Переместительное и сочетательное свойство умножения и сложения: Свойства сложения: переместительное и сочетательное

Содержание

формулы и другие законы произведения, тождества и примеры для 5 класса

Математика

12.11.21

10 мин.

Арифметические операции произведения, сложения, вычитания и деления применяются в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. У каждой из них существуют определенные законы, позволяющие оптимизировать процессы вычисления. Для сложения и произведения следует применять распределительное, переместительное и сочетательное свойства умножения или сложения.

Оглавление:

Общие сведения

Базовые правила

Пример решения

Общие сведения

Для удобства описания арифметических операций следует ввести буквенные обозначения. Пусть первый коэффициент эквивалентен переменной «о», второй — «р», а результат — «r». К базовым арифметическим действиям относятся:

Сложение.
Вычитание.
Умножение.
Деление.

Сложение (+) — операция, увеличивающая исходное число на некоторое значение. Выражение состоит минимум из 3 коэффициентов, т. е. о+р=r. Первый и второй (о и р соответственно) называются слагаемыми, третий — суммой r.

Вычитанием (-) называется арифметическая операция, состоящая из уменьшаемого значения и вычитаемого, результатом которой является разность. Математическая запись имеет такой вид: о-р=r, где о — уменьшаемое, р — вычитаемое, а r — разность.

Третьей операцией является умножение (*), состоящая из коэффициентов, которых может быть более 2: первый и второй — множители, а третий — произведение. Операция записывается таким образом: о*р=r. Кроме того, существует краткая запись, при которой знак «*» не указывается, т. е. ор=r.

Деление (:) — арифметическая операция, позволяющая разделить одно число на другое. Математически она записывается следующим образом: о: р=r («о» — делимое, «р» — делитель и «r» — частное).

Следует отметить, что у каждой операции может быть и другое количество коэффициентов. Например, o*p*s*t=r, где o, p, s, t — множители, а r — результат. Однако при решении задач применяются некоторые законы, существенно оптимизирующие вычисления.

Базовые правила

При вычислении значения выражения математики рекомендуют применять определенные правила. Их можно комбинировать между собой. Эта методика позволяет сократить время на расчеты, а также тренирует мозг, при помощи которого появляется возможность выполнять сложные вычисления в устной форме. Кроме того, законы справедливы для любой арифметической операции.

Методы сложения

Для начала следует рассмотреть основные правила сложения. Они основываются на раскрытии скобок выражения, состоящего из нескольких слагаемых. К ним относятся сочетательный и переместительный. Первый закон можно сформулировать следующим образом: если 2 числа, находящиеся в скобках, связаны операцией сложения, при прибавлении к ним третьего значения можно сложить его с первым, а затем со вторым.

Математическая форма записи приобретает такой вид: (о+р)+k=(о+k)+p. Возможна и такая запись: (о+р)+k=(р+k)+о.

Переместительный закон имеет такой вид: от перемены мест слагаемых величина алгебраической суммы не меняется. Математически запись выглядит так: о+р+k=р+k+о=р+о+к=к+о+р=к+р+о. Кроме того, существуют 2 следствия, на основании которых можно существенно сократить объем вычислений:

Если слагаемые эквивалентны между собой, тождество можно записать в виде произведения одного элемента на их количество, т. е. к+к+к+к+к=5к.
Нуль не учитывается при сложении.

Следующей операцией является вычитание. У него также существуют некоторые очень важные свойства.

Свойства вычитания

При выполнении арифметической операции вычитания специалисты рекомендуют придерживаться основных законов. К ним относятся следующие утверждения и формулы:

Если из произвольного «к» вычесть нулевое значение, результат будет эквивалентен этому числу. При вычитании из 0 числа «к» получается отрицательное число, равное величине с противоположным знаком, т. е. 0-к=-к.
Разность двух одинаковых чисел соответствует 0, т. е. к-к=0.
Если вычитаемое представлено суммой двух чисел, можно вычесть из уменьшаемого первое слагаемое, а затем второе, р-(о+к)=р-о-к.
Когда уменьшаемое записано в виде суммы, следует из первого слагаемого вычесть вычитаемое и к результату прибавить второй элемент суммы, т. е. (р+о)-к=р-к+о.

Этих правил будет достаточно для выполнения вычислений любого типа. Кроме операций сложения и вычитания, существуют более сложные арифметические действия.

Умножение и деление

Изучаются законы умножения в 5 классе. Они состоят из следующих формул и утверждений:

Результат умножения любой величины на нулевое значение равен 0.
Если умножить число на 1, получится оно же, т. е. к*1=к.
Переместительный закон произведения: при перемене мест множителей произведение неизменно, т. е. к*р*о=к*о*р=р*о*к=р*к*о=о*к*р=о*р*к.
Сочетательный закон умножения (ассоциативный): если количество множителей в выражении больше 2, можно перемножить 1 и 3, а затем их произведение использовать при расчетах, как второй множитель, т. е. (5*3)*2=(5*2)*3=10*3=30.

Распределительный: при умножении некоторого числа на сумму нужно умножить его на первое слагаемое и на второе, а затем сложить 2 величины, т. е. к (р+о)=кр+ко.

Наиболее сложной операцией является деление. У нее также есть некоторые важные свойства:

На 0 невозможно делить.
Если нуль разделить на произвольное значение, получится 0.
При делении на 1 получается первоначальное значение, т. е. к/1=к.
Переместительный закон: к/р/о=к/о/р.
Сочетательный: (к/р)/о=к/(р/о).

Следует отметить, что при использовании правил, нужно постоянно контролировать выполнение условия неравенства делителя 0. В противном случае тождество будет пустым множеством. Последняя тема изучается в высших учебных заведениях.

Пример решения

Для качественного усвоения материала нужно вычислить значение выражения, используя законы арифметических операций. Тождество имеет такой вид: [5*2*3*6*2+2*3*9*5+2 (о+р)-(р+2о)-(р+2)]/[(2*16*5−7*8)-2 (p-o). Для решения следует руководствоваться алгоритмом:

Расчет 5*2*3*6*2, используя ассоциативный закон: (5*2)*(3*2)*6=10*(6*6)=10*36=360.
Вычисление 2*3*9*5: (2*5)(3*9)=10*27=270.
Раскрытие скобок (распределительный): 2 (о+р)-(р+2о)-(р+2)=2о+2р-р-2о-р-2=-2.
Вычисление величины знаменателя, который не должен быть равен 0: 2*16*5−7*8−2 (р-о)=(2*5)*16−56−2р+2о=160−2р+2о.
Запись результата: [360+270−2]/[160−2р+2о]=628/[160−2р+2о].

Пример наглядно показывает оптимизацию вычислений, которые возможно произвести без помощи калькулятора.

Таким образом, формулы и утверждения для операций умножения, деления, сложения и вычитания используются для ускорения вычислений.

Не успеваете написать работу?

Заполните форму и узнайте стоимость

Вид работыПоиск информацииДипломнаяВКРМагистерскаяРефератОтчет по практикеВопросыКурсовая теорияКурсовая практикаДругоеКонтрольная работаРезюмеБизнес-планДиплом MBAЭссеЗащитная речьДиссертацияТестыЗадачиДиплом техническийПлан к дипломуКонцепция к дипломуПакет для защитыСтатьиЧасть дипломаМагистерская диссертацияКандидатская диссертация

Контактные данные — строго конфиденциальны!

Указывайте телефон без ошибок! — потребуется для входа в личный кабинет.

* Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Подтверждение

Ваша заявка принята.

Ей присвоен номер 0000.
Просьба при ответах не изменять тему письма и присвоенный заявке номер.

В ближайшее время мы свяжемся с Вами.

Ошибка оформления заказа

Кажется вы неправильно указали свой EMAIL, без которого мы не сможем ответить вам.
Пожалуйста проверте заполнение формы и при необходимости скорректируйте данные.

Свойства сложения, умножения, вычитания и деления целых чисел. Свойства умножения Умножение и его свойства

Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.

Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a · b = b · a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2 · 6 . По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 . Теперь поменяем множители местами. 6 · 2 = 6 + 6 = 12 . Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Второе название для сочетательного свойства умножения — ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c .

Приведем формулировку в буквенном виде:

a · b · c = a · b · c

Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4 · 3 · 2 .

4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 12 + 12 = 24

4 · 3 · 2 = 4 · 3 · 2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c .

a · b + c = a · b + a · c

a , b , c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4 · 3 + 2 .

4 · 3 + 2 = 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20

С другой стороны 4 · 3 + 2 = 4 · 5 = 20 . Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c .

Запишем в форме буквенного выражения:

a · b — c = a · b — a · c

a , b , c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4 · 3 — 2 = 4 · 3 — 4 · 2 = 12 — 8 = 4

С другой стороны 4 · 3 — 2 = 4 · 1 = 4 . Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.

1 · a = ∑ i = 1 a 1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a . Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1 · a = a · 1 = a

Умножение нуля на натуральное число

Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0 .

По определению, произведение 0 · a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.

В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.

Напимер: 0 · 498 = 0 ; 0 · 9638854785885 = 0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a · 0 = 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).

Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2 (a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1 . Вычислите удобным способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2 ) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Пример 2 . Упростите выражение:

1 ) 4 a * 3 b;

2 ) 18 m − 13 m.

1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Такое преобразование называют раскрытием скобок .

Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .

Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).

Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.

Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .

Распределительное свойство умножения относительно сложения.

Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.

С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .

Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.

Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n , где n – произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, . Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.

Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .

Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .

Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.

В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.

Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .

Список литературы.

Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Конспект урока 5 класс «Свойства сложения и умножения»

Урок математики по теме «Свойства сложения и умножения. Переместительное и сочетательное свойства».

Класс: 5.

Тип урока: урок по типу открытие новых знаний.

Цель урока: систематизация и углубление знаний учащихся по применению свойств сложения и умножения (переместительного и сочетательного).

Понятия: переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения; буквенное равенство.

Планируемые результаты:

записывать с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения;
формулировать правила преобразования числовых выражений на основе свойств сложения и умножения;
использовать свойства действий для группировки слагаемых в сумме и множителей в произведении, комментировать свои действия;
анализировать и рассуждать в ходе исследования числовых закономерностей.

Оборудование:

Ход урока.

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята!

II. Тема и цели урока. (Слайд №1).

III. Повторение и закрепление пройденного материала.

Математическая разминка. (Слайд №2).

IV. Работа по теме урока.

(Слайд №3).

В предыдущей главе был рассмотрен порядок действий при вычислениях. Разумеется, этот порядок должен соблюдаться при вычислениях и людьми и вычислительной техникой. При огромном быстродействии и безотказности компьютеров обычно вопрос об оптимизации вычислений не возникает (хотя для некоторых задач, требующих значительного объема вычислений, оптимизация становится необходимой).

Человек, естественно, так быстро считать не может. Кроме того, он при этом может и ошибаться. Поэтому помимо порядка действий при вычислениях очень полезно знать также основные свойства действий. Это позволяет проводить вычисления наиболее рациональным и оптимальным способом.

(Слайд №4).

Вам известно переместительное свойство сложения: при перестановке слагаемых сумма не меняется. Например, в соответствии с этим свойствам

280 + 361 = 361 + 280, 0 + 127 = 127 + О.

С помощью букв переместительное свойство сложения можно записать так:

для любых чисел а и b
а + b = b + а.

(Слайд №5). Примеры сложения на переместительный закон.

Это буквенное равенство, выражающее общее свойство сложения чисел, заменила нам бесконечное множество числовых равенств. Изобретение способа записи математических предложений с помощью букв, известного сейчас даже школьникам, в своё время было одним из важнейших достижений математики. Оно было сделано только в XVI в. и связано с именем французского математика Ф. Виета.

(Слайд №4).

Вы знаете также, что сложение обладает сочетательным свойством. Оно состоит в том, что в сумме трёх чисел можно группировать как первые два, так и последние два числа — результат будет одним и тем же. Например: 10 + (14 + 25) = (10 + 14) + 25.

С помощью букв это свойство записывается так:

для любых чисел а, b и с
а + (b + с) = (а + b) + с.

(Слайд №6).

Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того, как поставлены скобки, то их можно вообще не ставить и записывать просто а + b + с, понимая эту запись и как (а + b) + с, и как а + (b + с).

(Слайд №7). Примеры на сочетательное свойство сложения.

(Слайд №8).

Умножение также обладает переместительным и сочетательным свойствами:

для любых чисел а и b для любых чисел а, b и с

а • b = b • а а• (b • с) = (а • b) • с

Произведение трёх чисел, как и сумму, также записывают без скобок:

а • b • с.

(Слайд №9). Пример на сочетательный закон произведения.

Рассмотренные свойства действий часто позволяют упрощать вычисления. Найдём, например, произведение 5 • (37 • 2). Для этого сначала преобразуем его с помощью переместительного и сочетательного свойств:

5 • (37 • 2) = 5 • (2 • 37) = (5 • 2) • 37.

Теперь ответ можно получить устно:

(5 • 2) • 37 = 10 • 37 = 370.

(Слайд №10).

Вообще переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила преобразования сумм и произведении:

(Слайд №11).

Пример № 1. Вычислим сумму 44 + 189 + 56 + 92 + 11.

В этом выражении удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и пятое — при их сложении получаются круглые числа:

Заметив это, легко сложить числа устно: сумма равна 392. Записать решение можно так:

44 + 189 + 56 + 92 + 11 =

= (44 + 56) + (189 +11) + 92 =

= 100 + 200 + 92 = 392.

(Слайд №12).

Пример № 2. Вычислим произведение 4 • 7 • 11 • 25.

Произведение 4 и 25 равно 100, а на 100 умножать легко. Поэтому сгруппируем множители следующим образом:

Теперь ответ можно получить устно: произведение равно 7700. Записать решение можно так:

4 • 7 • 11 • 25 = (4 • 25) • (7 • 11) = 7700.

V. Задание на уроке.

Учебник стр. 83 задание № 312(г,д,е), № 313(г,д,е), № 314(б).

VI. Итоги урока. Рефлексия.

Что нового я сегодня узнал?
Что мне понравилось на уроке?
О чём я ещё хочу узнать?
Что у меня получилось хорошо?
Над чем мне ещё нужно поработать?

VII. Подведение итогов урока: оцените, пожалуйста, себя, как вы занимались на уроке (звёздочка – «5», квадрат – «4», треугольник – «3», круг – «плохо»).

VIII. Задание на дом.

Учебник стр. 83 задание № 312(а,б,в), № 313(а,б,в), № 314(а).

Информационные материалы:

Математика. 5 класс: учебник для общеобразоват. организаций / [Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворов и др]. М.: Просвещение, 2014г.;
Математика. Дидактические материалы. 5 класс: пособие для общеобразоват. организаций / [Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова, С. Б. Суворова]. М.: Просвещение, 2014г.;
Математика 5 кл. Поурочн. разр. к Дорофееву Г.В.
Математика. Контрольные работы. 5 класс: пособие для общеобразоват. организаций / [Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова, С. Б. Суворова]. М.: Просвещение, 2014г.

Умножение натуральных чисел: свойства, примеры

Переместительное свойство умножения натуральных чисел

Переместительный закон умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a

a и b — любые натуральные числа.

Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.

На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.

Сочетательное свойство умножения натуральных чисел

Сочетательный закон умножения

Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.

Приведем формулировку в буквенном виде:

a·b·c=a·b·c

a, b, c — любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.

Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24

Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.

4·3·2=12·2=12+12=24

4·3·2=4·3·2

Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.

Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.

Распределительное свойство относительно умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b+c=a·b+a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.

4·3+2=4·3+4·2=12+8=20

С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.

Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.

Запишем в форме буквенного выражения:

a·b-c=a·b-a·c

a, b, c — любые натуральные числа.

В предыдущем примере заменим «плюс» на «минус» и запишем:

4·3-2=4·3-4·2=12-8=4

С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.

Умножение единицы на натуральное число

Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.

1·a=a

1·a=∑i=1a1

Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:

1·a=a·1=a

Умножение нуля на натуральное число

Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.

0·a=0.

По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.

Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0

Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Цагельник Е.И. ОБ ИЗУЧЕНИИ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Теоретическая наука, которая начала изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они появились, получила название арифметика. Во второй половине ХIХ века натуральные числа стали фундаментом всей математической науки, в связи с чем возникла необходимость систематизации и логического обоснования того, что с ними связано. Это привело к разработке двух подходов: аксиоматического и теоретико-множественного. Оба рассматриваются в вузовском курсе математики. В связи с высокой степенью абстрактности материала реализовать их в полной мере в школьном курсе математики не представляется возможным, однако их знание помогает учителю организовать учебный процесс таким образом, чтобы усвоение материала учащимися было наиболее полным.

На I ступени общего среднего образования действие умножения определяется через сложение, а деление – через умножение. Поскольку объяснение строится с опорой на наглядность, то при изучении умножения можно использовать таблицу, иллюстрирующую декартово произведение двух множеств [1, с. 98].

Изучение умножения на I ступени общего среднего образования, предполагает знакомство со следующими его свойствами:

Переместительное свойство умножения.
Сочетательное свойство умножения.
Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Кроме того, рассматриваются частные случаи, связанные с умножением на нуль и на единицу.

Ознакомление с переместительным свойством умножения и особыми случаями умножения и деления служат для того, чтобы подготовить младших школьников к изучению таблицы умножения, а также опирающихся на нее соответствующих случаев деления [1, с. 100]. Суть переместительного свойства умножения заключается в том, что значение произведения при перестановке множителей не меняется. Для доказательства верности данного свойства можно использовать указанную выше демонстрационную таблицу. Иллюстрируя на ней произведения 3 ∙ 4 и 4 ∙ 3, легко убедить учащихся, что эти произведения равны, что наглядно иллюстрирует равенство площадей соответствующих прямоугольников (рис. 1).

	1	2	3	4	5	6	7
1
2
3
4
5

Рисунок 1. Иллюстрационная таблица.

При изучении данного свойства умножения используется индуктивный метод обучения. Это вызвано тем, что сколько бы ни приводилось примеров равенств, отражающих переместительность умножения, невозможно исчерпать все случаи, так как пар натуральных чисел бесконечно много. В буквенном виде переместительное свойство записывается следующим образом: a ∙ b =b ∙ a. В данном равенстве переменные a и b принимают любые натуральные значения, а также значение 0 [2].

Сочетательное свойство умножения дается в следующей формулировке: «Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель. Порядок выполнения действий при нахождении произведения не влияетна конечный результат, например, 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 30. В буквенном виде: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c. Так же, как и в формуле переместительного свойства умножения, переменные a и b принимают любые натуральные значения и значение 0. Таким образом, результат умножения трёх чисел не зависит от постановки скобок, поэтому свойство можно проиллюстрировать так: 2 ∙ (5 ∙ 3) = (2 ∙ 5) ∙ 3 = 2 ∙ 5 ∙ 3 = 30.

При объединении переместительного и сочетательного свойств умножения формулируется правило преобразования произведения: «При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы» [2].

Умножение единицы на единицу, десяти на десять, нуля на нуль, а также соответствующие случаи деления рассматриваются особо.

Деление нуля и невозможность деления на нуль обосновываются с помощью определения деления и умножения нуля на число. В начальном курсе математики подход к разъяснению особых случаев умножения и деления со строгой опорой на теорию вузовского курса математики невозможен. Попытка обосновать, что a ∙ 1 = а и a ∙ 0 = 0, опираясь на определение умножения через сумму, также невозможна: непонятно, что есть «сумма», у которой только одно слагаемое, или «сумма» без слагаемых. Поэтому эти случаи умножения, а также правило «на нуль делить нельзя» учащиеся должны просто запомнить [1, с. 101]. При этом используется формулировка: «Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю». Например, 5 ∙ 0 = 0 ∙ 5 = 0. Свойство умножения единицы и на единицу заключается в том, что произведение натуральных чисел, одно из которых равно единице, равно другому числу. Например, 6 ∙ 1 = 1 ∙ 6 = 6 [2].

При изучении свойства умножения 10 на число используется понятие «десяток», с которым младшие школьники знакомятся во время изучения нумерации чисел, операций сложения и вычитания в пределах 100. Так, к примеру, 10 ∙ 2 – это 1 дес. ∙ 2, или 2 дес., т.е. 20; аналогично 10 ∙ 3 – это 30 и т.д. Наблюдая за изменением компонентов и произведений, обучающиеся самостоятельно могут прийти к правилу: «Для того чтобы умножить число на 10, надо приписать к нему справа нуль». Аналогичным образом вводится прием деления круглых десятков на однозначное число, например, 80 : 4 = 20 [1, с. 102].

Распределительное свойство умножения относительно сложения имеет вид: (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c. Оно запоминается в формулировке «чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты» и распространяется на любое количество слагаемых: (a + b + с + d) ∙ k = a ∙ k + b ∙ k + c ∙ k + d ∙ k. Распределительное свойство умножения отрабатывается на числовых выражениях, поэтому упражнения подбираются так, чтобы младшие школьники могли выбрать удобный способ вычислений.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания рассматривается в виде правила: «Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе». Его символическая запись:

(a – b) ∙ c = a ∙ c – b ∙ c. Например, (10 – 5) ∙ 3 = 10 ∙ 3 – 5 ∙ 3 [2].

При изучении арифметического действия «деление», среди иных, рассматриваются следующие свойства:

Ни одно число нельзя делить на нуль.
При делении нуля на число получается нуль: 0 : a = 0.
При делении любого числа на 1 получается это же число: b : 1 = b.

Отдельно следует выделить правило: «Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится». Символическая запись: a : b = (a ∙ k) : (b ∙ k), где k – любое натуральное число.

С целью выявления особенностей методики, позволяющих учащимся лучше усвоить знания арифметических действий умножения и деления, нами в 2014-2015 учебном году на базе третьих классов гимназии № 9 им. Ф. П. Кириченко г. Гродно было проведено исследование. Мы выбрали два класса – 3 «А» (экспериментальный) и 3 «Д» (контрольный). Стоит отметить, что в данных классах преподают разные учителя.

На констатирующем этапе необходимо было выявить знания учащихся об арифметических действиях умножения и деления. Для этого мы разработали математический тест, состоящий из десяти заданий.

Анализ полученных результатов показал, что максимальное количество ошибок было допущено в заданиях на решение уравнений и неравенств, содержащих операции умножения и деления. Трудности у учеников возникли и при нахождении значений числовых выражений, что указывало на недостаточный уровень знаний табличных случаев умножения. Стоит отметить, что с решением текстовых задач, содержащих операции умножения и деления, младшие школьники двух классов справились, не было допущено ни одной ошибки. Вместе с тем, результаты математического теста показали, что учащиеся контрольного класса допустили меньше ошибок, чем экспериментального.

Планируя работу на формирующем этапе эксперимента, мы опирались на данные психологических исследований, в ходе которых было доказано, что зрительные анализаторы обладают более высокой пропускной способностью, чем слуховые: 90% процентов всей информации, воспринимаемой человеком, приходится именно на зрение. Глаз способен воспринимать миллионы бит в секунду, ухо – только десятки тысяч. К тому же, данные, воспринятые с помощью глаз, более осмысленны и лучше сохраняются в памяти [3]. В связи с этим мы широко использовали информационные технологии, мультимедийные презентации, содержащие как стандартные задания, так и задания занимательного характера.

Мультимедийные презентации состояли из двух блоков: теоретического и практического. Теоретический блок опирался на повторение изученного материала, а практический – на его закрепление. Поскольку многие учащиеся допустили ошибки в решении уравнений, неравенств и числовых выражений, то задания были подобраны именно на повторение компонентов умножения и деления, а также табличных случаев данных операций.

Во время уроков, на которых использовались презентации, младшие школьники проявляли повышенный интерес к заданиям, выполняли их с большим желанием, чем на обычном уроке. В связи с этим, на каждом уроке было выполнено их больше, чем запланировано. Это еще раз подтвердило, что разумное использование в учебном процессе наглядных средств обучения играет важную роль в развитии наблюдательности, внимания, речи, мышления учащихся. Наглядность материала повышает его усвоение, т.к. задействованы все каналы восприятия информации – зрительный, механический, слуховой и эмоциональный. Кроме того, использование информационных технологий не требует раздаточного материала, сокращает время на выполнение заданий, позволяет менять виды деятельности учеников.

На контрольном этапе исследования повторно был проведен математический тест. Структура теста была аналогична предыдущему, но задания были сложнее. Следует отметить, что на этом этапе в экспериментальном классе обучающиеся справились с работой лучше, чем в контрольном.

Проведенное нами исследование позволяет сделать вывод о том, что использование информационных технологий, в частности мультимедийных презентаций, содержащих задания как стандартного, так и занимательного характера, помогают младшим школьникам быстрее и легче усвоить учебный материал и сформировать необходимые навыки, предусмотренные программой.

Литература

Методика начального обучения математике /Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Минск : Выш. школа, 1988. – 254 с.
Свойства умножения и деления [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://math-prosto.ru/?page=pages/properties_of_addition_and_multi_5_cl/proper ties_of_multi_and_division_5_cl.php. – Дата доступа: 23.03.2015.
Психологические особенности восприятия информация [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://uchinovoe.ru/articles/-psihologicheskie-osobennosti-vospriyatiya-informatcii. – Дата доступа: 28.03.2015.

Запись опубликована в рубрике Педагогические идеи 21 века. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Сочетательное свойство умножения и его применение » Республиканский центр дистанционных олимпиад

Математика 2 класс

Тема урока: Сочетательное свойство умножения и его применение

Цель: учить упрощать выражение, содержащее только действия умножения.

Задачи :

Познакомить с сочетательным свойством умножения.
Формировать представление о возможности использования изученного свойства для рационализации вычислений.
Развивать представления в возможности решения «жизненных» задач средствами предмета «математика».
Развивать интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения.
Развивать организационные общеучебные умения, в том числе умения самостоятельно оценивать результат своих действий, контролировать самого себя, находить и исправлять собственные ошибки.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: карточки с заданием, наглядный материал (таблицы), презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Прозвенел и смолк звонок.
Начинается урок.
Вы зa парты тихо сели
На меня все посмотрели.

II. Устный счёт

– Посчитаем устно:

1) «Весёлые ромашки» (Слайды таблица умножения)

2) Математическая разминка. Игра «Найди лишнее» (Слайд )

485 45 864 947 670 134 (классификация на группы ЛИШНЕЕ 45 – двузначное, 670 – в записи числа нет цифры 4).
9 45 72 90 54 81 27 22 18 (9 – однозначное, 22 не делится на 9)

Строка чистописания. Прописать в тетради числа, чередуя: 45 22 670 9
– Подчеркнуть самую аккуратную запись числа

III. Сообщение темы и задач урока. (Слайд )

– Запишите число, тему урока.
– Прочитайте задачи нашего урока

IV. Подготовка к изучению нового материала

а) №1 – Сравните способы. Какое свойство сложения применили?

б) Верно ли выражение

На доске запись:

(23 + 490 + 17) + (13 + 44 + 7) = 23 + 490 + 17 + 13 + 44 + 7

– Назовите используемое свойство сложения. (Сочетательное)
– Какую возможность даёт сочетательное свойство?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок.

43 + 17 + (45 + 65 + 91) = 91 + 65 + 45 + 43 + 17

– Какие свойства сложения мы применяются в данном случае?

Сочетательное свойство даёт возможность записывать выражения, содержащие только сложение, без скобок. При этом вычисления можно выполнять в любом порядке.

– В таком случае как называется ещё одно свойство сложения? (Переместительное)

V. Изучение нового материала

1) Если мы будем выполнять умножение в том порядке, в каком записаны выражения, то возникнут трудности. Что же поможет нам снять эти трудности?

(2 • 6) • 3 = 2 • 3 • 6

2) Работа по учебнику с. 6, № 2

Сколько рядов? Сколько прямоугольников в каждом ряду? Сколько квадратов в каждом прямоугольнике?

Найдём разными способами количество всех квадратов на рисунке.

а) (3 • 2) • 4 = 6 • 4 = 24 (квадрата).

Объясни запись.

б) 3 • (2 • 4) = 3 • 8 = 24 (квадрата). Объясни запись.

Сравни эти способы. Сделай вывод.

3) Проверь, равны ли значения выражений. Устно.

Запись на доске:

(5 • 2) • 3 и 5 • (2 • 3)
(4 • 7) • 5 и 4 • (7 • 5)

4) Сделай вывод. Правило.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
– Расскажите сочетательное свойство умножения.
– Объясните сочетательное свойство умножения на примерах

5) Коллективная работа

На доске: (8 • 3) • 2, (6 • 3) • 3, 2 • (4 • 7)

VI. Физминутка

1) Игра «Зеркало». (Слайд)

Свет мой зеркальце, скажи,
Да всю правду доложи.
Мы ль на свете всех умнее,
Всех забавней и смешнее?
Повторяйте все за мной
Веселые движения физминутки озорной.

2) Физминутка для глаз «Зоркие глазки».

– Закройте глаза на 7 секунд, посмотрите направо, затем налево, вверх, вниз, затем сделайте глазами 6 кругов по часовой стрелке, 6 кругов против часовой стрелки.

VII. Закрепление изученного

1)Работа по учебнику. решение задачи. (№3)

– В тетради решение задачи можно оформить следующим образом: (2 • 4) • 3

2) Работа в парах (по карточкам): (Слайд)

– Поставь знаки, не вычисляя:

(–Какое свойство?)
(15 • 2) •4 15 • ( 2 •4)

(8 • 9) • 6 7 • ( 9 • 6)

(428 • 2) • 0 1 • (2 • 3)

(3 • 4) • 2 3 + 4 + 2

(2 • 3 ) • 4 ( 4 • 2 ) • 3

Проверка: (Слайд)

(15 • 2) •4 =15 • ( 2 •4)

(8 • 9) • 6 >7 • ( 9 • 6)

(428• 2) • 0 <1 • (2 • 3)

(3 • 4) • 2 >3 + 4 + 2

(2 • 3 ) • 4 =( 4 • 2 ) • 3

3) Самостоятельная работа (по учебнику)

(с. 6, № 5 – по вариантам)

Свойства умножения: (Слайд 14).

Переместительное свойство
Сочетательное свойство

– Зачем нужно знать свойства умножения? (Слайд).

Чтобы быстро считать
Выбирать рациональный способ счета
Решать задачи

VIII. Повторение пройденного материала. «Ветряные мельницы». (Слайд)

Числа 485, 583 и 681 увеличить на 38 и записать три числовых выражения (1 вариант)
Числа 583, 545 и 507 уменьшить на 38 и записать три числовых выражения (2 вариант)

485 + 38 523		583 + 38 621		681 + 38 719
583 – 38 545		545 – 38 507		507 – 38 469

Учащиеся выполняют задания по вариантам (двое учащихся решают задания на дополнительных досках).

Взаимопроверка.

IХ. Итог урока

– Чему учились сегодня на уроке?
– В чём же заключается смысл сочетательного свойства умножения?

Х. Рефлексия

– Кто считает, что понял смысл сочетательного свойства умножения? Кто доволен своей работой на уроке? Почему?
– Кто знает, над чем ему еще надо поработать?
– Ребята, если вам урок понравился, если вы довольны своей работой, то поставьте руки на локти и покажите мне ладошки. А если вы были чем-то расстроены, то покажите мне обратную сторону ладошки.

XI. Информация о домашнем задании

– Какое домашнее задание вы бы хотели получить?

№6

По выбору:

1. Выучить правило с. 6
2. Придумать и записать выражение на новую тему с решением

Оценки за урок.

7.2 Коммутативные и ассоциативные свойства — преалгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Использовать коммутативные и ассоциативные свойства
Вычислять выражения, используя коммутативные и ассоциативные свойства
Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

Приготовься 7.

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Упрощение: 7y+2+y+13.7y+2+y+13.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.22.

Приготовься 7,5

Умножить: 23·18,23·18.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.28.

Приготовься 7.6

Найдите противоположное число 15.15.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 3.3.

В следующих нескольких разделах мы рассмотрим свойства действительных чисел. Многие из этих свойств будут описывать вещи, которые вы уже знаете, но это поможет дать имена свойствам и определить их формально. Таким образом, мы сможем ссылаться на них и использовать их при решении уравнений в следующей главе.

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

Подумайте о добавлении двух чисел, например 55 и 3,3.

5+33+5885+33+588

Результаты те же. 5+3=3+55+3=3+5

Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно при умножении 55 и 3,3.

5·33·515155·33·51515

Опять же, результаты те же! 5·3=3·5,5·3=3·5. Порядок, в котором мы умножаем, не имеет значения.

Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

Коммутативные свойства

Переместительное свойство сложения: если aa и bb — действительные числа, то

a+b=b+aa+b=b+a

Переместительное свойство умножения: если aa и bb — действительные числа, то

a ·b=b·aa·b=b·a

Коммутативные свойства связаны с порядком. Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.

Пример 7,5

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения:

ⓐ−1+3=_____−1+3=_____
ⓑ4·9=_____4·9=_____

Решение

ⓐ
	−1+3=_____−1+3=_____
Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.	-1+3=3+(-1)-1+3=3+(-1)

ⓑ
	4·9=_____4·9=_____
Используйте свойство перестановочности умножения, чтобы изменить порядок.	4·9=9·44·9=9·4

Попытайся 7,9

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующее:

ⓐ−4+7=_____−4+7=_____
ⓑ6·12=_____6·12=_____

Попытайся 7.10

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующее:

ⓐ14+(−2)=_____14+(−2)=_____
ⓑ3(−5)=_____3(−5)=_____

Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли 7−37−3 тот же результат, что и 3−7?3−7?

7-33-74-44≠-47-33-74-44≠-4

Результаты не совпадают.7−3≠3−7Результаты не совпадают. 7−3≠3−7

Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание не коммутативно.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим два числа. Является ли деление коммутативным?

12÷44÷121244123133≠1312÷44÷121244123133≠13

Результаты не совпадают. Итак, 12÷4≠4÷12Результаты не совпадают. Итак12÷4≠4÷12

Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Предположим, вас попросили упростить это выражение.

7+8+27+8+2

Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?

Некоторые люди думают, что 7+8=157+8=15, а затем 15+2=17,15+2=17. Другие могут начать с 8+2дела108+2макес10, а затем 7+10макес17,7+10макес17.

Оба способа дают одинаковый результат, как показано на рис. 7.3. (Помните, что круглые скобки — это группирующие символы, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь. )

Рисунок 7.3

При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.

Тот же принцип применим и к умножению. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:

5·13·35·13·3

Изменение группировки чисел дает тот же результат, что и на рис. 7.4.

Рисунок 7.4

При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.

Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение.

Возможно, вы это знаете, но терминология может быть для вас новой. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .

Ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство сложения : если a,b,a,b и cc являются действительными числами, то

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+ (b+c)

Ассоциативное свойство умножения : если a,b,a,b и cc — действительные числа, то

(a·b)·c=a·(b·c)(a· б)·с=а·(б·в)

Пример 7.

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:

ⓐ(3+0,6)+0,4=__________(3+0,6)+0,4=__________
ⓑ(−4·25)·15=__________(−4·25)·15=__________

Решение

ⓐ
	(3+0,6)+0,4=__________(3+0,6)+0,4=__________
Изменить группировку.	(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)

Обратите внимание, что 0,6+0,40,6+0,4 равно 1,1, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

ⓑ
	(-4·25)·15=__________(-4·25)·15=__________
Изменить группировку.	(-4·25)·15=-4·(25·15)(-4·25)·15=-4·(25·15)

Обратите внимание, что 25·1525·15 равно 6,6. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

Попытайся 7.11

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ (1+0,7)+0,3=__________(1+0,7)+0,3=__________ ⓑ(−9·8)·34=__________(−9·8)·34 =__________

Попытайся 7.12

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ (4+0,6)+0,4=__________(4+0,6)+0,4=__________ ⓑ(−2·12)·56=__________(−2·12)·56 =__________

Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.

Пример 7.7

Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения: 6(3x).6(3x).

Решение

	6(3x)6(3x)
Изменить группировку.	(6·3)x(6·3)x
Умножить в скобках.	18x18x

Обратите внимание, что мы можем умножить 6·3,6·3, но мы не можем умножить 3·x3·x, не зная значения x.x.

Попытайся 7.13

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: 8(4x).8(4x).

Попытайся 7.14

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: −9(7y).−9(7y).

Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств

Коммутативные и ассоциативные свойства могут упростить вычисление некоторых алгебраических выражений. Поскольку при добавлении или умножении трех или более терминов порядок не имеет значения, мы можем изменить порядок и перегруппировать термины, чтобы упростить нашу работу, как показано в следующих нескольких примерах.

Пример 7,8

Оценить каждое выражение, когда x=78.x=78.

ⓐx+0,37+(−x)x+0,37+(−x)
ⓑх+(-х)+0,37х+(-х)+0,37

Решение

ⓐ

Замените xx на 7878.
Преобразование дробей в десятичные.
Добавить слева направо.
Вычесть.

ⓑ

Замените x на 7878.
Сначала добавьте противоположности.

В чем разница между частью ⓐ и частью ⓑ? Только порядок изменился. По коммутативному свойству сложения x+0,37+(-x)=x+(-x)+0,37.x+0,37+(-x)=x+(-x)+0,37. Но разве часть ⓑ не была намного проще?

Попытайся 7.15

Оценить каждое выражение, когда y=38:y=38:ⓐy+0,84+(−y)y+0,84+(−y) ⓑy+(−y)+0,84.y+(−y)+0,84.

Попытайся 7.16

Оцените каждое выражение, когда f=1720:f=1720:ⓐf+0,975+(-f)f+0,975+(-f) ⓑ f+(-f)+0,975.f+(-f)+0,975.

Давайте сделаем еще один, на этот раз с умножением.

Пример 7,9

Оцените каждое выражение, когда n=17.n=17.

ⓐ43(34н)43(34н)
ⓑ(43·34)n(43·34)n

Решение

ⓐ

Замените 17 на n.
Сначала умножить в скобках.
Умножить еще раз.

ⓑ

Замените 17 на n.
Умножить. Произведение обратных величин равно 1,
Умножить еще раз.

Какая разница между частью ⓐ и частью ⓑ здесь? Только группировка поменялась. По ассоциативному свойству умножения 43(34n)=(43·34)n, 43(34n)=(43·34)n. Тщательно выбирая, как сгруппировать факторы, мы можем облегчить работу.

Попытайся 7.17

Оценить каждое выражение при p=24:p=24:ⓐ59(95p)59(95p) ⓑ(59·95)п.(59·95)п.

Попытайся 7.18

Оценить каждое выражение при q=15:q=15:ⓐ711(117q)711(117q) ⓑ(711·117)q(711·117)q

Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

Когда нам нужно упростить алгебраические выражения, мы часто можем упростить работу, применяя сначала коммутативное или ассоциативное свойство вместо автоматического следования порядку операций. Обратите внимание, что в примере 7.8 часть ⓑ было проще упростить, чем часть ⓐ, поскольку противоположности располагались рядом друг с другом, а их сумма равнялась 0,0. Аналогично, часть ⓑ в примере 7.9.было проще, если сгруппировать обратные величины, потому что их произведение равно 1,1. В следующих нескольких примерах мы будем использовать наше чувство чисел, чтобы искать способы применения этих свойств, чтобы упростить нашу работу.

Пример 7.10

Упрощение: −84n+(−73n)+84n.−84n+(−73n)+84n.

Решение

Обратите внимание, что первое и третье слагаемые противоположны, поэтому мы можем использовать свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок слагаемых.

	−84n+(−73n)+84n−84n+(−73n)+84n
Перезаказать условия.	−84n+84n+(−73n)−84n+84n+(−73n)
Добавить слева направо.	0+(-73n)0+(-73n)
Доп.	−73n−73n

Попытайся 7.19

Упрощение: −27a+(−48a)+27a.−27a+(−48a)+27a.

Попытайся 7.20

Упрощение: 39x+(-92x)+(-39x).39x+(-92x)+(-39Икс).

Теперь мы увидим, насколько полезно распознавание обратных значений. Прежде чем умножать слева направо, найдите обратные числа — их произведение равно 1,1.

Пример 7.11

Упрощение: 715·823·157,715·823·157.

Решение

Обратите внимание, что первый и третий члены являются обратными, поэтому мы можем использовать переместительное свойство умножения, чтобы изменить порядок множителей.

	715·823·157715·823·157
Перезаказать условия.	715·157·823715·157·823
Умножить слева направо.	1·8231·823
Умножить.	823823

Попытайся 7.21

Упрощение: 916·549·169,916·549·169.

Попытайся 7.22

Упрощение: 617·1125·176,617·1125·176.

В выражениях, где нам нужно сложить или вычесть три или более дроби, сначала объедините те, у которых есть общий знаменатель.

Пример 7.12

Упрощение: (513+34)+14.(513+34)+14.

Решение

Обратите внимание, что второй и третий члены имеют общий знаменатель, поэтому эта работа будет проще, если мы изменим группировку.

	(513+34)+14(513+34)+14
Сгруппируйте термины под общим знаменателем.	513+(34+14)513+(34+14)
Сначала добавьте скобки.	513+(44)513+(44)
Упростите дробь.	513+1513+1
Доп.	15131513
Преобразовать в неправильную дробь.	18131813

Попытайся 7.

Упрощение: (715+58)+38.(715+58)+38.

Попытайся 7,24

Упрощение: (29+712)+512.(29+712)+512.

При сложении и вычитании трех или более членов, содержащих десятичные дроби, ищите члены, которые в совокупности дают целые числа.

Пример 7.13

Упрощение: (6,47q+9,99q)+1,01q.(6,47q+9,99q)+1,01q.

Решение

Обратите внимание, что сумма второго и третьего коэффициентов является целым числом.

	(6,47q+9,99q)+1,01q(6,47q+9,99q)+1,01q
Изменить группировку.	6,47q+(9,99q+1,01q)6,47q+(9,99q+1,01q)
Сначала добавьте скобки.	6.47q+(11.00q)6.47q+(11.00q)
Доп.	17.47q17.47q

Многие люди хорошо понимают числа, когда имеют дело с деньгами. Подумайте о добавлении 9999 центов и 11 центов. Вы понимаете, как это относится к сложению 9,99+1,01?9,99+1,01?

Попытайся 7,25

Упрощение: (5,58c+8,75c)+1,25c.(5,58c+8,75c)+1,25c.

Попытайся 7,26

Упрощение: (8,79d+3,55d)+5,45d.(8,79d+3,55d)+5,45d.

Что бы вы ни делали, всегда полезно подумать наперед. При упрощении выражения подумайте, какими будут ваши шаги. Следующий пример покажет вам, как использование ассоциативного свойства умножения может облегчить вашу работу, если вы планируете заранее.

Пример 7.14

Упростите выражение: [ 1,67(8) ] (0,25).[ 1,67(8) ] (0,25).

Решение

Обратите внимание, что умножение (8)(0,25)(8)(0,25) проще, чем умножение 1,67(8)1,67(8), потому что оно дает целое число. (Представьте, что у вас 88 четвертаков — это 2 доллара.) 2 доллара.)

	[1,67(8)](0,25)[1,67(8)](0,25)
Перегруппировка.	1,67[(8)(0,25)]1,67[(8)(0,25)]
Сначала умножьте в скобках.	1,67[2]1,67[2]
Умножить.	3.343.34

Попытайся 7,27

Упрощение: [1.17(4)](2.25).[1.17(4)](2.25).

Попытайся 7,28

Упрощение: [3,52(8)](2,5).[3,52(8)](2,5).

При упрощении выражений, содержащих переменные, мы можем использовать коммутативные и ассоциативные свойства для изменения порядка или перегруппировки терминов, как показано в следующей паре примеров.

Пример 7.15

Упрощение: 6(9x).6(9x).

Решение

	6(9х)6(9х)
Используйте ассоциативное свойство умножения для перегруппировки.	(6·9)x(6·9)x
Умножить в скобках.	54x54x

Попытайся 7,29

Упрощение: 8(3г).8(3г).

Попытайся 7.30

Упрощение: 12(5z).12(5z).

В «Языке алгебры» мы научились объединять одинаковые термины, переставляя выражение так, чтобы похожие термины были вместе. Мы упростили выражение 3x+7+4x+53x+7+4x+5, переписав его как 3x+4x+7+53x+4x+7+5, а затем упростив его до 7x+12,7x+12. Мы использовали коммутативное свойство сложения.

Пример 7.16

Упрощение: 18p+6q+(-15p)+5q.18p+6q+(-15p)+5q.

Решение

Используйте переместительное свойство сложения, чтобы изменить порядок, чтобы одинаковые термины были вместе.

	18p+6q+(-15p)+5q18p+6q+(-15p)+5q
Условия повторного заказа.	18p+(-15p)+6q+5q18p+(-15p)+6q+5q
Объедините похожие термины.	3п+11кв3п+11кв

Попытайся 7.31

Упрощение: 23r+14s+9r+(−15s).23r+14s+9r+(−15s).

Попытайся 7,32

Упрощение: 37м+21н+4м+(-15н).37м+21н+4м+(-15н).

Раздел 7.2 Упражнения

Практика делает совершенным

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

В следующих упражнениях используйте коммутативные свойства, чтобы переписать данное выражение.

20.

8+9=___8+9=___

21.

7+6=___7+6=___

22.

8(−12)=___8(−12)=___

23.

7(−13)=___7(−13)=___

24.

(−19)(−14)=___(−19)(−14)=___

25.

(−12)(−18)=___(−12)(−18)=___

26.

−11+8=___−11+8=___

27.

−15+7=___−15+7=___

28.

х+4=___х+4=___

29.

у+1=___у+1=___

30.

−2a=___−2a=___

31.

−3м=___−3м=___

В следующих упражнениях используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать данное выражение.

32.

(11+9)+14=___(11+9)+14=___

33.

(21+14)+9=___(21+14)+9=___

34.

(12·5)·7=___(12·5)·7=___

35.

(14·6)·9=___(14·6)·9=___

36.

(−7+9)+8=___(−7+9)+8=___

37.

(−2+6)+7=___(−2+6)+7=___

38.

(16·45)·15=___(16·45)·15=___

39.

(13·23)·18=___(13·23)·18=___

40.

3(4x)=___3(4x)=___

41.

4(7x)=___4(7x)=___

42.

(12+x)+28=___(12+x)+28=___

43.

(17+г)+33=___(17+г)+33=___

Оценка выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств

В следующих упражнениях оцените каждое выражение для заданного значения.

44.

Если y=58,y=58, оценить:

ⓐ у+0,49+(-у)у+0,49+(-у)
ⓑ у+(-у)+0,49у+(-у)+0,49

45.

Если z=78,z=78, оценить:

ⓐ г+0,97+(-г)г+0,97+(-г)
ⓑ г+(-г)+0,97z+(−z)+0,97

46.

Если c=-114,c=-114, оценить:

ⓐ с+3,125+(-с)с+3,125+(-с)
ⓑ с+(-с)+3,125с+(-с)+3,125

47.

Если d=-94,d=-94, оценить:

ⓐ д+2,375+(-д)д+2,375+(-д)
ⓑ d+(-d)+2,375d+(-d)+2,375

48.

Если j=11,j=11, оценить:

ⓐ 56(65ж)56(65ж)
ⓑ (56·65)j(56·65)j

49.

Если k=21,k=21, оценить:

ⓐ 413(134к)413(134к)
ⓑ (413·134)к(413·134)к

50.

Если m=-25,m=-25, оценить:

ⓐ −37(73м)−37(73м)
ⓑ (−37·73)м(−37·73)м

51.

Если n=-8,n=-8, оценить:

ⓐ −521(215н)−521(215н)
ⓑ (−521·215)n(−521·215)n

Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

В следующих упражнениях упрощайте.

52.

−45а+15+45а−45а+15+45а

53.

9л+23+(-9л)9л+23+(-9л)

54.

12+78+(-12)12+78+(-12)

55.

25+512+(-25)25+512+(-25)

56.

320·4911·203320·4911·203

57.

1318·257·18131318·257·1813

58.

712·917·247712·917·247

59.

310·1323·503310·1323·503

60.

−24·7·38−24·7·38

61.

−36·11·49−36·11·49

62.

(56+815)+715(56+815)+715

63.

(112+49)+59(112+49)+59

64.

513+34+14513+34+14

65.

815+57+27815+57+27

66.

(4,33р+1,09р)+3,91р(4,33р+1,09р)+3,91р

67.

(5,89д+2,75д)+1,25д(5,89д+2,75д)+1,25д

68.

17(0,25)(4)17(0,25)(4)

69.

36(0,2)(5)36(0,2)(5)

70.

[2,48(12)](0,5)[2,48(12)](0,5)

71.

[9,731(4)](0,75)[9,731(4)](0,75)

72.

7(4а)7(4а)

73.

9(8ж)9(8ж)

74.

−15(5м)−15(5м)

75.

−23(2n)−23(2n)

76.

12(56п)12(56п)

77.

20(35кв)20(35кв)

78.

14x+19y+25x+3y14x+19y+25x+3y

79.

15u+11v+27u+19v15u+11v+27u+19v

80.

43м+(-12н)+(-16м)+(-9н)43м+(-12н)+(-16м)+(-9н)

81.

−22p+17q+(−35p)+(−27q)−22p+17q+(−35p)+(−27q)

82.

38г+112ч+78г+512х48г+112ч+78г+512ч

83.

56а+310б+16а+910б56а+310б+16а+910б

84.

6,8p+9,14q+(-4,37p)+(-0,88q)6,8p+9,14q+(-4,37p)+(-0,88q)

85.

9,6м+7,22н+(-2,19м)+(-0,65н)9,6м+7,22н+(-2,19м)+(-0,65н)

Математика на каждый день

86.

Марки Элли и Лорен нужно купить марки. Элли нужно четыре марки по 0,49$0,49 и девять марок по 0,02$0,02. Лорен нужно восемь марок по 0,49$0,49 и три марки по 0,02$0,02.

ⓐ Сколько будут стоить марки Элли?
ⓑ Сколько будут стоить марки Лорен?
ⓓ Сколько всего марок по 0,49 доллара по 0,49 доллара нужно девочкам? Сколько они будут стоить?
ⓔ Сколько всего марок по 0,02 доллара по 0,02 доллара нужно девочкам? Сколько они будут стоить?

87.

Подсчет наличных Грант подсчитывает деньги от ужина по сбору средств. В одном конверте у него двадцать три купюры по 5 долларов за 5 долларов, восемнадцать купюр по 10 долларов за 10 долларов и тридцать четыре купюры по 20 долларов за 20 долларов. В другом конверте у него четырнадцать купюр по 5 долларов за 5 долларов, девять купюр по 10 долларов за 10 долларов и двадцать семь купюр по 20 долларов за 20 долларов.

ⓐ Сколько денег в первом конверте?
ⓑ Сколько денег во втором конверте?
ⓓ Какова стоимость всех пятидолларовых купюр?
ⓔ Какова стоимость всех десятидолларовых купюр?
ⓕ Какова стоимость всех 20-долларовых купюр?

Письменные упражнения

88.

Своими словами сформулируйте коммутативное свойство сложения и объясните, почему оно полезно.

89.

Своими словами сформулируйте ассоциативное свойство умножения и объясните, почему оно полезно.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в выполнении всех задач?

Переписывание выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств | Преалгебра |

Результаты обучения

Определение ассоциативных и коммутативных свойств сложения и умножения
Использовать ассоциативные и коммутативные свойства сложения и умножения для перезаписи алгебраических выражений

Подумайте о добавлении двух чисел, таких как

555

333

5+33+588\begin{массив}{cccc}\qquad 5+3\qquad & & & \qquad 3+5\qquad \\ \qquad 8\qquad & & & \qquad 8\qquad \end{ array}5+383+58

Результаты те же.

5+3=3+55+3=3+55+3=3+5

Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно при умножении

555

333

5⋅33⋅51515\begin{массив}{cccc}\qquad 5\cdot 3\qquad & & & \qquad 3\cdot 5\qquad \\ \qquad 15\qquad & & & \qquad 15\qquad \ end{array}5⋅3153⋅515

Опять же, результаты те же!

5⋅3=3⋅55\cdot 3=3\cdot 55⋅3=3⋅5

. Порядок, в котором мы умножаем, не имеет значения.

Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

Коммутативные свойства

Коммутативное свойство сложения: если

aaa

bbb

— действительные числа, то

a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a

Коммутативное свойство умножения: если

aaa

bbb

— действительные числа, то

a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot aa⋅b=b⋅a

пример

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения:

−1+3=-1+3=−1+3=

4⋅9=4\cdot 9=4⋅9=

Решение:

1.
	−1+3=-1+3=−1+3=
Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.	−1+3=3+(−1)-1+3=3+\влево(-1\вправо)−1+3=3+(−1)

2.
	4⋅9=4\cdot 9=4⋅9=
Используйте свойство перестановочности умножения, чтобы изменить порядок.	4⋅9=9⋅44\cdot 9=9\cdot 44⋅9=9⋅4

попробуй

Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли

7-37 — 37-3

тот же результат, что и

3-7?3 — 7?3-7?

7−33−74−44≠−4\begin{array}{ccc}\qquad 7 — 3\qquad & & \qquad 3 — 7\qquad \\ \qquad 4\qquad & & \qquad -4\ qquad \\ & \qquad 4\ne -4\qquad & \end{array}7−344=−43−7−4

Результаты не совпадают.

7−3≠3−77 — 3\ne 3 — 77−3=3−7

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим два числа. Является ли деление коммутативным?

12÷44÷121244123133≠13\begin{array}{ccc}\qquad 12\div 4\qquad & & \qquad 4\div 12\qquad \\ \qquad \frac{12}{4}\qquad & & \qquad \frac{4}{12}\qquad \\ \qquad 3\qquad & & \qquad \frac{1}{3}\qquad \\ & \qquad 3\ne \frac{1}{3} \qquad & \end{array}12÷441233=314÷1212431

Результаты не совпадают. Итак,

12÷4≠4÷1212\дел 4\ne 4\дел 1212÷4=4÷12

Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Предположим, вас попросили упростить это выражение.

7+8+27+8+27+8+2

Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?

Кто-то может подумать, что

7+8 – это 157+8\text{ – это }157+8 – 15

, а затем

15+2 – это 1715+2\text{ – это }1715+2 – это 17

. . Другие могут начинаться с

8+2 составляет 108+2\text{ делает }108+2 составляет 10

и затем

7+10 дает 177+10\text{ делает }177+10 делает 17

Оба способа дают одинаковый результат, как показано ниже. (Помните, что круглые скобки — это группирующие символы, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь.)

Тот же принцип справедлив и для умножения. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:

5⋅13⋅35\cdot \frac{1}{3}\cdot 35⋅31⋅3

Изменение группировки чисел дает тот же результат.

Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение.

Вы, наверное, знаете это, но терминология может быть для вас новой. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .

Ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство сложения : если

a,ba,ba,b

ccc

являются действительными числами, то

+c)\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)(a+b)+c=a+(b+c)

Ассоциативное свойство умножения : if

a,ba,ba,b

ccc

— действительные числа, тогда

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\left(a\cdot b\right)\ cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

пример

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:

(3+0,6)+0,4=\left(3+0,6\right)+0,4=(3+0,6)+0,4=

( −4⋅25)⋅15=\left(-4\cdot \frac{2}{5}\right)\cdot 15=(−4⋅52)⋅15=

Показать решение

Решение:

1.
	(3+0,6)+0,4=\влево(3+0,6\вправо)+0,4=(3+0,6)+0,4=
Изменить группировку.	(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)\влево(3+0,6\вправо)+0,4=3+\влево(0,6+0,4\вправо)(3+0,6)+0,4=3+ (0,6+0,4)

Обратите внимание, что

0.6+0.40.6+0.40.6+0.4

равно

111

, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

2.
	(−4⋅25)⋅15=\left(-4\cdot \frac{2}{5}\right)\cdot 15=(−4⋅52)⋅15=
Изменить группу.	(−4⋅25)⋅15=−4⋅(25⋅15)\left(-4\cdot \frac{2}{5}\right)\cdot 15=-4\cdot \left(\frac {2}{5}\cdot 15\right)(−4⋅52)⋅15=−4⋅(52⋅15)

Обратите внимание, что

25⋅15\frac{2}{5}\cdot 1552⋅15

равно

666

. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

попробуй

пример

Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения:

6(3x)6\left(3x\right)6(3x)

Показать решение

Решение:

	6(3x)6\левый(3x\правый)6(3x)
Изменить группировку.	(6⋅3)x\влево(6\cточка 3\вправо)x(6⋅3)x
Умножить в скобках.	18x18x18x

Обратите внимание, что мы можем умножить

6⋅36\cdot 36⋅3

, но мы не можем умножить

3⋅x3\cdot x3⋅x

без значения

xxx

попробуй

В следующем видео приведены дополнительные примеры упрощения выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств умножения и сложения.

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, ранее опубликованный

Использование коммутативных и ассоциированных свойств действительных чисел. Автор : Джеймс Соуза (Mathispower4u.com). Лицензия : CC BY: Атрибуция

Лицензионный контент CC, Конкретная атрибуция

Преалгебра. Предоставлено : OpenStax. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии : Скачать бесплатно на http://cnx.org/contents/[email protected]

Десятичные и целые числа — свойства целых чисел

Те же знакомые свойства целых чисел применимы и к целым числам. Если ты как и многие студенты, всякий раз, когда вы видите одно из этих «свойств», вы стонете внутри и думаете: «Зачем мне учиться всему этому?» Хотите верьте, хотите нет, но свойства чисел придумали не злые математики пытать студентов-математиков! Это основные правила нашей системы математики, и вы будете использовать их всю оставшуюся жизнь. Очень важно, чтобы ты понять, как применять каждый из них, когда вы решаете математические задачи. Когда ты доберитесь до алгебры, вы будете использовать эти свойства снова и снова! Давайте рассмотрим каждый из них подробно и простым языком.

Коммутативное свойство дополнения
Коммутативное свойство умножения
Ассоциативное свойство дополнения
Ассоциативное свойство умножения
Распределительное имущество

Переместительное свойство сложения
Переместительное свойство сложения говорит о том, что мы можем складывать числа в любом порядке. Вы можете помнить свойство коммутативности, думая о числах, «коммутирующих», или поменяться местами. Пример показывает нам, что «отрицательные два плюс положительные четыре» совпадает с «положительные четыре плюс отрицательные два».

-2 + 4 = 4 + (-2)

Коммутативный свойство умножения
Переместительное свойство умножения очень похоже. Он говорит, что мы может умножать числа в любом порядке без изменения результата. пример показывает нам, что «отрицательное два раза положительное четыре» является то же, что «положительное четыре раза отрицательное два».

-2(4) = 4(-2)

Ассоциативный свойство дополнения
Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что мы можем группировать числа в сумму любым способом, который мы хотим, и все равно получим тот же ответ. Вы можете вспомнить ассоциативное свойство, думая о двух числах, связанных друг с другом, а затем один уходит, чтобы ассоциироваться с другим номером.

Пример показывает нам, что мы можем добавить «отрицательные два и положительные четыре» вместе, а затем добавьте эту сумму к положительным трем, чтобы получить окончательный ответ, или мы можем сначала сложить вместе «положительные четыре и положительные три» а затем добавьте эту сумму к отрицательным двум, чтобы получить окончательный ответ. Ответ будет одинаковым независимо от того, как мы это делаем.

(-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3)

Ассоциативный свойство умножения
Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что мы можем группировать номера в продукте любым способом, который мы хотим, и все равно получим тот же ответ.

Пример показывает нам, что мы можем либо умножать «отрицательные два и положительные четыре» вместе, а затем умножьте это произведение на положительное три, чтобы получить окончательный результат. ответ, или мы можем перемножить «положительные четыре и положительные три» вместе сначала, а затем умножьте это произведение на минус два, чтобы получить окончательный ответ. Ответ будет одинаковым независимо от того, как мы это делаем.

-2(4) x 3 = -2(4 x 3)

Распределительный недвижимость
Распределительное свойство вступает в игру, когда выражение, включающее сложение затем умножается на что-то. Это говорит нам, что мы можем сначала добавить, а затем умножить или сначала умножить, а потом добавить. В любом случае умножение «распределено» по всем терминам в круглых скобках.

В примере мы можем сначала добавить числа в скобках — 4+3 — а затем умножить результат на -2 ; или мы можем умножить -2 и каждый термин отдельно, а затем добавить два продукта вместе. Ответ одинаково в обоих случаях.

-2(4 + 3) = (-2 х 4) + (-2 х 3)

Смотреть вне!

Вычитание не является ни коммутативным, ни ассоциативным.

Подразделение ни коммутативный, ни ассоциативный.

Примеры

1. Мы можем добавить числа в любом порядке. (Переместительное свойство сложения.)

-2 + 4 = 4 + -2

2. Мы можем умножать числа в любом порядке. (Переместительное свойство умножения)

-2 х 4 = 4 х-2

3. Мы можем сгруппировать числа в сумме любым способом, которым мы хотим. (Ассоциативное свойство сложения.)

(-2 + 4) + 3 = -2 + (4 + 3)

4. Мы можем сгруппировать числа в продукте любым способом, который мы хотим. (Ассоциативное свойство умножения)

(-2 x 4) x 3 = -2 x (4 x3)

5. Для этого типа выражения, мы можем сначала сложить, а затем умножить,

ИЛИ

сначала умножить, затем добавьте. (Распределительное свойство умножения над сложением.)

-2 х (4 + 3) = (-2 х 4) + (-2 х 3)

задняя часть наверх

Коммутативные и ассоциативные свойства — Minute Math

В этом разделе рассматриваются следующие темы:

Использование коммутативных и ассоциативных свойств
Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств
Упрощение выражений и ассоциативных свойств

7.2.1 Использование коммутативных и ассоциативных свойств

Подумайте о сложении двух чисел, например $5$ и $3$.

5+3$
8$

3+5$
8$

Результаты те же. $5+3=3+5$

Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно и при умножении $5$ и $3$.

$5 \cdot 3$
$15$

$3 \cdot 5$
$15$

Опять же, результаты те же! $5\cdot 3 = 3\cdot 5$. Порядок, в котором мы умножаем, не имеет значения.

Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

Переместительное свойство сложения : если $a$ и $b$ действительные числа, то

$a+b=b+a$

Переместительное свойство умножения19 a$ и $b$ — действительные числа, тогда

$a \cdot b = b \cdot a$

Пример 1
Используйте коммутативные свойства для переписывания следующих выражений:
$ -1+3 = $ _____
$ 4 \ CDOT 9 = $ _____
Solution 9008.

$-1+3=$_____
Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок. $-1+3=3+(-1)$
Part 2.
$4 \cdot 9 =$_____
Use the commutative property of умножение для изменения порядка. $4 \cdot 9 = 9 \cdot 4$
Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли $7-3$ тот же результат, что и $3-7$?
9 Результаты не совпадают. $7-3 \neq 3-7$
Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание некоммутативно.
Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим два числа. Является ли деление коммутативным?
$7-3$
$4$ $3-7$
$-4$
$4\neq -4$
$13 \дел 4$
$\frac{12}{4}$
$3$ $4 \div 12$
$\frac{4}{12}$
$\frac{1}{3}$
$3 \neq \frac{1}{3}$
результаты не те. Итак, $12 \div 4 \neq 4 \div 12$
Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.
Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.
Предположим, вас попросили упростить это выражение.
$7+8+2$
Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?
Некоторые люди думают, что 7+8$ равно 15$, а затем 15+2$ равно 17$. Другие могут начать с 8 долларов + 2 доллара, чтобы получить 10 долларов, а затем 7 + 10 долларов — 17 долларов.
Оба способа дают одинаковый результат, как показано на рис. 7.3. (Помните, что круглые скобки — это символы группировки, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь.)
Рис. 7.3
При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.
Тот же принцип применим и к умножению. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:
$5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3$
Изменение группировки чисел дает тот же результат, как показано на рис. 7.4.
Рисунок 7.4
При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.
Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение.
Возможно, вы это знаете, но терминология может быть для вас новой. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .
АССОЦИАТИВНЫЕ СВОЙСТВА
Ассоциативное свойство сложения : если $a,b$ и $c$ действительные числа, то
$(a+b)+c=a+(b+c)$
Ассоциативное свойство умножения : если $a,b$ и $c$ вещественные числа, то
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Пример 2
Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
$(3+. 06)+0,4=$__________
$(-4 \cdot \frac{2}{5}) \cdot 15 = $ __________
Решение 80808181818181818 гг.
Часть 1.
$ (3+0,6) +0,4 = $ ____________
$(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)$
Обратите внимание, что $0,6+0,4$ равно $1, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.
Часть 2.
$(-4 \cdot \frac{2}{5}) \cdot 15=$__________
0 Изменение группы. $(-4 \cdot \frac{2}{5}) \cdot 15 = -4 \cdot (\frac{2}{5} \cdot 15)$
Обратите внимание, что $\frac{ 2}{5} \cdot 15$ равно 6$. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.
Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.
Пример 3
Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения: $6(3x)$.
Решение
$6(3x)$
Изменить группировку. $(6 \cdot 3)x$
Умножьте в скобках. $18x$
Обратите внимание, что мы можем умножить $6 \cdot 3$, но мы не можем умножить $3 \cdot x$, не зная значения $x$.
7.2.2 Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств
Коммутативные и ассоциативные свойства могут упростить вычисление некоторых алгебраических выражений. Поскольку при добавлении или умножении трех или более терминов порядок не имеет значения, мы можем изменить порядок и перегруппировать термины, чтобы упростить нашу работу, как показано в следующих нескольких примерах.
Пример 4
Вычислите каждое выражение, когда $x= \frac{7}{8}$.
$x+0,37+(-x)$
$x+(-x)+0.37$
Solution
Part 1.
$x+0.37+(-x)$
Substitute $\frac{ 7}{8}$ за $x$. $\frac{7}{8} + 0,37 + (- \frac{7}{8} )$
Преобразование дробей в десятичные. $0,875+0,37+(-0,875)$
Сложить слева направо. 1,245-0,875$
Вычесть. 0,37 $
ЧАСТЬ 2.
$ x+(x)+0,37 $
$ optut $\frac{7}{8} + (- \frac{7}{8} ) +0,37$
Сначала сложите противоположности. $0,37$
В чем разница между Часть 1. и Часть 2. ? Менялся только порядок. По коммутативному свойству сложения $x+0,37+(-x)=x+(-x)+0,37$. Но не было Часть 2. намного проще?
Давайте сделаем еще один, на этот раз с умножением.
Пример 5
Вычислите каждое выражение, когда $n=17$.
$\frac{4}{3} ( \frac{3}{4} n)$
$(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} )n$
Решение
ЧАСТЬ 1.
$ \ frac {4} {3} (\ Frac {3} {4} $ 9008 900 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 8008 $. $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot 17)$
Сначала умножьте в скобках. $\frac{4}{3} (\frac{51}{4})$
Умножить еще раз. $ 17 $
9. $ за $n$.
ЧАСТЬ 2.
$ \ FRAC {4} {3} (\ FRAC {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {300 $ 900 {400 $ raC $ \ $ \ $ \ $(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} ) \cdot 17$
Умножить. Произведение обратных величин равно $1$. $(1) \cdot 17$
Умножить еще раз. $17$
В чем разница между Часть 1. и Часть 2. здесь? Только группировка поменялась. По ассоциативному свойству умножения $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot n) = (\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} ) н$. Тщательно выбирая, как сгруппировать факторы, мы можем облегчить работу.
7. 2.3 Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств
Когда нам нужно упростить алгебраические выражения, мы часто можем облегчить работу, применяя сначала коммутативное или ассоциативное свойство вместо автоматического следования порядку операций. Обратите внимание, что в примере 4 число , часть 2. было проще упростить, чем число , часть 1. , потому что противоположности шли рядом друг с другом, а их сумма равнялась $0$. Аналогично, часть 2. в примере 5 было проще, когда обратные числа сгруппированы вместе, потому что их произведение равно 1,1. В следующих нескольких примерах мы будем использовать наше чувство чисел, чтобы искать способы применения этих свойств, чтобы упростить нашу работу.
Пример 6
Упрощение: $-84n+(-37n)+84n$.
Решение
Обратите внимание, что первый и третий члены являются противоположными, поэтому мы можем использовать свойство перестановочности сложения, чтобы изменить порядок членов.
$-84n+(-73n)+84n$
Перезакажите условия. $-84n+84n+(-73n)$
Складываем слева направо. $0+(-73n)$
Доп. $-73n$

39𝑥+(−92𝑥)+(−39𝑥).39x+(−92x)+(−39x).
Теперь мы увидим, насколько полезно распознавать обратные числа. Прежде чем умножать слева направо, найдите обратные числа — их произведение равно $1$.
Пример 7
Упрощение: $\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7}$.
Решение
$\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7}$
Изменить порядок условий. $\frac{7}{15} \cdot \frac{15}{7} \cdot \frac{8}{23}$
Умножить слева направо. $1 \cdot \frac{8}{23}$
Умножить. $\frac{8}{23}$
В выражениях, где нам нужно сложить или вычесть три или более дробей, сначала объедините те, у которых есть общий знаменатель.
Пример 8
Упрощение: $(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}$.
Решение
Обратите внимание, что второе и третье слагаемые имеют общий знаменатель, поэтому эта работа будет проще, если мы изменим группировку.
$(\frac{15}{3} + \frac{3}{4} ) + \frac{1}{4}$
Сгруппируйте члены с общим знаменателем. $\frac{5}{13} + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$
Сначала добавьте скобки. $\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})$
Упростите дробь. $\frac{15}{3} + 1$
Доп. $1 \frac{5}{13}$
Преобразование в неправильную дробь. $\frac{18}{13}$
При сложении и вычитании трех или более слагаемых, содержащих десятичные дроби, ищите слагаемые, которые в совокупности дают целые числа.
Пример 9
Упрощение: $(6,47q+9,99q)+1,01q$.
Решение
Обратите внимание, что сумма второго и третьего коэффициентов представляет собой целое число.
$(6,47q+9,99q)+1,01q$
Изменить группировку. $6,47q+(9.99q+1.01q)$
Сначала добавьте в скобках. $6,47q+(11,00q)$
Доп. $17.47q$
Многие люди хорошо чувствуют числа, когда имеют дело с деньгами. Подумайте о том, чтобы добавить 99 долл. США и 1 долл. США. Вы понимаете, как это относится к сумме 9,99 долл. США + 1,01 долл. США?
Что бы вы ни делали, всегда полезно подумать наперед. При упрощении выражения подумайте, какими будут ваши шаги. Следующий пример покажет вам, как использование ассоциативного свойства умножения может облегчить вашу работу, если вы планируете заранее.
Пример 10
Упростите выражение: $[1,67(8)](0,25)$.
Решение
Обратите внимание, что умножение $(8)(0,25)$ проще, чем умножение 1,67(8)$ , потому что оно дает целое число. (Подумайте о том, чтобы иметь четвертаки по 8 долларов — это составляет \$ 2 $.)
$
$[1,67(8)](0,25)$
Перегруппируйтесь. 1,67$[(8)(0,25)]$
Сначала умножьте в скобках. 1,67$[2]
Умножение. $3.34$
При упрощении выражений, содержащих переменные, мы можем использовать коммутативные и ассоциативные свойства для изменения порядка или перегруппировки членов, как показано в следующей паре примеров.
Пример 11
Упрощение: $6(9x)$.
Решение
$6(9x)$
Используйте ассоциативное свойство умножения для перегруппировки. $(6 \cdot 9) x$
Умножьте в скобках. $54x$
В «Языке алгебры» мы научились объединять одинаковые термины, переставляя выражение так, чтобы похожие термины были вместе. Мы упростили выражение $3x+7+4x+5$, переписав его как $3x+4x+7+5$, а затем упростив его до $7x+12$. Мы использовали коммутативное свойство сложения.
Пример 12
Упрощение: $18p+6q+(-15p)+5q$.
Раствор
Используйте переместительное свойство сложения, чтобы изменить порядок, чтобы одинаковые термины были вместе.
$18p+6q+(-15p)+5q$
Условия повторного заказа. 18 пенсов+(-15 пенсов)+6q+5q$
Объедините подобные термины. $3p+11q$
Licenses and Attributions
CC Licensed Content, Original
Доработка и адаптация. Предоставлено: Minute Math. Лицензия: CC BY 4.0
CC Лицензионный контент, совместно используемый ранее
Маречек, Л., Энтони-Смит, М., и Матис, А. Х. (2020). Используйте язык алгебры. В преалгебре 2e. ОпенСтакс. https://openstax.org/books/preалгебра-2e/pages/7-2-commutative-and-associative-properties . Лицензия: CC BY 4.0. Бесплатный доступ на https://openstax.org/books/preалгебра-2e/pages/1-introduction
Нравится:
Нравится Загрузка. ..
Урок Видео: Свойства сложения и умножения
На примерах узнайте о коммутативных, ассоциативных и тождественных свойствах и о том, как они применяются к операциям сложения и умножения. Также посмотрите, как свойство дистрибутива применяется к добавлениям в скобках в продукте.
Стенограмма видео
Каковы свойства сложения и умножения? Свойства — это утверждения, которые верны для всех чисел. Во-первых, коммутативные свойства. Начнем с коммутативного свойства сложения. Коммутативное свойство сложения гласит, что порядок сложения двух чисел не меняет их суммы. Переменное представление этого 𝑎 плюс 𝑏 — это то же самое, что сказать 𝑏 плюс 𝑎. Или четыре плюс три — это то же самое, что три плюс четыре. Порядок здесь не имеет значения. Свойство коммутативности можно применить и к умножению.
Посмотрите на изменения, которые произошли на экране. Коммутативное свойство умножения гласит, что порядок умножения двух чисел не меняет их произведения. В этом случае 𝑎 умножить на 𝑏 равно 𝑏 умножить на 𝑎. Например, пять раз четыре равно четыре раза пять. Один из способов запомнить свойство коммутативности — подумать о слове «коммутировать». Слово коммутировать и слово коммутативное относится к обмену, замещению и обмену. Здесь с коммутативным свойством мы конкретно говорим о том, когда мы меняем порядок, в котором мы складываем или умножаем. И в этом случае не меняет значение в зависимости от заказа.
Далее, ассоциативное свойство. И снова начнем с сложения. Ассоциативное свойство сложения гласит, что способ группировки трех чисел при их сложении не меняет их суммы. Вот как это выглядит с переменными. 𝑎 плюс 𝑏 плюс 𝑐 равно 𝑎 плюс 𝑏 плюс 𝑐. Это означает, что если мы сначала сложим 𝑏 и 𝑐 вместе, а затем добавим 𝑎, эта сумма будет такой же, как если бы мы сначала сложили 𝑎 и 𝑏, а затем добавили 𝑐. В этом случае один плюс два плюс три равно один плюс два плюс три. Один плюс пять равно три плюс три. Это свойство можно применить и к умножению. Обратите внимание на изменения здесь. Ассоциативное свойство умножения гласит, что то, как сгруппированы три числа при их умножении, не меняет их произведения. Если мы сначала умножим 𝑏 и 𝑐, а затем возьмем это значение и умножим его на 𝑎, мы получим тот же продукт, как если бы мы умножили 𝑎 и 𝑏, а затем это значение на 𝑐.
Мы можем вспомнить ассоциативность слова «ассоциировать». Ассоциация имеет дело с группировками. То, как группируются три числа при их сложении или умножении, не меняет ни их суммы, ни их произведения. И третье в нашем списке — свойства идентичности. Начиная со свойства идентичности сложения, это свойство утверждает, что сумма слагаемого и нуля является слагаемым. 𝑎 плюс ноль равно 𝑎. Семь плюс ноль будет семь. Переходя к тождественному свойству умножения, давайте внимательно посмотрим на все изменения. Свойство идентичности умножения говорит, что произведение фактора и один является этим фактором. В нашем примере 𝑎 умножить на один равно 𝑎. Обратите внимание, что тождественное свойство умножения умножает множитель на единицу.
Давайте рассмотрим эти свойства рядом. Когда мы добавляем ноль к любому значению, мы собираемся получить то же самое значение обратно. И когда мы умножаем на единицу, происходит то же самое. Вы можете вспомнить свойство идентичности, подумав о том, что смотрите в зеркало. 𝑎 выглядит так же после добавления нуля. 𝑎 также выглядит одинаково после умножения на единицу. Наше последнее свойство немного отличается. Распределительное свойство показывает нам, как мы сочетаем сложение и умножение. Распределительное свойство говорит об этом. Чтобы умножить сумму на число, умножьте каждое слагаемое суммы на число за скобками. Это много слов. Давайте посмотрим, как это выглядит. Начнем с примера, в котором используются числа.
Свойство говорит нам умножить сумму на число. Вот наша сумма, а вот число. Нам нужно умножить каждое слагаемое суммы. Четыре и шесть являются слагаемыми суммы. И мы умножаем это на число за скобками, в данном случае на три. Если вы решите обе части уравнения, вы получите тридцать равно тридцати. Свойство распределения помогает нам взять эту тройку и распределить ее между четырьмя и шестью, двумя слагаемыми суммы. Алгебраическое представление дистрибутивного свойства или представление с переменными будет выглядеть так. 𝑎 умножить на 𝑏 плюс 𝑐 равно 𝑎 умножить на 𝑏 плюс 𝑎 умножить на 𝑐. Здесь мы берем 𝑎 и распределяем его между слагаемым 𝑏 и слагаемым 𝑐. Это верно и в обратном порядке. Это верно и в обратном порядке.
В этом примере мы хотим убрать 𝑎, поместить его за скобки и сначала добавить 𝑏 и 𝑐. Вот этот пример с цифрами. Пять раз два плюс пять раз три — это то же самое, что сказать пять раз пять или пять раз два плюс три. Вот диаграмма, которая поможет вам обобщить все различные свойства. Эти свойства лягут в основу решения всевозможных уравнений.
Почему свойства сложения полезны для учащихся
Когда мой старший сын учился в седьмом классе, у него возникла проблема с задачей в его учебнике по математике. Это касалось одного из свойств сложения. Я не мог поверить, что он не знал ответа!
Это была очень простая задача с целыми числами, и все, что в ней спрашивалось, это как ее решить, используя переместительное свойство сложения. Он не мог вспомнить, что это за свойство! И это был 7 класс.
Свойства сложения в математической инструкции
Но как вы видите на примере моего сына, Свойства Дополнения никуда не делись . Учащиеся будут продолжать складывать на протяжении всей учебы (и жизни!), но они могут складывать дроби, десятичные числа или целые числа. Это не имеет значения! Им нужно знать, что свойства сложения используются в математике, потому что они полезны.
Те, кто использует Common Core State Standards по математике, знают, что свойства сложения специфичны для 1, 2, и 3 классов .
Преподавание свойств сложения в первом классе
Еще в 90-х годах, когда я преподавал в первом классе, идея прямого обучения свойствам сложения даже не рассматривалась мной. Но инстинктивно я научил их. Меня обучали «Математике по-своему» — философии преподавания математики, основанной на принципах развития ребенка Пиаже.
Учащиеся сами поняли, что если перевернуть поезд Unifix® из 4 красных кубиков и трех синих кубиков, получится одинаковая сумма: 4 + 3 = 3 + 4.
Они узнали, что добавление нуля означает, что другое слагаемое будет полученной суммой. Мои первоклассники использовали коммутативное и нулевое свойство сложения, не упоминая их математических названий.
Перенесемся в 2000-е, и теперь у нас есть стандартное образование. Однако свойства сложения впервые упоминаются в калифорнийских математических стандартах для третьего класса. Но это слишком поздно их учило. Эти свойства используются даже в начале сложения.
Преподавание свойств сложения во втором классе
Преподав в основном третий класс после семилетнего пребывания в первом классе, я недавно вернулся во второй класс. Я так рада, что сделала! Один из самых больших выводов из обучения математике во втором классе заключается в том, что свойства сложения являются одним из ключей к беглости математических фактов.
Беглость — это не автоматическое припоминание фактов или просто быстрое и точное воспроизведение. Как определено Национальным советом учителей математики, беглость демонстрирует гибкость в вычислительных методах при понимании этих методов для эффективного получения ответов.
Гибкость вычислительных методов может означать многое. Когда я начал изучать числовые разговоры со своими студентами, я ежедневно видел эту гибкость. Я видел, как ученики использовали компенсацию, разбивая числа, составляя десятку или используя дружественные числа. И, что более важно, студенты, которые использовали свойства сложения для добавления.
Я считаю, что после того, как Свойства сложения будут представлены в первом классе, учителям второго класса необходимо разработать уроки, чтобы закрепить эти свойства в качестве одной из гибких стратегий, используемых при сложении или даже вычитании.
Один из самых действенных способов попрактиковаться в свойствах сложения для учащихся — это беседы с числами. Но что еще более важно, когда ученик объясняет, как он или она пришел к ответу, учитель должен помочь обозначить использованную стратегию, особенно если она включала одно из свойств сложения. Часто студенты объясняют стратегию, не называя ее.
Преподавание свойств сложения в третьем классе
Мы больше не работаем с простыми суммами, когда я преподаю свойства сложения в третьем классе. Теперь мы добавляем двух- и трехзначные числа с перегруппировкой и без нее. Но именно в этих задачах сложения мы практикуем свойства сложения.
На самом деле, в любом столбце сложения мы можем использовать несколько стратегий, таких как создание десятки, компенсация, разложение и, конечно же, использование одного из свойств сложения.
Вот один из примеров использования ассоциативного свойства сложения с тремя слагаемыми.
Но по мере того, как третьеклассники переходят от сложения и вычитания к умножению и делению, они узнают о свойствах умножения. Поскольку сложение и умножение взаимосвязаны, учащимся важно указать на сходные свойства (коммутативность и ассоциативность).
К чему все это ведет? Теперь учащиеся будут складывать, вычитать, умножать и делить дроби, десятичные числа и проценты при переходе к четвертому и пятому классам. Знание того, как использовать свойства сложения и умножения в качестве гибких стратегий при вычислениях, будет бесценным.
Когда учащиеся начинают изучать алгебру в средней школе, эти свойства становятся данностью. Студенты должны использовать их для решения выражений и уравнений баланса. Обучение свойствам сложения — полезная и необходимая стратегия для работы с более сложной математикой.
Как научить свойствам сложения?
Когда я впервые начал преподавать свойства, я создал интерактивную презентацию PowerPoint. Под интерактивностью я подразумеваю слайды в PowerPoint, на которых учащиеся взаимодействуют с содержимым слайда (и это включает в себя много анимации).
Они взаимодействуют, отвечая на вопросы, обсуждая с партнером или делая записи в математическом журнале (или на любом листе бумаги). Я использую как математический журнал, так и печатные формы. Я создал печатные формы вместе с PowerPoint, чтобы учащиеся были еще более заинтересованы в немедленной практике свойств сложения.
Предварительный просмотр этого PowerPoint можно посмотреть на моем канале YouTube. С момента создания этого видео PowerPoint был обновлен и расширен, включая новые шрифты и форматирование. Но вы получите представление о том, как работает этот PowerPoint.

В PowerPoint были внесены некоторые изменения, но формат остался прежним. Три свойства ( Commutative , Zero or Identity и Associative ) рассматриваются как отдельные уроки, поэтому можно легко приостанавливать работу в PowerPoint после каждого урока и продолжать работу на следующий день.
В PowerPoint также входят заметки докладчика, в которых я даю советы по обучению и объясняю, когда следует продвигать анимацию или слайд. Я добавил вопросы, которые вы можете использовать, чтобы стимулировать математическое мышление и обсуждение. Я расширил печатные формы, включив поддержку для изучающих английский язык, используя рамки предложений и глоссарий.
Подпишитесь на мою рассылку и получите БЕСПЛАТНО глоссарий свойств дополнений. Зарегистрируйтесь ниже!
Вы можете найти свойства дополнительного урока PowerPoint ЗДЕСЬ.
Как мои учащиеся практикуют свойства сложения?
В дополнение к PowerPoint я создал центр практических занятий, которым пользуюсь весь класс, хотя его можно использовать и в небольшой группе или для интерактивных занятий. В этом центре есть рабочий коврик и плитки с числами, но вам нужно будет добавить кубики unifix, связующие кубики или какой-либо другой тип манипуляции.
В нем также есть карточки с заданиями, которые дают учащемуся задание на рабочем коврике. В группе всего класса я читаю вслух карточку и проецирую ее на экран. Затем я хожу вокруг, пока ученики используют свои кубики unifix для построения уравнения.

Вот видео, показывающее, как один из моих учеников строит из кубиков unifix . В центре есть карточки задач для всех трех свойств, , но в этом видео мы работали над коммутативным свойством сложения .

После того, как учащийся создал unifix train для уравнения, он использует числовые плитки для построения уравнения соответствия. Оттуда они строят еще один нефиксированный поезд, меняют местами слагаемые (перемещают слагаемые) и снова используют числовые плитки для построения нового уравнения. Затем мы обсуждаем то, что они замечают. Вот тот же ученик продолжает работу.

Не забывайте учить словарный запас!
Это прекрасная возможность создать и расширить математический словарный запас: сложения, символ сложения, знак равенства, коммутация, сумма и т. д. . Для учащихся очень важно выучить и использовать этот математический словарь при обсуждении математических понятий (иначе, как они когда-нибудь поймут текстовые задачи!! т. е. см. мой сын выше).
Вторая часть этого центра включает сопоставление коммутативных свойств. Я снял на видео своего младшего сына (который в то время учился в третьем классе), чтобы посмотреть, сможет ли он объяснить, как использовать коммутативное свойство сложения.
Было интересно отметить, как он использует словарный запас (он сказал, что 3 + 4 ПРОТИВОПОЛОЖНО 4 + 3). Но он смог показать свое понимание этого свойства. Посмотрите видео:

Чем полезна коммутативная собственность?
Коммутативное свойство — отличная стратегия для сложения многозначных чисел. Когда я преподавал в первом классе, я преподавал счет как стратегию сложения и вычитания. Но если учащиеся знают, что они могут изменить порядок слагаемых и начать добавлять с большее число ВО-ПЕРВЫХ, оно облегчает подсчет.
Кроме того, когда я преподавал в первом классе, я использовал Математика по-своему, , поэтому ученики постоянно использовали манипулятивные приемы для построения концепции сложения и усваивали это свойство. Они никогда не видели 3 + 4 просто как 3 + 4, но также и как 4 + 3. Они знали, что могут поменять местами слагаемые, потому что они сделали это с манипулятивными элементами. Кроме того, изучение этого свойства очень поможет нам, когда мы начнем изучать коммутативное свойство числа 9.1789 Умножение!
Как насчет свойства Zero свойства Identity?
Не забудьте обучить этого! Большинство учащихся знают, что при добавлении нуля получается одно и то же слагаемое или слагаемые. Почему это важно знать? В третьем классе учащиеся учатся округлять (3.NBT.A1). Когда вы округляете числа, вы получаете двух- и трехзначные числа с нулями в разрядах единиц и десятков. Эти числа можно легко сложить, используя ментальную арифметику.
Мы хотим, чтобы учащиеся могли мысленно округлять, складывать и давать оценку, чтобы проверить разумность ответа. Если они знают, что ноль не влияет на сумму, то все, что им нужно сделать в уме, — это сконцентрироваться на сложении десятков или сотен цифр, чтобы получить оценку. Но читайте дальше. Свойство Zero также полезно в сочетании с ассоциативным свойством.
Чем полезно ассоциативное свойство?
Нужно ли вашим учащимся изучать сложение столбцов? Они просто добавляют столбец чисел по порядку? ОСТАНОВКА! Научите их использовать ассоциативное свойство сложения! С помощью этого свойства я учу студентов находить слагаемые, которые составляют 10.
Десять — отличное число, потому что в нем есть ноль! А когда у вас есть цифра ноль в слагаемом, вы можете мысленно складывать эти числа быстрее, делая сложение более эффективным и надежным. Я хорошо помню, как мой школьный учитель (еще в 70-х годах, когда преподавание математики было чем-то большим, чем просто арифметика), советовал нам использовать этот короткий путь: при сложении найти пары чисел, которые в сумме дают 10, и вычеркнуть их по мере сложения. .
Представляете, я не знал этого до СРЕДНЯЯ ШКОЛА ? Если учащиеся хорошо поймут эти свойства, и вы продемонстрируете, как их использовать дополнительно, я обещаю, что они станут лучше, быстрее и точнее с добавлением.


	$-1+3=$_____
Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.	$-1+3=3+(-1)$

Part 2.
	$4 \cdot 9 =$_____
Use the commutative property of умножение для изменения порядка.	$4 \cdot 9 = 9 \cdot 4$

$13 \дел 4$ $\frac{12}{4}$ $3$	$4 \div 12$ $\frac{4}{12}$ $\frac{1}{3}$
$3 \neq \frac{1}{3}$

Часть 1.
	$ (3+0,6) +0,4 = $ ____________
$(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)$

Часть 2.
	$(-4 \cdot \frac{2}{5}) \cdot 15=$__________
0 Изменение группы.	$(-4 \cdot \frac{2}{5}) \cdot 15 = -4 \cdot (\frac{2}{5} \cdot 15)$

	$6(3x)$
Изменить группировку.	$(6 \cdot 3)x$
Умножьте в скобках.	$18x$

Part 1.
	$x+0.37+(-x)$
Substitute $\frac{ 7}{8}$ за $x$.	$\frac{7}{8} + 0,37 + (- \frac{7}{8} )$
Преобразование дробей в десятичные.	$0,875+0,37+(-0,875)$
Сложить слева направо.	1,245-0,875$
Вычесть.	0,37 $

ЧАСТЬ 2.
	$ x+(x)+0,37 $
$ optut	$\frac{7}{8} + (- \frac{7}{8} ) +0,37$
Сначала сложите противоположности.	$0,37$

ЧАСТЬ 1.
	$ \ frac {4} {3} (\ Frac {3} {4} $ 9008 900 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 800 8008 $.	$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \cdot 17)$
Сначала умножьте в скобках.	$\frac{4}{3} (\frac{51}{4})$
Умножить еще раз.	$ 17 $

ЧАСТЬ 2.
	$ \ FRAC {4} {3} (\ FRAC {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {3 {300 $ 900 {400 $ raC $ \ $ \ $ \	$(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} ) \cdot 17$
Умножить. Произведение обратных величин равно $1$.	$(1) \cdot 17$
Умножить еще раз.	$17$

	$-84n+(-73n)+84n$
Перезакажите условия.	$-84n+84n+(-73n)$
Складываем слева направо.	$0+(-73n)$
Доп.	$-73n$

	$\frac{7}{15} \cdot \frac{8}{23} \cdot \frac{15}{7}$
Изменить порядок условий.	$\frac{7}{15} \cdot \frac{15}{7} \cdot \frac{8}{23}$
Умножить слева направо.	$1 \cdot \frac{8}{23}$
Умножить.	$\frac{8}{23}$

	$(\frac{15}{3} + \frac{3}{4} ) + \frac{1}{4}$
Сгруппируйте члены с общим знаменателем.	$\frac{5}{13} + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})$
Сначала добавьте скобки.	$\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})$
Упростите дробь.	$\frac{15}{3} + 1$
Доп.	$1 \frac{5}{13}$
Преобразование в неправильную дробь.	$\frac{18}{13}$

	$(6,47q+9,99q)+1,01q$
Изменить группировку.	$6,47q+(9.99q+1.01q)$
Сначала добавьте в скобках.	$6,47q+(11,00q)$
Доп.	$17.47q$

	$[1,67(8)](0,25)$
Перегруппируйтесь.	1,67$[(8)(0,25)]$
Сначала умножьте в скобках.	1,67$[2]
Умножение.	$3.34$

	$6(9x)$
Используйте ассоциативное свойство умножения для перегруппировки.	$(6 \cdot 9) x$
Умножьте в скобках.	$54x$

	$18p+6q+(-15p)+5q$
Условия повторного заказа.	18 пенсов+(-15 пенсов)+6q+5q$
Объедините подобные термины.	$3p+11q$