На практике расчеты в уме не только полезны, когда вычислительные инструменты недоступны, но также могут быть полезны в ситуациях, когда выгоднее выполнять расчеты быстро. Когда метод намного быстрее, чем обычные методы (как учат в школе), его можно назвать сокращенным. Хотя они используются для помощи или ускорения утомительных вычислений, многие также практикуют или придумывают такие трюки, чтобы произвести впечатление на своих сверстников своими быстрыми вычислительными навыками. Почти все такие методы используют тот факт, что мы используем систему с основанием 10.

Существует множество различных методов выполнения вычислений в уме, многие из которых относятся к определенному типу задач.

Содержание

• 1 Когнитивная психология и расчет в уме
• 2 теста на вменяемость
  • 2.1 Отливка девяток
  • 2.2 Оценка
  • 2.3 Факторы
• 3 Расчет разницы: a − b
  • 3.1 Прямой расчет
  • 3.2 Косвенный расчет
  • 3.3 Метод упреждающего заимствования
• 4 Расчет продуктов: a × b
  • 4.1 Умножение на 2
  • 4.
    2 Умножение на 5
  • 4.3 Умножение на 9
    • 4.3.1 Руками: 1-10 умножить на 9
  • 4.4 Умножение на 10 (и степени десяти)
  • 4.5 Умножение на 11
  • 4.6 Умножение двух двузначных чисел от 11 до 19
  • 4.7 Умножение любых двузначных чисел
  • 4.8 Использование рук: 6-10 умножить на другое число 6-10
  • 4.9 Использование квадратных чисел
  • 4.10 Возведение чисел в квадрат
    • 4.10.1 Возведение в квадрат чисел около 50
    • 4.10.2 Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
• 5 Поиск корней
  • 5.1 Аппроксимация квадратных корней
  • 5.2 Извлечение корней совершенных сил
    • 5.2.1 Извлечение кубических корней
• 6 Прочие системы
• 7 Кубок мира по умственным вычислениям
• 8 См. также
• 9 Внешние ссылки

Когнитивная психология и расчеты в уме[]

Тесты на вменяемость[]

Основная статья: Тест на вменяемость

Быстрый тест для дальнейшего повышения уверенности в том, что правильный ответ на вычисление найден.

Выбрасывание девяток[]

Основная статья: Выбрасывание девяток

1. Суммировать цифры двух операндов по отдельности, любые 9с можно считать как 0
2. Повторяйте первый шаг, пока оба операнда не выродятся в одну цифру
3. Суммируйте цифры предполагаемого ответа, как в первом шаге
4. Примените ту же операцию к двум вырожденным операндам, а затем примените ту же процедуру суммирования
5. Если результат шага 4 не равен результату шага 3, ответ неверный

Пример

• 632 умножить на 7 равно 4424

1. 6 + 3 + 2 = 9 + 2 —> 0 + 2 = 2 , 7 = 7
2. Одна цифра уже
3. 4 + 4 + 2 + 4 = 14, 1 + 4 = 5
4. 2 × 7 = 14, 1 + 4 = 5
5. 5 = 5, так что теперь мы можем с уверенностью сказать, что 632 × 7 = 4424

Estimation[]

При проверке вычислений в уме полезно думать о них с точки зрения масштабирования. Например, при работе с большими числами, скажем, 1531 × 19625, следует учитывать количество цифр, ожидаемых для конечного значения. Полезным способом проверки является оценка. 1531 — это около 1500, а 19625 составляет около 20000, поэтому результат около 20000X1500 (30000000) будет хорошей оценкой. Поэтому, если в ответе слишком много цифр, вы знаете, что допустили ошибку.

Factors[]

При умножении полезно помнить, что множители операндов остаются. Например, сказать, что 14 × 15 равно 211, было бы неразумно. Поскольку 15 кратно 5, то же самое должно быть и в произведении. Правильный ответ 210.

Расчет разницы:

Прямой расчет[]

Когда все цифры

Косвенный расчет[]

Когда описанная выше ситуация неприменима, иногда задачу можно изменить:

• Если только одна цифра в b больше соответствующей ей цифры в a , уменьшайте ошибочную цифру в b до тех пор, пока она не станет равной соответствующей цифре в a . Затем вычтите еще сумму b , на которую было уменьшено a . Например, чтобы вычислить 872 — 92, превратите задачу в 872 — 72 = 800. Затем вычтите 20 из 800: 780. , может быть проще найти, сколько нужно добавить к b , чтобы получить a . Например, чтобы вычислить 8192 − 732, мы можем прибавить 8 к 732 (получится 740), затем прибавить 60 (чтобы получить 800), затем 200 (чтобы получить 1000). Затем добавьте 192, чтобы получить 1192, и, наконец, добавьте 7000, чтобы получить 8192. Наш окончательный ответ: 7460.

Метод упреждающего заимствования[]

если все, что требуется, это прочитать результат вслух, пользователю потребуется немного памяти даже для вычитания чисел произвольного размера.

Обрабатывается одно место за раз, слева направо.

 Пример:
          4075
        - 1844 г.
        ------
Тысячи: 4-1=3, посмотрите направо, 075<844, нужно взять взаймы.
           3-1=2, скажи "Две тысячи"
 Сотни: 0-8=отрицательные числа здесь не допускаются,
           10-8=2, 75>44, так что брать не надо,
           скажи "двести"
     Десятки: 7-4=3, 5>4, так что не нужно брать взаймы, скажем «тридцать». 
     Единицы: 5-4=1, скажите "один"
 

Счетные продукты:

Многие из этих методов работают благодаря свойству распределения.

Умножение на 2[]

В этом случае произведение можно по существу вычислить поразрядно. Это не совсем так, потому что остаток может быть, но если остаток есть, то он всегда равен 1, что значительно упрощает дело. Тем не менее, произведение должно быть рассчитано справа налево: 2 × 167 равно 4 с остатком, затем 2 (соответственно 3) с другим остатком, затем 2 (соответственно 3). Таким образом, мы получаем 334.

Умножение на 5[]

Чтобы умножить число на 5, сначала умножьте это число на 10, а затем разделите его на 2. Следующий алгоритм позволяет быстро получить этот результат: желаемый номер. Затем, начиная с крайней левой цифры, разделите на 2 и добавьте каждый результат в соответствующем порядке, чтобы сформировать новое число; дробные ответы следует округлить до ближайшего целого числа в меньшую сторону. Например, если вы намеревались умножить 176 на 5, вы должны сначала добавить ноль к 176, чтобы получить 1760. Затем разделите 1 на 2, чтобы получить 0,5, округленное до нуля. Разделите 7 на 2, чтобы получить 3,5, округлив до 3. Разделите 6 на 2, чтобы получить 3. Ноль, разделенный на два, будет просто нулем. В результате получается число 0330. Последний шаг включает добавление 5 к числу, которое следует за любой одиночной цифрой в этом новом числе, которое было нечетным до деления на два; это лучше понять на примере. В исходном числе 176 на первом месте стоит 1, что нечетно. Поэтому мы добавляем 5 к числительному после первого разряда в нашем вновь построенном числе (0330), которое равно 3; 3+5=8. Число на втором месте числа 176, 7, тоже нечетное. Поэтому число-разряд после соответствующего числительного в построенном числе (0830) также увеличивается на 5; 3+5=8. Числительное в третьем разряде 176, 6, четное, поэтому итоговое число, ноль, в нашем ответе не изменено. Этот окончательный ответ — 0880. Крайний левый ноль можно опустить, оставив 880. Таким образом, 176 умножить на 5 равно 880.

Умножение на 9[]

Поскольку 9 = 10 − 1, чтобы умножить на 9, умножьте число на 10, а затем вычтите исходное число из этого результата. Например, 9 × 27 = 270 — 27 = 243.

Использование рук: 1-10 умножить на 9[]

Держите руки перед собой ладонями к себе. Присвойте большому пальцу левой руки значение 1, указательному пальцу левой руки — 2 и так далее до большого пальца правой руки — десять. Каждый | символизирует поднятый палец, а -согнутый палец.

 1 2 3 4 5 6 7 8 910
| | | | | | | | | |
левая рука правая рука
 

Согните вниз палец, который представляет число, которое нужно умножить на девять.

Пример: 6 &times 9 будет

 | | | | | - | | | |
 

Правый мизинец опущен. Возьмите количество пальцев, все еще поднятых слева от согнутого пальца, и добавьте его к количеству пальцев справа.

Пример: Пять пальцев слева от правого мизинца и четыре справа от правого мизинца. Итак, 6 &times 9= 54.

 5 4
| | | | | - | | | |
 

Умножение на 10 (и степени десяти)[]

Чтобы умножить целое число на 10, просто добавьте дополнительный 0 в конце числа. Чтобы умножить нецелое число на 10, переместите запятую вправо на одну цифру.

В общем случае для десятичной системы счисления, чтобы умножить на 10 ⁿ (где n — целое число), переместите десятичную точку n цифр вправо. Если n отрицательно, переместите десятичную цифру |н| цифр влево.

Умножение на 11[]

Для однозначных чисел просто умножьте число на десятки, например: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, вплоть до 9 × 11 = 99.

Произведение любого большего ненулевого целого числа можно найти путем добавления к каждой его цифре справа налево по две за раз.

Сначала возьмите цифру единиц и скопируйте ее во временный результат. Затем, начиная с единицы множителя, прибавьте каждую цифру к цифре слева от нее. Затем каждая сумма добавляется слева от результата перед всеми остальными. Если сумма чисел равна 10 или выше, возьмите цифру десятков, которая всегда будет равна 1, и перенесите ее на следующее сложение. Наконец, скопируйте крайнюю левую (наиболее значимую) цифру множителя в начало результата, добавив при необходимости переносимую единицу, чтобы получить конечный продукт.

В случае отрицательного числа 11, множитель или оба применяют знак к конечному продукту, как обычное умножение двух чисел.

Пошаговый пример 759 × 11:

1. Единица множителя, 9, копируется во временный результат.
   • результат: 9
2. Добавьте 5 + 9 = 14, так что 4 помещается слева от результата и переносится на 1.
   • результат: 49
3. Аналогичным образом прибавьте 7 + 5 = 12, затем прибавьте переносимую 1, чтобы получить 13. Поместите 3 в результат и перенесите 1.
   • результат: 349
4. Добавьте переносимую 1 к старшему разряду множителя, 7+1=8, и скопируйте результат, чтобы закончить.
   • Конечный продукт 759 × 11: 8349

Другие примеры:

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • Обратите внимание на обработку 9+1 как старшего разряда.
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

Другой способ — просто умножить число на 10. , и добавьте исходное число к результату.

Например:

17 × 11

17 × 10 = 170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Умножение двух двузначных чисел от 11 до 19[]

Чтобы легко умножить двузначные числа от 11 до 19, воспользуйтесь следующим простым алгоритмом:

 1а х 1б
100 + 10 * (а+б) + а*б
что можно представить как:
1
хх
 гг
например:
17*16
1
13
 42
272
 

Умножение любых двузначных чисел[]

Чтобы легко перемножить любые двузначные числа, воспользуйтесь следующим простым алгоритмом:

аб * кд
100*(а*в) + 10*(б*в) + 10*(а*г)+ б*г
например
23
47
 800
 120
 140
  21
1081
 

Руками: 6-10 умножить на другое число 6-10[]

Этот метод позволяет умножить число от 6 до 10 на другое число от 6 до 10.

Присвоить 6 мизинцу, 7 — безымянному пальцу, 8 — среднему пальцу, 9на указательный палец и 10 на большой палец. Коснитесь нужных номеров вместе. Точка соприкосновения и ниже считается разделом «ниже», а все, что выше двух соприкасающихся пальцев, является частью раздела «выше». Например, 6 × 9 будет выглядеть так:

 -10--
      --9--
      --8-- (выше)
-10-- --7--
=====================
--9-- --6-- левый указательный палец и правый мизинец соприкасаются
--8-- (ниже)
--7--
--6--
 (9 × 6)
 

 -10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--
 

Вот два примера:

• 9 × 6

выше:

 -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--
 

ниже:

 --9-- --6--
--8--
--7--
--6--
 

— 5 пальцев ниже составляют 5 десятков — 4 пальца сверху вправо — 1 палец вверху влево

результат: 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54

• 6 × 8

выше:

 -10--
--9--
--8-- -10--
--7-- --9--
 

ниже:

 --6-- --8--
      --7--
      --6--
     
 

— 4 пальца ниже составляют 4 десятка — 2 пальца сверху вправо — 4 пальца вверху влево

Результат: 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48

Как это работает: каждый палец представляет число (от 6 до 10). Соедините пальцы, представляющие числа, которые вы хотите умножить ( x и y ). Пальцы ниже дают количество десятков, то есть ( x  − 5) + ( y  − 5). Цифры в левом верхнем углу дают (10 —  x ), а цифры в правом верхнем углу дают (10 —  y ), что приводит к [( x  — 5) + ( y  — 5)] × 10 + (10 —  x ) × (10 —  y ) = x × y .

Использование квадратных чисел[]

Произведения малых чисел можно вычислить, используя квадраты целых чисел; например, чтобы вычислить 13 × 17, вы можете заметить, что 15 — это среднее значение двух множителей, и думать об этом как (15 − 2) × (15 + 2), т. е. 15 ²  − 2 ² . Зная, что 15 ² равно 225, а 2 ² равно 4, простое вычитание показывает, что 225 − 4 = 221, что и является желаемым произведением.

Этот метод требует знания наизусть определенного количества квадратов:

• 1 ² = 1
• 2 ² = 4
• 3 ² = 9
• 4 ² = 16
• 5 ² = 25
• 6 ² = 36
• 7 ² = 49
• 8 ² = 64
• 9 ² = 81
• 10 ² = 100
• 11 ² = 121
• 12 ² = 144
• 13 ² = 169
• 14 ² = 196
• 15 ² = 225
• 16 ² = 256
• 17 ² = 289
• 18 ² = 324
• 19 ² = 361

Возведение чисел в квадрат[]

Любое квадратное число можно легко вычислить, сложив предыдущее квадратное число, его положительный квадратный корень и число, квадрат которого вы хотите узнать. Например, квадрат 13 равен 144 + 12 + 13 = 169..

Возведение в квадрат числа около 50[]

Предположим, нам нужно возвести в квадрат число x около 50. Это число может быть выражено как x = 50- n , и, следовательно, ответ x ² есть (50− n ) ² , что равно 50 ² − 100n + n ² . Мы знаем, что 50 ² равно 2500. Итак, мы вычитаем 100 n из 2500, а затем прибавляем n ² . Например, скажем, мы хотим возвести в квадрат 48, что равно 50 − 2. Мы вычитаем 200 из 2500 и прибавляем 4, и получаем 9.0047 x ² = 2304. Для чисел больше 50 ( x = 50+ n ) прибавьте n сто раз вместо вычитания.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5[]

• 1. Возьмем цифры, предшествующие пятерке — abc5 , где a, b, и c — цифры 90 035
  2. Умножить это число само на себя плюс один — abc × (abc + 1)
  3. Возьмите приведенный выше результат и прикрепите 25 92 + 100x + 25

Нахождение корней[]

Приближение квадратных корней[]

Допустим, мы хотим найти квадратный корень из неквадратного числа. Используя формулу ( a  —  b ) ² = a ²  — 2 ab  +  b ² . Если вы выберете достаточно маленькое значение «b», вы сможете получить точную оценку. Например, если нас попросят найти квадратный корень из 15, мы могли бы начать со знания, что корень из 16 равен 4. Теперь нам нужно «b», чтобы подставить в уравнение (4 —  b ) ² = 15 или около того. Так как (4 —  b ) ² = 16 — 2 × 4 ×  b грубо, мы получаем b = (16 — 15) ÷ (2 × 4), или примерно 0,125. Таким образом, оценка квадратного корня равна 3,875. Если вам нужно более точное значение, перезапустите с оценкой около 3,9. 3.9) ² мы можем вычислить как 15,21, поэтому мы делаем то же самое, что и раньше; но в итоге получим (3,9 —  b ) ² = 15, получив b = (15 — 3,9 ² ) ÷ (2 × 3,9) = (15 − 15,21) ÷ (7,8) = примерно -0,027. Квадратный корень из 15 теперь оценивается как 3,9 — 0,027 или 3,873. (реальный квадратный корень из 15 равен 3,8729833…)

Извлечение корней совершенных сил[]

Это удивительно простая задача для многих высших сил, но не очень полезная, за исключением возможности произвести впечатление на друзей (практическое использование поиска корней редко использует совершенные силы). Задача не так сложна, как кажется, в основном потому, что основной метод состоит в том, чтобы найти последнюю цифру, используя последнюю цифру данной степени, а затем найти другие цифры, используя величину данной степени. Такие подвиги могут показаться малоизвестными, но, тем не менее, они записываются и практикуются. См. 13-й корень.

Извлечение кубических корней[]

Простая задача для новичка — извлечение кубических корней из кубов двузначных чисел. Например, зная 74088, определите, какое двузначное число при умножении на само себя один раз и повторном умножении на это число дает 74088. Тот, кто знаком с этим методом, быстро узнает, что ответ будет 42, так как 42 ³ = 74088.

Перед обучением процедуре требуется, чтобы исполнитель запомнил кубики чисел 1-10:

• 1 ³ = 1
• 2 ³ = 8
• 3 ³ = 27
• 4 ³ = 64
• 5 ³ = 125
• 6 ³ = 216
• 7 ³ = 343
• 8 ³ = 512
• 9 ³ = 729
• 10 ³ = 1000

Чтобы извлечь кубический корень из куба двузначного числа, нужно выполнить два шага. Допустим, вы попросили извлечь кубический корень из 29.791. Начните с определения разряда единиц (единиц) двузначного числа. Вы знаете, что это должна быть единица, поскольку куб оканчивается на 1, как показано выше.

• Если совершенный куб оканчивается на 0, то его кубический корень должен оканчиваться на 0.
• Если совершенный куб оканчивается на 1, то его кубический корень должен оканчиваться на 1.
• Если совершенный куб оканчивается на 2, то его кубический корень должен оканчиваться на 8.
• Если совершенный куб оканчивается на 3, его кубический корень должен оканчиваться на 7.
• Если совершенный куб оканчивается на 4, то его кубический корень должен оканчиваться на 4.
• Если совершенный куб оканчивается на 5, то его кубический корень должен оканчиваться на 5.
• Если совершенный куб оканчивается на 6, то его кубический корень должен оканчиваться на 6.
• Если совершенный куб оканчивается на 7, то его кубический корень должен оканчиваться на 3.
• Если совершенный куб оканчивается на 8, то его кубический корень должен оканчиваться на 2.
• Если идеальный куб оканчивается на 9, его кубический корень должен оканчиваться на 9.

Обратите внимание, что каждая цифра соответствует самой себе, кроме 2, 3, 7 и 8, которые просто вычитаются из десяти, чтобы получить соответствующую цифру.

Второй шаг — определить первую цифру двузначного кубического корня, взглянув на величину данного куба. Для этого нужно убрать три последние цифры заданного куба (29791 -> 29) и найти наибольший куб, которого он больше (вот тут и нужно знание кубов чисел 1-10). Здесь 29 больше 1 в кубе, больше 2 в кубе, больше 3 в кубе, но не больше 4 в кубе. Наибольший куб, больше которого равен 3, значит, первая цифра двузначного куба должна быть 3.

Следовательно, кубический корень из 29791 равен 31.

Другой пример:

• Найдите кубический корень из 456533.
• Кубический корень оканчивается на 7.
• После отбрасывания последних трех цифр остается 456.
• 456 больше всех кубов до 7 кубов.
• Первая цифра кубического корня равна 7.
• Кубический корень числа 456533 равен 77.

Другие системы[]

В ментальной математике существует много других методов вычислений. В приведенном ниже списке показаны несколько других методов расчета, хотя они могут быть и не полностью умственными.

• Ведическая математика
• Система Трахтенберга
• Система счетов
• Chisenbop

Кубок мира по ментальным вычислениям[]

Первый чемпионат мира по ментальным вычислениям (Mental Calculation World Cup) состоялся в 2004 году. Они повторяются раз в два года. Мероприятие 2006 года состоялось 4 ноября 2006 года в Гиссене, Германия. Он состоит из четырех разных задач: сложение десяти десятизначных чисел, умножение двух восьмизначных чисел, вычисление квадратных корней и вычисление дней недели для заданных дат, а также две задачи-сюрпризы. Его выиграл Роберт Фонтан из Англии.

Следующий чемпионат запланирован на 2008 год.

См. также[]

• Ментальный калькулятор
• 13-й корень
• Правило конца света для расчета дня недели

Внешние ссылки[]

• официальный 13-й корневой сайт
• Кубок мира по умственным вычислениям
• Советы по быстрой арифметике
• Критерии делимости
• Отменим арифметику с бумагой и карандашом
• MathAbacus.com Изучение математики с помощью Abacus для детей
• Бесплатная скоростная математическая программа Математическая программа со скоростью 26k, созданная во флэш-памяти с видеоруководством Google.
• Считается, что умственные вычисления улучшают умственные способности, скорость реакции, силу памяти и концентрацию.
• Умственные процессы и создание вторичной памяти для облегчения вычислений
• Доказательства повышенной функциональной специализации левой нижней теменной коры
• Большие волны ЭЭГ, вызванные умственными вычислениями PDF
• http://mikesmath.com/
• Веб-сайт «Dead Reckoning: Расчет без инструментов»

de:Kopfrechnen

es:Умственное исчисление

fr: Методы ментального исчисления

ja:暗算

sv:Huvudräkning

алгебраическое предварительное исчисление — Как люди выполняют арифметику в уме для сложных выражений?

спросил 7 лет, 11 месяцев назад

Изменено 3 года, 2 месяца назад

Просмотрено 16 тысяч раз

Это известная картина « Ментальная арифметика. {2}}{365} $$

С помощью бумаги и карандаша ответ прост: $2$. Однако, как следует из названия картины, выражение следует упростить только мысленно.

Мои вопросы:

1. Существуют ли общие методы вычисления в уме, полезные для выполнения основных арифметических действий и возведения в степень?

2. Или есть какой-то трюк, который работает в этом случае?

3. Если да, то к какому классу задач можно применить этот прием?

92+10}{365}\\&=\frac{5(144+2)}{5\times 73}\\&=2\end{align}$$
$\endgroup$
9
$\begingroup$

Если вы знаете свои квадраты до 14$ (которые студенты обычно запоминали) и произведете в уме простую трехзначную арифметику, вы увидите, что

$$100+121+144=365$$ и $169+196=365$$

$\endgroup$
7 92$, поэтому числитель становится

$500+20(0+1+2+3+4)+1+4+9+16$

$=500+20(10)+1+4+9+16$

$=700+1+4+9+16$

$=730$

Тогда конечно $730/365=2$.

Не уверен, что вы могли бы сделать это в своей голове. Это определенно займет минуту или две.

$\endgroup$
4
$\begingroup$

Я почти сразу припарковал ответ как 2 следующим образом: 92}{365}=\frac{720}{365}\приблизительно 2$$

144×5 — это «144/2 добавить 0» (т. е. 144×5=144×10/2), поэтому вся операция занимает менее двух секунд.

Обратите внимание, что этот метод точен для линейной (арифметической) последовательности; для нашей точности также важно, чтобы члены увеличивались на 1, а знаменатель был примерно того же порядка, что и числитель.

Я бы не сказал вам так быстро, что ответ ровно 2, но кому вообще нужна точность? В этом случае получилось неплохо. 92$$

Подробнее о квинтетах Рачинского см. на этот ответ.

$\endgroup$
2
$\begingroup$

Лично я на несколько секунд начал думать о строках решения @mathlove. При написании это выглядит очевидным, но при работе чисто мысленно я не заметил парности терминов.

Итак, согласно комментарию Шона и Джона, просто использовать прямой метод на самом деле довольно просто.

Опытный арифметик в уме уже знает квадраты.

У нас есть:

100 $ + 121 + 144 + 169 + 196 $

$ = 500 + 21 + 44 + 69 + 96 $

Обратите внимание, что двузначные числа прекрасно сочетаются:

$ = 500 + (21 +69) + (96 + 44)$

$= 500 + 90 + 100 + 40$

$= 730$

Итак, что же общего в этом и другом (математически превосходящем) ответах?

Ищите шаблоны, которые позволяют упростить вычислительные шаги, и в частности, чтобы свести к минимуму объем данных, которые необходимо хранить в твоя голова.

$\endgroup$
$\begingroup$

Я думаю, что изложенные в общих чертах подходы, хотя и хороши с ручкой и бумагой, несколько сложны для вычислений в уме. Вот как я понял это в своей голове. Идея состоит в том, чтобы все промежуточные расчеты было легко выполнять и запоминать.

1. Сначала вычислите все квадраты: 100, 121, 144, 169, 196.
2. Сразу видно, что 121 и 169 складываются в красивое и легко запоминающееся число. Вычислить и запомнить 121 + 169= 290.
3. Знайте, что то же самое можно сделать для 144 и 196, ответ 340. Запомните его.
4. На данный момент у нас осталось 100, 290 и 340. Добавьте 100 к 290, чтобы получить 390.
5. Сложите 390 и 340, чтобы получить 730.
6. Теперь мы можем посмотреть на знаменатель и понять, как его упростить.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
92}{365}\\&=\frac{\frac{1}{6}\cdot(14)(15)(29) — \frac{1}{6}\cdot (9)(10)(19) )}{365}\\&= \frac{(7)(5)(29) — (3)(5)(19)}{365}\\&=\frac{5\cdot (7\cdot 29) — 3 \cdot 19)}{5\cdot 73}\\&=\frac{7\cdot 29 — 3 \cdot 19}{73}\\&= \frac{7\cdot(19 + 10) — 3 \cdot 19}{73}\\&= \frac{(4)\cdot 19 + 70}{73}\\&= \frac{146}{73}\\&= 2\end{align}$$

Обратите внимание, что я описываю все именно так, как я думал об этом, поэтому некоторые шаги перечислены в кажущихся ненужными подробностях. Я также хотел, чтобы числа в числителе были меньше, поэтому я сразу же выполнил деление на $6 (=2\cdot 3)$ для каждого члена в разнице. 92$ не зависит от конкретного $X$. Здесь $X=12$, а $a$ равно $1$ и $2$ для двух пар термов. Таким образом, чтобы исправить первоначальную оценку, мы должны добавить $2 \times (1 + 4)$, что не является трудным умственным вычислением: $10$.

4. таким образом, числитель будет $730$, и если вы дошли до этого места без арифметических ошибок, это должно быть распознано как удвоение знаменателя.

Прекрасная картина известна в России, но не так известна где бы то ни было. Я помню это из учебника по математике, но никогда не видел ни в одной западной книге по искусству. 92)$

Использование симметрии кажется очевидным. Например, если бы было квадратов по 25 долларов, я бы использовал формулу для суммы первых квадратов по 12 долларов.

Это было бы сложнее с четным числом квадратов (вы можете использовать полуцелые числа с осторожностью).

$\endgroup$
1
$\begingroup$

Вы также можете выполнить вычисления по модулю 12 и по модулю 11. Затем вы без особых усилий обнаружите, что результат равен 2. Это означает, что это также 2 по модулю 12*11. Тогда из теоремы рациональной реконструкции следует, что дробь равна 2. 92 = 144 + 48 + 4 ——————————— сумма = 720 + 0 + 10 = 730 730 / 365 = 2 $\endgroup$

$\begingroup$

Я удивлен, что никто не упомянул мнемонические приемы для выполнения вычислений в уме. Вместо того, чтобы самому объяснять основные приемы, я даю ссылку на это видео, в котором знаменитый математик Артур Бенджамин объясняет приемы, которые он использует для умножения огромных чисел в уме.

Для тех, кто предпочитает читать, а не смотреть и слушать, я также даю ссылку на одну из статей, где А. Бенджамин рассказывает об основах мнемонических приемов, о возведении в квадрат больших чисел, запоминании цифр $\pi$ и многом другом.