Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется? / Хабр

Недавно на Хабре появилась удивительная статья «Папа, а почему на ноль делить нельзя?», которая собрала массу не менее удивительных комментариев.

Детские вопросы обычно очень сложны («Почему небо ночью темное?», «Почему яблоки падают на землю?») и у взрослых обычно не хватает времени, чтобы их доходчиво объяснить. Да и не всегда взрослые знают ответ на эти вопросы.

Однако, вопрос о делении на ноль ни разу не относится к числу сложных вопросов, и для меня остается загадкой, почему с ним возникает столько проблем. Наверное, виной тому какие-то изъяны в методике преподавания математики в средней школе, в трудностях перехода от изучения арифметики к изучению буквенной алгебры и свойств элементарных функций.

Самые серьезные сомнения появляются, я думаю, после изучения рациональных чисел, когда для любого числа x, кроме нуля, вводится понятие обратного числа 1/x, и графика гиперболы y(x)=1/x.

Очевидно, что при делении 1 на очень маленькие числа появляются очень большие числа, и чем меньше мы берем x, тем больше становится 1/x. Почему же мы не можем сказать, что 1/x=∞ — есть некоторое число?

Алгебраическое возражение против этого состоит в следующем. Предположим, что ∞=1/x является числом. Тогда на это число должны распространяться все правила, которые имеют место быть для обычных чисел. В частности, с одной стороны должно быть верно соотношение 0⋅∞=1, а с другой стороны поскольку 0=1−1 должно быть выполнено 0⋅∞=1⋅∞−1⋅∞=0. Таким образом, имеем 1=0, а из этого уже следует, что все числа равны между собой и равны нулю. В самом деле, поскольку для любого числа x верно 1⋅x=x, то 1⋅x=0⋅x=0.

«Ну разве это не полная чушь?» — спросим себя, добравшись до этого места.

Разумеется, это полная чушь, если мы говорим об обычных числах. Но я недаром подчеркнул выше слово «правила». К ним мы вернемся чуть позже, после рассмотрения арифметического возражения против деления на ноль, и поможет нам в этом фасоль.

Вернемся в те времена, когда не было ни компьютеров, ни калькуляторов, ни логарифмических линеек, и поставим перед собой задачу разделить некоторое случайное число, например, на 5.

Для этого берем чашу с фасолью, символизирующую натуральный ряд, и высыпаем из нее какое-то количество зерен на разлинованный лист бумаги:

Тем самым, мы установили делимое на нашем бобовом калькуляторе.

Задача состоит в том, чтобы разложить эти зерна на пять рядов. Чтобы не запутаться отмечаем эти ряды, то есть, устанавливаем делитель:

Теперь раскладываем зерна из кучи на пять рядов в столбик. Это значительно дольше, чем на обычном калькуляторе, зато позволяет почувствовать всю прелесть арифметики до изобретения позиционной системы счисления.

Алгоритм завершается, когда мы получаем некоторое прямоугольное число и (возможно) остаток:

В данном примере осталось 2 зерна, а рядов по 5 зерен образовалось 18. Получается, что случайное число было 18⋅5+2=92.

Ясно, что мы можем выполнить этот алгоритм для любого натурального делимого и любого натурального делителя, отличного от нуля; если же делитель равен 0, то этот алгоритм выполнить попросту невозможно.

«Подождите!» — скажет внимательный читатель. — «В рассмотренном примере мы получили остаток 2, что с ним делать?»

Это, на самом деле, очень важное замечание. Вообще говоря, мы не можем делить фасолины, не испортив наш бобовый калькулятор — мало того, что разделить 2 фасолины на 5 одинаковых частей проблематично, даже если мы их раздробим подобающим образом, мы уже не сможем их собрать.

Поэтому достаточно долго люди старались обходиться без дробей. Например, в анонимной арабской рукописи XII века описана следующая задача: «разделить 100 фунтов между 11 человеками». Поскольку 100=11⋅9+1, средневековый математик предлагает сначала раздать каждому по 9 фунтов, а затем обменять оставшийся фунт на яйца, которых, как оказывается по курсу обмена, получается ровно 91. Но 91=11⋅8+3, поэтому арабский ученый предлагает раздать каждому по 8 яиц, а три оставшихся яйца отдать тому, кто производит раздел, или же обменять на соль к яйцам.

Говоря современным математическим языком, деление проводилось в полукольце натуральных чисел. Впрочем, с таким же успехом, используя красную и белую фасоль, мы могли бы определить деление с остатком и в кольце целых чисел — в изложенном алгоритме появились бы дополнительные правила для выбора цветов используемых для вычислений зерен фасоли, но точно так же остались бы бессмысленными операции вида x/0 и 5/2.

Очевидно, что для того, чтобы придать символу 5/2 конкретный смысл, нужно изменить правила игры, и перейти к полю рациональных дробей, пополнив множество целых чисел всевозможными выражениями m/n, где m — целое, а n — натуральное.

Важно заметить, что сделать это можно не единственным способом, однако в классической арифметике рассматривается такое пополнение, в котором символ 1/n означает долю от деления 1 на n, т. е. такое число, для которого верно выражение n⋅1/n=1; при чем доли имеют смысл не при подсчете штучных предметов (например, зерен фасоли), а при измерении величин, которые предполагаются непрерывными (или хотя бы неограниченно делимыми) — длин отрезков, площадей фигур и т. д.

В поле рациональных дробей уже нет смысла рассматривать неполное частное и остатки, так как частное от любого ненулевого делителя является какой-то рациональной дробью. Более того, как и в случае с натуральными числами, мы можем использовать для деления фасоль без изменения алгоритма.

В самом деле, пусть требуется разделить рациональное число α=p/q на β=r/s. Это равносильно выполнению следующих действий:

α:β=p/q:r/s=p⋅s/q⋅r

и задача при любых рациональных α и β свелась к уже известной процедуре деления целых чисел. Это еще раз показывает, что деление на ноль не имеет никакого арифметического смысла.

«Получается, делить на ноль нельзя, даже если очень хочется?» — увы, ответ на этот вопрос положительный: мы не можем определить операцию деления на ноль исходя их естественных потребностей счета и измерений. Правда, есть две лазейки.

Первая: вместо «обычных» чисел (т.е. кольца натуральных и поля рациональных, а также поля действительных чисел, о котором я, кстати, до сих пор не сказал ни слова и расскажу как-нибудь в другой раз) рассмотреть вырожденный случай — тривиальное кольцо {0}, и положить по определению 0/0=0. В этом случае, когда нам говорят: «Все числа равны между собой и равны нулю!» — мы можем сказать невозмутимым тоном: «Ну и что? Это всегда было так».

Вторая: отказаться от некоторых привычных правил умножения. В частности, от аксиомы 0⋅x=0. Говорят, что это возможно (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory). Разумеется, этот вариант гораздо интереснее первого, но и он представляет собой такое изменение правил игры, которое сразу выводит нас за рамки классической арифметики.

В заключение этой заметки хочу привести список литературы для тех, кто заинтересовался числовыми системами:

— И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.

— Е. Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша, хотя не так подробна, как книга И.В. Арнольда.

— С. Феферман «Числовые системы» — классическая монография, местами достаточно сложная; в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.

— А. А. Кириллов «Что такое число?» (1993) — небольшая брошюра, рассчитанная на подготовленного читателя.

— Е. Б. Дынкин, В. А. Успенский «Математические беседы» — популярная книга, рассчитанная на школьников. Содержит массу информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа.

Почему нельзя делить на ноль: простые объяснения

Опубликовано: 17 сентября 2020, 03:05

Вопросы школьников: Freepick

Почему нельзя делить на ноль? Кто и почему запрещает нам эту математическую операцию? Сразу отметим, что деление на ноль в рамках школьной программы определяется как операция, которую запрещено совершать, а вот высшая математика смотрит на этот вопрос иначе. Тем не менее школьники обязательно зададут вопрос, почему на ноль делить нельзя. Прочтите статью и будьте готовы простыми словами объяснить сложное явление.

Что будет, если разделить на ноль: индийский ответ

Ноль был придуман в Индии, равно как и отрицательные числа. Европейцам такие понятия даже в голову не приходили. А вот индийские философы любили задуматься о бесконечном «ничто» или о математическом выражении долгов. Так и возникла дилемма: делить на ноль или нет. Есть простые объяснения этого вопроса.

Почему нельзя делить на ноль: ответы: Nur.kz

Около 1400 лет назад в Индии жил и работал некто Брахмагупта, который не только сформулировал этот вопрос, но и нашел оригинальное объяснение. Логика ученого была такова:

1. Берем лимон и последовательно делим его на части.
2. В какой-то момент дольки станут совсем крохотными.
3. Теоретически последняя стадия такого деления должна равняться нулю.

Если при делении лимона получается не две части, а число, которое стремится к бесконечности, то каков будет размер каждой дольки? Наверное, столкнемся с бесконечным числом «нулевых долек». В реальной жизни результат такой нарезки — лужица лимонного сока с бессчетным количеством ломтиков.

То есть если число делить на бесконечность, то получится ноль и наоборот.

На ноль делить нельзя: нелогично

Рассмотрим простой пример:

• а × 0 = 0;
• b × 0 = 0;
• значит: а × 0 = b × 0;
• отсюда: а = b.

Таким образом, любое число оказывается равным любому числу, а это невозможно.

Делением называют действие, обратное по отношению к умножению. Это означает, что при делении 6 на 3 необходимо отыскать число, которое в случае умножения на 3 даст 6.

Следуя этой логике, при делении 6 на 0, нужно выбрать число, умножение на 0 которого даст 6. То есть а × 0 = 6? Но а × 0 = 0! Снова неувязка. Сколько нам необходимо нолей, чтобы вышло 6? Неужели бесконечно много? Но и сложение такого количества нолей даст только ноль.

Отсюда и еще один вывод о том, что если ноль делить на ноль, выйдет неопределенный итог. В уравнении 0 × а = 0 в качестве составляющей «а» может оказаться все что угодно. В бесчисленном множестве решений смысла нет.

Можно ли делить ноль: жизненное объяснение

Представьте, что необходимо подсчитать время, за которое пройдете 10 километров. Известно уравнение, в котором для поиска длины пути скорость умножают на время. Чтобы найти время в нашем случае, будем путь делить на показатель скорости. Но что если наша скорость нулевая?

Мы не двигаемся, поэтому идти заветных 10 км нам предстоит вечность. Время при таких условиях попросту перейдет в бесконечную величину, которую подсчитать не выйдет.

Делить на ноль можно, но бессмысленно

Алгебра и деление на ноль: Freepick

Что собой представляет деление в алгебре:

1. Например, 10 : 2 равноценно вопросу, сколько двоек помещается в десятке. Ответ — пять двоек. То есть 10 : 2 = 5.
2. А если вопрос: 10 : 0 = ? Сколько нулей в десятке? Да сколько угодно. Бесконечность.

Давайте проделаем ту же операцию с вещами. Например: если разложить 10 яблок по 2 штуки в коробки, то сколько необходимо коробок? Ответ — 5 коробок. Но в случае, если раскладывать 10 яблок по ноль единиц в коробки, то сколько коробок понадобится? Получается, что в коробках необходимости попросту нет, потому что класть в них нечего.

Деление на ноль: самое простое объяснение

Посчитаем: 12 : 2 = 6, 12 : 4 = 3. Чем больше число знаменателя, тем меньше получается результат. Наоборот это правило тоже работает: для маленьких чисел результат больше: 12 : 1,5 = 8, 12 : 1 = 12.

Что получится с очень малыми числами? Например, с 0,0000001 выйдет 100000000. При уменьшении знаменателя до нуля число должно получиться огромнейшее, а точнее — бесконечность.

Таким образом, на ноль делить нельзя из-за отсутствия материального выражения бесконечности. Итог такого действия смысла не имеет. Что касается высшей математики, то, кроме ноля, она оперирует также понятием о бесконечно малом и расширяет привычные горизонты вычислений.

Итак, почему нельзя делить на ноль? В рамках алгебры такая операция не определенная, не логичная и абстрактная. Если хотите детальнее разобраться в этом вопросе, то придется прибегнуть к высшей математике. Чтобы разобраться с позиции этой дисциплины с указанным алгебраическим правилом, нужно познакомиться с дельта-функцией Дирака и прочими сложными понятиями.

А как думаете вы, почему нельзя делить на ноль?

Оригинал статьи: https://www.nur.kz/family/school/1874451-pocemu-nelza-delit-na-nol-prostye-obasnenia/

Почему нельзя делить на ноль? – Математика с плохими рисунками

Часть 1: Деление на меньшие и меньшие числа
от учителя математики средней школы 

Предположим, у вас есть пицца. Вкусный пирог из Нью-Хейвена, приготовленный на углях, или горячее чикагское глубокое блюдо, или даже один из тех органических пирогов, приготовленных вручную в Сан-Франциско, из-за которых сердцевины артишоков каким-то образом выглядят так, будто они принадлежат пицце. И, щедрая душа, ты решил поделиться.

Сколько человек вы сможете накормить, если каждый получит половину пиццы (большая порция)?

Ну, это 1 пиццы ÷ ½ пицц на человека = 2 человек.

А сколько вы сможете накормить, если каждый получит 1/10 часть пиццы (сырная закуска)?

1 пицц ÷ 0,1 пицц на человека = 10 человек.

А сколько, если каждый получит 1/100 часть пиццы (кусочек размером с укус)?

1 пицца ÷ 0,01 пиццы на человека = 100 человек.

А скольких можно накормить, если каждому достанется 1/1000 пиццы (крошка с каплей соуса)?

1 пицц ÷ 0,001 пицц на человека = 1000 человек.

Чем меньший кусок вы дадите каждому человеку, тем больше людей вы сможете накормить. Или, более абстрактно: чем меньше число, на которое вы делите, тем больше результат.

Теперь сделайте еще один шаг вперед: что, если каждый человек получит 0% пиццы?

1 пицца ÷ 0 пиццы на человека = ???

Сколько людей вы можете накормить? Ну, ограничений нет, потому что на самом деле вы их ничем не кормите. Если семь миллиардов человек на Земле появятся у вашей двери, прося свою порцию пиццы, вы можете сказать: «Нет проблем!» потому что «их доля пиццы» вообще ничего не значит. Добавьте еще семь миллиардов, и вы скажете то же самое. Сколько человек вы можете накормить? Нет ответа.

При делении числа на 0 однозначного ответа нет. Разделить — разбить что-то на стопки определенного размера. И разбивать что-то на кучи нулевого размера просто не имеет смысла.

Часть 2: «Обратное к умножению»
Кандидат математических наук

Пока она мыла посуду, я спросил свою невесту, почему нельзя делить на ноль. Ее неожиданный ответ был более кратким, чем мой. (В свою защиту скажу, что я делаю посуду чище, чем она.)

Когда вы делите на число, скажем, на 4, вы спрашиваете: «Сколько раз 4 может войти в число?» Итак:

Но когда вы делите на 0, вы спрашиваете: «Сколько раз 0 может входить в число?» И неважно, сколько нулей вы добавите, 0 + 0 + 0 + 0… никогда не будет равно 12. Так что 12 ÷ 0 не определено.

Часть 3: «Обратное умножение» Redux
специалистом по математике начального уровня

Затем я проверил оба этих объяснения моей сестры Дженны, специалиста по математике K-8. Ей понравился ответ Тарин, и она поставила себе даже 9.0008 больше краткая версия.

Деление обратное умножению. Итак, когда вы делите 12 на 4, вы спрашиваете: «Сколько умножить на 4 даст вам 12?»

Таким образом, деление на ноль похоже на вопрос: «Сколько раз 0 дает 12?» Ответа, очевидно, нет, так как любое число, кратное 0, будет равно 0.

Часть 4. Связываем все вместе
профессором (мой папа)

Исследования), я попросил его объяснить, почему нельзя делить на ноль. Он дал объяснение, очень похожее на мое, а затем очень хорошо резюмировал относительные достоинства двух подходов.

Объяснение Тарин/Дженны, сказал он, переходит к делу и удовлетворит более широкую (и более молодую) аудиторию. Он начинается со слов: «Ну, вот что такое деление», а затем показывает, что эта концепция не имеет смысла применительно к нулю.

Объяснение Бена/Джеймса, между тем, ценно, потому что оно не переходит к сути. Он связывает вопрос «Можно ли делить на ноль?» к другим идеям (пределам и асимптотическому поведению) и приближается к концептуальной сути проблемы.

В общем, вот оно. Четыре профессиональных математика, два основных объяснения и еще один блог, добавляющий свой голос к шуму ответов на эту тему.

Нравится:

Нравится Загрузка. ..

Опубликовано 7 мая 2013 г. 21 февраля 2014 г.

Можно ли делить на ноль?

МАТЕМАТИКА — Числа

Задумывались ли вы когда-нибудь…

• Умеете ли вы делить на ноль?
• Почему любое число делится на ноль неопределенно?
• Сможем ли мы когда-нибудь делить на ноль?

Теги:

Просмотреть все теги

• Математика,
• номера,
• Зеро,
• отделение,
• Частное,
• Делитель,
• Дивиденд,
• Бесконечность,
• Не определено

Сегодняшнее чудо дня было вдохновлено Хантером. Hunter Wonders , “ Почему компьютеры и калькуляторы не могут определить, что такое ноль, нырнув на ноль. «Спасибо, что ДУМАЕТЕ вместе с нами, Охотник!

Если вы уже некоторое время ИНТЕРЕСУЕТЕСЬ с нами, возможно, вы уже знаете кое-что о математике. Возможно, вы читали о бесконечности или числе ноль. Возможно, вы даже узнали о разделении. Вы поверите, что сегодняшнее Чудо дня объединяет все эти темы?

Вы, наверное, учили в школе, что математика подчиняется определенным правилам. Умножение двух отрицательных чисел всегда будет положительным. Разделив любое число само на себя, всегда получится единица. Любое число, умноженное на ноль, равно нулю.

Правило, о котором мы сегодня узнаем, может звучать как противоположность предыдущему: нельзя делить любое число на ноль.

Почему бы и нет? Как и многие математические концепции, эту иногда легче понять на реальном примере. Представьте, что вы и трое членов семьи наслаждаетесь вкусной пиццей на ужин. В пицце восемь кусков, а вас четверо. Сколько кусков пиццы может съесть каждый из вас?

Если вы сказали два, вы правы! Вот как работает деление — все дело в разбиении чисел на равные группы. Что, если бы пиццу делили только двое? Восемь ломтиков, разделенных на два. . . каждый из вас получит по четыре ломтика. А если бы вы были единственным человеком за ужином? Поздравляем, все восемь ломтиков ваши!

Теперь представьте, что вы делите восемь кусков пиццы между нолью людей. Сколько штук достанется каждому? Если вы в замешательстве чешете затылок, вы не одиноки. Невозможно разделить пиццу на ноль людей. Невозможно разделить эти восемь ломтиков на нулевые равные группы. Это просто не имеет смысла!

Как и в этом примере, в математике нельзя разделить число на ноль. Или, по крайней мере, способа сделать это в настоящее время не существует. Математики всегда пытаются найти ответы на интересные математические задачи, и многие люди пытались понять, как делить на ноль. Пока ни один из них не увенчался успехом.

Вместо этого любое число, деленное на ноль, не определено. На самом деле, даже ноль, деленный на ноль, не определен! Это просто означает, что у нас еще нет ответа на проблему. В конце концов, как бы вы разделили ноль на ноль равных групп?

Какое отношение к этому имеет понятие бесконечности? Когда вы делите число (делимое) на другие меньшие и меньшие числа (делители), ответ (частное) становится все больше. Посмотрите на этот пример:

1 ÷ 1 = 1. 

1 ÷ 0,1 = 10. 

1 ÷ 0,01 = 100. 

1 ÷ 0,000001 = 1 000 000.

Другими словами, по мере приближения делителя к нулю частное стремится к бесконечности. Смогут ли когда-нибудь математики делить на ноль? Возможно! Однако на данный момент это всегда будет приводить к неопределенному ответу.

Common Core, Научные стандарты следующего поколения и Национальный совет по социальным исследованиям.

»> Стандарты: CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.C.5, CCRA.R.4, CCRA.L.3, CCRA.L.6, CCRA.R.2, CCRA.R.10CCRA.R.1, CCRA .SL.1, CCRA.SL.4 CCRA.SL.2, CCRA.W.4, CCRA.L.2, CCRA.SL.2

Интересно, что дальше?

Завтрашнее чудо дня — это настоящее удовольствие, и мы обещаем, что это не трюк!

Попробуйте

Продолжайте учиться с помощью друга или члена семьи, а также с помощью действий, указанных ниже.

• Хотите узнать больше о концепции и истории нуля? Проверьте эти факты от Киддла. А что вас заинтриговало число ноль? Вас удивляет, что в далеком прошлом некоторые страны и культуры не знали о нуле? Поделитесь некоторыми из самых интересных фактов с другом или членом семьи.
• ВЫ ИНТЕРЕСУЕТЕСЬ, зачем нужно было изобретать ноль? Кто это придумал? Сегодня нам это может показаться очевидным, но изобретение нуля было гигантским скачком в математике. Посмотрите это видео из Музея науки и напишите краткое описание того, что вы узнали. Поделитесь своим письменным резюме с другом или членом семьи.
• Неопределенные номера? Бесконечность? Легко понять, почему попытка деления на ноль может привести к путанице. Сама концепция нуля может быть загадочной, поэтому вот несколько практических занятий, которые помогут вам лучше познакомиться с этой идеей. Обязательно попробуйте эти занятия с другом или членом семьи.

Wonder Sources

https://www.mathsisfun.com/numbers/dividing-by-zero.html (по состоянию на 22 сентября 2021 г.)

https://www.khanacademy.org/math/алгебра/x2f8bb11595b61c86 :foundation-алгебра/x2f8bb11595b61c86:division-zero/v/why-dividing-by-zero-is-undefined (по состоянию на 22 сентября 2021 г.)

http://ee.usc.edu/stochastic-nets/docs/divide -by-zero.pdf (по состоянию на 22 сентября 2021 г.)

https://mathwithbaddrawings.com/2013/05/07/why-cant-you-divide-by-zero/ (по состоянию на 22 сентября 2021 г.)

https://learnersdictionary.com/ (по состоянию на 22 сентября 2021 г. )

Вы поняли?

Проверьте свои знания

Wonder Contributors

Благодарим:

Ана, Амен и Брейден
за ответы на вопросы по сегодняшней теме Wonder!

Удивляйтесь вместе с нами!

Что вас интересует?

Wonder Words

• правила
• напротив
• сплит
• невозможно
• путаница
• поздравления
• частное
• делимое
• делитель

Примите участие в конкурсе Wonder Word

Оцените это чудо

Поделись этим чудом

×

ПОЛУЧАЙТЕ СВОЕ ЧУДО ЕЖЕДНЕВНО

Подпишитесь на Wonderopolis и получайте Чудо дня® по электронной почте или SMS

Присоединяйтесь к Buzz

Не пропустите наши специальные предложения, подарки и рекламные акции.