Уравнения и примеры с отрицательными числами и модулями.

Все рациональные числа, которые мы можем себе представить, можно разделить на положительные и отрицательные. Изучается данная тема в 5-6 классах. Начиная с этих классов, учащиеся решают примеры, уравнения и задачи, в которых могут быть как положительные, так и отрицательные числа.

Решение примеров с отрицательными числами без ошибок — очень важный математический навык. То же самое касается и решения уравнений с отрицательными числами. В этом контексте в школьном курсе рассматривается и понятие модуля числа.

Давайте сегодня разберем эти вопросы.

Чтобы отличить положительное число от отрицательного, перед отрицательным числом ставят знак минус.

Например:

«5» – положительное число

«-5» — отрицательное число Если рассматривать числа на координатной прямой, то все числа, находящиеся слева от нуля, будут называться отрицательными, а числа, находящиеся справа от нуля – будут, соответственно, положительными.

Правила сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел имеют свои особенности.

Например, если нам необходимо выполнить действие:

«7 + 5»

Т.е. сложить два положительных числа, мы механически складываем их величины и получаем результат:

7 + 5 = 12

Если даже у нас будет длинный и трудоемкий пример, принцип его решения будет точно такой же, если числа положительные, то мы механически складываем их:

7 + 5 + 21 + 17 + 19 + 25 = 94

Операция вычитания может быть уже не такой простой.

Если выражение:

7 – 5 = 2

Мы вычисляем легко, то выражение:

5 – 7 = — 2

Это уже серьезная проверка наших знаний в области отрицательных чисел. Здесь важно в ответе правильно поставить знаки «плюс» и «минус».

Здесь перед числом «7» стоит знак «минус». Получается из меньшего числа «5» нужно вычесть большее число «7».

Как не запутаться?

Есть несколько способов. Один из которых вот какой:

Необходимо вспомнить понятие модуля числа.

Модуль числа – это число, записанное в вертикальных скобках:

|5| или |-7|

Когда мы выводим число из модуля, мы оставляем только его значение, а минус убираем:

|5| = 5

|-7| = 7

Записываем наше выражение для модулей этих чисел:

|5| – |7|

Такая запись позволяет нам определить, какое число большее «по модулю», т.е. по своему абсолютному значению, без учета знака «минус» перед числом и стоит правее на числовой оси.

В нашем случае, это число «7».

Поэтому мы из большего «по модулю» числа вычитаем меньшее «по модулю» число и в ответе ставим тот знак (плюс или минус), который стоял в выражении перед большим «по модулю» числом:

|5| – |7| = — |7 — 5| = — |2| = -2

Второй способ вот какой:

Запишем:

5 + (– 7)

Представим каждое слагаемое как выражение двух чисел, с умножением на «-1», получим:

5 = — 1 · (- 5)

— 7 = — 1 · 7

Теперь сложим эти выражения, как в нашем примере, получим:

5 + (– 7) = (- 1 · (- 5)) + (- 1 · 7)

Вынесем за скобки «-1»:

-1·(- 5 + 7) = -1·(7 – 5) = -1· 2 = — 2

Когда мы выносим за скобку «-1», мы получаем возможность вычитать из большего числа меньшее, что гораздо удобнее.

Теперь мы знаем, как решать примеры с отрицательными числами.

Умножение на «-1» помогает нам вспомнить правила умножения и деления, в выражениях с положительными и отрицательными числами. Вот эти правила:

«Если умножать «минус» на «плюс», то получается в ответе «минус».»

«А если умножать «минус» на «минус», то получается в ответе «плюс».»

Проиллюстрируем все возможные варианты применения этих правил:

5 · 7 = 35

5 · (– 7) = — 35

(- 5) · 7 = — 35

(- 5) · (– 7) = 35

Возьмем более сложный случай, вычислим:

7 · (- 5) · 21 · (- 17)

Чтобы было проще, выполним вычисления по действиям:

1) 7 · (- 5) = — 35

2) 21 · (- 17) = — 357

3) (- 35) · (-357) = 12495

Таким образом:

7· (- 5) · 21 · (- 17) = 12495

Теперь рассмотрим, как решать уравнения с отрицательными числами и переменными.

Возьмем пример с уравнением:

3 + 4(5 – х) = 15

Сначала раскроем скобки:

3 + 4 · 5 + 4 · (- х) = 15

Обязательно обращаем внимание на минусы, стоящие перед числами и переменной «х», помним о приведенном выше правиле, получаем:

3 + 20 – 4х = 15

Приведем подобные (3 + 20 = 23) и запишем:

23 – 4х = 15

Переносим слагаемое без переменной «х» из левой части в правую, меняя при этом перед ним знак на противоположный

— 4х = 15 – 23

После приведения подобных в правой части уравнения (15 – 23 = — 8), получим:

— 4х = — 8

Деление отрицательных чисел проводим по тем же правилам, что и умножение:

х = — 8 : (- 4)

«Минус» делим на «минус», получаем «плюс»:

х = 2

Давайте теперь разберем примеры с модулем числа.

3.$

Ответ: $i.$

 

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

 

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

 

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

Решение проблем с подростками: шаги и советы

Почему важны навыки решения проблем

Каждый должен решать проблемы каждый день. Но мы не рождаемся с навыками, которые нам нужны для этого — мы должны их развивать.

Когда вы решаете проблемы, хорошо иметь возможность:

• слушать и спокойно думать
• рассматривать варианты и уважать мнения и потребности других людей
• вести переговоры и искать компромиссы.

Это навыки для жизни — они высоко ценятся как в социальных, так и в рабочих ситуациях.

Когда подростки изучают навыки и стратегии самостоятельного решения проблем и разрешения конфликтов, они чувствуют себя хорошо. Они лучше подготовлены к самостоятельному принятию правильных решений.

Решение проблем: 6 шагов

Часто проблемы можно решить путем переговоров и переговоров.

Следующие 6 шагов для решения проблемы полезны, когда вы не можете найти решение. Вы можете использовать их для работы над большинством проблем, включая трудный выбор или решения и конфликты между людьми.

Если вы практикуете эти шаги с ребенком дома, ваш ребенок с большей вероятностью будет использовать их для решения своих проблем или конфликтов с другими.

Вы можете загрузить и использовать нашу таблицу решения проблем (PDF: 121 КБ). Это удобный инструмент, который можно использовать, когда вы и ваш ребенок работаете вместе, выполняя 6 шагов, описанных ниже.

1. Определите проблему

Первым шагом в решении проблемы является точное определение проблемы. Это может помочь всем одинаково понять проблему . Лучше всего собрать вместе всех, кого затронула проблема, а затем сформулировать проблему словами, которые сделают ее решаемой.

Например:

• ‘Вас пригласили на две вечеринки по случаю дня рождения в один и тот же день, и вы хотите пойти на обе’
• ‘В следующую среду у вас есть два больших задания’
• ‘У нас разные идеи о том, как ты вернешься домой с вечеринки в субботу.’
• ‘Вы и ваша сестра спорили об использовании Xbox.’

Когда вы решаете проблему со своим ребенком, хорошо делать это, когда все спокойны и могут ясно мыслить. Таким образом, ваш ребенок с большей вероятностью захочет найти решение. Договоритесь о времени, когда вас никто не будет прерывать, и поблагодарите ребенка за то, что он присоединился к решению проблемы.

2.

Подумайте, почему возникла проблема

Помогите своему ребенку или детям описать причину проблемы и ее происхождение . Было бы полезно рассмотреть ответы на такие вопросы, как эти:

• Почему это так важно для вас?
• Зачем тебе это?
• Как вы думаете, что может произойти?
• Что тебя расстраивает?
• Что самое худшее может случиться?

Постарайтесь слушать, не споря и не обсуждая. Это ваш шанс по-настоящему услышать, что происходит с вашим ребенком. Поощряйте ребенка использовать утверждения вроде «Мне нужно… Я хочу… Я чувствую…» и попробуйте использовать эти фразы сами. Постарайтесь побудить ребенка сосредоточиться на проблеме и не обвинять его на этом этапе.

Некоторые конфликты естественны и здоровы, но слишком много — нехорошо. Если вы обнаружите, что часто конфликтуете со своим ребенком, вы можете использовать стратегии управления конфликтами. Это может сделать будущие конфликты менее вероятными, а также хорошо для ваших семейных отношений.

3. Обдумайте возможные решения проблемы

Составьте список всех возможных способов, которыми вы и ваш ребенок могли бы решить проблему. Вы ищете ряд возможностей , как разумных, так и не очень. Постарайтесь пока не осуждать и не обсуждать их.

Если вашему ребенку трудно найти решения, начните их с собственных предложений. Вы можете задать тон, сделав сначала сумасшедшее предложение — забавные или экстремальные решения могут в конечном итоге вызвать более полезные варианты. Попробуйте придумать как минимум 5 возможных решений вместе.

Например, если ваши дети спорят об использовании Xbox, вот несколько возможных решений:

• «Мы покупаем еще одну Xbox, чтобы вам не пришлось делиться».
• ‘Вы двое договариваетесь о том, когда каждый из вас может использовать Xbox.’
• ‘Каждый из вас установил дни для использования Xbox.’
• ‘Каждый из вас может использовать Xbox по 30 минут в день.’
• «Отложите Xbox до следующего года»

Запишите все возможные решения.

4. Оцените варианты решения проблемы

Посмотрите плюсы и минусы всех предложенных решений по очереди. Таким образом, каждый будет чувствовать, что его предложения были учтены.

Возможно, будет полезно вычеркнуть решения, которые, по вашему мнению, неприемлемы. Например, вы все можете согласиться с тем, что оставлять детям согласие на совместное использование Xbox — это не вариант, потому что они уже пробовали это, и это не сработало.

Когда у вас есть список плюсов и минусов оставшихся решений, вычеркните те из них, в которых больше минусов, чем плюсов. Теперь оцените каждое решение от 0 (плохо) до 10 (очень хорошо). Это поможет вам отобрать наиболее перспективные решения.

Решение, которое вы и ваш ребенок выберете, должно быть таким, которое ваш ребенок может применить на практике и решить проблему.

Если вам не удалось найти многообещающий вариант, вернитесь к шагу 3 и поищите другие решения. Это может помочь поговорить с другими людьми, например, с другими членами семьи, чтобы получить свежие идеи.

Иногда вы не сможете найти решение, которое удовлетворит всех. Но путем переговоров и компромиссов вы сможете найти решение, с которым сможет жить каждый.

5. Претворение решения в жизнь

После согласования решения четко спланируйте, как оно будет работать. Это может помочь сделать это в письменном виде и указать следующие пункты:

• Кто что будет делать?
• Когда они это сделают?
• Что нужно для реализации решения?

В примере с Xbox согласованное решение звучит так: «Каждый из вас может использовать Xbox по 30 минут в день». Вот как вы можете спланировать, как будет работать решение:

• Кто что будет делать? У ваших детей будет очередь в разное время суток.
• Когда они это сделают? Первый ход будет у одного ребенка после того, как он закончит домашнее задание. У другого ребенка будет очередь после ужина, когда будут играть их друзья.
• Что нужно? Вам нужен таймер, чтобы каждый ребенок знал, когда остановиться.

Вы также можете обсудить, когда вы снова встретитесь, чтобы посмотреть, как работает решение.

Вкладывая время и энергию в развитие навыков решения проблем у вашего ребенка, вы даете понять, что цените вклад вашего ребенка в принятие важных решений и считаете, что он способен справиться со своими собственными проблемами. Это хорошо для ваших отношений с ребенком.

6. Оцените результат вашего процесса решения проблем

После того, как ваш ребенок или дети претворили план в жизнь, вам нужно проверить, как все прошло, и помочь им пройти этот процесс еще раз, если это необходимо.

Помните, что вашему ребенку нужно дать время, чтобы раствор подействовал, и что не все решения будут работать. Иногда им нужно попробовать несколько решений. Частью эффективного решения проблем является способность адаптироваться, когда дела идут не так, как ожидалось.

Задайте ребенку следующие вопросы:

• Что получилось хорошо?
• Что не сработало так хорошо?
• Что вы или мы могли бы сделать по-другому, чтобы решение работало более гладко?

Если решение не сработало, вернитесь к шагу 1 этого процесса решения проблемы и начните заново. Возможно, проблема была не в том, о чем вы думали, или решения были не совсем правильными.

Попробуйте использовать эти навыки и шаги, когда вам нужно решить собственные проблемы или принять решения. Если ваш ребенок увидит, что вы активно решаете проблемы, используя этот подход, он с большей вероятностью попробует его сам.

Как решать задачи, используя правила 5

 

Сколько времени в день вы тратите на решение проблем? Это может быть ответ на просьбы высшего руководства, помощь членам команды в решении проблемы или просто поиск места для парковки утром.

Если вы чем-то похожи на меня, то каждый день представляет собой поток проблем, ожидающих решения (или предотвращения).

Решение проблем — это хлеб с маслом для всех лидеров — это то, что мы делаем и где мы сияем. Мы не только решаем проблемы напрямую, на нас возложена обязанность расширять возможности и обучать других решать все более сложные проблемы.

Роль лидера в решении проблем

Когда кто-то из нашей команды сталкивается с проблемой, проще всего решить ее. В конце концов, это то, что мы делаем. Однако то, что мы можем решить проблему, не означает, что мы должны это делать.

Когда мы помогаем кому-то другому с проблемой, навыки решения проблем могут быть отработаны или нет – в зависимости от того, сталкивались ли мы с подобной проблемой раньше и уже ли у нас есть необходимые средства для ее решения.

Когда мы даем нашим людям возможность решить проблему, мы оба получаем развитие. Мы тренируем наши навыки коучинга (и нашу сдержанность… иногда мы просто хотим вмешаться!), и наши люди развивают свои навыки решения проблем. Давая возможность другим, мы повышаем возможности нас обоих.

Независимо от того, решаем ли мы проблему сами или помогаем кому-то другому в этом процессе, есть быстрое эмпирическое правило, которое мы можем использовать, чтобы убедиться, что мы понимаем и решаем правильную проблему… Правила 5.

Понять Проблема – 5 И

«Проблема не проблема. Проблема в вашем отношении к проблеме». Джек Воробей

У каждого из нас есть определенная линза, которую мы используем, чтобы смотреть на мир вокруг нас. Он формируется нашей работой, жизнью и опытом людей. По мере того, как мы получаем новый опыт, наша линза смещается, чтобы учесть меняющуюся точку зрения.

Прежде чем решать проблему, нам нужно знать, что она существует. Я слышал разговоры, что к тому времени, когда мы дойдем до конца, проблем не будет вообще. Это не только разочаровывает обе стороны, но и является дорогостоящей тратой времени.

Чтобы избежать этой головной боли, важно уметь сформулировать проблему заранее. К сожалению, иногда члены нашей команды (и мы) не можем эффективно сформулировать проблему ИЛИ то, что мы воспринимаем как проблему, на самом деле вовсе не проблема.

Чтобы понять истинную природу проблемы, лидеры должны использовать первое Правило 5. Оно называется «5 И».

В начале обсуждения попросите собеседника описать проблему. Когда они закончат, спросите «И?» и они будут уточняться. Когда они остановятся, спросите «И?» еще раз. Повторяйте процесс, пока не спросите «И?» пять раз.

Несколько лет назад один менеджер попросил у меня немного времени, чтобы поговорить о проблеме. Когда мы встретились, она сказала мне: «Джон публикует новую вакансию».

«И?»

К тому времени, когда я закончил спрашивать 5 И, оказалось, что это было бы полезно для группы, поскольку работа, которую выполнял Джон, менялась, и он не был заинтересован в изучении новых навыков, необходимых для выполнения этой работы. Его переезд освободил возможность нанять кого-то с нужными нам навыками, и Джон нашел работу, более соответствующую его интересам.

Если бы я сразу же перешел в режим решения проблем, я был бы разочарован, обнаружив, что проблемы, которую нужно было бы решить, не существует. Вместо этого задавание «5 И» позволило мне лучше понять 1.) была ли проблема и 2.) если была, то истинный масштаб происходящего.

«5 И» гарантируют, что кто-то обдумает, что происходит на самом деле, действительно ли это проблема, и сформулирует ее соответствующим образом. Это также гарантирует, что ответственность за решение проблемы остается за этим лицом. В противном случае это фактически отбрасывает предполагаемую проблему на ваши колени и делает ее вашей.

Выявление первопричины – 5 вопросов «почему?»

Следующим шагом после выявления проблемы является выяснение первопричины. Прежде чем решать проблему, важно понять корень проблемы. Почему? Потому что в противном случае мы могли бы устранять симптомы, в то время как истинная причина проблем оставалась бы неизменной.

Представим на мгновение, что отъезд Джона не должен был стать не событием. Его потеря будет губительна для команды.

Мы могли бы придумать всевозможные возможные решения — от попытки убедить его остаться до начала процесса найма замены. Однако мы не знаем, почему он уходит. Если мы этого не понимаем, любое решение может провалиться.

Как только проблема понятна, лидеры должны перейти к следующему Правилу 5 — «5 почему» — чтобы добраться до первопричины.

Разговор может проходить примерно так:

• «Джон уходит».
• «Почему?»
• «Потому что ему здесь плохо».
• «Почему?»
• «Потому что он не получает задания, которые хочет».
• «Почему?»
• «Потому что у него нет навыков, необходимых для их выполнения».
• «Почему?»
• «Потому что мы его не обучали»
• «Почему?»
• «Потому что предстоит проделать много работы, и ему поручили работу, соответствующую его нынешним навыкам».

Это указывает на более широкую проблему — приоритет командного развития с рабочими заданиями. Если лидер не поймет, почему уходит Джон, другие тоже могут уйти, включая любую замену. Хотя его замена может решить насущную проблему (симптом), оставление нерешенной основной причины (отсутствие приоритетов разработки) создаст более серьезные долгосрочные проблемы для команды.

Как только вы поймете проблему, прежде чем переходить в режим решения проблемы, уясните первопричину, задав «5 почему». В противном случае решение может быть временным.

Формулировка решения – 5 КАК

Проблема сформулирована, и ее основная причина известна. ТЕПЕРЬ пришло время найти решение.

Большинство людей хотят погрузиться в это. Часто до того, как будут предприняты другие шаги. Предполагая, что вы намотали их обратно и дождались решения, теперь ваше терпение окупится.

Для начала решения достаточно одного вопроса «Как?»

Однако, если мы остановимся только на одном, мы не сможем предвидеть проблемы, которые необходимо решить, чтобы сделать решение реальностью.

Это последнее из Правил 5 – «5 Как».

Возвращаясь к Джону и вопросу о приоритетах разработки, (упрощенный) разговор может выглядеть так:

• «Как вы хотите решить задачу с Джоном?»
• «Обучив его необходимым тренировкам».
• «Как?»
• «Переложив часть своей работы и освободив время для прохождения обучения».
• «Как?»
• «Перераспределив задания в команде».
• «Как?»
• «За счет переоценки потребностей в развитии всей команды и лучшего соответствия навыков и возможностей развития работе».
• «Как?»
• «Путем анализа приоритетов и обязательств перед клиентами в отношении работы, чтобы определить, какая работа может быть замедлена или отложена, что дает членам команды время для изучения новых навыков».

Хотя это простой пример, действие перераспределения не работает. Задавая дополнительные вопросы «как», это заставляет человека обдумывать проблемы. Что делать, если работу нельзя замедлить или отложить?

Именно здесь лидер может предоставить наиболее ценные рекомендации и отзывы.