Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа
| Справочник по математике | Элементы математического анализа | Производная функции |
| Правила вычисления производных |
| Таблица производных часто встречающихся функций |
| Таблица производных сложных функций |
Правила вычисления производных
Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.
Правило 1 (производная от произведения числа на функцию).
Справедливо равенство
(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,
где c – любое число.
Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.
Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле
(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),
то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле
(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),
то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.
Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
(f (x) g (x))’ =
= f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),
Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.
Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле
Определение. Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида
f (g (x))
При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.
Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле
[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)
Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .
Таблица производных часто встречающихся функций
В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.
| Функция | Формула для производной | Название формулы |
y = c , где c – любое число | y’ = 0 | Производная от постоянной функции |
y = x c , где c – любое число | y’ = c xc – 1 | Производная степенной функции |
| y = e x | y’ = e x | Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
y = a x где a – любое положительное число, не равное 1 | y’ = a x ln a | Производная от показательной функции с основанием a |
| y = ln x , x > 0 | , x > 0 | Производная от натурального логарифма |
y = log a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 | , x > 0 | Производная от логарифма по основанию a |
| y = sin x | y’ = cos x | Производная синуса |
| y = cos x | y’ = – sin x | Производная косинуса |
y = tg x , | , | Производная тангенса |
y = ctg x , | , | Производная котангенса |
y = arcsin x , | Производная арксинуса | |
y = arccos x , | Производная арккосинуса | |
| y = arctg x | Производная арктангенса | |
| y = arcctg x | Производная арккотангенса |
| Производная от постоянной функции |
Функция: y = c , где c – любое число Формула для производной: y’ = 0 |
| Производная степенной функции |
Функция: y = x c , где c – любое число Формула для производной: y’ = c xc – 1 |
| Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e) |
Функция: y = e x Формула для производной: y’ = e x |
| Производная от показательной функции с основанием a |
Функция: y = a x где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: y’ = a x ln a |
| Производная от натурального логарифма |
Функция: y = ln x , x > 0 Формула для производной: , x > 0 |
| Производная от логарифма по основанию a |
Функция: y = log a x , x > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: , x > 0 |
| Производная синуса |
Функция: y = sin x Формула для производной: y’ = cos x |
| Производная косинуса |
Функция: y = cos x Формула для производной: y’ = – sin x |
| Производная тангенса |
Функция: y = tg x , где Формула для производной: , |
| Производная котангенса |
Функция: y = ctg x , где Формула для производной: , |
| Производная арксинуса |
Функция: y = arcsin x , Формула для производной: |
| Производная арккосинуса |
Функция: y = arccos x , Формула для производной: |
| Производная арктангенса |
Функция: y = arctg x Формула для производной: |
| Производная арккотангенса |
Функция: y = arcctg x Формула для производной: |
Таблица производных сложных функций
В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.
В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .
| Функция | Формула для производной |
y = (kx + b) c , где c – любое число. | y’ = kc (kx + b) c – 1 , |
y = ( f (x)) c , где c – любое число. | |
| y = ekx + b | y = kekx + b |
| y = e f (x) | |
y = akx + b где a – любое положительное число, не равное 1 | |
y = a f (x) где a – любое положительное число, не равное 1 | |
| y = ln (kx + b) , kx + b > 0 | , kx + b > 0 |
| y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 | , f (x) > 0 |
y = log a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 | , kx + b > 0 |
y = log a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 | , f (x) > 0 |
| y = sin (kx + b) | y’ = k cos (kx + b) |
| y = sin ( f (x)) | |
| y = cos (kx + b) | y’ = – k sin (kx + b) |
| y = cos ( f (x)) | |
y = tg (kx + b), где | , |
y = tg ( f (x)), где | , |
y = ctg (kx + b), где | , |
y = ctg ( f (x)), где | , |
| y = arcsin (kx + b), | |
| y = arcsin ( f (x)), | |
| y = arccos (kx + b), | |
| y = arccos ( f (x)), | |
| y = arctg (kx + b) | |
| y = arctg ( f (x)) | |
| y = arcctg (kx + b) | |
| y = arcctg ( f (x)) |
Функция: y = (kx + b) c , где c – любое число. Формула для производной: y’ = kc (kx + b) c – 1 , |
Функция: y = ( f (x)) c , где c – любое число. Формула для производной: |
Функция: y = ekx + b Формула для производной: y = kekx + b |
Функция: y = e f (x) Формула для производной: |
Функция: y = akx + b где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: |
Функция: y = a f (x) где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: |
Функция: y = ln (kx + b) , kx + b > 0 Формула для производной: , kx + b > 0 |
Функция: y = ln ( f (x)) , f (x) > 0 Формула для производной: , f (x) > 0 |
Функция: y = log a (kx + b) , kx + b > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: , kx + b > 0 |
Функция: y = log a ( f (x)) , f (x) > 0 где a – любое положительное число, не равное 1 Формула для производной: , f (x) > 0 |
Функция: y = sin (kx + b) Формула для производной: y’ = k cos (kx + b) |
Функция: y = sin ( f (x)) Формула для производной: |
Функция: y = cos (kx + b) Формула для производной: y’ = – k sin (kx + b) |
Функция: y = cos ( f (x)) Формула для производной: |
Функция: y = tg (kx + b), где Формула для производной: , |
Функция: y = tg ( f (x)), где Формула для производной: , |
Функция: y = ctg (kx + b), где Формула для производной: , |
Функция: y = ctg ( f (x)), где Формула для производной: , |
Функция: y = arcsin (kx + b), Формула для производной: |
Функция: y = arcsin ( f (x)), Формула для производной: |
Функция: y = arccos (kx + b), Формула для производной: |
Функция: y = arccos ( f (x)), Формула для производной: |
Функция: y = arctg (kx + b) Формула для производной: |
Функция: y = arctg ( f (x)) Формула для производной: |
Функция: y = arcctg (kx + b) Формула для производной: |
Функция: y = arcctg ( f (x)) Формула для производной: |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Правила вычисления производных — презентация онлайн
Похожие презентации:
Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные элементарных функций
Понятие производной
Производная и ее применения
Производная. Правила вычисления производных
Вычисление производных
Основы математического анализа
Функции и их свойства. Предел последовательности и функции. Производная функции и дифференциал
Производная сложной функции
Производная и дифференциал. Производные высших порядков
Производная и её применение
Правила вычисления
производных
2. Производная функции
Производная функцииПроизводные функций
Постоянный множитель можно выносить
за знак производной.
Cu
C (u )
Пример:
(2×3)’ = 2 · (x3)’ = 2 · 3×2 = 6×2.
Очевидно, элементарные функции можно складывать
друг с другом, умножать, делить — и многое другое.
Так появятся новые функции, уже не особо
элементарные, но тоже дифференцируемые
по определенным правилам.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам
известны. К примеру, можно взять элементарные функции,
которые рассмотрены выше. Тогда можно найти
производную суммы и разности этих функций:
1.
2.
(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’
Строго говоря, в алгебре не существует понятия
«вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент».
Поэтому разность f − g можно переписать как сумму
f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула —
производная суммы.
Пример:
Задача. Найти производные функций:
1. f(x) = x2 + sin x;
2. g(x) = x4 + 2×2 − 3.
Решение.
1. Функция f(x) — это сумма двух элементарных
функций, поэтому:
f ’(x) = (x2 + sin x)’ = (x2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;
2. Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только
там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x) = (x4 + 2×2 − 3)’ = (x4 + 2×2 + (−3))’ =
= (x4)’ + (2×2)’ + (−3)’ = 4×3 + 4x + 0 .
Математика — наука логичная, поэтому многие
считают, что если производная суммы равна
сумме производных, то производная произведения
равна произведению производных. А вот фиг вам!
Производная произведения считается совсем
по другой формуле. А именно:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только
школьники, но и студенты. Результат — неправильно
решенные задачи.
Пример:
•Задача. Найти производные функций:
• f(x) = x3 · cos x;
•g(x) = (x2 + 7x − 7) · ex.
Решение. Функция f(x) представляет собой произведение
двух элементарных функций, поэтому все просто:
• f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x + x3 · (cos x)’ =
= 3×2 · cos x + x3 · (− sin x) =
= x2 · (3cos x − x · sin x).
• g ’(x) = ((x2 + 7x − 7) · ex)’ = (x2 + 7x − 7)’ · ex + (x2 + 7x − 7) · (ex)’ =
= (2x + 7) · ex + (x2 + 7x − 7) · ex =
= ex · (2x + 7 + x2 + 7x −7) =
= (x2 + 9x) · ex .
Производная частного
Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0
на интересующем нас множестве, можно
f(x)
определить новую функцию h(x) =
.
Для такойg(x)
функции тоже можно найти производную:
Пример:
Найти производные функций:
Решение. В числителе и знаменателе каждой дроби стоят
элементарные функции, поэтому все, что нам нужно —
это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители —
это значительно упростит ответ:
13. Производная сложной функции
f(g(x))’ = f'(g(x))·g'(x)Прежде всего, обратим внимание на
запись f(g(x))’. Здесь у нас две функции – f и g,
причем функция g , образно говоря, вложена в
функцию f.
Функция такого вида (когда одна функция
вложена в другую) и называется сложной
функцией.
Функция f называется внешней функцией, а
функция g – внутренней (или вложенной)
функцией.
14. Пример:
Найти производную функции:English Русский Правила
Правила атрибутов вычислений—ArcGIS Pro | Документация
Правила расчета используются для автоматического заполнения конфигураций атрибутов объекта.
Их можно создать как правила немедленных вычислений или правила пакетных вычислений, в зависимости от того, когда правило необходимо оценивать следующим образом:
- Правила немедленных вычислений — оценка правила происходит немедленно во время операций редактирования. Тип инициирующего события, указанный во время создания правила, позволяет выполнять оценку правила на основе операций вставки, обновления или удаления.
- Правила пакетного расчета — оценка правила выполняется в указанное пользователем время.
Поля атрибутов, связанные с правилом расчета, можно настроить так, чтобы разрешить редактирование пользователем или сделать их доступными только для чтения. При создании правил расчета флажок Is Editable доступен под полем ввода, к которому он применяется, следующим образом:
- Флажок отмечен — в поле разрешено изменение определенных пользователем атрибутов. Пользовательский ввод для этого поля может быть перезаписан оценкой правила атрибута на основе определения правила.
- Не отмечено — редактирование определяемых пользователем атрибутов не разрешено, а поле атрибута, для которого создается правило, определяется как поддерживаемое системой поле. Правило расчета будет применяться во время инициирующего события, определенного в правиле.
Предупреждение:
После того как определяемое пользователем поле установлено как обслуживаемое системой, его нельзя изменить.
Правила немедленных вычислений
Правила вычислений, оцениваемые во время операций редактирования на основе определенных инициирующих событий, называются правилами немедленных вычислений. Этот тип правила вычисления используется в рабочих процессах, в которых вычисления должны выполняться автоматически по мере внесения изменений.
Немедленные правила расчета создаются в представлении «Правила атрибутов», если щелкнуть раскрывающуюся кнопку «Правило расчета» и выбрать «Немедленный расчет» . Этот тип правила также можно создать с помощью инструмента «Добавить правило атрибута» с пакетным параметром, установленным на «ложь», или инструмента «Импорт правил атрибута».
Немедленные правила расчета оцениваются во время операции редактирования на основе определенных инициирующих событий. Инициирующие события (вставка, обновление или удаление) указываются как свойство правила.
Погружение:
Прямые изменения данных из удаляемой записи может не наблюдаться с правилом немедленного вычисления. Но в зависимости от сценария Arcade могут наблюдаться другие расширенные функции правил атрибутов, например, редактирование другого объекта с помощью триггера удаления. Дополнительные сведения см. в разделе Ключевые слова словаря правил атрибутов.
Правила пакетного расчета
Правила расчета, которые оцениваются в указанное пользователем время, называются правилами пакетного расчета. Этот тип правила вычисления предназначен для ситуаций, когда вы хотите выполнить вычисления для существующих объектов или вам нужен контроль над тем, когда происходит оценка правила. Это может быть в случаях, когда вычисление слишком дорого для выполнения во время операции редактирования.
Правила пакетного расчета и проверки атрибутов поддерживаются только для точечных, линейных и полигональных классов объектов или таблиц. Для многопользовательских баз геоданных эти типы правил поддерживаются только для версионных наборов данных.
Правила пакетного расчета создаются в представлении «Правила атрибутов», если щелкнуть раскрывающуюся кнопку «Правило расчета» и выбрать «Пакетный расчет» . Этот тип правила также можно создать с помощью инструмента «Добавить правило атрибута» с параметром «Пакетная обработка», установленным в значение «истина», или с помощью инструмента «Импорт правил атрибута».
Чтобы оценить правила пакетного расчета для набора данных, вы можете использовать инструмент Оценить правила или Инспектор ошибок.
Входная рабочая область для оценки правил пакетного расчета и проверки зависит от типа базы геоданных, в которой хранится набор данных с правилами атрибутов:
- Файловые или мобильные базы геоданных — база геоданных является входной рабочей областью для оценки.
- Многопользовательские базы геоданных — сервис пространственных объектов с возможностью проверки является входной рабочей областью для оценки. Если один и тот же набор данных публикуется в нескольких службах, имейте в виду, что слои ошибок и атрибут состояния проверки являются общими для версии по умолчанию.
Ниже приведены общие шаги, связанные с настройкой и оценкой правил пакетного расчета для наборов данных в многопользовательской базе геоданных:
- Зарегистрируйте набор данных как версионный.
- Настройте соединение базы данных с ветвью для типа управления версиями.
- Добавьте правило атрибута в набор данных.
- Опубликуйте набор данных как векторный веб-слой с включенной функцией проверки.
- Внесите изменения в векторный веб-слой.
- Оцените правила и проверьте функции с помощью Инспектора ошибок.
- Просмотрите признаки ошибок и внесите изменения, чтобы исправить ошибки.
- Оцените правила еще раз.
Дополнительные сведения см. в разделах Совместное использование наборов данных с помощью правил атрибутов, Оценка правил атрибутов и Управление ошибками правил атрибутов.
Порядок оценки
При оценке правил порядок определяет последовательность, в которой оцениваются правила. Для правил расчета важен порядок, в котором правила оцениваются в наборе данных, так как это может привести к тому, что результат оценки правила будет отличаться.
Порядок оценки важен, когда есть зависимости от других полей, вычисляемых для сохраняемой функции. На следующем рисунке показано, как результат двух правил расчета может различаться в зависимости от порядка оценки правил:
Порядок оценки — это свойство правила атрибутов, которое можно просмотреть с помощью представления Attribute Rules или arcpy.Describe Функцию можно использовать для печати свойств атрибутивного правила. Порядок оценки изначально определяется порядком создания правил для набора данных и сохраняется в виде целочисленного значения, которое начинается со значения 1.
В представлении «Правила атрибутов» перечислены правила расчета в соответствии с порядком оценки в разделах «Немедленная обработка» и «Пакетная обработка». Чтобы внести изменения в порядок оценки, отредактируйте столбец «Порядок» в представлении «Правила атрибутов» или используйте инструмент «Изменить порядок правил атрибутов».
Если набор данных содержит несколько правил атрибутов, выполнение также следует определенному порядку в зависимости от типа правила. Дополнительную информацию см. в разделе Оценка правил атрибутов.
Примеры
Ниже приведены примеры использования правил расчета атрибутов в базе геоданных:
- Объединить массив значений текстового поля в указанное поле.
- Когда атрибут LifeCycleStatus трубы обновляется до значения Abandoned, атрибут PressureZone обновляется до None.
- Если длина опоры электропередач превышает 65 футов, стоимость материала будет рассчитываться как сталь.
- При создании нового полюса сгенерируйте текстовое значение на основе последовательности assetsid_seq.
Совет:
При создании правил вычисления убедитесь, что в результатах выражения сценария используется тот же тип данных, что и в вычисляемом поле.См. в профиле Arcade требования и глобальные переменные для создания типов правил атрибутов. Руководство по началу работы с Arcade и указатель функций — это дополнительные ресурсы, которые можно использовать для построения выражений сценария для правил атрибутов.
См. конкретные примеры выражений скриптов правил атрибутов
Отзыв по этой теме?
Oracle Energy and Water — Документация
- Домашняя страница
- Промышленность
- Энергия и вода
Oracle Energy and Water предлагает лучшие в своем классе решения для повышения надежности, обслуживания и безопасности электроснабжения, природного газа и водоснабжения по всему миру.
Используйте эти ресурсы, чтобы начать работу с нашими приложениями Oracle Utilities, Oracle Utilities Opower и Oracle Energy and Water.
Облачные службы
Выберите ссылку ниже, чтобы получить доступ к документации по продукту и материалам о готовности к выпуску облачной службы.
Energy and Water Cloud Services
Oracle Energy and Water предоставляет решения для всей водной и энергетической экосистемы.
Локальные приложения
Все другие локальные приложения и выпуски
Выберите ссылку ниже, чтобы получить доступ к библиотекам документации для всех других локальных приложений и выпусков.