§ Деление дробей

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

---

На главную страницу

---

Войти при помощи

---

Темы уроков

---

Начальная школа

---

• Геометрия: начальная школа
• Действия в столбик
• Деление с остатком
• Законы арифметики
• Периметр
• Порядок действий
• Разряды и классы. Разрядные слагаемые
• Счет в пределах 10 и 20

---

Математика 5 класс

---

• Взаимно обратные числа и дроби
• Десятичные дроби
• Натуральные числа
• Нахождение НОД и НОК
• Обыкновенные дроби
• Округление чисел
• Перевод обыкновенной дроби в десятичную
• Площадь
• Проценты
• Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
• Среднее арифметическое
• Упрощение выражений
• Уравнения 5 класс
• Числовые и буквенные выражения

---

Математика 6 класс

---

• Масштаб
• Модуль числа
• Окружность. Площадь круга
• Отношение чисел
• Отрицательные и положительные числа
• Периодическая дробь
• Признаки делимости
• Пропорции
• Рациональные числа
• Система координат
• Целые числа

---

Алгебра 7 класс

---

• Алгебраические дроби
• Как применять формулы сокращённого умножения
• Многочлены
• Одночлены
• Системы уравнений
• Степени
• Уравнения
• Формулы сокращённого умножения
• Функция в математике

---

Геометрия 7 класс

---

• Точка, прямая и отрезок
• Что такое аксиома и теорема

---

Алгебра 8 класс

---

• Квадратичная функция. Парабола
• Квадратные неравенства
• Квадратные уравнения
• Квадратный корень
• Неравенства
• Системы неравенств
• Стандартный вид числа
• Теорема Виета

---

Алгебра 9 класс

---

• Возрастание и убывание функции
• Нули функции
• Область определения функции
• Отрицательная степень
• Среднее
  геометрическое
• Чётные и нечётные функции

---

Алгебра 10 класс

---

• Иррациональные числа

---

Алгебра 11 класс

---

• Факториал

---

Внести своё в таблицу умножения можно, только её переврав.

Эмиль Кроткий

на главную

Введите тему

Поддержать сайт

Дроби. Числитель и знаменатель Сокращение дробей Сравнение дробей Смешанные числа. Выделить целую часть Сложение дробей. Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби

Научившись умножать обыкновенные дроби, несложно научиться их делить. Как обычно, рассмотрим какие случаи могут нам встретиться при вычислении примеров на деление дробей.

Деление дроби на дробь

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, отличную от нуля, нужно:

• числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.

Другими словами, деление дробей сводится к умножению. Поэтому правила деления дробей можно записать следующим образом.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое (первую дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Пример.

Как дробь разделить на число

Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно использовать следующий способ.

Мы представляем натуральное число в виде неправильной дроби с числителем, равным самому числу, а знаменатель равным единице.

Затем призводим деление по правилу деления дроби на дробь.

Деление смешанных чисел

При делении смешанных чисел надо представить числа в виде неправильных дробей, а потом разделить их друг на друга по правилу деления дроби на дроби.

Пример.

Дроби. Числитель и знаменатель Сокращение дробей Сравнение дробей Смешанные числа. Выделить целую часть Сложение дробей. Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби

правила, свойства и примеры для 5 класса

Математика

12. 11.21

8 мин.

В различных дисциплинах с физико-математическим уклоном встречается операция упрощения выражений. Иногда последние представлены в виде обыкновенных дробей. Правила деления и умножения дробных тождеств нужно знать, чтобы не совершать ошибок при вычислениях. Специалисты рекомендуют изучить теорию, а потом перейти к ее практическому применению.

Оглавление:

• Общие сведения
• Подготовительные операции
• Деление и умножение дробей

Общие сведения

Многие начинающие математики путают правила работы с обыкновенными выражениями, поскольку при делении забывают «переворачивать» делитель. Некоторые не отличают обыкновенное дробное выражение от десятичного. Кроме того, следует также знать правила деления числа на определенное значение. Итак, дроби бывают только двух типов:

1. Обыкновенными (правильными и неправильными).
2. Десятичными (конечными и бесконечными).

Правильная — дробное выражение, у которого числитель меньше знаменателя, а у неправильного — числитель больше знаменателя (пример 2/3 и 7/3). У конечной десятичной дробной величины после запятой находится определенное количество знаков. Если же она является бесконечной, то делится на 2 типа: бесконечная периодическая (0,85 (3)) и непериодическая (1,56471238971235). Первая отличается от второй повторяющимися знаками, которые следует выделять круглыми скобками 0,(36) через определенный промежуток.

Обыкновенное дробное выражение записывается в десятичной форме. Кроме того, существует и обратное утверждение: любую десятичную дробь возможно записать в виде обыкновенной. Существует еще определенный вид дробных чисел, называющихся смешанными. Они состоят из целой части и обыкновенной дроби, т. е. 4 (½). Деление дробей в 5 классе требует некоторых подготовительных операций.

Подготовительные операции

Чтобы разделить одну дробную величину на другую, требуется произвести некоторые действия. Для этого следует руководствоваться правилом: любое смешанное число должно быть преобразовано в неправильную обыкновенную дробь. В этом случае

математики рекомендуют воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Записать величину: 12 (2/5).
2. Умножить знаменатель на целую часть, а затем прибавить числитель: 12*5+2=62.
3. Записать результат в виде неправильной дробной величины: 62/5.

Обратную операцию по преобразованию неправильной дроби в смешанное число математики рекомендуют выполнять на завершающих этапах вычисления. Выполняется конвертация по такой методике:

1. Записывается искомая величина: 62/5.
2. Выделяется целая часть при делении: 12.
3. От числителя искомого значения отнимается произведение знаменателя на величину, полученную во 2 пункте: 62−12*5=62−60=2.
4. Записывается конечный результат: 12 (2/5).

Правило деления целого числа на дробь: произвести преобразование целого в дробь деление на 1, т. е. 4=4/1. Следует также рассмотреть признаки делимости чисел. Они помогут правильно вычислять выражения и быстро сократить полученный результат.

К ним относятся:

1. На 1 делится любое число без остатка.
2. Если последняя цифра является четной, величину возможно разделить на 2.
3. Величина делится на 3, когда сумма ее цифр делится на это значение.
4. Число делится на 4, когда сумма двух крайних справа цифр можно разделить на последнее.
5. Если величина заканчивается на 5 или 0, значит, 5 является ее делителем.
6. Деление на 6 выполняется нацело в том случае, когда выполняются второе и третье правила.
7. Чтобы разделить величину на 7, нужно от произведения всех цифр, не затрагивая последнюю, отнять двойной разряд единиц. В этом случае результат должен делиться на семерку.
8. При делении на 8 нужно соблюдение второго и четвертого условий.
9. Если число делится на 9, то на нее должна делиться и сумма цифр, составляющих искомую величину.

Математики рекомендуют заготовить специальные карточки на плотной бумаге или в виде презентаций на компьютере. Для этих целей может подойти программа PowerPoint, входящая в расширенный выпуск Microsoft Office.

Описанных рекомендаций будет достаточно, чтобы выполнить деление обыкновенных дробей. Правило, которое используется при этой операции, включает в себя преобразование величин, выполнение вычислений, а затем приведение к общему виду.

Деление и умножение дробей

При делении обыкновенных дробей рекомендуется на начальных этапах использовать алгоритм. Последний не понадобится, когда учащийся выполняет операцию большое количество раз.

Методика имеет следующий вид:

1. Записать 2 дроби: 3 (2/5) и 12 (2/5).
2. Преобразовать их в неправильные дробные выражения: (5*3+2)/5=17/5 и (12*5+2)/5=62/5.
3. Развернуть делитель (вторую дробь) и сменить знак деления «:» на противоположный (*), сократив на «5»: (17/5)*(5/62)=17/62.
4. Упростить результат при необходимости.

Деление целого значения на дробь выполняется по такому же алгоритму. При умножении обыкновенных дробных величин нет необходимости их переворачивать. Методика является очень простой и сводится к перемножению числителей и знаменателей, а затем результат упрощается.

Таким образом, для выполнения операций деления и умножения двух обыкновенных дробей рекомендуется изучить признаки делимости, алгоритмы и определения, а затем переходить к практике.

Не успеваете написать работу?

Заполните форму и узнайте стоимость

Вид работыПоиск информацииДипломнаяВКРМагистерскаяРефератОтчет по практикеВопросыКурсовая теорияКурсовая практикаДругоеКонтрольная работаРезюмеБизнес-планДиплом MBAЭссеЗащитная речьДиссертацияТестыЗадачиДиплом техническийПлан к дипломуКонцепция к дипломуПакет для защитыСтатьиЧасть дипломаМагистерская диссертацияКандидатская диссертация

Контактные данные — строго конфиденциальны!

Указывайте телефон без ошибок! — потребуется для входа в личный кабинет.

* Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Подтверждение

Ваша заявка принята.

Ей присвоен номер 0000.
Просьба при ответах не изменять тему письма и присвоенный заявке номер.
В ближайшее время мы свяжемся с Вами.

Ошибка оформления заказа

Кажется вы неправильно указали свой EMAIL, без которого мы не сможем ответить вам.
Пожалуйста проверте заполнение формы и при необходимости скорректируйте данные.

Обратить и умножить – Математика для учителей начальных классов

Дроби

Метод отсутствующих множителей — особенно хороший способ понять дробное деление. Он основан на том, что мы знаем об умножении и делении, подтверждая, что эти операции имеют одинаковые отношения независимо от того, являются ли числа целыми числами, дробями или чем-либо еще. Это имеет смысл. Но мы видели, что это не всегда работает хорошо. Например,

   

можно переписать как

   

Вы хотите спросить:

• Для числителя: . Мы можем заполнить пробел цифрой 3.
.
• Для знаменателя: . Мы можем заполнить пробел с помощью . (Почему это работает?)

Итак, имеем:

   

Вы узнали о дробях типа

   

еще в «Что такое дробь?» глава. Это значит, что каждому ребенку достается по 3 пирожка. Так сколько же получает отдельный ребенок (целый ребенок)? Вы можете нарисовать картинку, чтобы помочь вам понять это. Но мы также можем использовать правило ключевой дроби, чтобы помочь нам.

   

Этот процесс станет ключом к пониманию того, почему правило «перевернуть и умножить» для дробного деления действительно имеет смысл.

Пример

пироги делятся поровну между детьми. Сколько пирогов досталось каждому ребенку?

Технически мы могли бы просто записать ответ как

   

и готово! Ответ эквивалентен этой дроби, так почему бы и нет?

Есть ли способ сделать это более дружелюбным? Что ж, если мы заменим эти смешанные числа на «неправильные» дроби, это немного поможет:

   

Это немного лучше, но все еще не ясно, сколько пирога получит каждый ребенок. Давайте воспользуемся правилом ключевой фракции, чтобы сделать фракцию еще более дружелюбной. Давайте умножим числитель и знаменатель на 3. (Почему на три?) Помните, это означает, что мы умножаем дробь на , которая является специальной формой 1, поэтому мы не меняем ее значение.

   

Теперь умножьте числитель и знаменатель на 4. (Почему четыре?)

   

Теперь мы видим, что ответ равен . Это означает, что делить пироги между детьми — то же самое, что делить 92 пирога среди 63 детей. (В обоих случаях каждый ребенок получает одинаковое количество пирога.)

 

Пример

Давайте сейчас забудем о контексте и просто сосредоточимся на вычислениях, чтобы лучше видеть, что происходит. Попробуйте это:

   

Умножение числителя и знаменателя на 5 (почему мы выбрали 5?) дает

   

Теперь умножьте числитель и знаменатель на 3 (почему мы выбрали 3?):

   

Самостоятельно

1. Каждая из приведенных ниже дробей является прекрасной дробью, но ее можно было бы записать в более простой форме. Так сделай это! Запишите каждое из них в более простой форме, следуя приведенным выше примерам.

   

 

Подумай / Соедини / Поделись

• Джессика вычислила второе упражнение выше следующим образом:

   

Верно ли ее решение или она что-то не понимает? Тщательно объясните, что происходит с ее решением, и что бы вы сделали как учитель Джессики.

• Исаак рассчитал последнее упражнение выше следующим образом:

   

Верно ли его решение или он что-то не понимает? Тщательно объясните, что происходит с его решением, и что бы вы сделали как учитель Исаака.

Возможно, вы, сами того не осознавая, только что нашли другой способ деления дробей.

Пример: 3/5 ÷ 4/7

Рассмотрим . Мы знаем, что дробь — это ответ на задачу о делении, то есть

9.0002    

Теперь мы знаем, как упростить такие уродливые дроби! Умножьте числитель и знаменатель на 5:

   

Теперь умножьте их на 7:

   

Готово! Итак,

   

 

Пример: 09.

05 ÷ 11.08

Давайте еще раз! Рассмотрим:

   

Давайте умножим числитель и знаменатель на 9 и на 11 одновременно. (Почему бы и нет?)

   

(Вы видите, что здесь произошло?)

Итак, у нас есть

   

Самостоятельно

Вычислите каждое из следующих значений, используя технику упрощения из приведенных выше примеров.

   

Рассмотрим проблему. Джанин писал(а):

   

Она остановилась, не завершив последний шаг, и воскликнула: «Деление одной дроби на другую — это то же самое, что умножение первой дроби на вторую в перевернутом виде!»

Подумай / Соедини / Поделись

Сначала проверьте каждый шаг работы Джанин здесь и убедитесь, что она права в том, что она сделала до этого момента. Затем ответьте на следующие вопросы:

• Вы понимаете, что говорит Джанин? Объясните это очень ясно.
• Разработайте с использованием метода упрощения. Ответ такой же как?
• Разработайте с использованием метода упрощения. Ответ такой же как?
• Разработайте с использованием метода упрощения. Ответ такой же как?
• Джанин права? Всегда ли деление двух дробей равносильно умножению двух дробей на перевернутую вторую? Что вы думаете? (Не думайте только о примерах. Это вопрос, если что-то всегда истинно .)

Теперь у нас есть несколько методов решения задач на деление дробей:

Деление дробей:

• Нарисуйте рисунок, используя метод прямоугольника, и используйте его для решения задачи на деление.
• Найдите общий знаменатель и разделите числители.

• Перепишите деление как задачу на умножение на пропущенный множитель и решите эту задачу.

• Упростить некрасивую дробь.

• Переверните вторую дробь (делимое) и умножьте.

 

Подумай / Соедини / Поделись

Обсудите свое мнение о наших четырех методах решения задач на деление дробей с партнером:

• Какой метод деления дробей проще всего понять, почему он работает ?
• Какой метод деления дробей проще всего использовать в вычислениях ?
• Каковы преимущества и недостатки каждого метода? (Думайте и как будущий учитель, и как человек, решающий здесь математические задачи. )

 

Деление дробей

Деление дробей может быть немного сложным. Это единственная операция, которая требует использования взаимный . Использование обратного числа просто означает, что вы переворачиваете дробь или инвертируете ее .

Например, , обратное число 2/3 равно 3/2 .

После того, как мы дадим вам правило деления, мы покажем вам, ПОЧЕМУ вы должны использовать обратное число в первую очередь.

А пока…

Вот правило деления

Чтобы разделить, преобразуйте процесс деления дроби в процесс умножения, выполнив следующие шаги.

1. Замените «÷» (знак деления) на «x» (знак умножения) и инвертируйте число справа от знака.
2. Умножить числители.
3. Умножить знаменатели.
4. При необходимости перепишите свой ответ в упрощенной или сокращенной форме

После того, как вы выполните Шаг #1 для деления дробей, задача фактически изменится с деления на умножение .

Пример 1: Деление дробей на дроби

1/2 ÷ 1/3 = 1/2 x 3/1

1/2 x 3/1 = 3/2

Упрощенный ответ: 1 1/2

Пример 2. Деление дробей на целые числа

1/2 ÷ 5 = 1/2 ÷ 5/1

(Не забудьте преобразовать
целых чисел в дроби, СНАЧАЛА!)

1/2 ÷ 5/1 = 1/2 x 1/5

1/ 2 x 1/5 = 1/10

Пример 3: Деление целых чисел на дроби

6 ÷ 1/3 = 6/1 ÷ 1/3

(Не забудьте преобразовать
целых чисел в дроби, СНАЧАЛА!)

6/1 ÷ 1/3 = 6/1 x 3/1

6/1 x 3/1 = 18/1 = 18

Вот и все. Главное, что вы должны помнить при делении, это сначала преобразовать целые числа в дроби, затем инвертировать дробь справа от знака деления и изменить знак на умножение.

У «делителя» есть некоторые другие особенности  вы должны иметь в виду…

Особые примечания!

• Не забывайте инвертировать только делитель.
• Числитель или знаменатель делителя не может быть «нулем».
• Преобразование операции в умножение ПЕРЕД выполнением каких-либо отмен.

Я обещал попробовать объяснить почему правило требует инвертировать делитель.

Вот.

Если серьезно подумать, мы делим дробь на дробь , которая образует так называемую «сложную дробь» . На самом деле это выглядит так…

При работе со сложными дробями мы сначала хотим избавиться от знаменателя (1/3) , чтобы нам было проще решить эту задачу.

Вы, наверное, помните, что любое число, умноженное на его обратное число, равно 1. А так как 1/3 x 3/1 = 1 , мы можем использовать обратное свойство 1/3, (3/1) , чтобы сделать значение знаменателя равным 1.

Вы также можете вспомнить, что что бы мы ни делали со знаменателем дроби, мы должны также поступаем с его числителем, чтобы не менять общую дробь «значение».