Делить на ноль — это норма. Часть 1 / Хабр

Часть 1. Вобще-то уже все поделили до нас!
Часть 2. Истина где-то рядом

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.

Статья написана в продолжение тренда:

• Папа, а почему на ноль делить нельзя?
• Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется?

Disclaimer

Цель данной статьи — объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии — желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог

Выход «за рамки» — это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

1. Вобще-то уже все поделили до нас!

1.1 Аффинное расширение числовой прямой

Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .

Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия».

В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом — основным инструментом математического анализа. Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.

Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева — крутой спуск, справа — крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности. Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит.

Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.

Математическим языком:

Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

С геометрической точки зрения выполнено аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел “сжата” так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины. Расширение аффинное, но это не значит что оно пришло из Греции, это значит что сохраняется относительное положение точек (в нашем случае чисел) на прямой. Отсюда и следует, что сохраняются отношения “больше” и ”меньше” как для чисел между собой, так и в сравнении с границами.



С точки зрения общей топологии выполнена двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком).

1.2 Проективное расширение числовой прямой

Прогуливаясь по графику , у нас есть только два пути к нулю (слева и справа). В конце каждого пути стоит небольшая «оградка». По странному стечению обстоятельств одна и та же «оградка» оказалась и на дне и на вершине «бытия». Если мы хотим чтобы пути сошлись, то за «оградкой» нам нужен телепорт из одного конца «бытия» в другой. Мы уже такие телепорты видали. Не проблема.

Попробуем состыковать обе границы «бытия» так, как это делали наши предки. Перейдем на одно измерение выше. Отобразим одномерную линию на двумерной плоскости.

После стыковки наличие двух знаковых бесконечностей теряет смысл. Вместо них можно ввести одну общую точку пересечения, беззнаковую бесконечность.


Эта стыковка очень похожа на линию перемены даты находящуюся (в основном), между часовыми поясами UTC+12 и UTC-12 в Тихом океане. Именно там находится телепорт из сегодня во вчера и из сегодня в завтра. У нас же телепорт из сверхмалых в сверхбольшие.

Математическим языком:

По факту это самостоятельное расширение, проведенное над исходным множеством вещественных чисел. Данное расширение не основывается на рассмотренном ранее аффинном расширении.

С геометрической точки зрения выполнено проективное расширение числовой прямой (есть информация на wolfram.com). То есть введена идеализированная точка которая соединяет оба конца вещественной прямой. Так как расширение не аффинное, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.

С точки зрения общей топологии выполнена одноточечная компактификация числовой прямой путем добавления идеализированной точки (бесконечности без знака).

Аналогичным расширением над полем комплексных чисел является широко известная в математических кругах Сфера Римана.

Хорошо, избавились от знака минус. Однако в нуле у нас разрыв второго рода и устранимой точкой разрыва его нельзя считать по определению. Нарушается требование «конечности» предела. Соответственно мы не можем судить о равенстве предела справа и слева.

Но так как приближение к бесконечности выполняется по одинаковым правилам, мы можем утверждать что пределы слева и справа совпадают. Соответственно мы можем принять наш разрыв за точку устранимого разрыва в бесконечности.

Математическим языком:

Посмотрим внимательнее, как мы оперируем бесконечно большими и малыми величинами. При операциях мы часто пренебрегаем малыми низшего порядка попросту отбрасывая их при записи результата.
Аналогичная ситуация при нахождении производных
Отбрасывая «мелочевку» мы теряем информацию! Это хорошо видно на примере взятия пределов. Рассмотрим две функции, которые стремятся к положительной бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа.
Однако одинаковая запись результата взятия предела не свидетельствует о их равенстве. Данные бесконечности разного порядка и это подтверждается отсутствием конечного предела в отношении одной функции к другой.
В нестандартном анализе такие упрощения не допустимы. Поле вещественных чисел расширяется путем введения гиперреальных чисел. Бесконечно малые представлены в виде привычного значения — ноль, но в довесок хранится вся выкинутая “мелочевка”. Для бесконечно больших потенциальная бесконечность (две или одна — неважно), разбивается на множество актуальных бесконечностей. С одной стороны мы усложняем (теряем возможность поглощения/пренебрежения). С другой стороны мы приобретаем возможность сравнения бесконечно малых и бесконечно больших величин. А это значит что мы можем рассматривать бесконечности как числа.


Для функции актуальные бесконечности слева и справа от нуля равны (по модулю, т.е. не учитывая знак), так как:

• с обеих сторон путь (количество элементов, которые нужно пройти) от нуля до бесконечности одинаков;
• алгоритм приближения (формула в виде дроби) одинаков;
• знак минус в алгоритме не влияет на скорость или ускорение приближения к бесконечности.

Стоит отметить что указанные критерии условны и не приведены к формальным определениям нестандартного анализа.

Для дальнейших рассуждений понятие актуальной бесконечности нам больше не потребуется. Мы возвращаемся в привычный мир где будем оперировать понятием бесконечность, подразумевая потенциальную бесконечность.

Хорошо, пределы совпадают. Теперь, похоже, все готово для устранения разрыва между ними.

В математической модели, использующей проективное расширение числовой прямой, деление на ноль определено.

Создается впечатление что наша задача решена. Однако не будем спешить, посмотрим к каким последствиям это привело. В дополнение к делению в системе определены следующие операции (напомним, что бесконечность беззнаковая).

Практически все они с дополнительными условиями, это настораживает.

Но не будем спешить, лучше посмотрим на список неопределенных операций:

Посмотрим как будет вести себя дистрибутивный закон. Подставим в него определенные значения и выполним требуемые операции.

Как следствие, часть тождеств перестает вести себя так как мы привыкли. Однако, они не исчезли бесследно. Дистрибутивный закон работает только справа налево (т.е. в случае, когда правая часть равенства определена). Это один из ярких примеров негативных последствий. Другие же тождества сохранилась в более-менее устойчивой форме.

Подытожим:

1. Изменилось привычное поведение тождеств. Чтобы ими оперировать, нужно не забывать про новые дополнительные условия.
2. Искажено привычное поведение нуля. Мы привыкли рассуждать, если ноль раз взять что-либо, то будет ноль. Однако в данной алгебраической системе произведение нуля на бесконечность не определено. Соответственно алгебраическое выражение с переменными, в котором встречается например такая запись , не может быть упрощено в одностороннем порядке.
3. Исчезает возможность привычного сравнения. Сравнение на больше-меньше определено только на части пространства. Например, сравнение вещественных чисел с бесконечностью не определено.
4. Полученная алгебраическая структура не поле в терминах общей алгебры. Нарушается дистрибутивный закон (показано выше). Так же не существует обратного элемента для бесконечности (произведение этого элемента и бесконечности должно дать единицу). Последние можно рассматривать как следствие неопределенности деления бесконечности на бесконечность. Но все же следует понимать что это грубое упрощение. Строгое определение обратного элемента не связано с операцией деления.

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.

1.2 Колесо

На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком «/».

Доопределим операции.

Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.

Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:

• Умножение ∞ либо ⊥ на ноль не дает ноль. Это приводит к тому, что в общем случае.
• Для ∞ и ⊥ отсутствуют обратные элементы по обеим бинарным операциям. Это значит, что по умножению в общем случае. Как следствие, нет возможности ввести бинарную операцию деления покрывающую все пространство.
• Симметричная ситуация по сложению, в общем случае.

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.

Математическим языком:

С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем. А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.

Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .

На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:

1. Все операции хорошо определены и нет возможности «вывалиться за борт».
2. Элементарная алгебра является частным случаем колеса. Если мы отбросим надстройки ∞ и ⊥ (то есть снова сможем утверждать что и ), то все формулы выродятся в привычные.
3. По ощущениям все что было “не определено” (Undefined) при проективном расширении было обозначено символом . Данный объект так же поглощает все с чем столкнется как и “не определено”. Все щели, где появились неопределенности при проективном расширении, были заткнуты данным объектом.

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено», но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!».
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах.

Стоит отметить, существуют и другие алгебраические системы с делением. Например, «луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а так же отказом от бинарного деления.

Возможность «передвигать неизвестные» для математики норма. Но все эти обертки не дают ответа на главный вопрос, что же там внутри?

Полезная литература

• Setzer, Anton (Drafts): Wheels, 1997 (pdf)
• Carlström, Jesper: Wheels — on division by zero, 2001 (pdf)
• P. J. Potts: Exact Real Arithmetic using Möbius Transformations, 1998 (pdf)
• Jan A. Bergstra & Alban Ponse: Division by Zero in Common Meadows (pdf)
• A.Edalat and P. J. Potts. A new representation for exact real numbers, 2000
• http://en.wikipedia.org/wiki/Undefined_(mathematics)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
• Форум dxdy — Деление на ноль (2)
• Форум dxdy — Деление на ноль возможно (12)

Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число

Цель: познакомить с приёмом деления нуля на число; обобщить и закрепить знания таблицы умножения

Личностные результаты: умение анализировать результаты учебной деятельности, объяснять причины успеха или неуспеха в своей учёбе.

Оборудование: учебник «Математика 3 класс», тетради, таблички с формулами, карточки с заданиями, снежинки с заданиями и для рефлексии, новогодняя елка, компьютер и проектор, презентация.

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность ученика
Организационный этап	Здравствуйте, ребята. Проверьте свою готовность к уроку, сядьте прямо.	Приветствуют учителя.
Мотивация	— Какой сейчас месяц? (декабрь) А что можно сказать о 31 декабря? (В ночь с 31 декабря на 1 января наступает Новый год!) — Кто самый желанный гость на новогоднем празднике? Конечно, Дедушка Мороз. — Ребята, посмотрите какую елочку нам принес Дедушка Мороз. Но чего-то не хватает. Даже не знаю чего. Как вы думаете? Конечно же, нам надо ее украсить. — Поможем дедушке морозу ее украсить? Для этого нам нужно выполнять разные задания на снежинках. Вы готовы отправиться в сказочную страну Деда Мороза? Для этого нам надо стать помощниками Деда Мороза. У вас на столах лежат шапочки помощников, давайте их оденем и отправимся в путешествие. — Ваша работа на уроке должна быть обязательно оценена. Поэтому для каждого из вас есть лист помощника Деда Мороза. В течении всего урока вы будете выполнять задания и оценивать себя (подписать фамилию и имя).	Отвечают на вопрос.
3. Актуализация знаний	— Снимает снежинку под номером 1. — Ребята, вы любите фокусы? — Показать вам фокус? Содержание фокуса. Попросить учеников задумать число (однозначное). Потом это число ученик должен умножить на 2, прибавить к результату 8, разделить результат на 2 и отнять задуманное число. В результате получается число 4. — Сейчас запишите число в черновиках и покажите партнеру по плечу. — Хотите услышать ответ? Ответ будет 4. — У вас получилось? Молодцы! — Оцените себя. Нарисуйте зеленый кружок в листе помощников Деда Мороза, если ошибки не было, если было — красный. Давайте вспомним, какие правила умножения на 1 и 0 мы уже изучили. ( Формулы-подсказки я повешу на доске. а ∙ 1 = а ,а ∙ 0 = 0) — Откройте свои тетради, запишите сегодняшнее число и классная работа. Снежинка № 2 Работа в группах. Расставьте примеры в 2 группы: — Почему так распределили? . Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример? Все ли примеры вы смогли решить? У кого возникли затруднения? Чем этот пример отличается от остальных? Если кто-то решил, то молодец. (Проверка и отметка в Листе Помощников Деда Мороза)	Отвечают дети (При умножении любого числа на 1 получается тоже самое число. При умножении любого числа на нуль получается нуль.) — С ответом 4 и 5
4. Постановка цели и задач урока.	Но почему не все смогли справиться с этим примером? — Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число. Вспомните, что вы знаете про 0?  — Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0. — Подходят ли эти правила к нашему примеру? Как же он поведёт себя при делении? — Итак, какова наша цель на этом уроке? Цель: _________________ — Что для этого надо? Задача: __________ Следовательно Тема урока:_____________	-а·0=0, 0·а=0, 0+а=а -Нет — Цель урока: «Научиться решать такие примеры». — Задача « Узнать правило деления 0 на число» — Тема урока: «Умножение и деление с числами 1,0. Деление нуля на число».
5. Первичное усвоение новых знаний.	— Сколько получится в последнем примере? Как узнали? (Если дети ответили, то объясняют как решили.  Если не ответили, то я объясняю) — Деление связано с умножением. На какое число надо умножить 9, чтобы получить 0? Вывод: При делении нуля на любое другое число, получается нуль. 0:b=0 Сравните свой вывод с тем, который есть в учебнике на стр. 85 (прочитайте и расскажите друг другу) — Итак, продолжаем выполнение заданий на снежинках. Снежинка № 3 Работа со словарем (в группе). Ребята, а вы знаете, что означает слово «Ноль»? Где мы можем узнать о значении этого слова? — Значит, какой вывод мы можем сделать? — Можно ли поделить ничего на ноль? — Какой вывод можно сделать? ПОМНИ, делить на нуль нельзя! Почему? Да потому, что какое бы число вы не умножали на 0, в ответе всегда будет 0 а:0 Физкультминутка «Снеговик» Немножко отдохнули. Продолжаем помогать Дедушке Морозу.	— На 0 (Представители групп зачитывают толкование слова ноль) — Ноль – ничего. — Нет — Ноль на число делить нельзя.
6. Первичная проверка понимания	Снежинка № 4 Работа в парах. — Кто уже чувствует в себе силу самостоятельно применить новые знания и получить звание «умников» и «умниц»? Кому нужна помощь? (Как правило, никому) — Сейчас снежинка предлагает поработать в парах. — Что нужно сделать в следующем задании? Подобрать знаки *, :, +, -. 1 вариант: 0 : 16=          16 * 0=       2 вариант 16 * 1=                    16 * 0= Одна пара у доски. Проверяем по доске (взаимопроверка), оцениваем в листах Помощников Деда Мороза. (без ошибок – зеленый, 1 ошибка – желтый, 2 ошибки – красный.) — Посмотрите, сколько у меня карандашей. Хотите узнать сколько? Давайте сосчитаем(48). Снежинка №5 Решение задачи. Ни один урок математики не обходится без решения задач. — Значит наша задача о чем? Решение задачи по карточкам У Маши есть 48 карандашей в коробках, 6 в каждом. Сколько у нее коробок с карандашами? А) Составление таблицы. — О чем идет речь? Какой вопрос задачи? — Прочитайте условие задачи и подумайте, как удобнее выполнить краткую запись. — Что такое 48? — 6? — Какая ещё графа должна быть в таблице? — Мы можем ответить на вопрос задачи? — Почему? — Как мы можем найти количество коробок? — Заполните таблицу, решите задачу и запишите ответ в группе. Кол-во карандашей в 1 коробке Количество коробок Кол-во карандашей во всех коробках 6 ? 1) (:) 48 Б) Проверка решения. 1) 48:6 = 8(кор.) Ответ: у Маши есть 8 коробок с карандашами. — Группы меняются местами и проверяют решение (по экрану). (Оценивание в листке Помощников Деда Мороза: задача решена – зеленый кружок, не решена – красный)	1 вариант: 0:16= 0        16 *0= 0         2 вариант 16*1= 16                   16*0= 0 — О карандашах — В таблице — Кол-во всех карандашей — Количество карандашей в 1 коробке — Количество коробок — Нет — Нужно найти. — Делением
7. Первичное закрепление.	Снежинка №6 Разноуровневые задания (самостоятельная работа по карточкам разного цвета) Найди ошибки, исправь и запиши правильно в свою тетрадь. Уровень А(на 3) (красный) 1·15=1 83·0=83 (100-100)·0=100 6·(15-14)=6 Уровень В (на 4) (желтый) 52·(48-47)=52 (60-60):(28+22)=50 (62+24)·1=1 (25-5)·(5-5)=5 Уровень С(на 5) (зеленый) (30- 3·10):5=5 32+0·57=32 87:(85+2) ·1=2 (82 — 82):3=3 Самооценивание по образцу на экране. Доп.задача: («Проверь себя» (учебник, с. 84, 85). Проверка. Ответы записываю на доске: с. 84 — 1, 8, 12; с. 85 — 0, 0, 0.)	Уровень А(на 3) 1·15=15 83·0=0 (100-100)·0=0 Уровень В (на 4) (60-60):(28+22)= 0 (62+24)·1=86 (25-5)·(5-5)=0 Уровень С(на 5) (30- 3·10):5=0 87:(85+2) ·1=1 (82 — 82):3=0
8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению	1в. Стр.85 № 6 1), № 8 (1,2 уравнения) 2в.Стр.85 № 6 2), № 8 (3,4 уравнения)	Записывают домашнее задание
9. Рефлексия (подведение итогов занятия)	— Какую цель мы сегодня поставили? — Достигли мы эту цель? -Какие правила вы узнали сегодня на уроке? -Какие правила повторили? -Какие задания ещё вызывают у вас затруднения? -За что вы можете себя похвалить? Оцените свою работу на уроке в листе Помощников Деда Мороза. Давайте нашу елочку украсим новыми снежинками. *Доволен своей работой на уроке. *Были отдельные моменты, когда я испытывал трудности. *Не доволен, много не сумел сделать. Ребята, мне очень понравилось с вами работать. Вы большие молодцы. Я вам желаю успехов. Спасибо за урок	Отвечают на вопросы — 5-6 зеленые кружочки -3-4 зеленые кружочки — 0-2 зеленые кружочки

Деление на ноль — пример, решенный пример и часто задаваемые вопросы

Деление — это метод деления группы вещей на равные части. Это одна из четырех основных арифметических операций, которые дают справедливый результат обмена. Основная цель деления состоит в том, чтобы увидеть, сколько равных групп или сколько в каждой группе справедливо делится. Можно также сказать, что деление — это операция, обратная умножению.

Пример:

При делении, если 12 разделить на 3 равные группы, то в каждой группе будет по 4. В математическом смысле это можно записать как 12/3=4,9. 0003

Некоторые факты о делении:

• При делении число, которое делится, называется делимым. Число, на которое оно делится, называется делителем. Число, полученное при делении, называется частным, а оставшееся число называется остатком.

• Например, если мы разделим 17 на 2, мы получим 8. Здесь 17 — делимое, 2 — делитель, 8 — частное, а 1 — остаток.

• Произведение частного и делителя, прибавленного к остатку, всегда равно делимому. Это можно записать как (делитель × частное) + остаток = дивиденд или (d × Q) + R = D

• Например, если мы разделим 23 на 2, мы получим 11. Здесь 23 — делимое, 2 — делитель, 11 — частное, а 1 — остаток. Если мы будем следовать приведенному выше правилу, то, решив (2 x 11) + 1, мы получим 23, что является делимым. Следовательно, указанное выше свойство имеет место.

• Когда мы делим что-то на 1, результатом всегда будет одно и то же число. Это означает, что если делитель равен 1, то частное будет равно делимому.

Например: 10 ÷ 1= 1

• При делении остаток всегда меньше делителя.

• Деление на ноль считается неопределенным. (Обсудим это подробнее)

• Если делимое и делитель совпадают при делении, то результатом всегда будет 1.  

Например: 5 ÷ 5 = 1. 

Ноль:

Ноль — это целое число, непосредственно предшествующее 1. Это четное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Хотя ноль считается целым числом, это не счетное число. Значение нулевого числа ничто.

Разделение нуля на число:

Разделив 0 на любое число, мы получим ноль. Ноль никогда не изменится, если вы умножите или разделите на него любое число.

⇒ 0/x = 0

Например, у человека нет ирисок, которые нужно разделить между 7 (скажем) детьми. Это означает, что нечего делить или распределять между 7 детьми. Если ничем не делиться, то ириски никто не получит. Следовательно, 0, деленный на любое число, дает 0 как частное.

Следовательно, 0/1 = 0

Число, деленное на ноль:

Никогда не делите любое число на ноль. Нас всех этому учили в школе, и это хороший совет. Делить на ноль редко имеет смысл. Деление на ноль не имеет смысла, потому что в арифметике деление на ноль также может интерпретироваться как умножение на ноль. Предположим, мы получили уравнение 5/0=X. Это также интерпретирует то же уравнение как 0*X=5. Здесь нет числа, которое могло бы вместить X, чтобы уравнение работало.

 

Со ссылкой на приведенный выше пример, если мы рассмотрим 0 на 0 до X, т. е. 0/0=X, это также можно переписать как 0*X=0, и проблема в том, что работает любое число. X может быть любым, так что это уравнение совершенно бесполезно. Следовательно, если мы разделим на ноль, это считается «неопределенным».

Например, если у нас есть 20 бананов и мы хотим раздать их поровну на 4 человек, то по определению деления каждый ученик получит 20/4 бананов, т.е. по 5 бананов. Если использовать ту же логику, x/0 означает распределение x бананов поровну между 0 людьми. Это совершенно бессмысленно; не существует рационального способа распределения группы предметов среди 0 человек, поэтому мы можем сказать, что это не определено.

Что не определено?

Иногда, когда вы видите «неопределенное» на уроке математики, это кажется очень странным. Математики никогда не определяли, что значит делить на ноль. Какова ценность этого? Они не сделали этого, потому что не смогли найти хороший ответ. Нет хорошего ответа, нет хорошего определения. И из-за этого любое ненулевое число, деленное на ноль, остается «неопределенным».

Решено Пример: 

Если у вас дома 5 яблок и 5 друзей, сколько яблок получит каждый друг в справедливой доле? Каждый получит по яблоку, верно?

Если у вас такое же количество яблок и нет друзей в вашем доме, вы делите яблоки между людьми? Как мы можем понять это? Это не имеет смысла, и это то, что называется undefined.

Знаете ли вы?

• Понятие числа ноль появилось в 7 веке, намного позже изобретения других натуральных чисел. Брахмагупта был математиком и астрономом, который нашел концепцию нуля. Он также дал правила сложения и вычитания с нулем.

• Ноль является действительным числом, целым, рациональным, а также целым числом.

• Ноль всегда нейтрален, а это означает, что нет такой вещи, как -0 или +0.

• Ноль не является ни простым, ни составным числом.

• Если к любому числу прибавить или вычесть ноль, то число останется прежним. Но если ноль умножить на любое число, то произведение равно нулю.

• Степень любого числа, увеличенного на ноль, всегда равна единице.

Заключение

Высококвалифицированные специалисты в предметной области тщательно подбирают учебный материал с учетом потребностей учащегося. Статьи, решения и примеры вопросов — отличный способ концептуального обучения. Поскольку известно, что математика требует практики, ожидается, что учащиеся будут обращаться к предоставленному материалу, что важно для лучшего обучения. Понимание этого ключевого требования и работа над учебным планом с учетом этого является важным аспектом успеха. Вы можете легко скачать бесплатные PDF-файлы и учиться конструктивно.

Деление на ноль | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Деление вида a0\frac{a}{0}0a​, a≠0a\neq 0a​=0
• Деление вида 00\frac{0}{0}00​
• 2=1?

В математике при делении на ноль делитель (знаменатель) равен нулю и имеет вид a0\frac{a}{0}0a​. Предположим теперь, что мы применили эту операцию к некоторым числам xxx и aaa. Предположим, что a≠0a\neq 0a​=0.

x=a0x=\frac{a}{0}x=0a​

Поскольку деление обратно умножению,

x×0=ax\times 0=ax×0=a

Мы знаем из правила умножения, согласно которым любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

x×0=0=ax\times 0=0=ax×0=0=a

Что противоречит нашему предыдущему предположению, что a≠0a\neq 0a​=0. Это противоречие говорит нам о том, что для xxx не существует определенной формы, поэтому говорят, что деление на ноль равно undefined .

Чтобы понять это более интуитивно, давайте рассмотрим понятие деления в элементарной арифметике. Мы определяем деление на ноль в арифметике как разбиение набора объектов на равные части.

Например, если у нас есть 151515 яблок и мы хотим равномерно распределить их между 333 людьми, то по определению деления каждый ученик получит по 153=5\frac{15}{3}=5315​=5 яблок.

По той же логике a0\frac{a}{0}0a​ означает равное распределение aaa яблок среди 000 человек. Это бессмысленно; нет логического способа распределить набор объектов на 000 человек, поэтому можно сказать, что он не определен.

Другой способ понять деление на ноль: вместо простого деления на ноль мы позволяем знаменателю все ближе и ближе приближаться к нулю и экстраполируем его. Например, давайте сделаем aaa равным 111 и посмотрим, как значения меняются по мере того, как знаменатель становится все ближе и ближе к нулю.

10,1=10\frac{1}{0,1}=100,11​=10

10,01=100\frac{1}{0,01}=1000,011​=100

10,001=1000\frac{1}{0,001}= 10000,0011​=1000

10,0001=10000\фракция{1}{0,0001}=100000,00011​=10000……

Мы видим, что по мере того, как знаменатель становится все ближе и ближе к нулю, значение становится все больше и больше, поэтому у нас может возникнуть соблазн сказать, что 10=+∞\frac{1}{0}=+\infty01​ =+∞. Но мы рассмотрели только значение, когда знаменатель стремится к нулю с положительной стороны, в равной степени допустимо проверить его с отрицательной стороны.

1−0,1=−10\frac{1}{-0,1}=-10−0,11​=−10

1−0,01=−100\frac{1}{-0,01}=-100−0,011​= −100

1−0,001=−1000\frac{1}{-0,001}=-1000−0,0011​=−1000

1−0,0001=−10000\frac{1}{-0,0001}=-10000−0,00011 ​=−10000……

По мере того, как знаменатель становится все ближе и ближе к нулю с отрицательной стороны, 10=-∞\frac{1}{0}=-\infty01​=-∞. Помимо того факта, что бесконечность — это даже не число, у нас есть два предела, к которым приближается деление по мере того, как знаменатель все ближе и ближе к нулю. Это говорит нам о том, что, хотя он определяется по мере приближения к нулю, он не определяется по мере того, как равен нулю.

Пусть значение операции равно xxx.

x=00x=\frac{0}{0}x=00​

x×0=0x\times 0 = 0x×0=0

Мы видим, что левая часть уравнения равна нулю . для любого значения xxx, поэтому у нас есть уравнение, которое будет истинным утверждением для любого значения xxx. Поскольку это так, у нас нет способа определить значение xxx, говорят, что оно неопределенное .

В элементарной арифметике 00\frac{0}{0}00​ означает распределить 000 000 яблок поровну между 000 человек. Можно разбить 000 000 элементов на 000 человек, но из-за бессодержательной истины мы можем утверждать, что каждое такое разбиение имеет любое количество элементов. 9{2}X2-Y2=XY-Y2

Фактор обеих сторон:

(X+Y)(X-Y)=Y(X-Y)(X+Y)(X-Y)=Y(X-Y)(X +Y)(X−Y)=Y(X−Y)

Разделить обе части на (X−Y)(XY)(X−Y):

X+Y=YX+Y=YX+Y=Y

Поскольку X=YX=YX=Y

Y+Y=YY+Y=YY+Y=Y

2Y=Y2Y=Y2Y=Y

2=12=12=1

Получаем ложное утверждение, когда мы делим обе части на X-YX-YX-Y.