Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Давайте разберемся, как складывать и вычитать обыкновенные дроби. Данный навык необходим для решения множества задач как и в школьном курсе, так и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ по математике. Итак, перейдем к рассмотрению различных примеров.

---

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

---

Начнем с рассмотрения самого простого примера – сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями – сложить их или вычесть.

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!

Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:

У Вас есть половина яблока – это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂 ). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину:  ½ – ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай – при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.

Приведем напоследок пример:

---

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

---

Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.

Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило – при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется.

Существует два способа. Первый – самый простой – так называемый “крест-накрест”.

Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями – теперь они действительно одинаковые!

Пример:

Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное – число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу “крест-накрест”. Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.

Пример:

Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!

Даниил Романович | Просмотров: 2.4k

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК — Kid-mama

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Понятие о НОК
• Приведение дробей к одному знаменателю
• Как сложить целое число и дробь

Сложение и вычитание дробей  с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

Сложение и вычитание дробей  с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся,  что же такое НОК.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

 Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

В этом тесте проверяется умение складывать  дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

• Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Тренажер 2

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Тест поможет проверить, как вы умеете складывать  дроби с разными знаменателями. Перед тем, как сложить дроби, необходимо привести их к одинаковому знаменателю. Записывая результат, соблюдаем два правила:

• Если в результате сложения получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вычитание и сложение дробей: правила

Предположим, вы выполнили часть домашнего задания вчера и еще часть сегодня. Должен же быть способ подсчитать, сколько домашней работы осталось и сколько всего вы сделали, верно? Вы можете выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления дробей точно так же, как и с целыми числами! В этой статье мы собираемся изучить, как именно выполнять вычитание и сложение дробей.

Правила и шаги: Сложение и вычитание дробей

Дробь — это число, выраженное в виде частного. Многие числа представлены таким образом, и это означает, что они не являются целыми числами. Частное состоит из старшего числа, числителя , и меньшего числа, знаменателя .

Как мы видим ниже, числитель расположен над горизонтальной линией, а знаменатель под ней. В математике эта горизонтальная линия эквивалентна символу деления. Таким образом, дробь представляет собой деление верхнего числа (числителя) на нижнее число (знаменатель).

Пример дроби с обозначением числителя и знаменателя — StudySmarter Originals

Дроби с одинаковым знаменателем

При сложении и вычитании дробей следует помнить одно важное правило: Если дроби нужно складывать или вычитать имеют одинаковые знаменатели, их числители можно складывать или вычитать, сохраняя знаменатель постоянным. Это правило является основой для всех операций сложения и вычитания дробей.

Проиллюстрируем этот процесс более подробно. Предположим, мы хотим вычислить 59-49. Поскольку знаменатели идентичны, мы можем просто выполнить вычитание числителей, сохраняя знаменатель постоянным (т. Е. Знаменатель = 9). Другими словами, мы выполняем 5 — 4 = 1 на числителях. Окончательный ответ равен 19. Шаги можно записать так:

59-49=5-49=19

Дроби с разными знаменателями

Прежде чем складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, мы должны манипулировать дробями так, чтобы они имели одинаковые знаменатели. Для этого нам сначала нужно найти наименьший общий знаменатель (LCD).

Наименьший общий знаменатель (LCD) двух дробей — это наименьший возможный знаменатель, который может быть общим для каждой дроби, сохраняя при этом числовое значение каждой дроби одинаковым.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, важно сначала убедиться, что каждая дробь представлена ​​в самой упрощенной форме. Это означает, что все общие множители в числителе и знаменателе исключены. Следующим шагом является рассмотрение или перечисление всех множителей каждого знаменателя. Затем мы можем выбрать наименьшее кратное, общее для обоих списков. Это наименьший общий знаменатель! Рассмотрим подробнее этот процесс на следующем примере.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3264 и 710.

1. Убедитесь, что каждая дробь представлена ​​в самой упрощенной форме.

Первая дробь, которую мы видим, не в самой упрощенной форме. Мы можем упростить эту дробь, убрав коэффициент 32 сверху и снизу.

3264=32(1)32(2)=12

Вторая дробь уже в самом упрощенном виде, так как нет множителей, которые можно вынести как из верха, так и из низа. Это оставляет нам дроби 12 и 710.

2. Перечислите кратные каждого знаменателя.

Кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14…

Кратные 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70…

Из каждого из этих списков видно, что 10 — это наименьшее кратное, общее для обоих знаменателей. Следовательно, это наименьший общий знаменатель .

После нахождения ЖК-дисплея можно использовать следующую процедуру для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями:

Шаг 1: Установите знаменатель каждого члена с наименьшим общим знаменателем (LCD).

Шаг 2: Установите числитель каждого члена в (исходный числитель) × НОК знаменателей Исходный знаменатель.

Шаг 3: Теперь, когда все знаменатели одинаковы, вы можете складывать или вычитать члены в числителе, чтобы получить ответ.

Сложите дроби 3264 и 710.

Из нашего предыдущего примера мы знаем, что наименьшее общее кратное чисел 3264 и 710 равно 10.

1. Установите знаменатель каждого члена с наименьшим общим знаменателем (LCD).

a10 и b10

2. Установите в числителе каждого члена значение (исходный числитель)×НОКМ знаменателей Исходный знаменатель.

a=32×1064=5

Поскольку исходный знаменатель второй дроби уже равен 10, ее числитель не нужно преобразовывать.

У нас остались дроби 510 и 710.

3. Теперь, когда все знаменатели одинаковы, вы можете сложить члены в числителе, чтобы получить ответ.

510+710=5+710=1210=65

В этом примере использовался более длинный способ вычисления; однако, как только вы поймете основы, вам будет намного проще выполнять следующие вычисления:

1×52×5+710=510+710=1210=65

Примеры сложения и вычитания дробей

( 1) Вычислить

53-73

Решение:

Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем напрямую вычесть числители.

53-73 = 5-73 = -23

(2) Оценка

2518+1412

Решение:

2518+1412=25×2+3×1436=9236=239(самая простая форма)

(3) Вычислить

1320-612+5130-23

Решение: 9000 , 12, 30 и 3) равно 60.

1320-612+5130-23=13×3-6×5+51×2-2×3060=5160=1720

Чтобы сложить или вычесть смешанные дроби, сначала преобразуйте их в неправильные дроби, а затем продолжите стандартный процесс.

Сложение и вычитание смешанных дробей

Смешанная дробь – это число, представленное в виде целого числа и частного, например 534.

Сложение и вычитание смешанных дробей требует преобразования их в неправильные дроби. Затем мы можем выполнить стандартный процесс сложения и вычитания дробей, как мы это делали раньше. Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, мы должны преобразовать целую числовую часть смешанной дроби в дробь с тем же знаменателем, что и у частного. Затем мы просто добавляем их. Давайте посмотрим на пример.

Преобразуйте следующую смешанную дробь в неправильную дробь.

534

Решение:

1. Преобразовать целую числовую часть неправильной дроби в дробь со знаменателем, совпадающим с частным.

5=5×44=204

2. Добавьте эту новую дробь к частному исходной смешанной дроби, чтобы получить неправильную дробь.

204+34 = 234

, и поэтому мы получаем результат:

534 = 234

Оценка

413+14-3512

Решение:

.

413+14-3512=133+14-4112

НОК знаменателей (3, 4 и 12) равен 12,

133+14-4112=13×4+1×3-41×112=1412=76

Сложение и вычитание положительных и отрицательных дробей

Как и любое другое число, которое вы встретите, дроби могут быть положительными или отрицательный. К счастью, правила сложения и вычитания положительных и отрицательных дробей такие же, как и для любого другого числа! Давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы увидеть, как это работает.

(1) Оценка

34—14

Решение:

Вычитание отрицательного значения аналогично сложению. Таким образом, наша сумма становится следующей:

34+14=3+14=44=1

(2) Вычислить

-2319+5419

Решение:

, наша сумма становится:

5419-2319 = 54-2319 = 3119

(3) Оценка

-125-35

Решение:

При выходе из-за отрицательного. числа, но сохраняйте отрицательный знак. Итак,

-(12+3)5=-155=-3

Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби – это дроби, знаменатель которых несколько кратен десяти, например 26100.

Десятичные дроби складываются и вычитаются почти так же, как и любые другие дроби, рассмотренные ранее. Во-первых, они должны быть преобразованы в форму с наименьшим общим знаменателем, а затем числители могут быть добавлены или вычтены по мере необходимости. Удобная вещь в сложении и вычитании десятичных дробей заключается в том, что наименьший общий знаменатель всегда является наибольшим знаменателем в сумме! Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

(1) Оценить

510+23100

Решение:

Во-первых, мы приводим каждое к наименьшему общему знаменателю, который, как мы видим, равен 100. +23100=50100+23100

И далее выполняем сложение.

50100+23100 = 50+23100 = 73100

(1) Оценка

2341000-32100

Решение:

Сначала мы конвертируем каждый в самый низкий общий деноминатор, который мы видим 1000.

2341000-32100=2341000-32×10100×10=2341000-3201000

И далее выполняем вычитание.

2341000-3201000=234-3201000=-861000

Вычитание и сложение дробей – Ключевые выводы

• Если дроби, которые нужно сложить или вычесть, имеют одинаковые знаменатели, их числители можно просто складывать или вычитать, сохраняя знаменатель постоянный.
• Если нам нужно складывать или вычитать дроби с разными знаменателями, мы сначала манипулируем дробями так, чтобы они имели одинаковые знаменатели.
• Чтобы сложить или вычесть смешанные дроби, сначала преобразуйте их в неправильные дроби.
• Сложение и вычитание положительных и отрицательных дробей работает точно так же, как и любое другое число.

Сложение и вычитание дробей — УРОКИ МАТЕМАТИИ КЕЙТ

Сопутствующие материалы: ​ Учебное пособие, карточки с бумами, веселые групповые занятия, карточки с заданиями ​ Сложение/вычитание дробей с числом Общие Знаменатели Если вы новичок в сложении и вычитании дробей или просто хотите освежить свои знания, обязательно сначала ознакомьтесь с уроком о сложении дробей с общим знаменателем. Основная идея состоит в том, что дроби должны иметь один и тот же знаменатель (нижнее число), чтобы их можно было объединить сложением или вычитанием . Когда знаменатели совпадают, целое разделено на равные части одинакового размера . Если знаменатели не совпадают, кусочки не одного размера, и две дроби не могут быть объединены в том виде, в котором они есть. Если знаменатели одинаковые, можно объединить две дроби вместе сложением или вычитанием. Просто подсчитайте части, используя числители. Размер фигур не меняется, поэтому знаменатель остается прежним. Вот общее правило сложения/вычитания дробей с одинаковым знаменателем:

Добро пожаловать на уроки математики у Кейт! Учителя, обязательно ознакомьтесь с пособиями и заданиями.

Вот несколько примеров.

Посмотрите урок о сложении дробей с общим знаменателем, чтобы увидеть больше примеров. Далее давайте посмотрим, что делать, если знаменатели не совпадают.

Сложение/вычитание дробей с разными знаменателями

Когда две дроби имеют разные знаменатели, это означает, что части, на которые разбито целое, имеют разный размер. Мы не можем объединить их сложением или вычитанием, пока не «исправим» их, найдя общий знаменатель.

Есть несколько способов найти общий знаменатель. Обычно мы хотим использовать наименьшее число, чтобы упростить задачу, поэтому мы ищем то, что называется наименьшим общим знаменателем (LCD). Это также называется поиском наименьшего общего кратного (НОК). Один из способов состоит в том, чтобы перечислить числа, кратные каждому знаменателю , и найти наименьшее общее число, которое они имеют.

Кратность 5: 5, 10 , 15, 20 . . . .
Умножает на 2: 2, 4, 6, 8, 10 . . . .

Наименьшее кратное, которое имеют два общих знаменателя, равно 10, поэтому мы можем переписать две дроби, используя 10 в качестве общего знаменателя. Для этого нам нужно умножить обе дроби на «причудливую форму 1». Не забудьте умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число.

После того, как ваши дроби переписаны с одинаковым знаменателем, вы можете объединить их вместе сложением или вычитанием.

Итак, вот общее правило сложения дробей с разными знаменателями:

Вот несколько примеров:

​В приведенной выше задаче 18 — это наименьшее возможное число, которое вы могли бы использовать в качестве общего знаменателя. Вы могли бы использовать большее число, которое также кратно 6 и 9, например 36 или 54. Если вы использовали большее число, вам просто нужно было в конце упростить дробь.

В приведенной выше задаче 20 — это наименьшее возможное число, которое вы могли бы использовать в качестве общего знаменателя. Вы могли бы использовать большее число, которое также кратно 10 и 4, например 40. Если вы использовали большее число, вы просто нужно убедиться, что дробь в конце упростилась.