} {3} {c_3} = 0} \\ {{c_2} — \ frac {1} {3} {c_3} = 0} \\ {0 = 0} \ end {array} \ quad \ Rightarrow \ quad \ begin {array} {* {20} {l}} {{c_1} = — \ frac {2} { 3} {c_3}} \\ {{c_2} = \ frac {1} {3} {c_3}} \\ {} \ end {array} \]

   Теперь нам нужны фактические значения для констант, поэтому, если использовать \ ({c_3} = 3 \), мы получим следующее решение \ ({c_1} = — 2 \), \ ({c_2} = 1 \), и \ ({c_3} = 3 \).{(3)}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \]

   Исчисление с матрицами

   На самом деле здесь нет ничего особенного, кроме как просто убедиться, что мы можем иметь дело с исчислением с матрицами.

   Во-первых, до сих пор мы рассматривали только матрицы с числами в качестве элементов, но элементы в матрице также могут быть функциями. Итак, мы можем посмотреть на матрицы в следующем виде:

   \ [A \ left (t \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{a_ {11}} \ left (t \ right)} & {{a_ {12 }} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{a_ {1n}} \ left (t \ right)} \\ {{a_ {21}} \ left (t \ right)} & {{a_ {22}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{a_ {2n}} \ left (t \ right)} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {{a_ { m1}} \ left (t \ right)} & {{a_ {m2}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{a_ {mn}} \ left (t \ right)} \ end {массив }} \верно)\]

   Теперь мы можем поговорить о дифференцировании и интегрировании матрицы такого вида.Чтобы дифференцировать или интегрировать матрицу этой формы, все, что мы делаем, — это дифференцируем или интегрируем отдельные записи.

   \ [A ‘\ left (t \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {{{a’} _ {11}} \ left (t \ right)} & {{{a ‘} _ {12}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{{a’} _ {1n}} \ left (t \ right)} \\ {{{a ‘} _ {21}} \ left (t \ right)} & {{{a ‘} _ {22}} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{{a’} _ {2n}} \ left (t \ right)} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {{{a ‘} _ {m1}} \ left (t \ right)} & {{{a’} _ {m2 }} \ left (t \ right)} & \ cdots & {{{a ‘} _ {mn}} \ left (t \ right)} \ end {array}} \ right) \] \ [\ int {{A \ left (t \ right) \, dt}} = \ left ({\ begin {array} {* {20} {r}} {\ int {{{a_ {11}}} \ left (t \ right) \, dt}}} & {\ int {{{a_ {12}} \ left (t \ right) \, dt}}} & \ cdots & {\ int {{{a_ {1n) }} \ left (t \ right) \, dt}}} \\ {\ int {{{a_ {21}} \ left (t \ right) \, dt}}} & {\ int {{{a_ { 22}} \ left (t \ right) \, dt}}} & \ cdots & {\ int {{{a_ {2n}} \ left (t \ right) \, dt}}} \\ \ vdots & \ vdots & {} & \ vdots \\ {\ int {{{a_ {m1}} \ left (t \ right) \, dt}}} & {\ int {{{a_ {m2}} \ left (t \ right) \, dt}}} & \ cdots & {\ int {{{a_ {mn}} \ left (t \ right) \, dt}}} \ end {array}} \ right) \]

   Итак, когда мы сталкиваемся с подобными вещами, не волнуйтесь об этом.Просто дифференцируйте или интегрируйте, как обычно.

   В этом разделе мы рассмотрели очень сжатый набор тем из линейной алгебры. Когда мы вернемся к дифференциальным уравнениям, многие из этих тем будут время от времени появляться, и вам, по крайней мере, нужно будет знать, что означают эти слова.

   Основная тема линейной алгебры, которую вы должны знать, однако, если вы собираетесь уметь решать системы дифференциальных уравнений, является темой следующего раздела.

   Правило Крамера с двумя переменными

   Правило Крамера — еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

   В терминах обозначений матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные полосы.

   Обозначения

   ---

   Формула для нахождения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

   Давайте быстро рассмотрим:

   ---

   Определитель матрицы 2 x 2

   ---

   Быстрые примеры того, как найти детерминанты матрицы 2 x 2

   Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.

   ---

   Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.

   ---

   Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

   Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, теперь вы готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!

   ---

   Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

   • Присвойте имена каждой матрице

   матрица коэффициентов:

   X — матрица:

   Y — матрица:

   От

   до найдите переменную x.

   От

   до найдите переменную y.

   Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

   1) Столбцы \ large {x}, \ large {y} и постоянные члены \ large {c} получаются следующим образом:

   2) Оба знаменателя при решении \ large {x} и \ large {y} одинаковы. Они происходят из столбцов \ large {x} и \ large {y}.

   3) Глядя на числитель при решении для \ large {x}, коэффициенты столбца \ large {x} заменяются постоянным столбцом (красным).

   4) Таким же образом, чтобы найти \ large {y}, коэффициенты \ large {y} -столбца заменяются постоянным столбцом (красным).

   ---

   Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

   Пример 1 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

   Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициентов, \ large {x} и \ large {y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

   После того, как все три детерминанты вычислены, пора найти значения \ large {x} и \ large {y}, используя приведенную выше формулу.

   Я могу записать окончательный ответ как \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({2, — 1} \ right)}.

   ---

   Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

   Задайте свои коэффициенты, матрицы \ large {x} и \ large {y} из данной системы линейных уравнений. Затем рассчитайте их детерминанты соответственно.

   Помните, что мы всегда вычитаем произведений диагональных записей.

   • Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )
   • Для X — матрица (заменить столбец x на постоянный столбец)
   • Для Y — матрица (заменить столбец Y на постоянный столбец)

   Надеюсь, вам удобно вычислять определитель двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты…

   Записав окончательный ответ в точечной нотации, я получил \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({6, — 5} \ right)}.

   ---

   Пример 3 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

   Эта проблема может быть решена довольно легко методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x являются «одинаковыми», но только противоположными по знакам (+1 и -1). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает, оставляя вам одношаговое уравнение в \ large {y}.Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать наиболее эффективную. Всегда уточняйте у своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

   В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и разберемся с этим методом.

   Я построю три матрицы (коэффициент, \ large {x} и \ large {y}) и оценим их соответствующие детерминанты.

   • Для X — матрица (прописная D с индексом x)
   • Для Y — матрица (прописная D с индексом y)

   После получения значений трех требуемых определителей я вычислю \ large {x} и \ large {y} следующим образом.

   Окончательный ответ в виде баллов: \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({- 1,2} \ right)}.

   ---

   Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

   Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам попробовать решить эту проблему самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

   Если вы правильно поняли с первого раза, это означает, что вы становитесь «профи» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попробуйте выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз.Так вы станете лучше в математике. Изучите множество проблем и, что более важно, много практикуйтесь самостоятельно.

   Вы должны получить ответ ниже…

   ---

   Пример 5 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

   В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \ large {x} и \ large {y} значительно упрощается. Убедитесь сами!

   Окончательное решение этой проблемы —

   ---

   Практика с рабочими листами

   ---

   Возможно, вас заинтересует:

   Правило Крамера 3 × 3

   стеблевых участков | Purplemath

   Purplemath

   Стволовые и листовые графики — это метод отображения частоты, с которой встречаются определенные классы значений.Вы можете составить таблицу частотного распределения или гистограмму для значений, или вы можете использовать диаграмму стволовых и листовых диаграмм и позволить самим числам отображать практически ту же информацию.

   Например, предположим, что у вас есть следующий список значений: 12, 13, 21, 27, 33, 34, 35, 37, 40, 40, 41. Вы можете составить таблицу распределения частот, показывающую, сколько десятков, двадцати, тридцати , а сороковых годов у вас:

   MathHelp.com

   Вы можете составить гистограмму, которая представляет собой гистограмму, показывающую количество вхождений, с классами, представляющими числа в десятках, двадцати, тридцати и сороковых годах:

   (Затенение столбцов на гистограмме не обязательно, но оно может быть полезно, делая столбцы более заметными, особенно если вы не можете использовать цвет для различения столбцов.)

   Обратной стороной таблиц распределения частот и гистограмм является то, что, хотя частоту каждого класса легко увидеть, исходные точки данных были потеряны. Вы можете сказать, например, что должно было быть три перечисленных значения, относящихся к сороковым годам, но нет никакого способа узнать из таблицы или гистограммы, какими могли быть эти значения.

   С другой стороны, для тех же данных можно построить диаграмму стебля и листа:

   «Основа» — это левая колонка, содержащая разряды десятков.«Листья» — это списки в правом столбце, в которых показаны все цифры единиц для каждой из десятков, двадцати, тридцати и сороковых годов. Как видите, исходные значения все еще можно определить; По нижнему листу вы можете сказать, что три значения в сороковых годах были 40, 40 и 41.

   Обратите внимание, что горизонтальные листья на графике «стебель-лист» соответствуют вертикальным столбцам на гистограмме, а длина листьев (в терминах количества записей) равна числам в столбце «Частота» таблицы частот. .

   ---

   Это почти все, что касается сюжета «стебель-лист». Вы просто указываете, сколько записей у вас есть в определенных классах чисел и что это за записи. Вот еще несколько примеров сюжетов «стебель и лист», содержащие несколько дополнительных деталей.

   • Завершите построение диаграммы стеблей и листьев для следующего списка степеней в недавнем тесте:

   73, 42, 67, 78, 99, 84, 91, 82, 86, 94

   Я буду использовать цифры десятков в качестве значений основы, а цифры единиц в качестве листьев.Список для удобства закажу, но это не обязательно:

   42, 67, 73, 78, 82, 84, 86, 91, 94, 99

   Поскольку я знаю, откуда взялись эти точки данных («недавний тест»), я буду использовать заголовок. Тогда мой сюжет выглядит так:

   Вышеупомянутое является простейшим случаем для участков со стеблями и листьями, но даже «сложные» случаи не намного сложнее.

   ---

   Партнер

   ---

   ---

   URL: https://www.purplemath.com/modules/stemleaf.htm

   Матрица

   и ее типы | Математика класса 12

   Прямоугольный массив в структуре с записями известен как матрица. Матрица имеет одно или несколько строк и столбцов.Каждая запись в матрице может содержать числа, алфавиты, символы и т. Д. Записи в горизонтальных линиях называются строками, а записи в вертикальных линиях называются столбцами. Каждая запись принадлежит строке и столбцу. Матрица представлена ​​как [A] _{m × n} , где m — количество строк, а n — количество столбцов, присутствующих в матрице. и элемент матрицы может быть представлен как _ij , где i и j — i-я строка и j-й столбец, которым принадлежит элемент. элементы, где i и j равны (то есть номер строки и номер столбца равны), известны как диагональный элемент. Матрица A может быть записана как:

   Пример матрицы
   Типы T he M atrix

   Существует много типов матриц. Мы обсудим один за другим:

   Матрица строк

   Матрица, содержащая только одну строку и любое количество столбцов, называется матрицей строк.

   
   

   Пример:

   Матрица столбцов

   Матрица, содержащая только один столбец без каких-либо строк, называется матрицей столбцов.

   Пример:

   Одноэлементная матрица

   Матрица, содержащая только один элемент, называется одноэлементной матрицей. В этом типе матрицы количество столбцов и количество строк равно 1.

   Пример:

   
   
   
   Прямоугольная матрица

   Матрица, у которой нет равного количества строк и столбцов, называется известная как прямоугольная матрица. Прямоугольная матрица может быть представлена ​​как [A] _{m × n}

   Пример:

   Квадратная матрица

   Матрица с равным количеством строк и равным количеством столбцов называется квадратная матрица.Обычно для квадратной матрицы используется представление [A] _{n × n} .

   Пример:

   Нулевая матрица

   Матрица, в которой все элементы равны 0, называется нулевой матрицей.

   Пример:

   Диагональная матрица

   Матрица, в которой все элементы равны 0, кроме диагональных, называется диагональной матрицей.

   Пример:

   Скалярная матрица

   Матрица, в которой все элементы равны 0, кроме диагональных элементов, и все диагональные элементы совпадают, называется скалярной матрицей.Это своего рода диагональная матрица, в которой все диагональные элементы одинаковы.

   Пример:

   Матрица идентичности

   Это своего рода скалярная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, а все недиагональные элементы равны 0. Идентификационная матрица всегда имеет одинаковое количество строк и столбцы.

   Пример:

   Верхняя треугольная матрица

   Эта матрица представляет собой своего рода квадратную матрицу, в которой все элементы равны 0 под диагональю.

   Пример:

   Нижняя треугольная матрица

   Эта матрица представляет собой своего рода квадратную матрицу, в которой все элементы над диагональю равны 0.

   Пример:

   След Матрица

   Сумма диагональных элементов матрицы называется следом матрицы. След матрицы A можно представить как tr (A). След матрицы можно рассчитать только для квадратной матрицы.

   Пример:

   tr (A) = 15 + 6 + 0 = 21

   Свойства следа матрицы

   i) След суммы двух матриц равна сумме следов отдельной матрицы.

   Пояснение:

   Математически это можно записать как tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

   tr (A) = 15 + 6 + 0 = 21

   tr (B) = 4 + 1 + 1 = 6

   Теперь tr (A) + tr (B) = 21 + 6 = 27

   tr (A + B) = 19 + 7 + 1 = 27

   Как видите, tr (A) + tr (B) = tr (A + tr (B)

   Аналогично tr (A — B) = tr (A) — tr (B)

   ii) След матрицы, умноженной на некоторый скаляр, равен произведению следа матрицы и скаляра.