Пример в столбик деление: Онлайн калькулятор. Деление столбиком.

Содержание

Правила деления в столбик. Деление с нулем в частном

В школе эти действия изучаются от простого к сложному. Поэтому непременно полагается хорошо усвоить алгоритм выполнения названных операций на простых примерах. Чтобы потом не возникло трудностей с делением десятичных дробей в столбик. Ведь это самый сложный вариант подобных заданий.

Этот предмет требует последовательного изучения. Пробелы в знаниях здесь недопустимы. Такой принцип должен усвоить каждый ученик уже в первом классе. Поэтому при пропуске нескольких уроков подряд материал придется освоить самостоятельно. Иначе позже возникнут проблемы не только с математикой, но и другими предметами, связанными с ней.

Второе обязательное условие успешного изучения математики — переходить к примерам на деление в столбик только после того, как освоены сложение, вычитание и умножение.

Ребенку будет трудно делить, если он не выучил таблицу умножения. Кстати, ее лучше учить по таблице Пифагора. Там нет ничего лишнего, да и усваивается умножение в таком случае проще.

Как умножаются в столбик натуральные числа?

Если возникает затруднение в решении примеров в столбик на деление и умножение, то начинать устранять проблему полагается с умножения. Поскольку деление является обратной операцией умножению:

  1. До того как перемножать два числа, на них нужно внимательно посмотреть. Выбрать то, в котором больше разрядов (длиннее), записать его первым. Под ним разместить второе. Причем цифры соответствующего разряда должны оказаться под тем же разрядом. То есть самая правая цифра первого числа должна быть над самой правой второго.
  2. Умножьте крайнюю правую цифру нижнего числа на каждую цифру верхнего, начиная справа. Запишите ответ под чертой так, чтобы его последняя цифра была под той на которую умножали.
  3. То же повторите с другой цифой нижнего числа. Но результат от умножения при этом нужно сместить на одну цифру влево. При этом его последняя цифра окажется под той, на которую умножали.

Продолжать такое умножение в столбик до тех пор, пока не закончатся цифры во втором множителе. Теперь их нужно сложить. Это и будет искомый ответ.

Алгоритм умножения в столбик десятичных дробей

Сначала полагается представить, что даны не десятичные дроби, а натуральные. То есть убрать из них запятые и далее действовать так, как описано в предыдущем случае.

Отличие начинается, когда записывается ответ. В этот момент необходимо сосчитать все цифры, которые стоят после запятых в обеих дробях. Именно столько их нужно отсчитать от конца ответа и там поставить запятую.

Удобно проиллюстрировать этот алгоритм на примере: 0,25 х 0,33:

С чего начать обучение делению?

До того как решать примеры на деление в столбик, полагается запомнить названия чисел, которые стоят в примере на деление. Первое из них (то, которое делится) — делимое. Второе (на него делят) — делитель. Ответ — частное.

После этого на простом бытовом примере объясним суть этой математической операции. Например, если взять 10 конфет, то поделить их поровну между мамой и папой легко. А как быть, если нужно раздать их родителям и брату?

После этого можно знакомиться с правилами деления и осваивать их на конкретных примерах. Сначала простых, а потом переходить ко все более сложным.

Алгоритм деления чисел в столбик

Вначале представим порядок действий для натуральных чисел, делящихся на однозначное число. Они будут основой и для многозначных делителей или десятичных дробей. Только тогда полагается внести небольшие изменения, но об этом позже:

  • До того как делать деление в столбик, нужно выяснить, где делимое и делитель.
  • Записать делимое. Справа от него — делитель.
  • Прочертить слева и снизу около последнего уголок.
  • Определить неполное делимое, то есть число, которое будет минимальным для деления. Обычно оно состоит из одной цифры, максимум из двух.
  • Подобрать число, которое будет первым записано в ответ. Оно должно быть таким, сколько раз делитель помещается в делимом.
  • Записать результат от умножения этого числа на делитель.
  • Написать его под неполным делимом. Выполнить вычитание.
  • Снести к остатку первую цифру после той части, которая уже разделена.
  • Снова подобрать число для ответа.
  • Повторить умножение и вычитание. Если остаток равен нулю и делимое закончилось, то пример сделан. В противном случае повторить действия: снести цифру, подобрать число, умножить, вычесть.

Как решать деление в столбик, если в делителе больше одной цифры?

Сам алгоритм полностью совпадает с тем, что был описан выше. Отличием будет количество цифр в неполном делимом. Их теперь минимум должно быть две, но если они оказываются меньше делителя, то работать полагается с первыми тремя цифрами.

Существует еще один нюанс в таком делении. Дело в том, что остаток и снесенная к нему цифра иногда не делятся на делитель. Тогда полагается приписать еще одну цифру по порядку. Но при этом в ответ необходимо поставить ноль. Если осуществляется деление трехзначных чисел в столбик, то может потребоваться снести больше двух цифр. Тогда вводится правило: нолей в ответе должно быть на один меньше, чем количество снесенных цифр.

Рассмотреть такое деление можно на примере — 12082: 863.

  • Неполным делимым в нем оказывается число 1208. В него число 863 помещается только один раз. Поэтому в ответ полагается поставить 1, а под 1208 записать 863.
  • После вычитания получается остаток 345.
  • К нему нужно снести цифру 2.
  • В числе 3452 четыре раза умещается 863.
  • Четверку необходимо записать в ответ. Причем при умножении на 4 получается именно это число.
  • Остаток после вычитания равен нулю. То есть деление закончено.

Ответом в примере будет число 14.

Как быть, если делимое заканчивается на ноль?

Или несколько нолей? В этом случае нулевой остаток получается, а в делимом еще стоят нули. Отчаиваться не стоит, все проще, чем может показаться. Достаточно просто приписать к ответу все нули, которые остались не разделенными.

Например, нужно поделить 400 на 5. Неполное делимое 40. В него 8 раз помещается пятерка. Значит, в ответ полагается записать 8. При вычитании остатка не остается. То есть деление закончено, но в делимом остался ноль. Его придется приписать к ответу. Таким образом, при делении 400 на 5 получается 80.

Что делать, если разделить нужно десятичную дробь?

Опять же, это число похоже на натуральное, если бы не запятая, отделяющая целую часть от дробной. Это наводит на мысль о том, что деление десятичных дробей в столбик подобно тому, которое было описано выше.

Единственным отличием будет пункт с запятой. Ее полагается поставить в ответ сразу, как только снесена первая цифра из дробной части. По-другому это можно сказать так: закончилось деление целой части — поставь запятую и продолжай решение дальше.

Во время решения примеров на деление в столбик с десятичными дробями нужно помнить, что в части после запятой можно приписать любое количество нолей. Иногда это нужно для того, чтобы доделить числа до конца.

Деление двух десятичных дробей

Оно может показаться сложным. Но только вначале. Ведь то, как выполнить деление в столбик дробей на натуральное число, уже понятно. Значит, нужно свести этот пример к уже привычному виду.

Сделать это легко. Нужно умножить обе дроби на 10, 100, 1 000 или 10 000, а может быть, на миллион, если этого требует задача. Множитель полагается выбирать исходя из того, сколько нолей стоит в десятичной части делителя. То есть в результате получится, что делить придется дробь на натуральное число.

Причем это будет в худшем случае. Ведь может получиться так, что делимое от этой операции станет целым числом. Тогда решение примера с делением в столбик дробей сведется к самому простому варианту: операции с натуральными числами.

В качестве примера: 28,4 делим на 3,2:

  • Сначала их необходимо умножить на 10, поскольку во втором числе после запятой стоит только одна цифра. Умножение даст 284 и 32.
  • Их полагается разделить. Причем сразу все число 284 на 32.
  • Первым подобранным числом для ответа является 8. От его умножения получается 256. Остатком будет 28.
  • Деление целой части закончилось, и в ответ полагается поставить запятую.
  • Снести к остатку 0.
  • Снова взять по 8.
  • Остаток: 24. К нему приписать еще один 0.
  • Теперь брать нужно 7.
  • Результат умножения — 224, остаток — 16.
  • Снести еще один 0. Взять по 5 и получится как раз 160. Остаток — 0.

Деление закончено. Результат примера 28,4:3,2 равен 8,875.

Что делать, если делитель равен 10, 100, 0,1, или 0,01?

Так же как и с умножением, деление в столбик здесь не понадобится. Достаточно просто переносить запятую в нужную сторону на определенное количество цифр. Причем по этому принципу можно решать примеры как с целыми числами, так и с десятичными дробями.

Итак, если нужно делить на 10, 100 или 1 000, то запятая переносится влево на такое количество цифр, сколько нулей в делителе. То есть, когда число делится на 100, запятая должна сместиться влево на две цифры. Если делимое — натуральное число, то подразумевается, что запятая стоит в его конце.

Это действие дает такой же результат, как если бы число было необходимо умножить на 0,1, 0,01 или 0,001. В этих примерах запятая тоже переносится влево на количество цифр, равное длине дробной части.

При делении на 0,1 (и т. д.) или умножении на 10 (и т. д.) запятая должна переместиться вправо на одну цифру (или две, три, в зависимости от количества нулей или длины дробной части).

Стоит отметить, что количества цифр, данных в делимом, может быть недостаточным. Тогда слева (в целой части) или справа (после запятой) можно приписать недостающие нули.

Деление периодических дробей

В этом случае не удастся получить точный ответ при делении в столбик. Как решать пример, если встретилась дробь с периодом? Здесь полагается переходить к обыкновенным дробям. А потом выполнять их деление по изученным ранее правилам.

Например разделить нужно 0,(3) на 0,6. Первая дробь — периодическая. Она преобразуется в дробь 3/9, которая после сокращения даст 1/3. Вторая дробь — конечная десятичная. Ее записать обыкновенной еще проще: 6/10, что равно 3/5. Правило деления обыкновенных дробей предписывает заменять деление умножением и делитель — обратным числом. То есть пример сводится к умножению 1/3 на 5/3. Ответом будет 5/9.

Если в примере разные дроби…

Тогда возможны несколько вариантов решения. Во-первых, обыкновенную дробь можно попытаться перевести в десятичную. Потом делить уже две десятичные по указанному выше алгоритму.

Во-вторых, каждая конечная десятичная дробь может быть записана в виде обыкновенной. Только это не всегда удобно. Чаще всего такие дроби оказываются огромными. Да и ответы получаются громоздкими. Поэтому первый подход считается более предпочтительным.

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.


  • Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
  • Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
  • Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям

Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком
:

  • Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
  • Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
  • Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
  • Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

  • Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
  • Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
  • Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
  • Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
  • Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
  • Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
  • Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число

Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

  • Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
  • Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

  • Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
  • Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
  • Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
  • Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно

Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

  • Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
  • Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
  • Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
  • Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
  • Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
  • Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.

Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

  • Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
  • Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

  • В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
  • Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
  • Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
  • К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
  • Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375

Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

  • Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
  • Найти первое неполное делимое
  • Определить число цифр в частном
  • Найти цифры в каждом разряде частного
  • Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).

Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

  • 1428:42
  • 2924:68
  • 30296:56
  • 136576:64
  • 16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

  • «Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55 , запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений.

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8 ÷ 2 = 4 .

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 · 4 = 8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4 , на которое мы умножали делитель, записываем на место частного.

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8 — 8 = 0 .

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3 .

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем в результате:

3 · 0 = 0 7

Под делимым записываем число, полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6 .

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1 .

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4 . Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком.

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14 , так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4 .

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x = 14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ , включая нуль: 0 , 1 , 2 , 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x . Когда в результате умножения получается число 14 , записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делітелем. Если в результате умножения получается число, большее чем x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4 · 0 = 0 14 .

Под выделенным числом записываем число 12 , полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3 .

3. Столбиком вычитаем из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.

4. Число 2 меньше числа 4 , поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следубщую цифру делимого — 0 . В итоге отмечаем новое рабочее число — 20 .

Важно!

Пункты 2 — 4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20 . Умножая 4 на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем:

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение.

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20 — 20 = 0 .

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2 .

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . и сравниваем результат с отмеченным числом.

4 · 0 = 0 2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0 , и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0 .

3. Выполняем операцию вычитания и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8 , так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28 . Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8 . В последний раз повторяем пункты алгоритма 2 — 4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0 . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072 . Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9 .

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792 , а остаток равен 8 .

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7 .

Ответ: 1006005

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2 — 4 остаются неизменными.
Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206 .

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556 .
556 > 206 , поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.
Умножаем 206 на 0 , 1 , 2 , 3 . . и получаем:

206 · 0 = 0 556

618 > 556 , поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144 . Справа от результата под чертой записываем число из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число — 1442 .

Повторяем с ним пункты 2 — 4 . Получаем:

206 · 5 = 1030

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442 , а в следующий разряд частного записываем цифру 7 — множитель.

Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания.

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 238079 на 34 .

Ответ: 7002

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как в столбик делить — один из основных навыков, необходимых для работы с двух- и трёхзначными числами. Зная последовательность всех этапов деления, можно разделить любое число. Не возникнет проблем при работе не только с целым числом, но и с числом, представленным в виде десятичной дроби.

Этот полезный математический навык необходим не только для успешного освоения школьной программы по математике и ряду других предметов. Умение делить наверняка поможет каждому в повседневной жизни.

Часть первая. Деление

Итак, делимое, то есть число, которое нужно разделить, надо записать слева. Число, на которое делят, называют делителем и записывают справа.

Под делителем проводится черта, под которой пишут частное (решение).

Под делимым необходимо оставить место, требующееся для вычислений.

Сама задача выглядит следующим образом: пакет, где лежат шесть грибов, весит 250 грамм. Нужно узнать, сколько весит один гриб. Для этого 250 делят на 6. Первое из этих двух чисел записывают слева, а второе — справа.

Сейчас предстоит вычислить, сколько целых раз делится первая цифра (отсчёт ведётся с левого конца) делимого на делитель.

Для решения нашей задачи нужно узнать, сколько раз цифра 2 делится на 6. Так как это невозможно, то в ответе — 0, который записывается под делителем. В этом случае нуль является первым числом частного, однако допускается отказ от такой записи.

Теперь предстоит узнать, сколько целых раз делятся две первые цифры делимого на делитель.

Если в предшествующем действии в ответе был получен 0, надо рассмотреть две первые цифры делимого. В рассматриваемой задаче надо вычислить, сколько раз 25 делится на 6.

Если делитель является двух- и более значным числом, надо разделить на него первые три (четыре, пять и т. д.) цифры делимого. Наша цель: получить целое число.

Далее начинается работа с целыми числами. Если с помощью микрокалькулятора произвести деление 25 на 6, то в ответе будет дано число 4.167. Этот ответ не годится для деления в столбик. В этом случае нужно просто взять 4.

Результат, полученный в третьем этапе, записывается прямо под соответствующей цифрой делителя — под чертой. Данный итог будет первой цифрой искомого частного, то есть ответа.

Результат обязательно нужно писать под соответствующей цифрой делителя. Если пренебречь этим требованием, будет допущена ошибка, которая скажется и на конечном результате: он будет неверным.

В рассматриваемом случае 4 записывается под 5, так как на 6 делится число 25, а не 2.

Часть вторая. Умножение

Этот этап представляет собой переход к новой части работы «как считать в столбик». Деление в данном случае сменятся… умножением.

Делитель умножается на число, которое было под ним записано. Это означает, что речь идёт о первой цифре искомого частного.

Результат этого произведения размещается под делимым.

В рассматриваемом примере 6 х 4 = 24. Число, стоящее в ответе, то есть 24, записывается под 25. Важно: 2 должна стоять под 2, а 4 — под 5.

Результат произведения подчёркивается. В нашем случае речь идёт о подчёркивании числа 24.

Часть третья. Вычитание и опускание цифр

Здесь происходит переход к вычитанию и опусканию цифр.

Результат записывается под чертой, которая в свою очередь проводится под числом, поставленным под делимым.

Нам предстоит произвести вычитание 24 из 25. Получаемый при этом результат: 1.

Опускается третья цифра делимого, то есть она записывается рядом с результатом вычитания.

В нашем случае 1 не может делиться на 6. В силу этого спускают третью цифру делимого (третьей цифрой числа 250 является 0). Она размещается рядом с 1. Мы получаем число 10, которое может быть разделено на 6.

Теперь требуется повторить процесс с новым числом.

Для этого полученное число делится на наш делитель, а получаемый при этом результат размещается под делителем, в качестве которого будет выступать вторая цифра частного, то есть нашего ответа.

В решаемом примере 10 делим на 6, что даёт в итоге 1. Единичка записывается в частное — рядом с 4. После этого 6 умножается на 1 и из 10 вычитают результат. У нас должно получиться 4 (остаток).

Если делимое представляет собой двух-, трёх-, четырёх- и более значное число, изложенный процесс повторяется до тех пор, пока не будут опущены все цифры делимого. Пример для иллюстрации: если известно, что вес грибов равен 2 506 г, надо опустить цифру 6, то есть записать её рядом с 4.

Часть четвёртая. Запись частного с остатком или в виде десятичной дроби

Теперь переходим к записи частного с остатком или в виде десятичной дроби.

Наш остаток был равен 4, что связано с тем, что это число — 4 — не делится на 6 и у нас не осталось цифр, которые можно спустить.

Ответ при этом будет выглядеть следующим образом: 41 (ост. 4).

Вычисления на данном этапе могут быть завершены, если в задаче сформулировано требование найти что-то, выражаемое исключительно в целых числах. Речь может идти о количестве автомобилей, требующихся для транспортировки определённого числа людей.

Если есть необходимость в ответе в виде десятичной дроби, можно перейти к следующим действиям алгоритма «как разделить в столбик».

Если нет желания записывать ответ с остатком, можно найти ответ в виде десятичной дроби. При получении остатка, не поддающегося делению на делитель, надо добавить десятичный знак (к частному).

В нашем случае число 250 может быть записано в виде десятичной дроби: 250.000.

Теперь, когда в наличии цифры (только нули), которые могут быть опущены, можно продолжить вычисления. Опускаем нуль и подсчитываем, сколько целых раз можно поделить полученное число на делитель.

В нашем примере после частного 41 (которое размещаем прямо под делителем) пишем десятичную запятую и приписываем 0 к остатку (4). Затем делим полученное число, то есть 40, на делитель (в роли которого выступает 6). Получаем опять 6, которую пишем в частное после десятичного знака. Это выглядит как 41.6. После этого 6 умножается на 6, затем результат умножения вычитается из 40. У нас должно получиться снова 4.

В ряде ситуаций при поиске ответа в виде десятичной дроби приходится столкнуться с повторяющимися числами. Для этого надо прервать вычисления и округлить уже полученный ответ — вниз или вверх.

В частности, в рассматриваемом примере надо отказаться от бесконечного получения цифры 4. Нужно просто прервать вычисления и округлить частное. В силу того, что 6 больше 5, округление производится вверх, в результате чего получается ответ в виде дробного числа 41.67.

Деление столбиком
(также можно встретить название деление
уголком) — стандартная процедура в
арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания
деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое
делимым
, делится на другое, называемое
делителем
, производя результат, называемый
частным
.

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел
с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при
делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком
удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой — так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными
числами изображается символ вида
.

Например
, если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в
столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного,
остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное
при делении с остатком) будет
записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже
делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться
правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше
потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число,

алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере.
Вычислить
:

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого.
Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать
с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую
слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми
цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит.
это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая
таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48
→ записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание!
При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над
самой правой цифрой
произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус).
Вычтем по
правилам вычитания в столбик 48 и под чертой
запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в
этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления
столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание!
Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение
более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не
стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в
записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего
вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в
скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое
«промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например
, 1976 разделим на 26.

  • Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов — 19.
  • Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов — 197.
  • Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
  • Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
  • 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном
записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить
поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например
, 64 разделим на 5.

  • 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
  • Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
  • 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
  • 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
  • 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число
получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего,
меньшего разряда и продолжать деление.

Деление в столбик | Наука делать уроки

Деление на однозначное число, когда первое неполное делимое — это двузначное число

Пример: 192 разделить на 4

 

Начнём деление с сотен. 1 сотня не делится на 4. Значит будем делить десятки. 19 десятков можно разделить  на 4.

Образуем первое неполное делимое:  19 десятков — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 2 цифры.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 19 на 4, получим 4.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 4 на 4, получим 16.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 19 из 16, получим 3.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 3 с делителем 4. Десятков осталось меньше, чем 4, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем второе неполное делимое: 3 десятка и 2 единицы, всего 32 единицы.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 32 на 4, получим 8.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 8 на 4,  получим 32.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 32 из 32, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 4, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  192 разделить на 4 получится 48 

Деление на однозначное число, когда в записи частного есть цифра 0

Пример: 612 разделить на 2

 

Начнём деление с сотен.

Образуем первое неполное делимое:  6 сотен — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 3 цифры.

  • Узнаем, сколько сотен будет в частном: разделим 6 на 2, получим 3.
  • Узнаем, сколько сотен  разделили: умножим 3 на 2, получим 6.
  • Узнаем, сколько сотен не разделили: вычтем 6 из 6, получим 0.

Проверим цифру сотен частного: сравним остаток 0 с делителем 2; сотен осталось меньше, чем 2, значит, цифру сотен частного нашли правильно.

Образуем второе неполное делимое: 0 сотен да ещё 1 десяток, всего 1 десяток.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 1 на 2, получим 0.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 0 на 2, получим 0.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 0 из 1, получим 1.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 1 с делителем 2. Десятков осталось меньше, чем 2, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем третье неполное делимое: 1 десяток и 2 единицы, всего 12 единиц.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 12 на 2, получим 6.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 6 на 2,  получим 12.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 12 из 12, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 6, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  612 разделить на 2 получится 306

Деление на двузначное число

Пример: 828 разделить на 36

 

Начнём деление с сотен. 8 сотен не делится на 36.  Значит, будем делить десятки. 82 десятка можно разделить  на 36.

Образуем первое неполное делимое:  82 десятка — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 2 цифры.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 82 на 36, получим 2.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 2 на 36, получим 72.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 72 из 82, получим 10.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 10 с делителем 36. Десятков осталось меньше, чем 36, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем третье неполное делимое: 10 десятков и 2 единицы, всего 102 единицы.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 102 на 36, получим 3.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 3 на 36,  получим 102.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 102 из 102, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 36, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаю ответ:  828 разделить на 36 получится 23

Часто пробная цифра частного не подходит и её нужно изменять.

Пример: 168 разделить на 28

 

Начнём деление с сотен. 1 сотня не делится на 28.  Значит, будем делить десятки. 16 десятков нельзя  разделить  на 28. Делим единицы. 168 можно разделить на 28.

Образуем первое неполное делимое:  168 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы было легче подобрать цифру частного будем делить   16  на 2, получится 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить  168 на 28, а мы разделили на 20. Эту цифру надо проверить: умножим 8 на 28, получится 224. Число 224 – это больше, чем делимое, значит 8 нам не подходит и надо взять цифру меньше. Пробуем цифру 7. Умножим 7 на 28, получится 196. Число 196 тоже больше, чем делимое. Пробуем число 6. Умножим 6 на 28, получится 168. Число 6 нам подходит.

  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 6 на 28,  получим 168.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 168 из 168, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 28, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  168 разделить на 28 получится 6

 

Деление на двузначное число, когда первое неполное делимое — трёхзначное число

Пример: 488 разделить на 61

 

Начнём деление с сотен. 4 сотни нельзя разделить на 61. Будем делить десятки. 48 десятков нельзя разделить на 61. Будем делить единицы. 488 единиц можно разделить на 61.

Образуем первое неполное делимое:  488 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы было легче подобрать цифру частного будем делить не на 61, а на 60.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 488 на 60. Для этого разделим 48 на 6,  получим 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить  488 на 61, а мы разделили на 60. Эту цифру надо проверить: умножим 61 на 8, получится 488.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 8 на 61,  получим 488.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 488 из 488, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 61, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаю ответ:  488 разделить на 61 получится 8

Часто пробная цифра частного не подходит и её нужно изменять.

Пример: 651 разделить на 93

 

Начнём деление с сотен. 6 сотен нельзя разделить на 93. Будем делить десятки. 65 десятков нельзя разделить на 93. Будем делить единицы. 651 единицу можно разделить на 93.

Образуем первое неполное делимое:  651 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы было легче подобрать цифру частного будем делить не на 93, а на 90.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 651 на 90. Для этого разделим 65 на 9,  получим 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить  651 на 93, а мы разделили на 90. Эту цифру надо проверить: умножим 93 на 8, получится 744. Мы получили число 744, которое больше, чем наше делимое. Значит, цифру единиц частного подобрали неверно. Возьмём цифру единиц частного на 1 меньше не 8, а 7. Проверим. Для этого 7 умножим на 93. Получится 651. Число 7 нам подходит.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 7 на 93,  получим 651.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 651 из 651, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 93, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  651 разделить на 93 получится 7

Деление на числа, оканчивающиеся нулями

Пример: 480 разделить на 60

 

Начнём деление с сотен. 4 сотни не делятся на 60. Будем делить десятки. 48 не делится на 60. Делим единицы. 480 единиц на 60 разделить можно.

Образуем первое неполное делимое:  480 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 480 разделим на 10 и полученное частное  48 разделим на 6, получим 8.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 8 на 60,  получим 480.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 480 из 480, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 60, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаю ответ:  480 разделить на 60 получится 8 

Деление на трёхзначное число

Пример: 856 разделить на 214

 

Начнём деление с сотен. 8 сотен не делятся на 214. Будем делить десятки. 85 не делится на 214. Делим единицы. 856 единиц на 214 разделить можно.

Образуем первое неполное делимое:  856 единиц — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Чтобы подобрать цифру частного будем делить не на 214, а на 200. Для этого разделим 8 на 2, получим 4. Проверим цифру 4. Умножим  214 на 4, получится 856.

  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 4 на 214,  получим 856.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 856 из 856, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 856, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  856 разделить на 214 получится 4 

Деление  с остатком

Пример: 152 разделить на 40

 

Начнём деление с сотен. 1 сотня не делится на 40. Будем делить десятки. 15 десятков не делится на 40. Делим единицы. 152 единицы на 40 разделить можно.

Образуем первое неполное делимое:  152 единицы — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 1 цифра.

Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим  152 на 10 и полученное частное 15 разделим на 4, получится 3.

  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 40 на 3,  получим 120.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 120 из 152, получим 32.

32 – это остаток.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 32 с делителем 40. Единиц осталось меньше, чем 40 , значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  152 разделить на 40 получится 3 и  остаток 32

Деление  четырехзначного  числа  на  двузначное.

Пример: 5130 разделить на 90

 

Начнём деление с тысяч. 5 тысяч нельзя разделить на 90. Будем делить сотни. 51 сотню  нельзя разделить на 90. Будем делить десятки. 513 десятков  можно разделить на 91.

Образуем первое неполное делимое:  513 десятков — первое неполное делимое.

Значит, в записи частного будет 2 цифры.

  • Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 513 на 10 и полученное частное 51 разделим на 9, получим 5.
  • Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 90 на 5, получим 450.
  • Узнаем, сколько десятков не разделили: вычтем 450 из 513, получим 63.

Проверим цифру десятков частного: сравним остаток 63 с делителем 90. Десятков осталось меньше, чем 90, значит, цифру десятков частного нашли правильно.

Образуем второе неполное делимое: 63 десятка – это 630 единиц.

  • Узнаем, сколько единиц будет в частном: разделим 630 на 10 и полученное частное 63 разделим на 9, получим 7.
  • Узнаем, сколько единиц разделили: умножим 7 на 90,  получим 630.
  • Узнаем, сколько единиц не разделили: вычтем 630 из 630, получим 0.

Проверим цифру единиц частного: сравним остаток 0 с делителем. Единиц осталось меньше, чем 630, значит, цифру единиц частного нашли верно.

Читаем ответ:  5130 разделить на 90 получится 57

Объясни, как выполнено деление, по плану:

 

  • Назови первое неполное делимое;
  • Расскажи, как нашли первую цифру частного;
  • Расскажи, как проверили эту цифру частного;
  • Назови второе неполное делимое;
  • Расскажи, как нашли вторую цифру частного;
  • Расскажи, как проверили эту цифру частного;

Проверь результат, выполнив умножение.

Как делить столбиком с нулями

  • Как объяснить деление в столбик
  • Как разделить число на десятичную дробь
  • Как вычитать столбиком
  • — ручка;
  • — бумага для записей.

Для закрепления информации разберите еще три примера деления:

1) Первая цифра делимого содержит делитель. Например, 693/3 = 231.
2) Делимое заканчивается на ноль. Например, 1240/4 = 310.
3) Число содержит ноль в середине. Например, 6808/8 = 851.

Во втором случае дети иногда забывают дописать последнюю цифру ответа – 0. А в третьем, бывает, перескакивают через ноль.

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Запись чисел при делении столбиком

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55 , запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений.

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

Деление столбиком на однозначное число

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8 ÷ 2 = 4 .

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 · 4 = 8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4 , на которое мы умножали делитель, записываем на место частного.

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8 — 8 = 0 .

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3 .

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем в результате:

3 · 0 = 0 7 ; 3 · 1 = 3 7 ; 3 · 2 = 6 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Под делимым записываем число , полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6 .

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1 .

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4 . Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком.

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14 , так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4 .

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x = 14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ , включая нуль : 0 , 1 , 2 , 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x . Когда в результате умножения получается число 14 , записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делітелем. Если в результате умножения получается число, большее чем x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4 · 0 = 0 14 ; 4 · 1 = 4 14 ; 4 · 2 = 8 14 ; 4 · 3 = 12 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Под выделенным числом записываем число 12 , полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3 .

3. Столбиком вычитаем из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.

4. Число 2 меньше числа 4 , поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следубщую цифру делимого — 0 . В итоге отмечаем новое рабочее число — 20 .

Пункты 2 — 4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20 . Умножая 4 на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем:

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение.

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20 — 20 = 0 .

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2 .

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . и сравниваем результат с отмеченным числом.

4 · 0 = 0 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0 , и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0 .

3. Выполняем операцию вычитания и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8 , так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28 . Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8 . В последний раз повторяем пункты алгоритма 2 — 4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0 . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072 . Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9 .

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792 , а остаток равен 8 .

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7 .

Деление многозначных натуральных чисел столбиком

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2 — 4 остаются неизменными.
Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206 .

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556 .
556 > 206 , поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.
Умножаем 206 на 0 , 1 , 2 , 3 . . и получаем:

206 · 0 = 0 556 ; 206 · 1 = 206 556 ; 206 · 2 = 412 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556 , поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144 . Справа от результата под чертой записываем число из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число — 1442 .

Повторяем с ним пункты 2 — 4 . Получаем:

206 · 5 = 1030 1442 ; 206 · 6 = 1236 1442 ; 206 · 7 = 1442

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442 , а в следующий разряд частного записываем цифру 7 — множитель.

Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания.

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .

Например, если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2) ).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например , 1976 разделим на 26.

  • Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов – 19.
  • Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов – 197.
  • Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197 : 26 = 7 (15 десятков осталось).
  • Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
  • 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976 : 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например, 64 разделим на 5.

  • 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
  • Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
  • 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
  • 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
  • 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64 : 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.

Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры

Повторяем термины

Если вы уже немного знакомы с арифметическими действиями, то, наверное, знаете, как называются числа, с которыми придется иметь дело:

  • делимое — это то, что вам нужно разделить;
  • делитель — на него всегда делят;
  • частное — то, что получается в итоге.

В Интернете есть немало сайтов, где это действие можно выполнить с помощью онлайн-калькулятора.


Важно! Если вы хотите объяснить принцип деления ребенку, не забудьте проверить, помнит ли он правила умножения.

Без умения перемножать числа в этом случае никак не обойтись, ведь результат всегда нужно проверить, а сделать это можно только обратным действием, то есть умножением. Конечно, навыки сложения и вычитания при освоении деления тоже не повредят.

Как записать?

Даже ученик начальных классов знает, как записываются примеры. Между делимым и делителем ставится двоеточие, после примера — знак равенства, а в конце пишется результат. Но простенькие задания с однозначными числами занимают всего одну строчку, а как быть в случае со столбиком, ведь придется делить двузначные, трехзначные и даже еще более крупные числа? Да точно так же, двоеточие вполне годится. Но есть и второй способ — вот такой значок


I_

Такой способ записи называется “уголком”. Слева от вертикальной линии пишется число, которое мы будем делить, над горизонтальной черточкой — делитель, а под ней — частное. Обычный тетрадный лист подходит для такой записи больше, но при желании все возможно и в ворде

Деление с остатком и без

Иметь дело мы будем с целыми числами, а вот в результате может получиться и десятичная дробь, в зависимости от того, допустимо ли в задании частное с остатком. Для начала попробуем разделить трехзначное число на однозначное.

Пример 1

Возьмем 216 разделить 3. Попробуем записать пример:


Посмотрим, какая из первых цифр делится нацело на 3. Двойка? Нет. Значит, берем две цифры — 21. Получится 7, а промежуточное действие будет выглядеть так: Теперь остается разделить на 3 последнюю цифру — 6, потому после первого шага остаток не образовался. Шестерку в столбике надо написать строго под той, что стоит в примере — в этом главный фокус, иначе можно очень легко сбиться. Что ж, давайте запишем аккуратно. Например, вот так:

Пример 2

Но может быть и другая ситуация. Например, когда первые две цифры на однозначное число нацело не делятся. Ничего страшного. Записываем:

Первым делом придется делить 76, никуда не денешься. Ближайшее число, кратное 8 (то есть то, которое делится без остатка), — 72. Его и будем отнимать. Получим 9, которое сразу запишем в частное, и 4 в остатке — его нужно поместить под чертой:
Следующий шаг — дописать к этой четверке последнюю цифру. Получится 48, его мы на 8 и разделим, от этого действия получится вторая цифра в результате — 6. Наш пример будет выглядеть теперь вот так:

Двузначный делитель

Что будет, если попробовать выполнить другую операцию — разделить то же самое число 768 не на 8, а, скажем, на 16? Да то же самое. Возьмем первые две цифры, посмотрим, какое ближайшее число кратно 16 — это 64. Отнимаем его от 72, получаем 8. К восьмерке приписываем цифру делимого, которую мы еще не задействовали, то есть 8. Пример принимает следующий вид: Да, но 88 на 16 тоже не делится! Во всяком случае, без остатка. Что ж, тогда поступаем так: Можно, конечно, больше ничего не делать и записать ответ как 45 (остаток 8). Но есть и другие варианты решения. Если бы число было четырехзначным — все оказалось бы куда проще! А почему бы и не превратить его в четырехзначное? Представим, что делимое у нас записано иначе — 768,0. Тогда мы можем после пятерки тоже поставить запятую и превратить целое число в десятичную дробь. В данном случае она конечна, но бывают примеры и с бесконечными дробями. Вот что получается:

Деление меньшего числа на большее

А можно ли в столбик разделить меньшее число на большее? Ничто не помешает это сделать. Вообще-то арифметика — это веселая и увлекательная игра со своими правилами. Главное — учимся соблюдать порядок. Итак, пробуем быстро разделить 36 на 540. Записываем выражение так: Поскольку первое число меньше второго, то и результат будет меньше единицы, то придется иметь дело с нулями. Объяснение простое: частное показывает, сколько раз делитель укладывается в делимое. Если нисколько — значит, результат начинается с нуля: А дальше действуем, как в предыдущих примерах: Числа в столбике начинают повторяться, то есть получается бесконечная десятичная дробь.

Как проверить результат деления?

Результат, как и всегда, проверяется умножением. Если остатка не было, просто перемножаем частное и делитель любым удобным способом — кстати, умножать в столбик тоже удобно. Если делить нацело не получилось, опять же, перемножаем частное и делитель, а затем прибавляем остаток.


Важно! Если результатом получилась бесконечная десятичная дробь, проверка может быть лишь приблизительной — в результате умножения у вас должно получиться число, очень близкое к делимому.

Эти навыки очень помогут потом, когда придется считать не числа, обозначенные цифрами, а действовать в мире одночленов и многочленов. Ведь полиномы — это тоже числа, только выраженные иначе. Еще больше наглядных примеров деления в столбик смотрите в предложенном ниже видео.

Н есколько строк о делении в столбик

Несколько
строк о делении в столбик

Зачастую элементарное действие
– деление в столбик, вызывает затруднение
не только у детей, но и у взрослых.

Нам могут возразить, мол имеются
калькуляторы, компьютеры, IPad’ы
и прочая техника. Но скажите: кто из вас
в последнее время не сталкивался с
ситуацией, когда техника есть, а вот
источник энергии отсутствует. Нет
электроэнергии, сели батареи и
аккумуляторы… Вспомните, наконец, что
всех этих благ цивилизации вовсе не
было каких-то сто лет тому назад. Да и
не появились бы они, не умей наши предки
обращаться с числами на бумаге.

Итак, в этой статье мы напомним
вам, как выполняется деление чисел в
столбик. Для начала восстановим в памяти
некоторые понятия:

— число, которое мы собираемся
делить, называется «ДЕЛИМОЕ»;

— число, на которое будем делить,
называется «ДЕЛИТЕЛЬ»;

— результат деления делимого на
делитель называется «ЧАСТНОЕ».

Люди условились, что знаками,
обозначающими деление, могут быть «:»
(двоеточие), «»
(черта дроби), а для поклонников
персональных компьютеров еще и «/»
(наклонная черта или «слэш»). Для деления
в столбик математики используют значок
«∟». Его называют «уголком».

Рассмотрим примеры.

1) Запись деления в строчку:

28 : 4 = 7

делимое

знак
деления

делитель

частное

2) Запись деления в виде дроби

где m
– целое число, n
– натуральное:

делимое

числитель

делитель

черта – действие деление

знаменатель

дробь – частное от деления числителя
на знаменатель

3) Запись деления уголком:

делимое

делитель

28
4

частное

7

Теперь о смысле деления на
натуральное число. Это, во-первых, может
быть задача, которая состоит в том, чтобы
выяснить, сколько раз делитель укладывается
(повторяется слагаемым) в делимом. И,
во-вторых, задача, требование которой
сводится к необходимости деления на
равные части для того, чтобы установить
величину этой части.

Напомним также, что деление –
это действие обратное умножению, поэтому
проверка правильности деления выполняется
с помощью умножения:

a
: b
=
c
означает, что c

b
=
a.

Рассмотрим несколько примеров
деления в столбик (уголком). Будем
двигаться от простого к сложному.

Деление натуральных чисел

Пример 1. 4992 : 96 =
(4000 + 900 + 90 + 2) : 96 =

1-ый шаг. Рассуждаем
следующим образом: 4 тысячи разделить
на 96 так, чтобы получить в результате
тысячи, нельзя, поэтому переходим к
более низкому разряду.

49 сотен разделить на 96 тоже нельзя
так, чтобы получились сотни, поэтому
опять переходим к более низкому разряду.

499 десятков, можно разделить на
96, поэтому старший разряд частного –
десятки, в нем получаем цифру 5.

2-й шаг. Из 499
десятков вычитаем 480 десятков, получаем
остаток – 19 десятков.

1-й шаг 2-й
шаг

4992
96 4992
96

480
5 480
5

19

Заметим, что остаток меньше
делителя, поэтому цифра частного найдена
верно.

3-й шаг. К 19-ти
десяткам добавляем (сносим) 2 единицы,
в результате получаем 192 единицы.192 делим
на 96, получаем 2 единицы:

4992
96

480
52

192

192

0

Остаток – 0, деление завершено.

Рассмотрим ошибки, которые
возникают при делении в столбик. Это,
например, случай, когда остаток оказывается
больше делителя. Его тоже делят на
делитель, и в результате этого в частном
возникает лишний разряд.

Но чаще всего при делении в
столбик ошибки возникают в случаях,
когда после приписывания к остатку
цифры следующего разряда получается
число, меньшее делителя. Это означает,
что в частном отсутствует соответствующий
разряд, т.е. на этом шаге в частное надо
записать нуль. Этот нуль пропускают,
приписывают к остатку цифру следующего
разряда и продолжают деление. На следующих
примерах покажем, как надо выполнять
деление в таких случаях.

Пример 2. 9217 : 13.

1-й шаг. Делим 921
сотню на 13, получаем в частном 7 сотен.

9217
13

91 7

1

2-й шаг. В результате
вычитания получаем в остатке 1. 1

3-й шаг. Остаток 1
– это 1 сотня, сносим к нему цифру 1 из
разряда десятков делимого; получаем 11
десятков, это число на 13 разделить
нельзя, значит, в разряде десятков
частного надо записать 0.

9217
13

91 70

11

4-й шаг. К числу 11
сносим цифру 7 из разряда единиц, получаем
117 единиц. Это число уже можно разделить
на 13:

9217
13

91 709

117

117

0

Итак, чтобы деление было выполнено
без ошибок, надо:

1) внимательно следить за тем,
чтобы остаток был меньше делителя;

2) называть разряд, деление
которого происходит в настоящий момент.

Деление десятичной дроби на
натуральное число

Поскольку десятичные дроби –
это числа, записанные по тем же правилам,
что и натуральные числа, правило деления
в столбик десятичной дроби на натуральное
число очень похоже на правило деления
в столбик натуральных чисел.

Пример 3.

47,5 : 5 = ?

Решение.

1
шаг

47,5 5

45
9

2

Остаток
— две единицы, сносим к нему цифру 5.

2
шаг

47,5 5

45
9

25

Это
25 десятых; 25 : 5 = 5 – это пять десятых,
поэтому в частном ставим запятую и
записываем цифру 5

3
шаг

47,5 5

45 9,5

25

25

0

Деление
закончено.

47,5 : 5 = 9,5

Часто ошибка при делении десятичной
дроби возникает в тот момент, когда в
частном надо поставить запятую. Для
предупреждения этой ошибки целесообразно
каким-либо образом выделить в делимом
цифру разряда десятых, например, обвести.
Запятая в частном ставится сразу после
того как к остатку будет снесена
обведенная цифра.

Пример 4. 51,9 : 15 =?

Решение.

1
шаг

51,9
15

45
3,4

69

60

9

Остаток – десятые, но девять
десятых – это 90 сотых, поэтому к
остатку, цифре 9, можем приписать нуль.

2 шаг

90 : 15 = 6 – это 6 сотых.

51,9
15

45
3,46

69

60

90

90

0

Деление
закончено

51,9 : 15 = 3,4

Ошибка возникает и в тот момент,
когда значащие цифры делимого закончились,
а остаток не равен нулю (см. пример 4, шаг
1). Она состоит в том, что приписывая нуль
к остатку, записывают нуль и в частное.
Причина ошибки в непонимании того, что
нуль в частном записывают только тогда,
когда после приписывания очередной
цифры к остатку получается число, меньшее
делителя. Эта ситуация уже была разобрана
нами при делении натуральных чисел,
теперь рассмотрим ее для десятичных
дробей.

Пример 5. 32,16 : 8 = ?

1
шаг

32,16 8

32
4,

1

Это
одна десятая, на 8 не делится, поэтому
в частном, в разряде десятых, записываем
0, а к цифре 1 приписываем (сносим)
цифру 6 из разряда сотых.

2 шаг

32,16
8

32
4,02

16

16 это сотые

0

16 : 86 = 2 – это две сотых

Деление
закончено

32,16 : 8 = 4,02

Пример 6. 270 : 25 = ?

Решение.

1 шаг

270
25

25
10

20

20

2 шаг

270
25

25
10

200

к
остатку 20 (это единицы) приписываем
0, получаем 200 (это уже десятые).

3 шаг

270
25

25
10,8

200

200

0

200 :
25 = 8 – это цифра разряда десятых,
поэтому перед ней в частном ставим
запятую.

270 : 25 = 10,8.

Итак, чтобы деление десятичной
дроби на натуральное число было выполнено
без ошибок, надо, как и при делении
натуральных чисел:

1) внимательно следить за тем,
чтобы остаток был меньше делителя;

2) называть разряд, деление
которого происходит в настоящий момент.

Часто деление в столбик необходимо
тогда, когда требуется представить
обыкновенную дробь в виде десятичной.

Пример 7. Представить
в виде десятичной дроби число: а)
;б)
;
в) 1;
г)
3.

Решение. В записи дроби

черта означает действие деление, где
числитель m
– делимое, а знаменатель n
– делитель. Поэтому чтобы представить
обыкновенную дробь в виде десятичной,
надо выполнить деление в столбик
числителя на ее знаменатель.

а)

:
5;

3 5

0 0,6

30

30

0

б)

:
15;

8 15

0 0,533…

80

75

50

45

50

45

5

Читается: нуль целых, пять десятых
и 3 в периоде.

в) 1

14
25

0
0,56

140

125

150

150

0

1

г)
3
8 13

0
0,6153846…

80

78

20

13

70

65

50

39

110

104

60

52

8

3

Заметим, что число цифр в периоде
меньше числа, стоящего в знаменателе
соответствующей дроби. Так, в нашем
случае, число цифр периода – 6,
знаменатель – 13: 6

Деление десятичной дроби на
десятичную дробь

Если и делимое, и делитель умножить
на одно и то же число, частное не изменится.
При умножении десятичной дроби на 10,
100, 1000 и т.д. запятая переносится вправо
соответственно на 1, 2, 3 и т.д. знака. Из
этого следует правило деления на
десятичную дробь:

чтобы
число, записанное позиционным способом,
разделить на десятичную дробь, надо и
в делимом и в делителе перенести запятую
на столько знаков, сколько их содержится
после запятой в делителе, а затем
выполнить деление на натуральное число;
если в делимом не хватает знаков, справа
приписывают нули.

Пример 8.

а) 24,84 : 2,3 = 248,4 : 23; б) 189 : 5,4 = 1890 : 54;
в) 25,35 : 0,039 = 25350 : 39.

Деление выполните самостоятельно.

Зубарева И.И., Гамбарин В.Г.

Деление натуральных чисел в столбик: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные) можно делить столбиком – с остатком и без него.

Правила деления в столбик

Без остатка

Чтобы найти частное от деления одного числа на другое (с любым количеством разрядов) можно выполнить это арифметическое действие в столбик.

Рассмотрим правила деления на практическом примере для лучшего понимания. Допустим, нам нужно трехзначное число разделить на однозначное, к примеру 256 на 8. Вот, что мы делаем:

1. Пишем делимое (256), затем немного отступаем от него и в этой же строке дописываем делитель (8). Затем между этими числами дорисовываем уголок. Результат будем записывать под делителем.

2. В делимом слева направо отсчитываем минимально необходимое количество разрядов таким образом, чтобы полученное из содержащихся в них цифр новое число было больше, чем делитель. В нашем случае числа 2 недостаточно, поэтому к нему добавляем 5 и в итоге получаем 25.

Примечание: Если крайняя левая цифра делимого больше делителя, добавлять к нему цифру следующего разряда не нужно, и мы сразу приступаем к следующему шагу.

3. Определяем, сколько целых раз наш делитель содержится в полученном из цифр делимого числе (25). В нашем случае – три раза. Пишем цифру 3 в отведенном для этого месте, затем умножаем ее на делитель (3 ⋅ 8). Получившееся число (24) отнимаем из 25 и остается единица. Важно, чтобы результат вычитания (остаток) обязательно был меньше делителя, иначе мы неправильно выполнили вычисления.

Примечание: Правила и примеры вычитания чисел столбиком приведены в отдельной публикации.

4. К остатку (1) добавляем следующую цифру делимого (6), чтобы получить новое число, которое снова больше, чем делитель.

Примечание: Если при добавлении следующей цифры образовавшееся новое число все еще меньше делителя, берем еще одну цифру справа (если есть такая возможность), при этом в частном пишем ноль. В противном случае, получается деление с остатком, которое мы рассмотрим далее.

5. В числе 16 содержится ровно два раза по восемь (2 ⋅ 8), следовательно, пишем 2 в частном, затем выполняем вычитание (16 – 16) и получаем остаток, равный нулю.

На этом деление столбиком числа 256 на 8 успешно выполнено, и частное равно 32.

С остатком

В целом, алгоритм действий аналогичен вышеописанному. Разница лишь в том, что при последнем вычитании остается неделимой остаток, к которому больше нечего дописывать из делимого, т.к. все его разряды уже были использованы. Остаток обычно записывается справа от результата в скобках.

Например, остаток от деления 112 на 5 равняется двум. То есть 112 : 5 = 22 (2).

Пояснение: в результате вычитания 10 из 12 получается 2, но к нему больше нечего дописать из делимого.

Примеры деления в столбик

Пример 1

Разделим трехзначное число на двузначное, например 378 на 21.

Ответ: 378 : 21 = 18.

Пример 2

Найдем частное от деления чисел 1537 и 35.

Пояснение: в данном случае в делимом нужно сразу отсчитать слева не две, а три цифры, т.к. числа 1 и 15 меньше 35.

Ответ: 1537 : 35 = 43 (32)

Как решить пример деление. Как делить в столбик? Как объяснить ребенку деление столбиком? Деление на однозначное, двузначное, трехзначное число, деление с остатком

Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик)
. Также можно встретить название деление уголком
. Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .

В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.

Навигация по странице.

Правила записи при делении столбиком

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105
, а делителем – 5
5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808
на 51 234
(614 808
– шестизначное число, 51 234
– пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1
) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058
и 4
(здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3
). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:

Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком

Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.

Пример.

Пусть нам нужно разделить столбиком 8
на 2
.

Решение.

Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4
.

Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.

Сначала записываем делимое 8
и делитель 2
так, как того требует метод:

Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Поехали: 2·0=0
; 2·1=2
; 2·2=4
; 2·3=6
; 2·4=8
. Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4
. При этом запись примет следующий вид:

Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.

В нашем примере получаем

Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8
на 2
. Мы видим, что частное 8:2
равно 4
(и остаток равен 0
).

Ответ:

8:2=4
.

Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.

Пример.

Разделим столбиком 7
на 3
.

Решение.

На начальном этапе запись выглядит так:

Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3
на 0
, 1
, 2
, 3
и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7
. Получаем 3·0=07
(при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6
(оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2
(на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).

Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7
и 3
будет завершено.

Таким образом, неполное частное равно 2
, и остаток равен 1
.

Ответ:

7:3=2 (ост. 1)
.

Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.

Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком
. На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288
на однозначное натуральное число 4
. Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.

    Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

    Первой слева цифрой в записи делимого 140 288
    является цифра 1
    . Число 1
    меньше, чем делитель 4
    , поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14
    , с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.

Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.

    Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x
    ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0
    , 1
    , 2
    , 3
    , … до того момента, пока не получим число x
    или число больше, чем x
    . Когда получается число x
    , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4
    пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x
    , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).

    Умножаем делитель 4
    на числа 0
    , 1
    , 2
    , …, пока не получим число, которое равно 14
    или больше 14
    . Имеем 4·0=014
    . Так как на последнем шаге мы получили число 16
    , которое больше, чем 14
    , то под выделенным числом записываем число 12
    , которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3
    , так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.

    На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.

    Нам нужно вычесть столбиком из числа 14
    число 12
    (для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2
    . Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2
    меньше делителя 4
    , то можно спокойно переходить к следующему пункту.

    Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2
    по 4
    пункты алгоритма.

    Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2
    записываем цифру 0
    , так как именно цифра 0
    находится в записи делимого 140 288
    в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20
    .

    Это число 20
    мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.

    Умножаем делитель 4
    на 0
    , 1
    , 2
    , …, пока не получим число 20
    или число, которое больше, чем 20
    . Имеем 4·0=0

    Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).

    Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2
    , так как именно она находится в записи делимого 140 288
    в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2
    .

    Число 2
    принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4
    пунктов алгоритма.

    Умножаем делитель на 0
    , 1
    , 2
    и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2
    . Имеем 4·0=02
    . Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0
    (оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0
    (на 0
    мы проводили умножение на предпоследнем шаге).

    Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2
    под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4
    . Так как 2

    Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8
    (так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288
    ). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28
    .

    Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4
    пунктов.

Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.

Осталось последний раз провести действия из пунктов 2
, 3
, 4
(предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288
и 4
в столбик:

Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0
. Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.

Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288
на однозначное натуральное число 4
, мы видим, что частным является число 35 072
, (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).

Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.

Пример.

Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136
, а делителем является однозначное натуральное число 9
.

Решение.

На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида

После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид

Повторив цикл, будем иметь

Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136
и 9

Таким образом, неполное частное равно 792
, а остаток от деления равен 8
.

Ответ:

7 136:9=792 (ост. 8)
.

А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.

Пример.

Разделите натуральное число 7 042 035
на однозначное натуральное число 7
.

Решение.

Удобнее всего выполнить деление столбиком.

Ответ:

7 042 035:7=1 006 005
.

Деление столбиком многозначных натуральных чисел

Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел
. Это действительно так, так как со 2
по 4
этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.

На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2
, 3
и 4
пункте алгоритма до получения конечного результата.

Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.

Пример.

Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562
и 206
.

Решение.

Так как в записи делителя 206
участвуют 3
знака, то смотрим на первые 3
цифры слева в записи делимого 5 562
. Эти цифры соответствуют числу 556
. Так как 556
больше, чем делитель 206
, то число 556
принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.

Теперь умножаем делитель 206
на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556
, либо больше, чем 556
. Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0556
. Так как мы получили число, которое больше числа 556
, то под выделенным числом записываем число 412
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2
(так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:

Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144
, это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.

Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2
, так как она находится в записи делимого 5 562
в этом столбце:

Теперь мы работаем с числом 1 442
, выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.

Умножаем делитель 206
на 0
, 1
, 2
, 3
, … до получения числа 1 442
или числа, которое больше, чем 1 442
. Поехали: 206·0=0

Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:

Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:

  • Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
  • Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Деление
многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик
. Давайте разберем, как это делать. Начнем с деления многоразрядного числа на одноразрядное, и постепенно увеличим разрядность делимого.

Итак, поделим 354

на 2

. Для начала разместим эти числа как показано на рисунке:

Делимое размещаем слева, делитель справа, а частное будем записывать под делителем.

Теперь начинаем делить делимое на делитель поразрядно слева на право. Находим первое неполное делимое
, для этого берем первый слева разряд, в нашем случае 3 и сравниваем с делителем.

3

больше 2

, значит 3

и есть неполное делимое. Ставим точку в частном и определяем, сколько ещё разрядов будет в частном – столько же, сколько осталось в делимом после выделения неполного делимого. В нашем случае в частном столько же разрядов, сколько в делимом, то есть старшим разрядом будут сотни:

Для того чтобы 3

разделить на 2

вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим число при умножении которого на 2 получим наибольшее произведение, которое меньше 3.

2 × 1
= 2
(2

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2

меньше 3

, а 4

больше, значит, берем первый пример и множитель 1

.

Записываем 1

в частное на место первой точки (в разряд сотен), а найденное произведение записываем под делимым:

Теперь находим разность, между первым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителем:

Полученное значение сравниваем с делителем. 15

больше 2

, значит, мы нашли второе неполное делимое. Для того чтобы найти результат деления 15

на 2

вновь вспоминаем таблицу умножения на 2

и находим наибольшее произведение, которое меньше 15

:

2 × 7
= 14
(14

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Искомый множитель 7

, записываем его в частное на место второй точки (в десятки). Находим разность между вторым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителя:

Продолжаем деление, для чего находим третье неполное делимое
. Спускаем следующий разряд делимого:

Делим неполное делимое на 2, полученное значение ставим в разряд единиц частного. Проверим правильность деления:

2 × 7
= 14

Результат деления третьего неполного делимого на делитель пишем в частное, находим разность:

Разность мы получили равную нулю, значит деление произведено правильно
.

Усложним задачу и приведем другой пример:

1020 ÷ 5

Запишем наш пример в столбик и определим первое неполное частное:

Разряд тысяч делимого составляет 1

, сравниваем с делителем:

1

Добавляем в неполное делимое разряд сотен и сравниваем:

10 > 5

– мы нашли неполное делимое.

Делим 10

на 5

, получаем 2

, записываем результат в частное. Разность между неполным делимым и результатом умножения делителя и найденного разряда частного.

10 – 10 = 0

0

мы не пишем, опускаем следующий разряд делимого – разряд десятков:

Сравниваем второе неполное делимое с делителем.

2

Нам следует добавить в неполное делимое ещё один разряд, для этого в частное, на разряд десятков ставим 0

:

20 ÷ 5 = 4

Записываем ответ в разряд единиц частного и проверяем: записываем произведение под второе неполное делимое и вычисляем разность. Получаем 0

, значит пример решён правильно
.

И ещё 2 правила деления в столбик:

1. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить, например:

Сколько нулей в младшем разряде делимого мы убираем, столько же нулей убираем в младших разрядах делителя.

2. Если в делимом после деления остались нули, то их следует перенести в частное:

Итак, сформулируем последовательность действий при делении в столбик.

  1. Размещаем делимое слева, делитель справа. Помним, что делимое мы делим, поразрядно выделяя неполные делимые и деля их последовательно на делитель. Разряды в неполное делимое выделяются слева направо от старших к младшим.
  2. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить.
  3. Определяем первый неполный делитель:

а)
выделяем в неполный делитель старший разряд делимого;

б)
сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (в)
, если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4
;

в)
добавляем в неполное делимое следующий разряд и переходим к пункту (б)
.

  1. Определяем сколько разрядов будет в частном, и ставим столько точек на месте частного (под делителем) сколько будет в нем разрядов. Одна точка (один разряд) за все первое неполное делимое и остальных точек (разрядов) столько же, сколько осталось разрядов в делимом после выделения неполного делимого.
  2. Делим неполное делимое на делитель, для этого находим число, при умножении которого на делитель получилось бы число либо равное неполному делимому, либо меньше его.
  3. Найденное число записываем на место очередного разряда частного (точки), а результат умножения его на делитель записываем под неполным делимым и находим их разность.
  4. Если найденная разность меньше или равна неполному делимому значит, мы правильно поделили неполное делимое на делитель.
  5. Если в делимом остались еще разряды, то продолжаем деление, иначе переходим к пункту 10
    .
  6. Опускаем к разности следующий разряд делимого и получаем очередное неполное делимое:

а) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (б), если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4;

б) добавляем к неполному делимому следующий разряд делимого, при этом в частное на место следующего разряда (точки) пишем 0;

в) переходим к пункту (а).

10. Если мы выполняли деление без остатка и последняя найденная разность равна 0

, то мы правильно выполнили деление
.

Мы говорили о делении многоразрядного числа на одноразрядное. В случае, когда разрядность делителя больше, деление выполняется аналогично:

Деление столбиком неотъемлемая часть школьной программы и необходимое знание для ребенка. Чтобы избежать проблем на уроках и с их выполнением, следует давать ребенку основные знания еще с маленького возраста.

Гораздо легче объяснять ребенку определенные вещи и процессы в игровой форме, а не в формате стандартного урока (хотя на сегодняшний день существует достаточно разнообразных методик обучения в разных формах).

Из этой статьи вы узнаете


Принцип деления для малышей

Дети постоянно сталкиваются с разными математическими терминами, даже не подозревая, откуда они. Ведь многие мамочки, в форме игры, объясняют ребенку, что папы больше тарелка, в садик ходить дальше, чем в магазин и другие незамысловатые примеры. Всё это представляет ребенку первоначальное впечатление о математике, еще до похода ребёнка в первый класс.

Чтобы научить ребёнка делить без остатка, а позже с остатком, необходимо прямо предложить поиграть малышу в игры с делением. Разделите, например, конфеты между собой, а затем по очереди добавляйте следующих участников.

Сначала ребенок будет делить конфеты, отдавая каждому участнику по одной. А в конце вместе сделаете вывод. Следует пояснить, что «разделить» — значит всем одинаковое число конфет.

Если Вам необходимо растолковать этот процесс с помощью цифр, то можно привести пример в форме игры. Можно сказать, что цифра – это конфета. Следует объяснить, что число конфет, которые нужно делить между участниками – делимое. А количество человек, на которых делят эти конфеты – это делитель.

Потом следует показать это все наглядно, привести «живые» примеры, чтобы быстрее научить кроху делить. Играя, он намного быстрее все поймет и усвоит. Пока алгоритм объяснить будет сложно, и сейчас это не нужно.

Как обучить малыша делению в столбик

Объяснение крохе разных математических действий – это хорошая подготовка к походу в класс, особенно математический класс. Если Вы решили перейти к обучению ребенка делению столбиком, значит такие действия как сложение, вычитание, и что такое таблица умножения он уже усвоил.

Если же это у него все еще вызывает некоторые сложности, то нужно подтянуть все эти знания. Стоит напомнить алгоритм действий предыдущих процессов, научить свободно пользоваться своими знаниями. В противном случае малыш просто запутается во всех процессах, и перестанет что-либо понимать.

Для облегчения понимания этого, сейчас есть таблица деления для малышей. Принцип у нее такой же, как и у таблиц умножения. Но нужна ли уже такая таблица, если малыш знает таблицу умножения? Это зависит от школы и учителя.

При формировании понятия «деление» нужно обязательно делать все в игровой форме, приводить все примеры на знакомых ребенку вещах и предметах.

Очень важно, чтобы все предметы были четного числа, чтобы малышу было ясно, что итогом являются равные части. Это будет правильно, поскольку позволит крохе осознать, что деление — процесс обратный умножению. Если предметы будут нечетного количества, то итог выйдет с остатком и малыш запутается.

Умножаем и делим с помощью таблицы

При объяснении малышу взаимосвязи между умножением и делением, необходимо это все наглядно показывать на каком-либо примере. Например: 5 х 3 = 15. Вспомните, что итог умножения это произведение двух чисел.

И только после этого, объясняйте, что это обратный процесс к умножению и продемонстрируйте это наглядно с помощью таблицы.

Скажите, что нужно поделить результат «15» — на какой-то из множителей («5»/ «3»), и итогом будет постоянно иной, не принимавший участие в делении, множитель.

Также необходимо растолковать малышу, как правильно называются категории, которые выполняют деление: делимое, делитель, частное. И снова с помощью примера покажите, что из них является конкретной категорией.

Деление столбиком вещь не очень сложная, у нее есть свой легкий алгоритм, которому малыша нужно научить. После закрепления всех этих понятий и знаний, можно переходить к дальнейшему обучению.

В принципе, родителям стоит выучить с любимым чадом таблицу умножения в обратном порядке, и наизусть ее запомнить, так как это будет нужным при обучении делению столбиком.

Это делать необходимо до похода в первый класс, чтобы ребенку в школе было намного легче освоиться, и успевать за школьной программой, и чтобы класс из-за небольших неудач не начал дразнить ребенка. Таблица умножения есть и в школе, и в тетрадях, поэтому носить отдельную таблицу в школу не придется.

Делим с помощью столбика

Прежде чем приступить к занятию, нужно вспомнить названия цифр при делении. Что такое делитель, делимое и частное. Ребенок должен без ошибок делить эти цифры на правильные категории.

Самое главное при обучении деления столбиком, это усвоить алгоритм, который, в общем, довольно простой. Но сначала объясните ребенку значение слова «алгоритм», если он забыл его или до этого не изучал.

В том случае, если кроха прекрасно разбирается в таблице умножения и обратного деления, у него не будет никаких сложностей.

Однако на полученном результате долго задерживаться нельзя, необходимо регулярно тренировать приобретенные умения и навыки. Двигайтесь далее, как только станет ясно, что малыш понял принцип метода.

Необходимо научить малыша делить столбиком без остатка и с остатком, чтобы ребенок не пугался, что у него что-то не получилось разделить правильно.

Чтобы было проще обучить малыша процессу деления необходимо:

  • в 2-3 года понимание отношения целое-часть.
  • в 6-7 лет малыш должен свободно уметь выполнять сложение, вычитание и осознавать сущность умножения и деления.

Нужно побуждать интерес малыша к математическим процессам, чтобы этот урок в школе приносил ему удовольствие и желание учиться, и не мотивировать его на одних на уроках, но и в жизни.

Ребенок должен носить разные инструменты для уроков математики, учиться ими пользоваться. Однако если ребенку тяжело все носить, то не стоит его перегружать.

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком
.

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым
, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое — это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток — 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.

Деление в столбик — это неотъемлемая часть учебного материала младшего школьника. От того, насколько он правильно научится выполнять это действие, будут зависеть дальнейшие успехи в математике.

Как правильно подготовить ребенка к восприятию нового материала?

Деление в столбик — это сложный процесс, который требует от ребенка определенных знаний. Чтобы выполнить деление, необходимо знать и уметь быстро вычитать, складывать, умножать. Немаловажными являются знания разрядов чисел.

Каждое из этих действий следует довести до автоматизма. Ребенок не должен долго думать, а также уметь вычитать складывать не только числа первого десятка, а в пределах сотни за несколько секунд.

Важно формировать правильное понятие деления, как математического действия. Еще при изучении таблиц умножения и деления, ребенок должен четко понимать, что делимое — это число, которое будет делиться на равные части, делитель — указывать, на сколько частей нужно разделить число, частное — это сам ответ.

Как пошагово объяснить алгоритм математического действия?

Каждое математическое действие предполагает четкое соблюдение определенного алгоритма. Примеры на деление в столбик должны выполняться в таком порядке:

  1. Запись примера в уголок, при этом места делимого и делителя должны быть строго соблюдены. Чтобы помочь на первых этапах ребенку не запутаться, можно сказать, что слева пишем большее число, а справа — меньшее.
  2. Выделяют часть для первого деления. Оно должно делиться на делимое с остатком.
  3. При помощи таблицы умножения определяем, сколько раз может поместиться делитель в выделенной части. Важно указать ребенку, что ответ не должен превышать 9.
  4. Выполнить умножение полученного числа на делитель и записать его в левой части уголка.
  5. Далее, нужно найти разницу между частью делимого и полученным произведением.
  6. Полученное число записывают под чертой и сносят следующее разрядное число. Такие действия выполняются до того периода, пока в остатке не останется 0.

Наглядный пример для ученика и родителей

Деление в столбик можно наглядно объяснить на этом примере.

  1. Записывают в столбик 2 числа: делимое — 536 и делитель — 4.
  2. Первая часть для деления должна делиться на 4 и частное должно быть менее 9. Для этого подходит цифра 5.
  3. 4 поместиться в 5 всего 1 раз, поэтому в ответе записываем 1, а под 5 — 4.
  4. Далее, выполняется вычитание: из 5 отнимается 4 и под чертой записывается 1.
  5. К единице сносится следующее разрядное число — 3. В тринадцати (13) — 4 поместится 3 раза. 4х3= 12. Двенадцать записывают под 13-ю, а 3 — в частное, как следующее разрядное число.
  6. Из 13 вычитают 12, в ответе получают 1. Снова сносят следующее разрядное число — 6.
  7. 16 снова делится на 4. В ответ записывают 4, а в столбик деления — 16, подводят черту и в разнице 0.

Решив примеры на деление в столбик со своим ребенком несколько раз, можно достичь успехов в быстром выполнении задач в средней школе.

2 — 3х — 10 ‘


3. Затем мы умножим x в верхней части горизонтальной полосы на +2 в делителе. 2 + 2x`


4.Условия 2` были отменены. — 3x — 2x сложить вместе, чтобы получить — 5x. А потом несем последнюю
член в числителе вниз как есть. Следующий шаг — разделить (- 5x — 10) на (x + 2)


6. Точно так же, как мы делали выше, мы делим главный член в делимом (- 5x) на главный член в делителе (который такой же, как и раньше: x). Это деление дает — 5.2 — 2x`
_____________
`- 5x — 10`


7. Следующим шагом будет умножение каждого члена в делителе на это -5 и размещение подобных членов под членами делимого, как показано ниже:

`x — 5`
________
`x + 2) x ^ 2 — 3x — 10`
`- x2 — 2x`
_____________
`- 5x — 10`
`- 5x — 10`


8.Затем мы вычитаем младшие члены из приведенных выше. Переворачивание знаков в нижнем ряду дает:


9. Мы увидели, что два срока были отменены. Следовательно, мы получили остаток = 0 Нас интересует частное и остаток. Для нашего примера:

Частное: x — 5

остаток: 0

Примечание: Здесь необходимо подчеркнуть, что, поскольку остаток от этого деления оказался равным нулю, это показывает, что
и делитель (x + 2), и частное (x — 5) являются множителями данного делимого (x2 — 3x — 10).

Еще один интересный момент, который следует упомянуть, это то, что вы также можете проверить свой ответ, умножив множители обратно. 2 — 3x — 10`

Это подтверждает наш ответ.

Всегда ли остаток будет равен нулю? Что будет, если этого не произойдет?

Это не обязательно, чтобы остаток всегда оказывался равным нулю. Бывают случаи, когда мы достигаем ненулевых остатков. Такая ситуация возникает, когда делитель не является множителем делимого многочлена.

Если в полиномиальном делении у нас есть делитель = Q, делимое = P, частное = q и остаток = r

Тогда мы можем представить наш ответ следующим образом:

Это означает, что наш исходный полином дивиденда может быть выражен как:

, который является частным делителем умножения на остаток.

Калькулятор деления в столбик

с десятичными знаками и остатками

Добро пожаловать в калькулятор деления в столбик, инструмент, который поможет вам понять, как выполнять деление в столбик с десятичными знаками . Читайте дальше, чтобы узнать, как решать задачи длинного деления, и , как работать с длинным делением с остатками . Вы также можете найти пример деления в столбик с подробным объяснением шагов деления в столбик.

Деление в столбик с остатками

Поскольку мы хотим научиться делать столбики, давайте начнем с основ — определений.

Обычно мы хотим найти результат, который представляет собой отношение двух чисел. Эти два числа: — дивиденд (не путать с дивидендом в финансах) и — делитель . Мы также можем записать это как:

результат = делимое / делитель .

Мы можем записать результат в различных формах: как дробь, десятичная дробь (преобразованная из дроби) или как комбинация двух чисел: как частное и как остаток . Последнее составляет суть проблем с делением в столбик.

Как сделать длинное деление с десятичными знаками?

Весь процесс относительно прост, так как вам нужно повторить шаги длинного деления :

  1. Поскольку мы собираемся разделить каждую часть дивиденда отдельно, нам необходимо разделить ее. Начните с того, что посмотрите, сколько цифр у вашего делителя. Это то количество цифр, которое мы берем из левой части дивиденда для работы со статистикой. Например, если мы делим 378 на 14, мы рассмотрим 37 часть 378.Мы будем звонить по номерам, которые берем n₁ .

  2. Если n₁ меньше делителя, возьмите и следующую цифру из делимого.

  3. Разделите это значение на делитель и округлите результат до ближайшего целого числа. Это первая цифра частного.

  4. Умножьте эту цифру на делитель. Назовем это n₂ .

  5. Вычтем n₁ и n₂ .Обычно мы получаем остаток.

  6. С этим новым числом запишите следующую цифру справа от делимого (шаг 1) справа от этого значения, которое является нашим новым n₁ .

  7. Продолжайте эти шаги долгого деления, пока у вас не закончатся цифры в делимом.

  8. Когда вы используете последнюю цифру из делимого и разность n₁ - n₂ дает ненулевое значение, это , последний остаток

  9. Вы можете продолжить, записав следующие нули в конце, чтобы получить большую точность и иметь более значащие цифры.Но будьте осторожны, иногда это никогда не заканчивается, например, с повторяющимися десятичными знаками!

Между прочим, если вы хотите получить только остаток, вы можете использовать оператор по модулю, потому что равенство divisor divisor = Остаток всегда истинно.

Пример длинного деления с шагом

Поскольку мы уже изучили теорию, давайте попробуем решить конкретный пример деления в столбик и посмотрим, как работает наш калькулятор деления в столбик. В этом случае давайте посмотрим, как сделать строчное деление 65321 и 31 :

  • Возьмите первые две цифры делимого, 65 .Разделите это значение на 31 и округлите его до целого числа, что даст нам 2 . Запишите это выше как первую цифру частного.

  • Умножьте 2 на 31 , что равно 62 . Запишите это сразу под 65 от дивиденда. Вычтите эти два числа: 65-62 = 3 . Это первая цифра нового значения.

  • Запишите следующую цифру делимого, 3 .Вместе они составили 33 .

  • 31 подходит только один раз к 33 , поэтому следующая цифра частного — 1 .

  • Затем разность 33-31 = 2 и следующая цифра из делимого ( 2 ) образуют новое число, 22 .

  • Прежде чем продолжить деление, мы видим, что 22 меньше, чем 31 , поэтому мы можем записать 0 как следующую цифру в частном и записать еще одну цифру из делимого, что дает нам 221 .

  • Разделив 221 на 31 и округлив его до целого числа, мы получим 7 — последнюю цифру частного.

  • Тогда последний стандартный шаг равен 7 * 31 = 217 и 221-217 = 4 .

  • Поскольку у нас заканчиваются цифры, и мы не хотим выполнять длинное деление с десятичными цифрами, вот наши окончательные результаты: частное равно 2107 , а остаток равен 4 .

  • В качестве альтернативы можно написать 65321/31 = 2107 r 4

Как пользоваться калькулятором деления в столбик?

Единственное, что вам нужно сделать, это ввести два значения — делимое и делитель. И это все! Наш калькулятор деления в столбик сделает все остальное.

Вы можете увидеть краткий ответ — частное и остаток, но также вы можете узнать, как выполнить долгое деление со всеми шагами.

Деление в столбик с остатком еще никогда не было таким простым! Теперь примите вызов и попробуйте самостоятельно решить некоторые задачи с длинным делением.

Длинное деление — деление трехзначных чисел — математика для 3-го класса

Научитесь использовать длинное деление для деления трехзначных чисел

На предыдущем уроке вы узнали, что можно писать уравнения деления в длинной форме следующим образом:

Итак, вы разделили числа, состоящие из 1 или 2 цифр. Возможно, вы уже выучили много фактов о разделении!

Но что произойдет, если у вас возникнет такая проблема:

682 ÷ 2 =?

Для ее решения нам понадобится длинных делений!

Длинные ступени дивизиона

✅ Начните с записи задачи деления в виде длинного деления :

✅ Теперь давайте посмотрим на первую цифру в дивиденде, 6.

Вы можете сказать, сколько двоек поместится в шестерку? 🤔

Верно! 3.

Итак, мы запишем 3 сверху, как частное и запишем произведение на 3 и 2 под 6.

Теперь мы вычитаем это произведение из нашей цифры в дивиденде (6) , чтобы получить разницу.

Отлично! 👌

✅ Теперь давайте введем следующую цифру, 8.

Отличная работа! 👍

Затем мы повторяем то, что делали раньше!

Можете ли вы сказать, сколько двоек поместится в восьмерку? 🤓

Очень хорошо! 4.

Итак, снова мы пишем 4 сверху, как частное и записываем произведение 4 и 2 под 8.

Теперь мы вычитаем этот продукт из 8.

Отличная работа! 😎

Можете угадать следующий шаг? 🤓

Вы поняли! 🤗

✅ Мы убираем последнюю цифру, 2, и повторяем то, что делали раньше.

Можете ли вы сказать, сколько двоек уместится в двойке? 🤔

Правильно! Просто 1.

Итак, мы пишем 1 сверху, как частное и записываем произведение на 1 и 2 под 2.

Затем мы вычитаем .

Отлично! 😎

Итак, каков наш ответ? 😀

Очень хорошо! Это 341.

682 ÷ 2 = 341

Отличная работа! 👏

Деление в длину — это много шагов. Вы выучите их как свои пять пальцев в кратчайшие сроки.Просто продолжать идти. 👍

Пример 2 в длинное деление

Рассмотрим еще один пример.

249 ÷ 3 =?

Вы помните первый шаг? 🤔

Очень хорошо! 😎

✅ Начнем с написания задачи в виде полных чисел!

✅ Теперь мы смотрим на первую цифру, 2.

Сколько троек поместится в двойку? 🤔

Верно! Нет или ‘0’.

Итак, давайте поместим 0 сверху, как частное.

Если частное для цифры равно 0, мы разделим эту цифру и следующую цифру вместе на на следующем шаге.

✅ Итак, здесь делим 24 на 3.

Можете ли вы сказать, сколько троек уместится в 24? 🤓

Очень хорошо! 8.

Итак, мы запишем 8 сверху, как частное и запишем произведение на 8 и 3 под 24.

Затем мы вычитаем 24 из 24. 🤗

Отлично! 👌

Вы помните следующий шаг? 😀

Правильно! 😎

✅ Далее, убираем следующую цифру, 9, и повторяем шагов.

Отлично! 😃

Итак, каков окончательный ответ ?

Очень хорошо! Это 83. (0 можно игнорировать, так как он находится в начале числа.)

249 ÷ 3 = 83

Отличная работа! 👏

Длинная дивизия с остатками

Ранее вы узнали о делении и остатках.

Вы помните, что такое остаток? 🤓

Иногда нельзя разделить число поровну. Есть «остатки».

Остаток — это число, оставшееся после деления.

Например,

11 ÷ 2 = 5 R 1 (остаток 1)

Можно ли получить остаток при трехзначном делении?

Да, мы можем!

Вот пример деления с остатком. 🤗

726 ÷ 4 =?

Чтобы разделить, давайте повторите шаги еще раз. 😎

Вы помните первый шаг?

Очень хорошо! 👍

✅ Начнем с написания задачи в виде длинных делений.

✅ Теперь, посмотрите на первую цифру.

Вы можете сказать, сколько четверок уместится в семерке? 🤔

Верно! Всего 1.

Итак, мы пишем 1 сверху, как частное и запишем произведение 1 и 4 под 7.

Теперь мы вычтем этого продукта из 7.

Отличная работа! 😃

✅ Теперь давайте опустим следующую цифру, 2.

Поскольку у нас есть остаток от прошлого времени (3), , мы должны теперь разделить обе цифры вместе.

Итак, теперь разделим 32 на 4.

Вы можете сказать, сколько четверок поместится в 32? 🤓

Еще раз правильно! 8.

Итак, мы пишем 8 сверху, и записываем произведение на 8 и 4 под 32.

Затем мы вычитаем .

Отлично! 😎

✅ Теперь давайте опустим следующую цифру, 6, и повторим , что мы делали раньше.

Сколько четверок умещается в шестерке?

Верно! 1.

Итак, мы пишем 1 сверху, и произведение на 1 и 4 под 6.

Затем мы вычитаем .

Отличная работа! 👌

Итак, что происходит? 🤔

Нам больше нечего сбивать.И мы не можем разделить 2 на 4.

Это означает, что 2 — это остаток, а 181 — это частное!

🤗 Итак, ответ:

726 ÷ 4 = 181 R 2

Отличная работа! 😎 Теперь вы знаете, как делить трехзначные числа!

Смотри и учись

Посмотрите любое из этих замечательных видео ниже, чтобы получить больше практики:

Веселье в дивизионе

Хотите увидеть все этапы деления в столбик в анимации просто для удовольствия?

Вот как выглядит ускоренное деление в столбик:

Теперь вы можете переходить к практике.😃

College Algebra
Урок 36: Длинное деление


Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:

  1. Разделите один многочлен на другой в столбик.

Введение


В этом уроке мы возвращаемся к тому, что вы, возможно, не видели с тех пор.
начальная школа: деление в столбик.В этом уроке мы разделяем
полиномы, но он следует тем же шагам и мыслительному процессу, что и когда
Вы применяете это числа. Давайте продвигаться вперед.

Учебник


Разделить

Многочлен Многочлен

Использование длинного деления

Шаг 1. Настройте длинный
разделение.

Делитель (то, на что вы делите) находится снаружи коробки.
Дивиденд (то, на что вы делите) идет внутри коробки.

Когда вы выписываете дивиденд, убедитесь, что вы вставляете 0 для любых
недостающие термины. Например, если у вас есть многочлен,
первый член имеет степень 4, затем следующая высшая степень — 1.Это отсутствует
степени 3 и 2. Таким образом, если бы мы поместили его в ячейку деления, мы
написал бы это так:

Это позволит вам выстроить в линию термины, когда вы решите проблему.

Шаг 2: разделить
1-й член дивиденда по первому члену делителя, чтобы получить первый член
частное.

Частное (ответ) написано над квадратом деления.

Убедитесь, что вы выровняли первый член частного с термином
дивиденда той же степени.

Шаг 3: Возьмите
член, найденный на шаге 2, и умножьте его на делитель.

Убедитесь, что вы согласовали все условия этого шага со сроком
дивиденд той же степени.

Шаг 4: Вычесть
это из строки выше.

Убедитесь, что вы вычли КАЖДЫЙ термин, найденный на шаге 3, а не только
первый.

Шаг 5: Повторить
пока не сделано.

Продолжайте до тех пор, пока степень «нового» дивиденда не станет меньше
степень делителя.

Шаг 6: Запишите
отвечать.

Ваш ответ — это частное, которое вы получили в верхней части
делительная коробка.

Если у вас есть остаток, запишите его над делителем в своем окончательном ответе.

Пример 1 : Разделить с помощью длинного деления.

* Запишите в порядке убывания

Обратите внимание, что «скретч», который вы видите
справа от длинного деления показывает, как заполняется этот шаг.
Он показывает вам «за кулисами» того, как происходит каждая часть.

Scratch work:

Scratch work:

Scratch work:

Мы продолжаем идти до тех пор, пока не сможем больше делиться.Это выглядит
как будто мы можем хотя бы еще раз обратиться к этой проблеме.

Мы просто выполняем те же шаги 2–4, что и показано выше. Наш новый
дивиденд »- последняя строка.

Scratch work:

Scratch work:

Scratch work:

Мы продолжаем идти до тех пор, пока не сможем больше делиться.Это выглядит
как будто мы можем еще раз вернуться к этой проблеме.

Мы просто выполняем те же шаги 2–4, что и показано выше. Наш новый
дивиденд »- последняя строка.

Scratch work:

Scratch work:

Scratch work:

* Частное без остатка

Пример 2 : Разделить с помощью длинного деления.

* Запишите в порядке убывания
* Вставьте 0 для отсутствующего члена

Обратите внимание, что «скретч», который вы видите
справа от длинного деления показывает, как заполняется этот шаг.
Он показывает вам «за кулисами» того, как происходит каждая часть.

Scratch work:

Scratch work:

Scratch work:

Мы продолжаем идти до тех пор, пока не сможем больше делиться.

Мы просто выполняем те же шаги 2 — 4, что показаны выше. Наш новый
дивиденд «всегда будет последней строкой, найденной на шаге 4.

Ниже приводится скретч-работа (или
сцены, если хотите) для остальной части проблемы.
Вы
можно увидеть все, что собрано вместе после работы над царапинами, в разделе «положить
это все вместе «.Это просто для того, чтобы показать вам, как разные части
возник в окончательном ответе. Когда вы решаете такую ​​проблему,
вам не обязательно записывать это вот так. Вы можете иметь
это похоже на конечный продукт, показанный после этой скретч-работы.

Царапина для шагов 2, 3 и 4
для двух последних членов частного

2-й семестр:

3 семестр:

Собираем все вместе:

Обратите внимание, что каждая вторая строка ВЫЧИТАЕТСЯ, поэтому
линия показывает, какими будут знаки каждого члена, когда вы его вычтете.

* Частное с остатком от 37

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
типы проблем. Математика работает как и все
в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему
свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения
для этой проблемы
.По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практика
Задачи 1a — 1b: Разделить в столбик.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?




Последний раз редактировал Ким Сьюард 15 марта 2012 г.
Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2012, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Факты о длинном делении для детей

Длинное деление — это метод деления двух чисел с использованием повторяющихся умножений и вычитаний в таблице. Поскольку это легко сделать, этому обычно учат в школах. Существуют и другие методы, которые быстрее или проще запрограммировать на компьютере, но их труднее понять и выполнить вручную.Если у нас есть большая или сложная проблема деления, мы можем использовать длинное деление, чтобы разбить ее на серию более простых вычислений. Деление в столбик можно также выполнять на многочленах.

Обзор

Как и в большинстве задач с делением, у нас есть три числа: делимое , наше первое число; делитель , второе число, на которое мы его делим; и частное , которое является результатом. Деление в столбик — это своего рода алгоритм, что означает, что он помогает нам найти решение проблемы, выполнив ряд четко определенных шагов:

  1. Во-первых, нам нужно разделить наше первое число (делимое) на отдельное число для каждой цифры.Если наш дивиденд равен 123, мы разделим его на 1, 2 и 3.
  2. Затем нам нужно разделить каждую из этих цифр на второе число (делитель). Если наш делитель равен 8, мы сделаем 1/8, 2/8, а затем 3/8.
    • Если от деления есть остаток, то остаток переносится на следующий шаг.
    • Если деление меньше 0 (например, при попытке разделить небольшое число на большое), то делимое вместо остатка переносится на следующий шаг.
  3. После обработки всех чисел каждый результат (частное) снова объединяется в одно число. Например. если частные равны 7, 8 и 2, то окончательный результат будет 782.
    • Любые оставшиеся остатки составляют десятичную часть ответа.

Примеры

Кейс базовый

Предположим, мы хотим разделить 780 на 4. Чтобы сделать это с помощью длинного деления, нам нужно разделить 780 на цифры — 7, 8 и 0 — и затем разделить каждую на 4, перенося остатки на следующий шаг.

7/4 = 1 R 3 — так как у нас есть остаток от 3, мы должны перенести это вниз. 38/4 = 9 R 2 — остаток 2 переносим вниз. 20/4 = 5 R 0 — мы дошли до конца.

Используя деление в столбик, мы обнаружили, что 780/4 = 195 .

Корпус сложный

Давайте выполним аналогичный расчет, где наши числа не делятся легко: 468/12

4/12 = 0 R 0 — мы не можем выполнить это деление, поскольку 4 <12, поэтому мы должны переносить наш дивиденд как остаток.46/12 = 3 R 10 — остаток от 10 уносим вниз. 108/12 = 9 R 0 — мы дошли до конца.

Таким же способом мы обнаружили, что 468/12 = 39 .

Десятичные ответы

Давайте проделаем тот же процесс для чисел, которые дают ответ с десятичной дробью, потому что у них нет общих множителей: 123/8

1/8 = 0 R 0 — мы не можем выполнить это деление как 1 <8, поэтому мы должны переносить наш дивиденд как остаток.12/8 = 1 R 4 — остаток 4 переносим вниз. 43/8 = 5 R 3 — мы достигли конца с остатком, который мы должны добавить к нашему окончательному ответу.

123/8 = 15 R 3 , что равно 15,375 (15 3/8).

Связанные страницы

  • Chunking, другой тип деления на части, применяемый в Великобритании.
  • Делитель, число, которое делит равномерно другое число
  • Краткое деление, более быстрая версия длинного деления с меньшими числами.
  • Синтетическое деление, альтернативный алгоритм полиномиального деления в столбик

Изображения для детей

  • Пример продольного деления без калькулятора.

  • Анимированный пример многозначного деления в столбик

Полное руководство по высшей математике по целочисленному делению в столбик

В математике деление в столбик — это мощная процедура, с помощью которой деление может выполняться карандашом и бумагой.Каким бы мощным он ни был, его обычно преподают на довузовском уровне без особого рассмотрения его базовой теории или его альтернатив

Однако в этом руководстве мы рассмотрим оба из них, а также углубиться в различные типы процедур разделения при различных сценариях. Мы также попытаемся проиллюстрировать их роль в продвижении целостного понимания деления и чисел в целом — с помощью откровенного анализа и множества примеров.

(Кстати, хорошо ли вы знакомы с содержанием этого руководства? Если да, то этот подробный сводный рабочий лист может показаться вам сложным и полезным.)

В арифметике мы часто выражаем число $ n $ как фрагменты другого (ненулевого) числа $ d $. Когда это происходит, говорят, что мы делим $ n $ на $ d $, где $ n $ называется дивидендом , а $ d $ — делителем .

В общем случае, учитывая дивиденд $ n $ и делитель $ d $, мы можем выразить $ n $ как $ dq + r $ для некоторого целого числа $ q $ и некоторого числа $ r $, а в то время как $ n $ может иметь много $ dq + r $ представлений , есть только одно такое представление, где $ 0 \ le r <| d | $.

В частности, в случае, когда делимое и делитель — целых , этот результат известен как теорема о делении , но даже если это не так, в целом все равно применимо следующее:

  • $ q $ — которое представляет собой уникальное целое число в приведенном выше представлении $ dq + r $ — известно как частное .
  • $ r $ — уникальный номер в приведенном выше представлении $ dq + r $ — известен как остаток .
  • Акт нахождения этих двух чисел называется евклидовым делением , или, в просторечии, делением с остатком .

На случай, если вам интересно…

Теорема деления для целых чисел обычно устанавливается на основе принципа упорядочения . В общем случае может помочь свойство Архимеда для действительных чисел .

Итак, здесь подразумевается, что дивиденд и делитель обычно являются фиксированными числами, в то время как промежуточные частные / остатки могут меняться в зависимости от стадии деления, на котором мы находимся.Кроме того:

  • Уравнение $ n = dq + r $ известно как алгебраическое представление деления.
  • Уравнение $ \ displaystyle \ frac {n} {d} = q + \ frac {r} {d} $ известно как дробное представление деления .

(конечно, есть также смешанная дробь $ \ displaystyle q \, \ frac {r} {d} $, хотя такие обозначения обычно более подвержены путанице, когда мы выходим за пределы целых чисел.)

И, конечно же, есть также графических представлений деления, которые мы рассмотрим после некоторой предварительной теории процедуры деления.

Конечно, теорема деления — изящная логика, гарантирующая, что в сценарии евклидова деления частное и остаток существуют и уникальны. Однако это не дает нам большого представления о том, как нам следует искать эти числа на практике…

Но тогда именно здесь вступает в игру основная тема, представляющая интерес — процедура евклидова деления .

Вкратце, это конечные рекурсивные процедуры, которые стремятся найти частное и остаток посредством повторных вычитаний .Они, как правило, работают, многократно уменьшая дивиденд — обычно серией из скачков — до тех пор, пока он не станет меньше самого делителя.

И когда это происходит, процесс подходит к концу — последнее промежуточное частное и остаток являются ответами на исходное евклидово деление.

Или более конкретно:

  1. Учитывая дивиденд $ n $ и (ненулевой) делитель $ d $, мы бы начали процедуру с , уменьшив $ n $ (или его абсолютное значение) на $ d $ — целое число раз (скажем, $ q_1 $). {\ text {th}} $ $ q_i $
  2. Промежуточное частное $ q_1 + \ cdots + q_i $
  3. Промежуточный остаток $ r_i $
  4. И если мы выберем частные стадии разумно, так что $ | r_i | $ уменьшается, скажем, по крайней мере, на 1 доллар на каждой стадии, то после конечных количество итераций (скажем, $ m $), мы гарантированно сгенерируем промежуточный остаток $ r_m $ такой, что $ 0 \ le r_m <| d | $.И когда это произойдет, наше окончательное алгебраическое представление будет выглядеть следующим образом: \ begin {align *}
    n & = dq_1 + \ cdots + dq_m + r_m \\ & = d (q_1 + \ cdots + q_m) + r_m \ end {align * } На этом процедура деления подошла бы к концу, дав $ q_1 + \ cdots + q_m $ и $ r_m $ как частное и остаток от $ n \ div d $, соответственно.

Здесь обратите внимание, что независимо от того, являются ли $ n $ и $ d $ целыми или нет, промежуточные частные всегда должны храниться как целых чисел — и являются единственными среди $ n $, $ d $, $ q $. s, $ r $ s, которые должны удовлетворять этому требованию.

В этом руководстве мы ограничимся случаями, когда и $ n $, и $ d $ являются целыми числами, и рассмотрим методы и подходы деления, которые вытекают из них. К ним относятся методы длинного / короткого деления , методы сегментирования , , метод произвольной формы — среди других менее графических подходов к разделению.

Поскольку концепция деления основана на натуральных числах, имеет смысл сначала начать с них и проиллюстрировать некоторые из задействованных основных методов .Оказавшись там, мы постепенно расширим наш набор инструментов другими альтернативными методами и подходами, чтобы можно было включить и другие сценарии целочисленного деления.

Случай 1 — Методы, основанные на цифрах

Если у вас есть лента длиной 1529 см, , и вы хотите разрезать ее на куски 7 см куски , сколько из этих кусков вы сможете сделать? И после того, как все сказано и сделано, сколько ленты останется?

Что ж, как вы могли догадаться, это не что иное, как следующая задача деления : \ [7 \ enclose {longdiv} {1529} \], которая может быть решена с помощью традиционного метода деления в столбик , или — если угодно — сокращенный метод и сокращенный метод .

Длинное деление

Как вы, возможно, уже знаете, процедура деления в столбик состоит в настройке таблиц деления таким образом, чтобы на каждом этапе мы вычисляли цифру из частного — уменьшая дивидендный / промежуточный остаток на максимально возможное количество раз.

В этом случае, например, поскольку 1529 долларов можно уменьшить в 7 долларов в 100 долларов, но не в 1000 долларов, мы знаем, что нам следует начать процесс с рассмотрения кратных цифр от 100 долларов.

Фактически, небольшая проверка покажет, что 1529 долларов можно уменьшить в 7 долларов в 200 долларов, но не в 300 долларов. Это привело бы нас к выбору 200 $ в качестве первого коэффициента этапа , что, в свою очередь, привело бы к следующей таблице: \ begin {array} {r} 200 \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv} {1529} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {1400}
\\ [- 0.25em] 129 \ end {array} И вот в чем прелесть этого подхода: поскольку мы уже установили, что 1529 долларов можно уменьшить на 7 долларов в 200 долларов, но не в 300 долларов, это означает, что мы определенно не будем дополнительно снижать 1529 долларов в 100 долларов или более, и все, что остается, — это сосредоточиться на цифре . вместо этого кратно из 10 долларов.

Фактически, небольшая проверка показала бы, что 129 долларов — то, что осталось сейчас в размере 1529 долларов — можно уменьшить на 7 долларов в 10 долларов, но не в 20 долларов. Это привело бы нас к выбору $ 10 $ в качестве следующего частичного этапа , что, в свою очередь, привело бы к следующей таблице: \ begin {array} {r} 10 \\ [- 0.35em] 200 \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv} {1529} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {1400}
\\ [- 0.25em] 129 \\ [- 0.3em] \ underline {\ phantom {1} 70}
\\ [- 0.25em] 59 \ end {array} Как вы можете видеть здесь, наши обозначения немного необычны в том смысле, что числа складываются на крайних значениях , но они есть для несколько причин, которые станут яснее в следующих нескольких разделах.

Но помимо этого, обратите внимание, что, поскольку мы уже установили, что оставшаяся часть 1529 долларов может быть уменьшена в 7 долларов в 10 долларов, но не в 20 долларов, это означает, что мы определенно не будем сокращать ее в дальнейшем на 10 долларов. раз или больше — и что нашим следующим шагом должно стать сокращение на , кратное , на 1 доллар.

На самом деле не нужно много времени, чтобы понять, что 59 долларов — то, что осталось сейчас на уровне 1529 долларов — можно уменьшить в 7 долларов 8 раз, но не в 9 долларов. Это привело бы нас к выбору 8 $ в качестве следующего коэффициента этапа , что, в свою очередь, привело бы нас к следующей таблице:
\ begin {array} {r} 8 \\ [- 0.35em] 10 \\ [- 0.35em] 200 \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv} {1529} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {1400}
\\ [-0,25em] 129 \\ [- 0,3em] \ underline {\ phantom {1} 70}
\\ [- 0,25em] 59 \\ [- 0,3em] \ underline {56} \\ [- 0,25em ] 3 \ end {array} Здесь обратите внимание, что, поскольку мы уже установили, что оставшаяся часть 1529 $ может быть уменьшена в 8 $ раз, но не в 9 $ раз, тогда уже следовало, что останется $ из 1529 $ должен быть меньше, чем сам делитель .Фактически, это отражено и в нашей последней таблице.

Но в любом случае процедура деления подходит к концу, давая 200 + 10 + 8 = 218 $ в качестве частного, 3 $ в качестве остатка, а также следующие представлений деления:

  • Алгебраическое представление : $ 1529 = 7 (218) + 3 $
  • Дробное представление : $ \ displaystyle \ frac {1529} {7} = 218 + \ frac {3} {7} $
Сокращения с длинным разделением — Факторное слияние и пропуск нулей

Теперь, в приведенном выше примере, есть две интересные особенности.Первый — который легче обнаружить — это тот факт, что частное каждого этапа принимает форму ведущей цифры с последующими нулями (или без нуля), причем место ведущей цифры перемещается вправо на каждом этапе — без перекрытия .

Таким образом, возникает естественный вопрос: «Применимо ли это ко всем таблицам с делением в столбик на каждом этапе?» К счастью, ответ положительный, и это потому, что по природе алгоритма мы всегда выбираем наивысшее кратное число в наивысшем доступном месте на каждом этапе.

И из-за этого мы обычно предпочитаем записывать частное стадии по его ведущей цифре только — и делать это слева направо, как если бы мы записывали частное на лету. .

Что касается второй особенности, она связана с тем фактом, что, поскольку частные стадии всегда имеют форму, описанную выше, мы часто получаем много чисел под знаком деления, чьи «значащие цифры» все слева — за которой следует строка нулей .

И хотя во многих случаях эти нули могут быть безвредными, они также могут очень быстро увеличиваться по мере увеличения дивидендов. Из-за этого мы часто предпочитаем вообще опускать эти нули, сохраняя при этом « значащих цифр » этих чисел.

Итак, если бы мы повторили нашу задачу с лентой с учетом вышеуказанных соглашений (например, слияние частных, пропуск нулей), первая итерация таблицы деления была бы такой: \ begin {array} {r} 2 \ phantom {00} \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv} {1529} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {14 \ phantom {00}}
\\ [- 0.25em] 1 \ phantom {29} \ end {array} Здесь обратите внимание, что размещение частично обозначенных чисел над и под знаком деления теперь становится решающим — поскольку теперь они обозначены только их «значащими цифрами».

На самом деле, по умолчанию предполагается, что десятичных знаков этих чисел выровнены с десятичными знаками дивиденда, поэтому 2 доллара над знаком деления фактически означают 200 долларов, а 14 долларов ниже фактически означают 1400 долларов. $.

Если вам интересно…

Да. Есть еще одна конвенция о пропуске , которую мы еще не рассмотрели. Но затем мы предоставим вам разобраться, почему это полезно, почему оно не подорвет расчет, если его правильно применить, и почему оно может ввести в заблуждение, если его недостаточно хорошо понять.

А вот и вторая таблица :
\ begin {array} {r} 21 \ phantom {0} \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv} {1529} \ kern {-0.15 ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {14 \ phantom {00}}
\\ [- 0.25em] 12 \ phantom {9} \\ [- 0.3em] \ underline {\ phantom {1} 7 \ ​​phantom {0}}
\\ [- 0.25em] 5 \ phantom {9} \ end {array} Здесь , обратите внимание, что мы уже на лету объединяем сценические коэффициенты , что очень удобно. Как обычно, 21 доллар выше на самом деле означает 210 долларов, а 7 долларов ниже — 70 долларов.

А еще есть финальная версия таблицы: \ begin {array} {r} 218 \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv} {1529} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {14 \ phantom {00}}
\\ [- 0.25em] 12 \ phantom {9} \\ [- 0.3em] \ underline {\ phantom {1} 7 \ ​​phantom {0}}
\\ [- 0,25em] 59 \\ [- 0,3em] \ underline {56 } \\ [- 0.25em] 3 \ end {array} Как видите, эта основанная на соглашении процедура деления в столбик может быть как благословением, так и проклятием. Это благословение, потому что оно устраняет множество ненужных нулей и перезаписи, и это проклятие, потому что может создать иллюзию, что вы просто манипулируете маленькими целыми числами — хотя на самом деле обычно бывает наоборот.

Итак, занимаетесь ли вы изучением или преподаванием вещей, убедитесь, что понимаете, что означает каждое из частично записанных чисел в таблице.Уже одно это предотвратит множество недоразумений и развеет представление о длинном делении как о серии полусмысленных алгоритмических ритуалов .

Краткое деление

В то время как традиционное использование длинного деления уже имеет много встроенных сокращений, существует еще одна сильно сокращенная форма длинного деления, называемая коротким делением , где промежуточные остатки помечены рядом с цифрами дивидендов как надстрочными индексами .

И поскольку вычисления , приводящие к промежуточным остаткам, полностью опущены в этом случае, это делает короткое деление превосходным инструментом для работы с небольшими евклидовыми делениями и делениями в целом.{1} 29} \ kern {-0.15ex} \ end {array} Здесь обратите внимание, что $ 2 $ выше означает 200 $, как обычно, а верхний индекс $ 1 $ служит только для того, чтобы сообщить нам, что промежуточный остаток на данный момент это 129 $.

Как вы можете догадаться, эта умная нотация решает многие проблемы, связанные с традиционным использованием длинного деления, в том, что не только мало путаницы в значении промежуточного остатка на любом данном этапе, но и то, что частично — помеченные числа под знаком деления почти все тоже исчезли.{11}} \ kern {-0.00ex} \ end {array} В частности, обратите внимание, что:

  • Верхний индекс вполне может быть ноль .
  • Верхний индекс вполне может состоять из и нескольких цифр .
  • Верхний индекс может быть даже равен равным цифре под ним.

Но в любом случае тот факт, что одно из этих событий происходит, не обязательно указывает на неэффективность. Во всяком случае, эти надстрочные символы могут предоставить важных подсказок о том, какие цифры закончены — и на каких цифрах сосредоточиться дальше.

Длинное деление против короткого

Как мы видели выше, метод длинного деления (сокращенный или иной) — это тот, который любит «держать все вкладки», в то время как метод короткого деления предпочитает сохранять отслеживать ничего — за исключением частного и промежуточных остатков под знаком деления.

В результате для небольших чисел выполнение деления «коротким» способом может значительно минимизировать вероятность неправильного понимания ошибок записи и .Фактически, каждая таблица с коротким делением будет выглядеть проще, чем ее аналог с длинным делением, включая те, в которых задействована только одна итерация!

(во всяком случае, можно вообще не записывать частные цифры, когда требуется только остаток . Это делает короткое деление особенно полезным, скажем, для вычисления наименьшего положительного остатка в модульной арифметике.)

Однако, что обычно остается незамеченным, так это то, что, поскольку в коротком делении еще больше пропусков чисел, это может привести к переносу бремени вычислений и запоминания с карандаша и бумаги на умственную арифметику .

По мере того, как дивиденды и делитель увеличиваются, наступит момент, когда « держать вкладки в голове » может превратиться в скорее в пассив, чем в актив. В конце концов, простота метода нотации не означает, что он будет лучшим для всех случаев!

Во всяком случае, и у длинного, и у короткого деления есть незаметная слепая зона, которая редко устраняется — и это связано с тем фактом, что оба являются жадными алгоритмами , которые стремятся оптимизировать только отдельные цифры.

И хотя на первый взгляд это может показаться не очень большим, он все же поддерживает определенную форму рассуждения , которая может вернуться, чтобы причинить нам вред. Далее мы рассмотрим некоторые методы, которые не связаны такими ограничениями, но в результате теряют свою систематичность.

Случай 2 — Метод разбиения на части

В длинном и коротком делении процедуры построены таким образом, что мы должны основывать наши решения на частных цифрах и пытаться вычислять их по одной.

И хотя это дает немедленное преимущество в том, что после определения числа частного оно будет оставаться правильным на протяжении всей процедуры, но помимо этого, действительно мало причин, почему это должно иметь место .

Итак, как бы выглядело евклидово разделение, если бы мы позволили себе быть немного более либеральными? Что ж, здесь большую роль могут сыграть процедуры разделения, такие как метод разделения на фрагменты .

Вкратце, метод разбиения на части является окончательным вариантом процедуры деления, поскольку он состоит в многократном извлечении большого фрагмента из числа — без особого отношения к цифрам самого частного.

Знаете ли вы?

В начальных школах математического образования (особенно в Великобритании) метод разделения на части также известен как метод частичного частного или метод палача — по причинам, аналогичным тем, которые описаны в теоретическом разделе выше.

Для иллюстрации предположим, что мы имеем дело со следующей проблемой деления : \ begin {array} {r} 4 \ enclose {longdiv} {5785} \ end {array} Сначала мы могли бы увидеть, что можем уменьшить 5785 долларов на 4 доллара как минимум в 1400 долларов.Это привело бы к тому, что мы выбрали бы $ 1400 $ в качестве нашего первого коэффициента , что тогда привело бы к следующей таблице: \ begin {array} {r} 1400 \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {5785} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {5600}
\\ [- 0.25em] 185 \ end {array} Здесь мы видим, что $ 185 $ — то, что осталось от $ 5785 $ — можно дополнительно уменьшить в 4 $ $ 45 $ раз (поскольку $ 45 \ times 4 = 90 \ times 2 = 180 $). Это привело бы нас к принятию 45 $ в качестве частного следующего этапа , , что затем привело бы нас к следующей таблице: \ begin {array} {r} 45 \\ [- 0.35em] 1400 \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {5785} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {5600}
\\ [- 0.25em] 185 \\ [-0.3em] \ underline {180}
\\ [- 0.25em] 5 \ end {array} На этом этапе должно быть ясно, что основная часть работы уже сделана, хотя у нас еще есть еще 5 долларов, чтобы идти. Тем не менее, все, что нам нужно сделать, это нанести последние штрихи, и все должно быть хорошо:
\ begin {array} {r} 1 \\ [- 0.35em] 45 \\ [- 0.35em] 1400 \\ [-0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {5785} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {5600}
\\ [- 0,25em] 185 \\ [- 0,3em] \ underline {180}
\\ [- 0,25em] 5 \\ [- 0,3em] \ underline {4} \ \ [- 0.25em] 1 \ end {array} Здесь, поскольку промежуточный остаток уже меньше, чем сам делитель, мы можем безопасно объявить процесс завершенным, при этом $ 1400 + 45 + 1 = 1446 $ и $ 1 $ будут последними частное и остаток соответственно. Мы также можем добавить различные представления деления:

  • Алгебраическое представление : $ \, 5785 = 4 (1446) + 1 $
  • Дробное представление : $ \, \ displaystyle \ frac { 5785} {4} = 1446 + \ frac {1} {4} $

Как мы видим, метод фрагментации уникален тем, что он не имеет четкого алгоритма из коробки, но из-за этого он может быть лучше традиционных методов в продвижении интуитивного и либерального образа мыслей о самом разделении.

Во всяком случае, это даже заставляет нас приобрести сильных навыков счета и подлинного понимания деления — прежде, чем мы сможем даже начать эффективно использовать этот метод.

Таким образом, даже если такой метод может быть ужасно неэффективным для реализации на компьютере, для людей с сильными арифметическими навыками (или тех, кто просто хочет узнать больше о числовых шаблонах), он вполне может быть недостающим методом, которым они так долго искал.

Случай 3 — Метод двунаправленного разбиения на части

До сих пор мы рассматривали, как метод разбиения на фрагменты отменяет жесткость традиционных методов, основанных на цифрах, за счет допуска нестандартных стадийных коэффициентов . Но, как оказалось, сам метод разбиения на части не обходится без ограничений и . В частности:

  • Он работает в рамках неполного вычитания, но не сверх-вычитания .
  • Предполагается, что промежуточные остатки составляют 0 долларов США или более, и исключает наличие отрицательных промежуточных остатков .
  • Предполагается, что коэффициенты этапа являются положительными по своей природе, и запрещает использование отрицательных коэффициентов этапа .

Безусловно, всегда можно утверждать, что эти ограничения сделаны из лучших побуждений, поскольку они основаны на наших представлениях и понимании физических величин . и что если бы мы удалили их, тогда мы могли бы разделить число на большее количество кусков, чем оно есть на самом деле, — прежде чем обрабатывать эти невыполненные куски, как если бы они были деньгами с банковского счета.

Другими словами, такое неограниченное деление было бы двунаправленным по своей природе и изменило бы концепцию деления из серии повторных вычитаний на такую, которая также включает повторных сложений .

По своей сути, деление — это не только повторное сложение, но и повторное вычитание. Щелкните, чтобы написать в Твиттере

Но, если подумать, это на самом деле не новая концепция для начала. Во всяком случае, большинство делений, помимо целых и десятичных, уже имеют некоторую встроенную форму двунаправленности — и это только не так на более низком уровне, потому что потребуется более концептуального понимания и числовых навыков .

Но в любом случае это не значит, что это потребует огромного количества знаний и усилий, поэтому имеет смысл попробовать эту неограниченную форму разделения, двунаправленное разбиение на , сначала посмотрев на следующий пример. : \ begin {array} {r} 4 \ enclose {longdiv} {2375} \ end {array} Здесь обратите внимание, что если бы мы придерживались старой парадигмы, то мы выбрали бы 500 долларов в качестве нашего первого коэффициента . , но давайте просто скажем, что мы хотим отличиться и решили использовать вместо этого 600 $ — чтобы мы могли наблюдать, что будет дальше: \ begin {array} {r} 600 \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {2375} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {2400}
\\ [- 0.25em] -25 \ end {array} Как и ожидалось, промежуточный остаток, $ -25 $, сейчас находится на отрицательной территории. Однако, если мы просто уберем делитель $ 7 $ раз, то мы вернемся на положительную территорию. Так что давайте просто сделаем это и посмотрим, что произойдет: \ begin {array} {r} -7 \\ [- 0.35em] 600 \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {2375} \ kern {-0.15 ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {2400}
\\ [- 0.25em] -25 \\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {-} 28} \\ [- 0.25em] 3 \ end {array} Здесь обратите внимание, что две вещи происходят одновременно — как мы восстанавливает промежуточный остаток до нормального состояния:

  1. Новый коэффициент этапа, $ -7 $, равен отрицательным — потому что мы, по сути, «убираем вычитание».
  2. В результате есть число, которое нужно добавить обратно к промежуточному остатку — и, следовательно, наличие знака плюс внизу.

Но в любом случае, поскольку промежуточный остаток теперь неотрицателен и меньше самого делителя, мы уже можем объявить процесс деления завершенным, с 600-7 = 593 $ и 3 $ в качестве окончательного частного и остаток соответственно. Мы также можем описать весь процесс деления алгебраически — следующим образом: \ begin {align *} 2375 & = 4 (600) + (-25) \\ & = 4 (600) + 4 (-7) + 3 \\ & = 4 (593) + 3 \ end {align *} Или, если мы предпочитаем дробное представление , вместо : \ begin {align *} \ frac {2375} {4} & = 600 + \ frac {-25 } {4} \\ & = 600 \, — 7 + \ frac {3} {4} \\ & = 593 + \ frac {3} {4} \ end {align *} Теперь вам должно быть интересно: « Почему мы хотим пройти через такой процесс только для того, чтобы разрешить разделение? » Что ж, в некоторых случаях вы можете быть правы, но нам нравится ссылаться на двунаправленность только по естественным причинам, и в данном случае это связано с тем фактом, что на самом деле величина составляет (т.е.е., абсолютное значение) промежуточного остатка меньше.

Хм. Все еще не уверены в его полезности? Тогда давайте посмотрим прямо на пример с отрицательным дивидендом вместо — на этот раз с $ -36735 \ div 13 $: \ begin {array} {r} 4 \\ [- 0.35em] -30 \\ [- 0.35em] 200 \\ [- 0.35em] — 3000 \\ [- 0.35em] 13 \ enclose {longdiv} {- 36735} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {- } 39000}
\\ [- 0,25em] 2265 \\ [- 0,3em] \ underline {2600} \\ [- 0,25em] — 335 \ [- 0,3em] \ underline {+ \ phantom {-} 390 } \\ [- 0.25em] 55 \\ [- 0.3em] \ underline {52} \\ [- 0.25em] 3 \ end {array} Здесь обратите внимание, что увеличение сложности деления, естественно, требует задействования большего числа чисел, но в любом случае, это то, что ни длинное, ни короткое деление не могут даже начать обрабатывать — поскольку им не хватает гибкости в способе вычисления и записи частного.

Кроме того, приведенная выше таблица также предполагает, что при двунаправленном фрагментировании величина промежуточного остатка на каждом этапе всегда меньше или равна его эквиваленту длинного / короткого деления, что означает, что будет равно или на меньше итераций — вдоль с расчетами и меньших звездных величин .

Но тогда, подход двунаправленного фрагментирования не лишен собственных недостатков и . Например:

  • Допуская, что частные стадии и промежуточные остатки могут быть как неотрицательными, так и отрицательными, отслеживание всего может стать немного неинтуитивным и запутанным.
  • Накладывая положительные и отрицательные частные стадии друг на друга, визуализировать размер конечного частного может быть немного сложно — если вообще возможно.

И, конечно же, не говоря уже о том, что, поскольку двунаправленное разбиение на фрагменты — это, по сути, метод разбиения на фрагменты, скорость , с которой оно может выполняться, в значительной степени зависит от умственных способностей к арифметике и распознавания чисел.

Другими словами, выберите правильные ступенчатые коэффициенты , и все будет в кратчайшие сроки, но если вы выберете «неправильные», то вскоре можете столкнуться с большими арифметическими проблемами!

Но хорошая новость в том, что есть способ обойти однонаправленные , однозначные ограничения традиционных методов, при этом пользуясь преимуществами структурных и обозначений, которые эти методы могут предложить нам взамен.

Фактически, в следующем разделе мы представим совершенно новый метод, сочетающий неограниченность двунаправленного подхода с систематичностью и краткостью традиционных методов. Это привело бы к подходу к разделению, который был бы достаточно гибким, чтобы обслуживать все сценарии, но который также предлагает арену новых ярлыков и перспектив , недоступных для отдельных методов, упомянутых выше.

Случай 4 — Метод произвольной формы

Введение

На этом этапе мы рассмотрели 4 различных процедуры обработки евклидовых делений для целых чисел, и, хотя каждая из этих процедур хороша в своих соответствующих областях, они также могут быть бедны в Другие.Вот таблица , иллюстрирующая наши основные выводы:

Цифры

33

33

33

Длинное деление Короткое деление Разделение на части Двунаправленное разделение Двунаправленное разбиение на части
Немедленно Немедленно Не всегда сразу Не всегда немедленно
Гибкость на уровне стадии Ограниченная Ограниченная Гибкая Очень гибкая

Гибкая Очень гибкая

Очень гибкая

Нет Нет Нет Да
Эффективность записи Умеренная Высокая От низкой до средней Низкая
Низкая
наполовину лаконичный Полуинтуитивный и элегантный Интуитивно понятный, но менее лаконичный Интуитивно понятный, но беспорядочный
Обозначение Автономность Высокий Низкий Очень высокий 7 Очень высокий Масштабируемость для больших чисел Да Нет Да, но с большим количеством надписей Да, но с большим количеством записей
Систематичность Высокая Высокая Низкая Очень низкая

В свете этого мы подумали: «Хм… есть ли метод разделения, который максимально приближен к лучшему в всех категориях?» И вот, после небольших экспериментов, именно тогда мы наткнулись на метод произвольной формы .

Вкратце, это метод, который включает в себя философию неограниченной двунаправленности , но делает это без использования каких-либо стадийных коэффициентов. Во всяком случае, он сильно использует некоторые условные обозначения — так что вещи могут быть краткими, насколько это необходимо, без ущерба для масштабируемости метода в целом.

Итак, давайте попробуем наш последний метод деления — на этот раз с примером 6-на-2-значное : \ begin {array} {r} 17 \ enclose {longdiv} {736871} \ керн {-0.15ex} \ end {array}

Для первой попытки, если мы начнем с ограничения нашего внимания первой цифрой частного, то мы можем заметить, что в разряде десяти тысяч $ 5 $, кажется, работают хорошо как оценка частного , так что давайте просто поместим его туда и посмотрим, что произойдет: \ begin {array} {r} 5 \ phantom {6871} \\ [- 0.35em] 17 \ enclose {longdiv} {\ underline { 73} 6871} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] -12 \ phantom {6871} \ end {array} Здесь обратите внимание, что несколько условных обозначений уже используются:

  1. On со стороны частного записываются только « значащих цифр ».
  2. Под дивидендом находится подчеркивание , указывающее на целевые разряды цифр — и что под ним будет промежуточный остаток.
  3. В общем, мы можем вообще не указывать продукты — если количество еще недостаточно велико, чтобы гарантировать их пребывание.

В любом случае, мы видим, что (частичный) промежуточный остаток, $ -12 $, теперь находится на отрицательной территории. Таким образом, нам нужно восстановить его до нормального состояния путем , отозвав частное на 1 доллар в разряде десяти тысяч.И когда это будет сделано, появится следующая таблица: \ begin {array} {r} 4 \ phantom {6871} \\ [- 0.35em] 17 \ enclose {longdiv} {\ underline {73} 6871} \ kern {- 0.15ex}
\\ [- 0.60em] 5 \ phantom {6871} \ end {array} (здесь, обратите внимание, что мы стираем кривые корректировки частного, так как это является неотъемлемой частью более четкого представления. Подробнее об этом позже.)

И поскольку (частичный) промежуточный остаток теперь неотрицателен и меньше самого делителя, мы можем быть уверены, что первая цифра частного теперь установлена ​​и что дальнейшая коррекция не потребуется.Что касается следующих двух цифр частного, поскольку $ 30 $ кажется хорошим начальным предположением, мы просто придерживаемся его и посмотрим, что произойдет: \ begin {array} {r} 430 \ phantom {71} \\ [- 0.35em] 17 \ enclose {longdiv} {\ underline {73} 6871} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {568} \ phantom {71} \\ [- 0.25em] 58 \ phantom {71} \ end {array} Как оказалось, на этот раз мы на самом деле занижали частное число, поэтому давайте попробуем увеличить его на 3 доллара и поставить (частичное) промежуточный остаток в идеальный диапазон: \ begin {array} {r} 433 \ phantom {71} \\ [- 0.35em] 17 \ enclose {longdiv} {\ underline {73} 6871} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {568} \ phantom {71} \\ [- 0.25em] 7 \ phantom {71} \ end {array} Опять же, здесь мы решили полностью опустить обозначение продукта, потому что числа все еще недостаточно велики, чтобы гарантировать такие обозначения. В любом случае таблица теперь имеет промежуточный остаток в размере 771 $, и, поскольку $ 17 \ times 40 = 680 $ и $ 17 \ times 50 = 850 $, это означает, что 45 $ могут быть подходящими для последнего оставшегося частного. цифры: \ begin {array} {r} 43345 \\ [- 0.35em] 17 \ enclose {longdiv} {\ underline {73} 6871} \ kern {-0.15ex} \\ [- 0.60em] \ underline {568} \ phantom {71} \\ [- 0.25em] 771 \\ [-0.30em] \ underline {765} \\ [- 0.25em] 6 \ end {array} Как оказалось, нам посчастливилось попасть на правильные цифры без каких-либо корректировок, так что даже если мы не опустите продукт на этот раз, процедура действительно дошла до своего конца довольно гладко. Неплохая попытка для первой иллюстрации экспериментального метода!

Быстрый совет по выбору частных цифр

По возможности, выбор частных цифр, оканчивающихся на $ \ mathbf {5} $, $ \ mathbf {25} $ или $ \ mathbf {125} $, может быть хорошей идеей — поскольку эти числа легче умножить в десятичной системе.В последнем случае, например, мы имеем, что $ 17 \ times 45 = 16 \ times 45 + 45 = 8 \ times 90 + 45 = 765 $.

Процедурный анализ, сравнения и другие примеры

Как упоминалось ранее, метод произвольной формы обычно можно разбить на следующие этапов — на процедурном уровне:

  1. Выберите цифры частного , на которых нужно сосредоточиться.
  2. Сделайте хорошее предположение / корректировку этих цифр — «набирая их вверх или вниз».
  3. (Необязательно) Обозначьте продукт частично — только с «значащими цифрами».
  4. Нарисуйте частичную линию , выделив только цифры, участвующие в итерации.
  5. Обозначить следующий промежуточный остаток частично.
  6. Промыть и повторить *.

(* Можно перейти к другим цифрам частного, если текущий промежуточный остаток имеет тот же знак , что и у делимого — подробнее об этом позже.)

На первый взгляд, метод произвольной формы не работает. кажется, сильно отличается от самого метода длинного деления, но при дальнейшем рассмотрении мы видим, что на самом деле это довольно самостоятельный метод.Давайте посмотрим на его различные процедурные аспекты и посмотрим, как он сравнивается с другими методами, упомянутыми выше:

Вычисление коэффициента на лету

Подобно длинному и короткому делению, метод произвольной формы выбирает вычисление частного на- the-fly за счет использования частично обозначенных промежуточных частных . Это хорошо с презентационной точки зрения, поскольку не требует частичного наложения, как это делается в методах разбиения на фрагменты.

Однако, хотя частное в длинном и коротком делении устанавливается после правильного расчета, на самом деле это достигается главным образом с помощью эвристики методом проб и ошибок.Напротив, метод произвольной формы не ставит во главу угла мгновенную правильность, что открывает возможность более эффективного и гибкого способа определения частных цифр с помощью многозначных двунаправленных корректировок.

Конечно, корректировка частного на лету также может потребовать дополнительных мысленных вычислений , но на практике это обычно не представляет большой проблемы — поскольку изменения в цифрах частного обычно незначительны ( это относится и ко всем другим методам, рассмотренным выше).

Гибкость частного

Как упоминалось ранее, и длинное, и короткое деление выступают за жесткую, основанную на одной цифре процедуру для определения частных цифр — подход, который может привести к изрядному количеству проб и ошибок и зря усилия . Однако при использовании метода произвольной формы ничего не теряется — и не нужно опасаться слишком большого или слишком маленького продукта.

Фактически, поскольку метод произвольной формы по сути является «игрой с набором многозначного числа », он может в основном воспроизвести все возможности как метода фрагментирования, так и метода двунаправленного фрагмента.Все, что требуется, — это сочетание перерегулирования, недооценки, повышения коэффициента и его уменьшения.

Не злоупотребляйте гибкостью

Конечно, то, что метод произвольной формы может имитировать оба метода разбиения на части, не означает, что он всегда должен использоваться как таковой. Как правило, выбирайте систематический подход , который хорош для использования числовых шаблонов, а не универсальный подход с рядом плюсов и минусов.

Обозначение Автономность

Хотя метод произвольной формы включает сочетание сокращенных обозначений и пропусков под знаком деления, он все же может быть сделан таким же полным, как длинное деление , если потребуется.Это должно контрастировать с сокращенным делением, система обозначений которого не только , а не автономный , но и использование которого ограничено небольшим набором сценариев.

Над знаком деления метод произвольной формы отказывается от использования стадийных частных в пользу единственного промежуточного частного , вычисляемого на лету — выбор, который, несомненно, делает его менее автономным в обозначениях, чем два метода разбиения на части, но который также вносит огромный вклад в интуитивность и презентабельность метода.

Для полноты…

Да, мы также рассматривали полностью автономную версию метода произвольной формы , но после просмотра следующей таблицы у нас возникла вторая мысль: \ begin {array} {r} 345 \, \\ [- 0.35em] 43 \ enclose {horizontalstrike} {35} \ phantom {1} \ kern {-0.7ex} \\ [- 0.35em] \ enclose {horizontalstrike} {45} \ фантом {871} \ kern {-0.5ex} \\ [- 0.35em] 17 \ enclose {longdiv} {736871} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {765} \ phantom { 871} \\ [- 0.25em] \ underline {-29} \ phantom {871} \\ [- 0,25em] 587 \ phantom {1} \\ [- 0,30em] \ underline {595} \ phantom {1} \\ [- 0,25em] \ underline {-8} \ phantom {1} \\ [- 0.25em] \ underline {91} \\ [- 0.25em] 6 \ end {array} В частности, обратите внимание, как таблица теперь стала немного более сложной и неорганизованный — на , а не на , стирая следы , корректировок частного (т. е. превышение + уменьшение коэффициента, занижение + повышение коэффициента).

Условные обозначения для продуктов

Как показано в предыдущих примерах, метод произвольной формы аналогичен длинному делению в том, что он записывает только « значащих цифр » продуктов.И хотя на первый взгляд такие обозначения могут показаться немного вводящими в заблуждение, это также необходимое зло, чтобы избежать сложения нулей при увеличении дивидендов.

Конечно, для чисел, которые достаточно малы, продукты могут быть также опущены вообще. Это означает, что с точки зрения обозначений метод произвольной формы может быть таким же кратким, как и само короткое деление — как показано в следующей таблице: \ begin {array} {r} 1368 \\ [- 0.35em] 7 \ enclose {longdiv } {\ underline {9} 578} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {2 \ phantom {5}} \ phantom {78} \\ [- 0.25em] \ underline {4 \ phantom {7}} \ phantom {8} \\ [ -0.25em] \ underline {5 \ phantom {8}} \\ [- 0.25em] 2 \ end {array}

Условные обозначения и ограничения для промежуточных остатков

Подобно полному и короткому делению, метод произвольной формы отмечает только « значащих цифр » промежуточных остатков — выбор, который будет использоваться для предотвращения сложения нулей при увеличении дивиденда.

Во всяком случае, выпадающее меню цифр (от делимого до промежуточного остатка) также можно сделать необязательным и для небольших чисел, что делает его очень универсальным методом для решения любого вида деления в целом.

Однако, в отличие от деления на длинное и короткое, промежуточные остатки теперь могут принимать положительные, отрицательные, большие или малые значения и . В результате у нас теперь есть несколько новых процедурных проблем , которые нужно решить. Взгляните, например, на следующую таблицу: \ begin {array} {r} 12500 \ phantom {6} \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {489876} \ kern {-0.15ex}
\\ [-0.60em] \ underline {50000} \ phantom {6} \\ [- 0.25em] -1013 \ phantom {6} \ end {array} Здесь обратите внимание, что промежуточное частное, произведение и новый промежуточный остаток все очень плотно с цифрами — поскольку это скрытый контракт для работы с пятью частными цифрами для начала.Очевидно, что цель метода произвольной формы не состоит в том, чтобы повторить те же ошибки, что и в методах разбиения на фрагменты, поэтому следующее практическое правило является правильным:

Практическое правило при соотношении

Для каждой итерации выбирайте только один большое количество частных цифр, с которыми можно работать — если у вас есть способ сделать звездную величину промежуточного остатка очень маленькой. Невыполнение этого требования может вызвать серию «колебаний» по пути — и это не то, с чем вы хотите иметь дело.

Другая процедурная проблема, которая имеет несколько более серьезные последствия, связана с агрессивным сочетанием сокращений с возможностью двунаправленного текста. Давайте еще раз посмотрим на нашу предыдущую таблицу: \ begin {array} {r} 12500 \ phantom {6} \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {489876} \ kern {-0.15ex}
\ \ [- 0.60em] \ underline {50000} \ phantom {6} \\ [- 0.25em] -1013 \ phantom {6} \ end {array} Обратите внимание, что здесь есть что-то подозрительное в числах с частичной записью (я.е., промежуточное частное, произведение, промежуточный остаток) в том смысле, что их нельзя было интерпретировать как что-либо. В частности:

  • Частное $ 12500 $ не может быть интерпретировано как 125000 $.
  • Продукт $ 50000 $ не может быть интерпретирован как $ 500000 $.
  • Промежуточный остаток $ -1013 $ не может быть интерпретирован как $ -10130 $ или $ -10136 $ (т. Е. Выпадающие цифры здесь запрещены).

Чтобы лучше понять, что происходит, давайте рассмотрим аналогичную таблицу — на этот раз с некоторыми числами, которые работают лучше : \ begin {array} {r} 12200 \ phantom {6} \\ [- 0 .35em] 4 \ enclose {longdiv} {489876} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {48800} \ phantom {6} \\ [- 0.25em] 187 \ phantom {6} \ конец {массив} Хм. Кажется, что на этот раз все числа с частичной записью можно как обычно правильно интерпретировать. Так что же в первую очередь привело к «неисправности» предыдущей таблицы? Ну, превышение то есть!

Более конкретно, когда оценка частного приводит к превышению, величина продукта превысит величину промежуточного остатка.По сути, это создает сценарий, в котором операция перевернута — и, следовательно, парадокс с частичными числами.

Другими словами, пока выходит за рамки , обратных операций и имеют неверно подписанные промежуточные остатки , полученный результат будет применим только к целевым цифрам — и не может быть далее интерпретирован с привлечением других цифры за пределами области видимости.

Значит ли это, что любая попытка совмещения перерегулирования с частично записанными числами будет встречена с тревогой? Конечно нет! Но это означает, что нам нужно ввести следующее правило — чтобы мы могли предотвратить сбой самого метода:

Ограничение на превышение

При работе с ограниченным набором частных цифр любое неверно -знаковый промежуточный остаток в результате превышения должен быть восстановлен — перед переходом к следующему набору частных цифр.

Вкратце, подумайте о выходе за пределы как о временной итерации для получения только правильных частных цифр. На практике это часто означает, что:

  • Для подразделений с положительным дивидендом любой промежуточный остаток в конечном итоге должен быть возвращен к 0 $ или выше — перед тем, как приступить к следующему набору частных цифр.
  • Для подразделений с отрицательным дивидендом , любой промежуточный остаток должен быть в конечном итоге перевернут обратно на $ 0 $ или на ниже — перед тем, как приступить к следующему набору частных цифр.

И, твердо придерживаясь этого правила, давайте также рассмотрим пример с отрицательным дивидендом — на этот раз с $ -12345 \ div 4 $: \ begin {array} {r} -31 \ phantom {45} \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {- 12345} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {+ \ phantom {;} 124} \ phantom {45 } \\ [- 0.25em] 1 \ phantom {45} \ end {array} В этой первой таблице мы уменьшили частное на $ 31 $ в разряде сотен, чтобы минимизировать величину промежуточного остатка. Однако при этом мы также получили около превышение , что привело к временному остатку неправильного знака.

Итак, если мы хотим продолжить, нам придется увеличить частное на $ 1 $ в разряде сотен — и восстановить промежуточный остаток обратно к его знаку по умолчанию (который является отрицательным): \ begin {array} { r} -30 \ phantom {45} \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {\ underline {-123} 45} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] -3 \ phantom {45} \ end {array} И поскольку величина промежуточного остатка меньше, чем величина делителя, это означает, что первые две цифры частного теперь установлены и что мы можем перейти к следующим двум цифрам вместо.В этом случае, поскольку промежуточный остаток означает $ -345 $, и мы имеем, что $ 4 \ times 80 = 320 $ и что $ 4 \ times 90 = 360 $, это намекает на $ 85 $ как на жизнеспособный выбор для следующей оценки фактора:
\ begin {array} {r} -3085 \\ [- 0.35em] 4 \ enclose {longdiv} {\ underline {-123} 45} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] -345 \\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {-} 340} \\ [- 0.25em] -5 \ end {array} На этом этапе, поскольку мы уже покрыли все частные цифры, мы больше не должны быть обеспокоены ограничением выхода за пределы допустимого диапазона.В этом случае все, что остается сделать, это еще больше уменьшить частное на $ 2 $, чтобы мы могли поместить промежуточный остаток в его идеальный диапазон : \ begin {array} {r} -3087 \\ [- 0.35em ] 4 \ enclose {longdiv} {\ underline {-123} 45} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] -345 \\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {-} 340 } \\ [- 0.25em] -5 \\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {-} 8} \\ [- 0.25em] 3 \ end {array} Теперь мы можем объявить процесс завершен, с $ -3087 $ и 3 $ в качестве частного и остатка из -12345 \ div 4 $, соответственно.Мы также можем посмотреть на алгебраическое представление $ -12345 = 4 (-3087) + 3 $ и убедиться, что ответ тоже действительно проверяется.

Вкратце, хотя метод произвольной формы однозначно зависит от ограничения на превышение, после полного освоения он также может позволить нам решать задачи целочисленного деления с большой интуитивностью и эффективностью .

И поскольку метод также обладает достаточной степенью гибкости и масштабируемости , эти причины вместе делают его интересной альтернативой как однонаправленным методам, основанным на одной цифре, так и методам на основе фрагментов .

Pro-Tip

При использовании метода произвольной формы подумайте о том, чтобы вывести частное 2 цифры за раз — используя числа, оканчивающиеся на 0 или 5 долларов в качестве начальных предположений, и увеличивая или уменьшая при необходимости. Это позволит нам значительно сократить количество итераций, не делая при этом каждую итерацию слишком сложной для решения.

Случай 5 — Работа с отрицательными делителями

До сих пор все рассмотренные нами случаи включают положительные делители, но что, если сам делитель отрицательный ? Что ж, вот где может пригодиться трюк регулировки из этого раздела.

Положительное $ \ div $ Отрицательное

Представьте, что вам дали задание разделить 1296 долларов на 13 долларов. Что бы вы сделали? Во-первых, вопросы как таковые обычно не рассматриваются в школах, и даже если вы могли бы решить их, используя некоторые из методов, упомянутых выше, факт в том, что корректировка на отрицательный знак на каждой итерации также может быть довольно раздражающей — если не также сбивает с толку …

К счастью, есть выход из этой сложной ситуации — просто рассмотреть случай, когда делитель положительный , произвести деление, а затем поменять местами знак полученного частного.

В этом случае, например, вместо того, чтобы смотреть на исходное деление $ 1296 \ div -13 $, мы могли бы попытаться взяться за соответствующее деление $ 1296 \ div 13 $. При использовании метода произвольной формы первая таблица будет выглядеть так: \ begin {array} {r} 100 \\ [- 0.35em] 13 \ enclose {longdiv} {\ underline {1296}} \ kern {-0.15ex}
\\ [-0.60em] -4 \ end {array} Здесь нам повезло, что мы смогли заранее обработать все частные цифры, но поскольку промежуточный остаток равен отрицательным , нам придется уменьшить частное на $ 1 $ — и вернуть промежуточный остаток обратно в его идеальный диапазон : \ begin {array} {r} 99 \\ [- 0.35em] 13 \ enclose {longdiv} {\ underline {1296}} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] 9 \ end {array} На этом процедура деления завершена, что дает $ 1296 = 13 (99) + 9 $ как окончательное алгебраическое представление $ 1296 \ div 13 $. Но тогда, если подумать, это то же самое, как если бы мы говорили, что: \ [1296 = -13 (-99) +9 \] И потому что у нас все еще есть этот $ 0 \ le 9 <| -13 | $ после «переворота» теорема деления гарантирует, что при делении 1296 $ на $ -13 $ мы должны получить -99 $ и 9 $ как частное и остаток , соответственно.Итак, все, что нам нужно было сделать, это обратить частное и оставить тот же остаток, и проблема будет решена!

В более общем смысле, учитывая дивиденд $ n $ и отрицательный делитель $ -d $, вместо того, чтобы делать $ n \ div -d $ авансом, мы всегда можем прибегнуть к $ n \ div d $. Это привело бы к частному $ q $, остатку $ r $ и алгебраическому представлению \ [n = dq + r \] И поскольку это означало бы, что $ n = -d (-q) + r $ (с $ 0 \ le r <| -d | $), из этого должно следовать, что $ -q $ и $ r $ - это частное и остаток исходного деления, соответственно.

И если подумать, этот трюк «перевернуть частное и сохранить тот же остаток» действительно имеет большой смысл. В конце концов, деление на отрицательное число — это не что иное, как погоня за тем же дивидендом на той же реальной линии, хотя и от в противоположном направлении .

Negative $ \ div $ Negative

В последнем примере мы сослались на идею о том, что проблема отрицательного делителя может быть решена путем рассмотрения его аналога положительного делителя , но как насчет случая, когда и дивиденд и делитель отрицательны?

Ну, как оказалось, стратегия на самом деле такая же! Все, что нам нужно сделать, это рассмотреть случай, когда делитель положительный, и перевернуть знак на частного, как мы это сделали в предыдущем примере.

Например, если бы мы имели дело с делением $ -4643 \ div -11 $, мы бы начали с рассмотрения соответствующего деления $ -4643 \ div 11 $. При использовании метода произвольной формы наша таблица будет выглядеть так: \ begin {array} {r} -423 \\ [- 0.35em] 11 \ enclose {longdiv} {- 4643} \ kern {-0.15ex}
\\ [ -0.60em] \ underline {+ \ phantom {,} 44} \ phantom {43} \\ [- 0.25em] -24 \ phantom {3} \\ [- 0.30em] \ underline {+ \ phantom {.} 22} \ phantom {3} \\ [- 0,25em] -23 \\ [- 0,30em] \ underline {+ \ phantom {.} 33} \\ [- 0.25em] 10 \ end {array} Здесь нам повезло, что нам нужно только вызвать выход за пределы всего пути ближе к концу, но в любом случае таблица является окончательной, что означает, что $ 423 $ и $ 10 $ должны быть частным и остаток от исходного деления (конечно, после того, как мы перевернули знак).

Итак, будь то $ + \ div + $, $ — \ div + $, $ + \ div — $ или $ — \ div — $, теперь у нас есть все инструменты и приемы, чтобы справиться с ними!

Не делайте этого «очевидного»

К сожалению, когда дело доходит до евклидовых делений , $ -n \ div -d $ на самом деле не то же самое, что $ n \ div d $.На этой ноте было бы неплохо попытаться понять, почему это так!

Случай 6 — Деление посредством масштабирования

В предыдущем разделе мы сослались на некоторые примеры, в которых деление решается путем использования сначала упрощенной версии деления. Они попадают в категорию уловок упрощения , которые, несмотря на то, что сами по себе не являются полноценными методами, могут пригодиться во многих сценариях.

На самом деле, есть один такой трюк, который включает в себя решение деления на , сначала изменяя масштаб — перед отменой масштабного коэффициента, чтобы получить частное и остаток от исходного деления.В большинстве случаев деление масштабируется на вниз на , чтобы упростить задачу, хотя это не означает, что нет случаев, когда увеличение на самом деле может быть лучшим вариантом.

Уменьшение

По мере того, как размер делимого и делителя увеличивается, решение деления становится все труднее. Однако, если эти числа имеют общий (нетривиальный) коэффициент , то обычно рекомендуется использовать этот коэффициент, чтобы уменьшить деление и упростить его.

Например, предположим, что нам дана задача разделить 59504 доллара на 88 долларов. Сначала размер чисел может показаться немного устрашающим, но при дальнейшем рассмотрении мы видим, что оба числа на самом деле делятся на на 2 доллара, 4 доллара — и даже на 8 долларов.

Фактически, небольшая мысленная арифметика покажет, что когда 59504 доллара и 88 долларов делятся на 8 долларов, в результате получается 7438 долларов и 11 долларов. Это означает, что вместо решения исходного деления вертикально, мы могли бы с таким же успехом рассмотреть его масштабированную версию $ 7438 \ div 11 $ для разнообразия.При использовании метода произвольной формы это будет выглядеть следующим образом: \ begin {array} {r} 676 \\ [- 0.35em] 11 \ enclose {longdiv} {\ underline {74} 38} \ kern {-0.15ex}
\\ [ -0.60em] \ underline {8 \ phantom {3}} \ phantom {8} \\ [- 0.25em] \ underline {4 \ phantom {7}} \ phantom {8} \\ [- 0.25em] \ underline {6 \ phantom {8}} \\ [- 0.25em] 2 \ end {array} И поскольку таблица является окончательной, это даст нам следующее дробное представление деления: \ [\ frac {7438} { 11} = 676 + \ frac {2} {11} \] И с этим, дробное представление исходного деления также может быть вычислено — следующим образом: \ begin {align *} \ frac {59504} {88} & = \ frac {7438} {11} \\ & = 676 + \ frac {2} {11} \\ & = 676 + \ frac {16} {88} \ end {align *} Обратите внимание: что, поскольку исходное деление было уменьшено на 8 долларов, нам пришлось увеличить и последнюю дробь на 8 долларов (чтобы мы могли восстановить исходный знаменатель), но, оказавшись там, можно легко увидеть, что частное и остаток из 59504 долларов \ div 88 $ должен быть 686 $ и 16 $ соответственно.

Как мы видим, метод с понижением масштабирования в целом полагается на делимое и делитель, совместно использующие (нетривиальный) общий множитель, и выбор коэффициента масштабирования, который достаточно велик — и это фактически делает масштабированное деление проще решить.

И хотя для небольшого числа пользователей этот подход может быть немного излишним, для большого числа он определенно может быть спасением с точки зрения как эффективности , так и рабочей нагрузки .

Более пристальный взгляд на масштабирование

Сейчас.Было приятно, что наш предыдущий пример получился коротким и интересным, но откуда мы знаем, что нам не просто повезло с нашим маленьким «фокусом с дробями» — и что этот метод действительно можно обобщить на другие сценарии, где задействовано масштабирование?

Что ж, правда в том, что мы еще не знаем (хотя у нас есть большие подозрения, что это так). Вот почему неплохо взглянуть на масштабирование в целом — и посмотреть, сможем ли мы воспроизвести наш предыдущий результат без какой-либо доли.

Более конкретно, мы рассматриваем случаи, когда $ kn \ div kd $ превращается в $ n \ div d $ (где $ n $, $ d $, $ kn $, $ kd $ являются целыми числами, а $ d $, $ k $ отличны от нуля). Затем масштабированное деление решается, давая частное $ q $, остаток $ r $ и следующее алгебраическое представление деления: \ begin {align *} n & = dq + r & \ text {(где $ 0 \ le r <| d | $)} \ end {align *} В этом случае, если мы умножим обе части уравнения на $ k $, мы получим следующее: \ begin {align *} kn = (kd) q + kr \ end {align *} Но здесь мы обнаруживаем потенциальную проблему, заключающуюся в том, что мы не можем допустить, чтобы коэффициент масштабирования $ k $ был отрицательным (почему?).Однако, как только это ограничение установлено, умножение указанного выше неравенства на $ k $ даст, что $ 0 \ le kr для $ kn \ div kd $ .

Итак, используем ли мы дробное или алгебраическое представление, мы всегда получаем $ q $ и $ kr $ как частное и остаток от исходного деления. Фактически, тот же аргумент также применим, когда мы масштабируем вверх на (т.е.е., $ k $ является единичной дробью) — и это даже применимо к общему случаю евклидовых делений с действительными числами !

Не масштабируйте с отрицательными коэффициентами

Напоминаем, что не пытайтесь использовать целых отрицательных чисел в качестве коэффициентов масштабирования. Это означает, что масштабирование $ -3560 \ div 26 $ в $ -1780 \ div 13 $ может быть хорошей идеей, а масштабирование $ -666 \ div \, — 99 $ в $ 74 \ div 11 $ — нет!

Масштабирование

Как упоминалось ранее, мы также можем сделать масштабировать до деления, решив сначала больших делений — перед тем, как отменить влияние коэффициента масштабирования.Но тогда почему такая идея вообще может быть полезной?

Ну, как оказалось, на самом деле речь идет о шаблонах чисел и их сложности, поскольку в некоторых случаях масштабирование может помочь нам выполнить деление с меньшими или менее «значащими цифрами», а в других случаях это может позволить нам воспользоваться самой десятичной системой счисления.

Например, предположим, что нам поставили задачу разделить 4783 доллара на 125 долларов. Поначалу это деление может показаться немного устрашающим, но после небольшого осмотра мы также видим, что 125 долларов можно увеличить до 250 долларов, в результате чего на одну цифру « значащих цифр » меньше, или до 500 долларов, что приводит к двум менее значимым цифрам.

Фактически, мы можем даже масштабировать 125 $ до 1000 $, что дает наименьших и наименьшее возможное количество «значащих цифр». Итак, давайте увеличим наше деление на 8 долларов — и посмотрим, к чему это решение может нас привести: \ begin {align *} \ frac {4783} {125} & = \ frac {38264} {1000} \\ & = 38 + \ frac {264} {1000} \\ & = 38 + \ frac {33} {125} \ end {align *} И … похоже, что после некоторой алгебры ответы уже перед нами — с 38 долларов — это частное , а 33 доллара — остаток от исходного деления.И хотя нам пришлось умножить и разделить несколько чисел на 8 долларов, задействованные числа, как правило, небольшие, что дает подходу масштабирования небольшое преимущество перед методами прямого деления.

Но независимо от того, прямое это или иное, смысл введения этих приемов и методов состоит в том, чтобы мы могли выбрать тот, который наиболее подходит для каждого сценария. И хотя некоторые методы могут показаться более легкими для изучения и применения для большинства целей, это не означает, что они всегда будут переводить в более навыков числового мышления и математического роста !

[Бонус] Евклидово деление в двоичной и шестнадцатеричной системах

До сих пор все методы и подходы деления, которые мы рассмотрели до этого момента, основаны на десятичной системе счисления — стандартной системе, которая позволяет использовать десятичные числа в десятичной системе счисления. цифра.Далее мы рассмотрим, как деление работает в двух альтернативных системах счисления: двоичной системе счисления и шестнадцатеричной системе счисления .

Двоичное деление

В двоичной системе только две цифры доступны для каждой цифры: 0 $ и 1 $. 0} = {\ color {red} 43} \] И при наличии только две цифры, доступные для каждой цифры, явно вынуждают число иметь значительно больше цифр, дело в том, что это также заставляет арифметические операции быть как можно более простыми.Вот как работают первые три операции, например, на уровне цифр:

сложение
  • $ 0 + 0 = 0 $
  • $ 0 + 1 = 1 $
  • $ 1 + 0 = 1 $
  • $ 1 + 1 = 10 $
Вычитание
  • $ 0 \, — 0 = 0 $
  • $ 0 \, — 1 = -1 $, $ 10 \, — 1 = 1 $
  • $ 1 \, — 0 = 1 $
  • $ 1 \ , — 1 = 0 $
Умножение
  • $ 0 \ times 0 = 0 $
  • $ 0 \ times 1 = 0 $
  • $ 1 \ times 0 = 0 $
  • $ 1 \ times 1 = 1 $

Для сложений и вычитаний, включающих нескольких цифр , вычисления могут быть выполнены путем простого прохождения каждой цифры по очереди слева направо.Вот несколько примеров сложения и вычитания нескольких цифр, чтобы проиллюстрировать эту точку: \ [\ begin {array} {r} 10101 \\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {.0} 1101} \\ [ -0.25em] 100010 \ end {array} \ qquad \ qquad \ qquad \ begin {array} {r} 10101 \\ [- 0.3em] \ underline {- \ phantom {.0} 1101} \\ [- 0.25em ] 1000 \ end {array} \] Что касается умножения , состоящего из нескольких цифр, это можно выполнить, сначала разбив множитель на его «цифры» — перед распределением множимого на эти цифры.Вот как мы можем вычислить произведение $ 1101 \ times 1010 $ в двоичном формате, например: \ begin {align *} 1101 \ times 1010 & = 1101 \ times (1000 + 10) \\ & = 1101 \ times 1000 + 1101 \ раз 10 \\ & = 1101000 + 11010 \\ & = 10000010 \ end {align *} Или, более схематично: \ begin {array} {r} 1101 \\ [- 0.3em] \ underline {\ times \ phantom {.} 1010} \\ [- 0,25em] 1101 \ phantom {000} \\ [- 0,3em] \ underline {+ \ phantom {, 00} 1101 \ phantom {0}} \\ [- 0,25em] 10000010 \ end { array} На этом этапе сложение, вычитание и умножение кажутся красивыми — из-за отсутствия лучшего термина — двоичными, но как насчет деления ? Как бы это сработало вместо него? И сможем ли мы и дальше использовать те же методы и подходы на этот раз?

Что ж, как оказалось, двоичное деление на самом деле не что иное, как комбинация первых трех арифметических операций, и, как обычно, мы по-прежнему сможем использовать все вышеупомянутые приемы и методы деления — до тех пор, пока мы конечно же, готовы не отставать от $ 0 $ и $ 1 $, понесенных в процессе!

Итак, давайте посмотрим на пример с делением — на этот раз с $ 100101001 \ div 101 $.Во-первых, поскольку мы видим, что $ 101 \ times 11 = 1111 <10010 $, это говорит о том, что $ 11 $ мог бы быть хорошим кандидатом для первых двух частных цифр : \ begin {array} {r} 11 \ phantom {1101 } \\ [- 0.35em] 101 \ enclose {longdiv} {100101001} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {\ phantom {1} 1111} \ phantom {1101} \\ [ -0.25em] 11 \ phantom {1101} \ end {array} Здесь обратите внимание, что, поскольку (частично обозначенный) промежуточный остаток уже меньше делителя, мы можем быть уверены, что первые две цифры частного верны — и что нет потребуется дальнейшая корректировка.Что касается следующих двух частных цифр , похоже, что $ 11 $ может снова помочь: \ begin {array} {r} 1111 \ phantom {01} \\ [- 0.35em] 101 \ enclose {longdiv} { 100101001} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {\ phantom {1} 1111} \ phantom {1101} \\ [- 0.25em] 1110 \ phantom {01} \\ [- 0.3 em] \ underline {1111 \ phantom {01}} \\ [- 0.25em] -1 \ phantom {01} \ end {array} Как оказалось, мы были довольно близко, но все же немного промахнулись. 2 $ — и все должно быть хорошо: \ begin {array} {r} 1110 \ phantom {01} \\ [- 0.35em] 101 \ enclose {longdiv} {100101001} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {\ phantom {1} 1111} \ phantom {1101} \\ [- 0.25em] \ underline {1110} \ phantom {01} \\ [- 0.25em] 100 \ phantom {01} \ end {array} На этом этапе, поскольку (частично обозначенный) промежуточный остаток снова находится в идеальном диапазоне, это означает, что Две последние частные цифры должны быть единственными оставшимися. В этом случае, поскольку $ 11 $ является самым большим кандидатом и что $ 101 \ times 11 = 1111 $ (т.е. меньше, чем промежуточный остаток $ 10001 $), следует, что $ 11 $ должно быть правильным: \ begin {array} {r} 111011 \\ [- 0.35em] 101 \ enclose {longdiv} {100101001} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {\ phantom {1} 1111} \ phantom {1101} \\ [- 0.25em] \ underline {1110} \ phantom {01} \\ [- 0.25em] 10001 \\ [- 0.3em] \ underline {1111} \\ [- 0.25em] 10 \ end {array} И теперь процедура деления завершено, что дает 111011 $ и 10 $ как частное и остаток от 100101001 \ div 101 $, соответственно. В качестве проверки работоспособности давайте проверим алгебраическое представление , которое получается из него, и посмотрим, сможем ли мы вернуться к тому же дивиденду, как обычно: \ begin {align *} 101 \ times 111011 + 10 & = (11101100 + 111011 ) + 10 \\ & = 100100111 + 10 \\ & = 100101001 \ end {align *} Хорошо.Похоже, нам удалось вернуть первоначальные дивиденды в целости и сохранности. Поговорим о том, что можно сделать с некоторыми, казалось бы, бесконечными строками из $ 1 $ s и $ 0 $ s!

Шестнадцатеричное деление

В отличие от двоичной системы, шестнадцатеричная система обладает значительной выразительной силой — фактически позволяет использовать цифры 16 долларов в одной цифре. К ним относятся обычные цифры от $ 0 $ до $ 9 $ — плюс буквы $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $, которые соответствуют $ 10 $, 11 $, 12 $, 13 $, 14 $ и 15 $ в десятичной системе соответственно.1} \\ [1em] & = {\ color {red} 16436816} \ end {align *}

На уровне однозначных чисел сложение и вычитание работают почти так же, как и в десятичной системе, за исключением того, что таблицы теперь стали немного больше. По этой причине, как правило, неплохо иметь твердое представление о концепции дополнения — чтобы мы могли придумать «противоположность» шестнадцатеричной цифры, когда потребуется:

\ begin {array} {lccccccccccccc } \ text {Number} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \ cdots & A & B & C & D & E & F \\ \ text {Complement} & F & E & D & C & B & A & \ cdots & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ end {array}

После этого однозначных сложений и вычитаний — если они связаны с переносом или заимствованием — могут быть вычислены путем повторного вычисления. выражая число как , дополняющее другого.Вот несколько иллюстраций ключевых случаев сложения и вычитания однозначных чисел, например:

Сложение (без переноса)
  • $ 5 + 8 = D $
  • $ 4 + A = E $
  • $ C + 3 = F $
Добавление (с переносом)
  • $ 5 + C = 1 + 4 + C $ $ = 11 $
  • $ 6 + F = 6 + A + 5 $ = 15 $
  • $ A + B = A + 6 + 5 $ $ = 15 $
Вычитание
  • $ F \, — 8 = 7 \: $ $ (\ text {Since} 8 + 7 = F) $
  • $ 4 \, — B = \, — (B \, — 4) $ $ = \, — 7 $
  • $ 14 \, — B = 9 \: $ $ ($, поскольку $ B + 9 = B + 5 + 4 = 14) $

Что касается сложения и вычитания, состоящего из нескольких цифр, их можно выполнять, как обычно, по цифрам слева направо.Вот несколько таблиц, иллюстрирующих, как многозначное сложение и вычитание работают на схематическом уровне: \ [\ begin {array} {r} FACE \\ [- 0.3em] \ underline {+ \ phantom {F } ПЛОХО} \\ [- 0,25em] F \ phantom {ACE} \\ [- 0,25em] 1 \; 0 \; 5 \ phantom {CE} \\ [- 0,25em] 1 \; 0 \; 6 \; 6 \ phantom {E} \\ [- 0,25em] \ в коробке {1 \; 0 \; 6 \: 7B} \ kern {-0.7ex} \ end {array} \ qquad \ qquad \ qquad \ begin {array} {r} FACE \\ [- 0.3em] \ underline {- \ phantom {F} BAD} \\ [- 0.25em ] F \ phantom {ACE} \\ [- 0,25em] EF \ phantom {CE} \\ [- 0,25em] EF \: 2 \ phantom {E} \\ [- 0.25em] \ boxed {EF \: 2 \: 1} \ kern {-0.7ex} \ end {array} \] Подобно случаю в десятичной системе, однократное умножение можно сравнить с повторным сложением, за исключением что стол теперь почти в три раза больше. По этой причине может быть полезно освоить таблицу умножения (например, приведенную ниже):

И с этим теперь мы можем выполнять многозначных умножений как обычно — разбивая множитель на его цифры и распределяя множимое на эти цифры.Вот пример таблицы $ BAD \ times D09 $, например — когда мы выполняем умножение слева направо: \ begin {array} {r} BAD \\ [- 0.3em] \ underline {\ times \ phantom { .} D \: 0 \: 9} \\ [- 0,25em] 9 \: 7 \, C \: 9 \ phantom {AB} \\ [- 0,45em] 0 \ phantom {D} \\ [- 0,45 em] \ underline {+ \ phantom {, 9 \: 7 \:} 6 \: 9 \: 1 \: 5} \\ [- 0.3em] 9 \: 8 \: 3 \: 2 \: 1 \: 5 \ end {array}

Расчет через преобразование

Для записи все шестнадцатеричные операции также могут быть выполнены путем преобразования чисел в десятичную форму (или двоичную форму , поскольку каждая шестнадцатеричная цифра соответствует ровно четырем двоичным цифрам) .Однако это также лишит вас преимуществ работы в самой шестнадцатеричной системе.

Как и в случае с двоичным, деление в шестнадцатеричном формате также включает в себя сочетание сложений, вычитаний и умножений, и хотя «операционные таблицы» теперь, очевидно, намного больше, методы деления и приемы, представленные в предыдущих разделах, тем не менее все еще применимо, как и раньше.

В качестве примера предположим, что нам дано разделение $ CDEF \ div AB $ для решения в шестнадцатеричном формате.Сначала не совсем понятно, какими должны быть первые две цифры частного, но после небольшого размышления мы также видим, что:

  • $ AB \ times 10 = AB0 $
  • $ AB \ times 11 = AB0 + AB = B5B $
  • $ AB \ times 12 = B5B + AB = C06 $
  • $ AB \ times 13 = C06 + AB = CB1 $

И поскольку $ 13 $ кажется достаточно близким, получает, это говорит о том, что мы могли бы просто ввести его в нашу первую таблицу — и посмотреть, что произойдет:
\ begin {array} {r} 1 \; 3 \ phantom {D} \\ [- 0.35em] AB \ enclose {longdiv} {CDEF} \ kern {-0.15ex}
\\ [- 0.60em] \ underline {CB \: 1} \ phantom {D} \\ [- 0.25em] 2 \, D \ phantom {F} \ end {array} Как оказалось, нам удалось получить (частично обозначенный) промежуточный остаток $ 2D $ меньше, чем сам делитель, что означает, что наши первые две цифры частного должны быть правильными. — и что вместо этого мы можем перейти к последней частной цифре . В этом случае небольшое размышление покажет, что:

  • $ AB \ times 2 = AB + AB = 156 $
  • $ AB \ times 3 = 156 + AB = 201 $
  • $ AB \ times 4 = 201 + AB = 2AC $

И поскольку $ 2AC $ кажется наиболее близким к промежуточному остатку $ 2DF $, это предполагает, что $ 4 $ может быть наилучшей оценкой для последней цифры частного.С ним следующая таблица становится: \ begin {array} {r} 1 \; 3 \: 4 \\ [- 0.35em] AB \ enclose {longdiv} {CDEF} \ kern {-0.15ex}
\ \ [- 0.60em] \ underline {C \, B \: 1} \ phantom {D} \\ [- 0.25em] 2 \, DF \\ [- 0.3em] \ underline {2 \, AC} \\ [-0.25em] 3 \; 3 \ end {array} Как назло, промежуточный остаток снова находится в идеальном диапазоне, что означает, что процедура также завершена, давая в результате следующее алгебраическое представление : \ [CDEF = AB \ times 134 +33 \] И, что наиболее интересно, следующее дробное представление также: \ [\ frac {CDEF} {AB} = 134 + \ frac {33} {AB} \], которое является живым свидетельством того, как быстро несколько букв можно превратить в числа — одним щелчком пальцев!

Pro-Tip

Как правило, выбирайте частные цифры и увеличивайте или уменьшайте в зависимости от сценария.В частности:

  • Для младших цифр начните с 0 долларов и увеличивайте масштаб.
  • Для средних цифр начните с 8 долларов (т. Е. Средней точки) и увеличьте или уменьшите.
  • Для старших цифр начните с $ 0 $ и уменьшите вместо этого.

Поздравляем! Если вы зашли так далеко, не прогадав, вы, вероятно, настоящий фанат отдела! Фактически, основная цель этого руководства — передать идею о том, что на самом деле существует множество методов и подходов для целочисленного евклидова деления , и они включают как механические подходы, такие как длинное и короткое деление, так и гибкие подходы, такие как разбиение на части и метод двунаправленного фрагментирования.

И хотя оба типа методов, несомненно, по-своему выгодны, каждый из них также имеет свою долю слабых мест на самых разных уровнях. В результате был разработан новый метод — метод произвольной формы — в попытке смягчить эти недостатки и использовать лучшее из обоих миров.

При этом мы также ввели уловку настройки , которую можно использовать для расширения евклидова деления на весь диапазон целых чисел — вместе с методом масштабирования , который можно использовать для уменьшения сложности задачи. .Но на этом история не заканчивается …

Фактически, играя с различными концепциями и инструментами, мы видим, что подход разделения извлекает свою ценность не только из его способности быстро находить ответы, но и за счет его способность развивать высшее математическое мышление и понимание , а также. Во всяком случае, это то, что довольно хорошо иллюстрирует двоичное / шестнадцатеричное деление.

В связи с этим, если вы хотите еще больше отточить методы и подходы, обсуждаемые в этом руководстве, то вы можете найти следующий всеобъемлющий сводный рабочий лист одновременно сложным и полезным:

И если вы с нетерпением ждете познакомьте свое сообщество с некоторыми из менее известных методов и подходов деления, тогда, конечно, сделайте это, но в любом случае сага с длинным делением и другими процедурами деления продолжается!

(включает примеры и ответы) (Повысьте уровень владения математикой) (Том 18): Крис МакМаллен: 9781481954150: Amazon.com: Книги

СЕРИЯ УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
Крис МакМаллен, Ph.D.

Эта серия учебных пособий по математике предназначена для отработки основных математических навыков. Как учитель физики, доктор Макмаллен заметил, что многим ученикам не хватает беглости в основных математических навыках. Стремясь помочь учащимся всех возрастов и уровней овладеть основными математическими навыками, он опубликовал серию учебных пособий по математике по арифметике, дробям, алгебре, тригонометрии и многому другому.

СВЯЗАННЫЕ КНИГИ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ ВАШЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ СЕРИЯ

Практика отдела фактов : Эта рабочая тетрадь предоставляет обширную практику с основными фактами о делении с числами от 0 до 10.ISBN: 1448609755.

Master Long Division Practice Workbook
: Эта рабочая тетрадь начинается с обзора фактов деления, а затем переходит в многозначное деление. Последняя пара глав включает остатки. Ответы занесены в таблицу на обороте. ISBN: 1448614252.

Мастер длинного деления с остатками Практическое пособие: Эта версия предыдущей книги включает краткое объяснение и ориентированный пример в начале каждой главы.ISBN: 1481954156.

Практика сложения, вычитания, умножения и деления дробей Рабочая тетрадь: Эта рабочая тетрадь предоставляет обширную практику с этими важными навыками дроби. Каждый раздел начинается с краткого объяснения и нескольких примеров, которые могут служить руководством. ISBN: 1451534701.

Практическое пособие по основам алгебры с ответами . Практикуйте основные навыки, такие как решение неизвестных, факторинг, квадратная формула и подстановка. Каждый раздел начинается с краткого обзора, включая примеры.ISBN: 1453661387.

Практическое пособие по основам тригонометрии с ответами . Практикуйте основные навыки, включая преобразование градусов в радианы, триггерные функции, специальные треугольники, опорный угол, выход за пределы квадранта I, обратные триггерные функции, закон синусов, закон косинусов и триггерные тождества. Каждая глава начинается с краткого обзора, включая примеры. ISBN: 1477497781.

Практическое пособие по базовым навыкам построения линейных графиков . Изучите основные навыки построения графиков координатной алгебры, включая четыре квадранта, точки построения, определение наклона, точку пересечения по оси Y и уравнение для прямой линии.Каждый раздел начинается с краткого обзора, включая примеры. ISBN: 19416

.

Крис Макмаллен — преподаватель физики в Северо-Западном государственном университете Луизианы. Он получил докторскую степень. Он получил степень магистра в области феноменологической физики высоких энергий (физика элементарных частиц) в Университете штата Оклахома в 2002 году. Родом из Калифорнии, он получил степень магистра в Калифорнийском государственном университете в Нортридже, где его диссертация была в области электронного спинового резонанса. Как учитель физики, доктор Макмаллен заметил, что многим ученикам не хватает беглости в основных математических навыках.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *