Урок 32. Сочетательные свойства сложения и умножения – конспект урока – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

Разработки уроков (конспекты уроков)

Начальное общее образование

Линия УМК В. Н. Рудницкой. Математика (1-4)

Математика

Внимание! Администрация сайта rosuchebnik.ru не несет ответственности за содержание методических разработок, а также за соответствие разработки ФГОС.

Цель урока

Способствовать формированию умения выполнять обобщённые записи сочетательных свойств сложения и умножения с помощью букв

Задачи урока

• Закреплять умение формулировать сочетательные свойства сложения и умножения и использовать их при выполнении вычислений.
• Способствовать формированию умения записывать выражение, равное данному, используя соответствующее свойство действия

Виды деятельности

Формулировка сочетательного свойства сложения. Формулировка сочетательного свойства сложения. Запись выражения, равного данному, используя сочетательное свойство. Выполнение вычислений

Ключевые понятия

Сложение, умножение, сочетательное свойство

№	Название этапа	Методический комментарий
1	1. Мотивация к учебной деятельности	Выполнить вычисления устно. Записать ответы
2	2. Актуализация опорных знаний	Прочитать равенства. Отметить верные равенства, не выполняя вычислений. Объяснить, почему остальные равенства неверные
3	3. Самостоятельная работа с самопроверкой	Прочитать выражения. Записать выражения, равные данным, используя сочетательное свойство сложения или умножения
4	4. Применение знаний и умений в новой ситуации	Записать выражения, равные данным, используя сочетательное свойство умножения. Выполнить вычисления и записать результаты
5	5. Обобщение и систематизация	Записать равенство, характеризующее переместительное свойство сложения и умножения в общем виде с помощью букв
6	6. Итог урока	Вычислить устно, используя сочетательное свойство сложения или умножения, и записать значения выражений

Хотите сохранить материал на будущее? Отправьте себе на почту

в избранное

Только зарегистрированные пользователи могут добавлять в избранное.

Войдите, пожалуйста.

Назад к методической помощи по линии Линия УМК В. Н. Рудницкой. Математика (1-4)

Оценка разработки

Для оценки работы вам необходимо авторизоваться на сайте

Войти или зарегистрироваться

Ограничение доступа

Для доступа к материалу требуется регистрация на сайте

Войти или зарегистрироваться

Нужна помощь?

«Свойства сложения и умножения.

Переместительное и сочетательное свойства» (5 класс)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ И СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВА

Математическая разминка

1) Дано равенство. Какой компонент неизвестен? Найдите его.

а) 17 ∙ b = 51;

б) а : 18 = 5;

в) 70 : а = 5;

г) 270 + а = 500;

д) b – 150 = 360;

е) 250 – с = 170;

второй множитель, 3

?

делимое, 90

?

делитель, 14

?

второе слагаемое, 230

?

уменьшаемое, 510

?

вычитаемое, 80

?

Вы узнаете

Как можно упрощать вычисления, используя свойства сложения и умножения

Правила, устанавливающие порядок действий в вычислениях, используют вычислительные машины для вычисления числовых значений. Человек считает хуже машины, но зато умеет думать и облегчать свою работу. Такую возможность при вычислениях дают свойства сложения и умножения.

Попробуй определить свою цель на уроке

Переместительное и сочетательное свойства

Вы, конечно, знаете, что сложение чисел обладает переместительным свойством: при перестановке слагаемых сумма не меняется. С помощью букв это свойство записывается так:

для любых чисел а и b

a + b = b + a

Вам известно также, что сложение чисел обладает сочетательным свойством. Оно состоит в том, что в сумме трех чисел можно объединять в группу как первые два слагаемые, так и последние два

– результат будет одним и тем же. С помощью букв это свойство записывается так:

для любых чисел а, b и с

(a + b) + c = a + (b + c)

Запишите примеры, применяя переместительное свойство сложения:

9 + 71

71 + 9 = . ..

48 + 24

24 + 48 = …

4 + 113

113 + 4 =

Как иначе можно записать сочетательное свойство сложения?

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c = b + (a + c)

(a + b) + c = c + (a + b)

Запишите примеры, применяя сочетательное свойство сложения:

16 + (71 + 9)

(71 + 16) + 9 = …

48 + (24 + 6)

24 + (48 + 6) = …

4 + (113 + 37)

113 + 4 + 37 = …

Переместительное и сочетательное свойства

Действие умножения также обладает переместительным и сочетательным свойствами. С помощью букв эти свойства записываются так:

для любых чисел а, b и с

a ∙ b = b ∙ a

a ∙ (b ∙ с) = (a ∙ b) ∙ с

Вычислим удобным способом:

50 2 2453 =

50

2

2453

(

)

=

=

100 2453 =

=

245300

Переместительное и сочетательное свойства

Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила преобразования сумм и произведений:

!

Удобные вычисления

Рассмотренные правила сложения и умножения чисел полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в выражения, удобные для вычислений.

Пример №1.

Вычислим сумму В этом выражении есть числа, при сложении которых получается «круглые» числа – это 44 и 56 , а также 189 и 11 .

44 + 189 + 56 + 92 + 11

Заметив это, легко сложить числа устно.

Очевидно, что сумма равна 392 .

100

200

Удобные вычисления

Пример №2.

Вычислим произведение

4 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 25 .

Произведение 4 и 25 равно 100 , а на 100 умножать легко, и ответ можно получить устно:

4 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 25 = (4 ∙ 25) ∙ (7 ∙ 11) = 100 ∙ 77 = 7700.

100

77

7.2: Коммутативные и ассоциативные свойства (Часть 1)

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5034

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Использование коммутативных и ассоциативных свойств
• Вычислять выражения, используя коммутативные и ассоциативные свойства
• Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

будь готов!

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Упрощение: 7y + 2 + y + 13. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 2.3.10.
2. Умножить: \(\dfrac{2}{3} \cdot 18\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.3.10.
3. Найдите противоположное число 15. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 3.1.3.

В следующих нескольких разделах мы рассмотрим свойства действительных чисел. Многие из этих свойств будут описывать вещи, которые вы уже знаете, но это поможет дать имена свойствам и определить их формально. Таким образом, мы сможем ссылаться на них и использовать их при решении уравнений в следующей главе.

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

Подумайте о сложении двух чисел, например 5 и 3.

\[\begin{split} 5 &+ 3 \qquad 3 + 5 \\ &\; 8 \qquad \qquad 8 \end{split}\]

Результаты те же. 5 + 3 = 3 + 5

Обратите внимание, порядок сложения не имеет значения. То же верно и при умножении 5 и 3.

\[\begin{split} 5 &\cdot 3 \qquad \; 3 \cdot 5 \\ & 15 \qquad \quad 15 \end{split}\]

Опять же, результаты те же! 5 • 3 = 3 • 5. Порядок умножения не имеет значения. Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

Определение: коммуникативные свойства

Коммутативное свойство сложения: если a и b — действительные числа, то a + b = b + a

Коммутативное свойство умножения: если a и b — действительные числа, то a • b = b • a

Коммутативные свойства связаны с порядком. Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения: (a) −1 + 3 = _____ (b) 4 • 9= _____

Решение

(a) −1 + 3 = _____

Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.

-1 + 3 = 3 + (-1)

(b) 4 • 9 = _____

Используйте свойство коммутативности умножения, чтобы изменить порядок.

4 • 9 = 9 • 4

Упражнение \(\PageIndex{1}\):

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения: (a) −4 + ​​7 = _____ (b) 6 • 12 = _____

Ответить на

\(-4+7=7+(-4)\)

Ответ б

\(6 \cdot 12=12 \cdot 6\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\):

Воспользуйтесь коммутативными свойствами, чтобы переписать следующие выражения: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3(-5) = _____

Ответ

\(14+(-2)=-2+14\)

Ответ б

\(3(-5)=(-5) 3\)

Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли 7 — 3 тот же результат, что и 3 — 7?

\[\begin{split} 7 &- 3 \qquad 3 — 7 \\ &\; 4 \qquad \quad -4 \\ & \quad 4 \neq -4 \end{split}\]

Результаты не совпадают. 7 − 3 ≠ 3 − 7

Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание не коммутативно. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы делим два числа. Является ли деление коммутативным?

\[\begin{split} 12 &\div 4 \qquad 4 \div 12 \\ & \dfrac{12}{4} \qquad \quad \dfrac{4}{12} \\ &\; 3 \qquad \qquad \dfrac{1}{3} \\ &\quad \; 3 \neq \dfrac{1}{3} \end{split}\]

Результаты не совпадают. Итак, 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12

Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Предположим, вас попросили упростить это выражение.

\[7 + 8 + 2\]

Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?

Некоторые люди думают, что 7 + 8 равно 15, а затем 15 + 2 равно 17. Другие могут начать с 8 + 2, что дает 10, а затем 7 + 10 дает 17.

Оба способа дают одинаковый результат, как показано на рисунке \ (\PageIndex{1}\). (Помните, что круглые скобки — это символы группировки, указывающие, какие операции следует выполнить в первую очередь.)

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.

Тот же принцип применим и к умножению. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:

\[5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 3\]

Изменение группировки чисел дает тот же результат, как показано на рисунке \ (\PageIndex{2}\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.

Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение. Вы, вероятно, знаете это, но терминология может быть новой для вас. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .

Определение: ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство сложения: если a, b и c — действительные числа, то (a + b) + c = a + (b + c)

Ассоциативное свойство умножения: если a, b и c — действительные числа, тогда (a • b) • c = a • (b • c)

Пример \(\PageIndex{2}\):

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (3 + 0,6) + 0,4 = __________ (b) \(\left(−4 \cdot \dfrac {2}{5}\right) \cdot 15\) = __________

Решение

(a) (3 + 0,6) + 0,4 = __________

Изменить группировку.

(3 + 0,6) + 0,4 = 3 + (0,6 + 0,4)

Обратите внимание, что 0,6 + 0,4 равно 1, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

(b) \(\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15\) = __________

Изменить группировку.

(3 + 0,6) + 0,4 = 3 + (0,6 + 0,4)

Обратите внимание, что \(\dfrac{2}{5} \cdot 15\) равно 6. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

Упражнение \(\PageIndex{3}\):

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (1 + 0,7) + 0,3 = __________ (b) (−9 • 8) • \(\dfrac {3}{4}\) = __________

Ответить на

\((1+0,7)+0,3=1+(0,7+0,3)\)

Ответ б

\((-9 \cdot 8) \cdot \frac{3}{4}=-9\left(8 \cdot \frac{3}{4}\right)\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\):

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее: (a) (4 + 0,6) + 0,4 = __________ (b) (−2 • 12) • \(\dfrac {5}{6}\) = __________

Ответ на

\((4+0,6)+0,4=4+(0,6+0,4)\)

Ответ б

\((-2 \cdot 12) \cdot \frac{5}{6}=-2\left(12 \cdot \frac{5}{6}\right)\)

Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения: 6(3x).

Решение

Изменить группировку.	(6 • 3)х
Умножить в скобках.	18x

Обратите внимание, что мы можем умножить 6 • 3, но мы не можем умножить 3 • x, не зная значения x.

Упражнение \(\PageIndex{5}\):

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: 8(4x).

Ответить

\(32x\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\):

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: −9(7y).

Ответить

\(-63г\)

Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств

Коммутативные и ассоциативные свойства могут упростить вычисление некоторых алгебраических выражений. Поскольку при добавлении или умножении трех или более терминов порядок не имеет значения, мы можем изменить порядок и перегруппировать термины, чтобы упростить нашу работу, как показано в следующих нескольких примерах.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Вычислить каждое выражение, когда x = \(\dfrac{7}{8}\). (a) x + 0,37 + (− x) (b) x + (− x) + 0,37

Решение

(a) x + 0,37 + (− x)

Замена \(\dfrac {7}{8}\) для х.	$$\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}} + 0,37 + \left(- \textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\right)$$
Преобразование дробей в десятичные.	0,875 + 0,37 + (-0,875)
Добавить слева направо.	1,245 — 0,875
Вычесть.	0,37

(b) x + (− x) + 0,37

Подставьте \(\dfrac{7}{8}\) вместо x.	$$\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}} + \left(- \textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\right) + 0,37$$
Сначала добавьте противоположности.	0,37

В чем разница между частью (а) и частью (б)? Только порядок изменился. По коммутативному свойству сложения x + 0,37 + (− x) = x + (− x) + 0,37. Но разве часть (б) не была намного проще?

Упражнение \(\PageIndex{7}\):

Оценить каждое выражение, когда y = \(\dfrac{3}{8}\): (a) y + 0,84 + (− y) (b) y + (- у) + 0,84.

Ответить на

\(0,84\)

Ответ б

\(0,84\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\):

Оцените каждое выражение, когда f = \(\dfrac{17}{20}\): (a) f + 0,975 + (− f) (b) f + (-f) + 0,975.

Ответить на

\(0,975\)

Ответ б

\(0,975\)

Давайте сделаем еще один, на этот раз с умножением.

Пример \(\PageIndex{5}\):

Оценить каждое выражение при n = 17. (a) \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right )\) (b) \(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)

Решение

(a) \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)\)

Подставьте 17 вместо n.	$$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} \cdot \textcolor{red}{17} \right)$$
Сначала умножить в скобках.	$$\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{51}{4}\right)$$
Умножить еще раз.	$17$$

(b) \(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)

.

Подставьте 17 вместо n.	$$\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) \textcolor{red}{\cdot 17}$$
Умножить. Произведение обратных величин равно 1,	$$(1) \cdot 17$$
Умножить еще раз.	$17$$

В чем здесь разница между частью (а) и частью (б)? Только группировка поменялась. По ассоциативному свойству умножения \(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right) = \left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3 {4}\справа) п\). Тщательно выбирая, как сгруппировать факторы, мы можем облегчить работу.

Упражнение \(\PageIndex{9}\):

Оцените каждое выражение при p = 24. (a) \(\dfrac{5}{9} \left(\dfrac{9}{5} p\right )\) (b) \(\left(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{5}\right) p\)

Ответ на

\(24\)

Ответ б

\(24\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\):

Оценить каждое выражение при q = 15. (a) \(\dfrac{7}{11} \left(\dfrac{11}{7} q\right )\) (b) \(\left(\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{11}{7}\right) q\)

Ответить на

\(15\)

Ответ б

\(15\)

Авторы и авторство

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

7.2 Коммутативные и ассоциативные свойства — преалгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Использование коммутативных и ассоциативных свойств
• Вычислять выражения, используя коммутативные и ассоциативные свойства
• Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

Будь готов 7.4

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

Упрощение: 7y+2+y+13.7y+2+y+13.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.22.

Будь готов 7,5

Умножить: 23·18,23·18.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.28.

Будь готов 7.6

Найдите противоположное 15.15.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 3.3.

В следующих нескольких разделах мы рассмотрим свойства действительных чисел. Многие из этих свойств будут описывать вещи, которые вы уже знаете, но это поможет дать имена свойствам и определить их формально. Таким образом, мы сможем ссылаться на них и использовать их при решении уравнений в следующей главе.

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

Подумайте о добавлении двух чисел, например 55 и 3,3.

5+33+5885+33+588

Результаты те же. 5+3=3+55+3=3+5

Обратите внимание, порядок добавления не имеет значения. То же самое верно при умножении 55 и 3,3.

5·33·515155·33·51515

Опять же, результаты те же! 5·3=3·5,5·3=3·5. Порядок, в котором мы умножаем, не имеет значения.

Эти примеры иллюстрируют коммутативные свойства сложения и умножения.

Коммутативные свойства

Переместительное свойство сложения: если aa и bb — действительные числа, то

a+b=b+aa+b=b+a

Переместительное свойство умножения: если aa и bb — действительные числа, то

a ·b=b·aa·b=b·a

Коммутативные свойства связаны с порядком. Если изменить порядок чисел при сложении или умножении, результат будет тот же.

Пример 7,5

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующие выражения:

1. ⓐ −1+3=_____−1+3=_____

2. ⓑ 4·9=_____4·9=_____

Решение

ⓐ
	−1+3=_____−1+3=_____
Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок.	−1+3=3+(−1)−1+3=3+(−1)

ⓑ
	4·9=_____4·9=_____
Используйте свойство перестановочности умножения, чтобы изменить порядок.	4·9=9·44·9=9·4

Попробуй 7,9

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующее:

1. ⓐ −4+7=_____−4+7=_____
2. ⓑ 6·12=_____6·12=_____

Попробуй 7.

10

Используйте коммутативные свойства, чтобы переписать следующее:

1. ⓐ 14+(−2)=_____14+(−2)=_____
2. ⓑ 3(−5)=_____3(−5)=_____

Как насчет вычитания? Имеет ли значение порядок, когда мы вычитаем числа? Дает ли 7−37−3 тот же результат, что и 3−7?3−7?

7-33-74-44≠-47-33-74-44≠-4

Результаты не совпадают.7−3≠3−7Результаты не совпадают.7−3≠3−7

Поскольку изменение порядка вычитания не дало того же результата, можно сказать, что вычитание не является коммутативным.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим два числа. Является ли деление коммутативным?

12÷44÷121244123133≠1312÷44÷121244123133≠13

Результаты не совпадают. Итак, 12÷4≠4÷12Результаты не совпадают. Итак12÷4≠4÷12

Поскольку изменение порядка деления не дало того же результата, деление не является коммутативным.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Предположим, вас попросили упростить это выражение.

7+8+27+8+2

Как бы вы это сделали и каким был бы ваш ответ?

Кто-то может подумать, что 7+8=157+8=15, а затем 15+2=17,15+2=17. Другие могут начать с 8+2дела108+2макес10, а затем 7+10макес17,7+10макес17.

Оба способа дают одинаковый результат, как показано на рис. 7.3. (Помните, что круглые скобки — это группирующие символы, указывающие, какие операции следует выполнять в первую очередь.)

Рисунок 7.3

При добавлении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство сложения.

Тот же принцип применим и к умножению. Предположим, мы хотим найти значение следующего выражения:

.

5·13·35·13·3

Изменение группировки чисел дает тот же результат, что и на рис. 7.4.

Рисунок 7.4

При умножении трех чисел изменение группировки чисел не меняет результат. Это известно как ассоциативное свойство умножения.

Если мы умножим три числа, изменение группировки не повлияет на произведение.

Вы, вероятно, знаете это, но терминология может быть для вас новой. Эти примеры иллюстрируют ассоциативные свойства .

Ассоциативные свойства

Ассоциативное свойство сложения : если a,b,a,b и cc являются действительными числами, то

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+ (b+c)

Ассоциативное свойство умножения : если a,b,a,b и cc — действительные числа, то

(a·b)·c=a·(b·c)(a· б)·с=а·(б·в)

Пример 7.6

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:

1. ⓐ (3+0,6)+0,4=__________(3+0,6)+0,4=__________

2. ⓑ (−4·25)·15=__________(−4·25)·15=__________

Решение

ⓐ
	(3+0,6)+0,4=__________(3+0,6)+0,4=__________
Изменить группировку.	(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)(3+0,6)+0,4=3+(0,6+0,4)

Обратите внимание, что 0,6+0,40,6+0,4 равно 1,1, поэтому сложение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

ⓑ
	(-4·25)·15=__________(-4·25)·15=__________
Изменить группировку.	(-4·25)·15=-4·(25·15)(-4·25)·15=-4·(25·15)

Обратите внимание, что 25·1525·15 равно 6,6. Умножение будет проще, если мы сгруппируем, как показано справа.

Попробуй 7.11

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ (1+0,7)+0,3=__________(1+0,7)+0,3=__________ ⓑ (−9·8)·34=__________(−9·8)·34 =__________

Попробуй 7.12

Используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать следующее:
ⓐ (4+0,6)+0,4=__________(4+0,6)+0,4=__________ ⓑ (−2·12)·56=__________(−2·12)·56 =__________

Помимо использования ассоциативных свойств для облегчения вычислений, мы часто будем использовать их для упрощения выражений с переменными.

Пример 7.7

Используйте ассоциативное свойство умножения для упрощения: 6(3x).6(3x).

Решение

	6(3x)6(3x)
Изменить группировку.	(6·3)x(6·3)x
Умножить в скобках.	18x18x

Обратите внимание, что мы можем умножить 6·3,6·3, но мы не можем умножить 3·x3·x, не зная значения x.x.

Попробуй 7.13

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: 8(4x).8(4x).

Попробуй 7.14

Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы упростить данное выражение: −9(7y).−9(7y).

Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств

Коммутативные и ассоциативные свойства могут упростить вычисление некоторых алгебраических выражений. Поскольку при добавлении или умножении трех или более терминов порядок не имеет значения, мы можем изменить порядок и перегруппировать термины, чтобы упростить нашу работу, как показано в следующих нескольких примерах.

Пример 7,8

Оценить каждое выражение, когда x=78.x=78.

1. ⓐ х+0,37+(-х)х+0,37+(-х)
2. ⓑ х+(-х)+0,37х+(-х)+0,37

Решение

ⓐ
Замените xx на 7878.
Преобразование дробей в десятичные.
Добавить слева направо.
Вычесть.

ⓑ
Замените x на 7878.
Сначала добавьте противоположности.

В чем разница между частью ⓐ и частью ⓑ? Только порядок изменился. По коммутативному свойству сложения x+0,37+(-x)=x+(-x)+0,37.x+0,37+(-x)=x+(-x)+0,37. Но разве часть ⓑ не была намного проще?

Попробуй 7.15

Оценить каждое выражение, когда y=38:y=38:ⓐ y+0,84+(−y)y+0,84+(−y) ⓑ y+(−y)+0,84. y+(−y)+0,84.

Попробуй 7.16

Оцените каждое выражение, когда f=1720:f=1720:ⓐ f+0,975+(-f)f+0,975+(-f) ⓑ f+(-f)+0,975.f+(-f)+0,975.

Давайте сделаем еще один, на этот раз с умножением.

Пример 7,9

Оценить каждое выражение при n=17.n=17.

1. ⓐ 43(34н)43(34н)

2. ⓑ (43·34)n(43·34)n

Решение

ⓐ
Замените 17 на n.
Сначала умножить в скобках.
Умножить еще раз.

.

ⓑ
Замените 17 на n.
Умножить. Произведение обратных величин равно 1,
Умножить еще раз.

Какая разница между частью ⓐ и частью ⓑ здесь? Только группировка поменялась. По ассоциативному свойству умножения 43(34n)=(43·34)n, 43(34n)=(43·34)n. Тщательно выбирая, как сгруппировать факторы, мы можем облегчить работу.

Попробуй 7.

17

Оценить каждое выражение при p=24:p=24:ⓐ 59(95p)59(95p) ⓑ (59·95)п.(59·95)п.

Попробуй 7.18

Оценить каждое выражение при q=15:q=15:ⓐ 711(117q)711(117q) ⓑ (711·117)q(711·117)q

Упрощение выражений с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

Когда нам нужно упростить алгебраические выражения, мы часто можем упростить работу, применяя сначала коммутативное или ассоциативное свойство вместо автоматического следования порядку операций. Обратите внимание, что в примере 7.8 часть ⓑ было проще упростить, чем часть ⓐ, поскольку противоположности располагались рядом друг с другом, а их сумма равнялась 0,0. Аналогично, часть ⓑ в примере 7.9.было проще, если сгруппировать обратные величины, потому что их произведение равно 1,1. В следующих нескольких примерах мы будем использовать наше чувство числа, чтобы искать способы применения этих свойств, чтобы упростить нашу работу.

Пример 7.10

Упрощение: −84n+(−73n)+84n. −84n+(−73n)+84n.

Решение

Обратите внимание, что первое и третье слагаемые противоположны, поэтому мы можем использовать коммутативное свойство сложения, чтобы переупорядочить слагаемые.

	−84n+(−73n)+84n−84n+(−73n)+84n
Перезаказать условия.	−84n+84n+(−73n)−84n+84n+(−73n)
Добавить слева направо.	0+(-73n)0+(-73n)
Доп.	−73n−73n

Попробуй 7.19

Упрощение: −27a+(−48a)+27a.−27a+(−48a)+27a.

Попробуй 7.20

Упрощение: 39x+(-92x)+(-39x).39x+(-92x)+(-39Икс).

Теперь мы увидим, насколько полезно распознавать обратные величины. Прежде чем умножать слева направо, найдите обратные числа — их произведение равно 1,1.

Пример 7.11

Упрощение: 715·823·157,715·823·157.

Решение

Обратите внимание, что первый и третий члены являются обратными, поэтому мы можем использовать переместительное свойство умножения, чтобы изменить порядок множителей.

	715·823·157715·823·157
Перезаказать условия.	715·157·823715·157·823
Умножить слева направо.	1·8231·823
Умножить.	823823

Попробуй 7.21

Упрощение: 916·549·169,916·549·169.

Попробуй 7.22

Упрощение: 617·1125·176,617·1125·176.

В выражениях, где нам нужно сложить или вычесть три или более дроби, сначала объедините те, у которых есть общий знаменатель.

Пример 7.12

Упрощение: (513+34)+14.(513+34)+14.

Решение

Обратите внимание, что второй и третий члены имеют общий знаменатель, поэтому эта работа будет проще, если мы изменим группировку.

	(513+34)+14(513+34)+14
Сгруппируйте термины под общим знаменателем.	513+(34+14)513+(34+14)
Сначала добавьте скобки.	513+(44)513+(44)
Упростите дробь.	513+1513+1
Доп.	15131513
Преобразовать в неправильную дробь.	18131813

Попробуй 7.23

Упрощение: (715+58)+38.(715+58)+38.

Попробуй 7,24

Упрощение: (29+712)+512.(29+712)+512.

При сложении и вычитании трех или более слагаемых, содержащих десятичные дроби, ищите слагаемые, которые в совокупности дают целые числа.

Пример 7.13

Упрощение: (6,47q+9,99q)+1,01q.(6,47q+9,99q)+1,01q.

Решение

Обратите внимание, что сумма второго и третьего коэффициентов является целым числом.

	(6,47q+9,99q)+1,01q(6,47q+9,99q)+1,01q
Изменить группировку.	6,47q+(9,99q+1,01q)6,47q+(9,99q+1,01q)
Сначала добавьте скобки.	6.47q+(11.00q)6.47q+(11.00q)
Доп.	17.47q17.47q

Многие люди хорошо понимают числа, когда имеют дело с деньгами. Подумайте о добавлении 9999 центов и 11 центов. Вы понимаете, как это относится к сложению 9,99+1,01?9,99+1,01?

Попробуй 7,25

Упрощение: (5,58c+8,75c)+1,25c.(5,58c+8,75c)+1,25c.

Попробуй 7,26

Упрощение: (8,79d+3,55d)+5,45d.(8,79d+3,55d)+5,45d.

Что бы вы ни делали, всегда полезно подумать наперед. При упрощении выражения подумайте, какими будут ваши шаги. Следующий пример покажет вам, как использование ассоциативного свойства умножения может облегчить вашу работу, если вы планируете заранее.

Пример 7.14

Упростите выражение: [ 1,67(8) ] (0,25).[ 1,67(8) ] (0,25).

Решение

Обратите внимание, что умножение (8)(0,25)(8)(0,25) проще, чем умножение 1,67(8)1,67(8), потому что оно дает целое число. (Подумайте о 88 четвертаках — это составляет 2 доллара.) 2 доллара.)

	[1,67(8)](0,25)[1,67(8)](0,25)
Перегруппировка.	1,67[(8)(0,25)]1,67[(8)(0,25)]
Сначала умножьте в скобках.	1,67[2]1,67[2]
Умножить.	3.343.34

Попробуй 7,27

Упрощение: [1.17(4)](2.25).[1.17(4)](2.25).

Попробуй 7,28

Упрощение: [3,52(8)](2,5).[3,52(8)](2,5).

При упрощении выражений, содержащих переменные, мы можем использовать коммутативные и ассоциативные свойства для изменения порядка или перегруппировки терминов, как показано в следующей паре примеров.

Пример 7.15

Упрощение: 6(9x).6(9x).

Решение

	6(9х)6(9х)
Используйте ассоциативное свойство умножения для перегруппировки.	(6·9)x(6·9)x
Умножить в скобках.	54x54x

Попробуй 7,29

Упрощение: 8(3г).8(3г).

Попробуй 7.30

Упрощение: 12(5z).12(5z).

В «Языке алгебры» мы научились объединять одинаковые термины, переставляя выражение так, чтобы похожие термины были вместе. Мы упростили выражение 3x+7+4x+53x+7+4x+5, переписав его как 3x+4x+7+53x+4x+7+5, а затем упростив его до 7x+12,7x+12. Мы использовали коммутативное свойство сложения.

Пример 7.16

Упрощение: 18p+6q+(−15p)+5q.18p+6q+(−15p)+5q.

Решение

Используйте переместительное свойство сложения, чтобы изменить порядок, чтобы одинаковые термины были вместе.

	18p+6q+(-15p)+5q18p+6q+(-15p)+5q
Условия повторного заказа.	18p+(-15p)+6q+5q18p+(-15p)+6q+5q
Объедините похожие термины.	3п+11кв3п+11кв

Попробуй 7.31

Упрощение: 23r+14s+9r+(−15s).23r+14s+9r+(−15s).

Попробуй 7,32

Упрощение: 37м+21н+4м+(-15н).37м+21н+4м+(-15н).

Раздел 7.2 Упражнения

Практика делает совершенным

Использование коммутативных и ассоциативных свойств

В следующих упражнениях используйте коммутативные свойства, чтобы переписать данное выражение.

20.

8+9=___8+9=___

21.

7+6=___7+6=___

22.

8(−12)=___8(−12)=___

23.

7(−13)=___7(−13)=___

24.

(−19)(−14)=___(−19)(−14)=___

25.

(−12)(−18)=___(−12)(−18)=___

26.

−11+8=___−11+8=___

27.

−15+7=___−15+7=___

28.

х+4=___х+4=___

29.

у+1=___у+1=___

30.

−2а=___−2а=___

31.

−3м=___−3м=___

В следующих упражнениях используйте ассоциативные свойства, чтобы переписать данное выражение.

32.

(11+9)+14=___(11+9)+14=___

33.

(21+14)+9=___(21+14)+9=___

34.

(12·5)·7=___(12·5)·7=___

35.

(14·6)·9=___(14·6)·9=___

36.

(−7+9)+8=___(−7+9)+8=___

37.

(−2+6)+7=___(−2+6)+7=___

38.

(16·45)·15=___(16·45)·15=___

39.

(13·23)·18=___(13·23)·18=___

40.

3(4x)=___3(4x)=___

41.

4(7x)=___4(7x)=___

42.

(12+x)+28=___(12+x)+28=___

43.

(17+г)+33=___(17+г)+33=___

Вычисление выражений с использованием коммутативных и ассоциативных свойств

В следующих упражнениях оцените каждое выражение для заданного значения.

44.

Если y=58,y=58, оценить:

1. ⓐ у+0,49+(-у)у+0,49+(-у)
2. ⓑ у+(-у)+0,49у+(-у)+0,49

45.

Если z=78,z=78, оценить:

1. ⓐ z+0,97+(−z)z+0,97+(−z)
2. ⓑ г+(-г)+0,97г+(-г)+0,97

46.

Если c=-114,c=-114, оценить:

1. ⓐ с+3,125+(-с)с+3,125+(-с)
2. ⓑ с+(-с)+3,125с+(-с)+3,125

47.

Если d=-94,d=-94, оценить:

1. ⓐ d+2,375+(-d)d+2,375+(-d)
2. ⓑ d+(-d)+2,375d+(-d)+2,375

48.

Если j=11,j=11, оценить:

1. ⓐ 56(65j)56(65j)
2. ⓑ (56·65)к(56·65)к

49.

Если k=21,k=21, оценить:

1. ⓐ 413(134k)413(134k)
2. ⓑ (413·134)к(413·134)к

50.

Если m=-25,m=-25, оценить:

1. ⓐ −37(73м)−37(73м)
2. ⓑ (−37·73)м(−37·73)м

51.

Если n=-8,n=-8, оценить:

1. ⓐ −521(215n)−521(215n)
2. ⓑ (−521·215)n(−521·215)n

Упростите выражения с помощью коммутативных и ассоциативных свойств

В следующих упражнениях упрощайте.

52.

−45а+15+45а−45а+15+45а

53.

9л+23+(-9л)9г+23+(-9л)

54.

12+78+(-12)12+78+(-12)

55.

25+512+(-25)25+512+(-25)

56.

320·4911·203320·4911·203

57.

1318·257·18131318·257·1813

58.

712·917·247712·917·247

59.

310·1323·503310·1323·503

60.

−24·7·38−24·7·38

61.

−36·11·49−36·11·49

62.

(56+815)+715(56+815)+715

63.

(112+49)+59(112+49)+59

64.

513+34+14513+34+14

65.

815+57+27815+57+27

66.

(4,33p+1,09p)+3,91p(4,33p+1,09p)+3,91p

67.

(5,89д+2,75д)+1,25д(5,89д+2,75д)+1,25д

68.

17(0,25)(4)17(0,25)(4)

69.

36(0,2)(5)36(0,2)(5)

70.

[2,48(12)](0,5)[2,48(12)](0,5)

71.

[9,731(4)](0,75)[9,731(4)](0,75)

72.

7(4а)7(4а)

73.

9(8ж)9(8ж)

74.

−15(5м)−15(5м)

75.

−23(2n)−23(2n)

76.

12(56п)12(56п)

77.

20(35кв)20(35кв)

78.

14x+19y+25x+3y14x+19y+25x+3y

79.

15u+11v+27u+19v15u+11v+27u+19v

80.

43м+(-12н)+​(-16м)+(-9п)43м+(-12н)+​(-16м)+(-9н)

81.

−22p+17q+(−35p)+(−27q)−22p+17q+(−35p)+(−27q)

82.

38г+112х+78г+512х48г+112х+78г+512х

83.

56а+310б+16а+910б56а+310б+16а+910б

84.

6,8p+9,14q+(-4,37p)+(-0,88q)6,8p+9,14q+(-4,37p)+(-0,88q)

85.

9,6м+7,22н+(-2,19м)+(-0,65н)9,6м+7,22н+(-2,19м)+(-0,65н)

Математика на каждый день

86.

Марки Элли и Лорен нужно купить марки. Элли нужно четыре марки по 0,49$0,49 и девять марок по 0,02$0,02. Лорен нужно восемь марок по 0,49$0,49 и три марки по 0,02$0,02.

1. ⓐ Сколько будут стоить марки Элли?

2. ⓑ Сколько будут стоить марки Лорен?

3. ⓒ Какова общая стоимость марок для девочек?

4. ⓓ Сколько всего марок по 0,49 доллара по 0,49 доллара нужно девочкам? Сколько они будут стоить?

5. ⓔ Сколько всего марок по 0,02 доллара по 0,02 доллара нужно девочкам? Сколько они будут стоить?

87.

Подсчет наличных Грант подсчитывает наличные от ужина по сбору средств. В одном конверте у него двадцать три купюры по 5 долларов за 5 долларов, восемнадцать купюр по 10 долларов за 10 долларов и тридцать четыре купюры по 20 долларов за 20 долларов. В другом конверте у него четырнадцать купюр по 5 долларов за 5 долларов, девять купюр по 10 долларов за 10 долларов и двадцать семь купюр по 20 долларов за 20 долларов.