Правило сложение: Правила сложения и вычитания. — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)

Содержание

Два важнейших правила комбинаторики

Эти правила записаны в общем виде в Приложении Формулы Комбинаторики (пункт 4) и весьма напоминают алгебру событий:

1) Правило сложения комбинаций. Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов (любое) ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (в данном случае без разницы – будет ли выбран 1, 2 или 3 фрукта).

Теперь рассмотрим более содержательный пример:

Задача 7
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2 человек одного пола?

Решение: в данном случае подсчёт количества сочетаний , не годится – по той причине, множество комбинаций из двух человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2 человек одного пола» подразумевает, что нужно выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2 юношей;
способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ: 123

2) Правило умножения комбинаций. Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:
способами.

Когда из каждого множества выбирается по одному объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из 13 девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого:

возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары, однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец

каждого из 10 юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Этот же принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2 юношей и 2 девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации следует перемножить:

возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступить с каждой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Задача 8
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд тысяч можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр:

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует:
трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами – в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр в разряде десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

…да, чуть не забыл об обещанном комментарии к Задаче 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию Блэкджека:

Задача 9
Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Справка: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко, и давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2 тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения).

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий систематически выигрывать у казино, и желающие могут найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений 🙂

1.3.6. Перестановки с повторениями

1.3.4. Размещения

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Сложение натуральных чисел столбиком: правило, примеры

Сложение столбиком, или как еще говорят, сложение в столбик — это метод, широко используемый для сложения многозначных натуральных чисел. Суть этого метода в том, что сложение двух и более многозначных чисел сводится к нескольким простым операциям сложения однозначных чисел.

В статье подробно расписано, как выполнять сложение двух и большего количества многозначных натуральных чисел. Дано правило сложения чисел в столбик и примеры решения с разбором всех самых характерных ситуаций, возникающих при сложении чисел в столбик.

Сложение двух чисел в столбик: что нужно знать?

Прежде чем мы перейдем непосредственно к операции сложения в столбик, рассмотрим некоторые важные моменты. Для быстрого освоения материала желательно:

Знать и хорошо ориентироваться в таблице сложения. Так, при проведении промежуточных вычислений, вам не придется тратить время и постоянно обращаться к таблице сложения.
Помнить свойства сложения натуральных чисел. Особенно свойства, связанные со сложением нулей. Напомним их кратко. Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому. Сумма двух нулей есть нуль.

Знать правила сравнения натуральных чисел.
Знать, что такое разряд натурального числа. Напомним, что разряд — это позиция и значение цифры в записи числа. Разряд определяет значение цифры в числе — единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.

Сложение двух натуральных чисел в столбик

Опишем алгоритм сложения чисел столбиком с использованием конкретного примера. Пусть мы складываем числа 724980032 и 30095. Сначала следует записать эти числа по правилам записи сложения в столбик.

Числа записываются одно под другим, цифры каждого разряда располагаются, соответственно, одна под другой. Слева ставим знак «плюс», а под числами проводим горизонтальную линию.

Теперь мысленно разбиваем запись на столбики по разрядам.

Все, что остается сделать — сложить однозначные числа в каждом столбике.

Начинаем с крайнего правого столбика (разряд единиц). Складываем числа, и под чертой записываем значение единиц. Если при сложении значение десятков в результате получилось отличным от нуля, запоминаем это число.

Складываем цифры второго столбика. К результату прибавляем число десятков, которое мы запомнили на предыдущем шаге.

Повторяем весь процесс с каждым столбиком, вплоть до крайнего левого.

Данное изложение — упрощенная схема алгоритма сложения натуральных чисел столбиком. Теперь, когда мы разобрались с сутью метода, рассмотрим каждый шаг подробно.

Сначала складываем единицы, то есть числа в правом столбце. Если у нас получилось число, меньшее чем 10, записываем его в том же столбике и переходим к следующему. Если же результат сложения больше или равен 10, то под чертой в первом столбике записываем значение разряда единиц, а значение разряда десятков — запоминаем.

Например, получилось число 17. Тогда записываем число 7 — значение единиц, а значение десятков — 1 — запоминаем. Обычно говорят: «семь пишем, один в уме».

В нашем примере, при сложении чисел первого столбика, мы получаем число 7.

7<10, поэтому записываем это число в разряд единиц результата, а запоминать нам ничего не нужно.

Далее складываем числа в следующем столбце, то есть в разряде десятков. Проводим те же действия, только к сумме нужно прибавить число, которое мы держали в уме. Если сумма получилась меньше 10, просто записываем число под вторым столбиком. Если же результат больше или равен 10, записываем во втором столбике значение единиц этого числа, а цифру из разряда десятков запоминаем.

В нашем случае мы складываем числа 3 и 9, в результате имеем 3+9=12. На предыдущем шаге мы ничего не запоминали, поэтому к этому результату ничего прибавлять не нужно.

12>10, поэтому во втором столбике записываем цифру 2 из разряда единиц, а цифру 1 из разряда десятков держим в уме. Для удобства можно записать это число над следующим столбиком другим цветом.

Переходя к третьему, четвертому и так далее столбику повторяем действие, пока столбики не закончатся.

В третьем столбике сумма цифр равна нулю (0+0=0). К этой сумме прибавляем то число, которое ранее держали в уме, и получаем 0+1=1. записываем:

Переходя к следующему столбцу также складываем 0+0=0 и записываем в результате 0, так как на предыдущем шаге мы ничего не запоминали.

Следующий шаг дает 8+3=11. В столбике записываем цифру 1 из разряда единиц. Цифру 1 из разряда десятков держим в уме и переходим к следующему столбцу.

Этот столбик содержит только одно число 9. Если бы у нас не было в памяти числа 1, мы бы просто переписали число 9 под горизонтальную черту. Однако, учитывая, что не предыдущем шаге мы запомнили число 1, нужно сложить 9+1 и записать результат.

9+1=10

Поэтому, под горизонтальной чертой мы записываем 0, а единицу снова держим в уме.

Переходя к следующему столбику складываем 4 и 1, результат пишем под чертой.

Следующий столбик содержит только число 2. Так на предыдущем шаге мы ничего не запоминали, просто переписываем это число под черту.

Также поступаем и с последним столбиком, содержащим число 7.

Столбцов более нет, и в памяти также ничего нет, поэтому можно сказать, что операция сложения в столбик окончена. Число, записанное под чертой — результат сложения двух верхних чисел.

Чтобы разобраться со всеми возможными нюансами, рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Сложение натуральных чисел столбиком

Сложим два натуральных числа: 21 и 36.

Сначала запишем эти числа по правилу записи при сложении столбиком:

Начав с правого столбика, приступаем к сложению чисел.

1+6=7

Так как 7<10, записываем 7 под чертой.

Складываем числа во втором столбике.

2+3=5

Так как 5<10, а в памяти с предыдущего шага ничего нет, записываем результат

В памяти и в следующем столбике чисел более нет, сложение закончено. 21+36=57

Пример 2. Сложение натуральных чисел столбиком

Сколько будет 47+38?

Запишем:

7+8=15, поэтому запишем 5 в первом столбике под чертой, а 1 будем держать в уме.

Теперь складываем значения из разряда десятков: 4+3=7. Не забываем о единице и прибавляем ее к результату:

7+1=8. Полученное число записываем под чертой.

Это и есть результат сложения.

47+38=85

Пример 3. Сложение натуральных чисел столбиком

Теперь возьмем два трехзначных числа и выполним их сложение.

3+9=12; 12>10

Записываем 2 под чертой, 1 держим в уме.

8+5=13; 13>10

Складываем 13 и запомненную единицу, получаем:

13+1=14; 14>10

Записываем 4 под чертой, 1 держим в уме.

7+2=9

Не забываем, что на предыдущем шаге мы запомнили 1.

9+1=10

Записываем 0 под чертой, 1 держим в уме.

В последнем столбике переносим единицу, которую мы запомнили ранее, под черту, и получаем окончательный результат сложения.

783+259=1042

Пример 4. Сложение натуральных чисел столбиком

Найдем сумму чисел 56927 и 90.

Как всегда, сначала записываем условие:

7+0=7; 7<10

Записываем 7 под чертой и переходим к следующему столбику.

2+9=11; 11>10

Записываем 1 под чертой, 1 держим в уме и переходим к следующему столбику.

9+1=10

Записываем 0 под чертой, 1 держим в уме и переходим к следующему столбику.

Столбик содержит одно число 6. Складываем его с запомненной единицей.

6+1=7; 7<10

Записываем 7 под чертой и переходим к следующему столбику.

Столбик содержит одно число 5. Переносим его под черту и заканчиваем операцию сложения.

56927+90=57017

Следующий пример приведем без промежуточных результатов и пояснений, как образец записи сложения в столбик на практике.

Пример 5. Сложение натуральных чисел столбиком

5807+4137502=?

Ответ: 5807+4137502=4143309

Сложение столбиком трех и более чисел.

Что нужно знать?

Во первых, нужно усвоить всю информацию, уже изложенную в этой статье. Во вторых, также помним, что нули не влияют на результат сложения, и сколько бы не было в выражении слагаемых нулей, их сумма будет равна нулю.

Этапы сложения в столбик трех и более чисел аналогичны этапам из уже рассмотренных примеров с двумя числами. Обратимся к практике и поясним ход решения.

Пример 5. Сложение трех натуральных чисел столбиком

Сложим столбиком числа 274, 3082 и 201297.

Сначала делаем запись:

Начинаем с первого столбика, справа налево.

4+2+7=13; 13>10

3 пишем, 1 в уме. Переходим ко второму столбику.

7+8+9=24; 24+1=25; 25>10

5 пишем, 2 в уме. Переходим к третьему столбику.

2+0+2=4; 4+2=6; 6<10

6 пишем, и ничего не запоминаем. Переходим к четвертому столбику.

3+1=4; 4<10

4 пишем, и ничего не запоминаем. Переходим к пятому столбику. Пятый и шестой столбики содержат по одному числу, в уме с предыдущих шагов мы ничего не держим, поэтому просто переносим числа из последних двух столбиков под черту.

Ответ: 274+3082+201297=204653

Совет: при сложении трех и большего количества чисел в столбик, если вычисления выходят слишком громоздкими, бывает удобнее последовательно сложить два числа, затем еще два и так далее.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Значение, Определение, Предложения . Что такое правило сложения

Онлайн-переводчик
Грамматика
Видео уроки
Учебники
Лексика
Специалистам
Английский для туристов
Рефераты
Тесты
Диалоги
Английские словари
Статьи
Биографии
Обратная связь
О проекте

Примеры

Значение слова «ПРАВИТЬ»

Руководить, управлять, обладая властью.

Смотреть все значения слова ПРАВИТЬ

Значение слова «СЛОЖЕНИЕ»

Арифметическое действие, посредством к-рого из двух или нескольких чисел получают новое, содержащее столько единиц, сколько было во всех данных числах вместе.

Смотреть все значения слова СЛОЖЕНИЕ

Предложения с «правило сложения»

Первое правило сложения состоит в том, что могут быть добавлены только одинаковые количества; например, различные количества четвертей.
Другие результаты
Вопрос о едином постоянном договорном органе по правам человека крайне сложен и требует самого тщательного рассмотрения.
Надо отметить, что этот коктейль не грандиозен и не шедеврален, его вкус не так-то уж и сложен или необычен, просто он правильный.
И, наконец, раздел страны сложен с точки зрения международного права, которое, как правило, стоит на стороне суверенных государств и направлено на защиту существующей единой территории.
Просто подтверждение того, что мир, в котором мы живем, зачастую слишком сложен для правил, которые мы создаем, чтобы контролировать его.
Когда книга печатается, страницы раскладываются на пластине так, чтобы после того, как печатный лист сложен, страницы были в правильной последовательности.
Целью должен быть код, который “очевидно прав”, в отличие от кода, который настолько сложен, что “я не вижу никаких проблем”.
Этап семантического анализа, как правило, более сложен и написан от руки, но может быть частично или полностью автоматизирован с использованием атрибутивных грамматик.
Правовой статус WikiLeaks весьма сложен.
Несмотря на свои относительно простые правила, Go очень сложен.
Вид реставрационных работ, которые делает Адам, еще более сложен, и ничто не сравнится с знанием правильных кнопок, которые нужно нажимать в Photoshop.
Сложена она была правильно и чрезвычайно изящно; по красивой форме ее рук можно было заключить о стройности всего тела.
До того, как она потеряла свои руки, которые никогда не были восстановлены, правая рука Ники, как полагают, была поднята, сложена вокруг рта, чтобы издать победный крик.

Для того чтобы копия правильно читалась после того, как она сложена, должен быть какой-то брак.
Их одежда, как правило, сложена и разложена в ящиках или шкафах, а не лежит на полу.
Однако прямая настройка или сложение и вычитание в регистре sp/esp/rsp также поддерживаются, поэтому инструкции enter/leave, как правило, не нужны.
Это правило игнорировало сложение процентов и приводило к значительной экономии налогов, когда проценты высоки или ценная бумага имеет длительный срок погашения.
Возможно, что они и правда были толстые, хотя я в ту пору был невелик для своих лет и не отличался крепким сложением.
Таким образом, синтаксическое правило APL отличается от того, что преподается в математике, где, например, умножение выполняется перед сложением в порядке операций.
Мисс Марпл чуть склонилась вперед и мягко, увещевающе — так малому ребенку объясняют правила сложения и вычитания — стала излагать свою теорию.
Логарифмические правила обычно не используются для сложения и вычитания, но тем не менее это возможно сделать с помощью двух различных методов.
Сундук, казалось, был волшебным, так как в нем всегда были правильные костюмы, в правильных размерах, аккуратно сложенные в верхней части груды костюмов.
Затем везикулы, содержащие правильно сложенные белки, поступают в аппарат Гольджи.
Пирамида, используемая для обозначения троп, также представляет собой набор сложенных камней, но они, как правило, более долговечны.
Хотя в некоторых сообщениях говорится, что Пинто отделился от планера, авиадиспетчер, наблюдавший в бинокль, сказал, что правое крыло сложено.

На данной странице приводится толкование (значение) фразы / выражения «правило сложения», а также синонимы, антонимы и предложения, при наличии их в нашей базе данных. Мы стремимся сделать толковый словарь English-Grammar.Biz, в том числе и толкование фразы / выражения «правило сложения», максимально корректным и информативным. Если у вас есть предложения или замечания по поводу корректности определения «правило сложения», просим написать нам в разделе «Обратная связь».

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

выполнить сложение их модулей;
дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение.

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-185|=185$;

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ: $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

$|-7,15|=7,15$.

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−( \frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Ответ: $–7,4$.

Как вычитать числа с разными знаками

Правило сложения чисел с противоположными знаками:

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

вычислить модули чисел;
выполнить сравнение полученных чисел:
- если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
- если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
из большего модуля вычесть меньший;
перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 3

Сложить числа $4$ и $−8$.

Решение.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

$|4|=4$;

$|-8|=8$.

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Далее от большего модуля отнимем меньший модуль, получим:

$8−4=4$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Ответ: $4+(−8)=−4$.

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

$a−b=a+(−b)$.

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Пример 4

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Решение.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ: $(−28)−(−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками

Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.

Пример 5

Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.

Решение.

Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.

Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Выполним сложение отрицательных чисел:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ: $(−11)−7=−18$.

При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.

Правила сложения и вычитания. — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info) — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Правила сложения и вычитания. — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)

Правила сложения и вычитания.

1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

Пример:

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

2. Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой (ассоциативное свойство сложения).

Пример:

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т.д.

3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

Пример:

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

Пример:

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

примечание: 10 единиц составляют один десяток. Это надо помнить при вычитании, т.к. если количество единиц у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого, то мы можем «занять» один десяток у уменьшаемого.

Пример:

41-12=29 (Для того чтобы и 1 вычесть 2, мы сначала должны «занять» единицу у десятков, получаем 11-2=9; помним, что у уменьшаемого остается на 1 десяток меньше, следовательно, остается 3 десятка и от него отнимается 1 десяток. Ответ 29).

5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Пример:

42+7=49

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Примечание:

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Пример:

69-50=19

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Примечание:

Если в результате описанной выше процедуры вы не получили уменшьшаемое, значит в вашем вычитании была допущена ошибка.

Сложение и вычитание целых чисел

В данном уроке мы изýчим сложение и вычитание целых чисел.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой.

Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа и где положительные.

Рассмотрим следующее простейшее выражение

1 + 3

Значение данного выражения равно 4

1 + 3 = 4

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что нужно двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3

Значение данного выражения равно −2

1 − 3 = −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2.

На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что нужно двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

−2 + 4 = 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

−1 − 3 = −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

−2 + 2 = 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Можно воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками, потому что −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3

Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3 + −2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа, модуль которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1

Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

5 − 3 = 2

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам.

Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

5 + (−3)

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

(+3) − (+1)

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) вычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

(+3) − (+7)

Заменим вычитание сложением:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

(−4) − (+5)

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9

Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

−50 + 40

Решение

−50 + 40 = −10

Задание 2. Найдите значение выражения:

25 + (−5)

Решение

25 + (−5) = 20

Задание 3. Найдите значение выражения:

−20 + 60

Решение

−20 + 60 = 40

Задание 4. Найдите значение выражения:

20 + (−8)

Решение

20 + (−8) = 12

Задание 5. Найдите значение выражения:

30 + (−50)

Решение

30 + (−50) = −20

Задание 6. Найдите значение выражения:

27 + (−19)

Решение

27 + (−19) = 8

Задание 7. Найдите значение выражения:

−17 + (−12) + (−8)

Решение

Задание 8. Найдите значение выражения:

−6 − 4

Решение

−6 − 4 = −6 + (−4) = −10

Задание 9. Найдите значение выражения:

−6 − (−4)

Решение

−6 − (−4) = −6 + 4 = −2

Задание 10. Найдите значение выражения:

−15 − (−15)

Решение

−15 − (−15) = −15 + 15 = 0

Задание 11. Найдите значение выражения:

−11 − (−14)

Решение

−11 − (−14) = −11 + 14 = 3

Задание 12. Найдите значение выражения:

−3 + 2 − (−1)

Решение

Задание 13. Найдите значение выражения:

−5 − 6 − 3

Решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Правила сложения и вычитания. — таблицы Tehtab.ru

Правила сложения и вычитания.

1. От перемены мест слагаемых сумма не изменится (коммутативное свойство сложения)

Пример:

13+25=38, можно записать как: 25+13=38

Пример:

10+13+3+5=31 можно записать как: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 и т. д.

3. Единицы складываются с единицами, десятки с десятками и т.д.

Пример:

34+11=45 (3 десяка плюс еще 1 десяток; 4 единицы плюс 1 единица).

4. Единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков и т.д.

Пример:

53-12=41 (3 единицы минус 2 единицы; 5 десятков минус 1 десяток)

Пример:

5. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое.

Это значит, что сложение можно проверить с помощью вычитания.

Пример:

42+7=49

Для проверки из суммы вычитают одно из слагаемых: 49-7=42 или 49-42=7

Примечание:

Если в результате вычитания вы не получили одно из слагаемых, значит в вашем сложении была допущена ошибка.

6. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Это значит, что вычитание можно проверить сложением.

Пример:

69-50=19

Для проверки к разности прибавим вычитаемое: 19+50=69.

Примечание:

Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел. Решение примеров.

Существуют разные типы чисел — четные числа, нечетные числа, простые числа, составные числа. Также на основе знака числа могут быть двух видов — положительные числа и отрицательные числа. Эти числа могут быть представлены на числовой линией. Среднее число в этой строке равно нулю. С левой стороны от нуля находятся отрицательные числа, а с правой стороны — положительные.

Ноль — это нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. В основном в этой статье мы будем изучать операции сложения и вычитания с отрицательными числами. Существуют определенные правила для знаков при сложении и вычитании:

Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить два числа и поставить знак минус.

$(-2)+(-3)=-5$

Если первое число положительное, а второе отрицательное, смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа:

$(-8)+4=4-8=-4$

$9+(-4)=9-4=5$

Для каждого числа кроме $0$ существует противоположный элемент, при сумме с ним образуется ноль:

$-9+9=0$ $7,1+(-7,1)=0$

При вычитания двух чисел, в которых оба отрицательные, следует знать правило: минус на минус дает плюс. То есть, если стоят рядом два минуса, в сумме получается плюс.

$(-7)-(-6)=(-7)+6=(-1)$

Если первое число положительное, а второе отрицательное, вычитаем по тому же принципу, что и складываем: смотрим, какое число по модулю больше, отнимаем от большего меньшее число и ставим знак большего числа.

$7-9=-2$ так как $9>7$

Также не стоит забывать минус на минус дает плюс:

$7-(-9)=7+9=16$

Задача 1. Вычислите:

$4+(-5)$
$-36+15$
$(-17)+(-45)$
$-9+(-1)$

Решение:

$4+(-5)=4-5=-1$
$-36+15=-21$
$(-17)+(-45)$ $=-17-45=-62$
$-9+(-1)=-9-1=-10$

Задача 2. Вычислите:

$3-(-6)$
$-16-35$
$-27-(-5)$
$-94-(-61)$

Решение:

$3-(-6)=3+6=9$
$-16-35=-51$
$-27-(-5)=-27+5=-22$
$-94-(-61)=-94+61=-33$

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Вычитание целых чисел, правила, примеры, сложение и вычитание целых чисел

Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

Определение 1

Уменьшаемое – целое число, из которого будет производиться вычитание.

Вычитаемое – целое число, которое будем вычитать.

Разность – результат выполненного действия вычитания.

Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа a и b, и при вычитании из первого второго получается число c, действие вычитания запишется следующим образом: a – b = c.

Выражение вида a – b также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

Смысл вычитания целых чисел

В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что c-b = a и c-a = b, если a+b = c, где a, b, c – целые числа.

Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

— пусть мы знаем, что -5+11 = 6, тогда разность 6-11 = -5;

— допустим, известно, что -13 + (-5) = -18, тогда -18 – (-5) = -13, а -18 – (-13) = -5.

Правило вычитания целых чисел

Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

Определение 1

Для того, чтобы определить разность двух чисел, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, т. е. a – b = a+ (-b), где a и b – целые числа; b и –b – противоположные числа.

Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к a+(-b) вычитаемое b и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства (a+(-b))+b = a. На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: (a+(-b))+b = a+((-b)+b) = a+0 = a, она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Пример 1

Необходимо выполнить вычитание из целого числа 15 целого положительного числа 45.

Решение

Согласно правилу, чтобы из заданного числа 15 вычесть целое положительное число 45, нужно к уменьшаемому 15 прибавить число -45, т. е. противоположное заданному 45. Таким образом, искомая разность будет равна сумме целых чисел 15 и -45. Вычислив нужную сумму чисел с противоположными знаками, получим число -30. Т.е. итогом вычитания числа 45 из числа 15 будет число -30. Запишем все решение в одну строку: 15-45 = 15+(-45) = -30.

Ответ: 15-45 = -30.

Пример 2

Необходимо вычесть из целого отрицательного числа -150 целое положительное число 25.

Решение

Согласно правилу, прибавим к уменьшаемому числу -150 число -25 (т.е. противоположное заданному вычитаемому 25). Найдем сумму целых отрицательных чисел: -150+(-25) = -175. Таким образом, искомая разность равна . Все решение запишем так: -150-25 = -150+(-25) = -175.

Ответ: -150-25 = -175.

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т. е. a-0 = a, где a – произвольное целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

a-0 = a+(-0) = a+0 = a.

Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность 61-0 равна 61. Если же из целого отрицательного числа -874 вычесть нуль, то получится -874. Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Пример 3

Необходимо вычесть из целого числа 0 целое отрицательное число -324.

Решение

Согласно правилу вычитания определение разности 0-(-324) необходимо произвести прибавлением к уменьшаемому числу 0 числа, противоположного вычитаемому -324. Тогда: 0-(-324) = 0+324 = 324

Ответ: 0-(-324) = 324

Пример 4

Определить разность -6-(-13).

Решение

Произведем вычитание из целого отрицательного числа -6 целого отрицательного числа -13. Для этого вычислим сумму двух чисел: уменьшаемого -6 и числа 13 (т. е. противоположного заданному вычитаемому -13). Получим: -6-(-13) = -6+13 = 7.

Ответ: -6-(-13) = 7.

Вычитание равных целых чисел

Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е. a-a = 0, где a – любое целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел a-a = a+ (-a) = 0, что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

Например, разность равных целых чисел -54 и -54 равна нулю; совершая действие вычитания из числа 513 числа 513, получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

Пример 5

Было произведено вычитание целого числа -112 из целого числа -300, при этом получена разность -186. Верно ли было произведено вычитание?

Решение

Выполним проверку согласно указанному выше принципу. Прибавим к заданной разности вычитаемое: -186+(-112) = -298. Мы получили число, отличное от заданного уменьшаемого, следовательно, была допущена ошибка при вычислении разности.

Ответ: нет, вычитание было произведено неверно.

Вычитание целых чисел на координатной прямой

В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: a-b = a+(-b), тогда геометрическое толкование вычитания чисел a и b будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел a и –b. Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа b, необходимо:

— сдвинуться из точки с координатой a на b единичных отрезков влево, если b – положительное число;

— сдвинуться из точки с координатой a на |b| (модуль числа b) единичных отрезков вправо, если b – отрицательное число;

— остаться в точке с координатой a, если b = 0.

Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

Пусть необходимо вычесть из целого числа -2 целое положительное число 2. Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на 2 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой -4, т.е. -2-2 = -4.

Еще один пример: вычитаем из целого числа 2 целое отрицательное число -3. Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на |-3| = 3 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой 5. Получаем равенство: 2-(-3) = 5 и иллюстрацию к нему:

Правила сложения и вычитания чисел в пределах 100. Математика, 2 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Порядок действий Сложность: лёгкое	3
2.	Значение выражения. Сложение и вычитание Сложность: среднее	2
3.	Значение выражения. Вычитание и сложение Сложность: среднее	2
4.	Сравнение выражений Сложность: среднее	3
5.	Выражение со скобками (сложение) Сложность: среднее	2
6.	Выражение со скобками (вычитание) Сложность: среднее	2
7.	Выражение со скобками (сложение и вычитание) Сложность: среднее	3

Сложение и вычитание целых чисел с разными знаками

Сложение

При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится их общий знак.

Примеры:

(+3) + (+7) = 10,

(-3) + (-7) = -10.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.

При сложении двух целых чисел с разными знаками нужно взять их абсолютные величины и из большей вычесть меньшую, в результате ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше.

Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:

Примеры:

(-4) + (+11) = 7, так как 11 — 4 = 7;

(-5) + (+2) = -3, так как 5 — 2 = 3.

Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками может получится как положительное, так и отрицательное число.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Примеры:

(-7) + 7 = 0,

(+12) + (-12) = 0.

Вычитание

Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным.

Примеры:

(+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1,

(+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11,

(-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1,

(-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11.

Из данных примеров следует, что, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

При решении выражений, содержащих и сложение, и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.

Пример.

12 — 18 + 41 — 9.

Решение: Заменим вычитание на сложение:

12 + (-18) + 41 + (-9),

сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа:

(12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27).

Теперь осталось только найти сумму двух получившихся результатов:

53 + (-27) = 26, значит 12 — 18 + 41 — 9 = 26.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Положительные целые числа, которые вы уже знаете как натуральные числа, и мы уже рассмотрели сложение и вычитание натуральных чисел, поэтому вместо этого мы сосредоточимся на отрицательных целых числах. Когда дело доходит до сложения и вычитания целых , существует несколько простых правил, и, чтобы немного изменить ситуацию, мы представим их в виде списка. Итак, вот правила сложения и вычитания отрицательных чисел.

1. Минус перед числом меняет знак числа.

Чтобы понять это правило, мы позвоним на помощь парочку старых друзей — числовую прямую и умножение натуральных чисел. Помните, как умножение числа на число 1 дает в результате то же самое число? Ну, поставить минус перед числом — это сокращение для умножения этого числа на -1. Расстояние от исходной точки на числовой прямой остается неизменным, но минус смещает его на противоположную сторону числовой прямой.

Итак, если мы поставим минус перед положительным целым числом, мы получим отрицательную версию того же целого числа. А если поставить минус перед целым отрицательным числом, то в результате мы получим его положительную версию.

Используя математический язык, это означает, что:

$ 2 \ cdot (-1) = — 2 $

$ -2 \ cdot (-1) = 2.

2. Если за оператором стоит отрицательное целое число, оно должно быть заключено в круглые скобки.

Это здесь, чтобы избежать путаницы, потому что знак минус также является оператором вычитания. Если поставить два оператора рядом, непонятно, если:

один из них знак, а не оператор
одна из них опечатка, или
между ними отсутствует число или переменная.

Чтобы упростить задачу, было создано правило, заключающее отрицательные целые числа в квадратные скобки (скобки). Таким образом, все знают, что минус поставлен специально и что это знак.

Например: $ -3 + (-5) = -8 \ Rightarrow — 3-5 = -8 $

Хотя во время сложения и вычитания ошибок можно избежать, используя правило номер один, это правило будет незаменимым во время умножения.

3. Сложение двух отрицательных целых чисел всегда дает в результате отрицательное целое число.

Отрицательное целое число представляет собой расстояние от единственной точки, расположенной слева от исходной точки на числовой прямой, до самой исходной точки.Когда мы складываем два отрицательных целых числа вместе, мы получаем сумму расстояний до них. Но поскольку оба они расположены слева от исходной точки на числовой прямой, мы сохраняем это направление. Как это:

4. Вычитание отрицательного целого числа из другого отрицательного целого числа дает только отрицательное целое число в некоторых случаях.

Как так получилось, спросите вы? Что ж, запомните первое правило — минус перед числом меняет знак числа. Это также относится к отрицательным целым числам. Если поставить минус перед целым отрицательным числом, оно превратится в целое положительное. И когда мы добавляем положительное целое число к любому числу, мы перемещаемся вправо по числовой строке.

Итак, что произойдет, если вычитаемое (второе число) больше, чем уменьшаемое (первое число)? Когда оно превратится в положительное целое число, мы переместимся за точку отсчета и в результате получим положительное целое число.

5. Вычитание положительного целого числа из отрицательного целого числа в основном то же самое, что сложение двух отрицательных целых чисел, и в результате всегда будет получаться отрицательное целое число.

И снова правило номер один — минус перед целым положительным числом меняет знак. Когда это происходит, мы фактически складываем два отрицательных целых числа вместе, и мы рассмотрели это в правиле номер два.

6. Сложение отрицательного целого числа с положительным целым числом — это, по сути, тот же процесс, что и вычитание двух натуральных чисел.

Это простой. Такое выражение, как 5 + (-3), можно легко записать как 5-3, и результат будет тем же:

$ 5 + (-3) = 5 — 3 = 2 $

Единственное, на что мы должны обратить внимание, — это если отрицательное число больше положительного.В этом случае результатом будет отрицательное число.

7. Коммутативное свойство сложения и ассоциативное свойство сложения, которые действительны для натуральных чисел, действительны и для целых чисел.

Коммутативное свойство сложения и ассоциативное свойство сложения одинаковы как для натуральных, так и для целых чисел. Просто будьте осторожны, перемещая знаки, и все будет в порядке.

Понимание этих правил помогает нам решать практические задачи.Теперь мы знаем, как решить задачу из предыдущего урока. Повторим задачу:

Температура воздуха сегодня в полдень была 39,2 ° F, а к вечеру температура воздуха упала на 42,8 ° F. Какая была температура воздуха вечером?

Решение:

39,2–42,8 долл. США = -3,6 долл. США

долл. США

Теперь мы знаем, что температура вечером была -3,6 ° F.

Если вы хотите немного попрактиковаться, мы подготовили для вас несколько рабочих листов. Вы можете скачать их по ссылкам ниже.

Рабочие листы сложения и вычитания целых чисел

Два целых числа (96,0 КиБ, 1797 совпадений)

Три целых числа (261,5 КиБ, 1286 совпадений)

Четыре целых числа (325,1 КиБ, 1253 совпадений)

чисел — сложение и вычитание целых чисел

ср может использовать числовую линию в качестве модели, чтобы помочь нам визуализировать сложение и вычитание целых чисел со знаком. Просто представьте, что сложение и вычитание — это числовая строка.Есть также несколько правил и свойств, которые определяют, как для выполнения этих основных операций.

Чтобы добавить целые числа с тем же знаком, оставьте тот же знак и добавьте абсолютное значение каждого номер.

Чтобы добавить целые числа с разными знаками держите знак числа с наибольшим абсолютным значение и вычтите наименьшее абсолютное значение из наибольшего.

Вычесть целое число, добавив его противоположность.

Осторожно! В отрицательное отрицательное число — противоположное положительное число. То есть по-настоящему числа,

— (- а) = +

Вот как сложить два положительных целых числа:

4 + 7 =?

Если начать при положительном числе четыре на числовой прямой и перемещении на семь единиц вправо, вы в итоге окажется положительным одиннадцать. Кроме того, эти числа имеют одинаковый знак, поэтому вы можно просто оставить знак и сложить их абсолютные значения, чтобы получить тот же ответ, положительный одиннадцать.

Вот как сложите два отрицательных целых числа:

-4 + (-8) =?

Если начать при отрицательном значении четырех на числовой прямой и перемещении восьми единиц влево, вы в конечном итоге на двенадцать. Кроме того, эти числа имеют одинаковый знак, поэтому вы можно просто оставить отрицательный знак и сложить их абсолютные значения, чтобы получить тот же ответ, двенадцать отрицательных.

Вот как добавить положительное целое число к отрицательному:

-3 + 6 =?

Если начать при отрицательных трех на прямой числовой строке и переместите шесть единиц вправо, в итоге вы получите три положительных числа.Кроме того, эти числа имеют разные знаки,

так что держите знак из целого числа, имеющего наибольшее абсолютное значение, и вычесть наименьшее абсолютное значение из наибольшего.

Вычесть три от шести и сохраните положительный знак, снова дав положительный тройку.

Вот как добавить отрицательное целое число к положительному целому:

5 + (-8) =?

Если начать при положительном пятерке на прямой числовой строке и переместите восемь единиц влево, в итоге вы получите минус три. Кроме того, эти целые числа имеют разные знаки, поэтому сохраните знак у целого числа, имеющего наибольшее абсолютное значение, и вычтите наименьшее абсолютное значение из наибольшего или вычтите пять из восьми и снова оставьте отрицательный знак давая отрицательные три.

Вычесть число, добавьте его противоположность:

5-8 =?

Потому что они дают тот же результат, вы можете видеть, что вычитание восьми из пяти эквивалентно чтобы добавить отрицательные восемь к положительным пяти.Ответ — 3.

Вычесть число, добавьте его противоположность:

-3 — (-6) =?

Потому что они дают тот же результат, вы можете увидеть, что вычитая отрицательные шесть из отрицательных три эквивалентно добавлению положительных шести к отрицательным трем. Ответ 3.

назад наверх

Предалгебра: правила математики: вычитание

Вы помните все те правила, о которых мы рассказывали для дополнения? Мы рассказали вам о коммутативном законе , ассоциативном законе и дополнительных тождествах. Когда вы смотрите на картину в целом, ни один из этих законов не работает на вычитание. Вы не можете переупорядочить, перемешать или перегруппировать задачи вычитания так же, как сложение. С вычитанием нужно быть очень осторожным.

20-8-6 = 6
8-6-20 = -18 (вы не можете переставить и получить тот же ответ)

(20-8) — 6 = 6
20 — (8-6) = 18 (вы не можете перегруппироваться и получить тот же ответ)

Некоторые правила все еще работают на вычитание. Порядок операций, который вы используете, по-прежнему работает.Найдите скобок и сначала работайте внутри этих блоков. Посмотрите, как эти проблемы выходят с очень разными ответами, если вы игнорируете круглые скобки.

(20-8) — (6-4) = 12-2 = 10
20-8-6-4 = 2

Некоторые из ваших домашних задач включают сложение и вычитание. Можете ли вы использовать какой-либо из законов сложения, чтобы решить эти проблемы или упростить задачу? Да. Давайте посмотрим на пример …

5 + 6-8-2 + 9-1 =?
Итак, как мы можем это решить? Можем ли мы перемещать вещи? Да, но только значения с символами сложения.
5 + 6-8-2 + 9-1 = 9
5 + 6 + 9-8-2-1 = 9
Тот же ответ. Мы переместили только добавляемые значения. Мы оставили значения для вычитания в том же порядке. На вычитание законы не распространяются.

Мы хотим прямо сейчас представить большую идею в математике. Мы объяснили, что вы не можете использовать какие-либо тождества сложения или законы для задач вычитания. Найдите минутку и подумайте о проблеме вычитания и о том, что это такое на самом деле. Для простых целых чисел, когда вы вычитаете, вы фактически добавляете отрицательные числа.Итак, 3-2 — это то же самое, что 3 + (-2). Этот факт означает, что каждая задача на вычитание на самом деле является замаскированной проблемой сложения.

Пример:
3 — 2 = 1
3 + (-2) = 1

18-13 = 5
18 + (-13) = 5

20-6-5-2 = 7
20 + (-6) + (-5) + (-2) = 7

Замечательная идея состоит в том, что после того, как вы создали задачу сложения, вы можете перемешать и сгруппировать вещи, как вы это делали раньше. Поскольку все наши операции являются сложением, все законы снова работают.В качестве примечания для вас: мы используем круглые скобки, чтобы упростить просмотр отрицательных чисел, когда с ними возникла проблема.

20 + (-6) + (-5) + (-2) = 7
(-2) + (-6) + 20 + (-5) = 7
(-8) + 15 = 7
15 + ( -8) = 7
15-8 = 7 (мы вернули отрицательное значение в задачу вычитания)

Это не облегчит решение всех ваших проблем, но об этом важно помнить. Законы, тождества и аксиомы в математике можно использовать как маленькие уловки, когда вы начинаете решать более сложные математические задачи.Никогда не забывайте, что математические правила — ваши друзья. Они всегда помогут указать вам путь, который приведет к правильному ответу.

Четыре математических правила

Четыре правила математики

Понятия сложения, вычитания, умножения и деления — это сложные абстрактные идеи, которые взаимосвязаны.

1. Правила добавления:

положительный + положительный = (добавить) положительный

Пример: 2 + 1 = 3

отрицательный + отрицательный = (добавить) отрицательный

Пример: −3+ (−5) = −8

отрицательный + положительный = (вычесть)

Пример: 2 + (−10) = −8

Знак числа с наибольшим абсолютным значением

Пример: −14 + 16 = 2

Примечание: — (- 7) означает противоположное (−7) = 7

2.

Правила вычитания:

Замените все вычитание на сложение и возьмите знак, противоположный следующему числу, затем следуйте правилам сложения.

Пример: −7 — (9)

означает −7 + (- 9) = -16

Пример: −3 — (- 10)

−3 + (10) = 7

Пример:

−8 + (−9) — (- 1) −2 (изменить все знаки вычитания)

−8 + (−9) + (1) + (−2) (сложение и вычитание слева направо)

−17 + (1) + (−2)

−16 + (- 2) = −18

Сложение и вычитание с отрицательными числами:

При сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел полезно помнить следующие правила.

Если операция и знак совпадают, они работают как добавление (положительного) числа, так что

— ^— работает как & plus; ^{и плюс;}

Если операция и знак различаются, они работают как вычитание (положительного) числа, так что

и плюс; ^— работает как — ^{& plus;}

3 и 4.

Правила умножения / деления:

Правила умножения и деления одинаковы.

положительный (& cross; или ÷) положительный = положительный

Пример: 10 ÷ 2 = 5

отрицательное (& cross; или ÷) отрицательное = положительное

Пример: −4 & крест; (- 3) = 12

отрицательное (& cross; или ÷) положительное = отрицательное

Пример: 18 ÷ (−2) −9

Умножение и деление на отрицательные числа:

При умножении пар положительных и отрицательных чисел полезно помнить следующие правила: Если знаки у чисел совпадают, ответ — положительное число.

(& плюс;) & крест; (& плюс;), ответ (& плюс;)

(-) и крестик; (-), ответ (& плюс;)

(& plus;) ÷ (& plus;), ответ (& plus;)

(-) ÷ (-), ответ (& плюс;)

Если знаки у чисел разные, ответ — отрицательное число.

(& плюс;) & крест; (-), ответ (-)

(-) и крестик; (& плюс;), ответ (-)

(& plus;) ÷ (-), ответ (-)

(-) ÷ (& plus;), ответ (-)

Сложение и вычитание целых чисел | Правила | Примеры

Вы уже знаете о сложении и вычитании целых чисел. Вы знаете, что целые числа являются частью целых чисел? Целые числа включают целые числа и их отрицательные числа. Каждое число в числовой строке, не имеющее дробной части, является целым числом. Но можем ли мы, как и целые числа, складывать или вычитать целые числа? Например, если температура в вашем городе была 2 ^º C, а она упала на 7 ^º C. Какая сейчас температура в вашем городе?

Сложение и вычитание целых чисел — это две операции, которые мы выполняем с целыми числами для увеличения или уменьшения их значений.Давайте продолжим и узнаем больше об этих двух основных операциях с целыми числами.

Что означает сложение и вычитание целых чисел?

Целые числа — это натуральные числа, отрицательные значения этих чисел или ноль. Целое число — это целостная сущность. Целые числа — это числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, числами без дробной части (без десятичных знаков). Как и целые числа, мы можем складывать или вычитать целые числа.

Сложение и вычитание целых чисел означает выполнение операций сложения и вычитания двух или более целых чисел путем помещения между ними операторов сложения и вычитания.Прежде чем углубляться в концепцию, очень важно узнать, что такое абсолютное значение целого числа. В числовой строке расстояние числа от 0 называется абсолютным значением целого числа. А расстояние не указывает направление, поскольку это скалярная величина. Это всегда положительно.

Добавление обычно означает увеличение значения. Но в случае целых чисел операция сложения может привести к увеличению или уменьшению значения данного числа. Если мы добавим отрицательное целое число, значение данного числа уменьшится, а если мы добавим положительное целое число, значение увеличится.Рассмотрим следующие примеры.

У Салли 3 шарика. Еще 4 она получает от брата. Итак, у нее сейчас (3 + 4 = 7) шариков.

Температура увеличивается с -4 на 5 ^º по Фаренгейту. Таким образом, повышение температуры составляет (-4 + 5 = 1).

В приведенных выше примерах мы использовали концепцию сложения целых чисел. Показывая сложение целых чисел в числовой строке, мы должны двигаться вправо или в положительную сторону, когда мы добавляем положительное целое число к данному числу.С другой стороны, когда мы добавляем отрицательное число, мы перемещаемся к левой стороне числовой строки, поскольку мы вынимаем какое-то значение из данного числа, поэтому результирующее число будет меньше исходного числа.

Сложение и вычитание целых чисел лучше всего можно продемонстрировать на числовой прямой. Но работать с числовой прямой, как только возникает задача сложения, занимает очень много времени. Итак, давайте изучим все правила сложения целых чисел.

Правила сложения целых чисел

Когда мы узнаем о сложении целых чисел, три случая возникают как правило сложения целых чисел, а именно:

Сложение двух положительных чисел
Сложение положительного числа и отрицательного числа
Сложение двух отрицательных чисел

Давайте изучим эти правила одно за другим.

	Правило	Пояснение	Примеры
Сложение двух положительных чисел	(+ а) + (+ б) = (а + б)	При сложении двух положительных чисел мы просто складываем оба числа и получаем ответ, который является положительным значением, как при сложении целых чисел.	3 + 4 = 7 2 + 11 = 13
Сложение положительного числа и отрицательного числа	(а + (- б) = (а-б)	При сложении положительного и отрицательного числа берем разность абсолютных значений обоих чисел и к ответу добавляем знак большего числа.	4 + (- 5) = (- 1) (-5) + 7 = 2
Сложение двух отрицательных чисел	(-a) + (- b) = — (a + b)	Складывая два отрицательных числа, мы берем сумму обоих чисел и добавляем отрицательный знак к ответу.	(-2) + (- 4) = (- 6) (-5) + (- 8) = (- 13)

На изображении ниже соблюдайте все три правила сложения для целых чисел в числовой строке.

Вычитание обычно означает уменьшение значения.Но в случае целых чисел операция вычитания может привести к увеличению или уменьшению значения данного числа. Если мы вычтем отрицательное целое число из числа, значение данного числа увеличится, а если мы вычтем положительное целое число, значение уменьшится. Рассмотрим несколько примеров, приведенных ниже, и обратите внимание на операцию, которую мы используем с целыми числами.

Рабочий спускается по лестнице на 2 ступеньки от 5 ступени, над которой он работает: (5 — 2 = 3)

Температура падает на 4 ^º с -1 ^º по Фаренгейту: (-1-4 = -5)

В приведенных выше примерах мы используем концепцию вычитания целых чисел.Показывая вычитание целых чисел в числовой строке, мы должны двигаться к левой или отрицательной стороне, когда мы вычитаем положительное число из данного числа. С другой стороны, мы перемещаемся в правую или положительную сторону, когда вычитаем отрицательное число из данного числа.

Правила вычитания целых чисел

Вы должны знать, что сложение и вычитание — обратные операции. Итак, любую задачу на вычитание можно записать как задачу сложения.Давайте узнаем, как это сделать, на нескольких примерах.

2-4 = 2 + (- 4)

6-3 = 6 + (- 3)

-4-3 = -4 + (- 3)

При написании любой задачи на вычитание мы должны взять знак вычитания внутри скобок и добавить оператор сложения между обоими членами. Это один из способов решения вопросов на вычитание.

Давайте изучим правила вычитания, чтобы упростить вычисления при работе с целыми числами.

	Правило	Пояснение	Примеры
Вычитание двух положительных чисел	(+ a) — (+ b) = a-b	При вычитании двух положительных чисел мы просто берем разность абсолютных значений обоих чисел и прикрепляем к ответу знак большего числа.	3-4 = -1 11-2 = 9
Вычитание положительного числа и отрицательного числа	а — (- б) = (а + б) (-a) -b = — (a + b)	При вычитании положительного и отрицательного числа мы берем сумму абсолютных значений обоих чисел и присоединяем к ответу знак уменьшаемого числа.	4 — (- 5) = 9 (-5) -7 = -12
Вычитание двух отрицательных чисел	(-a) — (- b) = ± (a-b)	При вычитании двух отрицательных чисел мы просто должны помнить одно правило: всякий раз, когда стоит отрицательный знак за пределами скобки, знак члена внутри скобки будет изменен.Затем мы должны взять разность абсолютных значений обоих чисел и приложить исправленный знак большего числа к ответу.	(-2) — (- 4) = 2 (-8) — (- 5) = (- 3)

Что следует помнить:

Если у числа нет знака, мы рассматриваем его как положительное число. Например, 2 можно переписать как +2.
Каждый факт вычитания можно переписать как факт сложения. Например, 9-10 можно переписать как 9 + (- 10).
Всегда записывайте отрицательные числа в скобках в выражении.
Если есть выражение, в котором есть и операции сложения, и вычитания, мы можем сначала решить любой оператор. Например, 9-10 + 4. В этом выражении мы можем либо сначала решить (9-10), либо сначала (-10 + 4). Это не повлияет на наш ответ.

Какое правило сложения положительного и отрицательного целого числа?

Правило сложения положительного и отрицательного целого числа гласит, что необходимо вычислить разницу между двумя целыми числами, чтобы найти их сложение.Знак результата будет таким же, как у большего из двух целых чисел.

Что такое целое число в математике?

Целое число — это число без десятичной или дробной части из набора отрицательных и положительных чисел, включая ноль. Примеры целых чисел: -5, 0, 1, 5, 8, 97, 34 и т. Д.

Каковы правила вычитания целых чисел?

Каждый факт вычитания можно переписать как факт сложения. Итак, мы можем применять правила сложения и к задачам на вычитание.

Какое правило сложения и вычитания отрицательных чисел?

К прибавляем два отрицательных числа, берем сумму обоих чисел и добавляем отрицательный знак к ответу.
Пока вычитает двух отрицательных чисел, мы просто должны помнить одно правило, что всякий раз, когда есть отрицательный знак за пределами скобки, знак члена внутри скобки будет изменен. Затем мы должны взять разность абсолютных значений обоих чисел и приложить исправленный знак большего числа к ответу.

Как складывать или вычитать целые числа?

Сложение и вычитание целых чисел можно производить с помощью числовой строки и при соблюдении определенных правил сложения и вычитания.

Каковы свойства целых чисел?

С целыми числами можно выполнять различные арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Основные свойства целых чисел:

Свойство закрытия
Ассоциативное свойство
Коммутативная собственность
Распределительная собственность
Аддитивное обратное свойство
Мультипликативное обратное свойство
Собственность идентичности

Каковы применения целых чисел?

Положительные и отрицательные числа применяются в реальном мире по-разному. Обычно они используются для представления двух противоречащих друг другу ситуаций.

Целые числа часто применяются в реальной жизни для измерения температуры. Отрицательные и положительные числа и ноль на шкале обозначают разные показания температуры.
Банковские кредитные и дебетовые отчеты также используют целые числа для представления отрицательных или положительных значений суммы.

Как учить целые числа

Вы здесь: На главную → Статьи → Целые числа

В этой статье объясняются передовые методы обучения целым числам и их операциям. Узнайте, как объяснить учащимся, почему работают различные правила. В конце вы найдете две печатные информационные бюллетени для загрузки, в которых резюмируются правила сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел.

Дополнение

Номер строки. Сложение целых чисел представлено как перемещение такого количества единиц вправо или влево. Первое число в выражении — ваша «отправная точка». Если вы добавите положительное целое число, вы переместите столько единиц вправо.Если вы добавите отрицательное целое число, вы переместите столько единиц влево.
Например, 5 + (−6) означает, что вы начинаете с 5 и перемещаетесь на 6 единиц влево. −9 + 5 означает, что вы начинаете с −9 и перемещаетесь на 5 единиц вправо.
Эта идея обычно относительно проста для понимания учащимися.
Счетчики. Они представлены в виде маленьких кружков с нарисованными внутри них знаками + или — или чем-то подобным. Например:
```
 + + + + +
- - - 
```
Это составляет 5 + (−3).
Каждая пара плюс-минус отменяется, поэтому ответ положительный 2.
```
 - - - - - - - -
+ + +
 
```
Это представляет (-8) + 3.
Каждая пара плюс-минус отменяется, поэтому ответ равен −5.

Вычитание

У вас есть несколько вариантов, как представить вычитание целых чисел. Лично при вычитании положительного целого числа я думаю о скачках числовой строки, а при вычитании отрицательного целого числа («двойное отрицательное») я заменяю их на сложения.

Номерная строка. Здесь 2–5 означают, что вы начинаете с 2 и перемещаетесь на 5 единиц влево, заканчивая −3. Это идентично интерпретации сложения 2 + (−5) в числовой строке.
Аналогично, −4 — 3 будет означать, что вы начинаете с −4 и перемещаетесь на 3 единицы влево, заканчивая −7. Это идентично интерпретации сложения −4 + (−3) в числовой строке.
Вычесть отрицательного целого числа с использованием перемещений числовой строки немного сложнее.Такая задача, как −4 — (−8) будет означать, что вы начинаете с −4, вы готовы переместиться на 8 единиц влево («знак минус»), но второй знак минус меняет ваше направление на противоположное, и вы идете на 8 единиц. единиц вправо вместо этого, заканчиваясь на 4.
Также посмотрите эти анимации, которые иллюстрируют сложение и вычитание целых чисел в числовой строке.
Шаблоны могут использоваться для обоснования общих правил вычитания целых чисел. Во-первых, подумайте о вычитании положительного целого числа. Сделайте небольшой образец, который должен решить учащийся, и понаблюдайте, что происходит с ответами:
```
 3 - 1 =
3 - 2 =
3 - 3 =
3-4 =
3-5 =
3–6 = 
```
Вот еще один похожий узор. Попросите учащихся понаблюдать за ответами, а затем продолжайте рисунок:
```
 (-4) + 2 =
(−4) + 1 =
(−4) + 0 =
(−4) - 1 =
(−4) - 2 =
(−4) - 3 =
пр.
```
Еще одна отличная идея — использовать изменение температуры на . : 5–9 означает, что температура составляет 5 ° и падает на 9 градусов.
(−4) — 8 означает, что температура сейчас −4 ° и упала на 8 градусов. Это, конечно, концептуально то же самое, что и переходы на числовую линию.
Последний шаблон, который я здесь показываю, фактически оправдывает правило вычитания отрицательного целого числа, такого как 7 — (−2). Наблюдайте за образцом и смотрите, что происходит:
```
 3 - 3 =
3 - 2 =
3 - 1 =
3 - 0 =
3 - (-1) =
3 - (−2) =
3 - (−3) =
3 - (−4) = 
```
Студенты обнаруживают, как два негатива превращаются в позитив!

Счетчики сложнее использовать с вычитанием, но мы можем это сделать.

Основная идея состоит в том, чтобы интерпретировать вычитание как «удаление». Например, с (−4) — (−2) вы начинаете с 4 отрицательными счетчиками и убираете два отрицательных счетчика. У вас осталось 2 отрицательных счетчика.

В других ситуациях у вас может изначально не быть жетонов, которые вы должны забрать. Например, в 5 — (−3) вы начинаете с 5 положительных счетчиков, но вы должны убрать 3 отрицательных счетчиков , если их у вас нет. Как ты это делаешь? Уловка состоит в том, чтобы сначала добавить к ситуации достаточно отрицательно-положительных пар, что равносильно добавлению нуля, так что это разрешено.Тогда вы сможете забрать то, что вам нужно.

 + + + + +

5 — (−3)

Мы не можем убрать три отрицательных счетчика, поэтому добавим три отрицательно-положительные пары (что равняется добавлению нуля).

→

 + + + + + + + +
             - - -

Теперь мы можем убрать три негатива, что оставляет +8.

Разница. Напомните учащимся, что 5–2 обозначает разность 5 и 2, которая равна 3. Вы можете представить разницу как расстояние между двумя числами на числовой прямой. Однако сначала нужно написать большее число! Если бы мы вместо этого написали 2–5, это не сработало бы, потому что расстояние не может быть отрицательным.
Используя эту идею, (−2) — (−9) будет означать расстояние между −2 и −9, что равно 7. Однако (−9) — (−2) будет −7, потому что числа не будут t быть в правильном порядке, где большее число будет первым.Точно так же 4 — (−2) будет 6, поскольку это расстояние между 4 и −2. В −6 — (−3) числа расположены в неправильном порядке для вычисления расстояния, поэтому мы принимаем их расстояние как отрицательное, и ответ — −3.

На видео ниже показано, как использовать ТРИ из этих различных моделей для вычитания целых чисел: 1) модель числовой линии, 2) концепция разности и 3) счетчики.

Умножение

Самый быстрый способ умножить отрицательные числа — это запомнить эти маленькие правила:

отрицательный × отрицательный положительный
положительный × положительный положительный

отрицательный × положительный отрицательный
положительный × отрицательный — отрицательный.

Другими словами, если два целых числа имеют разный знак, то произведение отрицательное, в противном случае — положительное.

Но давайте также объясним, ПОЧЕМУ это так работает.

Положительное × отрицательное целое число , например 3 × (-8).
Это можно записать как повторное сложение:
(−8) + (−8) + (−8) = −24
См. Также эту умную анимацию о шаблоне умножения 2 × (число) и о том, как он превращается в отрицательные числа.
Отрицательное умножение на положительное , например (-5) × 4.
Благодаря тому, что умножение коммутативно, вы можете превратить это вокруг, а затем по (1) выше, ответ отрицательный:
(−5) × 4 = 4 × (−5)
= (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = −20.
Отрицательное умноженное на отрицательное . Сделайте выкройку:
(−3) × 3 =
(−3) × 2 =
(−3) × 1 =
(−3) × 0 =
(−3) × (−1) =
(−3) × (−2) =
(−3) × (−3) =
(−3) × (−4) =
Посмотрите, как продукты постоянно увеличиваются на 3 на каждом этапе. Следовательно, мы получаем (например), что (−3) × (−4) = 12. Итак, отрицательное значение, умноженное на отрицательное, является положительным!
Вы также можете увидеть это на этой анимации.
Еще одно обоснование этого правила можно увидеть в распределительном свойстве.
Распределительное свойство арифметики утверждает, что a ( b + c ) = ab + ac .
Если мы выберем a = (−1), b = 3 и c = (−3), свойство распределения дает нам:
(−1) (3 + (−3)) = (−1) (3) + (−1) (- 3)
Теперь, поскольку 3 + (−3) равно нулю, вся левая часть равна нулю.
Значит, правая часть, или (−1) (3) + (−1) (- 3), тоже должна быть равна нулю.
(−1) (3) равно −3. Отсюда следует, что (−1) (- 3) должно быть напротив из −3, или 3.
Эта последняя часть может быть слишком сложной для шестиклассников. Но им не нужно все это понимать; можно сказать, что иногда мы нужно просто следовать правилам и понимать «почему» полностью позже. Возможно, они частично понимают это

Деление целых чисел

Следуют правила деления на отрицательные числа, потому что деление — это операция, противоположная умножению.

Например, что такое (−21) ÷ (−7)? Назовем ответ на это А.

Итак (−21) ÷ (−7) = A. Отсюда следует, что A × (−7) = (−21)

Зная правила умножения, единственное подходящее число — 3. Итак (−21) ÷ (−7) = 3.

Вы можете сделать аналогичные случаи для (−21) ÷ 7 и 21 ÷ (−7).

На самом деле математики использовали бы не конкретные числа, такие как 21 и 7, а переменные. Я использовал конкретные числа, чтобы аргументировать легче понять, к тому же так вы, вероятно, объяснили бы это в 6-м или 7-м классе.

Конечно, студенты будут запоминать небольшие правила деления целых чисел и использовать их в вычислениях, но изучение того, откуда берутся эти правила, очень поучительно и, как мне кажется, необходимо.

Информационные бюллетени по целым числам

Вы можете загрузить и распечатать эти информационные бюллетени по целочисленным операциям для своих студентов.

Все, что мне нужно, — это не изменять их.

Эти информационные листки взяты из собрания заданий 7-го класса по математике «Мамонт».

Правила для положительных и отрицательных чисел

Положительные и отрицательные числа — это два широких класса чисел, которые используются в математике, а также в повседневных транзакциях, таких как управление деньгами или измерение веса.

Положительное число имеет значение больше нуля. Его знак положительный, но обычно он пишется без знака плюса перед ним (например, 4, 51, а не +4, +51).
Отрицательное число имеет значение меньше нуля.Его знак считается отрицательным и пишется со знаком минус перед ним (например, -2, -23).
Сумма положительного числа и равного ему отрицательного числа равна нулю.
Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления положительных и отрицательных чисел. Как правило, легче выполнять операции с отрицательными числами, если они заключены в квадратные скобки, чтобы разделять их. Числовые линии также упрощают понимание положительных чисел и чисел.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Когда вы складываете или вычитаете положительные и отрицательные числа, знак ответа зависит от того, похожи ли знаки или какое число имеет большее значение.

Сложить положительные и отрицательные числа просто, если оба числа имеют одинаковый знак. Просто найдите сумму чисел и держите знак. Например:

3 + 2 = 5
(-4) + (-2) = -6

Найдите сумму положительного и отрицательного числа, вычтя число с меньшим значением из числа с большее значение.Знак — это знак большего числа.

(-7) + 2 = -5
4 + (-8) = 4-8 = -4
(-3) + 8 = 5
10 + (-2) = 10-2 = 8
(-5) + 4 = -1

Правила вычитания аналогичны правилам сложения. Для двух положительных чисел, если первое число больше второго, результатом будет другое положительное число.

Если вы вычтите большое положительное число из меньшего положительного числа, вы получите отрицательное число.

Легкий способ сделать это — вычесть меньшее число из большего числа и изменить знак ответа на минус.

Когда вы вычитаете положительное число из отрицательного, это то же самое, что прибавлять отрицательное число. Другими словами, это делает отрицательное число более отрицательным.

(-4) — 3 = (-4) + (-3) = -7
(-10) — 12 = (-10) + (-12) = -24

Вычитание отрицательного числа из положительного числа отменяет отрицательные знаки и становится простым сложением.Это делает положительное число более положительным.

4 — (-3) = 4 + 3 = 7
5 — (-2) = 5 + 2 = 7

Когда вы вычитаете отрицательное число из другого отрицательного числа, отрицательные знаки снова отменяют каждое другое, чтобы стать знаком плюс. Ответ имеет знак большего числа.

(-2) — (-7) = (-2) + 7 = 5
(-5) — (-3) = (-5) + 3 = -2

Умножение и деление положительного числа и отрицательные числа

Если вы умножите или разделите одинаковые знаки, вы получите положительное число. Умножение или деление положительных и отрицательных чисел дает отрицательное число.

Правила умножения и деления просты:

Если оба числа положительные, результат будет положительным.
Если оба числа отрицательны, результат положительный. (По сути, два отрицательных значения компенсируют друг друга).
Если одно число положительное, а другое отрицательное, результат будет отрицательным.
Если вы умножаете или делите несколько чисел знаками, сложите количество положительных и отрицательных чисел.Знак избытка — знак ответа.
Умножение любого числа (положительного или отрицательного) на ноль дает ответ 0.
Ноль, разделенный на любые числа, равен 0.
Любое число, деленное на ноль, равно бесконечности.

Вот несколько примеров. В этих примерах используются целые числа (целые числа), но те же правила применяются к десятичным и дробным числам.

4 x 5 = 20
(-2) x (-3) = 6
(-6) x 3 = -18
7 x (-2) = -14
2 x (-3 ) x 4 = -24
(-2) x 2 x (-3) = 12
12/2 = 6
(-10) / 5 = -2
14 / (-7) = -2
(-6) / (-2) = 3

Правила сложения перемещений и скоростей при прямолинейном движении, абсолютная скорость при движении катера по реке

п.1. Правило сложения перемещений при прямолинейном движении

Рассмотрим движение катера по реке.
Можно говорить о движении катера как относительно реки, так и относительно берега.
При этом сама река также движется относительно берега.

Как было показано в §5 данного справочника, для описания движения необходимо указать тело отсчета и ввести связанную с ним систему отсчета.
Введем две системы отсчета.

Берег неподвижен. Назовем систему отсчета, связанную с берегом, неподвижной системой отсчета (НСО). Перемещение тела в НСО назовем абсолютным перемещением, $\overrightarrow{r_a}.$
Река подвижна. Назовем систему отсчета, связанную с рекой, подвижной системой отсчета (ПСО). Перемещение тела в ПСО назовем относительным перемещением, $\overrightarrow{r_o}.$
Перемещение реки относительно берега – это перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Перемещение ПСО относительно НСО назовем переносным перемещением, $\overrightarrow{r_п}.$

Правило сложения перемещений
Абсолютное перемещение равно векторной сумме относительного и переносного перемещений: $$ \overrightarrow{r_a}=\overrightarrow{r_o}+ \overrightarrow{r_п} $$

Чтобы найти сумму двух векторов, нужно от конца первого вектора отложить второй вектор (см. §6 данного справочника).

При прямолинейном движении все перемещения направлены вдоль одной прямой. В этом случае сумму векторов найти проще.

Пример: правило сложения перемещений при движении катера по реке
Пусть катер плывет по течению реки.
В этом случае векторы $\overrightarrow{r_o}$ и $\overrightarrow{r_п}$ направлены в одну сторону, и модуль абсолютного перемещения равен сумме модулей векторов-слагаемых:

$$ |\overrightarrow{r_a}|=|\overrightarrow{r_o}|+ |\overrightarrow{r_п}| $$

Теперь пусть катер плывет против течения.
В этом случае векторы $\overrightarrow{r_o}$ и $\overrightarrow{r_п}$ направлены в противоположные стороны, и модуль абсолютного перемещения равен разности модуля большего и модуля меньшего вектора:

$$ |\overrightarrow{r_a}|=|\overrightarrow{r_o}|- |\overrightarrow{r_п}| $$

п.

2. Правило сложения скоростей при прямолинейном движении

Напомним, что:

Скорость – векторная величина, равная отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение было совершено: $$ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{r}}{t} $$

Тогда из закона сложения перемещений получаем: $$ \overrightarrow{r_a}=\overrightarrow{r_o} +\overrightarrow{r_п} \Rightarrow \frac{\overrightarrow{r_a}}{t}=\frac{\overrightarrow{r_o}}{t} +\frac{\overrightarrow{r_п}}{t}\Rightarrow \overrightarrow{v_a}=\overrightarrow{v_o} +\overrightarrow{v_п} $$

Правило сложения скоростей
Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: $$ \overrightarrow{v_a}=\overrightarrow{v_o} +\overrightarrow{v_п} $$

Если при описании движения выбрать направление координатной оси ОХ, то можно ввести проекции скоростей $v_x$ (см. §8 данного справочника) и получить еще одно очень полезное при решении задач правило сложения:

Правило сложения проекций скоростей при прямолинейном движении
Проекция абсолютной скорости на координатную ось ОХ равна сумме проекций относительной и переносной скоростей: $$ v_{ax}=v_{ox}+v_{пx} $$

п.

3. Абсолютная скорость при движении катера по реке

Пусть собственная скорость катера (скорость относительно реки) равна $v$, скорость течения (переносная скорость) равна $u$.
Направим ось ОХ в направлении скорости катера, тогда её проекция будет положительной: $v_{ox}=v$. Если катер плывет по течению, скорость течения также направлена по ОХ и её проекция положительна: $v_{пx}=u$. Проекция абсолютной скорости равна сумме: $$ v_{ax}=v_{ox}+v_{пx}=v+u $$

Если катер плывет против течения, при сохранении направления оси OX скорость течения направлена противоположно и её проекция отрицательна: $v_{пx}=-u$. Проекция абсолютной скорости равна разности $$ v_{ax}=v_{ox}+v_{пx}=v-u $$ Если $v\gt u$, проекция абсолютной скорости положительна, $v_{ax}\gt 0$, катер поднимается вверх по реке.
При недостаточной скорости катера $v\lt u$, проекция абсолютной скорости отрицательна, $v_{ax}\lt 0$. Катер не сможет подниматься вверх по реке, его будет сносить вниз.

Внимание!
При описании прямолинейного движения выбор направления оси ОХ, определение знаков проекций скоростей и перемещений важны для правильного хода решения задачи и объяснения полученных результатов.
Всегда помните: скорость и перемещение – это вектора, у которых есть не только величина, но и направление.

п.4. Задачи

Задача 1. По заданным векторам относительной и переносной скоростей найдите вектор абсолютной скорости. Какой путь пройдет тело в подвижной и неподвижной системе отсчета за 5 с?

a)

Вектор абсолютной скорости равен сумме векторов: $\overrightarrow{v_a}=\overrightarrow{v_o} +\overrightarrow{v_п}$
Находим сумму:

Пользуясь заданным масштабом, получаем:
$\overrightarrow{v_o}=|\overrightarrow{v_o}|=4\ \text{м/с}$ — скорость тела в подвижной СО
$\overrightarrow{v_a}=|\overrightarrow{v_a}|=3\ \text{м/с}$ — скорость тела в неподвижной СО
Путь тела в разных СО:
$s_о=v_о t;\ \ s_о=4\cdot 5=20\ \text{м}$ — путь тела в подвижной СО
$s_a=v_a t;\ \ s_a=3\cdot 5=15\ \text{м}$ — путь тела в неподвижной СО

Ответ: 20 м и 15 м

б)

Вектор абсолютной скорости равен сумме векторов: $\overrightarrow{v_a}=\overrightarrow{v_o} +\overrightarrow{v_п}$
Находим сумму:

Пользуясь заданным масштабом, получаем:
$\overrightarrow{v_o}=|\overrightarrow{v_o}|=30\ \text{м/с}$ — скорость тела в подвижной СО
$\overrightarrow{v_a}=|\overrightarrow{v_a}|=50\ \text{м/с}$ — скорость тела в неподвижной СО
Путь тела в разных СО:
$s_о=v_о t;\ \ s_о=30\cdot 5=150\ \text{м}$ — путь тела в подвижной СО
$s_a=v_a t;\ \ s_a=50\cdot 5=250\ \text{м}$ — путь тела в неподвижной СО

Ответ: 150 м и 250 м

Задача 2. Между двумя катерами, которые движутся навстречу друг другу со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч, летает альбатрос с постоянной скоростью 15 км/ч. Сколько километров он пролетит до момента встречи катеров, если первоначальное расстояние между ними равнялось 99 км.

Дано:
$v_1=10\ \text{км/ч}$
$v_2=12\ \text{км/ч}$
$v=15\ \text{км/ч}$
$d=99\ \text{км}$
_______________
$s-?$

Пусть первый катер – неподвижное тело отсчета. Тогда второй катер приближается к нему со скоростью, равной сумме скоростей $(v_1+v_2)$. Время, через которое катера встретятся: $$ t=\frac{d}{v_1+v_2} $$ За это время альбатрос пролетит расстояние: $$ s=vt=v\cdot\frac{d}{v_1+v_2}=\frac{v}{v_1+v_2}d $$ Подставляем: $$ s=\frac{15}{10+12}\cdot 99=67,5\ (\text{км}) $$ Ответ: 67,5 км

Задача 3. В подрывной технике используют бикфордов шнур, пламя по которому распространяется со скоростью 0,8 см/с. Какой длины шнур понадобится подрывнику, чтобы он успел отбежать на расстояние 300 м после того, как его подожжет?
Скорость бега равна 5 м/с.

Дано:
$u=0,8\ \text{см/с}=0,008\ \text{м/с}$
$v=5\ \text{м/c}$
$s=300\ \text{м}$
_______________
$L-?$

На чертеже объект, который нужно взорвать, находится в точке B. Подрывник находится в точке O и бежит в точку A, длина шнура L=OB, расстояние AB=s.
Скорости $u$ и $v$ направлены противоположно. Время, за которое шнур догорит и подрывник добежит, определяется суммой скоростей $(u+v)$: $$ t=\frac{s}{u+v} $$ Длина шнура определяется временем и скоростью сгорания: $$ L=tu=\frac{su}{u+v} $$ Подставляем: $$ L=\frac{300\cdot 0,008}{5+0,008}\approx 0,48\ (\text{м})=48\ (\text{см}) $$ Ответ: 48 см

Задача 4. Из городов A и B, расстояние между которыми d=9 км, одновременно навстречу друг другу выехало два велосипедиста. В направлении от A к B дует ветер со скоростью $v_0$. Первый велосипедист проехал расстояние между городами за 30 минут, а второй – за 45 минут. Найдите скорость ветра $v_0$ и скорость велосипедистов в безветренную погоду, если она у них одинакова.

Пусть $v$ — скорость велосипедистов в тихую погоду.
Переведем время в часы: \begin{gather*} t_1=30\ \text{мин}=\frac{30}{60}\text{ч}=\frac12\text{ч}\\ t_2=45\ \text{мин}=\frac{45}{60}\text{ч}=\frac34\text{ч} \end{gather*} Составим таблицу:

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
1й велосипедист, из А в Б	$v+v_0$	$\frac12$	$\frac12(v+v_0)$
2й велосипедист, из Б в А	$v-v_0$	$\frac34$	$\frac34(v-v_0)$

Расстояние: $$ d=\frac12(v+v_0)=\frac34(v-v_0)=9 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} \frac12(v+v_0)=9\\ \frac34(v-v_0)=9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} v+v_0=9\cdot 2=18\\ v-v_0=9\cdot\frac43=12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2v=18+12\\ 2v_0=18-12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} v=\frac{30}{2}=15\\ v_0=\frac62=3 \end{cases} $$
Ответ:
Скорость ветра $v_0=3$ км/ч
Скорость велосипедистов в тихую погоду $v=15$ км/ч

Задача 5. Катер проходит расстояние между двумя пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения – за 4 ч. За какое время от одной пристани к другой проплывет плот?

Пусть $v$ — скорость катера относительно реки (относительная скорость), $u$ — скорость реки относительно берега (переносная скорость).
Составим таблицу:

	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Катер по течению	$v+u$	2	$2(v+u)$
Катер против течения	$v-u$	4	$4(v-u)$
Плот	$u$	$t$	$s$

Расстояние во всех случаях одно и то же: $$ s=2(v+u)=4(v-u)\Rightarrow (v+u)=2(v-u)\Rightarrow u+2u=2v-v\Rightarrow 3u=v $$ Скорость катера в 3 раза больше скорости течения (скорости плота).
Тогда расстояние $s=2(v+u)=2(3u+u)=8u$
Время для плота: $$ t=\frac su=\frac{8u}{u}=8\ (\text{ч}) $$
Ответ: 8 ч

Задача 6*. 3}=\frac16\ \text{ч}=10\ \text{мин}\)
Второй корабль подбирает контейнеры каждые 10 мин.
Значит, в течение часа второй корабль подберет еще $N=\frac{60\ \text{мин}}{10\ \text{мин}}=6$ контейнеров.

Ответ: 6 контейнеров

Задача 7*. Автомобиль, движущийся со скоростью 72 км/ч, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно его движению. Отверстие в дальней стенке оказалось смещено относительно отверстия в ближней стенке на 4 см. Ширина салона 1,5 м. Считая, что пуля в салоне не изменила траекторию, определите её скорость.

Дано:
$u=72\ \text{км/ч}=20\ \text{м/с}$
$d=4\ \text{cм}=0,04\ \text{м}$
$a=1,5\ \text{м}$
_______________
$v-?$

Построим чертеж движения, вид сверху. Направим ось ОХ по движению автомобиля относительно земли, ось ОУ – по движению пули относительно земли.

Если перейти в систему отсчета, связанную с автомобилем, земля «побежит» в обратном направлении со скоростью $–u$, и траектория пули в салоне сместится (пунктирная линия на чертеже). Смещение на расстояние $d$ за счет движения автомобиля происходит за время, в течение которого пуля пролетает от одной стенки салона к другой: $$ d=ut,\ \ t=\frac av $$ Откуда: $$ v=\frac ad u $$ Подставляем: $$ v=\frac{1,5}{0,04}\cdot 20=750\ (\text{м/с}) $$ Ответ: 750 м/с

БЕСПЛАТНЫЙ пошаговый урок по правилу вероятностного сложения с интерактивными упражнениями

Форма поиска

Поиск

Изучение правила сложения вероятностей и сложение вероятностей с помощью примеров задач и интерактивных упражнений

Эксперимент: Бросается один шестигранный кубик. Какова вероятность того, что выпадет 2 или 5?

Возможные варианты:

1. Выпавшее число может быть 2.

2. Выпавшее число может быть 5.

События: Эти события являются взаимоисключающими, поскольку они не могут происходить одновременно.

Вероятности: как найти вероятности этих взаимоисключающих событий? Нам нужно правило, чтобы вести нас.

Правило сложения 1: Когда два события, A и B, являются взаимоисключающими, вероятность того, что произойдет A или B, равна сумме вероятностей каждого события.

P(A или B) = P(A) + P(B)

Давайте воспользуемся этим правилом сложения, чтобы найти вероятность для эксперимента 1.

Эксперимент 1. Бросается один шестигранный кубик. Какова вероятность того, что выпадет 2 или 5?

Вероятности:

P(2)	=	1
		6

Р(5)	=	1
		6

Р(2 или 5)	=	Р(2)	+	Р(5)

	=	1	+	1
		6		6

	=	2
		6

	=	1
		3

Эксперимент 2. Спиннер имеет 4 равных сектора желтого, синего, зеленого и красного цветов. Какова вероятность приземлиться на красное или синее после вращения этого блесны?

Вероятности:

P(красный)	=	1
		4

P (синий)	=	1
		4

P (красный или синий)	=	P(красный)	+	P (синий)

	=	1	+	1
		4		4

	=	2
		4

	=	1
		2

Эксперимент 3. В стеклянной банке находятся 1 красный, 3 зеленых, 2 синих и 4 желтых шарика. Если из банки наугад выбрать один шарик, какова вероятность того, что он будет желтым или зеленым?

Вероятности:

P(желтый)	=	4
		10

P (зеленый)	=	3
		10

P (желтый или зеленый)	=	P (желтый)	+	P (зеленый)

	=	4	+	3
		10		10

	=	7
		10

В каждом из трех вышеперечисленных экспериментов события являются взаимоисключающими. Давайте рассмотрим некоторые эксперименты, в которых события не исключают друг друга.

Эксперимент 4. Из стандартной колоды из 52 игральных карт случайным образом выбирается одна карта. Какова вероятность выбора короля или трефы?

Вероятности:

P(король или трефа)	=	П(король)	+	P(клуб)	—	P(король треф)

	=	4	+	13	—	1
		52		52		52

	=	16
		52

	=	4
		13

В эксперименте 4 события не исключают друг друга. Сложение приводит к тому, что король треф считается дважды, поэтому его вероятность необходимо вычесть. Когда два события не являются взаимоисключающими, необходимо использовать другое правило сложения.

Дополнительное правило 2: Если два события, A и B, не исключают друг друга, вероятность того, что A или B произойдут, равна:

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

В приведенном выше правиле P(A и B) относится к перекрытию двух событий. Применим это правило к некоторым другим экспериментам.

Эксперимент 5. В математическом классе из 30 учеников 17 мальчиков и 13 девочек. В модульном тесте 4 мальчика и 5 девочек получили оценку «А». Если ученица выбрана случайным образом из класса, какова вероятность того, что она выберет девочку или отличницу?

Вероятности: Р(девушка или А) = Р(девушка) + Р(А) — Р(девушка и А)

=	13	+	9	—	5
	30		30		30

=	17
	30

Эксперимент 6: В канун Нового года вероятность попасть в автомобильную аварию равна 0,09. . Вероятность того, что человек будет управлять автомобилем в состоянии алкогольного опьянения, равна 0,32, а вероятность того, что человек попадет в автомобильную аварию в состоянии алкогольного опьянения, равна 0,15. Какова вероятность того, что человек за рулем в состоянии алкогольного опьянения или попадет в автомобильную аварию?

Вероятности:

P(пьянство или несчастный случай)	=	П(в состоянии алкогольного опьянения)	+	P(авария)	—	P(пьянство и несчастный случай)

	=	0,32	+	0,09	—	0,15
	=	0,26

Резюме: Чтобы найти вероятность события A или B, мы должны сначала определить, являются ли события взаимоисключающими или нет. Затем мы можем применить соответствующее правило сложения:

Правило сложения 1: Если два события, A и B, являются взаимоисключающими, вероятность того, что произойдет A или B, равна сумме вероятностей каждого события.

P(A или B) = P(A) + P(B)

Правило сложения 2: Если два события, A и B, не являются взаимоисключающими, между этими событиями существует некоторое перекрытие. Вероятность того, что произойдет A или B, представляет собой сумму вероятности каждого события за вычетом вероятности совпадения.

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

Упражнения

Указания: Прочитайте каждый вопрос ниже. Выберите свой ответ, нажав на его кнопку. Обратная связь по вашему ответу представлена в ОКНО РЕЗУЛЬТАТЫ. Если вы ошиблись, выберите другую кнопку.

День недели выбирается случайным образом. Какова вероятность того, что вы выберете понедельник или вторник?

Ничего из вышеперечисленного.

ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

В зоомагазине есть 6 щенков, 9котят, 4 песчанки и 7 попугаев. Если домашнее животное выбрано наугад, какова вероятность того, что вы выберете щенка или попугая?

Ничего из вышеперечисленного.

ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

3.	Вероятность того, что у подростка из Нью-Йорка будет скейтборд, равна 0,37, велосипеда — 0,81, а того и другого — 0,36. Если наугад выбрать подростка из Нью-Йорка, какова вероятность того, что у него есть скейтборд или велосипед?

	1,18 0,7 0,82 Ничего из вышеперечисленного. ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

Случайным образом выбирается число от 1 до 10. Какова вероятность выбрать 5 или четное число?

Все вышеперечисленное.

ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

Брошен один шестигранный кубик. Какова вероятность того, что выпадет число больше 3 или четное число?

Ничего из вышеперечисленного.

ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

Уроки вероятности

Введение в теорию вероятности

Определенные и невозможные события

Пространства для образцов

Дополнение к событию

Взаимоисключающие события

Правила сложения для вероятности

Независимые события

Зависимые события

Условная вероятность

Практические упражнения

Упражнения с вызовом

Решения

Цели обучения

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!

Адрес электронной почты *

Сопутствующая деятельность

Вероятностные головоломки

Готовые рабочие листы

Вероятностная игра

математических слов: правило сложения

индекс: нажмите на букву






индекс: предметные области

Дополнение Правило
Правило суммы для вероятности

Метод нахождения вероятность того, что произойдет одно или оба из двух событий.

Правило сложения:

Если события A и B взаимно исключительный (непересекающийся), затем

Р(А или В) = Р(А) + Р(В)

В противном случае

P(A или B) = P(A) + P(B) – P(A и B)

Пример 1:
взаимоисключающие

В группе из 101 студента 30 первокурсников и 41 студент второкурсники. Найдите вероятность того, что учащийся выбрал из эта группа случайным образом состоит либо из первокурсников, либо из второкурсников.

Обратите внимание, что P(первокурсник) = 30/101 и P(второкурсник) = 41/101. Таким образом,

P(первокурсник или второкурсник) = 30/101 + 41/101 = 71/101

Это имеет смысл, поскольку 71 из 101 студента — первокурсники. или второкурсники.

Пример 2:
не взаимоисключающие

В группе из 101 студента 40 юниоров, 50 девушек, и 22 девушки-юниорки. Найди вероятность того, что студент выбрал из эта группа случайным образом является либо юниором, либо женщиной.

Обратите внимание, что P(младший) = 40/101 и P(женщина) = 50/101, и P(юниоры и женщины) = 22/101. Таким образом,

P(юниоры или девушки) = 40/101 + 50/101 – 22/101 = 68/101

Это имеет смысл, так как 68 из 101 студента являются младшими. или женский.

Не знаете, почему? Когда мы добавляем 40 юниоров к 50 женщинам и получаем в сумме 90, мы пересчитали. 22 женщина юниоры учитывались дважды; 90 минус 22 составляет 68 студентов юниоров или девушек.

См. также

Умножение правило

эта страница обновлена 19 июля 17
Математические слова: термины и формулы от алгебры I до исчисления
написано, проиллюстрировано и создано Брюсом Симмонсом.
Copyright © 2000 г. Брюс Симмонс.
Все права защищены.

Вероятностные правила | Безграничная статистика |

Правило сложения

Правило сложения гласит, что вероятность двух событий равна сумме вероятности того, что одно из них произойдет, минус вероятность того, что произойдет оба.

Цели обучения

Рассчитайте вероятность события, используя правило сложения

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Правило сложения:
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) .\text{P}(\text{A}\cup \text{B})=\text{P}(\text{A})+\text{P}(\text{B})-\text{ P}(\text{A}\cap \text{B}).P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Последний член учитывался дважды: один раз в
P(A)\text{P}(\text{A})P(A)
и один раз в
P(B)\text{P}(\text {B})P(B)
, поэтому его нужно вычесть один раз, чтобы он не учитывался дважды.
Если
A\text{A}A
и
B\text{B}B
не пересекаются, то
P(A∩B)=0\text{P}(\text{A}\cap \text{ B})=0P(A∩B)=0
, поэтому формула принимает вид
P(A∪B)=P(A)+P(B).\text{P}(\text{A} \cup \ текст{B})=\text{P}(\text{A}) + \text{P}(\text{B}).P(A∪B)=P(A)+P(B).

Ключевые термины

вероятность : Относительная вероятность события.

Дополнительный закон

Закон сложения вероятностей (иногда называемый правилом сложения или правилом сумм) утверждает, что вероятность того, что

A\text{A}A

или

B\text{B}B

представляет собой сумму вероятностей того, что

A\text{A}A

произойдет и

B \text{B}B

минус вероятность того, что произойдут оба

A\text{A}A

B\text{B}B

. Правило сложения резюмируется формулой:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)\displaystyle \text{P}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{P}(\text{A})+\text{P}(\text{B})-\text{P }(\text{A} \cap \text{B})P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Рассмотрим следующий пример. Какова вероятность того, что при извлечении одной карты из колоды из

525252

карт выпадет черва или фигурная карта (король, дама или валет)? Пусть

H\text{H}H

обозначает розыгрыш сердца, а

F\text{F}F

обозначает розыгрыш лицевой карты. Так как есть

131313

червей и всего

121212

лицевых карт (

333

каждой масти: пики, червы, бубны и трефы), но только

333

лицевые карты червей, получаем:

P(H)=1352\displaystyle \text{P}(\text{H}) = \frac{13}{52}P(H)=5213

P(F)=1252\displaystyle \text{P}(\text{F}) = \frac{12}{52}P(F)=5212

P(F∩H)=352\ displaystyle \text{P}(\text{F} \cap \text{H}) = \frac{3}{52}P(F∩H)=523

Используя правило сложения, мы получаем:

P(H∪F)=P(H)+P(F)−P(H∩F)=1352+1252−352\displaystyle \начать{выравнивать} \text{P}(\text{H}\cup \text{F})&=\text{P}(\text{H})+\text{P}(\text{F})-\text{ P}(\text{H}\cap \text{F})\\ &=\frac { 13 }{ 52 } +\ frac { 12 }{ 52 } -\ frac { 3 }{ 52 } \end{align}P(H∪F)=P(H)+P(F)−P(H∩F)=5213+5212−523

Причина вычитания последнего члена заключается в том, что в противном случае мы бы считали среднюю часть дважды (поскольку

H\text{H}H

F\text{F}F

перекрываются).

Правило сложения для непересекающихся событий

Предположим, что

A\text{A}A

B\text{B}B

не пересекаются, их пересечение пусто. Тогда вероятность их пересечения равна нулю. В символах:

P(A∩B)=0\text{P}(\text{A} \cap \text{B}) = 0P(A∩B)=0

. Тогда закон сложения упрощается: \text{P}(\text{A}) + \text{P}(\text{B}) \qquad \text{когда} \qquad \text{A} \cap \text{B} = \emptysetP( A∪B)=P(A)+P(B), когда A∩B=∅

Символ

∅\emptyset∅

представляет собой пустое множество, что означает, что в данном случае

A\text{A} A

B\text{B}B

не имеют общих элементов (они не пересекаются).

Пример:

Предположим, из колоды из 52 игральных карт взята карта: какова вероятность получить короля или даму? Пусть

A\text{A}A

представляет событие вытягивания короля, а

B\text{B}B

представляет событие вытягивания ферзя. Эти два события не пересекаются, так как нет королей, которые были бы одновременно и королевами. Таким образом:

P(A∪B)=P(A)+P(B)=452+452=852=213\displaystyle \начать{выравнивать} \text{P}(\text{A} \cup \text{B}) &= \text{P}(\text{A}) + \text{P}(\text{B})\\&= \frac{4}{52}+\frac{4}{52}\\&=\frac{8}{52}\\&=\frac{2}{13} \end{align}P(A∪B)=P(A)+P(B)=524+524=528=132

Правило умножения

Правило умножения гласит, что вероятность появления

A\text{A}A

B\text{B}B

равна вероятности того, что

B\text{B}B

происходит, умноженная на условную вероятность того, что

A\text{A}A

произойдет при условии, что произойдет

B\text{B}B