Закон 1. Переместительный закон сложения.

От перемены мест слагаемых значение суммы не меняется:

a + b = b + a

4 + 2 = 2 + 4

Закон 2. Сочетательный закон сложения.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел или ко второму числу прибавить сумму первого и третьего чисел:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

(2 + 4) + 8 = 2 + (4 + 8) = (2 + 8) + 4

УМНОЖЕНИЕ

Умножение— это сложение одинаковых слагаемых.

2 + 2 + 2 = 2 · 3 = 6

2 – слагаемое

3– число, которое показывает, сколько раз повторяется слагаемое 2 (по два три раза)

• , х — знаки умножения.

 

ДЕЛЕНИЕ

Деление — это действие, обратное умножению.

6 : 2 = 3 6 : 3 = 2

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ

Закон 1. Переместительный закон умножения

От перестановки множителей произведение не меняется:

a · b = b · a

4 · 2 = 2 · 4

8 = 8

Закон 2. Сочетательный закон умножения

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел или второе число умножить на произведении первого и третьего чисел:

(a · b) · c = a · (b · c) = (a · c) · b

(2 · 4) · 8 = 2 · (4 · 8) = (2 · 8) · 4

Закон 3. Распределительный закон умножения.

Относительно сложения

Произведение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.

(a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d

(2 + 5 + 3) · 2 = 2 · 2 + 5 · 2 + 3 · 2 = 20

Относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе произведение.

(a — b) · d = a · d — b · d

(15 — 5) · 4 = 15 · 4 — 5 · 4 = 60 -+ 20 = 40

 

СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ

Правило 1. Чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить каждое слагаемое на это число, а полученные результаты сложить.

(a + b) : c = a : c + b : c

Правило 2. Чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого частного вычесть второе частное.

(a — b) : c = a : c — b : c

Правило 3. Частное от деления произведений двух множителей на число равно произведению одного из множителей на частное от деления второго множителя на это число.

(a · b) : c = (a : c) · b = a · (b : c)

Правило4. Чтобы разделить число на частное, достаточно разделить это число на делимое и полученный результат умножить на делитель.

a · (b : c) = (a : b) · c

Правило 5. Чтобы разделить частное на число, достаточно умножить делитель на это число и разделить делимое на полученный результат Можно так же разделить делимое на это число, а полученный результат разделить на делитель.

(a : b) : c = a : (b · c)

или

(a : b) : c = (a : c) : b

 

НАХОЖДЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕЛЕНИЯ

Правило.Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

a : ? = c ? = a : c

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

? : b = c ? = c · b

 

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ПИФАГОРА

 

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ УМНОЖЕНИЯ

a · 1 = a 1 · a = a

4 · 1 = 4 1 · 4 = 4

 

0 · a = 0 a · 0 = 0

0 · 6 = 0 6 · 0 = 0

 

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ДЕЛЕНИЯ

a : 1 = a

8 : 1 = 8

0 : a = 0

0 : 6 = 0

a : a = 1

8 : 8 = 1

 

На нуль делить НЕЛЬЗЯ!

Нуль можно делить на любое число, получится 0.

 

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

На 2 делятся все чётные числа, то есть числа, которые оканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6, 8.

На 3 делятся все числа, сумма цифр которых делится на 3.

На 5 делятся все числа, которые оканчиваются на 0 или 5.

На 6 делятся числа, которые делятся одновременно и на 2, и на 3.

На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.

 

ИМЕНОВАННЫЕ ЧИСЛА

Именованные числа – это числа, полученные при измерении величин и сопровождающиеся названием единиц измерения.

Например: 2 кг, 4 см, 8 л.

Именованные числа бывают простые и составные.

Простыеименованные числа: 7 м, 18 т, 21 кг – в них входит только одна единица измерения.

Составные именованные числа: 2 м 4 см, 24 кг 45 г, 8 км 520 м – в них входят несколько единиц измерения.

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИМЕНОВАННЫХ ЧИСЕЛ

Чтобы перейти от одних единиц измерения к другим, пользуйся таблицей величин.

 

Таблица величин 1 см = 10 мм 1 дм =10 см 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм 1 км = 1000 м = 10000 дм = 100000 см	Единицы измерения массы 1 кг = 1000 г 1 ц = 100 кг 1 т = 10 ц = 1000 кг
Единицы измерения времени 1 мин = 60 с 1 ч = 60 мин = 3600 с 1 сутки = 24 часа 1 неделя = 7 дней 1 месяц = 30 или 31 день (в феврале 28 или 29 дней) 1 год = 12 месяцев = 52 недели = 365 или 366 дней 1 век (столетие) = 100 лет	Единицы измерения площади 1 мм2 1 см2 = 100 мм2 1 дм2 = 100 см2 1 м2 = 100 дм2 = 10000 см2 1 км2 = 1000000 м2 1 ар (1 а) = 1 сотка = 100 м2 1 гектар (1 га) = 10000 м2

 

 

Переместительный закон сложения — правило и примеры решения задач

В математике для решения задач применяются сочетательный и переместительные законы сложения. У многих учеников они могут вызвать некоторые сложности, поскольку не все понимают школьную программу 5 класса. Для этих целей специалисты разработали универсальный алгоритм обучения, который позволит не только хорошо усвоить материал, но и претендовать на высокие оценки.

Содержание

• Общие сведения
• Сложение и вычитание
  • Переместительное правило
  • Сочетательный закон
• Произведение и деление
• Пример задачи

Общие сведения

Сложение — математическая операция, при помощи которой происходит увеличение исходного числа на определенное значение. Ее элементами являются минимум два слагаемых и результат. Последний называется суммой. Всего существуют два закона сложения. К ним относятся следующие:

Коммутативный.

Ассоциативный.

Первый еще называется переместительным, а второй — сочетательным. Многие школьники путают правила сложения и умножения. Следует отметить, что для последнего предусмотрены три закона, т. е. распределительный, сочетательный и переместительный. У деления и умножения правила похожи, а вот для вычитания, как и для сложения, предусмотрено также два свойства.

Чтобы не путать термины, необходимо рассмотреть каждое арифметическое действие по группам.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание являются взаимосвязанными математическими операциями. Для примера необходимо разобрать числовое выражение «10+20+30+40=100». Оно состоит из пяти элементов: четырех слагаемых и одного результата. Это математическое выражение можно записать в обратном виде 100−40−30−20=10. Данное тождество называется вычитанием.

Иными словами, вычитание — математическая операция уменьшения заданного числа (уменьшаемого) на определенное число (вычитаемое), результатом которой является разность. Для сложения и вычитания применимо всего два закона: переместительный и сочетательный. Они используются для оптимизации вычислений.

Следует отметить, что методика ускорения расчетов используется также в программировании и информатике. Кроме того, эти правила применяются и в высшей математике. Например, для сложения или вычитания векторов, а также для работы с числовыми множествами.

Переместительное правило

Переместительный закон сложения гласит: от перемены мест слагаемых значение суммы не изменится. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться числовым выражением 12+32+16+40=100. Если поменять местами элементы (слагаемые) в левой части, то должна также получиться сотня, т. е. 32+12+40+16=100. Утверждение доказано. Математическая запись или формула закона выглядит таким образом: R+T+S=T+S+R=S+T+R=M.

Специалисты рекомендуют самостоятельно придумать числовое выражение и доказать истину формулировки переместительного свойства. Для вычитания также существует переместительный закон, который может быть сформулирован следующим образом: если поменять местами вычитаемое, то разность останется прежней.

Для доказательства правила можно использовать такой же видоизмененный пример, что и для суммы «100−40−16−32=12». В нем вычитаемое эквивалентно группе элементов 40, 16 и 32. Если эти числа поменять местами, то результат не изменится, т. е. 100−32−40−16=12. Правило доказано. Для вычитания переместительный закон записывается в таком виде: М-R-T=S, М-R-S=T и М-T-S=R. Далее необходимо рассмотреть сочетательные правила.

Сочетательный закон

Сочетательное правило сложения и вычитания похожи. Их суть заключается в перегруппировке элементов. Следует отметить, что последняя не влияет на результат. Она необходима для упрощения вычислений. Сочетательный закон сложения формулируется таким образом: значение суммы не зависит от группировок слагаемых.

Например, 4+11+6+9=30. Для удобства можно записать пример в таком виде: (4+6)+(11+9)=30. Результат не изменился. Кроме того, производить вычисления стало проще. В виде формулы закон можно записать в таком виде: М+R+T=М+(R+T)=(М+T)+R=S.

Для вычитания формулировка правила звучит следующим образом: разность не изменится, если перегруппировать вычитаемые компоненты, т. е. 30−6−11−4=30-(6+4)-4=9. Формула закона имеет вид: М-R-T-P= М-R-(T+P)= N. Следует отметить, что числа можно группировать в произвольном порядке. Главное — придерживаться принципа вынесения знака за скобку (касается только вычитания).

Некоторые ученики часто приписывают к арифметическим операциям сложения и вычитания распределительное свойство. Это большая ошибка, поскольку для суммы и разности его не существует вообще. Далее необходимо рассмотреть операции, в которых оно применяется.

Произведение и деление

Для умножения и деления применимы те же правила, что и для сложения и вычитания, но к ним добавляется еще и третье — распределительное свойство. В итоге список законов имеет такой вид:

Переместительный.

Сочетательный.

Распределительный.

Следует отметить, что формулировки для переместительного закона сложения и умножения практически идентичны. Для последней математической операции он звучит таким образом: произведение не изменится, когда будет выполнено перемещения одного сомножителя на место другого. Например, 2*3*4=2*4*3=24.

В математической форме правило записывается в виде соотношения «RST=SRT=TRS=O». Для деления также используется возможность перемещения делителей, т. е. O: S: T=R или O: Т: S=R. На примере реализация правила выглядит таким образом: 60:2:15=2 или 60:15:2=2.

Для умножения сочетательный закон формулируется в таком виде: значение произведения не изменится при группировке в любом порядке сомножителей, т. е. S*T*R=S*R*T=R*T*S=N. Для деления у него немного другой вид: делители могут группироваться в любом порядке, и это не повлияет на частное. Математическая форма записи выглядит следующим образом: N: T: R: M=N:T:(R:M)=O.

Распределительное свойство для умножения и деления формулируется практически одинаково: произведение (деление) суммы или разности двух элементов на число эквивалентно умножению (делению) каждого элемента суммы или разности на искомый элемент. Законы имеют такие формы записи:

Умножение: (S+T)*M=SM+TM или (S-T)*M=SM-TM.

Деления: (S+T)/M=S/M+T/M или (S-T)/M=S/M-T/M.

Если обратить внимание на формулы, то для сложения запись невозможна, поскольку это уже будет сочетательный закон. Например, в первом пункте необходимо заменить знак «*» на сложение. Соотношение будет иметь следующий вид: (S+T)+M — сочетательное свойство операции сложения. Далее необходимо разобрать пример на применение всех законов.

Пример задачи

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют разобрать пример, в котором можно будет применить все законы арифметических операций. Числовое выражение задачи имеет такой вид: 5+6+5+4+20+(25+100)/5+(11+4)*4. Необходимо вычислить результат оптимальным методом. Решать задание нужно по такому алгоритму:

Переместительный: 5+5+4+6+20+(25+100)/5+(11+4)*4.

Сочетательный: (5+5+20)+(4+6)+(25+100)/5+(11+4)*4.

Распределительный: (5+5+20)+(4+6)+25/5+100/5+11*4+4*4.

Математические преобразования: 40+5+20+44+16

Переместительный: 40+20+44+16+5.

Сочетательный: (40+20)+(44+16)+5.

Вычисление и результат: 125.

Следует отметить, что к числовому выражению свойства арифметических операций можно применять многократно. Специалисты рекомендуют использовать алгоритм такого вида для оптимизации вычислений.

Таким образом, законы математических операций применяются для оптимизации вычислений для нахождения результатов.

Предыдущая

МатематикаПризнаки делимости на 6 — правило и примеры

Следующая

МатематикаСреднее арифметическое — методы и примеры расчетов

Онлайн тест по Математике по теме Cложение и вычитание: порядок выполнения

Действия над числами обладают особыми свойствами, называемыми законами действий. К ним относятся переместительный и сочетательный законы сложения, такие же законы умножения, распределительный закон. В арифметике имеются другие правила преобразования выражений, включая определенную теоретическую базу выполнения сложения и вычитания. Чтобы найти правильный результат арифметического действия, нужно знание, какие вычислительные операции, в какой очередности выполняются. Именно недостаточное понимание теоретической основы порядка выполнения действий становятся причиной многочисленных ошибок у учеников пятого класса. Помочь разобраться в приемах, свойствах арифметических вычислений, в зависимости результата от чисел, увидеть конкретный смысл вычислительных операций может тест.

Решение тестовых заданий – самостоятельная работа, повторяющая, закрепляющая определения «сложение», «вычитание», их компоненты, которая выделяет, с какими числами работают эти арифметические выражения. Логически рассуждая, наблюдая за изменением значения выражения от порядка выполнения сложения и вычитания, ученик приобретает понимание, что правила выполнения менять нельзя.

Тестовые упражнения развивают умение анализировать, сравнивать, делать выводы при определении, каким образом складываются положительные, отрицательные, дробные числа, только отрицательные. Вопросы формируют умение распознавать верные и неверные утверждения в соответствии с правилами арифметики.

Тестовые задания формируют понимание умения применять теоретический материал при решении практических примеров с разными по значению уменьшаемым и вычитаемым, направлены на совершенствование вычислительных навыков. С их помощью формируется внимательность, аккуратность в математических вычислениях, приобретается новый уровень компетентности в изученной теме.

---

---

Пройти тест онлайн

1. Можно ли складывать рациональные числа

Можно


Нельзя


Только дроби


Только целые числа

2. Если при вычитании, уменьшаемое будет больше вычитаемого, то

Получится ноль


Получится положительное число


Получится отрицательное число


Получится подкоренное выражение

3. Как сложить два отрицательных числа

Вынести минус за скобки и сложить числа по модулю


Возвести в корень


Домножить оба числа на -1


Заменить выражение разностью

4. Можно ли вычитать рациональные числа

Можно


Нельзя


Только дроби


Только целые числа

5. Если при вычитании уменьшаемое будет меньше вычитаемого, то

Получится ноль


Получится положительное число


Получится отрицательное число


Получится подкоренное выражение

6. Можно ли вычитать иррациональные числа

Можно


Нельзя


Только дроби


Только целые числа

7. Как сложить положительное и отрицательное число?

Вынести минус за скобки и сложить числа по модулю


Возвести в корень


Домножить оба числа на -1


Заменить выражение разностью

8. Если из одного числа вычесть другое такое же, то получится

0


Отрицательное число


Положительное число


Комплексное число

9. Можно ли складывать и вычитать дробные числа

Можно


Нельзя


Только дроби


Только целые числа

10. Как сложить отрицательное и положительное число?

Вынести минус за скобки и сложить числа по модулю


Возвести в корень


Домножить оба числа на -1


Заменить выражение разностью

---

---

Ещё никто не оставил комментария, вы будете первым.

Написать комментарий

Другие тесты

Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы – AlamandaMaths

[fusion_text]

[/fusion_text][fusion_text] LO: Для применения ассоциативных, коммутативных и дистрибутивных законов.

Знать:

• разрядность чисел
• как добавить номера
• как умножать и делить числа
• порядок операций

Поймите:

• , что ассоциативные, коммутативные и распределительные законы могут помочь в умственных вычислениях.

Делать:

• Я умею пользоваться ассоциативными, коммутативными и дистрибутивными законами.

[/fusion_text][fusion_text]

---

[/fusion_text][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no -повторить” background_position=”слева вверху” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=” 0. 1″ class=”” id=””][title size=”1″ content_align=”left” style_type=”default” sep_color=”” margin_top=”” margin_bottom=”” class=”” id=””]

[/title][/one_full][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”yes” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=” слева вверху” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”solid” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”0″ animation_direction=”вниз” animation_speed=”0,1″ класс =”” id=””][imageframe lightbox=”no” lightbox_image=”” style_type=”none” hover_type=”none” bordercolor=”” bordersize=”0px” borderradius=”0″ stylecolor=”” align=” none” link=”” linktarget=”_self” animation_type=”0″ animation_direction=”down” animation_speed=”0.1″ hide_on_mobile=”no” class=”” id=””] [/imageframe][fusion_text]Ассоциативный закон[ /fusion_text][/one_full][section_separatordivider_candy=”” icon=”” icon_color=”” bordersize=”1px” bordercolor=”” backgroundcolor=”” class=”” id=””][one_full last=”yes” интервал = «да» center_content = «да» hide_on_mobile = «нет» background_color = «» background_image = »» background_repeat = «без повторов» background_position = «слева вверху» border_position = «all» border_size = «0px» border_color = »» border_style = »solid» padding = »» margin_top = »» margin_bottom = »» animation_type = »0 ″ animation_direction=”down” animation_speed=”0. 1″ class=”” id=””][imageframe lightbox=”no” lightbox_image=”” style_type=”none” hover_type=”none” bordercolor=”” bordersize=”0px” borderradius=”0″ stylecolor=”” align=”none” link=”” linktarget=”_self” animation_type=”0″ animation_direction=”down” animation_speed=”0.1″ hide_on_mobile=”no” class=”” id=” ”] [/imageframe][fusion_text]Общественное право[/fusion_text][/one_full][section_separatordivider_candy=”” icon=”” icon_color=”” bordersize=”1px” bordercolor=”” backgroundcolor=”” class=”” id=””][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=”left top” border_position= ”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=” ” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0.1″ class=”” id=””][title size=”1″ content_align=”left” style_type=”default” sep_color= ”” margin_top=”” margin_bottom=”” class=”” id=””]

[/title][/one_full][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=” слева вверху” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0. 1″ class=”” id=»»][fusion_text]

Коммутативный закон

При сложении или умножении чисел порядок чисел не имеет значения.

A + B = B + A

A x B = B x A

Например, 2 x 4 даст вам

точно такой же результат , как 4 x 2.

То же самое с 6 + 3 то же, что 3 + 6.

[/fusion_text][/one_full][section_separatordivider_candy=»» icon=»» icon_color=»» bordersize=»1px» bordercolor=»» backgroundcolor=»» class=»» id=» ”][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=”left top” border_position=”all” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0.1″ class=”” id=””][fusion_text]

Ассоциативный закон

При сложении или умножении чисел в скобках порядок чисел не имеет значения.

(A + B) + C = A + (B + C)

(A x B) x C = A x (B x C)

Например, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4)

[/fusion_text][imageframe lightbox=”no” lightbox_image=”” style_type=”none” hover_type=”none” bordercolor=”” bordersize=”0px” borderradius=”0″ stylecolor=”” align= ”none” link=”” linktarget=”_self” animation_type=”0″ animation_direction=”down” animation_speed=”0.1″ hide_on_mobile=”no” class=”” id=””] [/imageframe][/one_full][ section_separatordivider_candy=»» icon=»» icon_color=»» bordersize=»1px» bordercolor=»» backgroundcolor=»» class=»» id=»»][fusion_text]

---

[/fusion_text][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=”left top” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0.1″ class=”” id=” ”][imageframe lightbox=”no” lightbox_image=”” style_type=”none” hover_type=”none” bordercolor=”” bordersize=”0px” borderradius=”0″ stylecolor=”” align=”none” link=”” linktarget=”_self” animation_type=”0″ animation_direction=”down” animation_speed=”0. 1″ hide_on_mobile=”no” class=”” id=””] [/imageframe][fusion_text]

Распределительный закон

Используется для расширения скобок.

В этом случае слева у вас есть 3 ряда по 2 синих, а также 3 ряда по 4 желтых.

Таким образом, если вы сложите 3 x 2 и 3 x 4 =, вы получите 18 квадратов, что равно 3 x 6.

[/fusion_text][/one_full][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”нет” hide_on_mobile=”нет” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”без повторения” background_position=”слева вверху” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding =”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0.1″ class=”” id=””][title size=”1″ content_align=”left” style_type=”default” sep_color=»» margin_top=»» margin_bottom=»» class=»» id=»»]

[/title][/one_full][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=” слева вверху” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0. 1″ class=”” id=””][youtube id=”x9hoPIMNPw4″ width=”600″ height=”350″ autoplay=”no” api_params=”” class=””][/youtube][/one_full][section_separatordivider_candy=”” icon=”” icon_color=”” bordersize=”1px” bordercolor=”” backgroundcolor=”” class=”” id=””][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=” нет” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”без повтора” background_position=”слева вверху” border_position=”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom =”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0.1″ class=”” id=””] [идентификатор YouTube = «4bUHWQBrmy0» width = «600» height = «350» autoplay = «no» api_params =»» class=»»][/youtube][/one_full][title size=»1″ content_align=»left ” style_type=”default” sep_color=”” margin_top=”” margin_bottom=”” class=”” id=””]

[/title][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=”left top” border_position =”все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0. 1″ class=”” id=”” ][идентификатор YouTube=”https://www.youtube.com/watch?v=iJld1hwYVIc” width=”600″ height=”350″ autoplay=”no” api_params=”” class=””][/youtube] [/one_full][one_full last=”yes” spacing=”yes” center_content=”no” hide_on_mobile=”no” background_color=”” background_image=”” background_repeat=”no-repeat” background_position=”left top” border_position=” все” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”” animation_speed=”0.1″ class=”” id=””][ размер заголовка = «1 ″ content_align = «левый» style_type = «по умолчанию» sep_color = »» margin_top = »» margin_bottom = »» c девушка=”” идентификатор=””]

[/название][fusion_text]

Пирсон 7: Стр. 5 Упражнение 1.1 Q1C4,2C4,3C4,4,6,8,9, 11. Добавочный номер: 13 Моя математика 7 Стр. 43 Кв. 7 – 14

[/fusion_text][/one_full][fullwidth background_color=”” background_image=”” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0,3″ background_repeat=”no-repeat” background_position=”left top” video_url=»» video_aspect_ratio=»16:9″ video_webm=”” video_mp4=”” video_ogv=”” video_preview_image=”” overlay_color=”” overlay_opacity=”0. 5″ video_mute=”да” video_loop=”да” исчезает=”нет” border_size=”0px” border_color=”” border_style=”” padding_top=”20″ padding_bottom=”20″ padding_left=”0″ padding_right=”0″ сотня_процентов=”нет” equal_height_columns=”нет” hide_on_mobile=”нет” menu_anchor=”” class=”” id=” ”][button link=»http://www.alamandamaths.com/number-and-алгебра/number-an-place-value/perfect-squares-and-square-roots/» color=»default» size=» ” type=”” shape=”” target=”_self” title=”” gradient_colors=”|” градиент_hover_colors=»|» акцент_цвет=”” акцент_hover_color=”” bevel_color=”” border_width=”1px” icon=”” icon_position=”слева” icon_divider=”нет” модальный=”” animation_type=”0″ animation_direction=”слева” animation_speed=”1″ Alignment=»» class=»» id=»»]Следующий урок (Perfect Squares)[/button][/fullwidth]

Добро пожаловать в Real Digital

1. Цифровая логика
2. Тема: Булева алгебра

Минимизация логики

8038

Булева алгебра: основные операции

Булева алгебра — возможно, самый старый метод, используемый для минимизации логических уравнений. Он предоставляет формальную алгебраическую систему для манипулирования логическими уравнениями, чтобы можно было найти минимум. Базовое понимание этой системы необходимо для изучения и анализа логических схем.

Булева алгебра — это правильная алгебраическая система с тремя элементами множества {‘0’, ‘1’ и ‘A’} (где ‘A’ — любая переменная, которая может принимать значения ‘0’ или ‘1’), две бинарные операции (И или пересечение, ИЛИ или объединение) и одна унарная операция (инверсия или дополнение). Операции между множествами замыкаются на три операции. Основные законы, управляющие операциями и, или, и инверсии, легко выводятся из логических таблиц истинности для этих операций.

Таблица 1. Операции И, ИЛИ и ИНВ

И Операции		ИЛИ Операции		ИНВ Операции
Таблица истинности	Законы	Таблица правды	Законы	Таблица правды	Законы
0⋅0=00 \cdot 0 = 00⋅0=0	А⋅0=0А \cdot 0 = 0А⋅0=0	0+0=00 + 0 = 00+0=0	А+0=АА + 0 = АА+0=А	0‾=1\над чертой 0 = 10=1	A‾‾=A\overline{\overline A} = AA=A
0⋅1=00 \cdot 1 = 00⋅1=0	А⋅1=АА \cdot 1 = АА⋅1=А	0+1=10 + 1 = 10+1=1	А+1=1А + 1 = 1А+1=1	1‾=0\над чертой 1 = 01=0
1⋅0=01 \cdot 0 = 01⋅0=0	А⋅А=АА \cdot А = АА⋅А=А	1+0=11 + 0 = 11+0=1	А+А=АА + А = АА+А=А
1⋅1=11 \cdot 1 = 11⋅1=1	A⋅A‾=0A \cdot \overline A = 0A⋅A=0	1+1=11 + 1 = 11+1=1	А+А‾=АА + \overline А = АА+А=А

Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы

Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы можно непосредственно продемонстрировать с помощью таблиц истинности. В приведенной ниже таблице истинности показана только таблица истинности дистрибутивного закона, при этом цвета используются для выделения столбцов, которые показывают эквивалентность обеих частей уравнений дистрибутивного закона. Таблицы истинности для демонстрации более простых ассоциативных и коммутативных законов не показаны, но их можно легко вывести.

Ассоциативный закон гласит, что при выполнении операции ИЛИ более двух переменных результат будет одним и тем же независимо от группировки этих переменных. Точно так же коммуникативный закон гласит, что порядок, в котором две переменные объединяются по схеме ИЛИ, не влияет на результат. Распределительный закон, показанный в приведенной ниже таблице истинности, гласит, что объединение двух или более переменных по схеме ИЛИ, а затем объединение результата с одной переменной эквивалентно объединению по И одной переменной с каждой из двух или более переменных, а затем выполнение операции ИЛИ. продукты.

Таблица 2. Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы

Ассоциативные законы	Коммутативные законы	Распределительные законы
(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)=A⋅B⋅C(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C) = A\cdot B \cdot C(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)=A⋅B⋅C	A⋅B⋅C=B⋅A⋅C=⋯A\cdot B\cdot C = B\cdot A\cdot C = \cdotsA⋅B⋅C=B⋅A⋅C=⋯	A⋅(B+C)=(A⋅B)+(A⋅C)A\cdot (B+C) = (A\cdot B) + (A\cdot C)A⋅(B+C)= (А⋅В)+(А⋅С)
(А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С(А+В)+ С=А+(В+С)=А+В+С	A+B+C=B+A+C=⋯A + B + C = B + A + C = \cdotsA+B+C=B+A+C=⋯	A+(B⋅C)=(A+B)⋅(A+C)A + (B\cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)A+(B⋅C)=(A+ Б)⋅(А+В)

Рисунок 1. Таблица истинности для проверки законов распределения

A⋅B+C=(A⋅B)+CA \cdot B + C = (A\cdot B) + CA⋅B+C=(A⋅B)+C

A+B⋅C=A+(B⋅C)A+B\cdot C = A + (B\cdot C)A+B⋅C=A+(B⋅C)

Закон ДеМоргана

Закон ДеМоргана обеспечивает формальное алгебраическое выражение для свойства, наблюдаемого при определении символов сопряженных вентилей: одна и та же логическая схема может интерпретироваться как реализующая функцию И или ИЛИ, в зависимости от того, как интерпретируются уровни входного и выходного напряжения. Закон Де Моргана, применимый к логическим системам с любым числом входов, гласит:

Рисунок 2. Конъюгаты для NAND и NOR

NAND Form: A⋅B‾=A‾+B‾\overline{A \cdot B} = \overline A + \overline BA⋅B=A+B

Форма NOR: A+B‾=A‾⋅B‾\overline{A+B} = \overline A \cdot \overline BA+B​=A⋅B

Законы для XOR и XNOR

Законы булевой алгебры обычно выполняются для Исключающее ИЛИ также работает, за исключением того, что закон ДеМоргана принимает другую форму. Вспомните из предыдущей темы, что вывод функции XOR подтверждается всякий раз, когда утверждается нечетное количество входов, и что вывод функции XNOR подтверждается всякий раз, когда утверждается четное количество входов. Таким образом, инвертирование одного входа в функцию XOR или инвертирование его выхода дает функцию XNOR. Аналогичным образом, инвертирование одного входа в функцию XNOR или инвертирование его выхода дает функцию XOR. Инвертирование входа вместе с выходом или инвертирование двух входов изменяет функцию XOR на XNOR и наоборот. Эти наблюдения приводят к версии законов ДеМоргана, которые выполняются для функций XOR любого количества входных данных:

F=A⊕B⊕C‾⟺F=A‾⊕B⊕CF = \overline{A \oplus B \oplus C} \iff F = \overline A \oplus B \oplus CF=A⊕B⊕C ​⟺F=A⊕B⊕C⟺F=A‾⊕B‾⊕C‾\iff F= \overline A \oplus \overline B \oplus \overline C⟺F=A⊕B⊕C

F=A ⊕B⊕C⟺F=A \oplus B \oplus C \iffF=A⊕B⊕C⟺F=A⊕B‾⊕C‾⟺F = \overline{A \oplus \overline B \oplus C} \iffF =A⊕B⊕C​⟺F=A‾⊕B‾⊕CF=\overline A \oplus \overline B \oplus CF=A⊕B⊕C

Обратите внимание, что инверсия одного входа может быть перенесена на любой другой сигнал в схеме XOR с несколькими входами без изменения логического результата. Также обратите внимание, что любую инверсию сигнала можно заменить неинвертированным сигналом и функцией XNOR. Эти свойства будут полезны в дальнейшей работе.

Иллюстрация схемы для булевой алгебры

Схемы на рис. 3 также служат для иллюстрации законов булевой алгебры.

Рисунок 3. Схемы, демонстрирующие законы булевой алгебры.

Использование булевой алгебры для поиска более простых логических уравнений

Следующие примеры на рис. 4 иллюстрируют использование булевой алгебры для поиска более простых логических уравнений.

Рисунок 4. Упрощение логических уравнений с помощью булевой алгебры

Последние два примера слева (с синими прямоугольниками) показывают отношения, которые иногда называют0323 поглощающие законы , а пример справа (с зеленой рамкой) часто называют законом консенсуса . Так называемые законы поглощения легко продемонстрировать с помощью других законов, поэтому нет необходимости или даже удобства использовать эти отношения в качестве законов, особенно потому, что различные формы уравнений могут затруднить определение того, когда закон может применяться. Закон консенсуса также легко вывести, если использовать трюк , заключающийся в добавлении И к «1» в уравнении, а затем преобразовании этого И в отношение ИЛИ.

Важные идеи

• Булева алгебра — это правильная алгебраическая система с тремя элементами множества {‘0’, ‘1’ и ‘A’} (где ‘A’ — любая переменная, которая может принимать значения ‘0’ или ‘1’), две бинарные операции (И или пересечение, ИЛИ или объединение) и одна унарная операция (инверсия или дополнение).
• Ассоциативный закон гласит, что при выполнении операции ИЛИ более двух переменных результат будет одним и тем же независимо от группировки этих переменных.
• Коммутативный закон гласит, что порядок, в котором две переменные объединяются по схеме ИЛИ, не влияет на результат.
• Закон распределения гласит, что операция ИЛИ двух или более переменных, а затем операция И результата с одной переменной эквивалентны операции И одной переменной с каждой из двух или более переменных, а затем операции ИЛИ продуктов.

Ассоциативный закон — объяснение, формула и часто задаваемые вопросы

Числа обладают четырьмя различными свойствами, а именно ассоциативностью, коммутативностью, мультипликативностью и тождественностью. Вы должны быть знакомы с этими свойствами, так как в алгебре много раз вас просят упростить выражение. Эти свойства помогут вам легко решать сложные задачи по алгебре. Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства обычно используются для упрощения алгебраического выражения.

Здесь мы подробно обсудим коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Определение ассоциативного закона

Определение ассоциативного закона гласит, что при сложении или умножении любых трех действительных чисел группировка (или ассоциация) чисел не влияет на результат. Например, когда мы складываем: (a + b) + c = a + (b + c) или когда мы умножаем: (a x b) x c = a x (b x c).

В то время как ассоциативные законы выполняются для обычной математики с действительными или мнимыми числами, существуют определенные приложения, такие как неассоциативные алгебры, в которых этот закон не выполняется.

Ассоциативный закон сложения

Ниже приведены два способа упрощения и решения дополнительных задач.

3 + 4 + 5 = 7 + 5 = 12

Здесь решается аналогичная задача, но 4 прибавляется к 5, чтобы получить 9. Решение сложения таким способом также даст тот же ответ.

3 + 4 + 5 = 3 + 9 = 12

Ассоциативный закон сложения гласит, что числа при сложении можно перегруппировать с помощью круглых скобок. В следующем выражении круглые скобки используются для группировки чисел, чтобы вы знали, что добавлять в первую очередь. Обратите внимание, что если указаны скобки, то любые числа в скобках будут добавляться первыми. Выражение можно записать по ассоциативным законам следующим образом:

(3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12

3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12

Здесь видно, что скобки не влияют на окончательный ответ. Окончательный ответ будет одинаковым независимо от того, где стоит скобка.

Ассоциативный закон умножения

Ассоциативный закон умножения аналогичен ассоциативному закону сложения. В нем говорится, что независимо от того, как вы группируете числа, которые вы перемножаете, ответ всегда будет одним и тем же. Ассоциативное свойство умножения говорит:

(xy)z = x(yz)

Пример:

(5 x 7) x 3 = 35 x 3 = 105

5 x (7 x 3) = 5 x 21 = 105

Ассоциативный закон Сложение векторов

Ассоциативный закон сложения векторов гласит, что сумма векторов остается неизменной независимо от порядка или группировки, в которой они расположены.

\[\vec{A}\], \[\vec{B}\] и \[\vec{C}\]

Примените правило «голова к хвосту», чтобы получить результат (\[\vec{ A}\] + \[\vec{B}\]) и (\[\vec{B}\] + \[\vec{C}\]).

Наконец, снова найдите равнодействующую этих трех векторов, как показано ниже:

\[\bar{OR}\] = \[\bar{OP}\] + \[\bar{PR}\]

Или 

\[\vec{R}\] = \[\vec{A}\] + (\[\vec{B}\] + \[\vec{C}\])

И

\ [\bar{OR}\] = \[\bar{OQ}\] + \[\bar{QR}\]

\[\vec{R}\] + (\[\vec{A}\] + \[\vec{B}\]) + Отсюда из уравнения (1) и (2) получаем

\[\vec{A}\] + (\[\vec{B}\]) + \[\vec{C}\]) = (\[\vec{A}\] + \[\vec{B}\]) + \[\vec{C}\].

Коммутативные свойства 

Коммутативное свойство утверждает, что числа, с которыми мы работаем, можно перемещать или менять местами в любой позиции без какого-либо изменения ответов. Коммутативность сохраняется как для сложения, так и для умножения, но не для вычитания и деления.

Переместительное свойство сложения

Если a и b — действительные числа, то

a + b = b + a

Переместительное свойство умножения

Если a и b — действительные числа, то

ab = ba

Это коммутативное свойство умножения также работает для более чем 2 чисел, т. е.

A x b x c x d = d x c x b x a

Коммутативное и ассоциативное свойство сложения Пример

1. Запишите выражение (-14,5) в a) + Другой способ использования коммутативного свойства сложения и показать, что результат обоих выражений имеет один и тот же ответ.

Ответ:

(-14,5) + 24,5 = 10            (Сложение)

(24,5) + (- 14,5) = 10  (Используя свойство перестановочности, вы можете поменять местами -14,5 и 24,5, чтобы они были в другом порядке) .

(24,5) + (- 14,5) = 10  (Прибавление 24,5 и -14,5 равносильно вычитанию 14,5 из 24,5. Сумма равна 10. 

24,5 — 14,5 = 10

Ответ: (-14,5) + 24,5 = 10 и (24,5) + (- 14,5) = 10

2. Покажите, что следующие числа следуют ассоциативному свойству сложения:

3, 6 и 8

Ответ:

3 + 6 + 8

( 3 + 6 ) + 8 = 9 + 8 = 17

Или

3 + ( 6 + 8) = 3 + 14 = 17

Результат один и тот же в обоих случаях, следовательно,

( 3 + 6 ) + 8 = 3 + ( 6 + 8 )

Распределительное свойство

Распределительное свойство – это правило, относящееся к сложению и умножению

a(b + c) = ab + ac

(a + b)c = ac + bc

Это полезное свойство для раскрытия выражений, их вычисления и упрощения выражений.

Разберемся на примере:

1. Решите следующее уравнение, используя распределительное свойство:

9(a — 5) = 81

Решение:

Шаг 1: Найдите произведение числа с числами, указанными в скобках, как показано ниже:

9(a) — 9(5) = 81

9a — 45 = 81

Шаг 2: Расположите числа таким образом, чтобы постоянные и переменные члены находились напротив уравнения.

9a — 45 — 45 = 81 + 45

9a = 126

Шаг 3: Решите уравнение

9a = 126

A = 1269

A = 14

Комметирующие ассоциативные распределительные дистрибутивы с растворными дисквизионными дистрибутивами с раствором

A = 14

888.0052

Вот несколько примеров коммутативно-ассоциативного распределения с решениями, которые помогут вам лучше понять концепцию.

1. Решите следующую задачу, используя свойство распределения.

(7a + 4)²

Шаг 1. Разверните уравнение ) ( 7a + 4) = 49a² + 28a + 28a + 16

Шаг 3: Сложите все одинаковые члены вместе

49a² + 56a + 16

2. Покажите, что следующие числа подчиняются переместительному свойству умножения

3, 4, 6 и 8

Решение. Как мы знаем, если a b, c и c — действительные числа, то

a x b x c x d =  d x c x b x a

Соответственно:

L.H.S. = 3 x 4 x 6 x 8 = 576

R.H.S = 8 x 6 x 4 x 3 = 576

Результат один и тот же в обоих случаях 3 x 4 x 6 x 8 = 8 x 6 x 4 x 3 = 576

3. Хитеш знает, что 6 x 2 = 12. Его учитель попросил его найти значение 6 x 2 x 3, используя ассоциативное свойство умножения. Можете ли вы помочь Хитешу найти правильный ответ?

Решение: Как мы знаем, ассоциативное свойство умножения говорит, что

6 x 2 x 3 = (6 x 2) x 3

Из информации, доступной Hitesh, мы можем сказать, что

( 6 x 2) x 3 = 12 x 3

Следовательно, правильный ответ: 12 x 3 = 36

∴ Ответ: 36

4. Решите 3(4 + 5), используя свойство распределения.

Решение: Используя формулу распределительного свойства,

«a × (b + c) = a × b + a × c»

Умножим член снаружи на оба члена, которые находятся внутри скобок, мы получим,

= 3 × 4 + 3 × 5

= 12 + 15= 27

∴ значение 3(4 +5) = 27.

 

5. Решите 10(12 + 15), используя распределительное свойство формула.

Решение: Используя формулу распределительного свойства,

«a × (b + c) = a × b + a × c»

Умножим член снаружи на оба члена, которые находятся внутри скобок, мы получим,

= 10 × 12 + 10 × 15

= 120 + 150 = 270

∴ значение 10(12 + 15) = 270

 

6. Если 2 × (3 × 5) = 30, то найдите (2 × 3) × 5, используя свойство ассоциативности.

Решение: Ассоциативное свойство для любого указанного набора из трех чисел (A, B и C) может быть выражено следующим образом: (A × B) × C = A × (B × C)

Предполагается = 2 × (3 × 5) = 30

По формуле ассоциативного свойства мы можем оценить (2 × 3) × 5.

Чтобы доказать: (2 × 3) × 5 = 30 или нет, сначала решите члены, которые находятся внутри скобок.

= 6 × 5 = 30

∴ 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5 = 30.

 

7. Если 3 × (6 × 4) = 72, то найти (3 × 6) × 4 по ассоциативному свойству .

Решение: Поскольку умножение удовлетворяет формуле ассоциативного свойства, (3 × 6) × 4 = 3 × (6 × 4) = 72

Способы запоминания и записи важных свойств чисел

Элементарные свойства чисел действительные числа вместе с ассоциативными, коммутативными и дистрибутивными свойствами очень важны, когда речь идет о сложении, умножении и т. д. Они также являются ступеньками для начальных этапов алгебры. Как только вы поймете каждое свойство, многие сложные математические задачи могут быть легко решены. Один из лучших способов запомнить каждое свойство — различать их по именам следующим образом:

• Ассоциативное свойство можно связать с его именем.