Правило умножение обыкновенных дробей: Умножение обыкновенных дробей

Содержание

Формулы умножения и деления дробей. Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса…

» [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  1. Найти НОК знаменателей дробей;
  2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
  5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем дробь;
  • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Действия с дробями

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение дробей с разными знаменателями
  • Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
  3. Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  4. Найти НОК знаменателей дробей;
  5. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  6. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  7. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
  8. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
  9. Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

    Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

    Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

  10. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  11. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  • Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
  • Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.
  • Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

    Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

    А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

    НОД (20 и 30) = 10

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

    Получили красивый ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    НОД для (105 и 150) равен 15

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    • обратным числа 3 является дробь
    • обратным числа 4 является дробь
    • Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Табличка на двери

    Методическая разработка урока «Умножение обыкновенных дробей»

    Тип урока: Урок открытия нового знания.

    Учебное оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал.

    В ходе урока учащиеся смогут применить правило при решении упражнений.

    Этап (учебная ситуация)

    Деятельность учителя

    Деятельность учащихся

    1. Этап мотивации.
    Цель этапа: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне

    — Здравствуйте! Садитесь.
    Проверьте все ли у вас готово к уроку. Запишите число. Сегодня у нас не совсем обычный урок. Пожелайте удачи друг другу. Хочу начать урок со слов: «Дорогу осилит — идущий, математику — мыслящий!». А это значит, что мы на уроке будем думать и продолжим путь изучения математики.

    Демонстрируют готовность к уроку

    2. Актуализация знаний.
    Цель этапа: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося

    Устная работа.

    — Как называется число, записанное на доске? Что вы о нем знаете?

    — Какая часть фигуры закрашена?

    Дают ответы:
    — Обыкновенные дроби.

    — Как называются данные числа? 2/3, 4/9, 11/8, 12/5.

    — Как называются первые две дроби? Какие дроби называются правильными?

    Другие две дроби. Какие две дроби называются неправильными?

    — Правильные дроби. Это дроби, у которых числитель меньше знаменателя.

    — Неправильные дроби. Это дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю.

    — Сократить дроби: (Что означает «Сократить дробь»? А каким свойством мы пользуемся при сокращении дробей?)
    14/21, 10/30, 18/36, 5/10.
    — Сравнить дроби:
    (Повторяем правила сравнения дробей — комментарии)
    ½ и ¼, 5/7 и 5/9, 7/8 и 5/8, 11/15 и 4/15. (рассмотреть другие случаи)

    — Если числители одинаковые, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.

    — Если знаменатели одинаковые, то больше та дробь, знаменатель которой больше.

    — Вычислить (решаем с комментариями)
    1/6+ 2/6,
    2/5 +5/6,
    3/11-5/22,
    6/18 — 4/18
    1/3*5/6
    — Сможем ли мы найти значение этого выражения?

    — Выполняют сложение, вычитание

    Умножение 1/3*5/6.
    — Не умеем умножать дроби. Возможен ответ «да», гипотезу записать на доске, проверить решение в конце урока

    3. Постановка проблемы.
    Цель этапа: сформулировать проблему, тему и цели урока.
    — Почему не смогли решить задачу?
    — Почему не смогли выполнить умножение дробей?
    — Не умеем умножать обыкновенные дроби.

    — Как вы думаете, какая тема урока сегодня будет?
    — Запишите тему урока.
    — Какие цели поставим на сегодняшний урок? Чему вы хотели бы сегодня научиться?

    Умножение обыкновенных дробей.
    Вывести правило умножения обыкновенных дробей.
    — Применять это правило при выполнении примеров и решении задач.

    Записывают тему урока в тетради.

    4. Открытие учениками нового знания.
    Цель этапа: организовать решение проблемной ситуации.

    — Чтобы вывести правило умножения дробей, вспомним, как найти площадь прямоугольника. S= 4см*5см =20 см2.

    — Рассмотрим квадрат. Разделим его на равные квадраты.
    Сколько всего квадратов получилось? Какая часть квадрата закрашена? Какая фигура получилась? (прямоугольник). Значит, площадь этого прямоугольника равна 12/25.

    Длина этого квадрата равна 1, ее разделили на 5 частей и закрасили 4 части. Значит, длина прямоугольника составляет 4/5 от длины квадрата. А какую часть от ширины квадрата составляет ширина прямоугольника? (3/5)

    А как найти площадь этого прямоугольника? S=3/5*4/5, но мы получили, что площадь равна12/25. Значит, 3/5*4/5=12/25. (Мы умножаем две дроби. Как в числителе получить 12? Как в знаменателе получить 25?

    Выполняют задания.
    Озвучивают выводы.

    Давайте попробуем сформулировать правило умножения дробей: чтобы умножить две дроби, надо_______________.

    Прочитать правило в учебнике вслух.

    Ещё раз расскажите правило своему соседу.

    Читают правило в учебнике.
    Записывают формулу в тетради.
    Физминутка
    Цель этапа: снять напряжение у учащихся путем переключения на другой вид деятельности.

    Физминутка

    А теперь представим, детки,
    Будто руки наши — ветки.
    Покачаем ими дружно,
    Словно ветер дует южный.
    Ветер стих. Вздохнули дружно.
    Нам урок продолжить нужно.
    Подравнялись, тихо сели
    И на доску посмотрели.

    5. Этап закрепления изученного материала. Первичное закрепление.
    Цель этапа: организовать решение и объяснение задания.

    А сейчас мы будем работать по правилу. Решим №889.

    (Решение с комментариями детей.)

    Учащиеся решают задания у доски с комментарием.
    Дети проговаривают правило (несколько человек).

    6. Найдите ошибку в решении.
    Цель этапа: создать условия для закрепления правила умножения дробей

    Самостоятельная работа с самопроверкой
    Цель этапа: создать условия для самостоятельного решения и нахождения ошибок в работе.

    1. Найдите ошибку в решении

    * = >
    * = =

    Самостоятельная работа с самопроверкой

    2. Используя правило, выполните умножение обыкновенных дробей.

    3/4 *5/7

    1/2 *5/9

    2/5*7/11

    4/7 *5/11

    1/8*3/4

    2/5 *3/5

    Выставите себе оценку за самостоятельную работу.

    Выполняют самостоятельную работу с самопроверкой.

    7.Этап контроля и оценки. Итог урока (рефлексия деятельности)

    Цель этапа: осознание уч-ся своей учебной деятельности, самооценка результатов деятельности своей и всего класса

    Научились умножать дроби?

    Тогда, оцените свою работу на уроке, зажгите светофор.

    Дают ответы на вопросы.

    Зажгите светофор:
    Зелёный цвет: Я хорошо потрудился на уроке. Мне было интересно. Я доволен своей работой.
    Желтый цвет: У меня возникали трудности на уроке, но я c ними справился. Я понял свои ошибки, и больше постараюсь не допускать их.
    Красный цвет: На уроке мне было неинтересно. У меня было много ошибок.
    Я считаю, что мне еще нужно поработать над этой темой.

    Выставление оценок.

    Анализируют работу на уроке через самооценку

    Домашнее задание

    1.Выучить правило умножения обыкновенных дробей.
    2. Прочитать § 4.9 стр. 196.
    — № 885 на «3»
    — № 881 на «4»
    — Придумать задачу с практическим содержанием на тему «Умножение обыкновенных дробей» на «5»

    Запасное задание.
    Математический диктант с устной проверкой
    Запишите алгоритм умножения обыкновенных дробей.
    Чтобы умножить обыкновенные дроби надо:
    1. Числитель первой дроби умножить на _________ ,
    2. ___________ умножить на знаменатель второй,
    3. ¾*1/5

    Записывают домашнее задание

    Правила умножения обыкновенных дробей — презентация онлайн

    Чтобы
    переварить
    знания, надо поглощать
    их с аппетитом.
    А. Франц.
    Обыкновенные дроби

    4. Цели урока

    • -повторить основные действия с
    обыкновенными дробями;
    • -ввести правило умножения обыкновенной
    дроби на натуральное число, закрепить его
    при выполнении заданий;
    • -ввести правило умножение обыкновенных
    дробей.

    5. Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому. Д.Пойа

    6. Правила умножения обыкновенных дробей

    • Чтобы умножить
    дробь на натуральное
    число, надо ее
    числитель умножить
    на это число, а
    знаменатель оставить
    без изменения.
    • Чтобы умножить
    дробь на дробь, надо:
    1) найти произведение
    числителей и
    произведение
    знаменателей этих
    дробей; 2) первое
    произведение
    записать числителем,
    а второе знаменателем.

    7. Правило умножения обыкновенных дробей

    a m a m
    b n b n

    8. Устная работа

    1. Вычислите:
    1
    8
    2
    1
    15
    5
    1
    24
    8
    1
    12
    3
    4
    3
    1
    6
    6
    1
    3
    1
    24
    2
    12
    4
    Математический диктант
    3
    4
    2
    3
    12
    13
    5
    8
    8
    9
    ·
    ·
    5
    7
    ·
    8
    11
    ·
    2
    5
    ·
    3
    7
    1
    2
    ·
    9
    4
    =
    15
    28
    =
    16
    33
    =
    24
    65
    =
    15
    56
    =
    1

    10. Работа в парах

    3 5
    4 7
    1 3
    8 4
    4 5
    7 6
    2 7
    5 11
    1 4
    2 9
    2 3
    5 2
    Найди ошибку:
    4 3 12 3
    1)
    7 8 5614
    8 3 41
    2) 1
    9 2 33
    5 12 22
    3)
    6 15 53
    1 2 21
    4)
    2 5 105
    3 7 20
    21
    1
    5)
    1
    4 5 20
    21
    20

    13. Проверочная работа

    Вариант 1
    1)
    2)
    3)
    4)
    5)
    5 1
    9 8
    7 1
    5 6
    6 2
    11 3
    2 9
    5 10
    10 2
    19 3
    Вариант 2
    1) 4 1
    9 7
    2)
    7 1
    3 4
    4 3
    11 5
    4) 2 3
    7 10
    3)
    5)
    10 2
    17 3

    14. Проверочная работа

    Вариант 1
    Вариант 2
    1) 5 1 5
    1) 4 1
    2)
    2) 7 1 7
    3)
    4)
    5)
    9 8 72
    7 1 7
    5 6 30
    6 2
    4
    11 3 11
    2 9
    9
    5 10 25
    10 2 20
    19 3 57
    4
    9 7 63
    3 4
    3) 4 3
    12
    12
    11 5 55
    4) 2 3 3
    7 10 35
    5) 10 2 20
    17 3 51

    15. Заверши предложение

    • Я научился…
    • Было трудно…
    • Сегодня я узнал…
    • У меня получилось…
    • Теперь я могу…

    16. Домашнее задание

    • П. 13, с. 77, № 472 (а-в), № 474
    Дополнительно: исследовать правило
    умножения смешанных чисел

    18. Спасибо за урок!

    методика и ее реализация, примеры решения задач

    Расчеты выполняются не только с натуральными целыми числами, но и с дробными. На уроках математики в 6 классе примеры умножения обыкновенных дробей изучаются более подробно. Для правильного вычисления необходимо применить определенную методику, которую разработали специалисты для этой цели. Они рекомендуют сначала приобрести базовые знания, а затем перейти к их практической реализации.

    Оглавление:

    Общие сведения

    Процесс нахождения произведения двух обыкновенных дробных тождеств очень прост. Однако существуют «подводные камни», которые могут вызвать много ошибок. Чтобы этого не случилось, необходимо руководствоваться специальным алгоритмом, который предлагают ведущие преподаватели-специалисты.

    Обыкновенная дробь имеет два компонента — числитель и знаменатель. Первый находится вверху и называется делимым, а второй — внизу. Последний называется делителем. Следует отметить, что дробный вид — представление частного, т. е. результата операции деления. Эта форма записи применяется для читабельной формы, поскольку иногда одно число не делится на другое.

    Например, при делении 2 на 3 образуется десятичная бесконечная периодическая дробь. Ее можно записать в таком виде: 0,(6). Скобки означают, что число 6 повторяется бесконечное количество раз, так обозначается периодичность.

    Однако бывают случаи, когда образуется десятичная непериодическая величина, а ее каким-то образом нужно записать с точностью до десятитысячной доли. Эта операция невозможна, поскольку после целой части будут следовать 10000 разрядов. Вот для ее записи и необходимо применять обыкновенную дробь.

    Следует отметить, что умножать бесконечные непериодические дроби также проблематично. Их нужно преобразовать в обыкновенные величины, а далее применить соответствующий алгоритм. Чтобы воспользоваться методикой, требуется получить базовые знания. К ним относятся следующие:

    1. Классификация обыкновенных дробных чисел.
    2. Работа со смешанными дробями обыкновенного типа.
    3. Сокращение.

    Следует отметить, что каждый компонент необходимо подробно разобрать, поскольку от качественного изучения материала зависит скорость обучения. Если ученик не понял различия между правильной и неправильной дробями, то не имеет смысла переходить ко второму пункту. Это вызовет путаницу, а драгоценное время будет потрачено впустую.

    Виды обыкновенных дробей

    Классификация дробных выражений позволяет понять основные их свойства, методы конвертации и основные различия между собой. Они бывают трех типов: правильными, неправильными и смешанными. Для удобства необходимо записать дробь в математическом представлении «p/t», где р — числитель, а t — знаменатель.

    Правильной дробью называется выражение, в котором числитель меньше знаменателя, т. е. выполняется условие p<t. Если величина «t» превышает «р», то дробное тождество является неправильным.

    Однако при расчетах можно в учебниках (например, Виленкина Н. Я.) увидеть смешанное представление. Например, 6[2/3]. Последнее состоит из целой и дробной частей, причем последняя представлена в виде обыкновенного дробного значения. Эта форма записи применяется для конечного отображения результата, полученного при расчетах.

    Математики рекомендуют всегда преобразовывать ответ в читабельный вид, чтобы им в дальнейшем могли воспользоваться другие люди. Далее требуется подробно разобрать работу со смешанными числовыми представлениями, поскольку в этом случае умножать обыкновенные дроби проблематично. Отсутствие конвертации может привести к возникновению множества ошибок при вычислениях.

    Работа со смешанными числами

    Для работы со смешанными числами также существует определенный алгоритм. Он имеет два направления: прямое и обратное преобразование. В первом случае выполняется конвертация смешанного дробного тождества в неправильную дробь обыкновенного типа. Он имеет следующий вид:

    1. Написать величину: M[p/t].
    2. Рассчитать значение числителя «Р» по такой формуле: Р=Мt+p.
    3. Записать неправильную дробь: Р/t.

    Следует отметить, что алгоритм преобразования неправильной обыкновенной величины выполняется строго в обратном порядке. Методика выглядит следующим образом:

    1. Записать неправильное тождество обыкновенного дробного вида: Р/t.
    2. Выделить целочисленную константу, разделив числитель на знаменатель: Р/t=M.
    3. Вычислить новый числитель, который должен быть меньше знаменателя: р=Р-М*t.
    4. Записать искомое значение: М[p/t].

    Следует отметить, что при последнем действии дробную часть рекомендуется сократить. Эту операцию требуется делать постоянно, чтобы оптимизировать дальнейшие расчеты. Далее необходимо разобраться с методикой сокращения числителя и знаменателя.

    Правила сокращения

    Сокращение числителя и знаменателя необходимы для уменьшения объема вычислений. Например, требуется выполнить операцию умножения для двух дробных значений 44/55 и 90/100. Если оставить выражения в таком виде, то для вычисления произведения нужно оперировать с большими числами, а это очень неудобно. Следовательно, дроби нужно сократить. Для этой цели используется специальная методика. Она имеет такой вид:

    1. Записать дробную величину.
    2. Найти общий множитель для числителя и знаменателя.
    3. Вынести величину, полученную в первом пункте.
    4. Сократить дробь, записав результат.

    Однако алгоритм нужно отработать на практике. Его реализация имеет такой вид:

    1. 44/55 и 90/100.
    2. 11 и 10 — общие множители для двух значений дробного вида.
    3. (11*4)/(11*5) и (10*9)/(10*10).
    4. 4/5 и 9/10.

    Следует отметить, что выполнять любые арифметические операции с дробями обыкновенного вида, полученными на четвертом шаге алгоритма, удобнее, чем с их первоначальными значениями. На основании этого можно сделать вывод о том, что сокращение — вынужденная мера, используемая во всем мире для оптимизации вычислений. Далее можно переходить к самой методике умножения дробей в 6 классе.

    Алгоритм умножения

    Методика умножения дробных обыкновенных значений довольно проста. Однако в математике бывает всего три случая, которые на уроках не всегда поддаются объяснению (очень часто преподаватели не обращают на них внимания учеников):

    1. Одинаковые знаменатели.
    2. Равные между собой числители, но разные знаменатели.
    3. Каждый элемент равен однотипному компоненту, т. е. числитель первой дроби эквивалентен числителю второй, а знаменатели также равны между собой.

    На самом деле умножение простых дробей с разными знаменателями является одной и той же операцией, т. е. поиск решения осуществляется по одному принципу. Чтобы его объяснить, нужно разобрать методику выполнения. Она имеет следующий вид:

    1. Записать две дроби.
    2. Конвертировать смешанные числа в неправильные дробные числа.
    3. Привести их к нормальному виду при помощи операции сокращения.
    4. Сократить числитель и знаменатель одной величины на элементы неправильной дроби другого значения.
    5. Перемножить числители и знаменатели.
    6. Записать искомый результат, сокращая его при необходимости и переводя в правильную дробь.

    Для понимания алгоритма нужно научиться решать задачи на умножение дробей с разными знаменателями для 6 класса. Например, необходимо перемножить 6[4/8] и 3[20/35]. Их произведение находится по следующей методике:

    1. 6[4/8] и 3[20/35].
    2. Конвертацию нужно выполнять только после приведения дробных величин к оптимальному виду: 6[4/8]=6[½] и 3[20/35]=3[4/7].
    3. Перевод в неправильные дробные тождества: 13/2 и 25/7.
    4. Сокращение между величинами невозможно, поскольку 25 не делится нацело на 2, а 13 на 7.
    5. Перемножение: (13*25)/(2*7)=325/14.
    6. Для сокращения нужно найти общий множитель для чисел 325 и 14 (минус — не делится, а плюс — делится): 2 (-), 3 (-), 4 (-), 5 (-), 6 (-), 7 (-), 8 (-), 9 (-). Невозможно сократить дробное выражение.
    7. Запись в смешанной форме, руководствуясь методикой конвертации неправильного дробного значения в смешанное число: 23[(325−23*14)/14]=23[3/14].

    Следует отметить, что каждый шаг методики необходимо оптимизировать. Для этого необходимо избавляться от лишних вычислений, постоянно сокращая дробные величины. Однако некоторые могут не понять, как влияет методика умножения на результат. Для этого нужно решить пример другим методом:

    1. Для удобства сократить величины дробного вида: 6[½] и 3[4/7].
    2. Перемножить целые и дробные части: 18[4/14].
    3. Сократить: 18[2/7].

    Следует отметить, что результаты не совпадают, поскольку последний способ является неверным. На основании этого можно сделать вывод о том, что требуется решать задачи по методике. Если не следовать правилам, то могут появиться ошибки при расчетах.

    Таким образом, для выполнения операции произведения двух обыкновенных дробей необходимо использовать определенный алгоритм, а также уметь сокращать дробные величины и преобразовывать смешанные числа.

    Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел

    Раздел долгосрочного плана: 5.2A Действия над обыкновенными дробямиШкола: Кыргызсайская средняя школа
    Дата:ФИО учителя: Гульярова Ширингуль Полатовна
    Класс: 5 классКоличество присутствующих: 12отсутствующих:
    Тема урокаУмножение обыкновенных дробей и смешанных чисел
    Цели обучения, которые достигаются на данном  уроке (ссылка на учебную программу)5.1.2.21 выполнять умножение обыкновенных дробей, смешанных чисел;

    5.1.1.12 знать определение взаимно обратных чисел;

    5.1.2.22 находить число, обратное заданному числу

    Цели урокаВсе: формулируют правила умножения обыкновенных дробей и смешанных чисел

    Большинство: находят произведение дробных чисел

    Некоторые: использует полученные знания в нестандартных обстоятельствах

    Критерии оцениванияУмеют выполнять умножение дробей; умножение дроби на натуральное число, умножение смешанных чисел;

    Знают понятия взаимно обратных чисел

    Языковые цели

     

    Учащиеся будут:

    − объясняют решение заданий с помощью соответствующей терминологии

    Предметная лексика и терминология:

    числитель, знаменатель, произведение, сумма

    Серия полезных фраз для диалога/письма

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на дробь….

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число ….

    Чтобы умножить смешанные числа…

    Навыки использования

     ИКТ

    Интерактивная доска
    Привитие ценностей1)      Привитие ценности «Казахстанский патриотизм и гражданская ответственность» осуществляется через решение задачи, в которойучтен казахстанский контекст. Воспитание толерантности, чувства взаимопомощи, сотрудничества в парах  и группе. Формирование и поддержание доверительных межличностных отношений, взаимного уважения, взаимной ответственности.
    Предварительные знания

     

    Учащиеся могут использовать правила умножение дроби. Знают переводить смешанные числа на неправильную дробь
    Ход урока
    Запланированные этапы урокаЗапланированные этапы урокаРесурсы
    Начало урока

    1 мин

     

     

     

     

    1 мин

     

     

     

    3 мин

     

     Приветствие учащихся.

    Создание благоприятного психологического климата:

    ·         Учащиеся образуют концентрических 2 круга, образовавшиеся пары методом «Добро в ладошках»

    соединяют ладоши (как в игре «Колечко-колечко»), «собрав» в них своё добро и «передают» его друг другу.

    Учащиеся с помощью карточек делятся на 3 группы:

    1. Правильные дроби

    2 . Неправильные дроби

    3. Смешанные числа

    Проверка домашнего задания.

    (П)Метод «+ и — »

    Ученики обмениваются тетрадями с соседом по парте и проверяют домашнее задание друг у друга. На интерактивной доске есть готовые ответы .

    Форма оценивания: взаимоценивание «-», «+»

    Обратная связь:  Производится в виде похвалы или совета учителем

     

     

     

     

     

     

    Карточки

     

     

     

     

     

    Середина урока

    7 мин

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    6 мин

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    11 мин

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1 мин

    (Г) Для актуализации ранее полученных знаний,используем   прием «Корзина  идей..»  для развития устной математической речи.

    3 группам из корзины выдаются в конвертах задания:

    1 группе: сформулировать правило умножения обыкновенных дробей

    2 группе: сформулировать правило умножения обыкновенных дробей на натуральное число

    3 группе:сформулировать правило умножения смешанных чисел

    Дескриптор:

    — знает правила умножения обыкновенных дробей

    — знает правила умножения обыкновенных дробей на натуральное число

    знает правила умножения смешанных чисел

    ФО: группы оценивают друг друга с методом «Светофор»

    Уровень мыслительных навыков: знание и понимание

     

    (И) Метод «АВС»

    1 задания группы А

     

    Дескриптор

    1) Сокращают дроби.1
    2 ) Выполняют умножение на натуральное число1
    3) Выполняют умножение дробей.1
    4) Представляют в виде неправильной дроби1

     

    2 задания группы А

    1.      Сократите дробь: 1)       2)      3)

    2.      4)

    3.      Вычисли:  а) , б) , в)  , Г) ,

    Дескрипторы

    Обучающие

    1.      Правильно сокращает дроби2
    2.      Выполняет умножение дробей1
    3.      Записывает правильный  ответ1

     

    Задания группы В

    1.      1. Найдите площадь куска ткани прямоугольной формы шириной   м и длиной 7 м.

    1.      2. У мамы 5 000 тенге. Она взяла     этой суммы, чтобы оплатить коммунальные услуги. Сколько денег взяла мама?

    Дескриптор:

    составляет числовое выражения по условию задач;2
    выполняет действия с дробями1
    находит ответ к каждой задаче.1

     

    Задания группы С

    Найдите площадь фигуры:

    Дескриптор:

    сложную фигуру делит на простые2
    выполняют соответствующее вычисления2
    находит площадь каждой фигуры2
    записывает ответ2

     

    Учитель проверяет работу учеников, выполнивших все задания группы А, В, С, далее эти ученики берутся в качестве помощников учителя и проверяют работы остальных учеников

    ФО: Производится в виде похвалы и совета учителем

    Уровень мыслительных навыков: знание,понимание и применение

     

    Физминутка Метод  «Кто быстрее?», учащиеся поднимает сигнальный флажок и отвечают

    1.Половина – треть числа. Какое это число? (

    2.Какой знак нужно поставить между числами 1 и 5, чтобы оно было больше 0 и меньше1? (дробную черту)

    3.Можно ли четырьмя двойками выразить число 111?( )

    4. У отца шесть сыновей. Каждый сын имеет сестру. Сколько всего детей у этого отца?  (7 детей)

    ФО: Аплодисменты

    Раздаточный материал

     

    Конец

    Урока

    7 мин

    (П)Стратегия « Найди ошибку»

    Найдите ошибки и объясните,  почему они были допущены:

    1.

    2.

    3.

    Дескриптор:

    Обучающие:

    Находит ошибку и Правильно выполняет умножение2
    Объясняет этапы решения примеров2

     

    ФО: Пары оценивают друг друга методом «Большой палец»

    Уровень мыслительных навыков: знание,понимание и применение

     

    слайд
    Рефлексия

    2 мин

    Лист оценивание
    ФИО Метод АВСНайди ошибку Общий балл
    А1А2ВС
           

     

    0-5- надо стараться

    6-12- ты можешь лучше…

    13-18- хорошо

    19-24 отлично

    Рефлексия:

    Стикеры
    Домашнее задание

    1 мин

     

    № 530,531 стр 131-132

     

    Учебник 5 класса

    Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?Здоровье и соблюдение техники безопасности
    Индивидуальная поддержка учащихся имеющих проблемы при понимании нового материала.Самопроверка, взаимопроверка по критериям оценивания, проверка учителем, выраженная в виде одобрения, похвалы или совета

    0-5- надо стараться

    6-12- ты можешь лучше…

    13-18- хорошо

    19-24 отлично

    Все задания подобраны с учетом возрастных особенностей учащихся
    Рефлексия по уроку

    Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

    Все ли учащиеся достигли ЦО?

    Если нет, то почему?

    Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

    Выдержаны ли были временные этапы урока?

    Какие отступления были от плана урока и почему?

    Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
     
    Общая оценка

     

    Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

    1:Создание коллаборативной среды

    2: Работы в группе

    Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

    1: Представление информации для задачи в виде рисунков или видеофрагментов

    Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

    Конспект урока математики для 5 класса на тему «Умножение обыкновенных дробей»

    Купш О.Н.

    Ход урока:

    Деятельность учителя


    Методическая разработка урока математики в 5 классе по теме «Умножение обыкновенных дробей»

    Предмет:

    математика

    Класс:

    5

    Учитель

    Купш Ольга Николаевна КОУ «Литковская средняя школа» Тарского МР Омской области

    Тема:

    Умножение обыкновенных дробей

    Тип:

    Урок изучения нового материала

    Цели урока:

    Образовательные:

    — повторить основные действия с обыкновенными дробями;

    — вывести правило умножения обыкновенных дробей, закрепить его при выполнении заданий;

    -проверить уровень усвоения материала;

    Развивающие:

    • способствовать развитию логического, аналитического, критического мышления; интереса к математике;

    • развивать визуальные каналы восприятия информации.

    Воспитательные:

    • воспитание настойчивости, целеустремленности, умения оценивать свои знания;

    • воспитание культуры общения, умения работать в парах, самостоятельно, коллективно;

    • способствовать формированию математической компетентности учащихся.

    Задачи урока:

    • сформировать знания и умения по данной теме через различные формы работы.

    • активизировать мыслительную деятельность учащихся посредством участия каждого из них в процессе решения задач.

    Этапы урока:

    1. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности.

    2. Актуализация опорных знаний.

    3. Постановка учебной задачи.

    4. Открытие нового знания.

    5. Первичная проверка понимания.

    6. Применение новых знаний.

    7. Проверочная работа с самопроверкой.

    8. Подведение итогов на рефлексивной основе

    9. Домашнее задание

    Методы:

    проблемно-поисковый, словесный, наглядный, практический.

    Оборудование:

    ПК, мультимедийный проектор, карточки для игры «Лото», карточки для самостоятельной работы по новой теме, дифференцированные задания для работы в группах, оценочные листы, мел, доска, памятки как работать в паре, как оценить работу группы.

    Приложение

    Презентация.

    Формы работы:

    самостоятельная, работа в парах, фронтальная работа, групповая работа

    Деятельность учащихся

    Оформление доски

    1.Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности 2 мин

    Здравствуйте, дорогие ребята! Садитесь!

    (приветствие)

    Я рада приветствовать Вас на уроке математики и прошу обратить внимание на доску. Прочитай, Полина, что написано.

    Как Вы понимаете это высказывание?

    Абсолютно точно! Это высказывание будет девизом нашего сегодняшнего урока! Мы будем мыслить, рассуждать, исследовать и только так получать знания по математике!

    Все наши знания мы будем оценивать разноцветными полосочками, фиксировать результаты на оценочных листах.

    А какую тему мы изучаем, какую область математики мы «осиливаем» сейчас?

    Что из этого раздела мы уже знаем и умеем?

    Чтобы продуктивно работать на уроке нам нужно достать из наших сундучков знания, которые мы уже имеем. Предлагаю Вам игру «Лото».

    (присаживаются)

    Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий!

    (пример ответа ученика) Я понимаю это так: если человек знает куда идти, то он осилит дорогу, также и в математике, если ты мыслишь, то встречаясь с проблемой, всегда сможешь найти способ её решения!

    Учащиеся знакомятся со шкалой оценивания на оценочных листах. Обращают внимание на слайд со специальным значком (снежинка)

    Мы изучаем тему «Обыкновенные дроби».

    Мы умеем складывать дроби с одинаковыми, разными знаменателями, умножать и делить на натуральное число

    Слайд

    «Дорогу осилит — идущий, математику – мыслящий!»

    Слайд шкала оценивания, значок снежинка.

    2. Актуализация опорных знаний– игра «Лото» (работа в парах, фронтальная работа) – 6 мин

    (Проводится инструктаж игры «Лото»)

    Необходимо выполнить задания на листе, полученный результат найти на соответствующей карточке и приложить её обратной стороной к заданию. В результате получится шифр. Если какое-то задание Вы выполнить не можете, положите на него знак «?».

    (Контролирует выполнение заданий)

    (Фронтальная работа, вместе с учащимися заполняют табло на доске, анализируют шифр)

    Какой у Вас получился шифр?

    (Подводит учащихся к формулировке проблемного вопроса – как умножить обыкновенную дробь на дробь).

    Оценивают работу этапа «Лото»

    (Внимательно слушают, задают вопросы, если они есть).

    (Выполняют задания, пара, заполнившая карточку «Лото» поднимает руку, после того как большинство выполнили задание – фронтальная проверка)

    КАК УМНОЖИТЬ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ НА ?

    (В результате работы приходят к проблемному вопросу – как умножить обыкновенную дробь на дробь, так как решить последний пример им не удалось, в силу того, что задание новой не изученной темы)

    Работают с оценочными листами.

    Слайд «Игра «ЛОТО»

    Выполните сложение

    Выполните вычитание

    Сократите дробь

    Увеличьте

    Выполните умножение

    Выполните умножение

    3.Постановка учебной задачи

    Что ж, сегодня наши мыслительные операции будут направлены на то, чтобы найти ответ на этот проблемный вопрос, этому и посвятим наш урок. Итак, тема нашего урока… ?

    Курс задан, какова цель урока?

    (формулируют с учителем тему урока, записывают её в тетрадь)

    Умножение обыкновенных дробей!

    Научиться умножать обыкновенные дроби, вывести правило умножения обыкновенных дробей и закрепить.

    Тема урока:

    Умножение обыкновенных дробей

    4. Изучение нового материала (фронтальная работа) – 5 мин

    Для достижения цели и получения ответа на проблемный вопрос предлагаю Вам выполнить небольшое исследование.

    Обратите внимание на доску. Охарактеризуйте условие и данные.

    Как найти площадь данного прямоугольника?

    Что произойдет с площадью прямоугольника, если длину и ширину одновременно уменьшить в 10 раз?

    Как это можно записать в виде равенства с обыкновенными дробями?

    Но ребята, посмотрите внимательно, что у нас получилось – сами того не предполагая мы выполнили умножение обыкновенных дробей! Проанализируйте равенство, выделите закономерности- как же выполнить умножение обыкновенных дробей.

    (по схеме: УЧЕНИК-УЧИТЕЛЬ-УЧЕНИК формулируется правило)

    Молодцы!!! Вот и наше открытие!

    Запишем правило в тетради в буквенной форме.

    Дан прямоугольник со сторонами 4см и 5 см. Нужно найти площадь прямоугольника.

    Нужно длину умножить на ширину и получится 20 квадратных сантиметров.

    (Выслушиваются ответы)

    Площадь уменьшится в 100 раз.

    (внимательно изучают, предлагают свои варианты ответов)

    Нужно числители перемножить и знаменатели перемножить!

    (по схеме: УЧЕНИК-УЧИТЕЛЬ-УЧЕНИК формулируется правило)

    Чтобы умножить обыкновенные дроби нужно числители перемножить и результат записать в числитель, знаменатели перемножить и результат записать в знаменатель.

    (записывают)

    Слайд «Юный исследователь»


    Чему равна площадь данного прямоугольника?

    4*5=20 см2

    Слайд «Результат исследования»

    5 . Закрепление (фронтальная работа) – 2 мин

    А теперь, ребята, я предлагаю Вам стать настоящими экспертами! Наш любимый стеснительный друг Петя Васечкин уже решил задания и доверил Вам проверку! Найдите ошибку в данных заданиях.

    (направляет деятельность учащихся на нахождение ошибок, выявление их характер)

    Оцените работу этапа «Работа экспертов»

    (анализируют, находят ошибки и их характер)

    Арифметическая ошибка.

    Не сокращена дробь.

    Неправильную дробь нужно переводить в число.

    Работают с оценочными листами

    (После определения ошибки, она выделяется анимацией в примере на доске)

    Слайд «Работа экспертов»

    1)

    2)

    3)

    6. Закрепление (самостоятельная работа по вариантам ) – 5 мин

    Для закрепления правила, нужно…

    (2 ученика вызываются к доске, выполняют задания)

    Оценить работу ребят, которые работали у доски.

    решить примеры!

    (все решают самостоятельно, затем проводят проверку решений на доске)

    Работают с оценочными листами

    Задания на закрепление

    1) 2)

    3) 4)

    5) 6)

    ФИЗМИНУТКА

    Настало время отдохнуть, выполнить физминутку.

    Обучающиеся повторяют движения за учителем

    Из — за парт мы выйдем дружно,

    Но шуметь совсем не нужно,

    Мы все вместе улыбнемся,

    Подмигнем слегка друг другу,

    Вправо, влево повернемся ( повороты влево- вправо)

    И кивнем затем по кругу. (наклоны влево-вправо)

    Все идеи победили,

    Вверх взметнулись наши руки. ( поднимают руки вверх- вниз)

    Груз забот с себя стряхнули

    И продолжим путь науки. ( встряхнули кистями рук)

    7. Проверочная работа (самостоятельная работа, взаимопроверка) – 8 мин

    Эмоциональный настрой обучающихся.

    (Раздаются карточки с заданиями, время работы 5 минут, затем взаимопроверка).

    Кто выполнил все 5 заданий правильно?

    Кто выполнил 4 задания правильно?

    (Проводится анализ: количество выполнивших заданий, количество допустивших ошибки, характер ошибок, выявляется степень усвоения материала)

    (Решают задания на карточке, подписывают их, затем обмениваются с соседом по парте и выполняют с помощью доски взаимопроверку).

    (Проводится анализ: количество выполнивших заданий, количество допустивших ошибки, характер ошибок, выявляется степень усвоения материала )

    (поднимают руки)

    (Высвечиваются ответы на этапе взаимопроверки)

    8. Применение новых знаний. Решение практической задачи (работа в группах) – 7 мин

    (Предлагается на закрепление решить следующую задачу разными способами, работа в группах)

    Группы получают дифференцированные задания.

    (самостоятельно измеряют длину и ширину поверхности парты, выполняют действия, решают, обсуждают решение, оценивают работу своей группы)

    Практическое задание.

    Найдите площадь поверхности школьной парты в квадратных метрах.

    9. Рефлексия урока – 2 мин Этап итогового оценивания

    Возьмите в руки оценочные листы и переведите оценки в отметки, следующим образом

    Больше всего красных – «5»

    Больше всего оранжевых — «4»

    Больше всего желтых – «3»

    На основе полученных отметок делаем вывод об уровне усвоения нового материала.

    Обучающиеся переводят оценки в отметки, поднимают стикер того цвета, который соответствует полученной отметки.

    Шкала оценивания

    Больше всего красных – «5»

    Больше всего оранжевых — «4»

    Больше всего желтых – «3»

    Игра «Микрофон»

    Предлагаю обучающимся закончить предложения на выбор

    • сегодня я узнал…

    • было интересно…

    • было трудно…

    • я выполнял задания…

    • я понял, что…

    • теперь я могу…

    • я почувствовал, что…

    • я приобрел…

    • я научился…

    • у меня получилось …

    • я смог…

    • я попробую…

    • меня удивило…

    • урок дал мне для жизни…

    • мне захотелось…

    (заканчивают предложения , анализируя собственную деятельность на уроке)

    • сегодня я узнал…

    • было интересно…

    • было трудно…

    • я выполнял задания…

    • я понял, что…

    • теперь я могу…

    • я почувствовал, что…

    • я приобрел…

    • я научился…

    • у меня получилось …

    • я смог…

    • я попробую…

    • меня удивило…

    • урок дал мне для жизни…

    • мне захотелось…

    8. Домашнее задание – 3 мин

    Записываем домашнее задание. Задания на выбор.

    есть ли вопросы?

    (контролирует запись домашнего задания в дневник или тетрадь)

    (записывают, задают вопросы при возникновении таковых)

    1. Придумать задачу с практическим содержанием на тему «Умножение обыкновенных дробей».

    2. Выполнить № 878, №882

    правила, примеры, решения. Дроби. Умножение и деление дробей Умножение и деление смешанных чисел

    Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

    Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

    развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

    Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

    Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

    правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

    Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

    Отработать новое правило на выполнении заданий.

    Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

    Метапредметные и личностные результаты :

    Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

    Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

    Коммуникативные УУД: работа в парах

    Оборудование: учебник математики 6 класс

    Раздаточный материал.

    Проектор.

    Ход урока:

    I .Проблемная ситуация и актуализация знаний

    1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

    2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

    3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

    4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

    II .Совместное открытие знаний.

    1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

    2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

    3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

    4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

    III .Самостоятельное применение знаний

    1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

    2/ Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

    IV. Итог урока

    Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

    Оценивание работы учащихся.

    Задание для домашней работы.

    В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

    Навигация по странице.

    Умножение смешанных чисел.

    Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

    Запишем правило умножения смешанных чисел :

    • Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
    • Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

    Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

    Пример.

    Выполните умножение смешанных чисел и .

    Решение.

    Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

    Запишем все решение в одну строку: .

    Ответ:

    .

    Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

    Пример.

    Выполните умножение .

    Решение.

    Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

    Ответ:

    Умножение смешанного числа и натурального числа

    После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

    Пример.

    Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

    Решение.

    Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

    Ответ:

    Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

    Пример.

    Вычислите произведение .

    Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

    Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

    Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

    Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

    Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

    ) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

    Формула умножения дробей:

    Например:

    Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

    Деление обыкновенной дроби на дробь.

    Деление дробей с участием натурального числа.

    Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

    Умножение смешанных дробей.

    Правила умножения дробей (смешанных):

    • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
    • перемножаем числители и знаменатели дробей;
    • сокращаем дробь;
    • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

    Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Второй способ умножения дроби на натуральное число.

    Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

    Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

    Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Многоэтажные дроби.

    В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

    Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

    Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

    Обратите внимание, например:

    При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

    Практические советы при умножении и делении дробей:

    1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

    2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

    3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

    4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    При умножении дробей с одинаковыми знаменателями?

    Автор вопроса: Кейси Мраз
    Оценка: 4,9/5 (35 голосов)

    При умножении дробей просто умножьте числители вместе, а затем умножьте знаменатели вместе . Упростите результат. Это работает независимо от того, совпадают знаменатели или нет. Если перемножить дроби 3/2 и 4/3 вместе, получится 12/6.

    При умножении дробей должны быть одинаковыми знаменатели?

    Умножение дробей не требует одного и того же знаменателя или нижнего числа дроби, в отличие от сложения и вычитания.Вместо этого вы просто перемножите знаменатели и верхние числители.

    Как умножить дроби, у которых разные знаменатели?

    Сначала вы умножаете числители, затем умножаете знаменатели, даже если они не одинаковы. Наконец, посмотрите на свою дробь и определите, является ли она простейшей формой. Если нет, вы должны найти число , чтобы разделить и числитель, и знаменатель на , чтобы упростить дробь.

    Какое правило умножения дробей?

    Первый шаг при умножении дробей — для умножения двух числителей . Второй шаг — перемножить два знаменателя. Наконец, упростите новые дроби. Дроби также можно упростить перед умножением, вынеся общие множители в числителе и знаменателе.

    Каковы четыре правила дробей?

    • Правила дробей.студент.
    • С. заработок.
    • Л. С. …
    • СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ. Чтобы складывать или вычитать дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель (нижнее значение). …
    • Сложение и вычитание с разными знаменателями. Если знаменатели разные, то необходимо найти общий знаменатель. …
    • УМНОЖЕНИЕ. …
    • а. …
    • ОТДЕЛ.
    Найдено 20 связанных вопросов

    Почему знаменатели не складываются?

    Почему при сложении дробей не складываются знаменатели? Знаменатель показывает, сколько одинаковых частей составляют одну единицу.Если вы добавляете знаменатели при сложении дробей, новый знаменатель не будет описывать, сколько равных частей в одной единице .

    Можно ли умножать знаменатель?

    Умножение — одна из самых простых операций, которые вы можете выполнять с дробями, потому что вам не нужно беспокоиться о том, имеют ли дроби одинаковые знаменатели или нет; просто умножьте числители вместе , умножьте знаменатели вместе и при необходимости упростите полученную дробь.

    Почему вы скрещиваете дроби?

    Причина, по которой мы умножаем дроби, заключается в том, что мы их сравниваем . Перекрестное умножение дробей говорит нам, равны ли две дроби или какая из них больше. Это особенно полезно, когда вы работаете с более крупными дробями, которые вы не знаете, как уменьшить.

    Зачем вам общий знаменатель?

    Чтобы складывать дроби, дроби должны иметь общий знаменатель.Нам нужно, чтобы кусочки каждой фракции были одинакового размера, чтобы объединить их вместе . … Эти две дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому равные части, на которые разбито целое, имеют одинаковый размер.

    Вы умножаете дроби прямо?

    Чтобы умножить дроби вместе, вы просто умножаете . … Затем умножьте знаменатели вместе.Наконец, упростите свой ответ, если это необходимо.

    Какой наименьший общий знаменатель у 7/10 и 3 5?

    Вычислить НОК

    Наименьшее общее кратное 3, 5, 7 и 10 равно 210 .

    Как объяснить общие знаменатели?

    Когда две или более дроби имеют одинаковый знаменатель (нижнее число).Мы можем складывать и вычитать дроби только тогда, когда они имеют общий знаменатель. Чтобы получить общий знаменатель, мы можем умножить верхнюю и нижнюю части дроби на одно и то же число .

    Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

    Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

    1. ШАГ ПЕРВЫЙ: Приведите общий знаменатель.
    2. ШАГ ВТОРОЙ: Сложите или вычтите числители.
    3. ШАГ ТРЕТИЙ: При необходимости упростите результат. Обратите внимание, что 3/27 можно упростить, так как числитель и знаменатель делятся на 3.
    4. Вот и все! Окончательный ответ:

    Какое самое важное правило при умножении дробей?

    Одним из наиболее важных правил умножения дробей является то, что при умножении дробей числители умножаются вместе, а знаменатели умножаются вместе .Рассмотрим дробь a/b = c/d.

    Каковы правила деления дробей?

    Деление двух дробей аналогично умножению первой дроби на обратную величину второй дроби . Первым шагом к делению дробей является нахождение обратной дроби (поменять местами числитель и знаменатель) второй дроби. Затем умножьте два числителя. Затем умножьте два знаменателя.

    Как проще всего найти общий знаменатель?

    Самый простой способ найти общий знаменатель пары дробей — умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой .

    Какой наименьший общий знаменатель у чисел 1 6 и 3 4?

    12 — LCM.

    Каковы 3 этапа умножения дробей?

    Для умножения двух дробей требуется три простых шага:

    1. Шаг 1: Умножьте числители каждой дроби друг на друга (числа сверху). Результат является числителем ответа.
    2. Шаг 2: Умножьте знаменатели каждой дроби друг на друга (числа внизу). …
    3. Шаг 3: Упростите или сократите ответ.

    4.7: Краткое изложение ключевых понятий

    Краткое изложение основных понятий

    Дробь
    Идея разбиения целого количества на равные части дает нам слово дробь .

    Дробная черта, знаменатель, числитель
    Дробь состоит из трех частей:

    Дробная черта —
    Ненулевое целое число под дробной чертой является знаменателем .
    Целое число над дробной чертой — это числитель .

    Правильная дробь
    Правильные дроби — это дроби, у которых числитель строго меньше знаменателя.
    \(\dfrac{4}{5}\) — правильная дробь

    Неправильная дробь
    Неправильная дробь — это дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю. Кроме того, любое ненулевое число, стоящее над единицей, является неправильной дробью.
    \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{5}{5}\) и \(\dfrac{5}{1}\) — неправильные дроби.

    Смешанное число
    Смешанное число — это число, представляющее собой сумму целого числа и правильной дроби.
    \(1\dfrac{1}{5}\) является смешанным числом \((1 \dfrac{1}{5} = 1 + \dfrac{1}{5})\)

    Соответствие между неправильными дробями и смешанными числами
    Каждая неправильная дробь соответствует определенному смешанному числу, а каждое смешанное число соответствует определенной неправильной дроби.

    Преобразование неправильной дроби в смешанное число
    Метод, основанный на делении, преобразует неправильную дробь в эквивалентное смешанное число.
    \(\dfrac{5}{4}\) можно преобразовать в \(1\dfrac{1}{4}\)

    Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
    Метод, основанный на умножении, преобразует смешанное число в эквивалентную ему неправильную дробь.
    \(5\dfrac{7}{8}\) можно преобразовать в \(\dfrac{47}{8}\)

    Эквивалентные дроби
    Дроби, представляющие одно и то же количество, являются эквивалентными дробями .
    \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{6}{8}\) являются эквивалентными дробями

    Тест на эквивалентные дроби
    Если перекрестные произведения двух дробей равны, то эти две дроби эквивалентны.

    Таким образом, \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{6}{8}\) эквивалентны.

    Относительно простые
    Два целых числа равны относительно простым , когда 1 — единственное число, на которое они оба делятся.
    3 и 4 взаимно просты

    Приведенная к наименьшей степени
    Дробь приведена к наименьшей степени , если ее числитель и знаменатель взаимно просты.
    Число \(\dfrac{3}{4}\) сокращается до наименьших членов, так как 3 и 4 взаимно просты.
    Число \(\dfrac{6}{8}\) равно , а не , уменьшенному до низших членов, поскольку 6 и 8 не взаимно просты.

    Приведение дробей к младшим членам
    Для приведения дробей к низшим членам доступны два метода, один из которых основан на делении обычных простых чисел, а другой — на делении любых общих множителей.

    Возведение дробей в более высокие члены
    Дробь может быть возведена в более высокие члены путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число.
    \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \dfrac{6}{8}\)

    Слово «OF» означает умножение
    Во многих математических приложениях слово «of» означает умножение.

    Умножение дробей
    Чтобы умножить две или более дроби, умножьте числители вместе и умножьте знаменатели вместе. Уменьшите, если возможно.
    \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15} = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1 {6}\)

    Умножение дробей путем деления общих множителей
    Две или более дроби можно умножить, сначала разделив общие множители, а затем используя правило умножения дробей.3} \end{массив}} = \dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{1}{6}\)

    Умножение смешанных чисел
    Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, сначала преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь, а затем умножьте. Эта идея применима и к делению смешанных чисел.

    Обратные числа
    Два числа, произведение которых равно 1, являются обратными.
    7 и \(\dfrac{1}{7}\) обратны

    Деление дробей
    Чтобы разделить одну дробь на другую, умножьте делимое на величину, обратную делителю.
    \(\dfrac{1}{\dfrac{3}{7}} = \dfrac{7}{3}\)

    Операторы умножения
    Математический оператор формы

    продукт = (фактор 1) (фактор 2)

    — это оператор умножения.

    При пропуске одного из трех чисел возникает одна из трех следующих проблем:

    M = (фактор 1) \(\cdot\) (фактор 2) Отсутствует описание продукта.
    product = (factor 1) \(\cdot\) M Заявление об отсутствующем коэффициенте.
    product = M \(\cdot\) (коэффициент 2) Заявление об отсутствующем факторе.

    Отсутствующие продукты определяются простым перемножением известных коэффициентов. Отсутствующие факторы определяются по

    отсутствующий коэффициент = (произведение) \(\div\) (известный коэффициент)

    Умножение дробей и перекрестное исключение — MathBootCamps

    Дроби могут показаться сложной идеей в математике. Но умножение дробей оказывается одной из самых простых вещей, которые вы можете сделать, когда работаете с дробями! Одна из причин заключается в том, что при умножении дробей вам не нужно беспокоиться об общих знаменателях.Вместо этого вы всегда применяете одно и то же правило: умножайте прямо. Вы можете увидеть это в примерах ниже или можете прокрутить вниз, чтобы увидеть пример видео.

    реклама

    Некоторые примеры умножения дробей

    Давайте посмотрим на наш первый пример. Здесь мы находим произведение: \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2}\)

    Обратите внимание, что ответ уже был упрощен, и хотя знаменатели не совпадают, вы все равно можете просто умножить их.В следующем примере мы также будем использовать это правило, но ответ придется упростить.

    Существует короткий путь, который мы можем использовать, когда это происходит, называемый кросс-отменой.

    Сокращение: упрощение перед умножением дробей

    Давайте использовать тот же пример, что и раньше. Обратите внимание, что и 3, и 9 имеют общий коэффициент 3, поскольку \(3 = 3 \times 1\) и \(9 = 3 \times 3\). Из-за этого мы можем перекрестно отменить, прежде чем мы умножим.

    Это намного проще! Это работает даже тогда, когда дроби немного сложнее, как в приведенном ниже примере, где мы находим:

    .

    \(\dfrac{11}{12} \times \dfrac{26}{55}\)

    Здесь 11 и 55 делят множитель 11, поскольку \(11 \times 1 x 11\) и \(55 = 5 \times 11\).Кроме того, 26 и 12 имеют общий коэффициент 2, поскольку \(26 = 2 \times 13\) и \(12 = 2 \times 6\).

    Видео — как умножить две дроби

    Видео ниже немного рассказывает об идеях умножения двух дробей, а затем показывает несколько примеров, в том числе примеры, где вы можете перекрестно отменить.

    Резюме

    При сложении или вычитании дробей процесс различается в зависимости от того, совпадают ли знаменатели или различаются.Однако при умножении или даже делении дробей это уже не проблема. Вместо этого вы умножаете два числа в числителях и умножаете два числа в знаменателях. Чтобы сохранить работу позже, всегда проверяйте возможность перекрестной отмены.

    Подпишитесь на нашу рассылку!

    Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.

    Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), чтобы узнавать о новинках!

    Связанные

    Математический обзор умножения дробей и коэффициентов

    Обзор

    Умножение дробей и коэффициентов с переменными аналогично умножению обычных дробей и коэффициентов.Важно исключить общие множители и единицы.

    Общий шаблон

    Общая схема умножения дробей состоит в том, чтобы умножить числители и умножить знаменатели, чтобы получить новую дробь. В символьной форме правило для действительных чисел a, b, c и d, где b и d не равны нулю, a/b ∙c/d равно ac/bd. Следуя шаблону, 2/3 ∙7x/4 можно решить как (2∙7x)/(3∙4) или 14x/12. Проще говоря, новая дробь равна 7x/6, поскольку и числитель, и знаменатель можно разделить на их общий делитель 2/2.

    Рисунок 1: Правило в виде символов для умножения дробей.

    Факторинг перед умножением

    Еще один способ решить задачу, в которой есть общие множители, — убрать общие множители перед умножением. В такой задаче, как (2∙7x)/(3∙4), есть общие множители, которые можно сократить до умножения. Используя переместительное свойство, задача принимает вид (2/4)(7x/3). Используя равные дроби, 2/4 можно упростить до ½, а затем умножить как 7x/(2∙3) или 7x/6.Предположим, задача 9/(3y) ∙6y. Другой способ упростить задачу — представить ее как умножение дробей 9/(3y) ∙6y/1, чтобы она выглядела как (9∙6y)/(3y). Это еще больше упрощает, потому что 6y без остатка делится на 3y, как 2.

    Рисунок 2: Процесс факторизации перед умножением.

    Ставки

    Ставки могут быть умножены на другие величины. Предположим, что автомобиль движется со скоростью 70 миль в час. За 2 часа он проедет 140 км.Часы в милях в час и пройденное время (2 часа) компенсируют друг друга. Точно так же предположим, что машинистка печатает 70 слов в минуту. За 10 минут машинистка может напечатать документ из 700 слов.

    Коэффициенты умножения

    Ставки можно умножать аналогично дробям. Предположим, что пассажир ездит на работу 30 минут в день 5 дней в неделю. Этот пассажир ездит по 30 минут в день 5 дней в неделю. Сколько минут в неделю она водит машину? Дни сокращаются, поэтому уравнение становится 30 минут умножить на 5 или 150 минут в неделю.Кроме того, 150 минут в неделю можно сократить до 2 часов 30 минут, разделив на 60 минут в час.

    Рис. 3: Ставки можно умножать. Например, время в пути равно времени в день, умноженному на количество дней в неделю.

    Заинтересованы в услугах репетитора по алгебре? Узнайте больше о том, как мы помогаем тысячам студентов каждый учебный год.

    SchoolTutoring Academy — ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для школьников и студентов колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей.Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся в Гуроне, Южная Дакота: посетите Tutoring in Huron, SD

    .

    Умножение и деление дробей, Урок 2

    Mathscene — Умножение и деление дробей, Урок 2
    2006 Расмус Эхф

    Дроби и  

      Печать

    Урок 2.

     


    Умножение дробей и целых чисел номера:

     

    Изменить все число в дробь
    Тогда умножить.

    На целое умножается только числитель числа.


    Умножение дроби на дробь: (общий знаменатель не нужен)

    Первый умножьте числители
    Тогда умножить знаменатели

    2 2 = 1

    2 1 = 2 Вы можно упростить, прежде чем умножать, и мы можем отменить общее фактор 2
    2 4 = 8

    Замена смешанных чисел на неправильные дроби:

    Пример: Умножьте целое число (2) по знаменателю (3) и прибавьте к числителю (1)

    Вы 2 3 + 1 = 7
    знаменатель остается прежним.

    Смешанные номера заменены на неправильные дроби перед умножением.

    Изменить смешанные числа в неправильные дроби
    Смотреть для исключения общих факторов
    Мы может отменить фактор 4 из
    Тогда упрости, чтобы получить правильный ответ

    Сначала меняются смешанные номера на неправильные дроби, затем упрощая.


    Иногда переменные (буквы) используются.

    Применяются те же правила: сначала уменьшить, а затем упростить.


    Разделение дробей

    Чтобы разделить дроби, переверните делитель (вторая дробь) и умножить.

     Инвертировать делитель (второй дробь) и умножить
    Тогда упростить, вычеркнув общие множители, умножить и упростить.

    Целые числа необходимо заменить на дроби.

    Изменить целое число разделить на дробь
     Инвертировать делитель (вторая дробь) и умножить

     


    Смешанные числа должны быть заменены на неправильные дроби.

    Изменить смешанное число в неправильную дробь
     Инвертировать делитель (вторая дробь) и умножить
    Затем аннулирование общие факторы и упростить

    Иногда алгебраические переменные использовал.

     Инвертировать делитель (вторая дробь) и умножить
    Тогда выбрасывая общие множители и упрощая

    Те же правила применяются к номерам и . письма.


    Попробуйте тест 2 на Умножение и деление дробей.
    Не забудьте использовать свой Контрольный список.

    Умножение и деление алгебраических дробей

    22

    Правило

    Уменьшение

    Секция 2

    Сложные фракции — Подкласс

    ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ Дробей умножьте числители и умножьте знаменатели, как в арифметике.

    Задача 1.   Умножение.

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решай задачу сам!

      а)    2
    х
    ·   5
    х
      =   10
    x 2
      б)    3 аб
     4 в
    ·   4 а 2 б
    5 г
      =   3 a ³ b 2
     5 cd
       Четверка отменяется.
      г)    х − 3
    х + 1
    ·   х − 2
    х + 1
      =   x 2 − 5 x + 6
    x 2 + 2 x + 1
    Если умножение выглядит так:   a · б
    в
      или    б
    в
    ·   a , умножьте только

    числитель.

    Задача 2.   Умножение.

      а)    х
      ·   2 x
     3
      =   2 x 2
    3
      б)    3 x 2
     4
    ·  7 x 3   =   21 x 5
      4
      в)   ( x + 3)  ·   x − 3
    x + 6
      =   x 2 − 9
      x + 6
      г)      x 2 − 2 x + 5 
    6 x 2 − 4 x + 1
    ·  2 x 3   =  
    6 x 2 − 4 x + 1
       Нет отмены!

    Сокращение

    Если любой числитель имеет общий делитель с любым знаменателем,
    они могут быть отменены.

    а
    б
      ·     в
    г
      ·  
      =   CE
    BD

    Отмена и .

    Ибо если бы мы взяли на себя труд умножить и написать

    , то очевидно, что мы можем разделить и числитель, и знаменатель на и . Поэтому более искусно уменьшать перед умножением.

    Задача 3.   Умножение. Сначала уменьшить.

      а)   аб
    кд
      ·     изд
      фг
      ·    hcf
    аке
      =   бх
    гк
      б)    ( x − 2)( x + 2)
            8 x
      ·        __2 x __     
    ( x + 2)( x − 1)
      =      x − 2 
    4( x − 1)
      в)         __ x ³__     
    ( x + 2)( x + 3)
      ·   x + 3
       x 7
      =     __1_  
    ( x + 2) x 4
      г)    x ( x + 1)
         6
      ·       2    
    x 2 − 1
      =   x ( x + 1)
         6
      ·        __2__     
    ( x + 1)( x − 1)
      =      _ x _   
    3( x − 1)
        водный   ·    б
    cq
      =   аб
      в
      е)   10  ·   x + 2
       2
      =   5( х + 2)  = 5 x + 10
      г)  3 x   ·   5 x
     6
      =   5 x 2
     2
      з)    а
      б
      ·    1
    а
      =   1
    б
      и сокращаются как -1, что при умножении на 1 делает дробь отрицательной (Урок 4).
    Пример 1.   Умножить     x 2 − 4 x − 5
    x 2 x − 6
      ·   x 2 − 5 x + 6
    x 2 − 6 x + 5

    Решение .Хотя в задаче написано «Умножить», это последнее, что нужно делать в алгебре. Первый фактор. Затем уменьшите. Наконец, умножьте.

    И помните:  можно делить только факторы.

    x 2 — 4 x — 5
    x 2 x 4 — 6
      ·   x 2 − 5 x + 6
    x 2 − 6 x + 5
      =   ( x + 1)( x — 5)
    ( x + 2)( x — 3)
      ·   ( х — 3)( х — 2)
    ( х — 1)( х — 5)
     
        =   x + 1
    x + 2
      ·   х − 2
    х − 1
     
     
        =   x 2 x − 2
    x 2 + x − 2

    Проблема 4.Умножить.

    а)    __ x 2 __   
    x 2 + x − 12
      ·   x 2 − 9
      2 x 6
      =        __ x 2 __     
    ( x + 4)( x − 3)
      ·   ( x − 3)( x + 3)
           2 x 6
     
        =      1   
    x + 4
      ·   x + 3
      2 x 4
     
     
        =   _ x + 3 _
    2 x 5 + 8 x 4
      б)    x 2 − 2 x + 1
    x 2 x − 12
      ·   x 2 + x − 6
    x 2 − 6 x + 5
      =   __( x — 1) 2 __
    ( x — 4)( x + 3)
      ·   ( х + 3)( х — 2)
    ( х — 1)( х — 5)
     
        =   х — 1
    х — 4
      ·   х − 2
    х − 5
     
     
        =   x 2 − 3 x + 2
    x 2 − 9 x + 20
    в) x 2 + 3 x − 10
    x 2 + 4 x − 12
      ·   x 2 + 5 x − 6
    x 2 + 4 x − 5
      =   ( x + 5)( x — 2)
    ( x + 6)( x — 2)
      ·   ( х — 1)( х + 6)
    ( х — 1)( х + 5)
     
        =   1  
    г) _ x ³_ 
    x 2 − 1
      ·   x 2 + x − 2
           x 4
      ·   __ x 2 __ 
    x 2 + 4 x + 4
      =      ___ x ³___   
    ( x + 1)( x − 1)
      ·   ( x − 1)( x + 2)
            x 4
      ·   __ x 2 __
    ( x + 2) 2
      =  
      x + 1
      ·      1   
    x + 2
     
        =   _    _ x _   _
    x 2 + 3 x + 2

    Раздел 2: Сложные фракции — Раздел

    Содержание | Дом


    Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
    Даже 1 доллар поможет.


    Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Электронная почта: [email protected]


    Правила дробей — Fractioncalculator.com | Fractioncalculator.com

    Упрощение дробей

    Если возможно, часто бывает полезно сначала упростить дробь, прежде чем вы начнете складывать, вычитать, умножать или делить дробь.Чтобы упростить дробь, сначала найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

    Например: 25 30

    />

    И числитель (25), и знаменатель (30) делятся на пять (наибольший общий делитель). Если теперь вы разделите числитель и знаменатель на пять, вы также можете записать дробь как

    25 5 / 30 5  =  5 6

    Подробнее о: Упрощение дробей

    Правила расчета для сложения и вычитания дробей

    При сложении и вычитании дробей первое, что у дроби должно быть, это одинаковый знаменатель.Вы можете сделать это, используя произведение отдельных знаменателей, но во многих случаях вы можете найти меньший знаменатель, кратный двум знаменателям. Число не изменится, если его умножить на единицу. Таким образом, вы можете умножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Ведь если числитель и знаменатель совпадают, то дробь равна 1. Например:

    3 / 4 + 1 / 6 = 9 / 12 + 2 / 12 = 11 / 12

    Общий знаменатель мы взяли равным 12, это наименьший общий знаменатель, который делится и на четыре, и на шесть.Вы также можете использовать произведение 4 и 6 (= 24): 18/24 + 4/24 = 22/24. Это можно упростить до 11/12 (чтобы упростить дробь, найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя. В этом примере наибольший общий делитель равен 2, поэтому и числитель, и знаменатель делятся на 2).

    Подробнее о сложении дробей и вычитании дробей

    Правила расчета для умножения дробей

    При умножении дробей вы умножаете числители друг на друга и знаменатели друг на друга.Например:

    2 3  X  3 4  =  6 12  т.е. 2 1 03 4 2 ℃

    Чтобы упростить дробь, найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя. В этом примере наибольший общий делитель равен 6, поэтому и числитель, и знаменатель можно разделить на 6.

    Подробнее о: умножение дробей

    Правила расчета для деления дробей

    При делении дробей поменяйте местами числитель и знаменатель второй дроби, чтобы 3 4 стало 4 3 .Затем умножьте первую дробь на эту перевернутую вторую дробь. Например:

    1 / 8 / 3 / 4 = 1 / 8 x 4 / 3 = 4 / 24 = 1 / 6

    Чтобы упростить дробь, найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя. В этом примере наибольший общий знаменатель равен 4, поэтому и числитель, и знаменатель можно разделить на 4.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.