Выполнить действия над матрицами. — примеры, решения
Пример 1:
Решение от преподавателя:
A = |
|
B = |
|
Умножим матрицу на число: C = 5A
C = 5* |
| = |
|
Умножим матрицу на число: D = 2B
D = 2* |
| = |
|
Вычитание матриц: F= C — D
| — |
| = |
|
Ответ: 5*A-2*B =
|
Пример 2:
Выполнить действия над матрицами.
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Решение от преподавателя:
Матрица A
|
Матрица B
|
Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом (выделены жирным шрифтом)
|
|
Получаем: (-2)*3+1*0 = -6
Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом.
|
|
Получаем: (-2)*1+1*2 = 0
Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.
|
|
Получаем: 3*3+0*0 = 9
Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом.
|
|
Получаем: 3*1+0*2 = 3
В итоге получаем матрицу AxB
|
|
Пример 4:
Даны матрицы:
Вычислить и найти обратную матрицу: 4A + D – 3N.
Найти произведение матриц .
Решение от преподавателя:
Находим искомую матрицу:
Находим матрицу М-1.
Определитель:
Алгебраические дополнения элементов определителя матрицы М:
Обратная матрица:
Находим произведение матриц:
Пример 5:
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Найти матрицу D=AB-2C:
Решение от преподавателя:
Пример 7:
Верно ли равенство:
Решение от преподавателя:
Пример 8:
Выполнить действия над матрицами.
Решение от преподавателя:
Пример 9:
Верно ли равенство:
Решение от преподавателя:
Пример 10:
Даны две матрицы. Найти произведение матриц AB:
Решение от преподавателя:
Пример 11:
Найти произведение матриц:
Решение от преподавателя:
Работа вам нужна срочно.
Не волнуйтесь, уложимся!Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Векторы и действия над векторами
Оглавление:- Сложение векторов
- Вычитание векторов
- Умножение вектора на число
- Скалярное произведение векторов
- Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»
Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок».
Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими.
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или .
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами: .
Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
к оглавлению ▴Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма.
Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов. и
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов и получаем:
;
.
к оглавлению ▴Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору .
Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .
к оглавлению ▴Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
к оглавлению ▴Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
.
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
.
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
.
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе вуза.
к оглавлению ▴
Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»
— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.
ПОДРОБНЕЕ
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Векторы наu0026nbsp;ЕГЭ поu0026nbsp;математике. Действия над векторами» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 07.06.2023
35 активных математических игр и занятий для детей, которые любят двигаться
Устали слышать стоны, когда вы объявляете, что пришло время заниматься математикой? Эти активные математические игры и занятия оживят вашу обучающую игру.
Они заставляют детей вставать и двигаться, используя все свое тело для изучения фактов и навыков. Многие из этих идей можно адаптировать для различных математических концепций, поэтому выберите несколько, чтобы опробовать их на своих учениках-математиках.
1. Бросать снежки внутрь или наружу
Прикрепите карточки к пластиковым ванночкам, а затем попросите детей бросить правильное количество больших белых помпонов («снежков») издалека. Если на земле лежит снег, соберитесь и вынесите его на улицу, чтобы использовать настоящие снежки!
Узнайте больше: Frugal Fun 4 Boys and Girls
2. Сложите палочки для отработки подсчета очков
Маленькие палочки идеально подходят для отработки подсчета очков. Детям будет весело проверять землю под деревьями на наличие веток, а затем ломать их на части и создавать счетные кучи.
Подробнее: @amysam623
3. Рыбка на числа
Сделать магнитную удочку своими руками очень просто.
Поднимите несколько пронумерованных рыбок из пенопласта с прикрепленными скрепками, а затем попытайтесь поймать цифры в правильном порядке! (Не хотите промокнуть? Просто положите рыбу на землю.)
Подробнее: Buggy and Buddy/Fishing Math
4. Рисуйте и измеряйте фигуры на тротуаре
Сначала дайте детям тротуарный мел и позвольте им нарисовать различные фигуры, большие или маленькие, как им нравится. Затем вооружите их измерительными лентами и попросите их попрактиковаться в измерении.
Узнайте больше: @playexploregrow
5. Топайте и разбивайте числовую линию
Возьмите несколько бумажных пакетов и пронумеруйте их, затем встряхните их и разложите в числовую линию. Теперь вызовите задачу на сложение или вычитание, например, 3 + 2. Попросите учащегося топнуть пакет с надписью «три», а затем следующие два, чтобы получить ответ «пять». (Чувствуете себя смелым? Попробуйте этот с воздушными шарами!)
Подробнее: Школьные отрывки
6.
Выращивайте цветы из фактовСоберите разноцветные осенние листья и напишите на них математические факты. Соберите их вокруг пронумерованного камня, чтобы сделать красивые цветы.
Подробнее: @discoverwildlearning
7. Бросьте мешочки с фасолью, чтобы узнать разрядное значение
Пометьте ячейки разрядными значениями, такими как единицы, десятки и сотни. Дети бросают мешочки с фасолью в мусорные баки, затем считают их и смотрят, какое число получилось.
Подробнее: Седло для второго класса/Жеребьевка места
8. Сформируйте числовые связи из бумажных тарелок
Раздайте пронумерованные бумажные тарелки.
Узнайте больше: The Schroeder Page
9. Создайте числовую линейку в натуральную величину
Числовые линейки прекрасно подходят для всех видов математических игр и занятий. Сделайте один достаточно большим, чтобы дети могли стоять и прыгать, используя тротуарный мел (или малярный скотч в помещении).
Вы будете использовать его снова и снова.
Узнать больше: Детство манит
10. Попади в цель и нарисуй
Графику можно научить множеством способов, так почему бы не сделать ее активной? Учащиеся бросают мячи в цель, строя графики и анализируя свои броски.
Узнать больше: Эми Лемонс
11. Отправляйтесь на поиски мусора с графиком
Создайте карту своей школы, детской площадки или другой территории с помощью миллиметровой бумаги (или, что еще лучше, попросите детей помочь вам в этом) . Затем выберите сюжетные точки, чтобы они могли посетить, чтобы найти заметки или небольшие призы. Они почувствуют себя настоящими охотниками за сокровищами!
Подробнее: Приключения с детьми
12. Бросайте кубики, чтобы считать и двигаться
Попрактикуйтесь в счете и сложении мелких чисел с помощью кубиков действия. Напишите такие действия, как «прыгать», «хлопать в ладоши» или «топать» на маленьком деревянном бруске, а затем бросать его вместе с парой игральных костей.
Дети складывают их (или вычитают, если хотите) и выполняют указанное количество раз.
Подробнее: Buggy and Buddy/Math Dice
13. Ударьте по мячу, чтобы вычесть
Вы знаете, что это понравится вашим ученикам начальных классов по математике! Собери свою собственную игру «Ударь крота» из 10 рамок, используя коробку из-под обуви и шарики для пинг-понга. Затем попросите детей ударить по мячу, чтобы они попрактиковались в вычитании фактов. Так весело!
Узнайте больше: Планирование игрового времени
14. Поплескайтесь с шариками с водой
Для этого вам придется немного промокнуть, но дети просто обожают математические игры (да и любые другие! ) с водяными шарами. Заполните и подпишите воздушные шары с номерами от 1 до 20 (или любыми другими числами, над которыми вы работаете). Нарисуйте цифры в большом круге на игровой площадке. Затем попросите учащегося выбрать воздушный шар, найти соответствующий номер и отправиться в путь, чтобы произвести фурор!
Подробнее: Корзиночки для ручек
15.
Расскажи время на гигантских часахНарисуй мелом на детской площадке гигантский циферблат с часами и минутами. Выберите двух учеников, которые будут часовой и минутной стрелками, затем объявите время и отправьте их, чтобы они стали часами. Добавляйте более сложные элементы, добавляя или вычитая их из исходного времени. («Теперь на 23 минуты позже!»)
Узнайте больше: Творческие семейные развлечения/часы с мелом на тротуаре
16. Измерьте свои прыжки лягушки
Пусть ваши ученики прыгают, как лягушки, прыгают, как газели, или прыгают, как кенгуру. Затем вытащите линейку или измерительную ленту, чтобы они могли измерить пройденное ими расстояние.
Подробнее: Кофейные чашки и мелки
17. Перейти к практике математических фактов
Разложите сетку, подобную показанной, с ответами на любой набор математических карточек, с которыми вы сейчас работаете. (Этот учитель использовал клейкую ленту; вы также можете рисовать мелом на тротуаре на игровой площадке.
) Два игрока встают лицом к лицу, по одному с каждой стороны доски. Покажите карточку, и дети соревнуются, чтобы первыми прыгнуть на нужный квадрат обеими ногами внутри линий. Получите все правила по ссылке ниже.
Подробнее: Обучение и тапас
18. Участвуйте в гонке с карточками
Прикрепите ряд карточек к полу и бросьте вызов детям, чтобы увидеть, кто сможет правильно пройти путь от начала до конца быстрее всех. Они могут выкрикивать ответы или записывать их, но они должны сделать это правильно, прежде чем двигаться дальше. Дети могут участвовать в гонках бок о бок или работать независимо друг от друга, чтобы побить собственный рекорд.
Подробнее: Мама одна
19. Поймай математический пляжный мяч
Пляжные мячи — это очень весело в классе. Нарисуйте цифры на одном маркером, а затем бросьте его ученику. Куда бы ни приземлился их большой палец, они складывают (или вычитают, или умножают) эти два числа вместе, прежде чем бросить мяч следующему ученику.
Подробнее: Седло для второго класса/Математика на пляжном мяче
20. Танец с числами
Дети, которые любят «Dance Dance Revolution», по достоинству оценят этот танец. Сделайте числовой коврик для каждого ученика, как показано на рисунке. Составьте уравнение с ответом от 10 до 99 на экране. Дети выясняют ответ и прыгают, чтобы поставить левую ногу на правильный разряд десятков, правую ногу на единицы. Они будут танцевать и кружиться, пока учатся!
Подробнее: Number Loving
21. Канавка с углами
Расскажите детям о пересечениях и углах, которые они создают, с помощью забавных танцевальных движений! Узнайте подробности о «Dance Dance Transversal» по ссылке ниже.
Подробнее: Математическое общение
22. Складывать и вычитать, ставя стаканчики друг на друга
Непонятно почему, но дети просто обожают складывание стаканчиков. Назовите свои математические задачи и ответы, а затем пусть дети строят пирамиды и башни в изобилии!
Подробнее: Шведский стол детского сада
23.
Измерьте высоту дерева (лестница не нужна)Дети будут поражены, узнав, что они могут измерить самое высокое дерево, не отрывая ног от земли. Ссылка ниже проведет вас через шаги с бесплатной распечаткой.
Узнайте больше: от ABC к ACT
24. Считайте и учитесь на прогулке на природе
Прогуляйтесь на свежем воздухе и попрактикуйтесь в основах математики. Это работает и в помещении: пройдитесь по школьному коридору (тихо) и посчитайте двери, окна, плакаты и многое другое.
Узнайте больше: Creative Family Fun/Math Walk
25. Ищите фигуры в окружающем вас мире
Ищете очень простые и веселые активные математические игры? Дайте учащимся лист с фигурами, чтобы они могли найти их, прогуливаясь по школе или по игровой площадке. Каждый раз, когда они находят фигуру, пусть они обводят ее на своем рабочем листе, а затем делают отметку, чтобы отслеживать, сколько раз они ее видели.
Подробнее: Практические идеи для обучения
26.
Украсть мячи с дополнительным ограблениемДети соревнуются, чья корзина с мячами окажется наибольшей. Трюк? Сначала они не знают, какие мячи стоят больше всего. Узнайте, как играть по ссылке ниже.
Узнать больше: That After School Life
27. Прыгать из лужи от номера к номеру
Разложите ряд лужиц из плотной бумаги, помеченных цифрами. Вы можете называть числа и предлагать детям прыгать к правильному номеру или прыгать от одного к другому в порядке вперед или назад, или даже попробовать пропустить счет.
Узнайте больше: NurtureStore
28. Раскрасьте и спрячьте числовые камни
Раскрашенные камни всегда пользуются успехом! Пусть ваш класс поможет вам сделать это, затем спрячьте их на игровой площадке и отправьте детей искать и решать уравнения.
Дополнительная информация: The OT Toolbox
29. Счет на доске в классики
Доску в классики можно использовать для веселых и активных математических игр.
Попробуйте его для пропуска счета: дети прыгают и считают 2, 5, 10 или то, над чем вы сейчас работаете. Узнайте больше по ссылке ниже.
Узнайте больше: Math Geek Mama/Skip-Counting Hopscotch
30. Цельтесь и бросайте, чтобы тренировать математические навыки
Возьмите набор липких дротиков и нарисуйте две мишени для дротиков рядом. Вы можете пометить кольца любыми номерами, которые вам нравятся. Дети бросают дротики, а затем складывают, вычитают, умножают или делят числа — на ваш выбор!
Узнать больше: Inspiration Labs
31. Придумать настольную игру на открытом воздухе
Нарисуйте извилистую дорожку и заполните пробелы математическими уравнениями. Дети бросают кости и перемещаются из одного места в другое (пусть они прыгают, прыгают или вертятся, чтобы все перепутать). Если они получают правильный ответ, они перемещаются в новое место. Если нет, то их ход окончен. Подобные настраиваемые математические игры можно использовать на любом уровне.
Узнать больше: Смотри! Мы учимся!
32. Превратите UNO в активную математическую игру
Возьмите свою колоду UNO и приготовьтесь к действию! Назначьте каждому цвету движение (прыжок, касание пальцев ног и т. д.). Когда дети вытягивают карточки, каждый выполняет движение нужное количество раз. Пропуск и Обратное работают как обычно, но любой, кто получает «Возьми два», должен взять еще две карты и выполнить действия самостоятельно, пока другие их подбадривают. Подробнее смотрите по ссылке ниже.
Подробнее: Все еще играю в школу
33. Поиграйте с ними, изучая математические факты
Активные математические игры с использованием переработанных материалов экономичны и полезны для окружающей среды. Установите пустые пластиковые бутылки, промаркированные от 1 до 10, затем покатайте шарик, чтобы увидеть, сколько вы сможете сбить. Сложите количество опрокинутых бутылок, чтобы получить свой счет.
Узнайте больше: Учитесь, играя дома
34.
Соревнуйтесь, чтобы выиграть в математикеПриобретите несколько товаров из магазина за доллар и создайте свой собственный курс игры в патт-патт. Это может быть простая игра, в которой дети просто выбивают наибольшее (или наименьшее) число. Но вы также можете усложнить задачу, составив уравнения для чашек, которые дети должны сначала решить, чтобы определить, к какой чашке лучше всего стремиться.
Узнать больше: Мой класс «Поймай звезду»!
35. Добавьте математическую изюминку в классическую игру
Создавайте активные математические игры, которые вдохнут новую жизнь в существующие ресурсы. Например, добавить числа в Twister! Для более продвинутых игроков вместо того, чтобы говорить «Правая рука 5», попробуйте сказать «Правая рука 14 — 9», чтобы заставить их задуматься.
Подробнее: Math Geek Mama/Twister Math
Если вам нравятся эти активные математические игры и вы ищете новые способы двигаться в классе, попробуйте эти 21 упражнение по кинестетическому чтению для самых активных учащихся.
Кроме того, подпишитесь на наши бесплатные информационные бюллетени, чтобы получать все лучшие советы и идеи по обучению!
Использование математических действий
Использование математических действийМатематические действия доступны на страницах «Заметки», «Блокнот» и «Калькулятор».
При отображении контекстного меню для выбранного выражения или уравнения меню может включать подменю «Математические действия», в котором перечислены доступные действия. Каждое действие может запросить у вас любые необходимые параметры.
Перечисленные конкретные математические действия зависят от:
| • | Тип выражения или отношения. |
| • | Используемая операционная система (числовая или CAS). |
| • | Любые ограничения, накладываемые активным сеансом Press-to-Test. |
Пример математических действий в Notes
| 1. | Вставьте математическое поле и введите уравнение x2+3x+1=0, но пока не нажимайте Enter. |
| |
2. | Откройте контекстное меню уравнения и выберите Математические действия. Windows®: Щелкните уравнение правой кнопкой мыши. Mac®: удерживайте и щелкните уравнение. Портативный компьютер: наведите указатель на уравнение и нажмите / b. |
| |
| 3. | Выберите действие для выполнения: |
| — | Решите численно для числовой ОС. |
| — | Решение для ОС CAS. |
Вам будет предложено ввести параметры. Например, Numeric Solve запрашивает интересующую переменную, начальное предположение, нижнюю границу и верхнюю границу.
| 4. | Введите значение для каждого параметра. Когда параметры доступны, вы можете щелкнуть стрелку, чтобы сделать выбор. |
| |
5. |
| |
| 6. | Нажмите Enter, чтобы завершить действие. |
| |
7. | В качестве дальнейшего исследования перетащите математическое поле, чтобы выбрать x2+3·x+1. Не включайте часть «=0». |
| |
| 8. | Отобразите контекстное меню для выделенного текста, выберите «Математические действия» > «Найти корни многочлена» и нажмите «Ввод», чтобы завершить действие. |
Действие и его результат отображаются в новом математическом поле.
| |
Советы по использованию математических действий в Notes
| ▶ | Для ранее оцененного выражения щелкните выражение, а затем отобразите его контекстное меню. |
При выборе действия оно заменяет выражение.
| ▶ | Для отображаемого результата щелкните результат, а затем отобразите его контекстное меню. |