Дерево вариантов и правила умножения и сложения

6 апреля

Вебинар прошёл 6 апреля

Видеозаписи доступны только зарегистрированным пользователям.

Войдите или зарегистрируйтесь.

Дерево вариантов и правила умножения и сложения

Вебинар прошёл: 06.04.2023
Просмотров: 43

Поделиться: 

---

Центральными комбинаторными идеями являются правила сложения и умножения. Но без представления о комбинаторных механизмах, стоящих за этими правилами, учащийся рискует остаться вооружённым только теоретическими знаниями без понимания, как эти знания применить на практике. Дерево вариантов — отличная наглядная иллюстрация этих механизмов, а также возможность самостоятельно сформулировать правила умножения и сложения.

Именно этой схеме, а также упражнениям на применение этой схемы будет посвящён вебинар.

Коломеец Иван Сергеевич
составитель задач олимпиад «Осенний Олимп», «Весенний Олимп», член жюри турниров математических боёв им. Савина и Kostroma Open, участник проверки олимпиад «Турнир им. Ломоносова» и «Математический праздник», преподаватель ЛМШ «Берендеевы поляны»

Математика

#упражнения #комбинаторное мышление #умножение #сложение

---

Наглядная комбинаторика от мала до велика

Комбинаторика является важной частью олимпиадной математики, а также встречается в школьной программе информатики и математики в виде приложения к теории вероятности. Но часто из-за скомканности или чрезмерной формальности изложения и большого контраста комбинаторных механизмов с курсом алгебры ученики остаются с набором формул, не понимая до конца откуда эти формулы берутся и как их применять. 

Этот мини-курс посвящён тонкостям обсуждения комбинаторики с учениками всех возрастов. Мы обсудим, как на примере увлекательных упражнений можно развить комбинаторное мышление, а наглядные схемы помогут понять и научиться использовать формулы . К каждому вебинару прилагаются материалы для печати. Курс будет интересен учителям математики 1–11-х классов. 

Ближайшие вебинары:

Гендерные особенности в развитии девочек 26 июля (ср) с 17:00 до 17:45 (Москва)

Психолого-педагогическая экспертиза игровой продукции для детей раннего возраста 1 августа (вт) с 17:00 до 17:45 (Москва)

Новые форматы деятельности школьного медиацентра 1 августа (вт) с 18:00 до 18:45 (Москва)

Искусственный интеллект в работе учителя английского языка 2 августа (ср) с 17:00 до 17:45 (Москва)

Что значит готовность ребенка к школе с точки зрения нейропедагога? 2 августа (ср) с 18:00 до 18:45 (Москва)

Пред. След.

[Confirm this operation]

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Похожие презентации:

Комбинаторика. Общие правила комбинаторики

Комбинаторика. Правило суммы. Правило произведения

Основные правила комбинаторики

Комбинаторика. Правило суммы и правило произведения

Комбинаторика. Правила и формулы

Основные правила и формулы комбинаторики

Элементы комбинаторики. Правило умножения

Комбинаторные задачи. Комбинаторное правило умножения

Основные правила комбинаторики. Урок 21

Комбинаторика. Правило умножения

Тема урока «Правила сложения и
умножения в комбинаторике»
Что такое комбинаторика?
Комбинаторика – это раздел математики,
посвященный решению задач на перебор

различных вариантов, удовлетворяющих какимлибо условиям.
Здесь изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или
иным условиям, можно составить из заданных
объектов.
Латинское слово combinare означает
«соединять, сочетать».
2
Из истории комбинаторики
С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой
древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических
квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных
чисел.
Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими
играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда
возникла теория вероятности.
3
В Древней Греции
подсчитывали
число
различных
комбинаций длинных и коротких слогов
в стихотворных размерах, занимались
теорией фигурных чисел, изучали
фигуры, которые можно составить из
частей и т.д.
Со временем появились различные игры
(нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)
В каждой из этих игр приходилось
рассматривать различные сочетания
фигур, и выигрывал тот, кто их лучше
изучал, знал выигрышные комбинации и
умел избегать проигрышных.
4
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Леонард Эйлер(1707-1783)
(1.07.1646 — 14.11.1716)
рассматривал задачи о разбиении
Комбинаторику, как самостоятельный
чисел, о паросочетаниях,
раздел математики первым стал
циклических расстановках, о
рассматривать немецкий ученый Г.
построении магических и
Лейбниц в своей работе «Об искусстве
латинских квадратов, положил
комбинаторики», опубликованной в начало совершенно новой области
1666г. Он также впервые ввел термин
исследований, выросшей
«Комбинаторика».
впоследствии в большую и
важную науку—топологию,
которая изучает общие свойства
пространства и фигур.
5
Для вывода формул автор использовал
наиболее простые и наглядные методы,
сопровождая их многочисленными
таблицами и примерами. Сочинение Я.
Бернулли превзошло работы его
предшественников и современников
систематичностью, простотой методов,
строгостью изложения и в течение XVIII века
пользовалось известностью не только как
серьёзного научного трактата, но и как
учебно-справочного издания.
6
Методы решения комбинаторных
задач
1. Правило сложения.
2. Правило произведения
7
Правило сложения
Правило сложения (правило <<ИЛИ>>).
Если некоторый объект А можно выбрать m способами,
а объект В – другими n способами, причём выборы
объектов А и В несовместимы,
то выбор “А или В” можно выполнить m + n способами.
Или:
Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причём
действие А можно выполнить m способами, а В – n способами,
то выполнить одно любое из этих действий (либо А,
либо В) можно m + n способами.
Другими словами:
Если в условии задачи звучит “ИЛИ”, то выбираем. правило сложения
Задача №1.
• На одной полке книжного шкафа стоит 30
различных книг, а на другой – 40
различных книг (не такие как на первой).
Сколькими способами можно выбрать
одну книгу.
• Решение:
30 + 40 = 70 (способами).
Правило умножения
Правило умножения (правило <<И>>).
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется
перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос – сколько
их существует.
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, и после
каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо
от выбора объекта А) n способами, то пары объектов А и В можно
выбрать m × n способами.
Или:
Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое
действие можно выполнить n1 способами, второе
действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k–го действия,
которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе
могут быть выполнены:
N = n1 × n2 ×…× nk
Задача № 2
Пусть существует три кандидата на
пост командира и 2 на пост инженера.
Сколькими способами можно
сформировать экипаж корабля,
состоящий из командира и инженера?
1
1
2
1
2
2
1
3
2
Решение:
3 * 2 = 6 (способ).
1.Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов
выбора конверта с маркой?
2.В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту
кружка и его заместителя?
3.Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов
программы этого концерта?
4. В буфете есть 4 сорта пирожков. Сколькими способами ученик может
купить себе 2 пирожка?
13
Самостоятельная работа
1. Сколько можно составить
четырехзначных чисел из цифр 1, 5,
8, 3, если: а) цифры в числе не
повторяются;
б) цифры могут повторяться.
1. Сколько можно составить
трехзначных чисел из цифр 4, 9, 7,
если: а) цифры в числе не
повторяются;
б) цифры могут повторяться.
2. В среду в 5 «Б» классе 5 уроков:
русский, информатика,
естествознание, ИЗО, иностранный.
Сколько можно составить
вариантов расписания на день?
Сколько можно составить
вариантов расписания на день,
зная, что информатика –первый
урок?
2. В среду в 5 «А» классе 5 уроков:
русский, литература,
естествознание, математика,
иностранный. Сколько можно
составить вариантов расписания на
день? Сколько можно составить
вариантов расписания на день,
зная, что математика – второй
урок?

English     Русский Правила

Правила умножения, сложения и полной вероятности

Уровень CFA I/Количественные методы: основные понятия/понятия вероятности/правила умножения, сложения и полной вероятности

Правило умножения основано на условной вероятности.

P(A|B) = P(AB)/P(B), P(B) ≠ 0

, где P(AB) = совместная вероятность события A и B = вероятность того, что оба события A и B произойдут вместе

P(A|B) = условная вероятность события A, основанная на возникновении события B или вероятности события A при заданном B

Мы знаем, что P(A|B) — это вероятность события A при условии, что событие B произошло. Поскольку событие B уже произошло, то вероятность A при данном B будет равна вероятности возникновения обоих событий вместе, деленной на вероятность возникновения события B.

Аналогично, P(B|A) = P(BA)/P(A) = P(AB)/P(A), P(A) ≠ 0

Правило сложения для вероятностей помогает в расчете вероятности возникновения события A или B.

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ)

Когда мы добавляем P(A) и P(B), то P(AB) добавляется дважды. Итак, мы вычитаем его, чтобы получить P(A или B)

.

Для взаимоисключающих событий P(AB) = 0, так как эти события никогда не могут произойти вместе.

Следовательно, P(A или B) для взаимоисключающих событий = P(A) + P(B)

Правило полной вероятности помогает в расчете безусловной вероятности события. Предположим, что событие A = Вероятность увеличения цены акции. Предположим, что есть четыре события, влияющие на вероятность повышения цены акции. Эти четыре события должны быть взаимоисключающими, а также исчерпывающими, чтобы вычислить общую вероятность события А. Давайте определим эти четыре события и их соответствующие безусловные вероятности.

Событие A = Увеличение цены акции

Событие A ₁ = Процентная ставка < 3 процентов
Событие A ₂ = 3 процента ≤ Процентная ставка < 5 процентов
Событие A ₃ = 5 процентов ≤ процентная ставка < 7 процентов
Событие A ₄ = Процентная ставка ≥ 7 процентов

P(A ₁ ) = 0,20, P(A ₂ ) = 0,25, P(A ₃ ) = 0,40, P(A ₄ ) = 0,15

Кроме того, P(A|A ₁ ) = 0,90, P(A|A ₂ ) = 0,70, P(A|A ₃ ) = 0,40, P(A|A ₄ ) = 0,10

, где P(A|A ₁ ) — вероятность события A при условии, что произошло событие B, и так далее.

Теперь по правилу полной вероятности

P(A) = P(AA ₁ ) + P(AA ₂ ) + P(AA ₃ ) + . .. ..+ Р(АА _n )

, потому что A всегда будет встречаться с одним из A ₁ , A ₂ ,. …, A _п

P(A) = P(A|A ₁ )*P(A ₁ ) + P(A|A ₂ )*P(A ₂ ) + …. + P(A|A _n )*P( А _п )

, потому что P(AA ₁ ) = P(A|A ₁ )*P(A ₁ )

Итак, вероятность события А = 0,90*0,20 + 0,70*0,25 + 0,40*0,40 + 0,10*0,15 = 0,18 + 0,175 + 0,16 + 0,015 = 0,53 = 53 процента .

Предыдущий LOS: условные и безусловные вероятности

Следующий LOS: Совместная вероятность

Правила вероятности

Часто нам нужно вычислить вероятность события по известным вероятности других событий. В этом уроке рассматриваются некоторые важные правила которые упрощают эти вычисления.

Примечание: Ваш браузер не поддерживает видео HTML5. Если вы просматриваете эту веб-страницу в другом браузере (например, последняя версия Edge, Chrome, Firefox или Opera), вы можете посмотреть видеообработку этого урока.

Определения и обозначения

Прежде чем обсуждать правила вероятности, мы сформулируем следующие определения:

• Два события равны взаимно эксклюзивный или непересекающийся если они не могут произойти одновременно.
• Вероятность того, что событие А произойдет при условии, что произошло событие В, называется условная вероятность . Условная вероятность события A при данном событии B обозначается символом P(A|B).
• Дополнение события — это событие, которое не происходит. Вероятность того, что событие А произойдет , а не , обозначается P(A’).
• Вероятность того, что события A и B оба произойдут, равна вероятность пересечения точек A и B. Вероятность пересечения Событий А и В обозначается Р(А ∩ В). Если события А и В взаимоисключающие, P(A ∩ B) = 0,
• Вероятность того, что События A или B произойдут, равна вероятность союза А и В. Вероятность объединения событий A и B обозначается Р(А ∪ В) .
• Если появление события A изменяет вероятность Событие B, затем события A и B зависят от . С другой стороны, если возникновение события А не меняется вероятность события B, то события A и B равны независимый .

Объявление

Правило вычитания

В предыдущий урок, мы узнали два важных свойства вероятности:

• Вероятность события находится в диапазоне от 0 до 1.
• Сумма вероятностей всех возможных событий равна 1.

Правило вычитания следует непосредственно из этих свойств.

Правило вычитания . Вероятность что событие А произойдет, равно 1 минус вероятность того, что событие А произойдет , а не происходить.

Р(А) = 1 — Р(А’)

Предположим, например, что вероятность того, что Билл окончит колледж составляет 0,80. Какова вероятность того, что Билл не закончит колледж? По правилу вычитания вероятность того, что Билл не закончит учебу составляет 1,00 — 0,80 или 0,20.

Правило умножения

Правило умножения применимо к ситуации, когда мы хотим знать вероятность пересечения двух событий; то есть мы хотим знать вероятность того, что два события (событие А и событие В) произойдут одновременно.

Правило умножения Вероятность того, что произойдут события A и B, равна равна вероятности того, что событие А произойдет, умноженной на вероятность того, что Событие B происходит при условии, что произошло A.

Р(А ∩ В) = Р(А) Р(В|А)

Пример
В урне 6 красных и 4 черных шарика. Два шарика вытащены без замена из урн. Какова вероятность того, что оба шарики черные?

Решение: Пусть A = событие, состоящее в том, что первый шарик черный; и пусть В = случае, если второй шарик черный. Мы знаем следующее:

• Вначале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, Р(А) = 4/10.
• После первого выбора в урне 9 шариков, 3 из которых черный. Следовательно, P(B|A) = 3/9.

Следовательно, исходя из правила умножения:

Р(А ∩ В) = Р(А) Р(В|А)
P(A ∩ B) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15 = 0,133

Правило сложения

Правило сложения применяется к следующей ситуации. У нас есть два события, и мы хотим знать вероятность того, что любое событие произойдет.

Правило сложения Вероятность того, что Событие A или событие B происходит равна вероятности того, что событие А произойдет, плюс вероятность того, что событие Произойдет B минус вероятность того, что произойдут оба События A и B.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A ∩ B)

Примечание: Ссылаясь на тот факт, что P(A ∩ B) = P( A )P( B | A ), Правило сложения также может быть выражено как:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A)P(B | A)

Пример
Студент идет в библиотеку. Вероятность того, что она проверит (а) работу художественной литературы — 0,40, (b) научно-популярная работа — 0,30 и (c) обе художественные а документальная литература — 0,20. Какова вероятность того, что студент проверит художественное произведение, научно-популярная литература или и то, и другое?

Решение: Пусть F = событие, когда учащийся проверяет художественную литературу; и разреши N = событие, когда учащийся проверяет научно-популярную литературу. Затем на основании правила дополнения:

P(F ∪ N) = P(F) + P(N) — P(F ∩ N)
P(F ∪ N) = 0,40 + 0,30 — 0,20 = 0,50

Проверьте свои знания

Задача 1

В урне 6 красных и 4 черных шарика. Два шарика нарисованы с заменой из урны. Какова вероятность того, что оба шарики черные?

(А) 0,16
(Б) 0,32
(К) 0,36
(Д) 0,40
(Э) 0,60

Решение

Правильный ответ A. Пусть A = событие, что первый шарик черный; и пусть В = случае, если второй шарик черный. Мы знаем следующее:

• Вначале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, Р(А) = 4/10.
• После первого выбора мы заменяем выбранный мрамор; так что есть еще В урне 10 шариков, из них 4 черных. Следовательно, P(B|A) = 4/10.

Следовательно, исходя из правила умножения:

Р(А ∩ В) = Р(А) Р(В|А)
P(A ∩ B) = (4/10)*(4/10) = 16/100 = 0,16

Калькулятор вероятности

Используйте калькулятор вероятности для вычисления вероятности событие из известных вероятностей других событий. Вероятность Калькулятор бесплатный и простой в использовании. Калькулятор вероятности можно найти в Stat Trek. Главное меню на вкладке Инструменты статистики. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Калькулятор вероятности

Задача 2

Из колоды обычных игральных карт случайным образом вытягивается карта.