Правило как умножить число на дробь: Как умножить число на дробь

Содержание

правила, примеры, решения, как умножить натуральное число на смешанную дробь

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

Определение 1
  • Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
  • Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Пример 1

Сделать умножение 357 и 1211.

Решение

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: 357=3·7+57=267 и 1211=1·11+211=1311.

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: 357·1211=267·1311.

После чего получим 267·1311=26·137·11=33877.

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть:33877=43077.

В итоге получим 357·1211=267·1311=26·137·11=33877=43077.

Ответ: 357·1211=43077.

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Пример 2

Произвести умножение 715·119.

Решение

Смешанные числа 715 и 119 можно представить в виде неправильных дробей: 135 и 109.

Получим, что 715·119=365·109=36·105·9.

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим 36·105·9.

Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:

36·105·9=2·2·3·3·2·55·3·3=2·2·21=8

Ответ: 715·119=8.

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби  и натурального числа.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Произвести умножение 2518 и 45.

Решение

Представляем смешанное число 2518 в виде неправильной дроби 4118, получим 2518·45=4118·45=41·4518. Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

41·4518=41·3·3·52·3·3=41·52=2052=10212

Ответ: 2518·45=10212.

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного  и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что abc·n=a+bc·n=a·n+bc·n.

Пример 4

Вычислить 1038·8.

Решение

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

1038·8=10+38·8=10·8+38·8=80+3=83

Ответ: 1038·8=83.

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Пример 5

Умножить 323 на 415.

Решение

Заменим данное смешанное число 323 при помощи дроби 113, тогда получим, что 323·415=113·415=4·113·15=4445.

Ответ: 323·415=4445.

Правила умножения дробей с разными знаменателями. Составление системы уравнений

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.


Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.


Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.


Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:


Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:


Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "

... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Действия с дробями

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение дробей с разными знаменателями
  • Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко - два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
  3. Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью - НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби - число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  4. Найти НОК знаменателей дробей;
  5. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  6. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  7. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
  8. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
  9. Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

    Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

    Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

  10. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  11. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  • Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
  • Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.
  • Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби - число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби - число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби - число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок - дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби - число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби - число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби - число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

    Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД - это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

    А НОК - это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

    НОД (20 и 30) = 10

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

    Получили красивый ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    НОД для (105 и 150) равен 15

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    • обратным числа 3 является дробь
    • обратным числа 4 является дробь
    • Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Умножение обыкновенных дробей

    Рассмотрим пример.

    Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей -- это обыкновенная дробь.

    Умножение двух обыкновенных дробей

    Правило умножения обыкновенных дробей:

    Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

    Пример 1

    Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

    Решение.

    Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

    Ответ: $\frac{15}{77}$

    Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

    Пример 2

    Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

    Решение.

    Используем правило умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

    В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

    \[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

    Краткое решение:

    \[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

    Ответ: $\frac{1}{24}.$

    При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

    Пример 3

    Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

    Решение.

    Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

    Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

    \[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

    Ответ: $\frac{1}{20}.$

    При умножении дробей можно применять переместительный закон:

    Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

    Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

    где $\frac{a}{b}$ -- обыкновенная дробь, $n$ -- натуральное число.

    Пример 4

    Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

    Решение.

    Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    \[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

    Ответ: $\frac{12}{17}.$

    Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

    Пример 5

    Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

    Решение.

    Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

    По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

    \[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

    В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

    \[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Краткое решение:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Ответ: $1\frac{2}{5}.$

    При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

    Деление обыкновенных дробей

    Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

    Деление двух обыкновенных дробей

    Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

    \[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

    В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

    \[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

    Ответ: $1\frac{5}{9}.$

    Табличка на двери

    Умножение обыкновенных дробей / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

    1. Главная
    2. Справочники
    3. Справочник по математике 5-9 класс
    4. Обыкновенные дроби
    5. Умножение обыкновенных дробей

    Примеры:

    Обратите внимание, если в ответе получается неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть.

    Если мы умножаем на натуральное число, которое можно сократить с числом, стоящим в знаменателе, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).

    Пример:

    Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей.

    Пример:

    Если мы перемножаем дроби, у которых можно сократить числитель первой и знаменатель второй дроби и (или) знаменатель первой и числитель второй дроби, то сначала выполняют сокращение, а затем умножение (такой ход действий облегчает вычисления).

    Примеры:

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

    Примеры:

    Для обыкновенных дробей, как и для натуральных чисел, выполняются свойства умножения (переместительное свойство умножения, сочетательное свойство умножения, распределительные свойства умножения относительно сложения и относительно вычитания). Также при умножении дроби на ноль (или нуля на дробь) получаем ноль, и при умножении дроби на единицу (или единицы на дробь) получим равную ей дробь.

    Примеры:

    Пример:

    Нахождение дроби от числа

    Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

    Примеры:

    а) Найти от числа 20.

    Решение:

    б) Найти 0,6 от числа 9.

    Решение:

    9·0,6 = 5,4.

    в) Найти 30 % от числа 500.

    Решение:

    1) 30% = 30 : 100 = 0,30 = 0,3

    2) 500·0,3 = 150.

    Взаимно обратные числа

    Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

    Примеры:

    1) , значит, числа - взаимно обратные;

    2)

    Чтобы определить число обратное смешанному числу, нужно представить это смешанное число в виде неправильной дроби.

    Пример:

    , значит, числу обратно число .

    Запомните:

    • Числом, обратным 1, является само число 1.
    • Для числа 0 обратного числа не существует.
    • Обратным числу является число .
    • Если - натуральное число, то обратным ему является число .

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    Советуем посмотреть:

    Доли. Обыкновенные дроби

    Сравнение дробей

    Делители и кратные

    Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

    Четные и нечетные числа

    Признаки делимости на 9 и на 3

    Простые и составные числа

    Разложение на простые множители

    Наибольший общий делитель

    Наименьшее общее кратное

    Деление и дроби

    Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Смешанное число

    Сложение и вычитание смешанных чисел

    Основное свойство дроби

    Решето Эратосфена

    Приведение дробей к общему знаменателю

    Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

    Деление обыкновенных дробей

    Обыкновенные дроби

    Правило встречается в следующих упражнениях:

    5 класс

    Задание 567, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1348, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1751, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    6 класс

    Номер 338, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

    Номер 510, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

    Задание 490, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 636, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 656, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1176, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1229, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1326, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1348, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

    Задание 1431, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


    © budu5.com, 2021

    Пользовательское соглашение

    Copyright

    Как умножить смешанное число на натуральное. Дробь. Умножение дробей обыкновенных, десятичных, смешанных

    Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

    Запишем сначала основное правило:

    Определение 1

    Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

    Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

    У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

    Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

    5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

    Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

    Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

    Пример 1

    Умножьте 7 11 на 9 8 .

    Решение

    Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

    Все решение можно записать так:

    7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

    Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

    Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

    Пример 2

    Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

    Решение

    Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

    4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

    Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

    Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

    Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

    Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

    Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

    Пример 3

    Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

    Решение

    Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

    4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

    Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

    2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

    Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

    Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

    a b · c d = c d · a b = a · c b · d

    Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

    Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

    Определение 2

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

    Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

    a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

    Поясним нашу мысль конкретными примерами.

    Пример 4

    Вычислите произведение 2 27 на 5 .

    Решение

    В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

    2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

    Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

    Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

    Пример 5

    Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

    Решение

    По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

    НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

    Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

    В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

    Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

    Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

    Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

    a b · n = n · a b = a · n b

    Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

    Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

    Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

    Покажем на примере, как это делается.

    Пример 6

    Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

    Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

    Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

    1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

    Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

    Пример 7

    Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

    Решение

    Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
    7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

    Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

    Как умножить целое число на дробь – немного терминов

    Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

    Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
    Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

    Как умножить целое число на дробь

    Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.


    Сокращение

    Во втором примере полученную дробь можно сократить.
    Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.


    Неправильные дроби

    Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
    Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
    Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
    Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

    Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.


    Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Обозначение:

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.

    До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
    2. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Правильное решение:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    ) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

    Формула умножения дробей:

    Например:

    Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

    Деление обыкновенной дроби на дробь.

    Деление дробей с участием натурального числа.

    Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

    Умножение смешанных дробей.

    Правила умножения дробей (смешанных):

    • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
    • перемножаем числители и знаменатели дробей;
    • сокращаем дробь;
    • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

    Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Второй способ умножения дроби на натуральное число.

    Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

    Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

    Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Многоэтажные дроби.

    В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

    Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

    Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

    Обратите внимание, например:

    При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

    Практические советы при умножении и делении дробей:

    1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

    2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.

    3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

    4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

    Что такое дробь?

    Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

    Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

    Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ - третью; ¼ - четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

    Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель - сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель - под ней.

    Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

    Разновидности дробей

    Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

    Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь - число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 - целая часть, ½ - дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

    Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное - больше либо равно 1.

    Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

    Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

    Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

    Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

    Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

    • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
    • в конкретном примере неполное частное - целое;
    • и остаток - числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

    Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

    Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

    Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

    • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
    • полученное произведение прибавляется к числителю;
    • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

    Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

    Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - числитель.

    Ответ : 98 / 10.

    Умножение дробей обыкновенных

    Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

    Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе - это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

    Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

    Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

    Умножение дробей десятичных

    Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

    • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
    • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
    • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
    • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
    • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

    Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

    Решение .

    Умножение смешанных дробей

    Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

    • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
    • найти произведение числителей;
    • найти произведение знаменателей;
    • записать получившийся результат;
    • максимально упростить выражение.

    Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

    Умножение числа на дробь (дроби на число)

    Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

    Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

    • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
    • найти произведение, несмотря на запятую;
    • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

    Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

    Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

    Ответ : 7 1 / 2.

    Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

    Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

    Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

    Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

    Ответ : 88 1 / 2.

    Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

    Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

    Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

    Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

    Ответ : 65.

    Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

    Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

    Ответ : 3900.

    Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

    Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

    Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

    Ответ : 0,56.

    Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

    Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

    Ответ : 0,004.

    Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

    Умножение дробей в скобках. Умножение дробей, деление дробей

    Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

    Как умножить целое число на дробь – немного терминов

    Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

    Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
    Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

    Как умножить целое число на дробь

    Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.


    Сокращение

    Во втором примере полученную дробь можно сократить.
    Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.


    Неправильные дроби

    Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
    Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
    Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
    Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

    Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.


    Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

    Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

    Запишем сначала основное правило:

    Определение 1

    Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

    Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

    У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

    Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

    5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

    Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

    Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

    Пример 1

    Умножьте 7 11 на 9 8 .

    Решение

    Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

    Все решение можно записать так:

    7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

    Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

    Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

    Пример 2

    Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

    Решение

    Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

    4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

    Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

    Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

    Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

    Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

    Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

    Пример 3

    Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

    Решение

    Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

    4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

    Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

    2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

    Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

    Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

    a b · c d = c d · a b = a · c b · d

    Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

    Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

    Определение 2

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

    Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

    a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

    Поясним нашу мысль конкретными примерами.

    Пример 4

    Вычислите произведение 2 27 на 5 .

    Решение

    В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

    2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

    Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

    Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

    Пример 5

    Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

    Решение

    По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

    НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

    Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

    В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

    Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

    Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

    Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

    a b · n = n · a b = a · n b

    Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

    Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

    Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

    Покажем на примере, как это делается.

    Пример 6

    Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

    Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

    Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

    1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

    Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

    Пример 7

    Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

    Решение

    Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
    7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

    Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

    Умножение и деление дробей.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень. »
    И для тех, кто «очень даже. »)

    Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

    Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

    Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

    Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

    В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

    Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

    Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

    В первом случае (выражение слева):

    Во втором (выражение справа):

    Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

    А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

    то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

    И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

    Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

    Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

    1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

    2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

    3. Все дроби сокращаем до упора.

    4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

    Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы.

    Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

    Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

    Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

    0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

    А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет.

    Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы.

    В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!

    Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый .

    Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.

    Можете для тренировки зайти на сайт 321start.ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям.

    Если Вам нравится этот сайт.

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

    Правило 1.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

    Правило 2.

    Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

    1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей

    2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем.

    Правило 3.

    Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

    Правило 4.

    Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

    Пример 1.

    Вычислите

    Пример 2.

    Вычислите

    Пример 3.

    Вычислите

    Пример 4.

    Вычислите

    Математика. Другие материалы

    Возведение числа в рациональную степень. (
    Возведение числа в натуральную степень. (
    Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
    Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
    Признаки делимости (Лунгу Алена)

    Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’

    Умножение дробей

    Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

    Умножение обыкновенной дроби на дробь

    Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

    Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Деление дроби на число

    Как разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу.

    Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число - дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель - данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

    Отсюда делаем вывод:

    чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче:

    при делении дроби на число число идет в знаменатель.

    Выполнить деление дроби на число:

    Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3.

    При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8.

    При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7.

    Умножение и деление дробей

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.
    3. До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    4. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
    5. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    Деление дробей.

    Деление дроби на натуральное число.

    Примеры деления дроби на натуральное число

    Деление натурального числа на дробь.

    Примеры деления натурального числа на дробь

    Деление обыкновенных дробей.

    Примеры деления обыкновенных дробей

    Деление смешанных чисел.

      Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
    • преобразовать смешанные дроби в неправильные;
    • умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
    • сократить полученную дробь;
    • если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.
    • Примеры деления смешанных чисел

      1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

      2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

      Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

      Добро пожаловать на OnlineMSchool .
      Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

      Дроби. Умножение и деление дробей.

      Умножение обыкновенной дроби на дробь.

      Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

      Формула умножения дробей:

      Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

      Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!

      Деление обыкновенной дроби на дробь.

      Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.

      Формула деления обыкновенных дробей:

      Умножение дроби на натуральное число.

      Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.

      Деление дробей с участием натурального числа.

      Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

      Умножение смешанных дробей.

      Правила умножения дробей (смешанных):

      • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
      • перемножаем числители и знаменатели дробей;
      • сокращаем дробь;
      • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
      • Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

        Второй способ умножения дроби на натуральное число.

        Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

        Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

        Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

        Многоэтажные дроби.

        В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

        Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

        Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

        Обратите внимание, например:

        При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

        Практические советы при умножении и делении дробей:

        1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

        2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

        3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

        4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

      • Недо- и не до- Переделанная песня "Весеннее танго" (Приходит время - птицы с юга прилетают) - муз. Валерий Миляев Недослышал, недопонял, недогнал, в смысле том, что я не догадался, все глаголы с не раздельно написал, о приставке недо- я не знал. Бывает так, […]
      • Страница не найдена В третьем окончательном чтении был принят пакет документов Правительства, предусматривающих создание специальных административных районов (САР). Вследствие выхода из Евросоюза, Великобритания не будет включена в Европейскую зону НДС и […]
      • Объединенный следственный комитет появится уже осенью Объединенный следственный комитет появится уже осенью Следствие всех силовых структур соберут под одной крышей с четвертой попытки Уже осенью 2014-го, по данным «Известий», президент Владимир Путин […]
      • Патент на алгоритм Как патент на алгоритм выглядит Как патент на алгоритм готовится Подготовка технических описаний способов хранения, обработки, и передачи, сигналов и/или данных именно для целей патентования особых сложностей обычно не представляет, и […]
      • ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ 12 декабря 1993 года КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (с учетом поправок, внесенных Законами Российской Федерациио поправках к Конституции Российской Федерацииот 30.12.2008 N 6-ФКЗ, от 30.12.2008 N 7-ФКЗ,от […]
      • Частушки про пенсию женщине прикольные для юбиляра мужчины для юбиляра мужчины - хором для юбиляра женщины - посвящение в пенсионеры женщины шуточное Будут интересны конкурсы для пенсионеров Ведущий: Дорогие друзья! Минутку внимания! Сенсация! Только […]

    ) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

    Формула умножения дробей:

    Например:

    Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

    Деление обыкновенной дроби на дробь.

    Деление дробей с участием натурального числа.

    Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

    Умножение смешанных дробей.

    Правила умножения дробей (смешанных):

    • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
    • перемножаем числители и знаменатели дробей;
    • сокращаем дробь;
    • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

    Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Второй способ умножения дроби на натуральное число.

    Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

    Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

    Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Многоэтажные дроби.

    В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

    Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

    Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

    Обратите внимание, например:

    При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

    Практические советы при умножении и делении дробей:

    1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

    2. В заданиях с разными видами дробей - переходите к виду обыкновенных дробей.

    3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

    4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    Содержание урока

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

    1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Сложение дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

    1. Найти НОК знаменателей дробей;
    2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
    3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
    4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
    5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

    Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

    Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

    1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Вычитание дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

    Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

    Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
    2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

    Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

    Получили ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

    Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Деление дроби на число

    Допустим, у нас имеется половина пиццы:

    Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

    Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

    Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

    Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

    Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

    Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

    Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

    Умножение дробей и смешанных чисел. Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

    Умножение дробей и смешанных чисел. Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

    Главное замечание по теме от проекта DPVA.info: Дети часто путают действия с правильыми дробями (это такие дроби, где числитель меньше знаменателя) и со смешанными числами (состоящими из целой и дробной части).

    Умножение правильных дробей и смешанных чисел на натуральное число: Чтобы умножить правильную дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Для того, чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число предстваить в виде неправильной дроби, а затем ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения, после чего выделить целую часть.

    Умножение дробей : Чтобы умножить дробь на дробь, надо 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей. 2) первое произведение записать числителем, второе - знаменателем.

    Умножение смешанных чисел: Для того, чтобы выплнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

    Деление правильных дробей и смешанных чисел на натуральное число: Чтобы разделить правильную дробь на натуральное число, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения. Для того, чтобы разделить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число предстваить в виде неправильной дроби, а затем ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения, после чего выделить целую часть.

    Памятка: Взаимно обратные числа это числа, произведение которых равно 1. Например: дроби 71/17 и 17/71 взаимно обратны. Делимое - то, что делят. Делитель - то, на что делят.

    Деление дробей: Для того, чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число обратное делителю.

    Деление смешанных чисел: Для того, чтобы выполнить деление смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления дробей.

    Умножение дроби на минус 1. Составление системы уравнений

    Умножение и деление дробей.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно "не очень..."
    И для тех, кто "очень даже...")

    Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

    Например:

    Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

    Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

    Например:

    Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:

    В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

    Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

    Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

    В первом случае (выражение слева):

    Во втором (выражение справа):

    Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

    А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

    то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

    И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

    Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

    Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

    Практические советы:

    1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

    2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.

    3. Все дроби сокращаем до упора.

    4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

    5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

    Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...

    Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

    Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

    Вычислить:

    Порешали?

    Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

    0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

    А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...

    Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.

    Если Вам нравится этот сайт...

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Содержание урока

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

    1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Сложение дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

    1. Найти НОК знаменателей дробей;
    2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
    3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
    4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
    5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

    Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

    Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

    1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
    2. Вычитание дробей с разными знаменателями

    Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

    Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Найти значение выражения .

    Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

    Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

    1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
    2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

    Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

    Получили ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

    Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    Деление дроби на число

    Допустим, у нас имеется половина пиццы:

    Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

    Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

    Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

    Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

    Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

    Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

    Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

    Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

    Запишем сначала основное правило:

    Определение 1

    Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

    Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

    У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

    Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

    5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

    Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

    Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

    Пример 1

    Умножьте 7 11 на 9 8 .

    Решение

    Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

    Все решение можно записать так:

    7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

    Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

    Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

    Пример 2

    Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

    Решение

    Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

    4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

    Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

    Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

    Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

    Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

    Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

    Пример 3

    Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

    Решение

    Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

    4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

    Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

    2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

    Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

    Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

    a b · c d = c d · a b = a · c b · d

    Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

    Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

    Определение 2

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

    Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

    a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

    Поясним нашу мысль конкретными примерами.

    Пример 4

    Вычислите произведение 2 27 на 5 .

    Решение

    В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

    2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

    Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

    Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

    Пример 5

    Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

    Решение

    По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

    НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

    Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

    В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

    Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

    Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

    Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

    a b · n = n · a b = a · n b

    Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

    Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

    Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

    Покажем на примере, как это делается.

    Пример 6

    Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

    Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

    Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

    1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

    Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

    Пример 7

    Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

    Решение

    Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
    7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

    Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

    Умножение и деление дробей.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень. »
    И для тех, кто «очень даже. »)

    Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

    Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

    Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

    Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

    В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

    Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

    Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

    В первом случае (выражение слева):

    Во втором (выражение справа):

    Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

    А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

    то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

    И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

    Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

    Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

    1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

    2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

    3. Все дроби сокращаем до упора.

    4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

    Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы.

    Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

    Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

    Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

    0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

    А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет.

    Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы.

    В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!

    Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый .

    Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.

    Можете для тренировки зайти на сайт 321start.ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям.

    Если Вам нравится этот сайт.

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

    Правило 1.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

    Правило 2.

    Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

    1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей

    2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем.

    Правило 3.

    Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

    Правило 4.

    Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

    Пример 1.

    Вычислите

    Пример 2.

    Вычислите

    Пример 3.

    Вычислите

    Пример 4.

    Вычислите

    Математика. Другие материалы

    Возведение числа в рациональную степень. (
    Возведение числа в натуральную степень. (
    Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
    Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
    Признаки делимости (Лунгу Алена)

    Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’

    Умножение дробей

    Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

    Умножение обыкновенной дроби на дробь

    Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

    Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Деление дроби на число

    Как разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу.

    Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число - дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель - данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

    Отсюда делаем вывод:

    чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче:

    при делении дроби на число число идет в знаменатель.

    Выполнить деление дроби на число:

    Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3.

    При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8.

    При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7.

    Умножение и деление дробей

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь - ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные - и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.
    3. До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    4. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить - тот, которому не нашлось пары;
    5. Если минусов не осталось, операция выполнена - можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение - весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей - это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    Деление дробей.

    Деление дроби на натуральное число.

    Примеры деления дроби на натуральное число

    Деление натурального числа на дробь.

    Примеры деления натурального числа на дробь

    Деление обыкновенных дробей.

    Примеры деления обыкновенных дробей

    Деление смешанных чисел.

      Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
    • преобразовать смешанные дроби в неправильные;
    • умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
    • сократить полученную дробь;
    • если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.
    • Примеры деления смешанных чисел

      1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

      2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

      Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

      Добро пожаловать на OnlineMSchool .
      Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

      Дроби. Умножение и деление дробей.

      Умножение обыкновенной дроби на дробь.

      Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

      Формула умножения дробей:

      Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

      Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!

      Деление обыкновенной дроби на дробь.

      Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.

      Формула деления обыкновенных дробей:

      Умножение дроби на натуральное число.

      Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.

      Деление дробей с участием натурального числа.

      Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

      Умножение смешанных дробей.

      Правила умножения дробей (смешанных):

      • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
      • перемножаем числители и знаменатели дробей;
      • сокращаем дробь;
      • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
      • Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

        Второй способ умножения дроби на натуральное число.

        Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

        Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

        Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

        Многоэтажные дроби.

        В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

        Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

        Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

        Обратите внимание, например:

        При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

        Практические советы при умножении и делении дробей:

        1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

        2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

        3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

        4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

      • Недо- и не до- Переделанная песня "Весеннее танго" (Приходит время - птицы с юга прилетают) - муз. Валерий Миляев Недослышал, недопонял, недогнал, в смысле том, что я не догадался, все глаголы с не раздельно написал, о приставке недо- я не знал. Бывает так, […]
      • Страница не найдена В третьем окончательном чтении был принят пакет документов Правительства, предусматривающих создание специальных административных районов (САР). Вследствие выхода из Евросоюза, Великобритания не будет включена в Европейскую зону НДС и […]
      • Объединенный следственный комитет появится уже осенью Объединенный следственный комитет появится уже осенью Следствие всех силовых структур соберут под одной крышей с четвертой попытки Уже осенью 2014-го, по данным «Известий», президент Владимир Путин […]
      • Патент на алгоритм Как патент на алгоритм выглядит Как патент на алгоритм готовится Подготовка технических описаний способов хранения, обработки, и передачи, сигналов и/или данных именно для целей патентования особых сложностей обычно не представляет, и […]
      • ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ 12 декабря 1993 года КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (с учетом поправок, внесенных Законами Российской Федерациио поправках к Конституции Российской Федерацииот 30.12.2008 N 6-ФКЗ, от 30.12.2008 N 7-ФКЗ,от […]
      • Частушки про пенсию женщине прикольные для юбиляра мужчины для юбиляра мужчины - хором для юбиляра женщины - посвящение в пенсионеры женщины шуточное Будут интересны конкурсы для пенсионеров Ведущий: Дорогие друзья! Минутку внимания! Сенсация! Только […]

    Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы - доли. Доли - это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» - разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

    Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

    Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи - Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи - просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

    Умножение дробей с разными знаменателями

    Изначально стоит определить разновидности дробей :

    • правильные;
    • неправильные;
    • смешанные.

    Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель - произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

    При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

    a/ b * c/ d = a*c / b*d.

    Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

    Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

    • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
    • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

    В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

    Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

    1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

    Как происходит перемножение

    Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

    2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

    В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

    a * b/ c = a*b / c.

    По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

    4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

    Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

    d * e/ f = e/ f: d.

    Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

    Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

    1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

    В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

    a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

    Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

    Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

    В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях - так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

    Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

    В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя - свои достоинства, - не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя - своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

    УМНОЖЕНИЕ

    УМНОЖЕНИЕ

    Чтобы умножить целое число на дробь, выполните следующие действия.

    1.
    Преобразует целое число в дробь. (См. Правило 8)
    2.
    Умножьте числители.
    3.
    Умножьте знаменатели.
    4.
    Уменьшите результаты. (См. Правило 10)
    а.
    Разложите на множители числители.
    б.
    Разложите на множители произведение знаменателей.
    с.
    Найдите дроби со значением 1.

    Пример: Умножение.

    Ответ. Преобразуйте 3 в дробь. Теперь у нас есть

    Умножьте числители и знаменатели, но оставьте их в факторизованном виде.

    Разложите числитель и знаменатель на множители и найдите дроби со значением 1.У нас есть

    Теперь докажите себе с помощью калькулятора, что ваш ответ правильный. Вычислите 4, разделенные на 8, и умножьте ответ на 3. Теперь посчитайте 3, разделенные на 2. Если вы правы, ответы будут одинаковыми (эквивалентными), и вы успешно умножили простую дробь на целое число.

    Если вы хотите просмотреть другой пример, щелкните слово «Пример».

    Решите следующие задачи и нажмите «Ответить», чтобы проверить результаты.

    Задача 1: Умножьте дробь.

    Отвечать

    Задача 2: Умножьте и уменьшите ответ.

    Отвечать

    Задача 3: Умножьте и уменьшите ответ.

    Отвечать

    Задача 4: Уменьшить.

    Отвечать

    Задача 5: Уменьшить.

    Отвечать

    Меню Вернуться к умножению простых дробей С.Домашняя страница O.S MATHematics

    Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

    Автор: Нэнси Маркус
    Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
    Свяжитесь с нами
    Math Medics, LLC. - П.О. Box 12395 - El Paso TX 79913 - США
    пользователей онлайн за последний час

    Алгебраические правила работы с дробями.

    Измененные уравнения и выражения для соответствия новому формату.

    Пересмотрено и исправлено произношение IPA.

    Правописание исправлено.

    Удалены битые ссылки, обновлена ​​лицензия, реализована новая разметка, реализован новый протокол Geogebra.

    Добавил "Ссылки".

    Начальная версия.

    Правила дроби
    Операция Уравнения Примеры Описание
    Сложение двух дробей [2] Чтобы сложить дроби, преобразуйте каждую дробь так, чтобы у них был общий знаменатель.Сложите числители и используйте общий знаменатель в качестве знаменателя. Уменьшить фракцию. См. Операции с дробями: сложение и вычитание.
    Вычитание двух дробей Чтобы вычесть дроби, преобразуйте каждую дробь так, чтобы она имела общий знаменатель. Вычтите числители и используйте общий знаменатель в качестве знаменателя. Уменьшить фракцию. См. Операции с дробями: сложение и вычитание.
    Умножение двух дробей [2] Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели.Уменьшить фракцию. См. Операции с дробями: Умножение.
    Умножение дроби на целое число. Чтобы умножить дробь и целое число, умножьте числитель на целое число. Знаменатель остается неизменным. Если возможно, уменьшите фракцию.
    Деление двух дробей [2] Чтобы разделить дроби, переверните делитель вверх ногами, а затем умножьте на делимое.Уменьшить фракцию. См. Операции над дробями: деление.
    Деление дроби на целое число. Чтобы разделить дробь на целое число, преобразуйте целое число в дробь, разделите дроби.
    Возведение дроби в степень. См. Операции с дробями: Возведение в степень.
    Преобразование смешанного числа в неправильную дробь. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель и добавьте произведение в числитель.Знаменатель остается неизменным. См. Как преобразовать смешанное число в дробь.
    Преобразование неправильной дроби в смешанное число. Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель на знаменатель, используя остаток. Смешанное число - это частное плюс остаток, деленный на знаменатель. См. Как преобразовать дробь в смешанное число.
    Нулевой числитель. Применяя свойство умножения на ноль, нулевой числитель с нулевым знаменателем равен нулю.См. Свойство умножения на 0.
    Нулевой знаменатель. Поскольку деление на ноль не определено, нулевой знаменатель делает дробь неопределенной.
    Один знак минус. Поскольку, примените ассоциативное свойство умножения, чтобы получить
    Два знака минус. Поскольку, примените ассоциативное свойство умножения, чтобы получить
    Если дробь имеет тот же ненулевой числитель и знаменатель, значение дроби равно 1. Все, кроме 0, разделенное само на себя, равно 1.
    Любое целое число можно разделить на дробь. Поскольку, примените свойство умножения на 1:. См. Свойство умножения на 1.
    Уменьшение дробей. Даны два произвольных значения a и b , и значения c , d и e , такие что a = c · d и b c · e ,.См. Уменьшение дробей.
    Строительные фракции. Для дроби a / b и числа d , кратного d , найдите e так, что b · e = d , тогда a / b = ( a · e ) / ( b · e ).
    Операции над сложными дробями. Упростите сложные дроби, затем используйте правила для простых дробей. Чтобы управлять сложной дробью, преобразуйте ее в простую дробь, а затем следуйте правилам для простых дробей. См. Комплексная дробь.
    Преобразование десятичного числа в дробь. Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь, измените десятичную дробь на целое и разделите ее на 10 n , где n - количество цифр после десятичной точки.
    Преобразование процента в дробь. Чтобы преобразовать процент в дробь, используйте процентное значение в числителе, 100 в качестве знаменателя, а затем упростите.
    Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, сравните числители. Соотношение между дробями такое же, как и между знаменателями.
    Сравнение дробей с разными знаменателями. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, либо преобразуйте их в десятичную дробь, либо преобразуйте их в общий знаменатель, а затем сравните их.
    Таблица 1

    Обзор правил для экспонентов

    Обзор правил для экспонентов Ниже приведен список правил для экспонентов и пример или два использования каждого правила:
    Правило нулевой экспоненты: a 0 = 1 , это говорит о том, что все, что возведено в нулевую степень, равно 1.
    Правило мощности (Полномочия в полномочия): ( m ) n = mn , это говорит о том, что для возведения мощности в степень необходимо умножить степень.Есть несколько других правил, которые соответствуют правилу мощности, например, правило произведения к степеням и правило отношения к степеням.
    Правило отрицательной экспоненты :, это говорит о том, что отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями. Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели.
    Правило произведения : a m ∙ a n = a m + n , это говорит о том, что для умножения двух степеней с одинаковым основанием вы сохраняете основание и складываете степени.
    Правило частных :, это говорит о том, что для деления двух степеней с одинаковым основанием вы сохраняете основание и вычитаете степени. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень. Если в знаменателе указана более высокая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени.

    Теперь, когда мы рассмотрели правила для экспонент, вот шаги, необходимые для упрощения экспоненциальных выражений (обратите внимание, что мы применяем правила в том же порядке, что и правило было написано выше):

    Шаг 1 : Примените правило нулевой экспоненты.Измените все, что доведено до нулевой степени, на 1.
    Шаг 2 : Примените правило мощности. Умножьте (или распределите) показатель за пределами круглых скобок с каждым показателем внутри круглых скобок, помните, что если показатель не показан, то показатель степени равен 1.
    Шаг 3 : Примените правило отрицательной экспоненты. Отрицательные показатели в числителе перемещаются в знаменатель и становятся положительными показателями.Отрицательные показатели в знаменателе перемещаются в числитель и становятся положительными показателями. Перемещайте только отрицательные показатели. Обратите внимание, что порядок, в котором перемещаются объекты, не имеет значения.
    Шаг 4 : Примените правило продукта. Чтобы умножить два показателя степени с одинаковым основанием, вы сохраняете основание и складываете степени.
    Шаг 5 : Примените правило частного. Это похоже на сокращение фракций; когда вы вычитаете степени, поместите ответ в числитель или знаменатель в зависимости от того, где находится высшая степень.Если в знаменателе указана большая степень, поместите разницу в знаменатель и наоборот, это поможет избежать отрицательных показателей степени и повторения шага 3.
    Шаг 6 : Возвести каждый коэффициент (или число) в соответствующую степень, а затем упростить или уменьшить оставшиеся дроби.

    Пример 1 - Упростить:

    Пример 2 –Simplify:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Пример 3 –Simplify:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Пример 4 –Simplify:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Пример 5 –Упростить:

    Нажмите здесь, чтобы узнать о практических задачах

    Умножение дробей на целые числа

    Этот урок научит вас умножать дроби на целые числа на основе визуальных моделей.Мы просто находим общее количество частей путем умножения, что означает, что вы умножаете целое число и верхнее число (числитель) дроби. В уроке также есть много задач со словами.

    В видео ниже я учу умножать дроби на целые числа, что является довольно простой концепцией. Вам просто нужно помнить, что 4 x (2/3) не рассчитывается как (4 x 2) / (4 x 3). В визуальной модели вы можете раскрасить две трети, четыре раза, чтобы получить ответ. Я также показываю интересную связь между (1/3) x 5 или одной третью пяти пирогов и 5 x (1/3), или пятью копиями 1/3.

    3 ×

    4

    5

    - это три копии

    4

    5

    . (Посмотрите на картинку.)

    Сколько пятых в общее?

    Всего 12 пятых. Итак, 3 ×

    4

    5

    =

    12

    5

    .
    Наконец, мы даем ответ в виде смешанного числа :
    12/5 равно 2 2/5.
    =
    3 ×

    4

    5

    =

    12

    5

    = 2

    2

    5

    1.Неоднократно раскрашивайте детали, чтобы решить умножения. Ответьте смешанным числом .

    а. 4 ×

    7

    9

    =
    б. 3 ×

    5

    8

    =
    г. 5 ×

    11

    12

    =
    г. 6 ×

    7

    10

    =

    2. Заполнить.

    а.

    2

    4

    5

    = 2 ×

    г.

    25

    9

    = 5 ×

    г.

    2

    2

    8

    = 3 ×

    Решите, например, рисованием.

    3. Высокие стаканы Эрики вместимостью 3/8 литра.
    Сколько воды ей нужно налить четверо из них?


    4. Марлен хочет утроить этот рецепт (сделать его трижды).
    Сколько каждого ингредиента ей понадобится?
    Брауни

    3/4 стакана масла
    1 1/2 стакана коричневого сахара
    4 яйца
    1 1/4 стакана какао-порошка
    1/2 стакана муки
    2 чайные ложки ванили

    Чтобы умножить целое число на дробь, найдите общее количество "шт" (умножением). Это означает, что вы умножаете целое число на верхнее число. (числитель) фракции.
    Пример 1. 8 ×

    3

    4

    означает 8 × 3 штуки или 24 штуки. Каждое произведение - четвертое. Итак, получаем

    24

    4

    .

    Наконец, запишем ответ в виде смешанного числа.На этот раз

    24

    4

    оказывается целым числом 6.

    Пример 2. Умножение можно производить в любом порядке. (Другими словами, умножение равно коммутативным .)

    Итак,

    3

    10

    × 5 совпадает с 5 ×

    3

    10

    .Они оба равны

    5 × 3

    10

    =

    15

    10

    . Это упрощается до

    3

    2

    , что составляет 1

    1

    2

    .

    5. Решить. Дайте свой ответ в минимальных выражениях (упрощенно) и как смешанное число.Изучите пример.

    а. 6 ×

    4

    9

    =

    24

    9

    =

    8

    3

    = 2

    2

    3

    б. 4 ×

    7

    10

    =
    г. 2 ×

    11

    20

    =
    г. 9 ×

    2

    15

    =
    e.

    15

    6

    × 2 =
    ф. 6 ×

    7

    100

    =
    г.

    1

    12

    × 16 =
    ч. 2 ×

    35

    100

    =
    i.

    9

    20

    × 10 =
    к.

    7

    15

    × 7 =

    6.Уильям спросил 20 пятиклассников, сколько времени они потратили на работу по дому / работу по дому накануне. Затем он
    округлил ответы до ближайшей 1/8 часа. В линейный график показывает его результаты. Каждая x-отметка
    соответствует одному пятикласснику.

    а. Исключить трех студентов, которые сделали меньше всего работа по дому и трое, которые сделали больше всего, и введите:

    Большинство студентов использовали между ___________ и __________ часов для работы по дому и по дому.

    г. Среднее значение для этих данных составляет 7/8 часов. Использовать это подсчитать, сколько часов
    эти 20 пятых грейдеры, используемые для работы по дому в целом.

    НАПОМИНАНИЕ

    Дробь из число означает , что дробь ВРЕМЯ номер.
    Другими словами, слово «из» переводится как умножение. Для например

    3

    10

    из

    $ 120

    3

    10

    × $ 120

    Теперь вы уже научились находить 3/10 из 120 долларов с использованием деления :

    Мы также получаем тот же ответ с умножение дроби :

    3

    10

    × 120 долларов =

    3 × 120 $

    10

    =

    $ 360

    10

    = 36 долларов.

    Оба метода по сути одинаковы: вы делите на 10 и умножаете на 3, всего в двух разных порядках.

    7. Найдите следующие величины.

    а. 2/5 из 35 фунтов

    г. 4/9 из 180 км

    8. Папа строит полку длиной 4 метра. Он хочет использовать
    2/5 из них для садовые принадлежности и остальное для инструментов.
    Какова длина этих двух частей? полка?
    ( Подсказка: может помочь использование сантиметров.)

    9. а. Джанет и Сэнди заработали 81 доллар за работу во дворе. Они разделили
    денег поровну, так что Джанет получила 2/3 из них, а Сэнди получил
    отдых. Сколько денег получила каждая девушка?

    г. Что происходит, если вместо этого они заработали 80 долларов?

    10. Энди нарисовал на бумаге прямоугольник размером 5 на 4 дюйма. Затем он нарисовал
    второй прямоугольник, который был на 3/4 длины и ширины первого. один.

    а. Какой длины и ширины была секунда Энди прямоугольник?

    г. Нарисуйте оба прямоугольника (на отдельной бумаге).

    Эпилог: Есть кое-что интересное в умножении «дроби на целое». номер »
    или умножение «целого числа на дробь». Давайте сравним.

    1

    4

    × 12 означает четвертую часть 12 , , которая равна 3.

    12

    ×

    1

    4

    означает 12 экземпляров 1/4 ,

    , что дает 3 целых пирога.

    Уведомление: Оба

    1

    4

    × 12 и 12 ×

    1

    4

    равно 3.Это имеет смысл, потому что умножение может быть

    выполняется в любом порядке. Но они означают разные вещи (четвертая часть из 12 и 12 экземпляров из 1/4).

    11. Заполните недостающие части.

    а. Двухпятая часть 10 10 экз. Из 2/5

    × 10 означает две пятых части 10,

    , что равно .

    10

    × означает 10 копий ,

    , что равно .

    г. А ______________ часть 5 5 экз. Из 1/3

    1

    3

    × 5 означает часть 5,

    , что равно .

    5

    × означает 5 копий ,

    , что равно .

    г. ____________________ из 7 7 экз. _______
    × 7 означает из 7,

    , что равно .

    7

    × означает 7 копий ,

    , что равно .


    Здесь вы найдете бесплатные распечатанные рабочие листы для умножения дробей на целые числа.


    Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Fractions 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.



    Умножение дробей - Magoosh Math

    Умножение дробей - это проще простого! Например, если вы берете 1/4 торта, а затем решаете съесть только половину, вы съели (1/4) × (1/2) = 1/8 торта. На мой взгляд, довольно вкусная математика!

    Из этой статьи вы узнаете все, что вам нужно знать об умножении дробей, включая методы работы со смешанными дробями.

    Умножение дробей похоже на отрывание от торта.

    Изображение TesaPhotography

    Умножение дробей - Правила

    Есть несколько простых правил умножения двух дробей.

    1. Умножьте вершины вместе и поместите поверх полученной дроби.
    2. Умножьте нижние части вместе и поместите на нижнюю часть результата.
    3. По возможности упростите результат.

    Эти правила часто обобщаются фразой: «Умножайте сверху и снизу.”

    Я использую слова верхний и нижний , но вам также следует знать математические термины:

    • Верхним верхним числом дроби является числитель .
    • Нижнее число дроби - знаменатель

    Давайте посмотрим на пару примеров.

    Примеры - умножение простых дробей

    1. Умножить:

      Сначала умножьте числители, чтобы получить: 4 × 7 = 28.

      Затем умножьте знаменатели, чтобы получить: 5 × 9 = 45.

      Наконец, составьте свой ответ:.

      Нет общих множителей (кроме 1) между 28 и 45, поэтому эта дробь уже находится в наименьших условиях . Это означает, что мы закончили! Ответ - 28/45.

    2. Умножить:

      Вы можете выполнить всю работу в рамках одной математической строчки. Обратите внимание, как вершины остаются наверху, а низы остаются внизу.

      Теперь мы должны упростить результат. Вы можете найти общие множители между 126 и 60 и напрямую уменьшить результат…

      Тем не менее, я хочу показать вам более простой способ , который избавляет от многих догадок!

      Да, пожалуйста, я пойду по легкому пути!

      Изображение suetot

      Уловка состоит в том, чтобы уменьшить дробь до , вы даже умножите вершины и основания!

      Позвольте мне показать вам, как это работает на этом примере.Метод начинается так же, собирая числители и знаменатели. Но затем поищите любые отмены, которые могут быть выполнены с до , умножая все это.

      В этом примере мы видим, что 9 и 15 имеют общий множитель 3. Кроме того, 14 и 4 имеют общий множитель 2. Убедитесь, что вы сначала разделите эти общие множители, а затем вы можете умножить их сверху и снизу. .

      Таким образом, окончательный ответ - 21/10. (Учтите, что если вы полностью уменьшите исходный ответ 126/60, то таким же образом вы получите 21/10.)

    Более двух факторов

    Ярлык отмены отлично подходит для продуктов, в которых задействовано более двух факторов. Фактически, эти проблемы могут стать очень легкими, если вы просто сначала поищете факторы, которые отменяют.

    Умножьте (1/2) × (2/3) × (3/4) × (4/5).

    Поначалу это выглядит как большая работа, но не забудьте исключить общие факторы!

    Особые случаи

    Следует рассмотреть несколько особых случаев. Например, падежи, включающие целые числа или смешанные дроби.

    Умножение дробей и целых чисел

    Как бы вы умножили дробь на целое число?

    Ключ состоит в том, чтобы переписать целое число как дробь .

    Любое целое число n можно записать в виде дроби со знаминателем 1.

    Затем вы можете использовать методы умножения дробей для продолжения.

    Теперь давайте посмотрим, как это помогает, на следующем примере.

    В Ms.Класс Берка. 3/5 из них - девушки. Сколько всего девочек в классе?

    Сначала мы должны перевести слово «проблема» на математический язык. Каждый раз, когда вы видите фразу, в которой упоминается дробь из , подумайте об умножении. Итак, нам нужно найти значение (3/5) × 60.

    Найдите общие факторы. 60 и 5 имеют коэффициент 5.

    Таким образом, в классе мисс Берк 36 девочек.

    Умножение смешанных дробей

    Смешанная дробь - это число наподобие 7½, состоящее из целой части (7) и дробной части (½).

    Чтобы умножить две смешанные дроби (или смешанную дробь на простую), вы должны сначала преобразовать каждую смешанную дробь в простую дробь.

    Запомните правило преобразования смешанных дробей:

    1. Умножьте знаменатель на целую часть.
    2. Добавьте результат в числитель. Это ваш новый числитель.
    3. Сохраните старый знаменатель.

    Например, чтобы преобразовать 7½, сначала умножьте 2 × 7 = 14. Затем добавьте 1 из числителя, чтобы получить 15.Наконец, сохраните старый знаменатель, чтобы получить простую дробь 15/2.

    Дроби, у которых числитель больше знаменателя, часто называют неправильным . Эта терминология заставляет их казаться плохими в каком-то смысле - но неправильные дроби так же «хороши», как и любые другие дроби!

    В любом случае, как только вы преобразовали каждую смешанную дробь в простую, вы можете использовать описанные выше методы для умножения. Посмотрим, как это работает!

    Преобразуйте каждую смешанную дробь в эквивалентную простую дробь, затем умножьте.

    Для этого не было общих факторов, которые можно было бы сократить. Результат также является неправильным, поэтому вам может потребоваться преобразовать его обратно в смешанную дробь, в зависимости от характера проблемы.

    Преобразование обратно в смешанную дробь аналогично делению с остатком. Частное - это целая часть, а остаток - это новый числитель.

    Уловка для экономии времени для смешанных фракций

    Иногда, если у смешанных дробей достаточно малые знаменатели, можно использовать хитрый прием, чтобы сэкономить труд.Теперь я сосредоточен на сохранении работы - надеюсь, вы тоже!

    Основная идея состоит в том, что смешанная дробь - это просто сокращение для сложения целой части и дробной части. Например, 7½ = 7 + ½.

    Таким образом, вы можете использовать свойство распределения для умножения дробей, особенно когда смешан только один из множителей.

    Умножить: 7½ × 6/7 и упростить.

    Теперь работайте над каждым членом как с отдельным умножением. Не забывайте рассматривать 7 как дробь 7/1.

    Что делать, если есть отрицательный результат?

    Правила умножения отрицательных дробей точно такие же, как и для умножения отрицательных дробей в целом.

    • Положительный, умноженный на положительный, значит положительный. Например, 3/4 × 7/2 = 21/8.
    • раз отрицательное или положительное, умноженное на отрицательное. Например, 2/3 × (–3/4) = –6/12 = –1/2.
    • Отрицательные, умноженные на отрицательные, на положительные. Например, (–4/3) × (–7/5) = 28/15.

    Но что, если отрицательный символ стоит только в числителе или только в знаменателе? Есть ли разница?

    Ответ: нет .Независимо от того, встречается ли отрицательный символ сверху, снизу или слева от всей дроби, все это означает одно и то же!

    Практические задачи

    Теперь ваша очередь! Вот семь задач, чтобы проверить свои навыки умножения дробей. Решения будут даны в конце.

    1. 1/3 × 4/5
    2. –3/7 × 2/11
    3. 9/10 × 35/36
    4. 3/8 × 10
    5. 5/3 × 7/2 × 6/7
    6. 6 × 4¾
    7. –11/3 × (–3/11)

    Готовы увидеть ответы?

    Автор: Andrey_Popov

    Решения

    1. 1/3 × 4/5 = (1 × 4) / (3 × 5) = 4/15.Дальнейшее упрощение невозможно, поскольку 4 и 15 не имеют общих множителей (кроме 1).
    2. –3/7 × 2/11 = - (3 × 2) / (7 × 11) = –6/77. Опять же, нетривиальных общих множителей нет, поэтому ответ не сводится. Ответ отрицательный, потому что проблема имела вид отрицательный умноженный на положительный .
    3. 3/8 × 10/1 = (3 × 10) / (8 × 1). Вы можете отменить общий множитель 2 из 10 в числителе и 8 в знаменателе.(3 × 5) / (4 × 1) = 15/4.
    4. Найдите общие множители и отмените, прежде чем умножать.
    5. Можно использовать либо метод преобразования смешанных дробей, либо метод распределения. Для сравнения покажу вам оба метода.
      1. Преобразование: первое преобразование 4¾ = 19/4. Затем умножьте на 6 = 6/1.

        Тогда вам может потребоваться преобразовать это в смешанную дробь. Разделите 57 на 2. Вы получите частное 28 с остатком 1.

        Следовательно, окончательный ответ - 28½.

      2. Распределение: Думайте о 4¾ как о 4 + ¾

        Здесь вы можете преобразовать 9/2 = 4½. Затем добавив это к 24, вы получите 28½, как и выше.

    6. Сначала заметьте, что отрицательное умножение на отрицательное дает положительное. Таким образом, мы имеем:

      (–11/3) × (–3/11) = (11 × 3) / (3 × 11). И 11, и 3 будут отменены, и у нас останется 1/1. Другими словами, окончательный ответ - 1.

      Примечание. –11/3 и –3/11 - это , обратные . Обратное значение дроби - это то, что вы получаете, когда меняете местами числитель и знаменатель.Обратные всегда умножаются, чтобы получить 1.

    Сводка

    Надеюсь, теперь вы лучше понимаете, как умножать дроби.

    Есть три основных шага.

    1. Умножение числителей (вершин).
    2. Умножаем знаменатели (основания).
    3. По возможности упростите результат.

    Кроме того, вы должны знать об этих особых ситуациях.

    1. Целое число n можно выразить дробью n /1.
    2. Если используются смешанные дроби, вы можете сначала преобразовать смешанную дробь в простую (неправильную) дробь, а затем произвести умножение. Или вы можете использовать распределение, думая о смешанной дроби как о сумме ее целой и дробной частей.
    3. Если какая-либо из дробей отрицательна, просто следуйте тем же правилам, что и для умножения положительных и отрицательных чисел в целом. Другими словами:
      • Положительный × положительный = положительный
      • Положительное × отрицательное = отрицательное
      • отрицательный × положительный = отрицательный
      • отрицательный × отрицательный = положительный

    Если вы хотите увидеть больше статей о дробях, ознакомьтесь с этими информативными статьями: Добавление дробей: все, что вам нужно знать, что такое рациональные числа ?.

    О Шоне Олте
    Шон получил докторскую степень по математике в Государственном университете Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). В 2002 году он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже. Кроме того, Шон получил степень бакалавра искусств. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности "музыкальная композиция". Шон по-прежнему любит музыку - почти так же, как математику! - и он (думает, что) может играть на пианино, гитаре и басу. Шон обучал и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!

    Разделение на дроби

    У деления дробей есть странное правило

    Разделение на дроби может быть немного сложным.Это единственная операция, которая требует использования , обратного . Использование обратного числа просто означает, что вы переворачиваете дробь или инвертируете .

    Например, , величина, обратная 2/3 , будет 3/2 .

    После того, как мы дадим вам правило деления, мы покажем вам, ПОЧЕМУ вы должны использовать обратную величину в первую очередь.

    А пока…

    Вот правило для подкласса

    Чтобы разделить, преобразует процесс дробного деления в процесс умножения, используя следующие шаги.

    1. Измените «÷» (знак деления) на «x» (знак умножения) и переверните число вправо знака.
    2. Умножьте числители.
    3. Умножьте знаменатели.
    4. Перепишите свой ответ в упрощенном или сокращенном виде, если необходимо.

    После того, как вы выполните Шаг № 1 для деления дробей, проблема фактически изменится с деления на умножение .

    Пример 1: Разделение дробей на дроби

    1/2 ÷ 1/3 = 1/2 x 3/1

    1/2 x 3/1 = 3/2

    Упрощенный ответ: 1 1/2

    Пример 2: Разделение дробей на целые числа

    1/2 ÷ 5 = 1/2 ÷ 5/1

    (Не забудьте преобразовать
    целых чисел в дроби, ПЕРВЫЙ!)

    1/2 ÷ 5/1 = 1/2 x 1/5

    1/2 x 1/5 = 1/10

    Пример 3: Деление целых чисел на дроби

    6 ÷ 1/3 = 6/1 ÷ 1/3

    (Не забудьте преобразовать
    целых чисел в дроби, ПЕРВЫЙ!)

    6/1 ÷ 1/3 = 6/1 x 3/1

    6/1 x 3/1 = 18/1 = 18

    Вот и все. Основные вещи , которые вы должны помнить при делении, - это сначала преобразовать целые числа в дроби, затем инвертировать дробь вправо знака деления и изменить знак на умножение.

    «делитель» имеет некоторые другие соображения , о которых следует помнить…

    Особые примечания!
    • Не забудьте только инвертировать делитель.
    • Числитель или знаменатель делителя не может быть «нулем».
    • Преобразуйте операцию в умножение ДО выполнения любых отмен.

    Я обещал попытаться объяснить, почему правило требует инвертирования делителя.

    Вот и ...

    Почему для деления дробей требуется инвертирование делителя

    Давайте воспользуемся нашим простым примером, чтобы на самом деле проверить это странное правило деления.

    Если вы действительно задумаетесь, мы делим дробь на дробь , которая образует так называемую «сложную дробь» .На самом деле это выглядит так…

    При работе со сложными дробями сначала нужно избавиться от знаменателя (1/3) , чтобы нам было проще решить эту задачу.

    Вы можете вспомнить, что любое число, умноженное на обратное, равно 1. А поскольку 1/3 x 3/1 = 1 , мы можем использовать обратное свойство 1/3, (3/1) , сделать значение знаменателя равным 1.

    Вы также можете вспомнить, что что бы мы ни делали со знаменателем дроби, мы должны также сделать и ее числитель, чтобы не изменять общее «значение» дроби.

    Итак, давайте умножим числитель и знаменатель на 3/1…

    Что дает нам…

    Вот что произошло…

    Умножив числитель и знаменатель нашей комплексной дроби на 3/1, мы смогли использовать обратное свойство дроби, чтобы удалить знаменатель. Фактически, без нашего полезного Правила нам пришлось бы использовать все шаги, описанные выше.

    Итак, Правило для деления дробей действительно экономит нам много шагов!

    Теперь это самое простое объяснение, которое я мог придумать для ПОЧЕМУ и КАК мы получаем правило , которое гласит, что всякий раз, когда мы делим дроби, мы должны инвертировать делитель !

    Дополнительная справка

    Умножение дробей

    Упрощение дробей

    Рабочие листы по разделению дробей

    Умножение дробей - математика для учителей начальной школы

    Одной из наших моделей умножения целых чисел была модель площади.Например, произведение представляет собой площадь (количество квадратов 1 × 1) прямоугольника 23 на 37:

    Итак, произведение двух дробей, скажем, также должно соответствовать задаче площади.

    Думай / Пара / Делись

    1. Используйте модель для вычисления каждого из следующих продуктов. Нарисуйте картинку, чтобы четко увидеть ответ.

    2. Задача с площадью дала диаграмму с общим количеством из 21 маленького прямоугольника. Объясните, почему 21 отображается как общее количество прямоугольников одинакового размера.
    3. Задача площади дала диаграмму с 8 маленькими закрашенными прямоугольниками. Объясните, почему число 8 отображается как количество заштрихованных прямоугольников.

    Проблема 5

    Как можно расширить модель площади на дроби больше 1? Попробуйте нарисовать картинку для каждого из них:

    Самостоятельно

    Работайте над следующими упражнениями самостоятельно или с партнером.

    1. Вычислите следующие произведения, максимально упростив каждый из ответов.Вам не нужно рисовать картинки, но вы, безусловно, можете сделать это, если это поможет!

    2. Вычислите следующие произведения. (Не работайте слишком усердно!)

    3. Попробуйте вот это. Можете ли вы использовать правило дробей для вычислений? Как?

    Думай / Пара / Делись

    Чем отличаются эти две проблемы? Нарисуйте изображение каждого.

    1. У Пэм был торт в холодильнике, и она его съела.Сколько всего торта она съела?
    2. В понедельник Пэм съела торт. Во вторник Пэм съела торт. Оба торта были одинакового размера. Сколько всего торта она съела?

    Когда проблема включает фразу типа «из…», учащихся учат рассматривать «из» как умножение и использовать это для решения задачи. Как показывают приведенные выше проблемы, в некоторых случаях это имеет смысл, а в некоторых - нет. Важно внимательно прочитать и понять, о чем идет речь, а не запоминать правила «перевода» словесных задач.

    Вы, вероятно, упростили свою работу в приведенных выше упражнениях, используя следующее правило умножения.

    Умножение дробей

    Конечно, вы можете затем упростить окончательный ответ, но ответ всегда будет , что эквивалентно этому. Почему? Модель местности может помочь нам объяснить, что происходит.

    Во-первых, давайте четко напишем, как модель площади говорит о умножении. Мы хотим построить прямоугольник, у которого одна сторона имеет длину, а другая - длину.Начнем с квадрата, по одной единице с каждой стороны.

    Если ответ - это значит, что в квадрате есть все части одинакового размера, и они заштрихованы. Из модели видно, почему это так:

    Думай / Пара / Делись

    Придерживайтесь общего правила умножения

    Напишите четкое объяснение, почему маленькие прямоугольники будут затемнены.

    Часто учеников начальной школы учат умножать дроби на целые числа, используя правило дробей.

    Пример: умножение дробей

    Например, чтобы умножить, мы думаем о «2» как и вычисляем таким образом

    Чтобы ответить на подобные вопросы, мы также можем мыслить в терминах нашей оригинальной модели «Пироги на ребенка».

    Пример: пироги на ребенка

    Мы знаем, что это означает количество пирога, которое получает каждый ребенок, когда 7 детей поровну делят 3 пирога .

    Если мы посчитаем, это означает, что мы удвоим количество пирога, которое получает каждый ребенок.Мы можем сделать это, удвоив количество пирогов. Итак, ответ такой: сколько пирога получает каждый ребенок, когда 7 детей поровну делят 6 пирогов.

    Наконец, мы можем мыслить в терминах единиц и объединений.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *