Лекция 1. Правила сложения и умножения · Теория вероятностей и математическая статистика
Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).
Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без). Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах. Два основных правила комбинаторной теории:
Правило сложения
Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет.
Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только 1 элемент.
Пример 1.
Вика должна выбрать только один десерт из 8 видов коктейля, 5 видов мороженого и 5 видов йогурта. Сколькими способами она может выбрать десерт?
Решение.
Используется закон сложения, т.к. Вика должна выбрать или коктейль, или мороженое, или йогурт.
Ответ: Вика может выбрать десерт 18 способами.
При использовании закона сложения надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта a не совпадал с каким-либо способом выбора объекта b.
Если объект a можно получить способами, объект — способами, то объект « или » можно получить способами, где — это количество повторяющихся способов.
Пример 2.
В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек — «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение.
Правило умножения Пусть объект А выбирается m способами, объект В выбирается n способами, то оба объекта можно выбрать m·n способами.
Все очень просто – каждый из m способов выбора объекта А комбинируется с каждым из n способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.
Пример3.
Сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
Решение.
Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр.
Пример 4.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Решение.
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26·25=650 способами.
Пусть требуется выполнить последовательно действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе действие способами, третье – способами и так до -го действия, которое можно выполнить способами, то все действий вместе могут быть выполнены: способами.
На стоянке такси находятся 3 автомобиля Audi, 5 автомобилей Hyundai и 7 автомобилей Toyota. Сколькими способами можно выбрать машину для поездки?
1121522В группе 7 человек имеют «5» за экзамен по математике, 9 человек — «5» за экзамен по философии.
В сессии 2 экзамена: математика и философия. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Закон сложения используется тогда, когда надо выбрать …
1 элемент2 элемента3 элементаСколько угодно элементовВ классе учится 17 мальчиков и 9 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
26153306650На стоянке такси находятся 3 автомобиля Audi, 5 автомобилей Hyundai и 7 автомобилей Toyota. Сколькими способами можно выбрать три машины для поездки?
умножение на ноль – главное правило. Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Как вы думаете, какую из данных сумм можно заменить произведением?
Будем рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, число пять повторяется четыре раза. Значит, можно заменить сложение умножением. Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется, второй множитель — сколько раз это слагаемое повторяется.
Заменяем сумму произведением.
Запишем решение.
Во второй сумме слагаемые разные, поэтому заменить её произведением нельзя. Складываем слагаемые и получаем ответ 17.
Запишем решение.
Можно ли произведение заменить суммой одинаковых слагаемых?
Рассмотрим произведения.
Выполним действия и сделаем вывод.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Можно сделать вывод: всегда количество единиц-слагаемых равно числу, на которое умножается единица.
Значит, при умножении числа один на любое число получается то же самое число.
1 * а = а
Рассмотрим произведения.
Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть одно слагаемое.
Произведения во втором столбике отличаются от произведений в первом столбике только порядком множителей.
Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны соответственно первому множителю.
Сделаем вывод: при умножении любого числа на число один получается то число, которое умножали.
Запишем этот вывод в виде равенства.
Решите примеры.
Подсказка: не забудьте выводы, которые мы сделали на уроке.
Проверьте себя.
Теперь давайте понаблюдаем за произведениями, где один из множителей нуль.
Рассмотрим произведения, где первый множитель — нуль.
Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Выполним действия и сделаем вывод.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
Всегда количество нулей-слагаемых равно числу, на которое умножается нуль.
Значит, при умножении нуля на число получается нуль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
0 * а = 0
Рассмотрим произведения, где второй множитель — нуль.
Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть нуль слагаемых.
Сравним произведения и их значения.
0*4=0
Произведения второго столбика отличаются от произведений первого столбика только порядком множителей.
Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны нулю.
Сделаем вывод: при умножении любого числа на нуль получается нуль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
а * 0 = 0
А вот делить на нуль нельзя.
Решите примеры.
Подсказка: не забудьте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбика будьте внимательны при определении порядка действий.
Проверьте себя.
Сегодня на уроке мы познакомились с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и на 1.
Список литературы
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
- Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Домашнее задание
1. Найдите значения выражений.
2. Найдите значения выражений.
3. Сравните значения выражений.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.
Математический-Калькулятор-Онлайн v.1.0
Калькулятор выполняет следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление, работа с десятичными, извлечение корня, возведение в степень, вычисление процентов и др. операции.
Решение:
Как работать с математическим калькулятором
| Клавиша | Обозначение | Пояснение |
|---|---|---|
| 5 | цифры 0-9 | Арабские цифры. Ввод натуральных целых чисел, нуля. Для получения отрицательного целого числа необходимо нажать клавишу +/- |
| . | точка (запятая) | Разделитель для обозначения десятичной дроби. При отсутствии цифры перед точкой (запятой) калькулятор автоматически подставит ноль перед точкой. Например: .5 — будет записано 0.5 |
| + | знак плюс | Сложение чисел (целые, десятичные дроби) |
| — | знак минус | Вычитание чисел (целые, десятичные дроби) |
| ÷ | знак деления | Деление чисел (целые, десятичные дроби) |
| х | знак умножения | Умножение чисел (целые, десятичные дроби) |
| √ | корень | Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2 |
| x 2 | возведение в квадрат | Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16 |
| 1 / x | дробь | Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число |
| % | процент | Получение процента от числа. Для работы необходимо ввести: число из которого будет высчитываться процент, знак (плюс, минус, делить, умножить), сколько процентов в численном виде, кнопка «%» |
| ( | открытая скобка | Открытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие закрытой скобки. Пример: (2+3)*2=10 |
| ) | закрытая скобка | Закрытая скобка для задания приоритета вычисления. Обязательно наличие открытой скобки |
| ± | плюс минус | Меняет знак на противоположный |
| = | равно | Выводит результат решения. Также над калькулятором в поле «Решение» выводится промежуточные вычисления и результат. |
| ← | удаление символа | Удаляет последний символ |
| С | сброс | Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0» |
Алгоритм работы онлайн-калькулятора на примерах
Сложение.
Сложение целых натуральных чисел { 5 + 7 = 12 }
Сложение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 + (-2) = 3 }
Сложение десятичных дробных чисел { 0,3 + 5,2 = 5,5 }
Вычитание.
Вычитание целых натуральных чисел { 7 — 5 = 2 }
Вычитание целых натуральных и отрицательных чисел { 5 — (-2) = 7 }
Вычитание десятичных дробных чисел { 6,5 — 1,2 = 4,3 }
Умножение.
Произведение целых натуральных чисел { 3 * 7 = 21 }
Произведение целых натуральных и отрицательных чисел { 5 * (-3) = -15 }
Произведение десятичных дробных чисел { 0,5 * 0,6 = 0,3 }
Деление.
Деление целых натуральных чисел { 27 / 3 = 9 }
Деление целых натуральных и отрицательных чисел { 15 / (-3) = -5 }
Деление десятичных дробных чисел { 6,2 / 2 = 3,1 }
Извлечение корня из числа.
Извлечение корня из целого числа { корень(9) = 3 }
Извлечение корня из десятичных дробей { корень(2,5) = 1,58 }
Извлечение корня из суммы чисел { корень(56 + 25) = 9 }
Извлечение корня из разницы чисел { корень (32 – 7) = 5 }
Возведение числа в квадрат.
Возведение в квадрат целого числа { (3) 2 = 9 }
Возведение в квадрат десятичных дробей { (2,2) 2 = 4,84 }
Перевод в десятичные дроби.
Вычисление процентов от числа
Увеличить на 15% число 230 { 230 + 230 * 0,15 = 264,5 }
Уменьшить на 35% число 510 { 510 – 510 * 0,35 =331,5 }
18% от числа 140 это { 140 * 0,18 = 25,2 }
Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье.
Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.
Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.
В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.
В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо.
Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.
Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.
В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.
Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.
Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример.
У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.
В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.
В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.
Суть действия
Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.
Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.
При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.
Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.
Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.
Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.
Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых.
Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.
Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.
В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.
Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.
Целесообразность попыток
Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.
По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.
Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.
В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.
Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.
Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!» , — но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров.
Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.
Вконтакте
Кто в итоге прав
Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.
Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:
У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!
Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2.
Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.
Что такое умножение
Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение .
Что такое ноль
Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз.
Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.
Можно ли умножать на пустоту
Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.
Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:
- Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
- Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
- Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного.
Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего , а когда у вас ничего нет , то сколько ни умножай — всё равно будет ноль . Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.
Деление
Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:
На ноль делить нельзя!
Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.
Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль — это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.
Расскажу тебе позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1 как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!
Как вы думаете, какую из данных сумм можно заменить произведением?
Будем рассуждать так. В первой сумме слагаемые одинаковые, число пять повторяется четыре раза. Значит, можно заменить сложение умножением. Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется, второй множитель — сколько раз это слагаемое повторяется.
Заменяем сумму произведением.
Запишем решение.
Во второй сумме слагаемые разные, поэтому заменить её произведением нельзя. Складываем слагаемые и получаем ответ 17.
Запишем решение.
Можно ли произведение заменить суммой одинаковых слагаемых?
Рассмотрим произведения.
Выполним действия и сделаем вывод.
1*2=1+1=2
1*4=1+1+1+1=4
1*5=1+1+1+1+1=5
Можно сделать вывод: всегда количество единиц-слагаемых равно числу, на которое умножается единица.
Значит, при умножении числа один на любое число получается то же самое число.
1 * а = а
Рассмотрим произведения.
Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть одно слагаемое.
Произведения во втором столбике отличаются от произведений в первом столбике только порядком множителей.
Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны соответственно первому множителю.
Сделаем вывод: при умножении любого числа на число один получается то число, которое умножали.
Запишем этот вывод в виде равенства.
а * 1= а
Решите примеры.
Подсказка: не забудьте выводы, которые мы сделали на уроке.
Проверьте себя.
Теперь давайте понаблюдаем за произведениями, где один из множителей нуль.
Рассмотрим произведения, где первый множитель — нуль.
Заменим произведения суммой одинаковых слагаемых. Выполним действия и сделаем вывод.
0*3=0+0+0=0
0*6=0+0+0+0+0+0=0
0*4=0+0+0+0=0
Всегда количество нулей-слагаемых равно числу, на которое умножается нуль.
Значит, при умножении нуля на число получается нуль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
0 * а = 0
Рассмотрим произведения, где второй множитель — нуль.
Эти произведения невозможно заменить суммой, так как в сумме не может быть нуль слагаемых.
Сравним произведения и их значения.
0*4=0
Произведения второго столбика отличаются от произведений первого столбика только порядком множителей.
Значит, чтобы не нарушалось переместительное свойство умножения, их значения также должны быть равны нулю.
Сделаем вывод: при умножении любого числа на нуль получается нуль.
Запишем этот вывод в виде равенства.
а * 0 = 0
А вот делить на нуль нельзя.
Решите примеры.
Подсказка: не забудьте выводы, сделанные на уроке. При вычислении значений второго столбика будьте внимательны при определении порядка действий.
Проверьте себя.
Сегодня на уроке мы познакомились с особыми случаями умножения на 0 и 1, потренировались умножать на 0 и на 1.
Список литературы
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
- Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Домашнее задание
1. Найдите значения выражений.
2. Найдите значения выражений.
3. Сравните значения выражений.
(56-54)*1 … (78-70)*1
4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.
Преалгебра: правила математики: умножение
Числа и счет|Арифметика|Дроби и десятичные дроби| Преалгебра |Карта сайта
Это математика, поэтому вы привыкаете к идее правил.
Математика заключается в использовании логики , правил и организации, чтобы вы могли получать один и тот же ответ каждый раз, когда решаете задачу. Если бы правила изменились, 1 + 1 не всегда равнялось бы 2. Это было бы слишком запутанно.
Если вы изучали науку, вы знаете о законы . Есть закон всемирного тяготения и есть законы движения в физике. В математике тоже есть законы. Они устанавливают правила, которые всегда позволяют вам делать определенные вещи. Вы уже использовали три из этих законов на дополнительных страницах. Вы помните, как вы могли переставлять номера или группировать номера, когда мы добавляли? Мы можем это сделать, потому что есть законы, которые говорят, что это нормально, и математика будет продолжать работать правильно. Вы получаете много одинаковых правил в умножении.
Когда вы переставляете числа, вы используете переместительный закон умножения . Слово коммутация может показаться большим, но это всего лишь перестановка.
Если хотите, можете назвать это законом умножения перегруппировки. Закон позволяет нам перемещать все множители в любой задаче на умножение.
Пример:
1 * 95 * 1345 * 2 * 15 * 7 = ?
• Этот макет выглядит немного странно.
1 * 2 * 7 * 15 * 95 * 1345 = ?
• Когда он переставлен, немного легче представить умножение чисел.
Нельзя просто так что-то переставить. Вам все еще нужно обратить внимание на скобки и другие операции . Но для умножения вы можете изменить порядок значений, как хотите. Если бы вы были математиком, вы бы использовали буквы, называемые переменными , чтобы записать идею. В математике мы используем буквы для обозначения любого числа, которое хотим. Вы узнаете больше о переменных в алгебре, но знайте, что «а» и «b» могут быть любыми числами, которые вы себе представляете. Официальное описание коммутативного закона…
а * б = б * а
Порядок не имеет значения при взгляде на операцию умножения.
Теперь вы знаете, что можно переставлять числа при умножении. Вы также можете сгруппировать их. Вы уже делали это во многих своих проблемах.
Пример:
1 * 5 * 9 * 6 * 5 * 4 =?
• Переставьте значения и сгруппируйте их…
(1*9) * (5*5) * (6*4) = ?
Математики знают, что группировка полезна, поэтому они создали закон: Ассоциативный закон умножения . Закон смотрит на то, как числа могут ассоциироваться друг с другом при умножении. У вас может быть группа из двух и группа из трех человек. Закон позволяет вам разбивать группы и перемещать вещи.
(1*2*75) * (3*4*25) = (1*2*3*4) * (75*25) = (1*2) * (3*4) * (75*25) )
Видите, как мы только что передвинули скобки? Настраиваем новые группы факторов. Как и прежде, это работает только с операцией умножения. Вам нужно обратить внимание на круглые скобки и другие операции, такие как вычитание или деление. Вы также должны заметить, что мы можем сгруппировать любое количество факторов.
Ассоциативный закон призван облегчить вашу жизнь.
Пример:
(75-1+2) * (3-4*25)
• Вы не можете изменить порядок или сгруппировать их другими способами.
• Обратите внимание на другие символы в задаче.
• Умножение особенное, не всякая операция в математике ассоциативна.
Официальный способ описать его с помощью переменных для представления любых чисел будет выглядеть так…
(a*b) * c = a * (b*c) = a * b * c
Узнайте больше о правилах умножения во второй части.
► СЛЕДУЮЩАЯ СТРАНИЦА PREALGEBRA
► ВЕРНУТЬСЯ НА НАЧАЛО СТРАНИЦЫ
► Или выполните поиск на сайтах…
- Обзор
- Графики
- Экспоненты
- Измерения
- Доп. Номера
- Правила математики
- Дополнение
- Вычитание
- Умножение
- Умножение 2
- Научное обозначение
- Переменные
- Дополнительные темы по математике
Википедия:
https://en.
wikipedia.org/wiki/pre-algebra
Encyclopædia Britannica:
HTTP:/NANMATICAT. College of the Redwoods:
http://mathrev.redwoods.edu/PreAlgText/
Основные законы математики
В нашей жизни есть правила, которым мы должны подчиняться. Соблюдение правил гарантирует мирную и беззаботную жизнь. Когда вы не соблюдаете законы, это приводит к печальным последствиям.
В математике есть свои законы, которым тоже нужно следовать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приведет к снижению оценок, а в худшем к падению самолетов, зависанию компьютеров, сносу крыш из-за сильного ветра, плохой связи и тому подобным плохим вещам.
Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства знакомы нам со школы. Но не помешает вспомнить их еще раз, а еще лучше записать и выучить наизусть.
В этом уроке мы рассмотрим лишь небольшую часть законов математики. Их нам хватит для дальнейшего изучения математики.
Определение. Переместительный закон сложения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы складываете числа.
Действительно, прибавь пятерку к двойке и получишь семерку. И наоборот, прибавив двойку к пятерке, вы снова получите семерку:
5 + 2 = 7
2 + 5 = 7
Если положить 10 кг яблок в один мешок и положить 10 кг яблок в другой мешок, мешки будут равными, и не имеет значения, что яблоки в мешках перемешаны случайным образом. Если взять мешок с весов и смешать в нем яблоки, как шарики в лотерейном мешке, мешок все равно будет весить 10 килограммов. Сумма не изменится от перестановки слагаемых. Слагаемые в данном случае — яблоки, а сумма — общий вес.
Таким образом, выражения 5+2 и 2+5 можно приравнять. Это означало бы, что их сумма равна:
5 + 2 = 2 + 5
7 = 7
Предположим, что вы усвоили один из предыдущих уроков, который назывался выражениями, поэтому запишем коммутативный закон сложения с использованием переменных:
а + b = b + a
Этот переместительный закон сложения будет работать для любых чисел.
Например, возьмем любые два числа. Пусть a = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3. Эти значения войдут в основное выражение a + b = b + a и подставят там, где это необходимо. Номер 2 будет заменен на a, номер 3 будет заменен на b
Ассоциативный закон сложения
Определение. Ассоциативный закон сложения гласит, что изменение группировки складываемых чисел не меняет их результирующей суммы. Этот закон позволяет группировать слагаемые вместе для облегчения вычислений.
Рассмотрим сумму трех слагаемых:
2 + 3 + 5
Для вычисления этого выражения можно сначала сложить числа 2 и 3 и прибавить результат к числу 5. Для удобства сумма чисел 2 и 3 можно поставить в круглые скобки, указывая, что эта сумма будет рассчитана первой:
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
Или можно сложить числа 3 и 5, затем прибавить результат к числу 2
2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
Как видите, в обоих случаях вы получаете одинаковый результат.
Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
10 = 10
Запишем ассоциативный закон сложения с использованием переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
3 Коммутативный закон умножения
Определение. Коммутативный закон умножения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы умножаете переменные или числа. Посмотрим, правда ли это.
Умножить пять на два и наоборот два на пять.
5 × 2 = 10
2 × 5 = 10
В обоих случаях вы получите один и тот же результат, поэтому вы можете поставить знак равенства между выражениями 5 × 2 и 2 × 5, поскольку они равны одному и тому же значению.
:
5 × 2 = 2 × 5
10 = 10
Запишем коммутативный закон умножения с использованием переменных:
a × b = b × a
9001 буквы a и b для записи законов как переменных. Можно использовать любые другие буквы, например, c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:x × y = y × x
Ассоциативный закон умножения
Определение. Ассоциативный закон умножения гласит, что независимо от того, как вы группируете числа, вы умножаете их вместе.
Рассмотрим следующее выражение:
2 × 3 × 4
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно умножить числа 2 и 3, а результат умножить на 4:
Или можно сначала перемножить числа 3 и 4, а результат умножить на число 2
Таким образом, между выражениями (2×3)×4 и 2×(3×4) можно положить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
Запишем комбинационный закон умножения с использованием переменных:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × в)
Пример 2 .
Найдите значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке действий:
Распределительный закон умножения
Определение. Распределительный закон умножения гласит, что любое число, умноженное на сумму двух или более чисел, равно сумме этого числа, умноженного на каждое из чисел в отдельности.
Рассмотрим следующее выражение:
(3 + 5) × 2
Мы знаем, что сначала нужно выполнить действие в скобках. Делаем так:
(3 + 5) = 8
В основном выражении (3 + 5) × 2 замените выражение в скобках на полученную восьмерку:
8 × 2 = 16
Ответ равно 16. Тот же пример можно решить, используя распределительный закон умножения.
Для этого умножьте каждое слагаемое в скобках на 2, затем сложите результаты:
Мы слишком подробно рассмотрели распределительный закон умножения. В школе этот пример записали бы очень кратко. Вам тоже нужно привыкнуть к этому типу обозначений. Выглядит так:
(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16
Или еще короче:
(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16
Теперь запишем распределительный закон умножения с использованием переменных:
(a + b) × c = a × c + b × c
Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Его начало выглядит так: (a+b)×c.
Если рассматривать выражение в скобках (a + b) в целом, то оно будет множителем, а переменная c будет множителем, потому что они связаны знаком умножения ×
Из коммутативного закона умножения мы узнали, что если поменять местами первый множитель и второй, произведение не изменится.
Если поменять местами множитель (a + b) и множитель c, мы получим выражение c × (a + b).
Затем мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Чтобы сделать это умножение, мы применяем распределительный закон умножения. В этом случае переменная c должна быть умножена на каждое слагаемое в скобках:
c × (a + b) = c × a + c × b
Пример 2 . Найдите значение выражения 5 × (3 + 2)
Умножьте число 5 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты:
5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25
Пример 3 . Вычислите 6 × (5 + 2)
Умножьте 6 на каждое слагаемое в скобках и сложите результаты:
6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42
Если скобки являются не суммой, а разницей, необходимо сначала умножить множитель на каждое число, указанное в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число. В принципе, ничего нового.
Пример 4 . Найдите значение выражения 5 × (6 — 2)
Умножьте 5 на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число:
5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20
Пример 5 .
Вычислите 7 × (3 — 2)
Умножьте 7 на каждое число в скобках. Затем из первого числа вычтите второе число:
7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7
Упражнения
Задание 1. Найдите значение выражения по распределительному закону умножения:
3 × (7 + 8)
Решение:
3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45
Показать решение
Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
5 × (6 + 8)
Решение:
5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70
Показать решение
Задача 3. Найдите значение выражения, используя порядок действий:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
Показать решение
Задача 4.